Наблюдаемость. Критерий наблюдаемости

Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения НАБЛЮДАЕМОСТЬ. КРИТЕРИЙ НАБЛЮДАЕМОСТИ (1) x& = Ax + Bu, y = Dx , x Î R n , u Î R p , y Î R m , rankDm´ n = m < n , An´ n , Bn´ p , Dm´ n – вещественные матрицы с постоянными известными элементами Определение (на физическом уровне). Система называется ненаблюдаемой, если разным траекториям могут отвечать одинаковые выходы, т.е. найдутся такие начальные условия x0 ¹ x0¢ , что для соответствующих траекторий x (t ), x ' (t ) и выходов y (t ), y ' (t ) справедливо y (t ) º y ' (t ). В противном случае система называется наблюдаемой. Ранговый критерий наблюдаемости (Калман). Система (1) наблюдаема тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости имеет полный ранг: rankH = n , æ D ö æ D ö ç ÷ ç ÷ ç DA ÷ ç DA ÷ ; 1 < m < n, rank D = m : dim y = 1: H = ç =ç H , ÷ ÷ ... ... n´ n m´ n m ( n - m +1)´ n det H ¹ 0 ç ÷ ç ÷ ç DAn -1 ÷ ç DAn - m ÷ è ø è ø при выполнении данного условия пару (D, A) называют наблюдаемой. x& = Ax , y = Dx, y& = DAx, &y& = DA2 x, ..., y ( n-1) = DAn-1 x. Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Дуальность задач управления и наблюдения æD ö ç ÷ ç DA ÷ n -1 x& = Ax + Bu , y = Dx , W1 = ( B AB ... A B ) , H1 = ç ÷ ... ç ÷ ç DAn -1 ÷ è ø ДУАЛЬНАЯ СИСТЕМА ~ x& = AT ~ x + D T u~ , ~ y = BT ~ x, æ BT ö ç ÷ T T ç ÷ B A T T T T n -1 T W2 = ( D A D ... ( A ) D ) и H 2 = ç ÷ ç ... ÷ ç BT ( AT ) n -1 ÷ è ø H1 = W2T : если пара ( D, A) – наблюдаема, то пара ( AT , D T ) – управляема, W1 = H 2T : если пара ( A, B) – управляема, то пара ( B T , AT ) – наблюдаема. 2 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Асимптотические наблюдатели состояния (НС) полной размерности ММ ОУ: x& = Ax + Bu , y = Dx , (D, A) наблюдаема; НС: z& = Az + Bu + v( y, z ) r z Î R – вектор состояния наблюдателя, z (0) = 0 v Î R n – вектор корректирующих (управляющих) воздействий e = x - z, e Î R n – вектор ошибок наблюдения (невязок), e& = Ae - v( y, z ) n Задача наблюдения сводится к задаче r стабилизации ошибок наблюдения: lim e (t ) = 0 Û lim z (t ) = x(t ). t ®¥ t ®¥ Линейная коррекция: v = L( y - Dz ) = L( Dx - Dz ) = LDe Задача выбора матрицы коэффициентов коррекции Ln´ m : e& = ( A - LD)e , s ( A - LD ) = s d . Дуальная система: e~& = AT e~ + DT u , u = - LT e~ , e~& = ( AT - DT LT )e~ x& = Ax + Bu, u = Fx, x& = ( A + BF ) x , A := AT , B := DT , F := - LT , W := H T 3 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения x& = Ax + Bu , y = Dx , rankD = m < n пара (A, B) – управляема, пара (D, A) – наблюдаема, A, B, D известны Процедура синтеза модального управления при неполных измерениях 1) синтезировать базовый закон модального управления (в предположении, что весь вектор состояния известен) в виде линейной обратной связи u = Fx, обеспечивающий заданный спектр матрицы замкнутой системы x& = ( A + BF ) x; z& = Az + Bu + v( y, z ) с заданными темпами сходиr мости ошибок наблюдения: e& = Ae - v ( y , z ) , e (t ) ® 0 Û z (t ) ® x (t ) ; 2) построить наблюдатель e 3) сформировать управление по переменным наблюдателя: = x - z, z = x - e Þ u = Fz = F ( x - e ) . Переходные процессы в замкнутой через НС системе отличаются от поведения системы без НС с точностью до затухающих ошибок наблюдения: x& = Ax + Bu = Ax + BF ( x - e ) = ( A + BF ) x - BFe . ®0 Ошибки наблюдения сходятся к нулю независимо от динамики вектора состояний х, что позволяет в линейных системах рассматривать независимо задачи управления и наблюдения. 