Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности. Произведение отношений на нечетких множествах

Лекция 3. Лабораторная работа 2 Нечеткие множества и моделирование в условиях неопределенности Отношения на нечетких множествах Пусть даны нечеткие множества Х и Y. Нечеткое отношение между нечеткими множествами Х и Y представляет собой бинарное отношение, обозначаемое R: Х→Y и описываемое с помощью функции принадлежности от двух переменных R = µR(x,y)/(x,y), где функция принадлежности двух переменных в зависимости от постановки задачи показывает предпочтение или сходство различных элементов х и у из множеств Х и Y. Пример 1. Пусть Х = {x1, x2, x3}, Y= {y1, y2, y3}. Тогда отношение сходства элементов множеств Х и Y (попарного сходства) можно записать в форме (виде) нечеткого множества: сходство = {0,8/(x1,y1); 0,6(x1,y2); 0,3(x1,y3); 0,2(x2,y1); 0,9(x2,y2); 0,8(x2,y3); 0,5(x3,y1); 0,7(x3,y2); 0,7(x3,y3)} или в более удобной матричной форме с помощью матрицы отношений: 0,8 0,6 0,3 R (сходство) = 0,2 0,9 0,8 0,5 0,7 0,7 В реальных задачах примером бинарного отношения сходства может служить оценка фруктов по степени сладости, что, естественно, весьма субъективно. Пусть, например, Х = {яблоко, груша}, Y = {айва, апельсин}. Сравнивая их сладость, вероятней всего будем полагать грушу и апельсин наиболее близкими, нежели грушу и айву. Сравнивая «полезность для организма» мы можем получить совершенно иные оценки. Допустим, мы оценили сходство по степени сладости зрелых фруктов из множеств Х и Y следующим образом (субъективно!): Сходство = {0,7/(яблоко, айва); 0,6/(яблоко, апельсин); 0,3/(груша, айва); 0,9/(груша, апельсин)}. В форме матрицы отношений эта запись будет выглядеть как R = . Другим, также часто используемым отношением, мы отметили отношение предпочтения. Допустим мы строим дом и для различных его частей (стен, кровли, внутренней отделки и пр.) решаем проблему выбора материалов на основе отношения предпочтения из доступных множеств Х и Y, Y и Z, которые включают в себя в качестве элементов такие материалы: Х = {брус, кирпич, пенобетон}, Y = {железо, мягкая кровля, черепица} и Z = {гипсокартон, ракушечник, штукатурка}. Задание 1. Самостоятельно задать нечеткие бинарные отношения предпочтения между множествами Х и Y (обозначьте как R = Х → Y), затем между Y и Z (обозначьте как S = Y → Z) в форме нечетких множеств с бинарными отношениями и в форме матрицы отношений с указанием субъективных значений бинарного отношения предпочтения между элементами множеств. Произведение отношений на нечетких множествах В реальных задачах часто возникает ситуация, когда имея отношения между парами нечетких множеств, например, между множествами Х и Y, между множествами Y и Z, необходимо установить бинарное нечеткое отношение между Х и Z. Одним из возможных вариантов задания такого бинарного отношения выступает операция произведения отношений. Пусть нам заданы два бинарных нечетких отношения R = Х → Y и S = Y → Z. Тогда отношение Х → Z будем понимать как операцию произведения отношений R и S и обозначать R ° S, определяя значение результата операции как максиминное произведение вида: R ° S = {max(min(µ R (x, y), µ S (y, z)))/(x, z)}. Поскольку каждое из представленных отношений R и S мы можем выражать в форме матрицы отношений (для R это матрица отношений элементов нечетких множеств Х и Y, для S – это матрица отношений множеств Y и Z), то операцию R ° S можно понимать как известное из курса линейной алгебры произведение матриц. Отличие будет лишь в том, что если в обычном произведении матриц элемент матрицы-произведения, стоящий в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки первой матрицы и j-го столбца второй, то в