Начертательная геометрия. Инженерная графика. Параллельные проекции

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ИМПЕРАТОРА ПЕТРА I» Факультет агроинженерный Кафедра прикладной механики ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ Лекции по дисциплине «НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА» по направлению: 35.03.06 «Агроинженерия», профили подготовки бакалавров: «Технические системы в агробизнесе», «Электрооборудование и электротехнологии в АПК», «Технологическое оборудование для хранения и переработки сельскохозяйственной продукции», «Технический сервис в агропромышленном комплексе»; 23.03.03 «Эксплуатация транспортно-технологических машин и комплексов» профиль подготовки бакалавров «Автомобили и автомобильное хозяйство»; для специальности 23.05.01 «Наземные транспортно- технологические средства», специализация: «Автомобильная техника в транспортных технологиях». ВОРОНЕЖ 2018 2 Введение. Метод ортогонального проецирования. Начертательная геометрия – один из разделов геометрии, в котором пространственные формы с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их отображении на плоскости. Эти изображения позволяют мысленно представить форму предметов, их расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать их геометрические свойства. Ряд своих закономерностей начертательная геометрия передает в практику технического черчения и является «грамматикой» инженерной графики. Впервые в истории объединил правила построения изображений, свел их в единый труд французский ученый, геометр, механик, предприниматель и видный общественный деятель французской революции Гаспар Монж в 1795 году. Для самостоятельного изучения курса начертательной геометрии рекомендуется следующая литература. Основная цель изучения дисциплины: - развитие пространственного представления и воображения, конструктивногеометрического мышления, способностей к анализу и синтезу пространственных форм и отношений на основе графических моделей пространства, практически реализуемых в виде чертежей конкретных пространственных объектов и зависимостей; - освоения комплекса « Единой системы конструкторской документации» (ЕСКД), по правилам разработки и обращения чертежей, приобретения навыка в выполнении конструкторских и рабочих чертежей; - подготовка обучающихся к грамотному выполнению конструкторских документов при изучении специальных курсов. Обучающийся при изучении курса начертательной геометрии и инженерной графики должен четко себе представлять, что чертежи выполняют две задачи. Прямая задача – построение конструкторского документа (работа конструктора, проектировщика). Обратная задача – изготовление по чертежу деталей, сборочных единиц (работа машиностроительных предприятий, цехов и т.д.). Место дисциплины в учебном процессе. Дисциплина базируется на материалах, излагаемых в курсах черчения, геометрии (раздел «Стереометрия»), рисования. Знания и навыки, полученные при изучении данной дисциплины, будут использоваться при освоении большинства общеинженерных и специальных дисциплин. 3 Лекция №1 Методы проецирования. Исторический очерк. В начертательной геометрии рассматриваются в основном три метода проецирования: центральное проецирование (Рис.1), параллельное проецирование (Рис.2) и проекции с числовыми отметками. Ввиду того, что для инженеров – механиков методы центрального проецирования и метод числовых отметок практически не используется, они в данной работе не рассматриваются. Студент должен научиться выполнять «прямую» и «обратную» задачи. Параллельное проецирование (цилиндрическое) Если считать, что все проецирующие лучи параллельны между собой или центр проекций удален в бесконечность, то такое проецирование называют параллельным. Параллельная проекция точки А (Рис. 3), есть точка пересечения проецирующего луча, проведенного через данную точку параллельно направлению проекции. Направление проекции может быть выбрано под любым произвольным углом к плоскости проекции. Если этот угол  менее 90о , то такое проецирование называют косоугольным (точка А). Частный случай параллельного проецирования, когда угол  равен 90˚, такой метод проецирования называют прямоугольным или ортогональным. (Рис.3, точка В). Для построения машинностроительных чертежей применяется в основном ортогональное проецирование. Косоугольное проецирование используется в редких случаях, как дополнительное при решении ряда задач. Свойства параллельного проецирования 1. Проекция прямой есть прямая. 2. Если точка лежит на прямой, то и ее проекции будут находиться на проекциях этой прямой. 3. Если в пространстве точка делит отрезок прямой в отношении m:n, то и проекция этой точки делит проекцию этой прямой в том же отношении (Рис.4а). 4. Если отрезок прямой располагается параллельно плоскости проекции, то он проецируется на нее в натуральную величину. 5. Если отрезок прямой совпадает с направлением проецирования, то он проецируется в точку (вырожденная проекция) (Рис.4б). 6. Если прямые в пространстве параллельны друг другу, то и их проекции параллельны. 4 Система двух плоскостей проекции. Это метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекции. Одна плоскость располагается вертикально, а другая горизонтально и обозначаются как: V – фронтальная плоскость проекции. H – горизонтальная и линия пересечения их, как ось координат Х. Горизонтальная плоскость осью Х делится на переднюю и заднюю полу, а фронтальная на верхнюю и нижнюю часть. Все окружающее пространство, таким образом, делится на четыре четверти (квадранта), нумерация которых приведена на (Рис.5). Наиболее часто употребляется 1 квадрант. Такую систему из передней полы плоскости Н и верхней части плоскости V пересекающихся по оси Х сокращенно называют системой V/H. Эту систему предложил Гаспар Монж в 1795 году, и она сохранилась до настоящего времени. После 1815 года «Проективная геометрия» Гаспара Монжа преподавалась сначала в Англии, затем в Германии, а потом в России. Первый ученый, который преподавал начертательную геометрию в России, разработал русскую терминологию и опубликовал учебник на русском языке, был профессор Санкт-Петербургского института «Корпуса инженеров путей сообщения» Севостьянов Яков Александрович. С тех пор и до настоящего времени дисциплина «Начертательная геометрия» преподается на первых курсах всех инженерных факультетов Вузов. К настоящему времени издано большое количество учебников по начертательной геометрии разных авторов. В основе своей это повторение учебника Гордона А.В., рекомендованного выше. Отличие этих учебников состоит в том, что в них приняты различные обозначения геометрических элементов. Такими учебниками можно пользоваться, освоив систему обозначений. Лекция №2 Метод Монжа. Точка, прямая в плоскости. Система двух плоскостей проекций (повторение). Это метод параллельного ортогонального проецирования на две взаимно перпендикулярные плоскости проекции. Одна плоскость располагается вертикально, а другая горизонтально и обозначаются как: V – фронтальная плоскость проекции. H – горизонтальная и линия пересечения их, как ось координат Х. Горизонтальная плоскость осью Х делится на переднюю и заднюю полу, а фронтальная на верхнюю и нижнюю часть. Все окружающее пространство, таким образом, делится на четыре четверти (квадранта), нумерация которых приведена на (Рис.5). Наиболее часто употребляется 1 квадрант. Такую систему из передней полы плоскости Н и верхней части плоскости V пересекающихся по оси Х сокращенно называют системой V/H. Эту систему предложил Гаспар Монж в 1795 году, и она сохранилась до настоящего времени. После 1815 года «Проективная геометрия» Гаспара Монжа преподавалась сначала в Англии, затем в Германии, а потом в России. Первый ученый, который преподавал начертательную геометрию в России, разработал русскую терминологию и опубликовал учебник на русском языке, был профессор Санкт-Петербургского института «Корпуса инженеров путей сообщения» Севостьянов Яков Александрович. С тех пор и до настоящего времени дисциплина «Начертательная геометрия» преподается на первых курсах всех инженерных факультетов Вузов. К настоящему времени издано большое количество учебников по начертательной геометрии разных авторов. В основе своей это повторение учебника Гордона А.В., рекомендованного выше. Отличие этих учебников состоит в том, что в них приняты различные обозначения геометрических элементов. Такими учебниками можно пользоваться, освоив систему обозначений. 5 Точка в системе двух плоскостей проекции Построение точки в системе V - H (Рис.6) производится проведением перпендикуляров к соответствующим плоскостям проекции. Точки пересечения этих перпендикуляров определяют проекции точки А на плоскости проекций и обозначаются как, а′ на фронтальной плоскости и а на горизонтальной. (Прямая задача – построение чертежа точки).Проецирующие прямые Аа и Аа перпендикулярны к плоскостям V и H и образуют некоторую плоскость перпендикулярную плоскостям проекций. При пересечении этой плоскости с плоскостями проекции образуются две прямые, ааx и аxа в пространстве взаимно перпендикулярные. Следовательно: проекции точек располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций X и пересекают эту ось в одной точке. Наоборот – если даны проекции точки А на плоскостях V и Н то, восстановив перпендикуляры к соответствующим плоскостям в их пересечении получим точку А. Таким образом, две проекции точки на плоскостях проекции определяют положение этой точки в пространстве. (Обратная задача – нахождение точки по ее проекциям). Развернув переднюю полу плоскости Н вокруг оси Х до совпадения ее с плоскостью Vполучим две проекции точки А на одном перпендикуляре к оси Х (линия связи). Полученный чертеж называется эпюром Монжа или просто эпюр. Иногда его называют комплексным чертежом (Рис.7). Здесь нет пространственной наглядности взаимного положения точки и плоскостей проекции, но такие чертежи позволяют с достаточной точностью производить различные преобразования и измерения сложных пространственных фигур. Так на (Рис. 7) отрезок ааx – есть расстояние от точки А до плоскости V, а ааx расстояние до плоскости Н. Расстояние от точки А до оси проекции Х – есть гипотенуза треугольника с катетами аxа и аxа.