Нечеткие подмножества и отношения

Лютфи Аскер Заде PA : U  0,1 (1921) характеристический предикат Нечеткие подмножества 1, x  A, PA ( x)   0, x  A.  A ( x)  0,1 функция принадлежности U  a, b, c, d , e A   x,  A ( x)) | x U   A : U  0,1 A  a | 0, b | 0,1, c | 0,5, d | 0,9, e | 1 Методы построения функции принадлежности 1) прямые методы - для измеримых понятий или при выделении полярных значений A – подмножество действительных чисел, близких к 10 U R   A ( x)  1  x  10  m 1 m N молодой m 1 m4 2) Косвенные методы – при отсутствии измеримых свойств (матрица попарных сравнений) 4) Использование относительных 3) Использование типовых форм кривых частот по данным эксперимента x U  A ( x)   B ( x) A B x U  A ( x)   B ( x)  A B (доминирование) Операции над нечеткими множествами 1. Максиминные: 2. Алгебраические:  A B ( x)  max A ( x),  B ( x)  A B ( x)  min  A ( x),  B ( x)  Aˆ B ( x)   A ( x)   B ( x)   A ( x) B ( x)  AB ( x)   A ( x)   B ( x) 3. Ограниченные:  A B ( x)  min1,  A ( x)   B ( x)  A B ( x)  max0,  A ( x)   B ( x)  1 U  1,2,3,4,5 A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) 1. A  B  (1 | 0,2), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 0,1) 1 A 1 B A U 1 B A B  A B U U U  1,2,3,4,5 A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) 2. A  B  (1 | 0,9), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 1) 1 A 1 A 1 B B 3. U  : [0,1]  [0,1] оператор отрицания  A B U U  - непрерывная функция 1)  (0)  1,  (1)  0 2)  A   B    A     B  3)  - строго убывающая функция (строгое отрицание)       (сильное отрицание)  A ( x)  1   A ( x) - классическое отрицание A  (1 | 0,1), (2 | 0,4), (3 | 0,6), (4 | 1), (5 | 0)  A ( x)   A ( x) x – равновесная точка 1 A U A  B  A  B   A  B   A\ B ( x)  min(  A ( x),1  B ( x)) A\ B  A B A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) 1 B B  (1 | 0,8), (2 | 0,2), (3 | 0,5), (4 | 0,7), (5 | 0,9) A \ B  (1 | 0,8), (2 | 0,2), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 0,9) 1 1 B A 1 U 1 A\ B U Свойства операций Максиминные и алгебраические операции A A  O  A A U Алгебраические и ограниченные операции A  B  C    A  B    A  C  A A  A U 0 U 1 A  B  C    A  B    A  C  0 A A  A Совместное использование A  B  C    A  B    A  C  A ˆ B  C    A ˆ B    A ˆ C  A  B  C    A  B    A  C  A ˆ B  C    A ˆ B    A ˆ C  U  A B 1 A A - множество чисел "от 5 до 8"  A B B - множество чисел "около 4" 1 45 8 1 x B 5 8 1 x x A 1 x 4 x 5 8 Расстояние Хемминга A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) n d ( A, B)    A ( xi )   B ( xi ) i 1 B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) d ( A, B)  0,9  0,2  0,6  0,8  0,4  0,5  0  0,3  1  0,1  1,12 1 n  ( A, B)    A ( xi )   B ( xi ) Относительное расстояние Хемминга n i 1 1,12  ( A, B)   0,224 5 Евклидово расстояние Евклидова норма n e( A, B)    A ( xi )   B ( xi ) 2 i 1  ( A, B)  e( A, B)   ( A, B)  2 e ( A, B)  n   A ( xi )   B ( xi ) 2 i 1 e( A, B) - относительное евклидово расстояние n 0,9  0,22  0,6  0,82  0,4  0,52  0  0,32  1  0,12  0,99 0,99   0,44 5 2,24 Определены и для бесконечных (счетных) множеств Для несчетных множеств:  d ( A, B)    A ( xi )   B ( xi ) dx  0,99 e( A, B)   2   A ( xi )   B ( xi )  dx  A* - ближайшее к нечеткому множеству A A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) A*  1,2,5 Линейный индекс нечеткости: B*  2,3 2 n 0,  A ( x)  0,5,   * ( x)  1,  A ( x)  0,5, A 0 или 1, иначе.  B*  2  ( A)  d ( A, A* ) 0   ( A)  1 2 e( A, A* ) 0   ( A)  1 n 2 2 9  ( A)  d ( A, A* )   0,9  1  0,6  1  0,4  0  0  0  1  1   n 5 25 2 2 2 2 2 2 2   0,33  0,5 0,9  1  0,6  1  0,4  0  0  0  1  1  ( A)  5 5 Квадратичный индекс нечеткости:  ( A)  Свойства ближайших множеств:  A  B *  A*  B*  A  B *  A*  B* 1  A A   A   A* A  A - векторный индикатор нечеткости U ~ A  x |  A ( x)  0 - носитель нечеткого множества A U  1,2,3,4,5 A  (1 | 0,9), (2 | 0,6), (3 | 0,4), (4 | 0), (5 | 1) B  (1 | 0,2), (2 | 0,8), (3 | 0,5), (4 | 0,3), (5 | 0,1) ~ A  1,2,3,5 ~ B  1,2,3,4,5 sup  A ( x) - высота нечеткого множества A U sup  A ( x)  1 - нормальное множество sup  B ( x)  0,8  1 - субнормальное U U унимодальное нечеткое множество  B ( x)   B ( x) sup  B ( x)  2   5   3   1  B  1 | , (2 | 1),  3 | ,  4 | ,  5 |   8   8   8   8  U A  x |  A ( x)    A0,5  1,2,5 A  x |  A ( x)     [0;1] - множество уровня  (-срез) нечеткого множества A - множество строгого уровня   A (a)  0,5 - a – точка перехода нечеткого множества A  A (x  (1   ) y)  min A ( x),  A ( y)  [0,1] - выпуклое множество Множество нечетких подмножеств U n U – конечное четкое множество. М – конечное множество возможных значений характеристической функции. В(U) - множество нечетких подмножеств множества U U={a, b} M={0; 0,5; 1} M m B(U )  mn B(U )  32  9 В(U)= {{(a|0), (b|0)}, {(a|0), (b|0,5)}, {(a|0,5), (b|0)}, {(a|0,5), (b|0,5)}, {(a|0), (b|1)}, {(a|1), (b|0)}, {(a|1), (b|0,5)}, {(a|0,5), (b|1)}, {(a|1), (b|1)}} Обобщение понятия нечеткого множества  ( x) : U  0,1m x U  ( x)  1( x),...,m ( x)  Ai  U i  1,2,...,m  A ( x) : U  B A U A - нечеткое множество L-нечеткие множества L - частично упорядоченное множество, в котором любое непустое подмножество имеет sup и inf, а операции пересечения и объединения удовлетворяют законам дистрибутивности S - нечеткие множеств S - конечное линейно упорядоченное множество "КАЧЕСТВО"= {"плохое", "среднее", "хорошее", "отличное"}. Гетерогенные нечеткие множества Нечеткие отношения четкие отношения R  X1  ... X n  R : X1 ... X n  L нечеткие отношения  R : X Y  [0,1] R y1 y2 y3 x1 1 0,5 x2 0,7 0,6 x1 x2 R – Пары действительных чисел (x,y), в которых x намного меньше y (x<