нашем случае максиминное произведение заменяет операцию умножения элементов на операцию выбора min (минимального элемента из сравниваемых), а операцию сложения элементов на операцию выбора max (максимального элемента из сравниваемых). Рассмотрим это на примере. Пусть R = и S = . Тогда R ° S = = = = =. Задание 2. Самостоятельно найти произведение бинарных отношений предпочтения между множествами Х и Z, как максиминное произведение отношений R ° S из задания 1 в матричной форме. Подсказка: результат должен быть в форме матрицы 3х3, где каждый из элементов определяется как максимальный из трех минимальных; минимальный определяется сравнением значений заданных бинарных отношений предпочтения. Простые и составные правила вывода на нечетких множествах С использованием различных нечетких множеств А, В и С могут применяться как простые, так и составные правила вывода, более известные нам из математической логики. Например, простое высказывание «если А, то В» в терминах, определенных на нечетких множествах, может звучать как «если дорога скользкая, то езда опасная». Более сложное высказывание «если А, то В, иначе С» в терминах, определенных на нечетких множествах, может звучать как «если дорога скользкая, то езда опасная, иначе не опасная». Простое высказывание можно определить с помощью простого правила вывода и реализовать одной из известных нам по лекции 1 операций над нечеткими множествами. Например: Если А, то В = АхВ, где х - операция декартовое произведение А и В. Более сложное высказывание «если А, то В, иначе С» определяется составным правилом вывода и реализуется уже набором из нескольких простых операций над нечеткими множествами. Например: Если А, то В, иначе С = АхВᴗ̚АхС. Здесь фактический набор операций состоит из пяти операций. Первая операция – определение С = ̚ В, вторая операция – определение ̚А, третья операция – определение декартового произведения ̚АхС, четвертая операция – определение декартового произведения АхВ, пятая операция – объединение полученных нечетких множеств АхВ и ̚АхС. В терминах отношений на нечетких множествах (которые мы только что рассмотрели) мы можем считать, что в результате применения нами простого правила вывода, мы получим новое нечеткое множество связанное с исходным тоже простым отношением. Обозначим его как R1: А → В. В случае более сложного составного правила вывода мы тоже получаем новое нечеткое множество, обозначим его Y = АхВᴗ̚АхС, которое связано уже с двумя исходным нечеткими множествами А и В некоторым отношением (обозначим его как R2). Тогда составное правило вывода становится эквивалентным отношению R2: (А, В) → Y. Задание 3. Пусть А = (0,9/1; 0,1/2; 0,5/3), B = (0,7/1; 0,2/2). Применить к ним составное правило вывода «Если А, то В, иначе С = АхВᴗ̚АхС» и вычислить новое нечеткое множествоY = АхВᴗ̚АхС. Сравнение нечетких множеств. Индексы ранжирования. Одно и тоже составное правило вывода, примененное неоднократно к различным исходным множествам, порождает в итоге набор из нескольких нечетких множеств, которые по необходимости могут сравниваться определенным образом между собой. Для сравнения полученных нечетких множеств строится некоторая четкая функция от нечетких аргументов (нечетких множеств, выступающих в качестве аргументов). Эта функция называется индексом ранжирования. Значение индекса ранжирования дает основание решить вопрос о том, какое из двух (нескольких) нечетких множеств предпочтительнее. Простейшим детерминированным (однозначно определяемым) индексом ранжирования нечетких множеств считается индекс вида: Н(А,В) = sup(a>b) min (µA(a),µB(b)), где sup – есть точная верхняя граница множества. При этом если Н(А,В) > Н(В,А), то А > В (или А предпочтительнее