Линии связи необходимо проводить для однозначного определения точки в пространстве. Точка в системе трех плоскостей проекции Для более наглядного представления формы, размеров и расположения геометрических образов на чертеже иногда необходимо вводить третью плоскость проекции W, которая перпендикулярна первым двум и называется профильной плоскостью проекции. При пересечении ее с плоскостями V и H появляются еще две оси проекций Z и Y взаимно перпендикулярные у которых точка О является началом координат всех трех. Для получения комплексного чертежа горизонтальную и профильную плоскости разворачивают до совпадения их с фронтальной плоскостью проекции (Рис.8а). В системе V, H,W (Рис.8б) пространственное положение точки А определяется тремя отрезками: ааz до плоскости W, ааx до плоскости Н и ааx до плоскости V. Перейдя к чертежу и построив линии связи, убеждаемся в простоте и доступности всех необходимых измерений. Так расстояние от точки А до плоскости V определяется отрезком аах, до плоскости 6 Н отрезком ааx, а до плоскости W - ааz. Таким образом, истинные величины расстояний от точки в пространстве до плоскостей и осей проекций определяются и измеряются, как отрезки на чертеже. Пример построения третьей проекции точки А по двум известным показан на (Рис 8) Ось Z проводится исходя из композиции чертежа, если нет определенных условий. Прямая Если соединить точки А и В получим прямую в пространстве (Рис.9а), а на чертеже соединить одноименные проекции этих точек то получим комплексный чертеж некоторого отрезка, расположенного в пространстве V,H (Рис.9б). Такие прямые не параллельные и не перпендикулярные плоскостям проекций называются прямыми общего положения и на эти плоскости проекции они проецируются с искажением. При ортогональном проецировании проекции прямых всегда равны или меньше натуральной величины. Прямые частного положения Если прямая в пространстве параллельна только горизонтальной плоскости проекции, то на нее она проецируется в истинную величину (Рис.10), а на фронтальную плоскость с искажением, но параллельно оси Х. Такая прямая называется горизонтальной или просто горизонталью. Если прямая параллельна плоскости V, то на нее она отразится в истинную величину, а на горизонтальную плоскость параллельно оси Х и называется фронталью (Рис.11). Если прямая перпендикулярна V или H, то на эти плоскости такие прямые проецируются в точку, а на другие плоскости проекции перпендикулярно оси Х и в натуральную величину. Такие прямые называются проецирующими. АВ – горизонтально проецирующая, СD – фронтально проецирующая, ЕF – профильно – проецирующая прямая. (Рис.12). Вырождение отрезка прямой в точку на одной из проекций не противоречит первому свойству, параллельного проецирования. Считается, что в этом случае проецируется прямая не имеющая длины на чертеже. Принимая такую классификацию расположения прямых в пространстве, легко представить в пространственном воображении их взаимное расположение, видеть проекции, где они проецируются в истинную величину, производить различные преобразования при решении графических задач. Лекция №3 Натуральная величина прямых. Взаимное положение прямых. Определение натуральной величины прямых. 7 Все прямые частного положения имеют проекцию, на которой они видны в натуральную величину. Только прямая общего положения при проецировании искажается. На чертеже 13 изображена прямая АВ общего положения по отношению к плоскости Р. Из чертежа видно, что истинная величина прямой есть гипотенуза прямоугольного треугольника AВ1(abBo) у которого один из катетов есть, проекция прямой на плоскость(ab), а другой равен разности расстояний крайних точек отрезка от плоскости Р. Следовательно: чтобы получить истинную величину прямой общего положения необходимо на любой ее проекции построить прямоугольный треугольник, у которого вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка от плоскости проекции, а угол между натуральной величиной и проекцией, есть угол наклона прямой к плоскости проекции, на которой происходит построение. Этот метод называется методом прямоугольного треугольника для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения (Рис.13). Точка и прямая Точка принадлежит прямой, если на чертеже ее одноименные проекции располагаются на одноименных проекциях прямой и на общем перпендикуляре к оси Х (Рис.14). Точки В, С, D не лежат на прямой L, так как их одноименные проекции не совпадают с проекциями прямой. Условию принадлежности отвечает точка А у которой и фронтальная и горизонтальная проекции совпадают с соответствующими проекциями прямой. Следы прямой Точки пересечения прямой с плоскостями проекции называются следами прямой и обозначаются: M (mm) – горизонтальный след; N (nn) – фронтальный (Рис15). Одноименные проекции следов лежат на одноименных проекциях прямой. 8 Для нахождения следов прямой по заданным проекциям необходимо продолжить фронтальную (горизонтальную) проекцию прямой до пересечения ее с осью проекций и из этой точки восставить перпендикуляр до пересечения его с продолжением другой проекции прямой. Полученная точка есть горизонтальный (фронтальный) след прямой (Рис.16,17). На чертеже римскими цифрами указаны четверти пространства, через которые проходит прямая. Взаимное положение прямых Возможны три случая: параллельные, пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. 1. Параллельные прямые. Прямые параллельны между собой, если параллельны их одноименные проекции (Рис.18). Это соответствует шестому свойству параллельного проецирования. 2. Пересекающиеся прямые. Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные проекции так же пересекаются, а точка их пересечения К, лежит на общем перпендикуляре к оси проекций (Рис.19 а,б). 3. Скрещивающиеся прямые. Если на чертеже одноименные проекции двух прямых не параллельны и не пересекаются, то такие прямые скрещиваются. (Рис.20). Признак скрещивающихся прямых в том, что у них нет общей точки пересечения. Частные случаи проецирования прямого угла 1.Прямой угол проецируется в натуральную величину в том случае если, он располагается параллельно какой либо плоскости проекции. 2.Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна какой либо плоскости проекции и является горизонталью или фронталью (Рис.21). Это правило позволяет решать ряд метрических задач. 9 Задача. Требуется определить кратчайшее расстояние от точки А до прямой частного положения (Рис.22). Прямая L горизонталь. Кратчайшее расстояние от точки до прямой есть перпендикуляр, опущенный из точки А на горизонтальную проекцию прямой. Отрезок АВ в проекциях – прямая общего положения. Поэтому необходимо определить его натуральную величину. Гипотенуза треугольника abВo есть искомая величина расстояния. В данном случае натуральную величину искомого расстояния определили методом прямоугольного треугольника. В дальнейшем будет освоено не менее четырех разных способов определения натуральной величины отрезка прямой гораздо более простых и удобных. Лекция №4 Плоскость, взаимное положение точки, прямой и плоскостей. Точка Плоскость на чертеже не удается задать непосредственно. Ее изображают с помощью других геометрических образов: тремя точками, не лежащими на одной прямой, прямой и точкой вне ее, параллельными прямыми, пересекающимися прямыми, любым плоским геометрическим образом(Рис.24а,б,в,г.). Плоскость так же задается следами. Следами плоскости называются линии пересечения ее с плоскостями проекции. Различают и соответственно обозначают фронтальный, горизонтальный и профильный следы плоскости, а так же точки схода следов на осях проекции. (Рис.25 а,б). Горизонтальная проекция фронтального следа, а так же фронтальная проекция горизонтального следа на чертеже не обозначается и не подписывается. 10 Прямая и точка в плоскости Прямая принадлежит плоскости, если ее соответствующие следы лежат на следах плоскости или две ее точки принадлежат плоскости. Наоборот: плоскость проходит через прямую, если ее следы проходят через одноименные следы прямой (Рис.26). Задача 1: найти следы плоскости заданной параллельными и пересекающимися прямыми. Найдем следы прямых и через них проведем следы плоскости (Рис.27а). Задача 2.: плоскость задана треугольником АВС. Требуется в этой плоскости расположить точку К на высоте 30 мм от горизонтальной плоскости. Решение: проведем в плоскости горизонтальную прямую на высоте 30 мм от плоскости Н. Любая точка этой прямой (1-2) будет отвечать решению задачи. (Рис.27 б). Положение плоскости относительно плоскостей проекции 1. Плоскость общего положения – есть плоскость не параллельная и не перпендикулярная плоскостям проекции и пересекает все три оси проекции (Рис.25). 2. Плоскость перпендикулярная к одной из плоскостей проекции называется проецирующей. а). Горизонтально проецирующая плоскость – есть плоскость перпендикулярная к горизонтальной плоскости проекции. Точки, прямые, фигуры, лежащие в этой плоскости проецируются на горизонтальный след плоскости в виде точки или прямой. (Рис.28). 11 б). Плоскость перпендикулярная к фронтальной плоскости проекции называется фронтально проецирующей. Фигуры в этой плоскости проецируются на фронтальный след в виде прямой линии. (Рис.29). Плоскости перпендикулярные двум плоскостям проекции(параллельные третьей) в). Плоскость перпендикулярная V и H называется профильной плоскостью, она параллельна плоскости W. Все фигуры в этой плоскости на профильную плоскость проецируются в натуральную величину. г). Плоскость перпендикулярная плоскостям V и W _ горизонтальная плоскость она параллельна плоскости Н; все фигуры в этой плоскости на горизонтальную плоскость проецируются в натуральную величину (Рис.30) плоскость Р. д). Плоскость перпендикулярная плоскостям проекции H и W параллельна плоскости V - вертикальная (фронтальная) плоскость Q (Рис30). Такие плоскости чаще всего будут применяться для решения задач на взаимное пересечение геометрических тел, прямой с телами и поверхностями и т.д. Лекция №5 Пересечение прямой и плоскости. Видимость на чертеже. Пересечение двух плоскостей. Линии особого положения в плоскости (главные линии плоскости) Линии особого положения в плоскости это: горизонтали, фронтали, линии наибольшего наклона к плоскости проекции. Горизонталями плоскости называются прямые, лежащие в ней и параллельные горизонтальной плоскости проекции. Горизонтальная проекция горизонтали всегда параллельна горизонтальному следу плоскости. Построение такой прямой начинается с фронтальной проекции, которая идет параллельно оси Х.(Рис.31). Фронталями плоскости называются линии лежащие в плоскости и параллельные плоскости V. Гори- 12 зонтальная проекция фронтали параллельна оси Х, а фронтальная проекция, параллельна фронтальному следу плоскости. (Рис.32). Линиями наибольшего наклона плоскости к плоскостям проекции называются прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные к ее главным линиям (фронтали или горизонтали); или к соответствующим следам плоскости. (Рис.33 а,б, линии ската).Прямые, лежащие в плоскости и перпендикулярные к фронтальному следу есть линии наибольшего наклона к плоскости V. Взаимное положение двух плоскостей Две плоскости могут быть или параллельны или пересекаться. Если две плоскости параллельны между собой то: а) одноименные следы таких плоскостей параллельны; б) одноименные проекции линий особого положения в этих плоскостях параллельны; в) две пересекающиеся прямые или две параллельные прямые в этих плоскостях параллельны (Рис.34). Плоскости P и Q параллельны между собой, т.