Мощность в цепях синусоидального тока

1.1. МОЩНОСТЬ В ЦЕПЯХ СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА Активная мощность – среднее значение мгновенной мощности за период: . (3.7.1) Учитывая, что ток с напряжением изменяются по законам: , (3.7.2) , (3.7.3) распишем (3.7.1) как: . (3.7.4) Используя известное тригонометрическое тождество: Преобразуем (3.7.4) к виду: (3.7.5) Интеграл от первого слагаемого выражения (3.7.5): . (3.7.6) Интеграл от второго слагаемого выражения (3.7.5): (3.7.7) Таким образом, поскольку после взятия интеграла второе выражение обращается в нуль: . (3.7.8) Преобразуем последнее выражение: , (3.7.9) учитывая что в последнем выражении , – действеющие значения напряжения и тока соответственно: . (3.7.10) Активную мощность можно понимать как энергию, выделяемую в виде теплоты в единицу времени на участке цепи, содержащем активное сопротивление. 1.2. Выражение мощности в комплексной форме записи. Рассмотрим некоторое комплексное число . Для любого комплексного числа существует комплекс, сопряжённый с данным комплексным числом : , (3.8.1) . (3.8.2) Изображение комплексного числа и комплекса, сопряжённого с ним представлено на рис. 3.8.1. Предположим, что на некотором участе электрической цепи известны значения напряжения и тока . Для тока вводим понятие комплекса, сопряжённого с комплексным числом : . (3.8.3) Рассмотрим произведение: . (3.8.4) В последнем уравнении вводим обозначения: , (3.8.5) полная мощность электрической цепи, единицей измерения которой является ВА; , (3.8.6) угол сдвига фаз между векторами тока и напряжения. Таким образом, выражение (3.8.4) принимает вид: . (3.8.7) Используя формулу Эйлера, преобразуем последнюю формулу: . (3.8.8) Вводим обозначения: (3.8.9) – активная мощность электрической цепи, единицей измерения которой является Ватт (Вт); (3.8.10) – реактивная мощность электрической цепи, единицей измерения которой является Вар. Учитывая выражения (3.8.9) и (3.8.10) уравнение (3.8.8) принимает вид: . (3.8.11) Поскольку является комплексным числом, оно может быть изображено на комплексной плоскости в виде так называемого «треугольника мощностей». 1.3. Баланс мощностей в цепях синусоидального тока. Так же как для линейных цепей постоянного тока (см. п. 2.2), для линейных цепей переменного синусоидального тока может быть составлен баланс мощностей, который является одной из форм записи закона сохранения энергии. С помощью баланса мощностей проверяют значения токов и напряжений на элементах рассматриваемой электрической схемы, определяемых в ходе анализа процессов происходящих в них. Предположим, что в некоторой электрической цепи содержится K активных сопротивлени, L индуктивных элементов и A ёмкостных элементов. Цепь также содержит N источников ЭДС, значения которых с течением времени изменяются с одинаковой частотой  по синусоидальному закону. Через данные источники ЭДС протекают токи, также изменяющиеся с течением времени по синусоидальному закону с частотой . Предположим, что в данной электрической цепи содержася M источников тока, величина которых изменяется по синусоидальному закону с частотой . Баланс мощностей в общем виде для такой цепи будет состоять из двух составляющих: активной и реактивной. Активная составляющая баланса мощностей запишется как: . (3.9.1) Правая часть выражения (3.9.1) содержит два слагаемых: первое слагаемое правой части – сумма произведений действующих значений ЭДС и токов, которые протекают через данные ЭДС, на косинус разности начальных фаз рассматриваемых ЭДС и тока; второе слагаемое правой части – сумма произведений действующих значений источников тока и величин напряжений на них, на косинус разности начальных фаз рассматриваемых источников тока и напряжений на них. Левая часть выражения (3.9.1) представляет собой сумму произведений величин активных сопротивлений рассматриваемой электрической цепи на квадрат действующих значений токов, протекающих через них. Реактивная составляющая баланса мощностей для цепей синусоидального тока в общем виде имеет вид: (3.9.2) Правая часть последнего выражения составляется аналогично правой части выражения (3.9.1), отличие только в том, что в первом и втором слагаемых выражения вместо косинуса разности начальных фаз соответствующих ЭДС и тока берётся синус этого же угла. Левая часть уравнения (3.9.2) также имеет два слагаемых. Первое слагаемое представляет собой сумму произведений величин индуктивных сопротивлений рассматриваемой электрической цепи на квадрат действующих значений токов, протекающих через них. Второе слагаемое – сумму произведений величин ёмкостных сопротивлений на квадрат действующих значений токов, протекающих через них, при этом данная сумма записывается со знаком «–». Составим в качестве примера баланс мощностей для цепи синусоидального тока, рассмотренной ранее (рис. 3.6.3). Предполагаем, что для рассматриваемой цепи известны параметры всех пассивных элементов и все ЭДС содержащиеся в цепи изменяются по синусоидальному закону. Частота изменения всех ЭДС  одинаковая. Также предполагаем, что одним из изветных способов были определены токи, протекающие во всех ветвях электрической цепи, и известны комплексы их действующих значений: , (3.9.3) , (3.9.4) . (3.9.5) Баланс мощностей по активной составляющей для рассматриваемой цепи (рис. 3.6.3) выглядит следующим образом: (3.9.6) По реактивной составляющей: (3.9.7) Если правые и левые части в выражениях (3.9.6) и (3.9.7) равны, в этом случае можно утверждать, что значения токов (3.9.3) – (3.9.5) определены верно. Допускается несовпадение в правой и левой частях уравнений (3.9.6) и (3.9.7) не более чем на 3%, что может объясняться примененем операций округления, выполняемые при определении токов. 1.4. Резонансный режим работы двухполюсника. Рассмотрим некоторый двухполюсник, содержащий активные и реактивные (индуктивные и ёмкостные) элементы. Предположим, что двухполюсник подключён к источнику электрической энергии, изменяющийся с течением времени по синусоидальному закону. Введём понятие резонансного режима: Резонансный режим работы двухполюсника – режим, при котором входное сопротивление двухполюсника является чисто активным. При резонансном режиме, несмотря на имеющиеся в двухполюснике реактивные элементы, ток с напряжением должны совпадать по фазе. Ниже будут рассмотрены два примера получения резонансного режима работы двухполюсника, при которых в одном случае будет получен резонанс токов, в другом случае резонанс напряжений. Резонанс напряжений. Рассмотрим схему, представленную на рис. 3.10.1. Напряжение на его зажимах будет определяться следующим образом: . (3.10.1) Как следует из определения резонансного режима работы двухполюсника, сопротивление рассматриваемого двухполюсника должно быть чисто активным, т. е. его реактивная составляющая должна быть равна нулю: . (3.10.2) Выражая из последнего уравнения частоту , получаем: Частота , вычисляемая на основе формулы (3.10.3) называется резонансной частотой. Если источник электрической энергии, к которому подключён рассматриваемый двухполюсник, имеет данную частоту, его сопротивление снижается до некоторого минимального значения, ограниченного только величиной активного сопротивления двухполюсника. Векторная диаграмма рассматриваемого двухполюсника при резонансном режиме его работы имеет вид (рис. 3.10.2). Как видно из векторной диаграммы, падения напряжения на индуктивном и ёмкостном элементах двухполюника равны друг другу по модулю, но противоположны по фазе. При этом модули данных падений напряжений по величине могут превышать величину падения напряжения на активном сопротивлении. Добротность – (3.10.4) показывает, во сколько раз напряжение на реактивном элементе превышает напряжение на входе системы. Резонанс токов. Рассмотрим схему, представленную на рис. 3.10.3. Токи, протекающие в схеме, согласно закону Ома, будут определяться следующим образом: , (3.10.5) . (3.10.6) Общий ток схемы определим согласно первого закона Кирхгофа: , (3.10.7) . (3.10.8) или: (3.10.9) Определим параметры комплексных проводимостей ветвей. Проводимость первой ветви : , (3.10.10) Вводим обозначения: , (3.10.11) . (3.10.12) Проводимость второй ветви : (3.10.13) Вводим обозначения: , (3.10.14) , (3.10.15) Как следует из определения резонансного режима работы двухполюсника, сопротивление (или проводимость) двухполюсника должно быть чисто активным, т.