Моделирование временных рядов. МНК

ЛЕКЦИЯ 1. ВВЕДЕНИЕ В ПРОБЛЕМУ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ. СЛОЖНЫЕ ОБЪЕКТЫ. ТИПЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ Составитель: д.т.н. Колесникова С.И. [email protected] 1.1. ОБЪЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ. СОВРЕМЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ X i  t   fi  X i  t    u j , X i  t  1  fi  X i  t    u j , i  1, n, j  1, m Состояние (совокупность переменных) детерминированной динамической системы (ДС) изменяется во времени по некоторому заданному закону. Регулярные ДС – устойчивые (малые возмущения со временем затухают, ДС возвращается к исходному регулярному (стационарному) поведению. Хаотические ДС обладают экспоненциальной чувствительностью к начальным условиям (изменение в начальных условиях усиливается экспоненциально во времени). Примеры хаотического поведения: броуновское движение, изменения погоды, колебания орбит астрономических тел, поведение фондовой биржи, биологические процессы в организме человека, криптографические системы. Объекты исследований: открытые сложные нелинейные системы с 2 обратными связями. НЕТРИВИАЛЬНОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЪЕКТОВ «... истинные законы не могут быть линейными» А. Эйнштейн «... Создание общей теории нелинейных систем вряд ли возможно» Р. Фейнман Все реальные системы являются нелинейными, многомерными и многосвязными, в которых протекают сложные переходные процессы и возникают критические и хаотические режимы. Проблемы системного синтеза, т.е. поиска общих объективных законов процессов управления в такого рода динамических системах, являются весьма актуальными, трудными и во многом практически недоступными для классической науки. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. –М.: Мир, 1979. 3 СООТНОШЕНИЕ ТЕОРИЙ ТРАДИЦИОННОЙ И ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В.Б. Занг (1991) Акцент на нелинейные и неустойчивые процессы, характеризующие поведение экономикоматематических моделей. Экономические модели иллюстрации уже известных математических результатов «Переходы, перестройки в процессе самоорганизации неуправляемы (в традиционном смысле), переход совершается под действием неопределённых флуктуаций». …в процессе перехода закон больших чисел не работает! И. Пригожин (2004) «ЛЮБАЯ СИСТЕМА ИМЕЕТ ЦЕЛЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ» Н. Винер «РАЗВИТИЕ ЛЮБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПРОИСХОДИТ В ОКРЕСТНОСТИ НЕКОТОРОГО АТТРАКТОРА» (Н.Н.Моисеев, (1917- 2000)). Центр тяжести в теории детерминированного хаоса Центр тяжести в традиционных теориях: рациональное поведение, устойчивость и равновесие (Хакен, Пригожин, Занг,…): неустойчивость, неравновесное состояние, структурные изменения, бифуркации и хаос; «навязывание» системе новых аттрактивных множеств состояний  новые свойства систем ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЦИКЛЫ ТАКЖЕ ЕСТЕСТВЕННЫ, КАК КОЛЕБАНИЯ ЧИСЛЕННОСТИ ПОПУЛЯЦИЙ, А «СКАЧКИ» В ЭКОНОМИКЕ И ОБЩЕСТВЕ КАК ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВА В ХИМИИ 4 ЕДИНСТВО ЗАКОНОВ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА: катастрофические события разной природы могут развиваться по одним законам (Г.