к. параллельны их одноименные следы, главные линии и любые две пересекающиеся прямые, лежащие в этих плоскостях. Если две плоскости в пространстве не параллельны, то они пересекаются. В этом случае возникает необходимость в определении линии пересечения таких плоскостей. Чтобы построить такую прямую необходимо: или найти две точки, принадлежащие этой прямой, или одну из точек и знать направление прямой (Рис.35 а,б,в). Прямая и плоскость Возможны три варианта взаимного положения прямой и плоскости: а) прямая лежит в плоскости; б) прямая параллельна плоскости; в) прямая пересекает плоскость – в этом случае возникает задача в определении точки пересечения прямой с плоскостью. Для определения взаимного положения прямой и плоскости применяется правило, состоящее из трех действий: 1.Через заданную прямую следует провести вспомогательную проецирующую плоскость. 2.Построить линию пересечения плоскости заданной и плоскости введенной. 3. Проанализировать взаимное положение двух прямых: заданной и полученной в пересечении плоскостей. 13 Возможны три варианта их расположения: а) заданная прямая и полученная прямая – совпадают: вывод – прямая лежит в плоскости. (Рис.36 а). б) заданная и полученная прямые параллельны – прямая параллельна плоскости (Рис.36 б). в) Заданная и полученная прямые пересекаются – прямая пересекает плоскость в точке пересечения заданной и полученной прямых. (Рис.37 а,б). При пересечении прямой с плоскостью возникает вопрос в определении видимости на чертеже. Определяется видимость по методу конкурирующих точек. Из двух конкурирующих точек видима та, у которой координата на другой проекции больше. . На (Рис.38) точки 5 и 6 конкурируют. Видима на горизонтальной проекции точка 5 т.к. у нее расстояние от оси Х на фронтальной проекции больше. Аналогично определяется видимость на фронтальной проекции чертежа. Правилом определения взаимного положения прямой и плоскости пользуются для построения линии пересечения двух плоскостей, заданных не следами. Видимость на чертеже Видимость на чертеже определяется методом конкурирующих точек. Из двух конкурирующих точек на чертеже видима та, которая имеет большую координату на другой плоскости проекции. На рисунке 23 видима точка В, в первом случае и точка С во втором. Этим приемом пользуются при решении большинства задач на пересечение плоскости с прямой, взаимное пересечение плоскостей, пересечение геометрических тел плоскостью и пересечение прямой с телами и поверхностями. При построении линии взаимного пересечения геометрических тел так же необходимо определять крайние точки видимости, в которых видимая часть линии пересечения тел уходит на невидимую сторону. 14 Построение линии пересечения плоскостей, заданных не следами. Для решения этой задачи отыскиваются точки пересечения двух прямых одной плоскости с поверхностью другой. Совершенно не принципиально, для каких прямых и от какой плоскости искать точки встречи. Это определяется только композицией чертежа. На (Рис.39) проведен пример определения линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками. Определены точки встречи двух прямых одного треугольника с плоскостью другого и определена видимость на чертеже. Для этого определим точки встречи прямых EF и DF c плоскостью АВС. По общему правилу: заключаем фронтальную проекцию прямой DF во фронтально проецирующую плоскость RV. Находим линию пересечения этой плоскостью треугольника АВС (прямая 1-2). В горизонтальной проекции в точке пересечения прямой DF и 1-2 получим точку пересечения этой прямой с плоскостью треугольника (М). Аналогично найдем точку пересечения прямой EF c треугольником АВС, но здесь заключим горизонтальную проекцию этой прямой в горизонтально проецирующую плоскость РН получим точку N. Видимость прямых определим методом конкурирующих точек. Перпендикулярность прямой и плоскости Прямая перпендикулярна плоскости если она перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости. Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон есть главная линия плоскости. Поэтому сначала на чертеже следует провести в плоскости горизонталь и фронталь или воспользоваться следами плоскости. Направление перпендикулярное плоскости проводится перпендикулярно фронтальному следу плоскости или перпендикулярно фронтальной проекции фронтали и перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или горизонтальному следу плоскости (Рис.40). Это правило позволяет решать на чертеже ряд метрических задач. Определение расстояния от точки до плоскости (Рис.41), расстояние между параллельными плоскостями, построение геометрических фигур заданного размера и т.д. Перпендикулярность плоскостей Плоскость, перпендикулярно заданной, проводят: а) через прямую перпендикулярную другой плоскости; б) перпендикулярно прямой, лежащей в этой плоскости. Принципиально это одно и 15 то же, т.к. поменяв местами первую и вторую плоскости, мы получим аналогичный результат. Пример построения перпендикулярных плоскостей приведен на (Рис.42). Здесь требуется построить две плоскости перпендикулярные заданной плоскости P, перпендикулярно которой расположена пря мая MN. Любая плоскость, проходящая через соответствующие следы прямой MN, будет перпендикулярна заданной плоскости Р. В данном случае это плоскости Q и T. Прямая MN перпендикулярна плоскости Р так как ее проекции перпендикулярны соответствующим следам этой плоскости. Прямая MN лежит в этих плоскостях так как ее следы лежат на следах этих плоскостей, следовательно плоскости T и Q перпендикулярны плоскости Р (случай б). На (Рис.43) приведен пример построения взаимно перпендикулярных плоскостей заданных не следами. Требуется построить плоскость четырехугольником, задав ее главными линиями, проходящими через точку Е, делящую сторону АВ в отношении 2:3 и перпендикулярно стороне ВС. Горизонталь и фронталь этой плоскости перпендикулярна стороне ВС, следовательно, эти плоскости перпендикулярны между собой. Определив видимость на чертеже методом конкурирующих точек, и заштриховав видимую часть одной из них, получим решение задачи. Лекция №6 Методы преобразования чертежа. Различные методы преобразования чертежей дают возможность перейти от общих случаев расположения геометрических образов в пространстве к частным случаям, в которых решение геометрических задач выполняется значительно проще. Решения, полученные в преобразованном виде, затем возвращаются в первоначальное положение в готовом виде. К этим способам относятся: метод вращения, метод перемещения, метод совмещения, метод перемены плоскостей проекции и метод вспомогательного косоугольного проецирования. Метод вращения. Вращение точки вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции. При вращении точки А вокруг оси перпендикулярной плоскости Н на чертеже траектория этой точки перемещается по дуге окружности радиуса оа, а фронтальная проекция этой же точки перемещается по прямой перпендикулярной оси вращения (прямая l); т.е. параллельно оси X (Рис.44). Аналогично происходит вращение точки вокруг оси перпендикулярной фронтальной плоскости проекции. При этом дуга, по которой вращается точка, проецируется на фронтальную плоскость проекции, а на горизонтальной плоскости проекции эта дуга вырождается в прямую, перпендикулярную оси вращения. 16 Вращение прямой вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции. Такое вращение предпринимают для определения натуральной величины прямой общего положения. Наиболее простое решение этой задачи представляется в том случае, если ось вращения провести через один из концов отрезка. В этом случае решение задачи сводится к повороту одной точки прямой (второй конец отрезка) до частного положения прямой параллельной фронтальной или горизонтальной плоскости проекции. (Рис 45). Вращение плоскости вокруг осей перпендикулярных плоскостям проекции. Если плоскость общего положения задана следами (Рис.46), а требуется поставить ее в проецирующее положение, то, проведя ось вращения l, следует, прежде всего, определить точку пересечения этой оси с заданной плоскостью. Для этого достаточно через эту прямую провести горизонталь или фронталь и точка k будет определена. Затем перпендикуляр от оси вращения к следу плоскости нужно поставить параллельно оси X. В этом случае след плоскости расположится перпендикулярно оси X , а другой след плоскости пройдет через точку k. Плоскость стала проецирующей. Этот метод позволяет решить классическую задачу определения расстояния от точки до плоскости одним вращением. На (Рис.47) задана плоскость Р общего положения и точка А вне этой плоскости. Требуется определить расстояние от А до заданной плоскости. Проведем ось вращения l и определим ее пересечение с плоскостью, как в предыдущем случае. Затем повернем плоскость в проецирующее положение; при этом повернется и заданная точка. В этом преобразованном положении расстояние от точки до плоскости определится величиной перпендикуляра к фронтальному следу плоскости и в его касании фронтального следа появится точка основания перпендикуляра – точка встречи с плоскостью. В принципе задача решена. Если требуется вернуться в первоначальные проекции, то горизонтальная проекция этого перпендикуляра будет параллельна оси X, а затем, двигаясь в обратном направлении нужно построить отрезок в заданных проекциях. Двойное вращение Двойное вращение лучше всего продемонстрировать на примере определения натуральной величины плоскости общего положения, заданной треугольником. Натуральная величина его будет спроецирована на плоскость проекции, если треугольник расположится ей параллельно. Для этого первым поворотом поставим треугольник АВС в проецирующее положение (Рис.48). Для этого горизонтальную проекцию горизонтали cd повернем вокруг оси О до положения перпендикулярного оси X. Вторым поворотом вокруг оси F, поставим плоскость треугольника параллельно плоскости Н. В этом случае плоскость треугольника проецируется в истинную величину. 