В). Пример. Рассчитаем индексы ранжирования для множеств А = (0,1/1; 0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5); В = (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4; 0,1/5). Тогда Н(А,В) = sup(a>b) min (µA(a),µB(b)) = sup{min(0,1;0,4); min(0,1;0,5); min(0,1;0,9); min(0,1;0,5); min(0,1;0,1); min(0,2;0,4); min(0,2;0,5); min(0,2;0,9); min(0,2;0,5); min(0,2;0,1); min(0,8;0,4); min(0,8;0,5); min(0,8;0,9); min(0,8;0,5); min(0,8;0,1); min(0,4;0,4); min(0,4;0,5); min(0,4;0,9); min(0,4;0,5); min(0,4;0,1); min(0,2;0,4); min(0,2;0,5); min(0,2;0,9); min(0,2;0,5); min(0,2;0,1)} = sup{0,1; 0,1;0,1;0,1;0,1;0,2;0,2;0,2;0,2;0,1;0,4;0,5;0,8;0,5;0,1;0,4;0,4;0,4;0,4;0,1;0,2;0,2;0,2;0,2;0,1} = 0,8. Н(B,A) = sup(b>a) min (µB(b),µA(a)) = sup{min(0,4;0,1); min(0,4;0,2); min(0,4;0,8); min(0,4;0,4); min(0,4;0,2); min(0,5;0,1); min(0,5;0,2); min(0,5;0,8); min(0,5;0,4); min(0,5;0,2); min(0,9;0,1); min(0,9;0,2); min(0,9;0,8); min(0,9;0,4); min(0,9;0,2); min(0,5;0,1); min(0,5;0,2); min(0,5;0,8); min(0,5;0,4); min(0,5;0,2); min(0,1;0,1); min(0,1;0,2); min(0,1;0,8); min(0,1;0,4); min(0,1;0,2)} = sup{0,1; 0,2;0,4;0,4;0,2;0,1;0,2;0,5;0,4;0,2;0,1;0,2;0,8;0,4;0,2;0,1;0,2;0,5;0,4;0,2;0,1;0,1;0,1;0,1;0,1} = 0,8. Как мы видим простейший детерминированный индекс ранжирования дал совпадающие результаты оценки обоих нечетких множеств Аи В. Недостатком детерминированных индексов ранжирования является то, что они не учитывают вид и форму функции принадлежности сравниваемых нечетких множеств. Чтобы избежать отмеченного недостатка может применяться интегральный индекс ранжирования вида H+(А) = ΣМ(Аα)·Δα (сумма по всем Δα); где Аα – α-уровневое подмножество нечеткого множества А; где М(Аα) = , где и Аα. При этом, Нi(A,B) = H+(А) - Н+(В), где если Нi(A,B)>0, то А>В. Интегральные индексы ранжирования дают более точный результат решения (оценки), чем детерминированные индексы. Пример. Пусть имеем те же нечеткие множества А = (0,1/1; 0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5); В = (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4; 0,1/5). Выделяем все α-уровневые подмножества нечеткого множества А. Их у нас получается четыре, при значениях α=0,1 это само множество А, в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 5; при α=0,2 это подмножество (0,2/2; 0,8/3; 0,4/4; 0,2/5), в котором наименьший номер элемента равен 2 и наибольший 5; при α=0,4 это подмножество (0,8/3; 0,4/4), в котором наименьший номер элемента равен 3 и наибольший 4; при α=0,8 это подмножество из одного элемента (0,8/3), в котором наименьший и наибольший номера элементов равны 3. Выделяем все α-уровневые подмножества нечеткого множества В. Их у нас получается также четыре, при значениях α=0,1 это само множество В, в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 5; при α=0,4 это подмножество (0,4/1; 0,5/2; 0,9/3; 0,5/4), в котором наименьший номер элемента равен 1 и наибольший равен 4; при α=0,5 это подмножество (0,5/2; 0,9/3; 0,5/4), в котором наименьший номер элемента равен 2 и наибольший равен 4; при α=0,9 это подмножество из одного элемента (0,9/3), в котором наименьший и наибольший номера элементов равны 3. Рассчитываем теперь значение интегрального индекса для нечетких множеств А и В. H+(А) = ΣМ(Аα)·Δα = H+(в) = ΣМ(вα)·Δα = Окончательно мы видим, что интегральный индекс ранжирования у нечеткого множества В выше, чем у множества А, что при равных значениях простейшего индекса ранжирования у обоих нечетких множеств, позволяет сделать выбор в пользу множества В. Задание 4. Рассчитать простейший и интегральный индексы ранжирования для нечетких множеств А = (0,2/3; 0,8/4; 0,4/5; 0,2/6) и В = (0,1/3; 0,95/4; 0,3/5) и сделать сравнительные выводы.