Начала анализа: построение графиков с помощью элементарных преобразований

Построение графиков с помощью элементарных преобразований Элементарные преобразования графиков Геометрические преобразования: 1. Параллельный перенос; 2.Сжатие; 3.Растяжение; 4.Симметричное отображение. Способы построения графика Для каждого из элементарных преобразования предлагается два способа построения графиков: 1.С помощью преобразования графика; 2.С помощью преобразования системы координат. Параллельный перенос графиков. Сдвиг графика вдоль оси Oy График функции y = f(x) + b, получается из графика функции y = f(x) с помощью его переноса на вектор b = (0; b). В этом случае ко всем ординатам графика y = f(x) прибавляется величина b. Если b > 0, то график функции переносится вверх параллельно оси Oy на b. Если b < 0, то график функции переносится вниз параллельно оси Oy на |b|. Параллельный перенос графиков Рис.11. Построение графика функции y = f(x) + b Параллельный перенос графиков. Сдвиг графика вдоль оси Ox График функции y = f(x + a), получается из графика функции y = f(x) с помощью его переноса на вектор a = (-a;0). Перейдя к новым координатам X = x + a, Y = y параллельным переносом вдоль оси Ox на –a, заметим, что относительно новых координат получится исходный график функции y = f(X). Если a > 0, то график функции y = f(x) переносится налево вдоль оси Ox на a. Если a < 0, то график функции y = f(x) переносится направо вдоль оси Ox на |a|. Параллельный перенос графиков Рис.12. Построение графика функции y = f(x + a) Сжатие и растяжение графиков График функции y = kf(x), где k ∊ R, получается с помощью «растяжения» графика функции y = f(x) в k раз в направлении оси Ox. При k > 1 это будет действительно растяжение в k раз от оси Ox вдоль оси Oy. При 0 < k < 1 это будет сжатие в 1/k раз к оси Ox вдоль оси Oy. При k ≤ -1 – растяжение в |k| раз с последующим симметричным отображением относительно оси Ox. При -1 ≤ k < 0 – сжатие в 1/|k|раз и симметрия относительно оси Ox. Сжатие графиков Рис.13. Построение графика функции y = 4x 2 Сжатие и растяжение графиков (продолжение) График функции y = f(kx), где k∈R, получается с помощью «сжатия» графика y = f(x) в k раз в направлении к оси Oy. «Сжатие» здесь понимается как деление на k абсцисс всех точек графика y = f(x). При k > 1 график функции y = f(x) сжимается в k раз к оси Oy вдоль оси Ox. При 0 < k < 1 график функции y=f(x) растягивается в 1/k раз от оси Oy вдоль оси Ox. При k ≤ -1 исходный график сжимается в |k| раз и симметрично отражается относительно оси Oy (слева направо). При -1 ≤ k < 0 исходный график растягивается в 1/|k| раз с последующей симметрией относительно оси Oy. Растяжение графиков Рис.14. Построение графика функции y = cosx Симметричное отображение График функции y = f(-x) получается из графика функции y = f(-x) симметрией относительно оси Oy. Вместо преобразования графика при k > 0 можно исправить значения по оси Ox, поделив их на k. При k < 0 в этом случае следует предварительно перевернуть график направо. Симметрическое отображение Рис.15. Построение графика функции y = ln(-x) Пример 1 Написать последовательность преобразований и построить график y = 4 - 5x 1. Нарисуем график функции y = x График функции y = x Пример 1 (продолжение) 2. Нарисуем график функции, y= x+4 исходный на 4 единицы влево вдоль оси Ox График функции y = x + 4 сдвинув Пример 1 (продолжение) y = - 5x + 4 Нарисуем график функции, сжав предыдущий в 5 раз к оси Oy и затем отобразив симметрично относительно оси Oy 3. График функции y = - 5x + 4