17 Вращение вокруг осей параллельных плоскостям проекции. При таком вращении траекторию точки, где окружность искажается в эллипс, на чертеже не показывают. На другой плоскости проекции эта окружность вырождается в прямую линию, расположенную перпендикулярно оси вращения. На чертеже 49 даны горизонталь L и точка А вне этой прямой. Требуется определить расстояние от точки до прямой. На горизонтальной проекции вращение точки представится в виде отрезка перпендикулярного горизонтали (ak). Это прямая общего положения; определив натуральную величину, которой методом прямоугольного треугольника, расположим ее на продолжении перпендикуляра, определяющего траекторию вращения точки. Этот способ позволяет решить задачу определения натуральной величины треугольника вращением всего одной точки. Проведем в треугольнике АВС (Рис.50) горизонталь CD. Точка С из вращения исключена. Повернем точку В вокруг горизонтали, как указано выше. Точка А будет вращаться по перпендикуляру к горизонтали, а прямая АВ проходить через точку D. Лекция №7 Методы преобразования чертежа. Плоскопараллельное перемещение (вращение без указания осей). Для определения натуральной величины прямой АВ, вращая ее вокруг осей перпендикулярных горизонтальной плоскости, расположим ее параллельно оси X – прямая станет фронталью и на фронтальной плоскости проекции будет видна в натуральную величину. Рис 51. Сами оси вращения здесь не показываются и дуги, по которым поворачиваются точки, не чертят. Рис.51 18 Метод совмещения (вращение вокруг осей расположенных в плоскости проекции) Этот метод аналог предыдущему, и используется чаще всего при плоскостях заданных следами. Плоскость вращают вокруг следа до совмещения ее с плоскостью проекции. В этом случае все фигуры в плоскости проецируются в натуральную величину. Если необходимо определить угол между следами плоскости Р, (Рис. 52) то, совместив ее с плоскостью Н, мы получим решение задачи. На следе Pv берем точку n′ и от горизонтальной проекции точки n проводим перпендикуляр к горизонтальному следу плоскости. Это есть вырожденная в прямую дуга окружности - траектория вращения этой точки, а пересечение ее с дугой радиуса n′Px даст совмещенное положение этой точки. Через нее проходит совмещенный след плоскости Pv1. В совмещенном положении с плоскостью Н лежит заданная плоскость, а угол  определяет угол между следами плоскости в пространстве. Совмещенная плоскость сохраняет все свои свойства; т.е. горизонталь этой плоскости параллельна горизонтальному следу, фронталь фронтальному, линии ската перпендикулярны соответствующим следам. Пример: дана плоскость Р и горизонтальная проекция отрезка АВ. Требуется построить в плоскости равнобедренный прямоугольный треугольник (Рис.53). Решение: 1) Найдем фронтальную проекцию заданной прямой, проведя через концы отрезка главные линии. 2) Совместим плоскость Р с H. 3) В совмещенном положении строим заданный прямоугольный равнобедренный треугольник. 4) Проведем через его концы главные линии: горизонтали или фронтали и найдем их совмещенное положение. 5) Обратным вращением расположим построенный треугольник в пространстве на соответствующих главных линиях. Метод совмещения позволяет легко определять натуральную величину различных фигур в плоскости общего положения. Это необходимо делать при определении натурального вида сечения тела плоскостью. Метод совмещения применяют чаще всего при определении натуральной величины сечения тела плоскостью для последующего построения развертки поверхности этого тела. Секущая плоскость в этом случае должна быть задана следами. Совмещением можно достаточно просто определить натуральную величину отрезка прямой общего положения, лежащего в плоскости, заданной следами. Этот же метод применим при необходимости построения заданной фигуры в плоскости при ее определенных параметрах. В этом случае строят совмещенное с какой либо плоскостью проекции следы плоскости. В ней строят заданную фигуру, а затем обратным вращением помещают ее в обычные ортогональные проекции. 19 Лекция №8 Методы преобразования чертежа. Метод перемены плоскостей проекции Этот метод в отличие от предыдущих сохраняет пространственное положение геометрических образов в неподвижности, а сами плоскости проекций меняют свое положение так, чтобы в новых проекциях геометрические элементы заняли частное положение. При перемене плоскостей проекции новую плоскость всегда располагают перпендикулярно оставшейся. Линии связи точек идут перпендикулярно новой оси. Координаты точек в новой плоскости проекции, всегда перпендикулярны новой оси проекции и равны координатам этих же точек на плоскости, от которой отказались. Последовательно меняют только одну плоскость проекции. Это не значит, что нельзя сменить две и более (Рис.54). При определении натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо новую плоскость проекции поставить параллельно одной из ее проекции. Тогда в новой системе плоскостей этот отрезок будет прямой частного положения (фронталью или горизонталью) т.е. отразится в натуральную величину (Рис.55). Одновременно с определением натуральной величины мы получим и угол наклона прямой к той плоскости проекции, которую не меняли. Метод перемены плоскостей проекции применим и в том случае, когда плоскость задана следами. На (Рис.56) задана плоскость общего положения Р и точка А вне ее. Переменим плоскости проекции, отказавшись от плоскости Н, и введя новую плоскость проекции Н1 Новую плоскость расположим перпендикулярно следу Pv. Отложив координаты точки А и следа PH со старой плоскости в новую получим плоскость в новой системе проекций проецирующую. В этом случае расстояние от точки до плоскости определится, как перпендикуляр к горизонтальному следу. Одновременно получим и основание перпендикуляра точку К, которую можно перенести в первоначальные проекции. Двойная перемена плоскостей проекции. Этот случай применяют для определения величины двугранного угла между плоскостями, расстояния между параллельными или скрещивающимися прямыми, расстояния от точки до прямой или плоскости и пр. На (Рис.57) требуется определить величину двугранного угла при ребре АВ двух треугольников ABC и ABD. Откажемся от плоскости V и введем новую плоскость проекции V1, расположив ее параллельно отрезку АВ. Проведем линии связи перпендикулярно новой оси проекции X1 и отложим координаты всех точек с плоскости от которой оказались. В этой проекции ребро двугранного угла расположено параллельно плоскости V1 поэтому при второй перемене оно обратится в точку, если новую плоскость проекции расположить перпендикулярно ребру АВ. Заменив плоскость проекции Н на Н1 и, отложив 20 координаты всех точек с плоскости от которой отказались, мы оба треугольника сделали проецирующими, а угол между ними в этом случае отразится в истинную величину (). Метод вспомогательного косоугольного проецирования. Этот метод применяется при решении ряда задач без громоздких дополнительных построений. Косоугольное проецирование применяется в ортогональных проекциях. Направление косоугольного проецирования выбирается параллельно какой либо плоскости проекции и на чертеже обозначается стрелками в обеих плоскостях проекции. На чертеже (Рис. 58) показано построение косоугольной проекции точки А. Метод позволяет определить точку пересечения профильной прямой АВ с плоскостью без построения третьей проекции (Рис 59). Для этого указываем направление косоугольного проецирования параллельно фронтальному следу плоскости стрелками параллельно фронтальному следу в обеих проекциях (S). Косоугольная проекция прямой линии, представится в виде отрезка ak – bk. В точке пересечения этого отрезка с горизонтальным следом плоскости получим косоугольную проекцию точки пересечения прямой с плоскостью kk. Теперь обратным движением против направления косоугольного проецирования находим ортогональные проекции искомой точки К. Лекция №9 Пересечение многогранников плоскостью. Развертки. Построение проекций многогранников Построение проекций многогранников сводится к построению на плоскостях проекций точек (вершин многогранников) и прямых (ребер многогранников). Грани многогранников при этом образуются контурами многоугольников. Проецируя на плоскость проекции точек – вершины многогранника затем соединяем их прямыми – ребрами заданной пирамиды или призмы (Рис 60). Аналогично получают вторую проекцию тела. Двух проекций многогранника обычно бывает достаточно для чтения чертежа и решения графических задач. К третьей или другим проекциям обращаются при преобразовании чертежа или когда двух изображений недостаточно. 21 Пересечение многогранников плоскостью Для построения плоских фигур, получаемых при пересечении тела плоскостью, сначала находят точки встречи ребер этого многогранника с заданной плоскостью. Полученные точки соединяют замкнутой линией с учетом видимости. Различают метод ребер и метод граней. Метод ребер описан выше. При методе граней находят сразу линии пересечения граней многогранника с заданной плоскостью. Пример построения линии пересечения прямой трехгранной призмы плоскостью, заданной треугольником дан на Рис. 61. Применим на этой задаче оба метода. Ввиду того, что задана прямая призма – линия сечения ее на горизонтальной проекции будет совпадать с горизонтальной проекцией призмы. Для нахождения фронтальной проекции линии сечения по методу ребер проведем через горизонтальную проекцию ребра 1 прямую mn. Находим ее фронтальную проекцию mn и где эта линия пересекает ребро, находим первую точку 1. Для построения остальных двух точек линии пересечения воспользуемся методом граней. Для этого через грань призмы проведем прямую lk. Найдем фронтальную проекцию этой прямой lk. В пересечении этой прямой с гранью призмы получим сразу искомую линию 23. Соединив полученные точки ломаной линией с учетом видимости, получим сечение тела плоскостью. Натуральную величину сечения определим методом вращения вокруг горизонтали. На рисунке 62 дан пример построения линии пересечения трехгранной пирамиды плоскостью общего положения, заданной следами. Найдем точки встречи ребер пирамиды SA и SC, заключив их в плоскости T и R , получим точки пересечения ребер 1и 2. Перенесем эти точки в горизонтальную проекцию на соответствующие ребра пирамиды. Точку 3 найдем в пересечении следа Рн и продолжения прямой CB. Соединив полученные точки в горизонтальной и фронтальной плоскости проекции чертежа, получим искомую линию пересечения. Натуральную величину сечения определим методом совмещения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекции. Развертки многогранников. Разверткой поверхности тела называют совмещение ее с плоскостью. Развертка призмы может быть осуществлена двумя способами. 