Г. Малинецкий) Фондовый рынок: зависимость логарифма индекса Доу-Джонса от времени перед Великой депрессией в 1929г. Геологический объект: концентрации ионов хлора в родниках перед землетрясением в Кобе в 1995г. 5 Междисциплинарные течения в науке XX в тектология (Богданов) теория колебаний (Пуанкаре, Мандельштам, Андронов) кибернетика (Винер) теория катастроф (Том, Арнольд) системный анализ (Берталанфи) синергетика (Пригожин, Хакен…) Понятия системы, обратных связей, цели, самоорганизации Теория автоматического управления робототехника искусственный интеллект Трансдисциплинарный резонанс в комплексных задачах гелиотараксия (Чижевский) теория сложности учение о биосфере и ноосфере(Вернадский) динамический хаос принцип дополнительност и (Бор) фрактальная геометрия универсальный эволюционизм (Моисеев) и т.д. 6 КОМПЬЮТЕР И ИНФОРМАЦИОННЫЙ ГОЛОД • «Данные – это злокачественная опухоль, новейшая разновидность загрязнения окружающей среды» (С. Бир) • Наркотическая увлеченность компьютерами приводит к псевдоассоциациям и метафорам  иллюзия описания изучаемой проблемы • «Негативная роль ученых и преподавателей - программистов». • «Компьютерный интеллектуальный прорыв» не решил задачи в нелинейной постановке размерности 3 и более. • «Информацию, перегруженную огромным количеством деталей, затемняющих существо дела, необходимо сжать, превратив в небольшое число законов, концепций и идей». Г. Хакен Число публикаций  - с 1870 г. в биомед. журналах в 2 раза каждые 19 лет, т.е. в 4 раза за период профессиональной деятельности врача; - за 1982 - 1992 г:  в биологии и клинич. медицине > 9, 7 млн., соответственно;  по химии, как и по физике, - более 4 млн., по геологии - около 1 млн. - (Э. Тоффлер. Футурошок. СПб): 1979 г. - «озоновая дыра» обнаружена америк. спутником, «утонула» в архиве из 3 млн. видеолент; через 7 лет англ. ученые ее расшифровали, стали «первооткрывателями». 7 СИНЕРГЕТИКА: современные направления исследований 1. Самоорганизация и естественные науки 4. Направленная самоорганизация в истории 8. Синергетика нейронной памяти 9. Синергетика эмбриогенеза 2. Нелинейное управление на многообразиях в технических системах 5. Направленная самоорганизаци я и управление в социальных системах 3. Самоорганизация в радиотехнике: фрактальный обнаружитель радиосигналов 6. Синергетическая экономика 7. Синергетика интернета 10. Защита информации на базе детерминированного хаоса Кибернетика и синергетика: единство процессов самоорганизации и управления 8 СИНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ УПРАВЛЕНИЯ. МЕТОДЫ НЕЛИНЕЙНОЙ АДАПТАЦИИ НА МНОГООБРАЗИЯХ: ИСТОРИЯ ВОПРОСА 1. 1939 г. - Г.В. Щипанов: задача синтеза регулятора из «условия компенсации» внешних возмущений, «регулятор с полной компенсацией». (лишение всех регалий) 2. 1940 г. - Н.Н. Лузин дал математическое толкование условиям компенсации, ввел термин «условия инвариантности» и показал, что решение дифференциального уравнения, описывающего регулятор Г.В. Щипанова, не зависит от внешнего воздействия (полная компенсация) и устойчиво. 3. 1948 г. - В.С. Кулебакин показал, что мостиковая схема удовлетворяет условиям абсолютной инвариантности. 4. 1953 г. - выведены необходимые условия физической осуществимости условий абсолютной инвариантности (критерий двухканальности, Б.Н.Петров) 5. 1966 г. – реабилитация: условия компенсации Г.В. Щипанова были признаны открытием с приоритетом от апреля 1939 г. 6. Методы нелинейной адаптации на многообразиях (А.А. Красовский, А.А.Колесников) 7. Методы скользящего управления (обзор в монографии, Х.