Нелинейные электрические цепи постоянного тока

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА К нелинейным электрическим цепям относятся цепи, содержащие один или более нелинейных элементов. Нелинейные элементы – резистивные, индуктивные и емкостные, имеют нелинейные вольтамперные, веберамперные и вольт-кулонные характеристики. Параметры нелинейных элементов, в отличие от линейных, зависят от величин протекающих по ним токов, значений и полярности приложенных к ним напряжений. В нелинейных электрических цепях не выполняется принцип наложения, поэтому неприменимы методы, рассмотренные ранее. Нелинейные резисторы принято делить на две большие группы: неуправляемые и управляемые. В управляемых HP есть вспомогательная (управляющая) цепь, воздействуя на ток или напряжение которой можно изменять вольтамперную характеристику основной цепи. ВАХ неуправляемых HP изображается одной кривой, а управляемых – совокупностью (семейством) кривых. К группе неуправляемых HP относятся лампы накаливания, бареттеры, стабилитроны, газотроны и др. К группе управляемых HP относятся многоэлектродные электронные лампы, биполярные и полевые транзисторы, тиристоры и др. ВОЛЬТАМПЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТОРОВ На рис. 3.1 изображены некоторые типичные вольтамперные характеристики неуправляемых резисторов. I I I U U а б I г U в I U I Iу4 Iу3 Iу2 Iу1 U д U е Рис. 3.1. Вольтамперные характеристики нелинейных резисторов Характеристики, для которых справедливо соотношение I(U) = –I(–U) (рис. 3.1 а, б), называются симметричными, ВАХ НР на рис. 3.1.в – д несимметричны. Характеристики НР, приведенные на рис. 3.1 а – в монотонные, поскольку при увеличении приложенного к ним напряжения ток монотонно возрастает, т.е. первая производная тока постоянна по знаку. В отличие от них ВАХ НР, приведенные на рис. 3.1 г, д имеют участки отрицательного сопротивления, на которых первая производная тока меняет знак. Такие вольтамперные характеристики являются неоднозначными: заданному значению напряжения (рис. 3.1, г) или тока (рис. 3.1, д) могут соответствовать три значения тока (напряжения). На рис. 3.1, е приведено семейство характеристик управляемого НР (семейство выходных характеристик биполярного транзистора). РАСЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ HP До начала расчета нелинейных цепей должны быть известны ВАХ HP, входящих в схему. HP I E UHP Рис. 3.2. R ВАХ HP обозначена на рис. 3.3 буквами НР, ВАХ линейного сопротивления – прямая линия (R). ВАХ всей цепи, т.е. зависимость тока в цепи от суммы падений напряжений на HP и R, изображена кривой, обозначенной НР+R. Расчет основывается на законах Кирхгофа. Возможно применение двух способов расчета. Первый способ представлен на рис. 3.3а, второй – на рис. 3.3б. E R НР I I R НР + R I m n p I q UR UHP U E a UНР E E1 а Рис. 3.3. a б При расчете цепи по первому способу результирующая ВАХ пассивной части схемы строится исходя из того, что при последовательном соединении через HP и R проходит один и тот же ток. Для построения результирующей ВАХ зададимся произвольным током – точкой т, проведем через нее (рис. 3.3а) горизонталь и сложим отрезок тп, равный напряжению на R, с отрезком тр, равным напряжению на HP: тп+тр =тq. Тогда точка q принадлежит результирующей ВАХ всей схемы. Аналогично строятся и другие точки результирующей ВАХ. Определение тока в цепи при заданной ЭДС Е производят графически по результирующей ВАХ. С этой целью следует заданное значение ЭДС Е отложить по оси абсцисс и через полученную точку провести вертикаль до пересечения с результирующей ВАХ в точке q. Ордината точки q равна искомому току. При расчете цепи по второму способу результирующую ВАХ пассивной части схемы строить не нужно. Выделим две ветви в цепи: – одну с нелинейным сопротивлением; – вторую с ЭДС и линейным сопротивлением. Общим параметром для обеих ветвей является напряжение UHP. Перестроим ВАХ относительно этого напряжения. Поскольку уравнение UHP = E – IR в координатах I и UHP представляет собой уравнение прямой, проходящей через точки с координатами I = E/R; U = UHP= 0; и I = 0; UHP = U = Е, проведем ее на рис.3.3б. Точка пересечения прямой с ВАХ HP определяет режим работы цепи. Для этой точки ток, проходящий через HP и R, одинаков, поэтому сумма падений напряжений UHP+ UR = Е. При другом значении ЭДС, например, E1 прямую I = f(UR) следует переместить параллельно себе так, чтобы