4 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Структурная схема замкнутой системы с НС полной размерности Scope Scope Scope u e A 1 Объект управления s B 1 s A D De L B x u = Fz Наблюдатель z D -z y = Dx - Dz состояния F При синтезе базового закона управления надо определить F . При синтезе асимптотического наблюдателя надо определить Эти задачи решаются независимо. L. 5 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Этапы решения задачи наблюдения Первый этап – анализ ММ ОУ на предмет наблюдаемости (детектируемости). Результат: rankH = n – система полностью наблюдаема; Ø Ø rankH = l < n – система частично наблюдаема, оценке подлежит линейная комбинация переменных состояния Px, rankP=l, нужен совместный анализ задач наблюдения и управления или установка дополнительных датчиков. Второй этап. Если задача имеет принципиальное (или допустимое) решение, то предъявляются требования к скорости и качеству оценивания. Третий этап – выбор структуры и синтез НС Ø полный, укороченный, расширенный; Ø как реплика исходной или преобразованной ММ ОУ; v( y, z ) : линейØ тип корректирующих воздействий ные/нелинейные, непрерывные/разрывные. 6 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Невырожденное линейное преобразование Tx = x , x = T -1 x Для системы x& = Ax + Bu , y = Dx получим -1 -1 преобразованную систему: x& = TAT x + TB u , y = Dx = DT { 123 123 x A B D Инвариантность свойства наблюдаемости к невырожденным линейным преобразованиям: ранги матриц наблюдаемости исходной и преобразованной систем равны: Н mn´ n -1 ö æ D ö æ D ö æç DT ÷ ç ç ÷ ÷ 1 1 ÷ ç DA ÷ -1 ç D A ÷ ç DT TAT -1 = , =ç = T = HT ç ÷ ç M ÷ ÷ M ÷ ç ç ÷ ç M ÷ n 1 ç ÷ ç D A n -1 ÷ ç n-2 n-2 -1 ÷ DA ø è ø è ( D A ) A = ( D A )TAT ø è detTn-´1n ¹ 0 Þ rankH = rankH . 7 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Каноническая форма наблюдаемости Для частично наблюдаемых систем rankH = l , 0 < l < n вводится x&1 = A11 x1 + B1u , каноническая форма наблюдаемости x& 2 = A21 x1 + A22 x2 + B2u , æ x1 ö æ T1 ö æ x1 ö -1 Tx = x = ç ÷ , T = ç ÷ , y = Dx = DT x = ( D1 O)ç ÷ = { D1 x1 , è x2 ø è T2 ø è x2 ø m´l x1 Î R l – наблюдаемое подпространство, пара ( D1 , A11 ) наблюдаема, x2 Î R n - l – ненаблюдаемое подпространство T1(l´n ) – l линейно независимых строк матрицы наблюдаемости H , T2(( n- l )´n ) – формируется из нулей и единиц так, чтобы det T ¹ 0 . Если для целей управления достаточно переменных x1 и u = j ( x1 ) , то строится укороченный наблюдатель для первой подсистемы: z&1 = A11z1 + B1u + v1. 8 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Критерий детектируемости (обнаруживаемости). Частично наблюдаемая система детектируема тогда и только тогда когда в ее канонической форме наблюдаемости матрица A22 является гурвицевой. Наблюдатель полной размерности для детектируемой системы x&1 = A11 x1 + B1u, x& 2 = A21 x1 + A22 x2 + B2u, Ошибки наблюдения: x1 - z1 z&1 = A11z1 + B1u + v1 , z&2 = A21z1 + A22 z2 + B2u = e 1 Î R l , x2 - z 2 = e 2 Î R n - l e&1 = A11e1 - v1 , v1 = L1 ( D1 x1 - D1 z1 ) = L1D1e1 e&1 = ( A11 - L1D1 )e1 r r e&2 = A21e1 + A22e 2 . lim e1 (t ) = 0 Þ lim e 2 (t ) = 0 Û lim z (t ) = x (t ). t ®¥ t ®¥ t ®¥ Если закон управления сформирован в исходных координатах u = j (x ) , то восстановленные с помощью наблюдателя оценки x (t ) нужно пересчитывать в ис- x = T -1 x -1 в реальном времени: u = j (T z ) ® j ( x ) . ходные координаты с помощью обратного преобразования 9 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Системы децентрализованного управления Многомерная управляемая система x& = Ax + Bu с векторным управлением rankB = dim u = p , 1 < p < n с помощью невырожденного преобразования Луенбергера Tx = x , det T ¹ 0 представима в виде системы децентрализованно- -1 го управления (СДУ) x& = TAT {u . 123 x + TB A B СДУ состоит из p связанных подсистем с одним входом, т.е. каждая подсистема регулируется «своим» управлением ui , u = col(u1 ,..., u p ) : Bn´ p æ b1 ç ç 02 =ç ... ç ç0 è p 01 b2 ... 0p ... 01 ö æ1 ö æ0 ö ÷ ç ÷ ç ÷ p ... 02 ÷ ç0 ÷ ç0 ÷ , bi = , 0i = , ån i = n . ÷ ç ÷ ç ÷ ... ... ... ... i =1 ÷ çç ÷÷ çç ÷÷ ÷ ... b p ø è 0 ø vi ´1 è 0 ø vi ´1 На основе СДУ последовательно синтезируют локальные регуляторы в каждой подсистеме. 