К. Халил) 8. Метод инвариантного погружения (I&I) (Astolfi A., Ortega R. ) 9. Метод аналитического конструирования агрегированных регуляторов (АКАР) 9 (А.А.Колесников) СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ и СИНТЕЗ -- МЕЖДИСЦИПЛИНАРНОЕ СИСТЕМООБРАЗУЮЩЕЕ НАПРАВЛЕНИЕ Успешное «внедрение» нелинейной концепции в учебный процесс произошло в ВУЗах: Штутгардский (Германия), МГУ им. М.В.Ломоносова, МФТИ, ТТИ ЮФУ (Таганрог), ЛЭТИ, ЛИТМО (Санкт-Петербург), Саратовский ГУ… «Концепции современного естествознания», «Нелинейная физика», «Теория информации и самоорганизации», «Неравновесная термодинамика», «Хаос и порядок», «Статистическая физика», «Теория сложных систем», «Основы нелинейной динамики», «Синергетическая теория управления», «Хаотическая динамика», «Самоорганизация биологических и «Теория устойчивости и бифуркаций», экологических систем», «Теория катастроф», «Синергетика экономических и социальных «Теория игр», «Синергетика и теория самоорганизации», процессов», «Философские проблемы синергетики» «Основы качественной теории динамических систем» Цель: усвоение студентами нелинейного способа мышления, избавления от доминирования линейного мышления. «... истинные законы не могут быть линейными» А. Эйнштейн 10 Сложный динамический объект (по Л.А. Растригину)  НЕСТАЦИОНАРНОСТЬ  МНОГОМЕРНОСТЬ  МНОГОСВЯЗНОСТЬ  НЕЛИНЕЙНОСТЬ ХАОТИЧНОСТЬ СЛАБАЯ ФОРМАЛИЗУЕМОСТЬ И УПРАВЛЯЕМОСТЬ Свойства (и/или): 1) объект не имеет полного аналитического описания и полностью описывающей его модели, т.е. для построения его адекватной модели недостаточно априорной информации; 2) нестационарность описывающего его случайного процесса, (слабопредсказуемость); 3) нелинейность имеющихся моделей описания; 4) многомерность; X  t    x1(t)  swf1(t),..., xm(t)  swfm(t) , swf j (t ) - переключательная функция: x j (t )  , включения/выключения компоненты. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФЕЙГЕНБАУМА xt=xt-1(1-xt-1) Модель Фейгенбаума: xn+1=xn(1–xn) или белый шум? ПРИЛОЖЕНИЯ модели:  превращение ламинарного потока жидкости в турбулентный;  изменение в популяции от поколения к поколению;  поведение шумовой составляющей сигнала в механических, электрических и химических осцилляторах; поведение гамильтоновых систем;  переход нормального ритма сердца в угрожающий жизни режим фибрилляции,  изменение экономических и экологических показателей во времени… х(k) 1,2 =2 1 =2, шум =4 0,8 0,6 0,4 0,2 -0,2 -0,4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Время, у.ед. Бифуркационная диаграмма системы Фейгенбаума  3 13 Управление слабоформализованным динамическим объектом СТРАТЕГИЯ ОПТИМАЛЬНОГО НЕКОНТРОЛИРУЕМЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВНЕШНИЕ УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМА ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНИЕ В РЕАЛЬНОМ РЕШЕНИЙ ВРЕМЕНИ СЛОЖНЫЙ ОБЪЕКТ СИГНАЛЬНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ОБРАБОТКА В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ РАСПОЗНАВАНИЕ НЕЛИНЕЙНАЯ СОСТОЯНИЙ ФИЛЬТРАЦИЯ Аксиоматика и терминология нелинейной теории управления Основные понятия 1. Фазовый поток xf (t, x0, t0) - отображение начального состояния x0Rn, t0, tR+ в состояние x(t) в момент времени t под воздействием f. 2. Множества VRn называются инвариантными по отношению к потоку xf(t, x0, t0) если xf(t,x0,t0)V для любых x0V для всех t >t0. 3. Цель управления - аттрактивность целевых многообразий. Множество V называется притягивающим (аттрактивным), если V замкнутое, инвариантное, и для некоторой окрестности aV множества V, для всех x0aV выполняются следующие предельные соотношения: xf(t, x0, t0)aV t0, . 