Моделирование

Моделирование (конспект лекций) Список литературы: 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. 1995г., 2001г. 2. Венников В.А., Венников Г.В. Теория подобия и моделирования. 3. Бусленко Н. Моделирование сложных систем. 4. Цымбал В.П. Математическое моделирование металлургических процессов. Моделирование – процесс создания или отыскания в природе некоторого объекта, замещающего исследуемый объект. Моделирование – воспроизведение характеристик некоторого объекта на другом материальном или мысленном объекте, специально созданном для их изучения. Функции и назначения модели. Модели нашли своё применение во всех сферах деятельности человека (производственная, образовательная, исследовательская). 1) В производственной сфере деятельности модели применяются для получения чисто практических результатов. 2) В образовательной сфере деятельности моделирование используется для обучения демонстрации и облегчения усвоения знаний. 3) В исследовательской сфере деятельности моделирование используется для:  Усовершенствования или построения теории процесса;  Предсказания поведения объектов;  Замены сложной системы;  Экономии средств и времени;  Интерпретации экспериментальных и теоретических результатов. Классификация моделирования Есть 3 способа моделирования. I. Способ полного моделирования – при котором обеспечивается подобие движения материи в основных формах его существования, то есть во времени и в пространстве. II. Способ неполного (частичного) моделирования – пари котором протекания всех основных процессов, характеризующих изучаемое явление подобно только частично (или только во времени, или только в пространстве). III. Способ приближённого моделирования – при котором некоторые факторы, имеющие незначительное влияние на протекание изучаемого процесса моделируются приближённо или совсем не моделируются. Приближённое моделирование может быть, как полным, так и неполным. Каждый из рассмотренных способом моделирования может быть разделён на 6 видов моделирования. 1. 2. Наглядное моделирование: a) Гипотезы (мысленные представления); b) Наглядные аналоги; c) Макеты (геометрические копии изучаемого объекта). Символическое (знаковое) моделирование: a) Упорядоченная запись (географическая карта); 3. 4. b) Типологическая запись; c) Графовая запись; d) Условное подобие. Математическое моделирование: a) Схема замещения; b) Программные решения; c) Экономические модели (структурные схемы). Натурное моделирование: a) Моделирование путём обработки обобщение среднего; b) Производственное экспериментальное моделирование (таблица); c) Моделирование путём обобщения производственного опыта. 5. Физическое моделирование: a) Временное моделирование; b) Пространственное моделирование; c) Пространственно–временное моделирование (нестационарное течение русел рек) 6. Аналогово–цифровое моделирование или математически материальное моделирование: a) Аналоговое или прямое моделирование (АВМ); b) Цифровое моделирование (ЭВМ); c) Гибридное моделирование (ГВМ); d) Функциональное моделирование. 2 подхода к моделированию: детерминированный и стохастический. Этапы процесса моделирования. Постановка задачи. 1. Производится чёткое уяснение цели и учёт априорных данных об объекте. «Теория большого прыжка»: -прыжок на месте; -прыжок с табуретки. 2. Выбор подхода к моделированию и построение модели Постановка задачи Стахостический Детерменированый Выбор подхода Определение структуры модели Законы, влияющие на изучаемый объект Натурное моделирование Математическое описание Математическое описание 3. Структура модели Исследование модели – определение адекватности модели. Адекватность модели можно рассчитать двумя способами 1) Статистический метод; 2) Экспериментальный метод (построить эксперимент на объекте и модели, сравнить) Экспериментальные Выбор методики Эксперимент на модели Эксперимент на объекте Расчеты Статистические Расчеты модель, сделать Перенос знаний с модели на оригинал. 