е. реактивная составляющая сопротивления (или проводимости) должны быть равны нулю: , (3.10.16) , (3.10.17) . (3.10.18) Как и в случае с резонансом напряжения, определим частоту при котором наступает явление резонанса, выразив её из формулы (3.10.17). Данная задача может быть упрощена если ввести допущение, что и , тогда: , (3.10.19) откуда выражаем : . (3.10.20) Векторная диаграмма, характерная для режима резонанса токов в двухполюснике (см. рис. 3.10.3) представлена на рис. 3.10.4. В идеальном случае, когда значение тока , токи и будут равны друг другу по модулю и противоположны по фазе. 1.5. Магнитосвязанные элементы в цепях синусоидального тока. Рассмотрим две катушки индуктивности 1 и 2, имеющие между собой магнитную связь (рис. 3.11.1) обеспечиваемою с помощью магнитопровода 3. Поскольку в них протекают токи и катушки будут создавать магнитные потоки и соответственно. Направление этих магнитных потоков связано с направлением токов в катушках с помощью правила буравчика. Предполагаем, что большая часть магнитного потока, создаваемого катушками будет замыкаться по магнитопроводу 3. В случае, если катушки индуктивности имеют направление тока и направление намотки, представленное на рис. 3.11.1 а) в этом случае создаваемые ими магнитные потоки будут складываться. В случае, если направление протекания тока в катушках и направление их намотки соответствуют случаю, представленному на рис. 3.11.1 б) магнитные потоки, создаваемые катушками будут вычитаться. В первом случае магнитное включение катушек будет называться согласным, во втором случае – встечным. Сумарный магнитный поток, замыкающийся по магнитопроводу, наводит в каждой из обмоток ЭДС, значения которых влияют на формирование токов в электрической цепи, в которую они включены. Поэтому при анализе процессов в электричеких цепях, содержащих магнитосвязанные элементы, необходимо учитывать каким образом (согласно или всречно) включены катушки индуктивности. Для определения характера включения обмоток вводят следующие обозначения (рис. 3.11.2). Точками на схеме обозначают начала обмоток – выводы, при «втикании» тока в которые в данной системе обмоток создаётся согласное включение. Согласное включение в данной системе обмоток будет также создано, если с выводов обмоток, обозначенных точками, ток будет «вытикать». В остальных случаях включение будет встречное. Ниже будут рассмотрены примеры расчёта электрических цепей, содержащие магнитосвязанные катушки. Пример 1. Рассмотрим схему на рис. 3.11.3, в которой катушки индуктивности 1 и 2 имеют магнитную связь. Схема имеет два контура для которых запишем уравнения по второму закону Кирхгофа: , (3.11.1) а) б) Рис. 3.11.3. Электрическая цепь, содержащая магнитосвязанные элементы. Представим в (3.11.1) , , , , тогда: , (3.11.2) где и – потокосцепления, создаваемые соответсвенно первой и второй катушками: . (3.11.3) Как следует из (3.11.3), потокосцепление каждой катушки состоит из двух слагаемых: – первые слагаемые ( и ) характеризуют магнитные потоки, создаваемые каждой из катушек, и замыкающийся вне магнитопровода. Значения и определяются как , . В этих выражениях и – собственные индуктивности первой и второй катушек соответственно, характеризующие связь между потокосцеплением, замыкающимся вне магнитопровода и током, создающим данное потокосцепление; – вторые слагаемые ( и ) характеризуют магнитные потоки каждой из катушек, замыкающиеся по магнитопроводу. Значения для и запишутся как , . Здесь и – взаимные индуктивности между рассматриваемыми катушками, характеризующие связь между потокосцеплением, замыкающимся по магнитопроводу и токами, создающими данные потокосцепления. Единицей измерения взаимной индуктивности катушек, так же как единицей измерения их собственных индуктивностей L, является Генри (Гн). В линейных электрических цепях принято считать, что и данная величина является постоянной. Знак «+» в системе (3.11.3) перед значениями и устанавливается в том случае, если включение обмоток согласное, как в данном случае (см. рис. 3.11.3). В противном случае, перед значениями и должен быть записан знак «–». Учитывая всё вышесказанное, система (3.11.3) может быть переписана в виде: . (3.11.4) В свою очередь, с учётом (3.11.4), преобразуем и (3.11.2): . (3.11.5) Предполагаем, что все токи и ЭДС в рассматриваемой электрической цепи изменяются по синусоидальному закону: , (3.11.6) , (3.11.7) и поэтому могут быть представлены в виде векторов, вращающихся на комплексной плоскости (см. приложение П1): , (3.11.8) . (3.11.9) Последние два выражения подставляем в систему уравнений (3.11.5): . (3.11.10) Выполняя