10 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Матрица преобразований к СДУ T = (T -1 ) -1 2 n- p Структура матрицы управляемости Wn´ p ( n - p +1) = ( B AB A B ... A B) = = ( B (1) B ( 2) ... B ( p ) AB (1) AB ( 2) ... AB ( p ) ... An- p B (1) An- p B ( 2) ... An- p B ( p ) ) 1442443 144424443 144444244444 3 B An - p B AB A j B (i ) – i -й столбец матрицы A j B , j = 0, n - p , i = 1, p . p натуральных чисел n i : n 1 + n 2 + ... + n p = n означают, сколько i -х столбцов где A j B участвуют в образовании выбранного базиса матрицы W : n 1 первых столбцов матриц B , AB , …, Av1 -1B ; n 2 вторых столбцов матриц B , AB , …, Av2 -1B ; …; матриц v p -1 n p p -х столбцов матриц B , AB , …, A B , матрица B включена полностью. Упорядочиваем n выбранных базисных столбцов матрицы управляемости W: T -1 (1) (1) n1 -1 ( 2) ( 2) n 2 -1 n2 ( 2) ( p) ( p) n p -1 = ( B AB ... A B B AB ... A B ... B AB ... A B ( p ) ) 144424443 144424443 1444 424444 3 n1 (1) np Вид матрицы перехода зависит от выбранного базиса матрицы W, их может быть несколько. 11 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Домашнее задание № 3 Синтез асимптотического наблюдателя полной размерности с векторным выходом на основе преобразования дуальной системы к системе децентрализованного управления Для системы x& = Ax + Bu синтезировать замкнутую систему с модальным управлением, полученным в ДЗ1, и асимптотическим наблюдателем состояния полной размерности по измерениям y = Dx . Выполнить следующие расчеты: 1) проверить критерий наблюдаемости; 2) составить системы дифференциальных уравнений наблюдателя состояния и относительно ошибок наблюдения; 3) задать собственные значения матрицы замкнутой системы относительно ошибок наблюдения; рассчитать матрицу корректирующих воздействий наблюдателя на основе преобразования ММ дуальной системы к СДУ; 4) сформировать обратную связь по переменным наблюдателя, составить уравнение замкнутой системы. Провести моделирование в среде MATLAB– SIMULINK (можно принять "zi (0) одно из значений можно задать по измерениям так, чтобы e 1, 2 или 3 (0) = 0 , но = 0 ). Представить: 5) структурную схему замкнутой системы в терминах MATLAB–SIMULINK; 6) графики xi (t ) , e i (t ) , i = 1,3 , u (t ) для расчетного случая; 12 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 7) провести сравнительный анализ полученных результатов с результатами ДЗ1 по следующим критериям: для xi (t ) – время переходного процесса, область изменения; для u (t ) – область изменения, время затухания. Время переходного процесса (время регулирования) t s – время попадания xi (t ) в заданную окрестность нуля D Î [0,01; 0,05]. x1 (t ) xi (t p ) 2D t tн tp ts Перерегулирование – наибольшее (пиковое) отклонение xi (t p ) от установившегося значения xis , выраженное в процентах по отношению к xis : ( xi (t p ) - xis ) / xis × 100 [%]. Если установившиеся значения переменных равны нулю, то смотрят область изменения переменных (отклонение от нуля и вверх, и вниз). Время затухания управления – время попадания u (t ) в окрестность нуля D Î [0,01; 0,05]. 13 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Численный пример æ1 1 0 ö æ 0ö ç ÷ ç ÷ æ0 1 1ö A = ç 0 1 0 ÷, B = ç 1 ÷ , y = Dx , D2´3 = ç ÷, rankD = 2 = m < n = 3 è1 0 0 ø ç 1 0 1÷ ç 0÷ è ø è ø Для информационного обеспечения базового закона управления u = Fx = -26 x1 - 9 x2 - 24 x3 , s d = {-1; - 2; - 3} требуются текущие оценки всех переменных вектора состояния. æ y1 ö æ x2 + x3 ö ÷÷ , z1 (0) = y2 (0) = x1 (0) = 1 Þ e1 (0) = 0 , z 2, 3 (0) = 0 y = Dx = ç ÷ = çç è y2 ø è x1 ø 1. Проверка критерия наблюдаемости ( n - m = 3 - 2 = 1) : æ0 1 1 ö ç ÷ æ D ö ç1 0 0 ÷ , rankH = 3 , базисные строки: 1, 2, 4 H =ç ÷ =ç ÷ m ( n - m +1)´ n è DA ø 1 1 1 4´3 çç ÷÷ è1 1 0 ø Вывод: система наблюдаема, можно построить НС полной размерности. 