Нечеткие системы

1 Лекция 7 Нечеткие системы Рассмотрим формализацию для более сложных форм вывода, таких как если х есть А1, то y есть В1 если х есть А2, то y есть В2 ………………………………… если х есть Аn, то y есть Вn ———-————————— y есть B` В этом случае простое применение композиционного правила невозможно. В этом контексте рассмотрим нечеткий вывод в нечетких системах. Исследуемая предметная область может не иметь аналитического описания, однако эксперты могут описать взаимодействие объектов предметной области посредством лингвистических переменных и правил естественного языка, содержащих качественную оценку ситуации. Основой для описания ситуации является нечеткое высказывание следующего вида: xi есть Xi или xi = Xi, где xi – некоторая величина, Xi – элемент терм-множества лингвистической переменной из исследуемой предметной области. Нечеткая система выполняет отображение из входного пространства A  m в выходное пространство B   . Известно два основных типа нечетких систем «много_входов – один_выход». Системы типа Мамдани имеют правила: Правило i: ЕСЛИ a1 = A1i И a2 = A2i … И aт = Ami ТО bi = Bi; Другой тип – системы типа Такаги-Сугено с правилами следующего вида: Правило i: ЕСЛИ a1 = A1i И a2 = A2i … aт = Ami ТО bi = fi(a1,… am); 2 где fi – функция, определенная на переменных a1 … aт. Для описания отображения входного вектора a в значение b используются методы нечеткой логики, например, аппроксимация Мамдани или метод, основанный на формальном логическое доказательстве. В процессе вывода участвуют операции конъюнкции и дизъюнкции. Задание этих операций на основе триангулярных норм позволяет более гибко настраивать нечеткую систему на исследуемую предметную область. Основные операции нечеткой логики и алгоритмы их выполнения. Рассмотрим способы задания логических операций в нечеткой логике. Нечеткое отрицание по Заде – это унарная операция, определенная как c(a)=1–a, a[0,1], Операция отрицания удовлетворяет следующим свойствам: c: [0,1] [0,1], c(0)=1, c(1)=0, c(c(a))=a, a1,a2((a1,a2[0,1])  ((a1 < a2)(c(a1) > c(a2)))). Операции конъюнкции и дизъюнкции определяются через tнормы и t-конормы. Функция Tn:[0,1]n → [0,1] называется t-нормой (t-нормальной функцией) на интервале [0,1], а функция Sn:[0,1]n → [0,1] называется t-конормой (t-конормальной функцией) на интервале [0,1], если для a1, a2, …, an, d1, d2, …, dn [0,1] указанные функции обладают следующими свойствами (аксиомы t-нормы и t-конормы): коммутативность Tn(a1, a2, …, an) = Tn(ap1, ap 2, …, ap n), Sn(a1, a2, …, an) = Sn(ap1, ap 2, …, ap n), где ap1, ap 2, …, ap n – это перестановки a1, a2, …, an; ассоциативность Tn(a1, a2, …, an) = Ti+1(a1, a2, …, ai, Tn-i(ai+1, …,ak, …, an)) = 3 Tn-j+1(Tj(a1, a2, …, aj), aj+1, …, an)), Sn(a1, a2, …, an) = Si+1(a1, a2, …, ai, Sn-i(ai+1, …,ak, …, an)) = Sn-j+1(Sj(a1, a2, …, aj), aj+1, …, an)); монотонность Tn(a1, a2, …, an) ≤ Tn(d1, d2, …, dn), Sn(a1, a2, …, an) ≤ Sn(d1, d2, …, dn), для всех ai≤ di; граничные условия Tn(a1, a2, …, ai-1, 1, ai+1, …, an) = Tn-1(a1, a2, …, ai-1, ai+1, …, an), Sn(a1, a2, …, ai-1, 0, ai+1, …, an) = Sn-1(a1, a2, …, ai-1, ai+1, …, an), Sn(a1, a2, …, ai-1, 1, ai+1, …, an) = 1, Tn(a1, a2, …, ai-1, 0, ai+1, …, an) = 0. Кроме того, операторы T и S являются двойственными по отношению друг к другу: Tn(a1, a2, …, an) = 1 - Sn((1-a1, 1-a2, …, 1-an)), Sn(a1, a2, …, an) = 1 - Tn((1-a1, 1-a2, …, 1-an)), при условии, что операция отрицания задается как c(a)=1-a. Рассмотрим некоторые t-нормальные и t-конормальные функции. Функции Заде. Для двух переменных функции Заде задаются следующим образом: T(a, b) = min(a, b), S(a, b) = max(a, b); Вероятностные функции. Для двух переменных: T(a, b) = a*b, S(a, b) = a + b – a*b; Функции Лукасевича. Для двух переменных: T(a, b) = max (a + b –1, 0), S(a, b) = min (a + b, 1); Функции Швайцера-Скляра для двух переменных имеют следующий вид: T(a, b) = 1 – ((1 – a)p + (1 – b)p – (1 – a)p * (1 – b)p)1/p, S(a, b) = ( ap + bp – ap * bp)1/p, p>0, 4 Рассмотрим ниже задание операции импликации. Функция I:[0,1] [0,1] → [0,1] является функцией импликации, если она удовлетворяет следующим двум условиям: 1) I(0,0)= I(0,1)= I(1,1)=1; 2) I(1,0)=0. Задание операции импликации зависит от способа описания операций конъюнкции и дизъюнкции. Как правило, операция импликации определяется через операцию дизъюнкции или через функцию t-конормы: a1  a2I(a1, a2)S– a1, a2). Ниже перечислены три наиболее часто применяемые задания импликации S-типа. 1. Импликация на функциях Заде: I(a1, a2)S– a1, a2) = max– a1, a2). 2. Импликация на вероятностных функций: I(a1, a2) – a1+ a2*a1. 3. Импликация Лукасевича: I(a1, a2) min– a1+ a2,1). Возможно задание импликации T-типа, которые основаны на tнорме и не удовлетворяют перечисленным выше двум условиям. Ниже приведены две такие импликации: Импликация по Мамдани: I(a1, a2) mina1, a2). Импликация по Ларсену. I(a1, a2)a2*a1. Нечеткий вывод в нечетких системах. Рассмотрим систему типа Мамдани с правилами вида: Правило 1: ЕСЛИ a1 = A11 И a2 = A21 … И aт = Am1 ТО b1 = B1; ………………………………………………………………………….. Правило i: ЕСЛИ a1 = A1i И a2 = A2i … И aт = Ami ТО bi = Bi; ………………………………………………………………………….. Правило n: ЕСЛИ a1 = A1n И a2 = A2n … И aт = Amn ТО bi = Bn; 5 Для осуществления вывода в такой системе можно воспользоваться композиционным правилом. Однако предварительно нужно выполнить операции конъюнкции (И) и далее операцию объединения (агрегации) n правил. Пусть на вход системы поступают четкие значений x1, x2 (m=2). Требуется определить четкий выход y. Для этого необходимо выполнить следующие операции: 1) фаззификация – для каждого правила вычисляется значения  A1i ( x1 ) и  A2i ( x2 ) ; 2) конъюнкция – объединение посылок в антецеденте каждого правила, используя t-нормальную функцию, получим T (  A1 ( x1 ),  A2 ( x2 )) ; 3) импликация - I (T (  A1i ( x1 ),  A2i ( x2 )), B i ( y )) ; 4) агрегация – получение нечеткого выходного значения из множества объединенных правил или определение итоговой функции принадлежности  B ( y ) . 5) дефаззификация - преобразование итоговой функции принадлежности  B ( y ) в четкое значение y. Структура нечеткой системы оценивания величин представлена на рисунке ниже. База правил x1, x2 Фаззификация y A1(x1) Машина вывода Дефаззификация (y) A2(x2) Структура нечеткой системы. Представим нечеткое правило из базы правил в виде следующего отношения: Ri: A1i ∩ A2i → Bi. (1) Объединив все правила R  n n  R i , где  i 1 i 1 – операция агрега- ции, представим нечеткую систему в виде следующего отношения: 6 R: A1 ∩ A2 → B, где R – нечеткое отношение, определенное на X1  X2  Y. Далее, объединив A = A1 ∩ A2, получим R: A → B. Тогда при поступлении на вход системы нечеткого входного значения D