22 Рис.65 Способ №1. а). Пересечь призму плоскостью перпендикулярной ребрам. б). Определить длины отрезков ломаной линии в сечении. в). Развернуть ломаную линию в прямую и на перпендикулярах к точкам 1,2,3, отложить длины отрезков ребер в обе стороны. Соединив полученные точки концов отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. При необходимости можно к этой развертке пристроить два основания призмы (Рис. 63). Способ №2. а). Параллелограммы – грани призмы разбивают на треугольники диагоналями. б). Определяют величину сторон этих треугольников. в). Последовательно строят эти треугольники до получения полной развертки. На рисунке 64 дан пример построения развертки боковой поверхности усеченной призмы по первому способу. Переменой плоскостей проекции определим натуральную величину боковых ребер призмы и в этой плоскости проекции проведем секущую плоскость Q перпендикулярно ребрам. На рис. 62 дано сечение пирамиды плоскостью, а на рисунке 65 построена развертка ее усеченной части. На чертеже пирамиды предварительно методом вращения найдены натуральные величины боковых ребер пирамиды и положения на них точек сечения. Сначала строится развертка полной поверхности пирамиды, а затем ее усеченной части. Лекция №11 Пересечение тел вращения плоскостью. Развертки. Пересечение криволинейных поверхностей плоскостью Для нахождения кривой линии, получаемой при пересечении поверхности плоскостью общего положения, следует находить точки пересечения образующих этой поверхности с заданной плоскостью. При этом обязательным требованием является нахождение характерных точек: наивысшей и наинизшей, крайних точек видимости, точек перегиба кривой если таковые есть. Полученные точки следует соединить плавной лекальной кривой с учетом видимости. Пересечение цилиндрической поверхности плоскостью общего положения. Цилиндр такой плоскостью пересекается по эллипсу, у которого большая ось совпадает с линией ската плоскости, проходящей через ось цилиндра. По этому сначала проведем вспомогательную секущую горизонтально проецирующую плоскость N через ось цилиндра перпендикулярно горизонтальному следу. Эта плоскость пересечет цилиндр по прямоугольнику, а заданную плоскость Р по линии ската. В пересечении этих линий получим наивысшую и наинизшую точки (1,2)- это большая ось эллипса. Малая ось эллипса всегда перпендикулярна большой оси и равна диаметру цилиндра. Поэтому горизонталь плоскости (5,6) есть малая ось. Крайние точки видимости найдем с помо- 23 щью фронтальной плоскости Q, проходящей через ось цилиндра. Фронталь заданной плоскости определит крайние точки видимости 3,4. Если полученных точек недостаточно для построения искомой линии необходимо найти ряд промежуточных для чего нужно воспользоваться горизонтальными или проецирующими плоскостями. На горизонтальной проекции эллипс в сечении плоскостью цилиндра будет совпадать с его очерком. Для нахождения натуральной величины сечения воспользуемся методом совмещения. Совместив плоскость Р с горизонтальной плоскостью проекции, получим искомый эллипс в натуральную величину (Рис 66). Пересечение конической поверхности плоскостью общего положения. Коническая поверхность плоскостью общего положения пересекается по эллипсу (гипербола, парабола, круг, треугольник) центр которого не совпадает с осью конуса. Задача решается аналогично предыдущей, т.е. находим с помощью вспомогательных секущих плоскостей характерные точки линии пересечения. Натуральную величину сечения определим методом перемены плоскостей проекции. Сначала поставим конус в положение, при котором плоскость Р станет проецирующей, а затем параллельно новой плоскости проекции (Рис. 67). Пересечение не линейчатых поверхностей плоскостью Пересечение шаровой поверхности плоскостью. Шар всегда любой плоскостью пересекается по кругу. На чертеже этот круг искажается в эллипс разного размера в зависимости от положения секущей плоскости. На рисунке 68 показан пример пересечения шара проецирующей плоскостью Р. Если задана плоскость общего положения, то ее методом преобразования всегда можно поставить в проецирующее положение. Задача может быть решена различными способами. Можно применить классический метод вспомогательных секущих плоскостей. В этом случае проще всего выбрать в качестве таковых фронтальные или горизонтальные плоскости, которые будут пересекать шаровую поверхность по кругам различного диаметра. В пересечении с заданной плоскостью получится прямая линия. При взаимном пересечении этих геометрических образов находятся искомые точки, которые затем надо соединить плавной кривой с учетом видимости. На чертеже применен метод перемены плоскостей проекции. Отказавшись от фронтальной плоскости проекции, поставим новую V1 параллельно секущей плоскости Р и построим шаровую поверхность в новой системе, в которой сечение предстанет в виде круга в натуральную величину. Большинство характерных точек возьмем непосредственно из чертежа. При необходимости нахождения промежуточных точек фронтальные вспомогательные секущие плоскости дадут необходимое их количество. Пересечение торроидальной поверхности. Тор в поперечном сечении плоскостью, проходящей через ось вращения тора, дает окружность равную диаметру. При пересечении тора плоскостью поперек оси вращения в сечении получаются окружности различного диаметра, размер которого зависит от удаленности плоскости от оси симметрии тора в продольном направлении. Если тор пересекать плоскостью параллельно оси вращения то в сечении получаются не закономерные замкнутые кривые линии, которые по мере приближения секущей плоскости к оси вращения пре- 24 вращаются в знак бесконечности, а затем распадаются на две замкнутые кривые линии. На рисунке 68а показан чертеж сечения тороидальной поверхности плоскостью, параллельной оси вращения. Размеры продольной оси овала, получаемого в сечении, берется непосредственно из чертежа, а ширина его определяется переносом соответствующих точек на поперечное сечение тора. На чертеже дана одна четвертая часть тора и фронтально проецирующая плоскость Р. Построение сечения видно из чертежа. Натуральная величина сечения определена методом перемены плоскостей проекции. Отказавшись от горизонтальной плоскости проекции Н, введем новую плоскость Н1, а все размеры, необходимые для построения возьмем из плоскости, от которой оказались. Развертки криволинейных поверхностей. Развертка цилиндра. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник с длиной равной длине окружности цилиндра (2R) и шириной равной высоте цилиндра. Для построения развертки усеченной части, (см. рис. 66) горизонтальную проекцию его разбивают на равные части. Чем больше число делений окружности, тем точнее будет построение развертки. Длину развертки определим, как длину окружности основания цилиндра, а высоту из чертежа (Рис 69). Разобьем длину прямоугольника на равное число отрезков и натуральную величину образующих возьмем из фронтальной проекции чертежа. Для этого спроецируем точки деления окружности на построенный эллипс и отложим эти величины образующих на соответствующих местах развертки. Полученные точки соединим плавной лекальной кривой (синусоидой). Для построения полной развертки усеченного цилиндра необходимо к основанию развертки пристроить окружность, равную диаметру цилиндра, а к кривой развертки натуральную величину эллипса. Развертка конуса. Боковая поверхность конуса разворачивается в сектор с углом при вершине  r  360 , где r – радиус основания l конуса, а l – длина образующей. Окружность в основании конуса делится на равное число частей, и проводятся образующие конуса к его вершине. В пересечении этих образующих с эллипсом в сечении конуса определяются точки для развертки. Сектор с углом  делится на то же число частей, что и основание конуса, и к вершине сектора проводят образующие, на которые откладывают их натуральные величины. Размеры усеченных образующих проще всего получить методом вращения промежуточных точек на очерковые образующие конуса. Разрезают поверхность для развертки или по наименьшей или наибольшей образующей. Лекция №11 Взаимное пересечение поверхностей. Построение точек пересечения прямой линии с поверхностями В общем случае для нахождения точек входа и выхода прямой линии и геометрического тела, необходимо эту линию заключить в плоскость, (желательно проецирующую) затем построить сечение тела плоскостью и в пересечении заданной прямой линии и полученного сечения тела определятся искомые точки. 25 Пересечение прямой линии с многогранниками Пример №1 (Рис 71). Дана прямая трехгранная призма и прямая линия L. Требуется найти точки входа и выхода заданной прямой линии и поверхности тела. В данном примере нет необходимости вводить дополнительную секущую плоскость т.к. задана прямая призма, а у нее боковые грани это проецирующие плоскости. Следовательно, в данном случае достаточно спроецировать точки пересечения отрезка прямой и очерка призмы на горизонтальной проекции во фронтальную и задача будет решена. Если задачу решать строго по правилу, то и в этом случае мы получим тот же результат. Пример № 2. (Рис 72). Дана наклонная трехгранная призма и прямая линия L. Требуется отыскать точки входа и выхода этой прямой и поверхности призмы. В этой задаче следует строго придерживаться правила решения. Проведем через фронтальную проекцию прямой l' фронтально проецирующую плоскость Q и построим в горизонтальной проекции линию сечения призмы этой плоскостью. В результате получим треугольник 1-2-3. Пересечение этого треугольника с заданной, прямой даст искомые точки MN, которые нужно перенести во фронтальную проекцию. Пример №3. (Рис 73). Дана трехгранная пирамида S и отрезок прямой L. Построить точки пересечения прямой с поверхностью пирамиды. Для решения задачи проведем через прямую L, горизонтально проецирующую плоскость Р. Она пересечет пирамиду по треугольнику, который по соответствующим точкам построим на фронтальной проекции. В местах пересечения этого треугольника и заданной прямой L найдутся точки входа и выхода ее с поверхностью пирамиды. После этого следует полученные точки спроецировать на горизонтальную проекцию по линиям связи. Если ребро SB профильная прямая, то можно построить третью проекцию чертежа, тогда точка 3 определится из построения. Пересечение прямой линии с криволинейными поверхностями. Решение этих задач не отличается от предыдущих и требует так же строгого применения правила определения на чертеже этих точек. Вспомогательные секущие плоскости следует выбирать так, чтобы заданное тело пересекалось по простым фигурам. Однако для этого зачастую невозможно воспользоваться проецирующими плоскостями т.