14 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 2. НС полной размерности с линейными корректирующими воздействиями: z& = Az + Bu + v , v = L( y - Dz ) = LDe . Система относительно ошибок наблюдения e = x - z : e& = ( A - LD)e , l1, 2,3 = -5 3. Расчет матриц корректирующих воздействий 3.1. Дуальная система Если пара ( D, A) – наблюдаема, то пара ( AT , DT ) – управляема. x& = AT x + DT u , u = - LT x , x& = ( AT - D T LT ) x . Переобозначим: A3´ 3 := AT , B3´ 2 := DT , rD3T´2 = 2 = p F2´ 3 := - LT , W := H T . æ u1 ö ~ Работаем с системой x& = Ax + Bu = ( A + BF ) x = A x , u = Fx , u = ç ÷ . è u2 ø AT + BT = ( A + B)T , ( AB)T = BT AT ~ ~T Характеристические полиномы матриц A и A совпадают: ~T ~T ~ det(lI - A ) = det(lI - A) = det(lI - A) . Справка: 15 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 3.2. Матрица перехода к системе децентрализованного управления H T = W3´4 = ( B AB) = ( B (1) B ( 2) AB (1) AB ( 2) ) , rankW = 3 , p = 2 , возможно 2 варианта: 1) базис ( B (1) B ( 2) AB (1) ), T -1 = ( B (1) AB (1) { B ( 2) ) ; 14243 n =1 n1 = 2 2) базис ( B (1) 2 B ( 2 ) AB ( 2 ) ) , T -1 = ( { B (1) B ( 2 ) AB ( 2 ) ) . 14243 n =1 1 n 2 =2 16 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 1. ( B (1) B ( 2) AB (1) ), T -1 = ( B (1) AB (1) { B ( 2) ) ; 14243 n =1 n1 = 2 результат: 2. 2 æ 1 0ö ç ÷ T TBu = TD u = ç 0 0 ÷u ç 0 1÷ è ø æ b1( 2´1) B = çç è 02 01 ö ÷÷ b2(1´1) ø ( B (1) B ( 2) AB ( 2) ) , T -1 = ( { B (1) B ( 2) AB ( 2) ) , 14243 n =1 1 результат: n 2 =2 æ 1 0ö ç ÷ T TBu = TD u = ç 0 1 ÷u ç 0 0÷ è ø æ b1(1´1) B = çç è 02 01 ö ÷÷ . b2( 2´1) ø 17 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения H T = W = ( B (1) B ( 2) AB (1) æ0 1 1 1 ö ç ÷ ( 2) AB ) = ç 1 0 1 1 ÷ ç1 0 1 0 ÷ è ø Базисные столбцы: 1, 2 и 4, вариант 2: 1ö æ 0 1 1ö æ0 0 ç ÷ ç ÷ -1 -1 -1 (1) ( 2 ) ( 2) T = ({ B B AB ) = ç 1 0 1 ÷ , T = (T ) = ç 1 - 1 1 ÷ . 14243 n1 =1 ç 1 0 0÷ ç 0 1 - 1÷ n 2 =2 è ø è ø 1 öæ 0 1 ö æ0 0 æ1 0 ö ç ÷ç ÷ ç ÷æ u1 ö T Проверка: TD u = ç 1 - 1 1 ÷ç 1 0 ÷u = ç 0 1 ÷ç ÷ = B u . ç 0 1 - 1÷ ç 1 0 ÷ ç 0 0 ÷è u 2 ø è øè ø è ø 18 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 3.3. Синтез на основе системы децентрализованного управления 1 öæ 1 0 1öæ 0 1 1 ö æ0 0 ç ÷ç ÷ç ÷ T -1 TA T = ç 1 - 1 1 ÷ç 1 1 0 ÷ç 1 0 1 ÷ = A ç 0 1 - 1÷ç 0 0 1÷ç 1 0 0 ÷ è øè øè ø æ a11 = 1 a12 = 0 a13 = 0 ö æ1 0 ö ç ÷ ç ÷ A = ç a21 = 1 a22 = 0 a23 = -1÷, B = ç 0 1 ÷ ç 0 0÷ ça = 0 a =1 a = 2 ÷ è ø è 31 ø 32 33 æ x1 ö ç ÷ Tx = x = ç x2 ÷ , çx ÷ è 3ø x&1 = x1 + u1 – первая подсистема элементарная x& = A x + B u : x&2 = x1 - x3 + u 2 x&3 = x2 + 2x3 – вторая подсистема неэлементарная 19 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения l1, 2,3 = -5 и найдем матрицу коэффициентов усилеæ u1 ö ния в управлении относительно новых координат: u = ç ÷ = K 2´3 x . è u2 ø Зададим желаемый спектр Синтез начинаем с элементарной подсистемы. Общий случай x&1 = a11x1 + a12 x2 + a13 x3 + u1, выбором управления надо обеспечить x&1 = l1 x1 : u1 = (l1 - a11 ) x1 - a12 x2 - a13 x3 = ((l1 - a11 ) - a12 - a13 ) x . Здесь x&1 = x1 + u , u1 = -6x1 , u1 = ( -6 0 0) x , замкнутая подсистема x&1 = -5x1. Составим характеристический полином всей системы, где первый блок замкнут. При этом полином не будет зависеть от a21 , a31 : -5-l 0 det( A - lI ) = a21 = 1 - l a 31= 0 1 - 1 = (-5 - l )((- l )(2 - l ) + 1) = 0 , 2-l что позволяет независимо решать задачу модального управления во второй подсистеме с помощью второй и третьей координат: u2 = ("c Î R k 2 k3 ) x . Например: c = 0 , c = - a21 (компенсация x1, лежащей в пространстве управления). 20 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Для второй подсистемы x&2 = x1 - x3 + u 2 x&3 = x2 + 2x3 принимаем u 2 = (0 k 2 k3 ) x . Прямой метод синтеза модального управления 2 2 1. Эталонный полином: (l + 5) = l + 10l + 25 . 2. Характеристический полином квадратной матрицы замкнутой подсистемы относительно управляемых координат x2 , x3 : x& 2 = k 2 x2 + (k3 - 1) x3 a23 + k3 ö ÷ , т.е. a33 ø x&3 = x2 + 2 x3 3. Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях l : k 2 - l k3 - 1 det( A2 - lI ) = = l2 + l (-2 - k2 ) + (1 - k3 + 2k 2 ) = 1 424 3 142 4 43 4 1 2-l æ x& 2 ö æ x2 ö æ a22 + k 2 çç ÷÷ = A2 çç ÷÷, A2 = ç è a32 è x&3 ø è x3 ø - trA2 det A2 = l2 + 10l + 25 Þ -2 - k2 = 10, 1 - k3 + 2k 2 = 25 Þ k2 = -12, k3 = -48 u2 = (0 - 12 - 48) x 21 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 4. Находим матрицу коэффициентов коррекции æ u1 ö æ l1 - a11 - a12 u = ç ÷ = Kx = ç k2 è 0 è u2 ø æ x1 ö - a13 öç ÷ 0ö æ- 6 0 ÷ç x2 ÷ , K = ç ÷ k 3 øç ÷ è 0 - 12 - 48 ø è x3 ø u = Kx = KTx = - LT x Þ 1ö æ0 0 0 öç ÷ æ 0 - 6ö æ- 6 T - L = KT = ç ÷ç 1 - 1 1 ÷ = ç ÷, è 0 - 12 - 48 øç è - 12 - 36 36 ø ÷ è 0 1 - 1ø æ 0 12 ö ç ÷ L = ç 0 36 ÷ . ç 6 - 36 ÷ è ø 22 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Проверка: составим характеристический полином замкнутой системы 1ö æ 0 1 ö æ - 11 - 36 37 ö - 6ö ç ÷ ç ÷ ÷æ 0 0 ÷ + ç 1 0 ÷ç 1 - 6÷ ÷=ç 1 è - 12 - 36 36 ø ç ÷ ç ÷ ÷ 1ø è 1 0 ø 5 è ø - 11 - l - 36 37 det(( AT - DT LT ) - Il ) = 1 1- l -6 = УРА!!! -5- l æ1 0 ç T T T A - D L = ç1 1 ç0 0 è = (-5 - l )((-11 - l )(1 - l ) + 36) = - (l + 5)(l2 + 10l + 25) = - (l + 5)3 Или проверить det(( A - LD ) - Il ) ) 4. Уравнение замкнутой системы x& = Ax + Bu = Ax + BFz , z = x - e , x& = ( A + BF ) x - BFe 0 öæ e 1 ö æ 0 0 æ 0ö ç ÷ ÷ç ÷ ç BFe = ç 1 ÷ (-26 - 9 - 24)e = ç - 26 - 9 - 24 ÷ç e 2 ÷ ç 0÷ ÷ç e ÷ ç 0 0 è ø è øè 3 ø 23 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Синтез на основе СДУ. Первый вариант æ1 0 ö ç ÷ x&1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + u1 , T – первая подсистема TBu = TD u = ç 0 0 ÷u : ç 0 1÷ x&2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , è ø x&3 = a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + u2 – вторая подсистема элементарная Во второй подсистеме обеспечить x&3 = l3 x3 , u 2 = - a31 x1 - a32 x2 + (l3 - a33 ) x3 . ХП системы со вторым замкнутым блоком не будет зависеть от a13 , x&1 = a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + u1 , x&2 = a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 , x&3 = l3 x3 a11 - l det( A - lI ) = a21 a23 : a12 a13 a22 - l a23 = l3 - l = (l3 - l )((a22 - l )(a11 - l ) - a12a22 ) = 0, что позволяет независимо решать задачу модального управления в первой подсистеме с помощью первой и второй координат: u1 = ( k1 k 2 "c Î R ) x . Например: c = 0 , c = - a13 (компенсация x 3 , принадлежащей пространству управления) 24 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Прямой метод синтеза модального управления в первой подсистеме ~ l + a~ . 1. Эталонный полином: (l - l1 )(l - l2 ) = l + a 1 2 2. Характеристический полином квадратной матрицы замкнутой подсистемы относительно управляемых координат x1 , x2 ( u1 = ( k1 k 2 0) x ) 2 æ x&1 ö æ x1 ö æ a11 + k1 a12 + k 2 ö x&1 = (a11 + k1 ) x1 + (a12 + k 2 ) x2 , ÷, ç ÷ = A1 ç ÷, A1 = ç a22 ø x& 2 = a21 x1 + a22 x2 , è a21 è x& 2 ø è x2 ø 3. Находим k1 , k 2 , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях l : a11 + k1 - l a12 + k2 det( A1 - lI ) = = (a22 - l )(a11 + k1 - l ) - a21 (a12 + k2 ) = a21 a22 - l = l2 + (- a11 - a22 - k1 )l + a22 (a11 + k1 ) - a21 (a12 + k2 ) = l2 + a~1l + a~2 1442443 14444244443 - trA1 det A1 k2 0 ö æ u1 ö æ k1 4. u = ç ÷ = Kx = ç ÷x , è u2 ø è - a31 - a32 l3 - a33 ø u = Kx = KTx = - LT x Þ - LT = KT , L = - (- LT )T . 5. Проверка! 25 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения ММ ОУ x& = Ax + Bu, y = Dx , x Î R n , u Î R p , y Î R m , An´n , Bn´ p , Dm´n – известные матрицы, пара ( D, A) наблюдаема, шумы в измерениях отсутствуют, rankDm´n = m < n Наблюдатель Луенбергера пониженной размерности ( n - m) Процедура синтеза 1. Перестановка столбцов матрицы D (при необходимости) и соответствующая перестановка строк и группировка вектора состояния x æ x1 ö -1 æ 1 ö T p x = çç ÷÷ , det Tp ¹ 0 , y = Dx = DT p çç ÷÷ = D1 x1 + D2 x2 , m´ ( n - m ) è x2 ø m´m è x2 ø x1 Î R m , x2 Î R n - m , rankD1( m´m ) = rankD = m , det D1 ¹ 0 . Tp – матрица перестановок, в каждой строке нули и одна единица, единицы всех строк в разных столбцах. Местоположение единицы (ij): после перестановок на месте координаты будет находиться координата местами строки, а xi x j . В преобразовании подобия T p AT p-1 матрица T p меняет T p-1 – соответствующие столбцы. В преобразовании DT p-1 = ( D1 D2 ) меняются местами столбцы. Если матрица перестановок симметрическая, то T p = T p-1. 