Необратимые процессы переноса

Лекция 1 Введение Одними из самых распространенных явлений природы являются необратимые процессы переноса, при которых в результате движения структурных частиц вещества происходит перенос в пространстве массы, импульса и энергии. Различают молекулярный перенос, обусловленный тепловым движением молекул вещества и конвективный, который вызван движением текучей среды как целого. Процессы переноса в веществе определяют существование таких явлений как диффузия, вязкость, тепло- и электропроводность. Самопроизвольный необратимый процесс переноса тепла в среде с неоднородным температурным полем называют теплообменом. В неподвижных средах он обеспечивается теплопроводностью, а в движущихся – имеет место конвективный перенос теплоты, включающий как теплопроводность, так и конвекцию. Третий вид теплообмена - тепловое излучение - связан со способностью вещества излучать, поглощать, отражать, рассеивать и пропускать электромагнитные волны. В отличие от конвекции и теплопроводности этот механизм теплопереноса возможен и в вакууме. В поглощающих средах энергия электромагнитных волн переходит в тепловую. Явления переноса можно изучать феноменологическим и статистическим методами. Первый базируются на установленных опытным путем феноменологических законах, а роль конкретной физической среды учитывается только коэффициентами пропорциональности в этих законах (коэффициентами переноса), которые также определяются экспериментально. При этом дискретным строением вещества пренебрегают, рассматривая его как сплошную среду. Статистический метод основан на изучении внутреннего строения вещества, которое рассматривается как некая физическая система, состоящая из огромного числа микрочастиц с заданными свойствами и законами взаимодействия. Количественной мерой «огромного числа частиц» может служить, например, постоянная Авогадро (6,025.1023 1/гмоль). Основная задача такого подхода состоит в расчете макроскопических свойств вещества по известным микроскопическим характеристикам его молекул. Статистический метод является более общим по сравнению с феноменологическим. В частности, он позволяет получать феноменологические законы, устанавливать степень их достоверности в конкретных физических системах, теоретически определять соответствующие коэффициенты переноса и их зависимости от различных параметров вещества. Отрицательной чертой статистического подхода является его сложность, что позволило получить расчетные соотношения лишь для простейших моделей строения вещества. Кроме того, он требует знания ряда квантовомеханических характеристик среды (потенциалы межмолекулярных взаимодействий, сечения рассеяния и др.), определение которых составляет предмет специальных исследований. ГЛАВА 1. Методы описания явлений переноса. §1-1. Феноменологическое описание процессов переноса. Обозначим вектор потока произвольной физической величины «А» через JA, определив его как результирующее количество этой величины, переносимое через фиксированную площадку «F» в данном направлении в единицу времени. Вектор назовем плотностью потока. Очевидно, что плотность потока можно рассматривать как скорость переноса физической величины в веществе. Опыт указывает на то, что большинство необратимых явлений описывается линейными соотношениями между причиной и следствием, в соответствии с которыми скорости переноса некой субстанции прямо пропорциональны обобщенным диссипативным силам. При переносе теплоты, массы, импульса и электрического заряда такими силами являются градиенты соответствующих потенциалов (температуры, концентрации, скорости в поперечном направлении и электрического потенциала). В качестве примера можно привести известные законы Фурье, Ньютона, Фика и Ома. Коэффициенты пропорциональности в этих законах называют коэффициентами переноса. Следует отметить, что во многих случаях явления переноса накладываются друг на друга, вызывая новые эффекты. Так, например, в результате совместного действия диффузии и теплопроводности возникает термодиффузия в веществе и т.