к. они пересекают поверхность по кривым линиям, как закономерным, так и незакономерным. В таких случаях используют плоскости общего положения, которые на чертеже задают или тремя точками, не лежащими на оной прямой, или пересекающимися прямыми, или используют методы преобразования чертежа. Все эти приемы показаны на следующих примерах. Пример №1 (Рис 74). Дан прямой круговой конус и отрезок прямой линии L. Требуется построить точки пересечения этого отрезка с поверхностью конуса. В любом случае необходимо воспользоваться методом вспомогательных секущих плоскостей. Заданный отрезок необходимо заключить во вспомогательную секущую плоскость. Однако, в данном случае, рекомендованные ранее вспомогательные секущие плоскости частного положения предо- 26 пределяют достаточно сложное построение линии сечения такой плоскостью тела. Поэтому в данном случае можно воспользоваться плоскостью общего положения, включающую в себя заданный отрезок прямой и вершину конуса. Такая вспомогательная секущая плоскость пересечет конус по треугольнику. Для построения этого треугольника зададим вспомогательную секущую плоскость двумя пересекающимися прямыми: заданной прямой L, и прямой пересекающейся с ней в точке К и проходящей через вершину конуса S. Два горизонтальных следа этих отрезков позволят провести горизонтальный след секущей плоскости Р. Пересечение этого следа с основанием конуса даст две точки сечения 3 и 4. Третьей точкой является вершина конуса S. В местах пересечения этого треугольника и заданного отрезка прямой L получим искомые точки входа и выхода этой прямой и поверхности конуса MN. Полученные на горизонтальной проекции точки следует перенести во фронтальную проекцию. Если построение этих точек на горизонтальной проекции затруднено, то треугольник в пересечении конуса плоскостью следует построить во фронтальной проекции и отыскать искомые точки там. Пример № 2 (Рис. 75). Дана наклонная цилиндрическая поверхность, имеющая круг в горизонтальном сечении и отрезок прямой L общего положения. В задаче требуется найти точки входа и выхода этой прямой на поверхности цилиндра. Как и в прошлой задаче, проецирующая плоскость пересечет цилиндр по ле-кальной эллиптической кривой, построение которой требует не менее 12 точек. Если воспользоваться плоскостью общего положения, проходящую через прямую L и параллельную образующим цилиндра, то такая плоскость пересечет его поверхность по простой фигуре (параллелограмму). Зададим вспомогательную секущую плоскость заданной прямой и пересекающую ее в точке К, прямой F. Горизонтальные следы этих прямых определят положение горизонтального следа секущей плоскости и параллелограмм в сечении цилиндра. Точки пересечения параллелограмма и прямой L дадут искомое положение точек входа и выхода прямой с поверхностью цилиндра. Пример №3. (Рис. 76). Дана полусфера и прямая АВ. Найти точки пересечения ее с поверхностью шара. В данном примере можно воспользоваться методом перемены плоскостей проекции, т.к. шаровая поверхность любой плоскостью пересекается по окружности. Переменим горизонтальную плоскость проекции Н на новую Н1. Координаты всех точек в новой плоскости проекции возьмем из плоскости проекции, от которой отказались. В новой плоскости проекции построим окружность, полученную в сечении шара, плоскостью Р. Радиус окружности определится из чертежа. Точки пересечения этой окружности и заданной прямой АВ определят искомые точки входа и выхода прямой с поверхностью сферы. Далее следует перенести эти точки (MN) в первоначальные проекции. Пример № 4. (Рис. 77). Дана торроидальная поверхность вращения и отрезок прямой АВ общего положения. 27 Требуется определить точки пересечения прямой с поверхностью тора. В данной задаче, не удается воспользоваться каким либо методом, позволяющим облегчить решение задачи, как в предыдущих примерах. Поэтому, заключив прямую во фронтально проецирующую плоскость Р, с помощью дополнительных горизонтальных секущих плоскостей T и R, построим незакономерную замкнутую кривую пересечения тора плоскостью Р. Общие точки этой кривой и заданного отрезка, есть искомые точки пересечения (MN). Их следует перенести во фронтальную проекцию. Лекция №12 Взаимное пересечение поверхностей Имеется два способа построения линии пересечения поверхностей: метод вспомогательных секущих плоскостей (плоскостей посредников) и метод вспомогательных секущих сфер (сфер посредников). Метод вспомогательных секущих плоскостей является универсальным методом. С его помощью можно решить любую задачу. Однако ряд задач гораздо проще и нагляднее решается методом секущих сфер, но этот метод имеет ряд ограничений. При использовании метода секущих плоскостей положение их в пространстве следует выбирать так, чтобы оба пересекающихся тела давали в сечении простые геометрические фигуры. Если представляется возможность, то следует выбирать плоскости частного положения или плоскости общего положения, пересекающие фигуры по образующим. Следует помнить, что всегда при пересечении поверхностей линия их пересечения бывает замкнутой. Такая линия может быть одна или несколько, но и в таких случаях каждая, из линий начинаясь в одной точке, к этой же точке придет. Обязательно при решении задач на пересечение поверхностей необходимо определить характерные точки линии пересечения. Это точки входа ребер, если они есть, наивысшие и наинизшие точки линии, крайние точки видимости и другие, если они есть. Пример №1. (Рис 78). Найти линию пересечения двух наклонных цилиндров. На чертеже представлено наглядное изображение решения такой задачи. Вспомогательные секущие плоскости общего положения параллельные между собой. Для нахождения направления этого следа из точки А, расположенной в свободном поле чертежа, проводят две прямые параллельные образующим цилиндра, находят их следы (m и n) и через них определяют положение и направление следов секущих плоскостей. В точках пересечения этих параллелограммов определятся искомые общие для двух цилиндров точки, которые затем следует соединить плавной лекальной кривой с учетом видимости. Направление следов секущих плоскостей предварительно определяют в свободном поле чертежа. Эти плоскости проводят в пределах двух тел. Количество плоскостей нужно брать минимальное, но достаточное для надежного построения линии пересечения. Обязательным условием считается нахождение характерных точек: наивысшей и наинизшей, крайних точек видимости, характерных точек закономерных кривых, точек перелома или перегиба кривых, входа ребер одного тела в поверхность другого и второго в первое. Пример №2. Заданы: наклонный цилиндр и конус требуется найти линию их пересечения. В этой задаче секущие плоскости будут общего положения, и исходить из одной прямой параллельной образующей цилиндра и проходящей через вершину конуса. Этот пучок плоскостей будет пересекать цилиндр по параллелограммам, а конус по треугольникам. 28 Крайние секущие плоскости должны быть касательными к обоим телам и определять необходимые общие точки в пределах обоих тел (Р1 – касательная образующей цилиндра, а Р2 – касательная образующей конуса). Все остальные секущие плоскости пройдут между этими следами. Пример №3. Заданы два наклонных конуса S1 и S2 требуется найти линию их взаимного пересечения. В данном случае лучше всего воспользоваться вспомогательными секущими плоскостями общего положения, проходящими через прямую, соединяющую вершины конусов. Из этой прямой будет исходить пучок вспомогательных секущих плоскостей общего положения, пересекающих оба конуса по треугольникам. В этих треугольниках две точки определятся в пересечении плоскости с основанием конуса, а третьей точкой будет его вершина. Взаимное пересечение треугольников даст общие точки для обеих поверхностей конусов, Эти точки принадлежат искомой линии пересечения. Крайние вспомогательные секущие плоскости (Р1 и Р2), это касательные плоскости к первому и второму конусу. Между ними следует ввести достаточное количество промежуточных секущих плоскостей. Полученные точки следует соединить плавной лекальной кривой с учетом видимости линии на чертеже. Взаимное пересечение многогранников При отыскании линии пересечения многогранников необходимо найти точки входа и выхода ребер одного многогранника с гранями второго, затем ребер второго с гранями первого. Полученные точки следует соединить пространственной ломаной линией с учетом ее видимости. Пример№1. Даны два геометрических тела: прямая трехгранная призма и трехгранная пирамида. (Рис. 81).Требуется построить линию их взаимного пересечения. Если отыскивать точки входа и выхода всех ребер со всеми гранями, то необходимо решить 15 задач, как того требует правило. Внимательно проанализировав чертеж можно с уверенностью сказать, что все верхние и нижние ребра призмы, а так же ребра Е и К не пересекаются с поверхностью пирамиды. Так же ребра основания пирамиды АВС и ребро СS не пресекается с поверхностью призмы. Более того, нет необходимости отыскивать точки входа и выхода ребер BS и AS, так как боковые грани призмы, проецирующие плоскости и эти точки (1,2,3,4) можно взять из чертежа. Остается определить точки пересечения ребра F c поверхностью пирамиды. В данном случае необходимо применить правило определения этих точек в полном объеме. Для этого проведем вспомогательную горизонтально проецирующую секущую плоскость Р через ребро F. Эта плоскость пересечет пирамиду по треугольнику MNS, который во фронтальной проекции определит точки 5 и 6. Все полученные точки следует соединить ломаной пространственной линией (1,3,5,4,2,6,1) с учетом видимости на чертеже. На горизонтальной проекции линия пересечения тел будет совпадать с очерком призмы в пределах двух поверхностей, так как боковые грани призмы, проецирующие плоскости. Пример№2. Построить линии пересечения двух трехгранных пирамид ABCS и EFKT (Рис. 82). По примеру предыдущей задачи сначала отметим точки, принадлежащие линии пересечения тел непосредственно из чертежа. Это точки пересечения оснований пирамид (1,2,3,4,5,6). Все они лежат в горизонтальной плоскости проекции и на фронтальной плоскости совпадают с осью Х. Для нахождения точек пересечения ребер TF и TE, воспользуемся секущими плоскостями общего 29 положения, проходящими через вершины пирамид. Линия, соединяющая эти вершины, даст один след этих плоскостей, а точки F и E вторые точки следов. Эти плоскости пересекут поверхность пирамиды S по треугольникам, которые в пересечении с ребрами TF и TE дадут искомые точки 7,8. В данном примере поверхности пересекаются по трем замкнутым линиям пересечения. Пересечение поверхностей многогранника (призмы) и тела вращения (сферы) Пример№1. Даны геометрические тела: прямая трехгранная призма и полусфера. Требуется построить линию их взаимного пересечения (Рис 83). Прежде всего, необходимо определить характерные точки. Для нахождения точек пересечения ребер призмы с шаром, воспользуемся вспомогательными фронтальными секущими плоскостями T1 и T2, которые будут пересекать поверхность сферы по полуокружностям различных радиусов. Определятся точки 1,2,3. Затем найдем крайние точки видимости 4,5, для этого проведем фронтальную плоскость Т4 через центральную ось шара. Эта плоскость пересечет шар по наибольшему радиусу, а призму по прямоугольнику. Для нахождения наивысших точек линии пересечения из центра шара проведем перпендикулярные прямые к граням призмы и через эти точки проведем вспомогательную секущую плоскость Т3. Пересечение полукруга и прямоугольника даст искомые точки 6,7. При недостатке точек для точного построения линии пересечения можно воспользоваться дополнительными секущими плоскостями горизонтальными или фронтальными, которые дадут ряд промежуточных точек. Соединив полученные точки с учетом видимости, получим искомую линию пересечения тел. На горизонтальной проекции чертежа линия пересечения тел будет совпадать с очерком призмы т.