4. Нет Модель адекватна Да Эксперименты на модели Усовершенствование объекта Выход Экспериментально–статистические методы моделирования Суть заключается в математической обработке данных, полученных в ходе проведения экспериментов на объекте исследования (построение двух моделей: 1-натурная; 2-расчетная) В основе этих методов лежат разного рода методы аппарата теории вероятности и математической статистики, такие как корреляционный анализ (применяется для нахождения качественной зависимости между выходными и входными параметрами объекта исследования), регрессионный анализ (применяется для выходными и нахождения входными дисперсионный анализ идентификация (для (для количественной параметрами адекватности функционирования зависимости объекта между исследования), полученной адаптивных модели), моделей, подстраивающих свою структуру и параметры под постоянно изменяющееся для функционирования объекта исследования). Виды экспериментов. 1) Пассивный эксперимент. Сутью является простое наблюдение за входными и соответствующие им выходными параметры объекта, причём исследователь не должен вмешиваться в процесс нормального функционирования объекта исследуя, он только регистрирует состояние объекта. «+»: возможность использования данных, полученных на объекте до проведения эксперимента; Нельзя привести объект в аварийную ситуацию. «–»: необходимо проведение большого количества наблюдений. 2) Активный эксперимент. Исследователь заранее формирует план проведения эксперимента, а затем последовательно реализует данный план на объекте исследования. План включает в себя значения входных факторов объекта, которые должны быть реализованы на объекте. Таким образом исследователь напрямую вмешивается в нормальный (ход) процесс функционирования объекта. Различают однофакторный и многофакторный активный эксперимент. В однофакторном эксперименте в определённый момент времени t целенаправленному изменению подвергается только один фактор. Многофакторный эксперимент изменение всех факторов одновременно. заключается в целенаправленное «+»: активного эксперимента – малое количество опытов в эксперименте. В активном эксперименте используются скрытые воздействия. Сущность регрессионного анализа Сводится к нахождению количественных параметров математической зависимости между исследования, входными причём данные и выходными значения параметрами известны по результатам экспериментов, проводимых на объекте. Результаты экспериментов записываются в табличной форме: Таблица 1 № ₁ 1 2 3 x ₂ x ₁₁ x ₂₁ x ₁₂ x ₂₂ x ₁₃ … n x ₁n x ₂₃ … … x x ₂n … k … k₁ … k₂ … k₃ … … kn x y x y ₁ x y ₂ x y ₃ … … x y n Во всех столбцах этой таблицы находятся цифры, данные 𝑦̂𝑖 = 𝑏0 + 𝑏1 ∗ 𝑋1𝑖 + 𝑏2∗ 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝑏𝑛∗ 𝑥𝑛𝑖 𝑦̂𝑖 –линейно регрессионное уравнение; объекта 𝑏1 ∗ 𝑋1𝑖 + 𝑏2∗ 𝑋2𝑖 + ⋯ + 𝑏𝑛∗ 𝑥𝑛𝑖 – линейные члены; 𝑏0 –свободный член; 𝑏1 , 𝑏2 , … 𝑏𝑛 –неизвестные количественные параметры; i –номер опыта наблюдений. Чаще всего, для нахождения неизвестных параметров регрессионного уравнения на основе данных полученных в ходе пассивного эксперимента используется метод наименьших квадратов(МНК). Сущность метода наименьших квадратов заключается в минимизации суммы квадратов отклонений рассчитываемых значений выходного параметра от фактически наблюдаемых в опытах значений выходного параметра. N Q = ∑(yi − ŷi )2 → m𝑖𝑛 i=1 yi –фактическое наблюдаемое значение выходного параметра; ŷi –расчётное значение выходного параметра, которые получаются в ходе подстановке условий проведения i-го опыта в определённом регрессионном уравнении. 