нечеткое выходное значение F, будет получено из следующего уравнения: F(y) = D(x1, x2) ° R(x1, x2, y). где «°» оператор композиции. Если этот оператор определить через max–t-нормальную свертку, то F(y) = sup (T `( D( x1 , x2 ), R( x1 , x2 , y ))) . (2) x1 , x 2 Таким образом, проблема определения нечеткого выбора альтернатив состоит в нахождении отношения R. Пусть на вход нечеткой системы оценивания поступают две четкие оценки x1, x2, на выходе системы требуется получить значение y. Нечеткое правило системы (1) в операторной форме представляется следующим образом: Ri(x1, x2, y) = I(T(A1i(x1), A2i(x2)), Bi(y)), или, с учетом того, что I(a1, a2)S– a1, a2): Ris(x1, x2, y)=S`(c(T(A1i(x1), A2i(x2))), Bi(y)) = S`(S(1-A1i(x1), 1- A2i(x2)), Bi(y)). Заметим, что если t-конормальная функция является параметрической, например, функция Швайцера-Скляра имеет параметр p, то следует различать t-конормальные функции, определяющие импликацию и конъюнкцию (дизъюнкцию), отсюда штрих в обозначении оператора t-конормальной функции. Оператор импликации может быть определен и не классическим путем, например, через t-нормальную функцию: a1  a2I(a1, a2)Ta1, a2), и тогда нечеткое правило системы (1) будет иметь следующий вид: Rit(x1, x2, y)= T` (T(A1i(x1), A2i(x2)), Bi(y)), Выбор оператора для выполнения операции «А_ТАКЖЕ» связан с выбором оператора импликации. Если оператор импликации определен классическим формально-логическим методом через t- 7 конормальную функцию, то оператор «А_ТАКЖЕ» определяется через t-нормальную функцию: RKL (x1, x2, y) = T`( R1s(x1, x2, y), R2s(x1, x2, y), …, Rns(x1, x2, y))= T`(S`(S((1-A11(x1)), (1- A21(x2))), B1(y)), …, S`(S((1-A1n(x1)), (1A2n(x2))), Bn(y))). Если оператор импликации определен через t-нормальную функцию, то оператор «А_ТАКЖЕ» определяется через tконормальную функцию: RM (x1, x2, y) = S`( R1t(x1, x2, y), R2t(x1, x2, y), …, Rnt(x1, x2, y))= S`(T` (T(A11((x1), A21((x2)), B1(y)), …, T` (T(A1n((x1), A2n((x2)), Bn(y)) ). Указанный способ объединения правил совпадает с подходом, основанным на аппроксимации Мамдани. Вернемся к рассмотрению уравнения (2). Если на вход нечеткой системы оценивания поступает не нечеткое значение D, а четкие x1, x2, то, с учетом граничных условий, F(y) = R(x1, x2, y). В системе аппроксимации Мамдани функция принадлежности выходного значения вычисляется следующим образом: FM(y) = S`(T` (T(A11((x1), A21((x2)), B1(y)), …, T` (T(A1n((x1), A2n((x2)), Bn(y)) ), а нечеткий выход в системе оценивания, основанной на формально-логическом подходе: FKL (x1, x2, y) = T`(S`(S((1-A11(x1)), (1- A21(x2))), B1(y)), …, S`(S((1-A1n(x1)), (1- A2n(x2))), Bn(y))). 8 Методы дефаззификации 1. Метод центра тяжести (Centre of Gravity) — благодаря простоте и точности вычислений он имеет наибольшее распространение. Расчет производится по формуле x cg   x ( x)dx X   ( x)dx , X где xcg — результат дефаззификации, чѐткое значение выходной переменной; X — базовое пространство переменной x; μ(х) — функция принадлежности нечеткого множества, соответствующего переменной x. 1.2. Метод центра площади (Bisector of Area). В данном случае ba x определяется из уравнения xba max min xba   ( x)dx    ( x)dx где min и мах — левая и правая точки носителя нечеткого множества переменной x. 1.3. В целях дефазификации нечетких чисел также могут использоваться методы первого или среднего максимума. 