операции взятия производной и сокращая правые и левые части уравнений на , последнюю систему преобразуем к виду: . (3.11.11) Разделим правые и левые части уравнений системы (3.11.11) на , после чего вводим следующие обозначения: , (3.11.12) , (3.11.13) , (3.11.14) , (3.11.15) , (3.11.16) , (3.11.17) . (3.11.18) Последнее выражение (3.11.18) имеет размерность Ом и называется сопротивлением взаимной индуктивности. С учётом (3.11.12) – (3.11.18) система (3.11.11) перепишется в виде: , (3.11.19) или: , (3.11.20) В матричной форме записи система алгебраических уравнений (3.11.20) будет записана следующим образом: . (3.11.21) Полученную систему уравнений необходимо решить относительно токов и по аналогии с решением системы уравнений (3.6.29). Для этого могут широко использоваться средства имеющиеся в специализированных пакетах прикладных программ, таких как Microsoft Excel, MathСad, MatLab, Mathematica … , а также средства, имеющиеся в свободном доступе в сети Интернет. После того, как определены значения токов, их значения необходимо проверить с помощью баланса мощностей. Пример составления баланса мощностей для рассмотреной схемы будет приведён ниже. При анализе процессов в электрических цепях содержащих магнитосвязанные элементы не обязательно записывать для них математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений (3.11.5). Если известно, что токи, ЭДС и напряжения в рассматриваемой схеме изненяются по синусоидальному закону, необходимо сразу переходить к математической модели рассматриваемой схемы на основе математического аппарата комплексных чисел. Пример 2. Рассмотрим схему, представленную на рис. 3.11.4. Предположим, что для данной схемы известны все параметры входящих в неё пассивных элементов, а также известны законы изменения с течением времени всех источников электрической энергии. Известно, что все источники электрической энергии переменные, изменяются с течением времени по синусоидальному закону с одинаковой частотой . Кроме этого, известно, что между катушками 1 и 2 существует магнитная связь, характеризуемая величиной взаимной индуктивности M. Требуется определить токи, протекающие во всех ветвях схемы. Решение данной задачи будем производить на основании законов Кирхгофа. Поскольку в схеме содержится три ветви, в которых отсутствуют источники тока необходимо в ходе решения задачи определить три тока, протекающие в даных ветвях, и система составляемых уравнений должна иметь размерность 3. Цепь содержит 2 узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение, оставшиеся два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров схемы. Кроме этого определим вид включения катушек 1 и 2. В данном случае он будет встречный поскольку, как следует из рис. 3.11.4, ток входит в конец 1-й катушки, ток – в начало 2-й катушки. Таким образом, система уравнений для схемы, представленной на рис. 3.11.4. будет иметь следующий вид: . (3.11.22) Каждое падение напряжение в последней системе рапишем более подробно: (3.11.23) Выполним перегрупировку в последней системе: (3.11.24) Запишем последнюю систему в матричном виде: (3.11.25) Полученную систему уравнений решают относительно токов , и по аналогии с решением системы уравнений (3.6.29). Для этого могут широко использоваться средства имеющиеся в специализированных пакетах прикладных программ, таких как Microsoft Excel, MathСad, MatLab, Mathematica … , а также средства, имеющиеся в свободном доступе в сети Интернет. Баланс мощностей в цепях синусоидального тока, содержащего магнитосвязанные элементы записывается аналогично балансу мощностей в цепях синусоидального тока (3.9.1), (3.9.2). Существует отличие только в записи выражения (3.9.2), которое в общем случае имеет вид: (3.11.25) Предположим, что в рассматриваемой схеме содержится B катушек, имеющих магнитные связи, и что рассматриваемая j-я связь j=1,…, B существует между ветвями, в которых протекают токи и, и которая характеризуется величиной взаимной индуктивности . Если катушки в ветвях p и s имеют согласное включение, тогда перед последним слагаемым записывается знак «+», в противном случае – знак «–». Для схемы, представленной на рис. 3.11.3. баланс мощностей запишется в виде: (3.11.26) (3.11.27) Для схемы, представленной на рис. 3.11.4. баланс мощностей будет иметь вид: (3.11.28) (3.11.29)