Нечеткие отношения; операции на нечетких отношениях

Лекция 6-7. НЕЧЕТКИЕ ОТНОШЕНИЯ (4 часа) 1. Определения. Операции на нечетких отношениях. 2. Свойства нечетких отношений. 3. Классификация нечетких отношений. 1. Определения. Операции на нечетких отношениях Пусть и - два универсальных множества. Бинарным нечетким отношением между и называется нечеткое подмножество прямого произведения обозначаемое Символы использованы для обозначения объединения элементов ; называется функцией принадлежности нечеткого отношения . Ее интерпретация аналогична интерпретации функции принадлежности нечеткого множества. - носитель . Переменные называются базовыми. Задать бинарное нечеткое отношение означает указать пары элементов , которые однозначно относятся к или связаны отношением . Затем указать пары , однозначно не связанные отношением . Наконец, определить пары , имеющие промежуточные степени принадлежности , которые интерпретируются как сила связи между элементами и . Если для бинарных отношений имеет место равенство , то говорят, что задано бинарное нечеткое отношение на . Пример 5.1. Примерами нечетких отношений могут служить: " примерно равно "; " много больше "; " предпочтительнее ", . Пример 5.2. Функция принадлежности нечеткого отношения " много больше " может быть определена в виде , Нечеткие бинарные отношения удобно представлять в виде матрицы. Пример 5.3. Пусть - процентная ставка, -активы банка. Составим отношение “банк предпочтительный для размещения вклада”: Рассмотрим основные операции над нечеткими отношениями. Следует подчеркнуть, что нечеткое отношение - это нечеткое множество, поэтому остаются в силе, введенные ранее, определения операций объединения, пересечения и дополнения: . Определение 1. Нечеткое отношение, обратное к , обозначается и определяется выражением: Очевидно, что . При матричном представлении нечеткого отношения , обратное отношение получают из , заменой столбцов на строки. Определение 2. содержится в , тогда и только тогда, когда Определение 3. и совпадают, , тогда и только тогда, когда Пример 5.4. Пусть заданы матрицы нечетких отношений построим их объединение: пересечение: дополнение: инверсия: Первая проекция нечеткого отношения на обозначается и определяется так: Вторая проекция нечеткого отношения на обозначается и определяется так: Пример 5.5. Задана матрица отношения . Вычислим ее проекции ,. ; Действительно, первая проекция: вторая проекция: Цилиндрическое продолжение обозначается и определяется так: , – нечеткое множество. Пример 5.6. Пусть задано нечеткое множество с функцией принадлежности Построим цилиндрическое продолжение : В теории нечетких множеств важную роль играет понятие комбинации двух нечетких отношений. Рассмотрим три четких множества и два нечетких отношения , с функциями принадлежности . Определение 4. Композиция типа нечетких отношений и обозначается и определяется выражением: , Пусть имеет конечное количество элементов и в качестве нормы выбрано , то такая композиция носит название - композиции Пример 5.7. Для проведения социологического исследования выбрано шесть групп людей из разных социальных слоев: по признаку "качество жизни". По мнению ЛПР нечеткие отношения сходства между и с одной стороны, и - с другой, описываются следующими матрицами Тогда нечеткое отношение сходства между и , которое рассчитывается по приведенной ранее формуле: Перечислим некоторые свойства нечетких отношений. Обозначим . Тогда и . . . Кроме того, если , то . Для практических приложений особенно важна композиция нечеткого множества с нечетким отношением , обозначаемая , . Функция принадлежности нечеткого множества задается выражением Конкретная форма записи зависит от нормы и от свойств множества . Определим четыре случая. Если , то получаем композицию Если и содержит конечное число элементов, то получаем композицию Если , то получаем композицию Если и содержит конечное число элементов, то получаем композицию 5.2. Свойства нечетких отношений Нечеткое отношение на называется рефлексивным, если . Нечеткое отношение на называется антирефлексивным, если . Нечеткое отношение на называется симметричным, если ; . Нечеткое отношение на называется антисимметричным, если , . Пример 5.8. Нечеткое отношение " близко к ", является рефлексивным и симметричным отношением. Пример 5.9. Нечеткое отношение рефлексивно (диагональные элементы равны 1). Пример 5.10. Нечеткое отношение " много больше к ", является антирефлексивным и антисимметричным. Пример 5.11. Нечеткие отношения и являются примерами симметричного и антисимметричного нечеткого отношения: ; . В случае, когда рассматривается антисимметричное отношение, следует обратить внимание на следующее: отношение, полученное как пересечение и ему обратное , является матрицей, на главной диагонали которой лежат любые числа из интервала [0,1], а вне главной диагонали все элементы равны нулю. В нашем примере антисимметричного отношения: . Нечеткое отношение на называется - транзитивным нечетким отношением если . Если принять во внимание определение композиции нечетких отношений, то это условие означает, что . Установлено, что для рефлексивного нечеткого отношения , транзитивность означает выполнение равенства или . Транзитивное замыкание нечеткого отношения на , , определяется выражением , - мощность множества . Транзитивное замыкание представляет собой транзитивное нечеткое отношение, а транзитивное нечеткое отношение совпадает со своим транзитивным замыканием. Пример 5.12. Пусть на задана матрица нечеткого отношения , которое рефлексивно и симметрично. Для проверки транзитивности нам необходимо убедиться в справедливости равенства . Получим явный вид матрицы . Следует заметить, что нечеткие отношения обладают свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности тогда и только тогда, когда этими свойствами обладают - срезы этого нечеткого отношения. Пример 5.13. Пусть задана матрица нечеткого рефлексивного, симметричного и транзитивного отношения . Построив - срезы этого отношения , нетрудно убедиться, что все они являются рефлексивными, симметричными и транзитивными отношениями. Действительно, при ; при ; при . 5.3. Классификация нечетких отношений Здесь приводятся некоторые классы нечетких отношений. Нечетким отношением сходства на называется нечеткое отношение, обладающее свойствами рефлексивности и симметричности. Пример 5.14. Нечеткое отношение " – близки друг к другу", с функцией принадлежности , является симметричным и рефлексивным. Действительно, и . Следовательно, является отношением сходства. Нечетким отношением подобия (близости) называется нечеткое отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Пример 5.15. Нечеткое отношение является отношением подобия. Известно, что транзитивное замыкание отношения сходства является отношением подобия (близости). Важную роль в принятии решений при нечеткой информации играет нечеткое отношение предпочтения. Нечетким отношением предпочтения на называется нечеткое отношение, обладающее свойством рефлексивности. При этом интерпретируется как субъективная степень выполнения предпочтения: " не хуже ", обозначаемое . Если , то могут иметь место два случая: либо т.е. либо т.е. , не сравнимы между собой. Определение нечеткого отношения предпочтения обычно дополняет требование линейности для нечетких отношений. В этом случае, на множестве нет несравнимых между собой элементов. Т.е. если , то обязательно . С понятием нечеткого отношения предпочтения связаны нечеткие отношения: строгого предпочтения. Нечетким отношением строгого предпочтения на называется отношение, обладающего свойствами антирефлексивности и антисимметричности. Оно определяется как нечеткое отношение , функция принадлежности которого , здесь - нечеткое отношение предпочтения, заданное на . Известно, что если - транзитивно, то тем же свойством транзитивности обладает . А интерпретируется как степень, с которой элемент строго доминируется элементом . Пример 5.16. Задано отношение нестрогого предпочтения . Построить - строгое отношение предпочтения. Решение. По определению , поэтому составим разность , заменяя в ней отрицательные числа на нули: ; ; Используя отношение строгого предпочтения , с функцией принадлежности , , вводится понятие нечеткого множества недоминируемых элементов Орловского. Нечеткое множество недоминируемых элементов Орловского задается функцией принадлежности ,