она исходила из точки I = 0, U = =E1 (правая прямая на рис. 3.3б). Этот способ расчета называется иногда «методом отраженных (или зеркальных) характеристик». Рассмотрим применение метода отраженных характеристик для расчета цепи (рис. 3.4) с двумя различными HP, вольтамперные характеристики которых изображены на рис. 3.5а. Так как НР2 имеет нелинейную ВАХ, то вместо прямой IR = f(UR), как это было на рис. 3.3а теперь имеем нелинейную зависимость IНР2 = f(UНР2). HP2 HP1 I E U2 U1 Рис. 3.4 I а 2 I б 2 1 1 U1 IНР2(1) U2 IНР2(1) UНР2(1) U UНР1(1) Рис. 3.5. UНР2(1) UНР1 E ВАХ НР2 строится по уравнению UHP1 = E – UНР2. Для этого зададимся некоторым напряжением в точке а UHP1(1). Напряжение UHP2(1) будет равно E – UНР1(1). Этому напряжению по ВАХ на рис. 3.5а соответствует ток IНР2(1). Откладывая IНР2(1) и UHP1(1) на рис. 3.5б получаем одну точку характеристики I НР2 = f(UHP1). Построение этой точки изображено на рис 3.5. Задаваясь другими значениями UHP1 строим всю характеристику I НР2 = f(UHP1). ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ HP Схема параллельного соединения двух HP изображена на рис. 3.6, их ВАХ – на рис. 3.7. I1 I HP1 3 1 q I 2 I2 p HP2 U n m U Рис. 3.6. Рис. 3.7. Кривая 3 рис. 3.7 представляет собой ВАХ параллельного соединения. Строится она следующим образом. Задаемся произвольно напряжением U, равным отрезку От. Проводим через точку т вертикаль. Складываем отрезок mn, pавный току в НР1, с отрезком тр, равным току в НР2: тп +тр =mq. Отрезок mq равен току в неразветвленной части цепи при напряжении От. Аналогично определяют и другие точки результирующей ВАХ параллельного соединения. МЕТОД ДВУХ УЗЛОВ Решение нелинейных уравнений, описывающих нелинейные цепи с двумя узлами, проводят графически. Сначала задаются направлением токов в параллельных ветвях. Затем перестраивают ВАХ ветвей относительно общего напряжения между узлами Uab. Построенные кривые складывают графически согласно первому закону Кирхгофа для выбранных направлений (при одном и том же напряжении складывают токи ВАХ). Если токи в ветвях направлены в одну сторону относительно узла схемы, то решение определяется точкой пересечения кривой I = 0 с осью напряжения. Через эту точку параллельно оси тока проводят прямую линию, при пересечении которой с каждой ВАХ ветвей получают соответствующие значения токов. Пример П.3.1. Определить токи в ветвях схемы на рис. 3.10 при заданных ЭДС и ВАХ нелинейных элементов. Решение. Зададимся направлением токов и запишем первый закон Кирхгофа: I1+I2+I3= 0. (3.1) I1 a I3 I2 HP1 HP2 HP3 E3 E1 b Рис. 3.10. Запишем выражения для напряжения между узлами Uab для каждой из параллельных ветвей: U ab E1  U HP1 ; U ab  U HP 2 ; U ab  E 3  U HP 3 . (3.2) Построим ВАХ по уравнениям (3.2) и сложим их (пунктирная кривая на рис. 3.11) в соответствии с уравнением (3.1). Через точку пересечения результирующей кривой с осью абсцисс проведем прямую АА. При пересечении прямой АA с ВАХ ветвей получим токи I1, I2 и I3. Токи I2 и I3 имеют направление, противоположное выбранному. I1+I2+I3=0 E1-I1(U) I -I2(U) А -E3-I3(U) I1 I2 I3 А' -E3 Uab E1 Рис. 3.11. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ С ДВУМЯ УЗЛАМИ Положим, что имеется схема, содержащая несколько параллельных ветвей с HP и источниками ЭДС (рис. 3.14). Определим ЭДС и ВАХ эквивалентного нелинейного резистора НРэ участка схемы (рис. 3.15), эквивалентного исходной схеме I I рис. 3.14. I1 a I3 a I2 HP1 HP2 E1 b Рис. 3.14. HP3 HPЭ E3 EЭ b Рис. 3.15. Эквивалентность будет иметь место в том случае, если ток I в ветви на рис. 3.15 при любых значениях напряжения Uab будет равен току I в неразветвленной части цепи исходной схемы (рис. 3.14). Воспользуемся построениями на рис. 3.11. Пунктирная кривая на этом рисунке представляет собой зависимость I1+I2+I3=f(Uab), т. е. является результирующей ВАХ трех параллельных ветвей. Такую же ВАХ должна иметь эквивалентная ветвь (рис. 3.15). Если ток I в схеме (рис. 3.15) равен нулю, то Uab=EЭ. Следовательно, EЭ на рис. 3.15 определяется напряжением Uab, при котором эта кривая пересекает ось абсцисс. Для определения ВАХ НРЭ необходимо пунктирную кривую (рис. 3.11) зеркально отобразить относительно вертикали, проведенной через точку пересечения ее с осью абсцисс. Построенная ВАХ НРЭ изображена на рис. 3.16. I Uab Рис. 3.16. МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНОГО ГЕНЕРАТОРА Если в сложной электрической