𝑋1𝑖 , 𝑋2𝑖 , 𝑥𝑛𝑖 , yi –берутся из столбцов 1-5 таблицы 1. 𝑁 2 𝑄 = ∑(𝑦𝑖 − 𝑏0−𝑏10𝑥1 𝑖 − 𝑏𝑘 ⋅ 𝑋𝑘0 ) → 𝑚𝑖𝑛 𝑖 Для нахождения неизвестных параметров необходимо произвести дифференцирование уравнения по неизвестным параметрам (𝑏0 , 𝑏1 , … 𝑏𝑘 ) и =0. Получившаяся система линейных уравнений будет состоять из k+1 уравнение. Предпосылки использования метода наименьших квадратов 1) Входные величины Хki должны измеряться с точностью значительно превышающую точность измерения выходной величины Уi. (y ± ε) = b0 + b1 (x1 ± ε) + b2 (x2 ± ε) 2) Входные величины Хki не должны быть коррелированными (статистически связаны между собой) Для проверки данной предпосылки используется матрицы корреляции. Если (xi − xj ) ≥ 0,4, то между двумя величинами есть достаточно сильная связь и метод наименьших квадратов использовать нельзя (нужно использовать систему моделей). 3) Достаточность структуры модели Если (eyx𝑖 )<= 0,6 , то связи между данные входного параметра незначительно влияют на выходной параметр и его можно исключитью Пример: y = b0 + b1 x1 + b2 x2 (eyx𝑖 )= 0,67561 из этого следует, что { y = b0 + b1 x1 y = b0 + b1 x1 4) – система моделей Дисперсия выходного параметра У не должна зависеть от его абсолютной величины (должно соблюдаться условие равноточности опытов). 5) Выходной параметр должен подчиняться нормальному закону распределения. 6) Помехи должны быть случайными величинами и подчиняться нормальному закону распределения. Множественная регрессия Полный факторный эксперимент Относится к разряду активных многофакторных экспериментов и заключается в проведение опытов, в которых входные факторы (называемые варьируемыми) целенаправленно изменяются на определённую величину – интервал варьирования относительно выбранного опорного уровня в сторону уменьшения. Рассмотрим этапы проведения ПФЭ на примере объекта с тремя входными и одним выходным параметрами. Рекурсивное уравнение имеет вид: y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x3 + 𝑏12 x1 x2 + b23 x2 x3 + b13 x1 x3 + b123 x1 x2 x3 1. Описание объекта Х1 = 800 р. Х2 = -5 / +5 = 1 Х3 = 0 / 10 = 6 Определение опорных уровней 𝑋𝑗оп и интервала варьирования Δxj А) За опорные уровни чаще всего выбирают те значения входных факторов, которые характеризуют нормальное функционирование объекта. 𝑋1оп = 800р (деньги) 𝑋2оп = 1 (как общается) 𝑋3оп = 6 (внешний вид) Б) Интервалы варьирования выдаются из следующего правила: они не должны быть слишком малы (в этом случае объект не почувствует изменение входных параметров), но он должен быть слишком большой (объект может быть приведён в аварийное состояние) Малый интервал варьирования от опорного уровня 10%; средний 20%; большой 30%. Δx1 =1000; Δx2 =3; Δx3 =3. В) Определение значений входных факторов в опытах Xjmax = xjоп + 𝛥𝑥𝑗 Xjm𝑖𝑛 = xjоп − 𝛥𝑥𝑗 X1max =800+1000=1800 X1m𝑖𝑛 =-200 X2max =4 X2m𝑖𝑛 =-2 X3max =9 X3m𝑖𝑛 =3 Г) Кодирование входных переменных Xj = xj − xjоп Δxj X1max =+1 X2max =+1 X3max =+1 X1m𝑖𝑛 =-1 X2m𝑖𝑛 =-1 X3m𝑖𝑛 =-1 Д) Формирование матрицы планирования эксперимента. Для построения регрессионного уравнения необходимо провести N = 2k опытов. N 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Х1 2 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 Входы Х2 3 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 Х3 4 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 У1 5 Опыты У2 6 У3 7 y̅ 8 На данном этапе заполняется 1-4 столбцы, при этом не должно быть повторяющегося уровня фактора. Е) Проведение опытов. Заполняются столбцы 5, 6, 7 причём в эксперименте необходимо реализовать параллельные опыты. Параллельные опыты