4. Инвариант  (x) – функция от переменных объекта (меньшей размерности). Аттрактор  (x)=0 Содержательный смысл n- мерное многообразие: любое открытое множество в Rn Асимптотический предел в пространстве состояний Инвариантное многообразие : произвольная траектория, имеющая хотя бы одну точку с этой поверхностью, целиком ей принадлежит. 15/50 Аттрактор и его область притяжения Пример из кн. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. М.: Мир, 1991. x (t ) = y  x; y (t ) =  y  rx  xz; z (t )  bz  xy , Аттрактор - асимптотический предел решений дифференциальных/разностных уравнений нелинейной диссипативной системы, причем начальные условия этих решений должны обязательно лежать в области притяжения. «Странные аттракторы» возникают при r > 25, b = 8/3,  = 10. И принципиально не возникают при b > 2 . Почему? «Странный аттрактор» Лоренца u(X(t)): (X)=0 16 ПРИМЕРЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ АТТРАКТОРОВ (ИНВАРИАНТНЫХ МНОГООБРАЗИЙ) Химические часы. Реакция Белоусова-Жаботинского t=0 t=T t=2T Турбулентные потоки воздуха от крыла самолета при посадке t=3T Сложная структура туманностей Кеплерова схема взаимодействия Солнца S и планеты P Инварианты Кеплера Динамический инвариант 1 t   prt   er 2t sin   017 17 СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО ОБЪЕКТА Аттрактор естественный-1 Без управления 1 Новое целевое множество естественное (многообразие) ОБЪЕКТ Аттрактор естественный-2 Управление 2 Новое целевое множество искусственное (многообразие) 18 ПРИМЕРЫ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ИНВАРИАНТОВ Модель: нелинейные системы ОДУ Двигатель Стабилизация скорости вращения. Стабилизация момента. Энергосберегающее управление электроприводом. Самолет-амфибия Робот-манипулятор Электрогидравлический тормоз для пассажирского поезда Полет с заданной скоростью, высотой и углом тангажа. Ковш экскаватора Точность позиционирование и скольжение по поверхности 19 АСИНХРОННЫЙ ДВИГАТЕЛЬ dx1(t) x22 (t)  a5UD (t) - a1x1(t)  a6a8 x3 (t)  a2  a4 x2 (t)x4 (t), dt x3 (t) Модель АД-1 Управления dx2 (t) x (t)x (t)  a5UQ (t)  a1x2 (t)  a6a4 x4 (t)x3 (t)  a2 2 1  a4 x1(t)x4 (t), dt x3 (t) dx3 (t)  a2 x1(t)  a8 x3 (t), dt dx4 (t)   a9a10 (t)x3 (t)x2 (t)  a10 (t)MС (t) , dt (1) dx4 (t )   M  M С  , M  a9 x3 (t ) x2 (t ) , dt J x(t )  [ x1 (t ), x2 (t ), x3 (t ), x4 (t )]T  [iD (t ), iQ (t ),  r (t ), r (t )]T ; x(t )  x , t  0, x - вектор начальных условий; i (t ) - D-составляющая тока статора; i (t ) - Q-составляющая тока статора;  (t ) -результирующий вектор потокосцепления ротора;  (t ) - скорость вращения ротора двигателя; M - момент сопротивления (нагрузка) на валу двигателя; M - момент на валу двигателя; U , U - проекции, составляющие вектора напряжения статора во вращающейся системе координат; J - комбинированный момент инерции ротора и нагрузки; D Q r r D С Q 20 Примеры инвариантов ЭМС Вид инварианта Электромагнитные инварианты s=const r=const =const Энергетические инварианты =opt s=sopt инвариант Попова А.Н. Технологические инварианты =0 =0 =0 M=M0 P=P0 =f1(t) =f2(t) M =f3(t) P =f4(t) Преследуемая цель поддержание постоянства: - потокосцепления статора; - потокосцепления ротора; - магнитного потока; поддержание оптимальности: - магнитного потока; - скольжения; - поддержание заданной частоты; - позиционирование в заданный угол; - поворот вала двигателя в заданный угол; - поддержание заданного момента на валу двигателя - поддержание заданной мощности; - изменение частоты вращения, угла поворота, момента или мощности по заданному временному закону, соответственно. 