к. боковые грани ее горизонтально проецирующие плоскости. Пример№2. Заданы тела: шестигранник и соосный с ним конус. Построить линии их пересечения. (Рис 84). При пересечении конуса плоскостью параллельной оси вращения поверхность конуса пересекается по кривой линии второго порядка – гиперболе. В данном случае таких кривых на чертеже будет шесть по числу граней призмы. Характерные точки линий пересечения определятся из разных проекций геометрических тел. Обычно эти кривые (гиперболы) на чертежах строят приближенно, как циркульные кривые. В машинно-строительных деталях эти линии получаются на головках болтов и гайках при наличии фасок. 30 Взаимное пересечение тел вращения Метод вспомогательных секущих плоскостей. Пример№1.Заданы два тела вращения: цилиндр и конус (Рис 85). Требуется построить линию их взаимного пересечения. В данном примере можно воспользоваться горизонтальными или фронтально проецирующими вспомогательными секущими плоскостями. Прежде всего, отметим, что на фронтальной проекции линия пересечения тел будет совпадать с очерком цилиндра, т.к. поверхность его фронтально проецирующая. Точки 1 и 2 перенесем из фронтальной проекции в горизонтальную на крайнюю левую образующую конуса. Крайние точки видимости 31 и 32 получим с помощью горизонтальной секущей плоскости Rv, которая пересекает цилиндр по очерку, а конус по окружности, радиус которой, определим из фронтальной проекции. Низшие точки (51 и 52) на чертеже совпадут с основанием конуса, так как цилиндр и конус лежат на горизонтальной плоскости проекции. Дополнительные промежуточные точки (61 и 62) получим с помощью горизонтальной секущей плоскости Рv. Она пересечет конус по окружности, а цилиндр по прямоугольнику. В пересечении этих линий найдем нужные точки. Можно воспользоваться фронтально проецирующей секущей плоскостью Tv. Она пересечет конус по треугольнику с вершиной в точке S, а цилиндр по прямой. Эта плоскость позволит определить четыре промежуточных точки сечения. Соединив полученные точки плавной лекальной кривой с учетом ее видимости, получим решение задачи. Пример№2. Даны два геометрических тела: прямой круговой цилиндр и полусфера. Задача решается горизонтальными или фронтальными вспомогательными секущими плоскостями. На горизонтальной проекции линия сечения тел совпадет очерком цилиндра. На рисунке 86 точки 1,2 и 5 взяты из чертежа. Промежуточные точки определены с помощью секущих плоскостей Т1 и Т2. Линия пересечение цилиндра этими плоскостями на горизонтальной проекции будет совпадать с его очерком, а полусфера будет пересекаться по окружностям различного радиуса, который определится из фронтальной проекции. Это определит положение промежуточных точек 3 и 4. Метод вспомогательных секущих сфер В этом методе вместо вспомогательных секущих плоскостей применяют вспомогательные секущие сферы. Способ имеет ряд ограничений. Метод секущих сфер применим если: 1. - взаимно пересекаются два тела вращения; 2. - оси вращения этих тел так же пересекаются; 3. - плоскость, образованная этими осями параллельна какой либо плоскости проекции. Этот метод позволяет решать ряд задач гораздо проще и быстрее, чем методом вспомогательных секущих плоскостей. Другое преимущество этого метода в том, что линия пересечения тел строится на одной проекции, не прибегая к построениям на другой. Это особенно ценно, если на другой проекции предполагается выполнить разрез. 31 Метод основан на том, что секущая сфера с центром на оси вращения тела пересекает его по плоской окружности, которая на чертеже вырождается в прямую линию (Рис 87). Здесь сферы секущие и касательные к телам вращения, показанные в одной проекции, пересекают тела вращения по прямым линиям, соединяющим точки пересечения очерков фигур. При одновременном пересечении двух поверхностей такие плоские окружности, вырожденные в прямые линии, определяют общие точки на поверхностях тел вращения. Минимальную секущую сферу берут вписанную в одно из тел так, чтобы другое тело ей пересекалось. Если центры секущих сфер исходят из одной точки, то этот способ называется методом концентрических секущих сфер. Пример№1. Дано: полусфера и прямой круговой цилиндр (Рис 88). Требуется построить линию их взаимного пересечения. Задача аналогична той, которая представлена на рисунке 86. Этот примет можно решить методом секущих сфер, так как оба тела вращения, оси их пересекаются (у шара любая прямая, проходящая через центр, может считаться осью), и плоскость этих осей параллельна фронтальной плоскости проекции. В данной задаче нет необходимости проводить сферу минимального радиуса, так как точки 2 определяются из горизонтальной проекции чертежа. Центр концентрических секущих сфер может быть расположен в любой точке оси цилиндра. Эти сферы пересекут заданные поверхности по плоским окружностям, которые в пересечении дадут точки 3 и 4. На горизонтальной проекции линия пересечения тел будет совпадать с очерком цилиндра. Пример№2. Заданы два геометрических тела: усеченный конус и наклонный цилиндр (Рис 89). Требуется построить линию их пересечения. Задача достаточно легко решается методом вспомогательных секущих сфер. Оба тела – тела вращения. Оси вращения их пересекаются. Плоскость, образованная этими осями, параллельна фронтальной плоскости проекции. Сначала отметим точки, которые определяются чертежом (1 и 2). Затем проведем минимальную секущую сферу №1, вписанную в конус и пересекающую цилиндр. В точке пересечения плоских окружностей вырожденных в прямые линии, получим две точки 3, расположенные друг за другом. Следующая секущая сфера №2 пересечет оба тела вращения и в пересечении плоских окружностей, определятся точки 4. Таких вспомогательных секущих сфер необходимо взять достаточное количество, чтобы провести искомую линию. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения тел проще всего привязаться к поверхности конуса. Найденные точки лежат на окружностях, полученных в результате построения линии пересечения. Следует от каждой точки опустить линию связи и на ней засечками, радиусами равными окружностям, взятым из фронтальной плоскости, отметить искомые точки. В двух проекциях необходимо, полученные точки соединить плавными лекальными кривыми линиями с учетом видимости. 32 Пример№3. Заданы геометрические тела: усеченный конус и четвертая часть торроидальной поверхности (Рис. 90). Оба тела вращения, но оси вращения их не пересекаются и являются скрещивающимися прямыми. Задача не подходит под ограничения метода сфер. Однако ее можно решить методом эксцентрических секущих сфер (метод с блуждающим центром). По аналогии с предыдущими задачами, отметим точки, определяемые чертежом (1 и 2). Затем необходимо повести плоскость, проходящую через ось вращения тора. Эта плоскость пересечет поверхность тора по окружности, центр которой лежит на оси тора (точка а). Из этой точки следует восставить перпендикуляр к плоскости окружности до пересечения его с осью вращения конуса (точка С1). Это положение центра первой вспомогательной секущей сферы. Радиус сферы определится расстоянием от центра ее до края полоской окружности, построенной в начале. Проведенная сфера №1 пересечет конус по плоской окружности и тор по уже построенной окружности, которые в пересечении дадут точки 3 . Проведя вторую секущую плоскость, получим другую окружность в сечении тора. Повторив предыдущие построения, получим новое положение центра секущей сферы, которая в пересечении двух тел даст общие для двух поверхностей точки 4. В данной задаче не построена горизонтальная проекция геометрических тел и линия их пересечения. Построение этой линии не отличается от способа, приведенного в предыдущей задаче. Следует привязаться к поверхности конуса, так как на горизонтальной проекции плоские окружности в сечении конуса представляются в виде циркульных кривых. На этих окружностях находятся общие точки для двух поверхностей, полученные на фронтальной плоскости, которые следует перенести на горизонтальную плоскость проекции. Вся линия пересечения тел в данной задаче будет на виде сверху видимой, т.к. поверхность конуса сверху вся видима, и эта линия расположена на видимой части торроидальной поверхности. Лекция №13 Кривые линии. Определитель, каркасные поверхности. В геометрии существует огромное количество закономерных кривых линий. Их построение на чертеже не входит задачу начертательной геометрии. Большинство этих линий рассматривается в математике. Поэтому рассмотрим построение наиболее часто употребляемых кривых линий и поверхностей в машиностроении. Построение подавляющих крепежных деталей, пружин, шнеков, домкратов, ходовых винтов и пр. основано на построении винтовых линий и поверхностей. Винтовые линии могут быть самого различного вида в зависимости от конструкции и назначения детали, куда она входит. В общем случае винтовая линия это траектория точки по образующей поверхности вращения вместе с этой образующей. Винтовая линия может быть построена на поверхности цилиндра (Рис 102), конуса, торроидальной поверхности, ее направление может быть правое и левое, с постоянным и переменным шагом и т.д. Если образующая перемещается против часовой стрелки то, это винтовая линия правая, а по часовой стрелке – левая. Если точка по образующей перемещается с ускорением положительным или отрицательным винтовая линия будет с переменным шагом. Рассмотрим построение винтовой линии правого направления с постоянным шагом S на цилиндрической поверхности (Рис 103). Построение винтовой линии начинается с деления горизонтальной проекции цилиндра на равные части. Чем больше частей деления, тем более точным будет построение линии. Части деления нумеруются, и дискретные положения образующих наносятся на фронтальную проекцию. 33 На фронтальной проекции цилиндра отмечается шаг винтовой линии и делится на то же число равных частей, если линия с постоянным шагом. При перемещении образующей из положения 1 в положение 2 точка А перемещается вверх на одно деление шага. Пройдя, таким образом, видимую часть цилиндра линия уходит на невидимую сторону и завершает полный оборот, переместившись на один шаг. Затем процесс повторяется. Развертка винтовой линии с постоянным шагом представляет собой прямую линию – гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами равными длине окружности цилиндра и шага винтовой линии (Рис 104). При переменном шаге развертка винтовой линии будет представлять кривую линию выпуклую или вогнутую. Винтовые поверхности образуются в том случае, если вместо точки по образующей перемещается отрезок, параллельный или наклонный к радиусу цилиндра (Рис 105). Так строятся на чертеже различные детали шнеков и т.