26 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 2. Невырожденная замена переменных x1 Î R m выходными переменными y Î R m , y = D1 x1 + D2 x2 , x1 = D1-1 y - D1-1 D2 x2 æ x1 ö æ D1( m´m) Td çç ÷÷ = çç è x2 ø è O( n - m)´m -1 -1 D2( m´( n - m)) öæ x1 ö æ y ö æ D D -1 1 1 D2 ö ÷÷ . ÷÷çç ÷÷ = ç ÷ , det Td ¹ 0 , Td = çç I n - m øè x 2 ø è x 2 ø I è O ø Преобразования подобия: ~ æ A11 A12 ö ~ æ B1 ö -1 ÷÷ , T1 B = B = çç ÷÷ , T1 = Td Tp , T1-1 = (Td T p ) -1 = T p-1Td-1, T1 AT1 = A = çç è A21 A22 ø è B2 ø если перестановок не требуется, то T p = I . y& = A11 y + A12 x2 + B1 u , Результат: m´ m m´ ( n - m ) x& 2 = A21 y + ( n - m )´ m m´ p A22 ( n - m )´( n - m ) x2 + B2 u ( n - m )´ p Пара ( D, A) наблюдаема Þ пара ( A12 , A22 ) наблюдаема. 27 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 3. Невырожденная замена переменных с вводом корректирующей матрицы x2 = L( n - m )´ m y + x2 , x2 , x2 Î R n - m x2 = - Ly + x2 Om´( n - m ) öæ y ö æ y ö -1 æ I O ö æ y ö æ I m´m ÷÷ç ÷ = ç ÷ , T2 = ç ÷, T2 ç ÷ = çç L I è- L I ø è x2 ø è ( n - m)´m ( n- m)´( n- m ) øè x2 ø è x2 ø Нам нужна только вторая подсистема, поэтому полные преобразования подобия ~ ~ A = T2 A T2-1 , B = T2 B выполнять нет необходимости. С учетом x2 = x2 - Ly имеем x& 2 = x& 2 + Ly& = A21 y + A22 x2 + B2u + L( A11 y + A12 x2 + B1u ) = = ( A21 + LA11 ) y + ( A22 + LA12 ) x2 + ( B2 + LB1 )u = 14243 { 14243 A22 x2 - Ly B2 = ( A21 + LA11 - A22 L ) y + A22 x2 + B2u = A21 y + A22 x2 + B2u , 14442444 3 A21 A21 = A21 + LA11 - A22 L , A22 = A22 + LA12 , B2 = B2 + LB1 . r n-m Наблюдатель Луенбергера для оценки x2 : z& = A21 y + A22 z + B2u , z (0) = 0 , z Î R Уравнение относительно ошибок наблюдения e = x2 - z : e& = A22e = ( A22 + LA12 )e r Выбором L( n - m )´m нужно обеспечить s ( A22 + LA12 ) = s d и lim e ® 0 Þ lim z ® x2 . t ® +¥ t ® +¥ 28 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Обратная замена переменных: T = T2 Td T p = T2T1 , T { -1 = T1-1T2-1 , T1 -1 æ y ö x=T ç ÷ è x2 ø Базовый закон управления u = Fx формируется на основе измерений y и переменных наблюдателя z = x2 - e : -1 æ yö u = FT ç ÷, èzø -1 æ æ y ö æOöö -1 æ O ö ç ÷ u = FT ç ç ÷ - ç ÷ ÷ = Fx - FT ç ÷ . èe ø è è x2 ø è e ø ø Уравнение замкнутой системы: -1 æ 0 ö -1 æ 0 ö x& = Ax + Bu = Ax + B ( Fx - FT ç ÷) = ( A + BF ) x - BFT ç ÷. èe ø èe ø Переходные процессы в замкнутой системе с укороченным НС отличаются от процессов в замкнутой системе без НС с точностью до затухающих ошибок наблюдения e (t ) , которые сходятся к нулю независимо от x(t ) . 29 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Структурная схема замкнутой системы с укороченным НС Scope Scope Scope u x2 A B x 1 Объект управления s D e = x2 + Ly - z y = Dx -z L A21 1 s B2 A22 u Укороченный z наблюдатель F T -1 æ yö ç ÷ èzø 30 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Домашнее задание № 4. Синтез наблюдателя Луенбергера пониженной размерности Для невозмущенной системы синтезировать замкнутую систему с модальным управлением, полученным в ДЗ1, и асимптотическим наблюдателем состояния пониженной размерности по измерениям y = Dx . Выполнить следующие расчеты: 1) выполнить требуемые преобразования ММ ОУ; 2) составить дифференциальные уравнения укороченного наблюдателя состояния и относительно ошибки наблюдения; 3) собственное значение замкнутой системы относительно ошибки наблюдения выбрать из принятых в ДЗ3; рассчитать параметры наблюдателя и матрицы перехода; 4) сформировать обратную связь по выходу и переменной наблюдателя, составить уравнение замкнутой системы. Провести моделирование в среде MATLAB– SIMULINK. Представить: 5) структурную схему замкнутой системы в терминах MATLAB–SIMULINK; 6) графики xi (t ) , i = 1,3, e (t ) , u (t ) для расчетного случая; 7) провести сравнительный анализ полученных результатов с результатами ДЗ1 и ДЗ3. 