21 Модель электрогидравлического тормоза для пассажирских поездов (self-energising electro-hydraulic brake) – SEHB. История вопроса Фрикционный тормоз, использует тормозную силу в качестве источника энергии для генерирования нового тормозного усилия посредством передачи электрогидравлической энергии. Особенности: 1) Принцип self-energising (самовозбуждения): неустойчивый в отсутствии обратной связи тормозной процесс 2) Суппорт подвижно направлен по касательной к фрикционному контакту (в отличие от традиционного, где плотно скреплен с ходовой частью) Редуцированная (104) модель самовозбуждающегося электрогидравлического тормоза для пассажирских поездов (self-energising electro-hydraulic brake) – SEHB  x1   p L   0  x   p   0  sup 2 , g    x  f ( x )  gu ; x      2  x3   v v   v K v        x x    4   v  Вариант «А» (увеличение тормозной силы):  TLA x4 x2  x1   plp   1.7  104 x x  x  3.45  105  4 2 1     A A 5  T x x  x   plp   T x x  x  3.45  10  f ( x)   sup 4 2 1     sup 4 2 1 2 2 4  2 Dvv x 3  v x4   8.8  10 x 3  39.48  10 x4      x x3 3      TLA x4  x2  x1  plp   1.7  104 x 0.609 x  x  5  105  4 2 1     Вариант «Б» (уменьшение A  Tsup x4  x2  x1  plp   T B x 0.609 x  x  5  105  2 1 тормозной силы): f ( x)       sup v 2 2 4  2 Dvv x 3  v x4   8.8  10 x 3  39.48  10 x4      x x 3    3  Уравнение выхода (определяется y  psup  x2 одним датчиком): Цель управления: монотонный тормозной процесс в заданных границах изменения величины тормозной силы  задача слежения для гидравлического объекта с золотниковым регулированием жидкости 23 1.2. Понятие модели. Классификация видов моделирования. Компьютерное моделирование Модель – это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Зачем? Легкость, доступность получения информации, сокращение сроков исследования и уменьшение материальных затрат на исследование и др. Моделирование процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Моделирование систем Физическое Математическое Аналитическое Численное Имитационное Компьютерное Статистическое Рис. 1.1. Классификация видов моделирования систем Физическое моделирование: 1) сама исследуемая система (например, производственный эксперимент), 2) другая система с подобной физической природой (макет: продувка моделей самолетов в аэродинамических трубах). Математическое моделирование - процесс установления соответствия данной реальной системы некоторой математической модели и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы. Математическое моделирование Аналитическое: алгебраические, интегральные, разностные соотношения Компьютерное Численное Имитационное Статистическое Компьютерное моделирование - математическая модель системы представлена в виде программы на ЭВМ, позволяющей проводить с ней вычислительные эксперименты. Численное моделирование - использование методов вычислительной математики в численном решении некоторых математических уравнений при заданных значениях параметров и начальных условиях. Имитационное моделирование – воспроизведение на ЭВМ элементарных явлений, составляющих процесс, с сохранением последовательности протекания во времени. Статистическое моделирование – это вид моделирования для получения статистических