реализовываются для исключения влияния на выходной параметр и заключается в проведении одинаковых опытов с одинаковыми условиями, но в разное время. При реализации опытов необходимо обеспечить их случайное проведение N Входы Опыты y̅ Х1 Х2 Х3 У1 У2 У3 1 2 3 4 5 6 7 1 -1 -1 -1 2 +1 -1 -1 1 0,5 0,75 3 -1 +1 -1 15 16 20 4 +1 +1 -1 40 35 50 5 -1 -1 +1 6 8 10 6 +1 -1 +1 3 5 10 7 -1 +1 +1 20 26 23 8 +1 +1 +1 100 90 100 8 Ж) Нахождение y̅ y̅i = 1 m ∑m l=1 yil , где m–число параллельных опытов (заполняется 8 столбец) З) Определение коэффициентов модели 1 b0 = ∑ N ̅ i , где N – количество опытов в эксперименте. i=1 y N 1 N bi = ∑ N i=1 входного фактора. Xlj ⋅ y̅i , Xlj – кодирование значение соответствующего З) Определение статистической значимости коэффициентов: 1) Определение построенной дисперсии Dⅈ = 1 m−1 m ∑l=1(yil − y̅i )2 , где m – количество параллельных опытов. 2) Проверка производимости опытов по критерию Кохрена Gp = max(Di) ∑𝑁 i=1 Di – проверяется с табличным значением. Если Gp< Gт – опыты равноточны; Если Gp ≥ Gт – опыты не равноточные и необходимо увеличить количество опытов. 3) Определение дисперсии эксперимента v 1 sy = ∑ si N i=1 (среднее арифметическое значение построенных дисперсий) Если нет параллельных опытов, то 4) 1 N−1 N ∑ (yj − y̅i ). i=1 Определение среднеквадратичного отклонения коэффициента δу σbj = √ 𝑁 5) Определение доверительного интервала для коэффициента Δbj = t ⋅ σbj 𝑡 = 2,12 ; критерий из таблицы по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы f=N*(m-1), где N-общее количество, а m-число параллельных опытов. 6) Сравнение коэффициентов регрессионного уравнения, взятого по модулю с доверительным интервалом. Если bj ≤ Δbj , из этого следует что bj =0. Коэффициент со статическим значением и в дальнейшем он не учитывается в регрессионном уравнении. И) Определение адекватности математической модели 1. Определение дисперсии адекватности N sад = ̅i −y ̂i )2 m⋅∑j=1(y 𝑁−l m-количество параллельных опытов; N – Общее количество экспериментов; L– Количество значимых коэффициентов; y̅i –среднее арифметическое значение выходного параметра в i-ом опыте; ŷi –значение расчётное выходного параметра полученное в ходе подстановки условий проведения i-го опыта в регрессионное уравнение с исключёнными не значимыми коэффициентами. Если параллельных опытов нет, то m=1. Если N=l, то необходимо определить дисперсию адекватности как N-1. 2. Определение расчётного критерия Фишера sag FP = sy Должен всегда быть больше 1. 3. Если расчётный критерий Фишера меньше табличного критерия Фишера, то модель является адекватной 𝐹𝑃 ≤ 𝐹𝑇 α=0,05; 𝑓1 = 𝑁 ∗ (𝑚 − 1); 𝑓2 = 𝑁 − 𝑙; Две степени свободы. К) Раскодирование модели x1 − x1оп x2 − x2оп x3 − x3оп y = b0 + b1 ( ) + b2 ( ) + b3 ( ) Δx1 Δx2 Δx3 x1 − x1оп x2 − x2оп x1 − x1оп x3 − x3оп + b12 ( )( ) + b13 ( )( ) Δx1 Δx2 Δx1 Δx3 x2 − x2оп x3 − x3оп + b23 ( )( ) Δx2 Δx3 x1 − x1оп x2 − x2оп x3 − x3оп + b123 ( )( )( ) Δx1 Δx2 Δx3 ′ ′ ′ ′ 𝑦 = 𝑏0′ + 𝑏1′ 𝑥1 + 𝑏2′ 𝑥2 + 𝑏3′ 𝑥3 + 𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 𝑏13 𝑥1 𝑥3 + 𝑏23 𝑥2 𝑥3 + 𝑏123 𝑥1 𝑥2 𝑥3 С помощью полного факторного эксперимента можно создавать и нелинейные модели 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + 𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 𝑏11 𝑥12 Этапы: 1 этап: совпадает с предыдущим 1 этапом 2 этап: Xjmax = xjоп +Δx j Xjm𝑖𝑛 = xjоп −Δx j cp Xj = xjоп 3 этап: X𝑗max =+1 Xjm𝑖𝑛 =-1 cp Xj =0 4 этап: Формирование матрицы планирования эксперимента N = 3k , где к-количество входных факторов. Входы N Параллельные опыты X1 X2 1 -1 -1 2 +1 -1 3 -1 4 -1 +1 5 +1 +1 6 +1 7 -1 8 +1 9 Y1 Y2 𝑦̅ Y3 5 и 6 этапы: АНАЛОГИЧНО 7 этап: Определение коэффициентов 1 b0 = ∑ N ̅i i=1 y N bj = ∑N ̅i ⋅Xji i=1 y N X2ji ∑ i=1 – коэффициенты при линейных членах 𝑁 𝑏𝑗(𝑗−1) = ̅𝑖 ⋅𝑋 ̈ …⋅𝑋(𝑗−1)𝑖 ∑𝑖=1 У 𝑗𝐼 𝑁 ∑ – 2 коэффициенты при членах (𝑋𝑗𝑖 ∗…∗𝑋(𝑗−1)𝑖 ) 𝑖=1 взаимодействия 𝑏𝑗𝑖 = ′ ∑𝑁 ̅ 𝑖 ⋅𝑋𝑗𝑖 𝑖=1 𝑦 𝑁 ∑ ′ (𝑋𝑗𝑖 ) 2 ; 𝑋𝑗𝑖′ = 𝑋𝑗𝑖2 1 𝑁 − ∑ 𝑁 𝑖=1 𝑋𝑗𝑖2 –коэффициенты при 𝑖=1 квадратичных членах В остальном процедура не отличается от рассмотренной ранее кроме определения СКО 𝜎𝑏0 = √ 𝜎𝑏𝑗 = 𝑠𝑦 𝑁 𝑠𝑦 √ 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝜎𝑏(𝑗−1)𝑖 = 𝑥𝑗𝑖2 𝑠𝑦 √ 𝑁 ∑ (𝑥(𝑗−1)𝑖 … ⋅ 𝑥𝑗𝑖 ) 2 𝑖=1 𝜎𝑏𝑗𝑗 = 𝑠𝑦 √ 𝑁 ∑ (𝑥𝑗𝑖′ ) 2 𝑗=1 𝑠𝑦 – дисперсия эксперимента. Содержательный анализ остатков моделирования Остатки (ошибки) моделирования – разность между фактически наблюдаемым значением и расчётным значением выходного параметра. εi = yi − ŷi Относительно ошибок моделирования делаются следующие предпочтения: 1) Ошибки независимы. 2) Ошибки имеют нулевые средние. 3) Ошибки имеют постоянную дисперсию. 4) Ошибки подчиняются нормальному закону распределения. Если модель находится в удовлетворительном соответствии с объектом, то ошибки должны проявлять тенденцию к постоянным сделанным ранее предпосылкам. Для подтверждения предпосылок делается анализ предпосылок. 1) Гистограмма распределения ошибок. 2) График временной последовательности. Нужно проанализировать график. Чем больше N, тем легче проанализировать тенденцию изменения. Виды графиков: А) Эффект времени не влияет на ошибку и модель относительно времени изменять не нужно. Б) Дисперсия изменяется со временем. Необходимо использовать для обработки экспериментальных данных метод взвешенных наименьших квадратов. N 2 ∑ wi (yi − ŷi ) → 𝑚𝑖n i=1 wi – показывает вес того или иного отклонения. Формальные методы ( итерационные) расчёта wi . В) Если случай, когда ошибки моделирования складываются в виде полосы, пересекающей ось ординат под каким-либо углом, необходимо в структуру модели включить линейный член от времени. y = b0 + b1 x1 ; y = b0 + b1 x1 + b𝑛 N; где N–статическая характеристика от времени. Со временем какой-то циклический процесс будет изменён и будет влиять на выходное значение. Г) В структуру модели необходимо включить линейный и квадратичный член от времени. 3) График зависимости ошибок моделирования от расчетного выходного параметра. ̂𝑖 ) 𝜀𝑖 = 𝑓(У А) Предположение относительно ошибок оправдано Б) Дисперсия не постоянна. Необходимо использовать метод взвешенных наименьших квадратов или преобразовать наблюдение за выходными параметрами у. (всё что связано с восприятием) В) В структуре модели пропущен свободный член b0. Г) В структуру модели не включены квадратные члены, члены взаимодействия. 4) График зависимости ошибок моделирования от выходных факторов. εi = f(xj𝑖 ) Если получен график В) это свидетельствует о наличии ошибок в вычислении. Этот график возможен только в том случае, если из расчёта xj𝑖 исключить линейный член. Если получен график Г) – квадратическая зависимость – необходимо включить в структуру модели квадратный член от входного фактора xj . Если в ходе рисования графика получен график в виде бесформенного облака, то структура модели относительно одного фактора верна. 5) График зависимости ошибок моделирования от значений входного фактора, ранее не просматривающегося в структуре модели. εi = f(x(k+1)𝑖 ) Исключение этого фактора было сделано не зря. – от простого к сложному  Минимальные значения входа 1) y = b0 + b1 x1 + b2 x2 2) адекватность 3) анализ ошибок εi 4) изменяем структуру модели. – от сложного простому 1) выбор структуры (усложнение модели, как можно больше факторных экспериментов) ПФЭ. 𝑦 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥1 + 𝑏2 𝑥2 + 𝑏12 𝑥1 𝑥2 + 𝑏11 𝑥12 + 𝑏22 𝑥22 2) статистическая значимость Например, 𝑏12 = 0, 𝑏11 =0. 3) Адекватность.