31 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Построение укороченного наблюдателя. Численный пример æ1 1 0 ö æ 0 ö ç ÷ ç ÷ x& = ç 0 1 0 ÷ x + ç 1 ÷u , u = -26 x1 - 9 x2 - 24 x3 , ç ÷ ç ÷ è 1 0 1ø è 0 ø 2 3 æ y1 ö æç x + x ö÷ æ0 1 1ö D=ç ÷ , y = çç ÷÷ = ç 1 , rankH 4´3 = 3 ÷ è1 0 0 ø è y2 ø è x ø 1. Перестановка столбцов матрицы D (при необходимости). Если в D выбрать базисными 1 и 2 столбцы, то перестановки не требуется, T p = I . Для наглядности примем базис 1 и 3 столбцы, меняем местами 2 и 3 строки в векторе x: 1 1 æ ö æ x x 1 1 æ ö æ öç ÷ ç ö÷ ç ÷ ç ÷ 2 æ x1 ö -1 3 T p = ç 0 0 1÷ = T p , T p x = ç 0 0 1÷ç x ÷ = ç x ÷ , T p x = çç ÷÷ , x1 Î R 2 , x2 Î R , è x2 ø ç 0 1 0÷ ç 0 1 0 ÷çç 3 ÷÷ çç 2 ÷÷ è ø è øè x ø è x ø æ 0 1 1 öæ x1 ö æ 0 1 ö æ1 ö -1 æ x1 ö y = Dx = DT p çç ÷÷ = ç ÷çç ÷÷ = ç ÷ x1 + ç ÷ x2 = D1( 2´2 ) x1 + D2 ( 2´1) x2 è 0ø è x 2 ø è 1 0 0 øè x 2 ø è 1 0 ø 32 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 2. Невырожденная замена переменных x1 Î R 2 выходными переменными -1 -1 æ D D æ x1 ö æ D1 D2 öæ x1 ö æ y1 ö -1 1 1 D2 ö ÷, ÷çç ÷÷ = çç ÷÷ , det Td ¹ 0 , Td = çç Td çç ÷÷ = ç ÷ O I è x2 ø è O I ø è x 2 ø è x2 ø è ø æ0 1 ö æ0 1 ö æ 0 1 öæ 1 ö æ 0ö -1 -1 ÷ , - D1 D2 = ç ÷, D1 = ç ÷ç ÷ = - ç ÷ D1 = ç è1 0 ø è1 0 ø è 1 0 øè 0 ø è1 ø æ0 1 1 ö æ0 1 0 ö -1 -1 ÷ -1 æ D1 - D1 D2 ö ç ÷ æ D1 D2 ö ç ÷÷ = ç 1 0 - 1÷ ÷÷ = ç 1 0 0 ÷ , Td = çç Td = çç I è O1´ 2 I1 ø ç è O ø ç0 0 1 ÷ ÷ 1 è ø è ø æ0 1 1 ö æ0 1 0 ö ÷ -1 ç ç ÷ -1 -1 T1 = Td T p = ç 1 0 0 ÷, T1 = T p Td = ç 0 0 1 ÷ ç 0 1 0÷ ç1 0 - 1÷ è ø è ø æ1 1 0 ö æ1 ö ç ÷ ~ æ A11 A12 ö ç ÷ ~ æ B1 ö -1 ÷÷ , T1 B = ç 0 ÷ = B = çç ÷÷ . T1 AT1 = ç 0 1 1÷ = A = çç è A21 A22 ø è B2 ø ç 0 0 1÷ ç1 ÷ è ø è ø 33 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения 3. Невырожденная замена переменных с вводом корректирующей матрицы x2 = x2 + L( n - m )´ m y , dim x2 , x2 = n - m = 1, L1´ 2 = (l1 l2 ) , 0 0ö æ1 0 0 ö æ 1 ÷ -1 æ I O ö ç ç ÷ æ y ö æ I O öæ y ö æ y ö T2 ç ÷ = ç ÷ = ç 0 1 0÷ ÷ç ÷ = ç ÷ , T2 = ç 0 1 0 ÷ , T2 = ç è- L I ø ç è x2 ø è L I ø è x2 ø è x2 ø ç l l 1÷ ÷ l l 1 è1 2 ø è 1 ø 2 Преобразованная ММ ОУ: x& 2 = A21 y + A22 x2 + B2 u , z& = A21 y + A22 z + B2u , z (0) = 0 Укороченный НС: Система относительно ошибки наблюдения e = x2 - z : e& = A22e = ( A22 + LA12 )e . æ 0ö s ( A22 ) =s d , A22 = A22 + LA12 = (1) + (l1 l2 )ç ÷ = 1 + l2 ? , "l1 Î R è1 ø Пусть l = -5 , находим значение l2 : A22 = 1 + l2 = -5 Þ l2 = -6 , l1 = 0 , L = (0 - 6) . æ1 1 ö A21 = A21 + LA11 - A22 L = (0 0 ) + (0 - 6 )ç ÷ + 5(0 - 6) = (0 - 36) è 0 1ø æ1 ö B2 = B2 + LB1 = (1) + (0 - 6 )ç ÷ = 1. НС: z& = (0 - 36) y - 5 z + u è 0ø Система относительно ошибки наблюдения: e& = -5e 34 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения æ 0 1 0 öæ 1 0 0 ö æ 0 1 0 ö ÷ç ÷ ç ÷ -1 -1 -1 ç Обратная матрица перехода: T = T1 T2 = ç 0 0 1 ÷ç 0 1 0 ÷ = ç 0 6 1 ÷ ç 1 0 - 1÷ç 0 6 1 ÷ ç 1 - 6 - 1÷ è øè ø è ø 0 öæ y1 ö æ0 1 ç ÷ç ÷ -1 æ y ö 1 ÷ç y2 ÷ = - 24 y1 + 64 y2 + 15 z u = Fx = FT ç ÷ = (- 26 - 9 - 24)ç 0 6 èzø ç 1 - 6 - 1÷ç z ÷ è øè ø Уравнение замкнутой системы: yö -1 æ æ y ö æ 0 ö ö -1 æ 0 ö x& = Ax + Bu = Ax + BFT ç ÷ = Ax + BFT çç ç ÷ - ç ÷ ÷÷ = ( A + BF ) x - BFT ç ÷, èe ø èzø è è x2 ø è e ø ø æ0ö æ0 ö æ0ö æ0 ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç -1 ç ÷ - BFT ç 0 ÷ = ç - 1÷(- 24 64 15)ç 0 ÷ = ç - 15 ÷e çe ÷ ç 0 ÷ çe ÷ ç0 ÷ è ø è ø è ø è ø æ y1 ö ÷÷ - z = x 2 - 6 y 2 - z Ошибка наблюдения e = x2 + Ly - z : e = x 2 + (0 - 6)çç è y2 ø 2 3 При перестановках 2 и 3 строк x2 = x , если перестановок не было, то x2 = x . -1 æ 35 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Комбинированное управление x& = Ax + Bu + Qh (t ), y = Dx, x Î R n , u Î R p , y Î R m , h (t ) Î R q – вектор внешних возмущений, An´n , Bn´ p , Qn´q – известные матрицы h (t ) £ N "t ³ 0 – условия технической реализуемости системы управления. Условия компенсации внешних возмущений, если сигналы h (t ) известны 1. Частный случай – элементарная система p = n = rankBn´n . Полная компенсация возмущений с помощью комбинированного u = Fx - B -1Qh , управления где Fx – стабилизирующая составляющая, B -1Qh – компенсирующая составляющая, замкнутая система: x& = ( A + BF ) x . 2. Общий случай rankB = p < n . Полная компенсация возмущений возможна только при выполнении условий согласования (matching conditions): Im Q Ì Im B Û rankB = rank( B Q) Þ x& = Ax + B(u + Lh ), Q = BL p´q с помощью комбинированного управления u = Fx - Lh Þ x& = ( A + BF ) x . 