данных о процессах в моделируемой системе. Планируемые лабораторные работы Лабораторная работа 1. Построение аналитических моделей для содержательных тематических задач на принципах теории систем. Модели принятия решений в системах поддержки принятия решений. Модификация метода AHP. Лабораторная работа 2. Модели линейного и нелинейного программирования. Лабораторная работа 3. Моделирование случайных величин с произвольным распределением на основе равномерного распределения. Лабораторная работа 4. Большие данные. Модели интеллектуального анализа. Метод сокращения репрезентативной выборки . Лабораторная работа 5. Модели статистического моделирования и прогнозирования динамических систем по временному ряду (на основе МНК) Лабораторная работа 6. Модели отказов сложных систем и систем обслуживания. Лабораторная работа 7. Модели анализа и прогнозирования нестационарных стохастических временных рядов, порождаемых сложными динамическими объектами. Метод модовой декомпозиции. Лабораторная работа 8. Моделирование объектов детерминированного хаоса. Режимы устойчивости. Принципы системного синтеза управления и нелинейной адаптации на многообразиях. Лабораторная работа 9. Системный синтез и моделирование системы управления роботом манипулятором. Лабораторная работа 10. Системный синтез и моделирование системы управления самолетом амфибия в условиях детерминированных и стохастических помех. ОТВЕТ НА ЛЮБОЙ ВОПРОС УЖЕ СУЩЕСТВУЕТ. НАДО ТОЛЬКО ПРАВИЛЬНО ПОСТАВИТЬ ВОПРОС, ЧТОБЫ ПОЛУЧИТЬ ЕГО Формализовать цель исследования 1) Нелинейное мышление и концепцию нелинейного моделирования - в современный университет и академические институты. 2) Нас окружают высокоразмерные нелинейные проблемы, нерешенные даже на базе практически неограниченных вычислительных возможностей. 3) Дополнительная информация:  Текст лекции www.ccsd.tsure.ru  Электронный учебник «Синергетическая теория управления» [email protected] 27 Указания и справочный материал к ЛР-1. История числа публикаций по разным многокритериальным методам ПР по данным WoS Analytic Hierarchy Process (AHP). Метод анализа иерархий (МАИ) • Суть: декомпозиция проблемы на простые составляющие, числовая обработка суждений ЛПР и их согласование • Постановка задачи. • Дано: общая цель решения задачи; критерии оценки альтернатив; альтернативы. • Требуется: выбрать наилучшую альтернативу. • AHP - совокупность этапов: • 1. Структуризация задачи виде иерархической структуры с несколькими уровнями: цели – критерии – альтернативы. • 2. Попарное сравнение элементов каждого уровня лицом, принимающим решения. Результаты сравнения имеют числовой характер. • 3. Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня. Проверка согласованности суждений ЛПР. • 4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив. Выбор лучшей альтернативы. Пример структуризации многокритериальной проблемы на основе классического метода AHP (МАИ) Цель Критерий 1 Критерий 2 Критерий N Альтернатива 1 Альтернатива 2 Альтернатива 3 A  aij , a ij  wi / w j , - матрицы парных сравнений; wi - «вес» i-го элемента иерархии; a ij  wi / w j - степень превосходства i-го элемента иерархии над j-ым a ij  wi / w j Шкала относительной важности i-го элемента иерархии над j-ым. a ii  1, a ij  1 / a ji 1 Равная важность сравниваемых элементов иерархии 3 Умеренное превосходство 5 Существенное или сильное превосходство i-го элемента 7 Значительное превосходство i-го элемента 9 Очень значительное превосходство