цепи есть одна ветвь с HP, то определить ток в ней можно методом эквивалентного генератора. Выделим в схеме ветвь с HP, представив всю остальную линейную схему активным двухполюсником (рис. 3.17, а). I HP I А RВН HP А A Е = UABxx В В а б Рис. 3.17. Как известно, схема замещения линейного активного двухполюсника по отношению к зажимам А и В выделенной ветви представляет собой последовательное соединение источника ЭДС, величина которой равна напряжению на зажимах АВ при разомкнутой ветви АВ (UАВxx), внутреннего сопротивления RВН, равного входному сопротивлению линейного двухполюсника, и сопротивления ветви АВ (рис. 3.17, б). Определение тока в полученной схеме (рис. 3.17, б) может быть проведено графическим методом. СТАТИЧЕСКОЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ Свойства нелинейного резистора могут быть охарактеризованы либо его вольтамперной характеристикой, либо зависимостями его статического и дифференциального сопротивлений от тока (напряжения). Статическое сопротивление Rст характеризует поведение HP в режиме неизменяющегося тока. Оно равно отношению величине напряжения на HP к величине протекающего по нему тока: Rст=U/I. (3.5) Сопротивление Rст численно равно тангенсу угла  между осью ординат и прямой, проходящей через рабочую точку РТ (рис. 3.18), умноженному на отношение масштабов по осям mU/mI. Для различных точек ВАХ статическое сопротивление различно. I РТ   U –E Рис. 3.18. Под дифференциальным (динамическим) сопротивлением Rдиф принято понимать отношение бесконечно малого приращения напряжения dU на HP к соответствующему приращению тока dI: Rдиф=dU/dI. (3.6) Дифференциальное сопротивление численно равно тангенсу угла  (рис. 3.18) наклона касательной к ВАХ в рабочей точке, умноженному на отношение масштабов mU/mI. Оно характеризует поведение HP при достаточно малых отклонениях от предшествующего режима, т.е. приращение напряжения на HP связано с приращением тока, проходящего через него, соотношением dU = Rдиф* dI. Таким образом, Rст – это сопротивление HP для постоянного тока, a Rдиф – для изменяющегося в небольших пределах переменного напряжения. Если ВАХ HP имеет падающий участок, т.е. участок, на котором увеличению напряжения на U соответствует уменьшение тока (см., например, ВАХ на рис. 3.1, г, д), то дифференциальное сопротивление на этом участке отрицательно. Из двух сопротивлений (Rст и Rдиф) чаще используется дифференциальное сопротивление. Его используют, например, при замене НР эквивалентным линейным сопротивлением и источником энергии, а также при исследовании устойчивости режимов работы нелинейных цепей. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ ЗАМЕНА НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗИСТОРА ЛИНЕЙНЫМ И ИСТОЧНИКОМ ЭНЕРГИИ Нелинейный резистор, вольтамперная характеристика которого в рабочем диапазоне напряжений и токов с достаточной для практики степенью точности может считаться линейной, может быть заменен последовательным соединением линейного сопротивления и идеального источника ЭДС. Сопротивление линейного элемента при этом должно равняться дифференциальному сопротивлению нелинейного элемента в рабочей точке его ВАХ (рис. 3.19). Замена HP линейным сопротивлением и источником ЭДС удобна тем, что после такой замены вся схема становится линейной и анализ ее работы может быть выполнен методами, используемыми в линейных электрических цепях. Однако при этом необходимо следить за тем, чтобы рабочая точка НР находилась в пределах линейного участка вольтамперной характеристики. а НР I b а НР I Uаb Uаb I I РТ РТ   Uab –E U E IRдиф а I b Е U Uab IRдиф Rдиф b а I Uаb Е Uаb Рис. 3.19. Rдиф b РАСЧЕТ РАЗВЕТВЛЕННОЙ СХЕМЫ С ДВУМЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ В такой цепи линейную часть рассматривают как активный четырехполюсник, к входу и выходу которого присоединены нелинейные элементы (рис. 3.20, а). Активный четырехполюсник заменяют пассивным с двумя источниками ЭДС, включенными в ветви с нелинейными элементами (рис. 3.20, б). Значения и направления ЭДС равны значениям и направлениям напряжений на разомкнутых зажимах при одновременном размыкании ветвей с нелинейными элементами. При замене пассивного линейного четырехполюсника, например, Т-образной схемой замещения, исходная схема сводится к нелинейной с двумя узлами (рис. 3.20, в), расчет которой производится графически. НР2 НР1 Е1 Е2 НР1 A П а б Е1 Е2 НР1 в Рис. 3.20. НР2 НР2