36 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения ПРИМЕР. Проверить выполнение условий согласования. æ 0ö æ 0ö æ1 ö æ 0ö æ 0ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x& = Ax + Bu + Qh , B = ç 2 ÷ , rB = r ç 2 ÷ = 1, Q1 = ç 0 ÷ , Q2 = ç 0 ÷ , Q3 = ç 4 ÷ ç1 ÷ ç1 ÷ ç1 ÷ ç1 ÷ ç 2÷ è ø è ø è ø è ø è ø æ0 1 ö ÷ ç rank ( B Q1 ) = rank ç 2 0 ÷ = 2 > rankB = 1, ç1 1 ÷ è ø æ 0 0ö ç ÷ rank ( B Q2 ) = rank ç 2 0 ÷ = 2 > rankB = 1 – в обоих случаях условия согласования ç1 1 ÷ è ø не выполнены, внешние возмущения компенсировать нельзя; æ0 0ö ç ÷ rank ( B Q3 ) = rank ç 2 4 ÷ = 1 = rankB – условия согласования выполнены, внешç1 2 ÷ è ø ние возмущения можно компенсировать при наличии их оценок. 37 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Наблюдатель повышенной размерности при наличии модельных возмущений x& = Ax + Bu + Qh (t ), y = Dx, x Î R n , u Î R p , y Î R m , h Î R q h& = Pq ´ qh – экзогенная динамическая модель возмущений, н.у. неизвестны пары ( D , A) , (Q, P ) наблюдаемые, A, B , Q, D, P – известные матрицы. Случай постоянных возмущений: h& = 0 . n+ q Расширенный вектор состояний: x = col( x, h ), x Î R , æ A Qö æ Bö &x = A x + B u, y = D x , A =ç ÷, B = ç ÷, D = ( D O). ( n + q )´( n + q ) è O P ø ( n + q )´ p è O ø m´( n + q ) Если пара ( D , A ) наблюдаема, то строим НС повышенной размерности: z& = A z + B u + L( y - D z ), z Î R n + q , z = col( z x , zh ) . Система относительно ошибок наблюдения: e = x - z: e& = ( A - LD )e , e Î R n + q . ( n + q )´ m Выбор матрицы коррекции L Î R : s ( A - LD ) = s d и e ® 0 Û z ® x . Если условия согласования выполнены, то комбинированное управление: u = Fx - Lh . Замкнутая система с НС: u = Fz x - Lzh = F ( x - e x ) - L(h - eh ) , x& = Ax + B ( F ( x - e x ) - L (h - eh ) + Lh ) = ( A + BF ) x + B (- Fe x + Leh ) . 38 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Пример 1. x&1 = x2 + ah , a ¹ 0, y = x1 , x& 2 = u , h& = 0 æ0 1 ö æaö ÷ , D = (1 0) , Q = ç ÷ , P = 0 , пары ( D, A) и (Q, P) наблюдаемы. A=ç è 0 0ø è0ø æ0 1 a ö ÷ æ A Qö ç A=ç ÷ = ç 0 0 0 ÷, D = ( D O) = (1 0 0) Матрицы расширенной системы: èO Pø ç ÷ è 0 0 0ø æ D ö æ1 0 0ö ÷ ç ç ÷ Расширенная система ненаблюдаема: H = ç D A ÷ = ç 0 1 a ÷, rankH = 2 < 3 ç ç0 0 0÷ 2÷ D A ø è ø è æ 0ö æaö æ0 aö ÷, Условия согласования не выполнены: B = ç ÷ , Q = ç ÷ , ( B Q) = ç è1 ø è0ø è1 0 ø 1 = rankB < rank ( B Q) = 2 . 39 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения x&1 = x2 , y = x1 , Пример 2. x& 2 = h + u , h& = 0 Матрицы расширенной системы: æ0 1 0 ö ÷ æ A Qö ç A=ç ÷ = ç 0 0 1 ÷, D = ( D O) = (1 0 0) èO Pø ç ÷ è ø æ D ö æ 1 0 0ö ç ÷ ç ÷ Расширенная система наблюдаема: H = ç D A ÷ = ç 0 1 0 ÷, rankH = 3 ç ç 0 0 1÷ 2÷ D A ø è ø è æ 0ö æ 0ö æ 0 0ö Условия согласования выполнены: B = ç ÷ , Q = ç ÷ , ( B Q ) = ç ÷ , rB = r(B Q) = 1 è1 ø è1 ø è1 1 ø Базовый закон комбинированного управления: u = Fx - h s d = ( -1; - 2) : (l + 1)(l + 2) = l2 + 3l + 2 – эталонный полином Fx = f1 x1 + f 2 x2 = -2 x1 - 3 x2 – стабилизирующая составляющая 40 Лекция 2. Задача наблюдения линейных стационарных систем. Основные положения Расширенный асимптотический наблюдатель состояния æ l1 ö æ l1 0 0 ö ç ÷ ç ÷ z& = A z + B u + LD e , L3´1 D1´3 = ç l2 ÷(1 0 0) = ç l2 0 0 ÷ ç l 0 0÷ çl ÷ è 3 ø è 3ø каноническая форма наблюдаемости при Ошибки наблюдения: e1 = x1 - z1 , e 2 = x2 - z 2 , e 3 = h - z3 : скалярном выходе, æ - l1 1 0 ö первый столбец – ç ÷ Ae = ç - l2 0 1 ÷ – коэффициенты e& = ( A - LD )e = Ae e , ç - l 0 0 ÷ характеристического è 3 ø полинома с противоположными знаками - l1 - l 1 0 det( Ae - Il ) = - l2 - l 1 = - (l3 + l1l2 + l2 l + l3 ) - l3 0 -l l1, 2,3 = -10 : (l + 10) 3 = l3 + 30l2 + 300l + 1000 Þ l1 = 30, l2 = 300, l 3 = 1000. u = Fx - h : u = -2 z1 - 3z 2 - z3 – реализация базового закона управления x&1 = x2 , x&2 = -2 x1 - 3x2 + 2e1 + 3e 2 + e 3 – замкнутая система Результат: lim e 1, 2,3 = 0 , lim x1, 2 = 0 t ®¥ t ®¥ 41