i-го элемента 2, 4, 6, 8 Промежуточные степени превосходства РАСЧЕТ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ СРАВНИВАЕМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ (1-й шаг – вычисление ВК критериев) нормализованный собственный вектор ненормализованный собственный вектор n i  i nn i  n a jj  11 А1=  j j1 ij ij 1 7 0,2 3 9 0,14 1 0,14 0,25 0,13 0,163 39,6 0,04 4,243 0,919 5 0,33 0,11 7 4 8 1 0,17 0,33 6 1 4 3 0,25 1 n  j1 0,0036 0,8807 0,0009 0,0944 0,0204 n j  44,962  j1 j 1 ПРИНЦИП ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ. ЛОКАЛЬНЫЕ ПРИОРИТЕТЫ АЛЬТЕРНАТИВ (2-й шаг – вычисление ВК альтернатив) МПС A  aij , aij  wi / w j характеризует степень «удовлетворенности» по паре критериев (показателей) для отдельной альтернативы Здесь элемент aij 1 есть отношение aij 1  wi 1 / w j 1 означает: во сколько раз альтернатива с номером i превосходит альтернативу с номером j по критерию К1. Например, К1 – стоимость машины. aij 1 Если критерии нечисловые, то может возникнуть ситуация несогласованности оценок, или нарушение их транзитивности: aij 1  wi 1 / w j 1  1  wi 1  w j 1 a11(1) . . . А1= . . . . an1(1) . . . . . . . . . . . a1m(1) . . . anm(1) a jk 1  w j 1 / wk 1  1  w j 1  wk 1  wi 1  wk 1 НО в МПС !!! aik 1  wi 1 / wk 1  1  wi 1  wk 1 ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ матрицы парных сравнений в AHP Геометрическая интерпретация собственных векторов (СВ) и собственных значений (СЗ). Линейное отображение параллельно перемещает и растягивает (или сжимает). AX  X ,   const , AX  Y , A  aij . Собственные векторы для линейного оператора - неподвижные точки, к которым «тяготеют» все остальные точки, расположенные вокруг. AW  W , A  aij ,W T   1 ,..., n  , n 1 n i  n  aij , или i   aij . n i 1 j 1 n  i  i  j1 j РАСЧЕТ ГЛОБАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ СРАВНИВАЕМЫХ 4-х АЛЬТЕРНАТИВ по 5-ти критериям. ИТОГОВЫЙ ВЫБОР А1= А2= А3= А4= А5= a11 . . . a41 b11 . . . b41 c11 . . . c41 d11 . . . d41 e11 . . . e41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a14 . . . a44 b14 . . . b44 c14 . . . c44 d14 . . . d44 e14 . . . e44 нормализованные весторы МПС Ai  A1   1 (1),..., 4 (1)   A2   1 (2),..., 4 (2)   A3   1 (3),..., 4 (3)   A4   1 (4),..., 4 (4)   A5   1 (5),..., 4 (5)  5 вес  a1   c j 1 ( j ) j 1 5 вес  a 2    c j 2 ( j ) j 1 5 вес  a3   c j 3 ( j ) j 1 5 вес  a 4    c j 4 ( j ) j 1 ИТОГОВОЕ РЕШЕНИЕ A =arg max вес  ai  * i ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ПРОВЕРКИ СОГЛАСОВАННОСТИ каждой МПС ПРОВЕРКА СОГЛАСОВАННОСТИ каждой МПС, если оценки предпочтений wi/wj экспертные Шаг 1. Расчет индекса согласованности (ИС) суждений по каждой матрице ИС  max  n  max - максимальное собственное число матрицы A. n 1 , n – размерность матрицы; Шаг 2. Определение индекса случайной согласованности (СС) по таблице согласованности (согласно автору метода Т. Саати) Размер матрицы 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Случайная согласованность 0 0,58 0,9 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49 Шаг 3. Определение индекса отношение согласованности: ОС  ИС . СС Шаг 4. Принятие решения о повторном заполнении матрицы парных сравнений Если ОС > 0,1*, то суждения эксперта, на основе которых заполнена исследуемая матрица, сильно рассогласованы, и следует заполнить матрицу заново. Приближенное определение собственного числа МПС max МПС-1 альтернатив по первому критерию С1 С1 А1 А2 А3 Компоненты собственного вектора Компоненты нормализованного вектора приоритетов А1 w1,1  w1 s А2 w1,2  w2 s А3 w1,3  w3 s Сумма по столбцам s1 s2 s3 s 1,max  s1w1,1  s2w1,2  s3w1,3,...... Недостатки МАИ: Аксиома К. Эрроу Пример 1. Пусть оцениваются две альтернативы (признака): z1, z2 по двум равновесным мерам относительной важности со следующими МПС: 1 1/ 2   1 4 A1   ; A2   .   