9 Пример. Имеется два критерия X1, X2 и пять правил, которым должна соответствовать оцениваемая альтернатива. Правило первое формулируется следующим образом: Если оценка соответствия альтернативы по первому критерию «плохая» и по второму критерию «плохая», то оценка выбора альтернативы «плохая». Аналогично формулируются и остальные правила. R1: ЕСЛИ x1 = «плохая» И x2 = «плохая» ТО y = «плохая» R2: ЕСЛИ x1 = «удовлетворительная» И x2 = «удовлетворительная» ТО y = «удовлетворительная» R3: ЕСЛИ x1 = «плохая» И x2 = «удовлетворительная» ТО y = «удовлетворительная» R4: ЕСЛИ x1 = «удовлетворительная» И x2 = «хорошая» ТО y = «хорошая» R5: ЕСЛИ x1 = «хорошая» И x2 = «хорошая» ТО y = «хорошая» Первое. Необходимо определить функции принадлежности всех нечетких понятий. Для простоты будем считать, что для всех трех нечетких понятий универсумом является интервал [0, 1]. 1 μхорошая μплохая μудовлетворительная xi,y 0.5 1 Пусть имеется альтернатива, у которой соответствие первому критерию равно 0.3, а второму 0.9. Определим четкую оценку данной альтернативы в приведенной системе выбора. Сначала определим аналитические выражения для каждой функции принадлежности: 10 плохая  0.5  x , x  0.5   0.5  0 x  0.5  удовлетвор ительная  x  0.5 ,  1 x   0.5  хорошая  x  0.5 , x  0.5   0.5  0 x  0.5 x  0.5 x  0.5 или 1  2 x, x  0.5 плохая   x  0.5  0 2 x  1, x  0.5  хорошая   x  0.5  0 x  0.5  2 x,  удовлетвор ительная   2  2 x x  0.5 Фаззификация. Определим соответствие ЕСЛИ-частей правил текущей оценке альтернативы: μплохая(0.3) = 0.4; μудовлетворительная(0.3) = 0.6; μхорошая(0.3) = 0; μплохая(0.9) = 0; μудовлетворительная(0.9) = 0.2; μхорошая(0.9) = 0.8. Выполним операцию конъюнкции в каждом правиле, воспользовавшись t–нормой Заде: t(R1) = min(0.4; 0) = 0; t(R3) = min(0.4; 0.2) = 0.2; t(R5) = min(0.0; 0.8) = 0. t(R2) = min(0.6; 0.2) = 0.2; t(R4) = min(0.6; 0.8) = 0.6; Эти значения используются для модификации нечетких термов, указанных в ТО-частях правил: R1: y = «плохая» · 0; R2: y = «удовлетворительная» · 0.2; R3: y = «удовлетворительная» · 0.2; R4: y = «хорошая» · 0.6; R5: y = «хорошая» · 0; 11 Нулевые значения свидетельствуют о нулевом вкладе данного правила в итоговый вывод, поэтому рассмотрим вклады только правил с не нулевыми значениями, а это правила R2 и R3, в ТОчасти которых содержится оценка «удовлетворительная», и правило R4 с оценкой «хорошая». Таким образом, в формировании итогового вывода участвуют две функции принадлежности: «удовлетворительная» и «хорошая». Функция принадлежности «плохая» в итоговый вывод вносит нулевой вклад. Изложенное представим в графическом виде. Обратите внимание на линию, идущую по оси абсцисс. Эта линия, указывает вклад правил R1 и R5. 1 μ(y) 0.6 0.2 μхорошая μудовлетворительная y 0.5 1 Далее проводим агрегацию правил. Воспользуемся для этого t– конормой Заде: 1 μ(y) μхорошая μудовлетворительная y 0.5 0.625 1 Точка пересечения двух прямых находится из уравнения: 0.2·(2–2·x)=0.6·(2·x–1). Дефаззификацию проведем методом центра тяжести: 12 0.5  0.4 x 0.625 2 dx  1  x(0.4  0.4 x)dx  0.6  x(2 x  1)dx 0.5 0.5 0.625 0.5 0.625 1  0.7  0.4 xdx   (0.4  0.4 x)dx  0.6  (2 x  1)dx 0.625 Полученное число (0.7) является оценкой альтернативы. Таким же образом можно получить оценки и других альтернатив, затем проводится их ранжирование по полученным значениям.