п. Рассмотрим кратко основные явления переноса и их феноменологические законы (табл. 1). Таблица 1 Явление переноса Переносимая субстанция Движущая сила процесса Коэффициент переноса Закон переноса Теплопроводность Теплота  Вязкость Импульс  Диффузия Масса D Электропроводность Заряд  Теплопроводность – это процесс молекулярного переноса теплоты в веществе, обусловленный градиентом температуры (кроме теплопроводности теплота ещё может переноситься конвекцией за счет движения конечных объемов вещества как целого, а при высоких температурах – и тепловым излучением). Внутреннее трение (иначе вязкость) представляет собой перенос количества движения (или импульса) в веществе, обладающем текучестью. В ламинарных потоках проявляется механизм молекулярной вязкости, а в турбулентных течениях в этот процесс вовлекаются более крупные объемы жидкости или газа (турбулентные вихри) и перенос импульса заметно интенсифицируется. Диффузия – перенос вещества в пространстве вследствие градиента его концентрации (для однокомпонентного вещества используется термин «самодиффузия»). Кроме концентрационной диффузии различают также термодиффузию и бародиффузию, обусловленные градиентами температуры и давления в неподвижной среде. Электропроводность обусловлена пространственным переносом зарядов, который представляет собой электрический ток в веществе. В таблице 1 использованы следующие обозначения: - q, , J, j – плотности потоков теплоты, импульса (касательное напряжение), массы и электрического тока в веществе; , , D,  - коэффициенты теплопроводности, вязкости, диффузии и электропроводности, T, WX, C,  - температура, компонента скорости потока (вдоль оси х), концентрация и электрический потенциал, Е – напряженность электрического поля. При построении математического описания явлений переноса среду, в которой протекают эти процессы, считают сплошной. Это предполагает, что в любом бесконечно малом её объеме содержится большое число микрочастиц, и можно говорить о локальном термодинамическом равновесии в пределах этого объема. Тогда параметры состояния такой среды (температура, плотность, давление, скорость и др.) являются непрерывными функциями координат и времени. Распределения этих параметров в веществе описывают дифференциальные уравнения переноса, полученные на основе общих законов сохранения. Т.к. в данном курсе изучаются явления теплопереноса, рассмотрим кратко дифференциальные уравнения переноса энергии, позволяющие в рамках феноменологического подхода найти поля температуры в веществе, а с их помощью – и количество переносимого в нем тепла. 1) Для расчета температурного поля в твердом теле, а также в неподвижной жидкости (или газе) служит дифференциальное уравнение теплопроводности: (1) Видно, что в (1) присутствуют две неизвестные функции: - температура Т и плотность теплового потока . Используя закон Фурье , получим (2) а при (3) Здесь - коэффициент температуропроводности вещества, определяющий скорость изменения температуры в нестационарных процессах теплопереноса, qv – объемная плотность внутренних источников теплоты и - оператор Лапласа. В декартовых координатах (x,y,z) этот оператор имеет вид (4) а в цилиндрических (r,, z) (5) Дифференциальное уравнение теплопроводности (1-3) – это уравнение параболического типа, что подразумевает бесконечно большую скорость распространения тепла в веществе. На самом деле это не так, и реальная скорость распространения температурных возмущений конечна. Она определяется средней скоростью теплового движения структурных частиц среды (молекул, атомов и др.), и во многих случаях имеет порядок скорости звука. Для большинства практических задач она велика по сравнению со скоростями распространения температурных возмущений, измеряемыми в опытах; поэтому уравнения (1-3) хорошо описывают кинетику переноса тепла. Учет конечной скорости переноса тепла требует использования дифференциальных уравнений теплопроводности гиперболического типа, в которых эта скорость присутствует как заданное свойство среды. Уравнения теплопроводности (1-3) решают с использованием начального и граничных условий. Они задают распределение температур в теле в нулевой момент времени и описывают условия теплообмена на его границах с окружающей средой. Ввиду большой сложности аналитических методов решения этих уравнений предпочтение отдается численным методам (конечно-разностный метод, метод конечных элементов). 