п. Если вместо отрезка по образующей перемещать геометрический образ (окружность, треугольник равнобедренный или равносторонний, трапецию равнобокую или неравнобокую), то в итоге получим пружину, резьбу трубную, метрическую трапецеидальную или упорную. Построение других закономерных кривых линий подробно рассматривается при изучении других курсов (теории механизмов и машин, деталей машин, сельскохозяйственных машин и др.) Лекция №14 Аксонометрические проекции. Обзор курса. Заключение. Прямоугольные (ортогональные) проекции не дают пространственного представления предмета. На ортогональном чертеже в натуральную величину проецируются только два измерения детали, а третье измерение вырождается полностью. Поэтому при чтении ортогонального чертежа необходимо рассматривать две или три проекции детали одновременно и в пространственном представлении воспринимать деталь объемно. Этому приему нужно достаточно долго учиться, начиная с элементарных геометрических образов (точки, прямой, плоскости их взаимодействии). Аксонометрические проекции позволяют достаточно наглядно представить 34 на чертеже объемный вид детали за счет отражения на плоскости сразу трех ее измерений. Эти размеры детали, конечно, искажаются, но с таким положением мирятся, получая наглядность. Греческий термин аксонометрия означает в переводе измерение по осям. Действительно, три взаимно перпендикулярные оси X,Y,Z привязываются к ортогональному изображению детали и со стандартными искажениями отражаются на плоскости чертежа. В этом случае сам предмет проецируется на плоскость в трех измерениях и, достаточно наглядно (Рис 91). Пространственный трехгранный угол, образованный пересекающимися осями проекции отражается на плоскости проекции под некоторыми плоскими углами друг к другу. В зависимости от положения плоскости проецирования коэффициенты искажения по осям могут отличаться в значительной степени. В зависимости от величины искажений по осям различают две прямоугольные аксонометрии – изометрию и диметрию (проецирование ортогональное, перпендикулярное) и три косоугольные аксонометрии – две изометрии и одна диметрия. Прямоугольная изометрия. Термин «изо» означает одинаковое искажение всех трех направлений измерения. Расчетные коэффициенты искажения по осям равны 0,82 от своей натуральной величины. Однако ГОСТ предусматривает возможность вычерчивания этой аксонометрии в приведенных коэффициентах равных единице по всем трем осям. Изображение детали в этом случае представляется зрительно увеличенным, но с этим мирятся, получая наглядность. Оси проекции взаимно перпендикулярные в пространстве на чертеже располагаются под углом в 120º, при этом ось Z проводится вертикально (Рис 92). Прямоугольная диметрия. Термин «ди» означает два. В этой аксонометрии плоскость проекции в пространстве расположена так, что две оси проекции X и Z искажаются одинаково, а третья Y искажается в два раза больше. Схема расположения осей в прямоугольной диметрии показана на (Рис 93). Расчетные коэффициенты по осям X и Z равны 0,94, а по оси Y-0,47. Как и в прошлом случае допускается применение приведенных коэффициентов. По осям X,Z они равны единице, а по оси Y-0,5. Оси проекции к вертикальной оси Z располагаются: X - под углом 97º 10', а ось Y под углом 131º 25' к вертикали. Косоугольная фронтальная изометрия. Плоскость проекции располагается в пространстве параллельно фронтальной плоскости проекции, а все оси проекции на нее проецируются под некоторым углом (Рис 94). В этом случае фронтальная проекция детали отражается на этой плоскости без искажений, поэтому угол между осями X и Z равен 90º. Ось Y может быть расположена под углами 30º, 45º или 60º к горизонту в зависимости от того, какую сторону детали конструктор хочет показать более полно. Название изометрия говорит о том, что все коэффициенты по всем трем осям равны между собой и соответствуют натуральным размерам элементов детали. Косоугольная фронтальная диметрическая проекция (кабинетная проекция) (Рис 95). В этой аксонометрии плоскость проекции так же расположена параллельно фронтальной плоскости проекции и по осям Z и X проекции элементов детали не искажаются. По оси Y искажение составляет 0,5. Ось Y с горизонтом проведена под углами 30, 45, и 60º. 35 Косоугольная горизонтальная изометрия. Плоскость проекции расположена параллельно горизонтальной плоскости проекции, поэтому вся горизонтальная проекция чертежа на аксонометрии отражается без искажений (Рис 96). Прямой угол между осями X и Y целиком может быть расположен под углом, составляющим с горизонтом углы 30, 45 и 60º. Название «изометрия» говорит о том, что по всем трем осям размеры детали не искажаются. Окружности в аксонометрии. В общих случаях в аксонометрических проекциях окружности искажаются в эллипсы с различной величиной большой и малой оси. В косоугольных аксонометрических проекциях в плоскостях, параллельных фронтальной или горизонтальной плоскости проекции эллипсы имеют равные большую и малую ось, т.е. превращаются в окружности. В прямоугольных аксонометриях в плоскостях проекции и плоскостях параллельных им большие оси эллипсов направлены перпендикулярно той оси, которая не принимала участие в образовании данной плоскости проекции. Так во фронтальной плоскости проекции, определяемой осями Z и X и в плоскостях параллельных ей, большие оси эллипсов будут перпендикулярны оси Y. Коэффициенты искажения размеров этих осей для расчетных и приведенных размеров построения аксонометрии будут различны и приведены на рисунках 97 и 98. Для косоугольных аксонометрических проекций, в тех плоскостях проекции, для которых необходимо строить эллипсы, углы наклона их осей и величину искажений для каждой плоскости проекции, необходимо брать из справочной литературы, т.к. эти параметры меняются в зависимости от выбранного угла  наклона оси Y к горизонтальной линии. 36 Примеры построения прямоугольных аксонометрических проекций приведены на рисунке 100. Построение начинается с привязки ортогональных осей проекции к детали (Рис 99). Обычно детали вращения помещают своей осью на одну из осей проекции. Тогда все окружности, определяющие форму этой детали, будут представлять параллельные между собой эллипсы. Корпусные детали помещают своим правым задним углом в точку начала координат, с тем, чтобы ее основные размеры: длина, ширина и высота совпадали с направлением осей проекции. В примере предлагается построить корпусную деталь (корпус подшипника), имеющую три круговых отверстия в разных плоскостях. Расположим деталь в ортогональном пространстве, так, чтобы ее длина совпадала с осью X. Выберем приведенные коэффициенты искажения размеров по осям проекции 1 для двух прямоугольных аксонометрических проекций. В этом случае зрительные размеры детали несколько будут увеличены по сравнению с ортогональным чертежом. Начинают построение с изображения горизонтальной проекции детали, отмеряя необходимые размеры с чертежа и откладывая их строго по направлению осей проекции в данной аксонометрической проекции. После этого отмеряют и отмечают высоту каждого элемента детали по направлению оси Z, и после этого, строят объемное изображение детали (Рис100). Следует помнить, что приблизительно 70% построений в конце работы придется ликвидировать, т.к. они окажутся невидимыми. Если деталь имеет внутренние объемы, пустоты или проемы, то их следует показать с помощью разрезов. Разрезы деталей производят плоскостями параллельными плоскостям проекции и те части детали, которые резались, штрихуют по специальной схеме, которая соответствует коэффициентам искажения размеров по осям проекции. По координатам определяют положение центров отверстий в пространстве и, в зависимости от параллельности отверстий той или иной плоскости проекции, строят эллипсы с размерами, взятыми из чертежа. Прямоугольные аксонометрические проекции променяют для большинства машиностроительных деталей с большим количеством отверстий и проемов в разных плоскостях. Изображение в прямоугольной изометрии представляется, как вид детали, лежащей на столе, т.е. с достаточной высоты точки зрения. Деталь, изображенная в прямоугольной диметрии, воспринимается так, как взятая для рассмотрения в руки. Считается, что прямоугольная диметрия более наглядна, чем изометрия. Косоугольная фронтальная изометрия предназначена для плоских, тонких деталей с большим количеством отверстий и проемов в одной плоскости, в этой проекции деталь кажется более толстой и объемной (плоские диски, прокладки). В косоугольной фронтальной диметрии изображают детали длинные, протяженные с параллельными элементами в конструкции (валы, оси, рычаги, тяги и т.п.). Косоугольная горизонтальная изометрия предназначается для построения наглядных изображений планов застройки, расположения оборудования в помещениях. Изображение при этом представляется, как вид с «птичьего полета». С искажениями при этом мирятся в угоду наглядности. На Рис.101 представлено построение детали в косоугольной фронтальной изометрии. Деталь имеет ряд окружностей в параллельных плоскостях, а сама достаточно плоская. Здесь ось проекции Y совмещена с осью вращения детали и размеры вдоль этой оси взяты без искажения. Деталь выглядит достаточно объемной и несколько большей, чем на ортогональном чертеже. С таким положением мирятся в угоду наглядности чертежа. 37 Ознакомление с механизацией чертежных работ. К настоящему времени в мировой практике разработано большое количество компьютерных программ, позволяющих выпускать весь комплекс технической документации не прибегая к вычерчиванию машиностроительных чертежей на бумажных носителях. Графические редакторы позволяют изготавливать чертежи в любых масштабах, пользоваться огромным количеством справочного материала, библиотеки таких программ содержат достаточное количество стандартных элементов конструкций. Различного рода преобразования в этих программах позволяют достаточно просто представить детали и механизмы в наглядном изображении. Можно рассматривать детали под разными углами и выделять их оттенками в разных плоскостях. Программы «Компас», «Автокад» и другие позволяют сразу после построения ортогональных чертежей получить их аксонометрические проекции или проекции на другие плоскости проекции, если вычерченных недостаточно. Автоматически проставляются величины размеров отдельных элементов деталей, проставляются знаки сварки, формы и расположения поверхности детали, шероховатость поверхности и т.д. В программах заложены конструкции спецификаций с готовыми основными надписями и текстами в них. Ряд периферийных элементов компьютерной графики позволяет сразу с экрана получить необходимое число копий чертежа, выполненных по всем правилам и ГОСТам на форматы, масштабы, типы линий, шрифты и т.д. Однако для успешной работы с компьютерной графикой необходимо ее достаточно глубокое предварительное освоение. Особое внимание следует обратить на изучение таких тем дисциплины: 1 2 3 Образование поверхностей, классификация и определитель поверхностей. Касательные линии к поверхности. Понятие о геометрическом моделировании.