Начала анализа: комплексные числа

Комплексные числа. Определение Комплексным числом называется выражение вида z = x+ iy, где x, y – действительные числа Комплексные числа i - мнимая единица Не существует в множестве действительных чисел x=Rez -действительная часть, y=lmz - мнимая часть. i = -1 2 Сложение и комплексных удовлетворяет действий с многочленами умножение чисел правилам обычными z1 + z 2 = ( x1 + iy1 ) + ( x2 + iy2 ) = ( x1 + x2 ) + i ( y1 + y2 ) z1 z 2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + i 2 y1 y2 + i ( x1 y2 + x2 y1 ) = ( x1 x2 - y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 ) ( ) Определение Два комплексных z = x + iy и z = x - iy числа называются сопряженными числами. Операции над сопряженными числами z + z = 2 x, z z = x + y 2 2 Сложение и произведение сопряженных чисел приводит в результате к действительным числам Деление комплексных чисел выполняют с помощью умножения числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное к знаменателю по правилу: z1 (x1 + iy1 ) (x1 + iy1 )(x2 - iy2 ) (x1 x2 + y1 y2 ) (x2 y1 - x1 y2 ) = = = +i 2 2 z2 (x2 + iy2 ) (x2 + iy2 )(x2 - iy2 ) x2 + y 2 x22 + y22 ( — Деление на число 0+i0 невозможно. ) ( ) Комплексные числа Y z = x + iy y r i j 1 x X Рис.1. Геометрическое изображение комплексного числа Определение Расстояние от точки z до начала координат называется модулем (относительной величиной) числа z. r = x + iy = x2 + y2 Определение Угол j между осью Ox и направлением Oz называется аргументом комплексного числа. tgj = y , cos j = x x x2 + y2 , sin j = y x2 + y2 Тригонометрическая форма комплексного числа z = r(cosj + i × sinj ) Геометрический смысл сложения комплексных чисел — Комплексные числа складываются по правилу параллелограмма: на слагаемых числах, как на сторонах, строится параллелограмм, диагональ которого обнаруживает сумму. y z1 + z 2 y2 z2 y2 y1 z1 x2 x2 x1 x Рис. 2. Геометрический смысл сложения комплексных чисел Геометрический смысл умножения комплексных чисел y z1 z 2 r1r2 z2 r2 r1 j1 z1 j1 + j 2 j2 x Рис. 3. Геометрический смысл умножения комплексных чисел Комплексные числа, заданные в тригонометрической форме — При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются: z1 z 2 = r1r2 [cos(j1 + j 2 ) + i sin (j1 + j 2 )] — При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются: z1 r1 (cos j1 + i sin j1 ) r1 = = [cos(j1 - j 2 ) + i sin (j1 - j 2 )] z 2 r2 (cos j 2 + i sin j 2 ) r2 Степенная функция zp — Возведение в n-ю степень (p = n) комплексного числа, заданного в тригонометрической форме, производится по формуле Муавра, вытекающей из геометрического смысла умножения: z = r [cos(nj ) + i sin (nj )] n n — т.е. модуль возводится в n-ю степень, а аргумент умножается на n. — Извлечение корня из m-й степени (p = 1/m) производится как действие , обратное возведению в степень m z = m é 2p ö 2p öù æj æj r êcosç + k ÷ + i × sin ç + k ÷ú m ø m øû èm èm ë — где k = 0, 1, 2,…, m-1. Определение Функция вида ez называется показательной функцией. Показательная функция ez e =e z x + iy = e (cos y + i . sin y ) x В основе показательной функции лежит формула e iy = cos y + i sin y Эйлера: ez = ex совпадает z = re ij с y Формула Эйлера позволяет ввести показательную форму для комплексного числа: z = r (cos y + i . sin y )