2) Температурное поле в движущейся среде рассчитывают при помощи дифференциального уравнения энергии (6) которое при принимает вид (7) В левой части этого уравнения присутствует полная (субстанциональная) производная от температуры по времени. В декартовой системе координат ее вид (8) соответственно, в цилиндрической - (9) Отметим, что в случае неподвижной жидкости уравнение энергии переходит в уравнение теплопроводности. Универсальным методом решения уравнения энергии является численный. §1-2. Статистическое описание явлений переноса. Оно предполагает, что все макроскопические свойства вещества могут быть получены, исходя из знания сил взаимодействия и внутреннего строения частиц (атомов и молекул), составляющих это вещество. При этом макроскопические свойства отождествляются с некоторыми средними характеристиками всех частиц данного вещества. Из термодинамики известно, что для макроскопического описания вещества достаточно задать ограниченное число параметров (давление, объем, температура и др.). Они полностью определяют макросостояние объекта и имеют определенное содержание лишь для макромира. В молекулярной теории состояние будет определено, если известно состояние каждой молекулы. Допустим, что рассматриваемое нами макроскопическое тело состоит из N одинаковых частиц, каждая из которых имеет s степеней свободы (т.е. s независимых параметров). Очевидно, что состояние молекулы определяют 2s параметра, т.к. каждой степени свободы соответствует одна пространственная координата и одна составляющая скорости. Тогда микросостояние тела будут определять 2sN различных параметров. Таким образом, за каждым макросостоянием скрыты какие-то микросостояния, обусловленные поведением молекул во всем коллективе. Учитывая хаотичность молекулярных процессов, следует подчеркнуть, что каждое микросостояние характеризуется определенной вероятностью его наступления. Опыт показывает, что любая изолированная система с течением времени обязательно приходит в состояние термодинамического равновесия, в котором её макроскопические характеристики сохраняются постоянными. Это её наиболее вероятное состояние, из которого она не может выйти самопроизвольно. Вывести из равновесия систему может только внешнее воздействие. Когда оно заканчивается, неравновесная система вновь стремится в положение равновесия. Этот процесс перехода обычно называют релаксацией, а характерный промежуток времени, в течение которого совершается переход, получил название времени релаксации «». Очевидно, что любое явление переноса реализуется лишь в неравновесных системах. Из изложенного видно, что задача статистического подхода, прежде всего, заключается в определении параметров частиц, образующих систему, а затем в способе отождествления некоторых их средних параметров с макроскопическими величинами. Рассмотрим эти вопросы последовательно. В качестве параметров отдельной частицы молекулярно-кинетическая теория рассматривает её координаты (ri) и скорости (vi). Часто вместо скорости частиц используется их импульс. Математическое пространство, на координатных осях которого откладываются значения координат и скоростей, называют фазовым пространством. В этом пространстве вводится функция распределения молекул. Её смысл поясним на примере одноатомных молекул. У них отсутствуют внутренние степени свободы, поэтому фазовое пространство можно представить в прямоугольных координатах радиусом-вектором положения (r) и вектором скорости (v). Тогда функция распределения будет определять число молекул dn в физическом объеме (вблизи точки r), имеющих концы векторов скорости внутри объема (вблизи точки v), т.е. (10) Для функции распределения может быть записано кинетическое уравнение Больцмана (его вывод здесь не приводится). Оно имеет следующий вид (11) Фактически это уравнение представляет собой условие неизменности числа частиц. Первое слагаемое левой части представляет собой изменение числа частиц в элементе фазового объема . Это изменение происходит по двум причинам: - вследствие движения молекул их некоторая часть, первоначально входившая в элемент объема, может выйти из него (второе слагаемое); - вследствие действия сил внешнего поля (например, поля сил тяжести) часть молекул может выйти из элемента фазового объема из-за изменения компонентов скоростей (третье слагаемое). Правая часть уравнения Больцмана описывает изменение числа частиц за счет их столкновений друг с другом, обычно её называют интегралом столкновений. Уравнение Больцмана представляет собой сложное интегродифференциальное