2 1  1/ 4 1  МАИ  w=(w1, w2)=(0.567, 0.433). Так как w1>w2, то z1  z2 . При оценивании трех альтернатив z1, z2, z3 по тем же двум мерам относительной важности со следующими МПС:  1 1/ 2 3  1 4 1/ 2  A1   2 1 6  ; A 2  1/ 4 1 1/ 8  . 1/ 3 1/ 6 1   2 8 1  МАИ  w=(w1, w2, w3)=(0.304, 0.338, 0.358), то есть z2  z1 . Недостатки AHP (МАИ): Линейная свертка Пример 2. Пусть задача состоит в выборе прямоугольного участка из следующих трех вариантов: (I) 7×15, (II) 10×10, (III) 5×20 Первый участок имеет максимальную площадь. МАИ с равновесными метрическими критериями (длина и ширина участка) и аддитивной сверткой критериев, делает ошибочный выбор в пользу второго участка: 7 / 10 7 / 5  15 / 10 15 / 20   1  1 A1  10 / 7 1 10 / 5 ; A 2  10 / 15 1 10 / 20  .      5 / 7 5 / 10  20 / 15 20 / 10 1  1  МАИ  w1=(0.318, 0.455, 0.227), w2=(0.333, 0.222, 0.444), итоговый весовой вектор равен: w=(0.326, 0.338, 0.336). Нелинейная модификация МАИ. Парето-оптимальность выбора. Выполнимость аксиомы Эрроу Промежуточные исходные данные s-го уровня иерархии, Относительные ВКА zi, zj ( w1s , w2s , ... , w gs ) 1g g   wis    ails  , i  1, g  l 1  I wis , g (w1s , w2s , ... , wgs ) l 1 s  {1, 2, ... , ν} wis  wi s  wl s , i  1, g wijs w sj wis , i   s wi  w sj wijs  j   k II wij  i    s 1 g III c s wijs u i   wil  i  l 1  i , k wij  j    Вектор относительных нормализованных ВКА s 1 ,  w ijs  wijs  i  , wijs  j  w sj wis  w sj c s wijs  j , k  cs  1 s 1 g Vi  u i  u l , i  1, g l 1  wij  i  , wij  j   V1 , V2 , ... , V g   Нелинейная модификация МАИ. Парето-оптимальность выбора. Выполнимость аксиомы Эрроу. Функция относительного сходства. 1 g F  i   g  wij  i , j 1 wij  i  ν s   cs wij s1 1g g  s s wi    ail   l 1  s wi ν  i    cs s1 s wi s  wj 1 g  1 gg s     akl   k 1 l 1   , Нелинейная модификация (AHP) МАИ. Примеры Пример 1 (продолжение). 1 1/ 2   1 4 A1   ; A2   .   2 1  1/ 4 1  МАИ  w=(w1, w2)=(0.567, 0.433). Так как w1>w2, то z1  z2 .  1 1/ 2 3   1 4 1/ 2  A1   2 1 6  ; A 2  1/ 4 1 1/ 8  . 1/ 3 1/ 6 1   2 8 1  МАИ  w=(w1, w2, w3)=(0.304, 0.338, 0.358), то есть z2  z1 . Модификация МАИ  V=(0.357; 0.315; 0.328)  z1  z2 Нелинейная модификация МАИ. Примеры Пример состоит в 2 (продолжение). выборе Пусть прямоугольного задача участка из следующих трех вариантов: (I) 7×15, (II) 10×10, (III) 5×20 МАИ  w1=(0.318, 0.455, 0.227), w2=(0.333, 0.222, 0.444), итоговый весовой вектор: w=(0.326, 0.338, 0.336)  (II). Модификация МАИ  V=(0.336, 0.332, 0.332) (I). Варианты постановок задач для применения AHP и AHP+ Вариант 7 Цель: выбор «бюджетного» легкового автомобиля В класса для междугородних поездок. Для решения проблемы выбора автомобиля были отобраны пять альтернатив (варианты проектов): А(i), i =1,...,5: Hyundai Solaris ХХ, Kia Rio ХХ, Chevrolet Cruze ХХ, Renault Logan ХХ, Лада Веста ХХ, Volkswagen Tiguan. Каждая альтернатива (автомобилm) оценивается по совокупности критериев: С1. Цена. С2. Расход топлива. С3. Скорость. С4. Мощность двигателя. С5. Дорожный просвет. С6. Удобство салона. С7. Страна и фирма производитель. Обосновать выбор автомобиля.