нелинейное уравнение. Разработаны несколько методов его интегрирования, наиболее известными из которых являются методы Чепмена-Энскога и Грэда. Существуют и методы его приближенного решения. Чаще всего для этих целей используют линеаризацию уравнения Больцмана, представляя в нем интеграл столкновений в следующем виде (12) где f0 – некоторая известная (обычно равновесная) функция распределения, а Р – время релаксации. Теперь осталось рассмотреть методику отождествления макроскопических параметров системы со статистическими свойствами составляющих её частиц, которые описываются с помощью функции распределения. Отметим, что при статистическом подходе в качестве единственных переменных рассматриваются скорость частицы и её положение во времени и в пространстве. Отсюда следует, что любые макроскопические свойства среды могут зависеть только от этих переменных и от индивидуальных свойств частиц (масса, заряд и т.п.). Если ввести понятие молекулярного признака Ф=Ф(r, v, ), то среднее значение этого признака в точке r фазового пространства (13) где n представляет собой полное число частиц, содержащихся в некотором малом объеме вещества, т.е. (14) Уравнение (13) является самым общим выражением любого макроскопического параметра в точке пространства r в момент времени  через функцию распределения . Конкретный вид макроскопического параметра определяется видом молекулярного признака. Если , где m – масса частицы, то из (13) получим среднее значение плотности вещества (15) В кинетической теории температура, как известно, определяется равенством (16) где k – постоянная Больцмана. Вычислив с помощью уравнения (13) среднее значение квадрата скорости молекул , получим из (16) следующее выражение для температуры частиц (17) Однако такое определение температуры применимо для состояний системы, мало отличающихся от равновесных. При больших отклонениях от равновесия формула (17) не имеет смысла (хотя в частном случае можно вводить понятие температуры для отдельных частей неравновесной системы, слабо обменивающихся между собой энергией: - например, электронную и ионную температуру в плазме). Аналогично можно определять и другие макроскопические тепловые характеристики системы через параметры отдельных молекул. Для этого необходима операция усреднения этих параметров, проведение которой подразумевает знание функции распределения молекул. Что касается коэффициентов переноса в газах, то наиболее подробно они рассчитаны на основании решения уравнения Больцмана методом Чепмена-Энскога. Для первого приближения функции распределения были получены следующие выражения теплопроводности () и динамической вязкости () газа где - приведенный интеграл столкновения, зависящий от потенциала взаимодействия; он рассчитан для наиболее распространенных потенциалов и табулирован в специальной литературе. Под потенциалом взаимодействия в квантовой механике понимают зависимость энергии системы из двух частиц от расстояния r между ними. Для описания межмолекулярного взаимодействия в реальных газах часто используется потенциал Леннарда-Джонса где  - расстояние, на котором силы притяжения и отталкивания частиц равны,  - энергетическая константа; значения этих параметров для некоторых газов приведены в таблице. Вещество H2 Ar O2 N2 CH4 , Å 2,93 3,41 3,58 3,70 3,82 /k, K 37,0 119,8 117,5 95,1 148,2 В простейшей модели газа, молекулы которого рассматриваются как твердые непроницаемые шарики радиуса r0 , потенциал имеет более простой вид . Для этого случая приведенный интеграл столкновения можно рассчитать аналитически по уравнению и тогда  и  равны (в системе единиц СИ) Литература 1. Л.И.Жмакин Конспект лекций по курсу «Кинетическая теория теплоты» для студентов специальности 140104.65 «Промышленная теплоэнергетика» Москва 2007. 2. Г.Ф.Мучник, И.Б.Рубашов, Методы теории теплообмена, ч. 1, Теплопроводность, М., Высшая школа, 1970, 287 с. 3. Е.М. Лившиц, Л.П. Питаевский, Физическая кинетика, М.: Наука, 1979, 528 с. 4. Дж. Гиршфельдер, Ч. Кертисс, Р. Берд, Молекулярная теория газов и жидкостей, М.: ИЛ, 1961. 631 с. 5. Р. Берд, В. Стюарт, Е. Лайтфут, Явления переноса, М.: Химия, 1974, 687 с. 6. Д. Займан, Принципы теории твердого тела, М.: Мир, 1974, 472 с. 7. А.С.Охотин, Л.И.Жмакин, А.П.Иванюк, Модели теплопереноса в конденсированных средах, М., Наука, 1990, 200 с.