Моделирование в технике

2 ОГЛАВЛЕНИЕ 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ ....... 6 1.1 Кинематические характеристики элементов механической системы ..................................................................................................... 6 1.2 Характеристики взаимодействия тел механической системы ............. 11 1.3 Динамические модели механических систем с упругими связями масс ......................................................................................................... 16 1.4 Механические системы с голономными связями ................................. 19 1.5 Механические переходные процессы в электромеханических системах .................................................................................................. 22 1.6 Контрольные вопросы по теме «Динамические модели механических систем» ........................................................................... 26 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА ................................................................................................................. 28 2.1 Устройство и динамическая модель машины постоянного тока ......... 28 2.2 Номинальные данные и относительные единицы машины постоянного тока .................................................................................... 29 2.3 Математическая модель машины постоянного тока ............................ 30 2.4 Структурная схема электрической машины постоянного тока ........... 31 2.5 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель машины постоянного ток» .................................................................................... 33 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАТОРА .............. 33 3.1 Устройство трансформатора .................................................................. 33 3.2 Номинальные данные трансформатора и относительные единицы .... 34 3.3 Схема замещения и параметры трансформатора .................................. 35 3.4 Уравнения напряжений на обмотках трансформатора ........................ 36 3.5 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель трансформатора» .................................................................................... 38 4 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОНОЙ МАШИНЫ ... 39 4.1 Конструкция асинхронной машины ...................................................... 39 4.2 Номинальные данные и относительные единицы ................................ 40 4.3 Схема замещения и параметры асинхронной машины ........................ 41 4.4 Уравнения напряжений АД в координатах магнитных осей обмоток ................................................................................................... 44 4.5 Преобразование уравнения напряжений АД во вращающиеся оси координат ................................................................................................ 45 4.6 Уравнения напряжений в осях координат d-q ...................................... 46 3 4.7 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель асинхронного двигателя» ....................................................................... 49 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ...... 49 5.1 Типовые звенья структурных схем....................................................... 50 5.2 Преобразования структурных схем ....................................................... 53 5.3 Линеаризация уравнений динамической системы................................ 55 5.4 Контрольные вопросы по теме «Математические модели систем управления» ............................................................................................ 56 4 ВВЕДЕНИЕ Электронное учебное пособие по дисциплине «Моделирование в технике» направлено на формирование общепрофессиональных/профессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом по уровню бакалавриата: ОПК-2 Способность применять соответствующий физико-математический аппарат, методы анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования при решении профессиональных задач; ПК-2 Способность обрабатывать результаты экспериментов Электронное учебное пособие предназначено для обучающихся по направлению подготовки бакалавриата 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», может быть использовано при изучении других дисциплин, направленных на формирование общепрофессиональных/профессиональных компетенций. В электронном учебном пособии рассмотрены методы моделирования технических систем в области электропривода. Цель электронного учебного пособия – обучить методам обработки результатов экспериментов, алгоритмам цифрового моделирования технических элементов, представленных дифференциальными и разностными уравнениями. Содержание данного электронного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины и основано на материалах отечественных и зарубежных исследований, включая современные публикации. Каждый раздел электронного учебного пособия включает контрольные вопросы и тестовые задания. АННОТАЦИЯ ДИСЦИПЛИНЫ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ТЕХНИКЕ 1. Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Моделирование в технике» относится к дисциплинам по выбору вариативной части Блока 1 учебного плана по направлению подготовки 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», профиль «Электропривод и автоматика». Для изучения дисциплины студент должен: – знать теоретические основы электротехники, физические основы электроники, свойства электротехнических и полупроводниковых материалов, основные законы электрических и магнитных цепей, основы теоретической механики; – уметь применять законы физики для установления зависимости выходных величин от входных величин, выполнять расчеты электрических, магнитных и кинематических цепей, выполнять анализ и синтез электрических и электронных схем, выделять связи между элементами технических систем, входы и выходы элементов. Для успешного освоения дисциплины «Моделирование в технике» студент должен изучить курсы: «Математика», «Физика», «Теоретические основы электротехники», «Теоретическая механика», «Физические основы электроники». Дисциплина «Моделирование в технике» необходима в качестве предшествующей для дисциплин: «Электрический привод», «Системы управления электроприводов», «Электрический привод в современных технологиях», «Электрооборудование береговых объектов водного транспорта». 2. Планируемые результаты обучения по дисциплине. В результате освоения дисциплины обучающийся должен: Знать: методы обработки результатов экспериментов, алгоритмы цифрового моделирования технических элементов, представленных дифференциальными и разностными 5 уравнениями, методы математического моделирования в технике, методы линеаризации уравнений модели, математические критерии управляемости и наблюдаемости технических систем; Уметь: обрабатывать результаты экспериментов, использовать математические модели для численного анализа происходящих процессов, анализировать процессы, протекающие в технических элементах и системах; моделировать технические элементы и системы при детерминированных воздействиях; Владеть: навыками обработки результатов экспериментов, численными методами и программным обеспечением для моделирования процессов в технике, современными математическими методами описания технических систем. 3. Объем дисциплины по видам учебных занятий Объем дисциплины составляет 3 зачетных единицы, всего 108 часов, из которых: 51 час составляет контактная работа обучающегося с преподавателем (17 часов занятия лекционного типа, 17 часов практические занятия и 17 часов лабораторные работы) по очной форме обучения; 12 часов составляет контактная работа обучающегося с преподавателем (4 часов занятия лекционного типа, 8 часов лабораторные работы) по заочной форме обучения. 6 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Механическую систему образуют подвижная часть электромеханического преобразователя (как правило, ротор электродвигателя), механический преобразователь и исполнительный орган рабочей машины. Исполнительный орган рабочей машины не входит в состав электропривода. Однако построение динамической модели электропривода невозможно без учета его динамических свойств. Поэтому в данной главе рассматривается динамика поведения механической системы в целом. Формально под механической системой понимается совокупность взаимосвязанных тел, предназначенных для передачи механической энергии. В данной главе рассматриваются геометрические законы движения тел механической системы, энергетические характеристики их взаимодействия, дифференциальные уравнения, описывающие динамику одномассовых и многомассовых механических систем, а также механические переходные процессы в электромеханических системах. 1.1 Кинематические характеристики элементов механической системы Механическая система рассматривается как совокупность взаимосвязанных твердых тел (масс), последовательно взаимодействующих между собой и внешней средой. Тела, образующие механическую систему, будем нумеровать i=1,…,n. Тела в пространстве могут менять свое положение – двигаться. Кинематика механической системы организуется так, чтобы обеспечить заданный закон движения исполнительного органа рабочей машины. Механический преобразователь определяет законы движения элементов механической системы. 1.1.1 Виды движений и механических преобразователей Тело, относительно которого определяется пространственное положение других тел, называется системой отсчета. Очевидно, что число систем отсчета равно числу тел механической системы. Все системы отсчета с точки зрения кинематики эквивалентны. При решении задач кинематики система отсчета выбирается из соображения удобства. Для описания пространства в выбранной системе отсчета вводится понятие системы координат. Пространство, в котором находятся тела, трехмерно. Поэтому система координат обычно представлена тремя линейно независимыми осями. Однако в механических передачах движение тел упорядочивается так, что положение каждого из тел можно охарактеризовать одной координатой xi. Изменение координаты xi во времени определяет закон движения xi(t). Движение по траектории xi(t) характеризуется также скоростью pxi(t)=dxi(t)/dt и ускорением p2xi(t)=d2xi(t)/dt2. В механике различают два вида движений: поступательное и вращательное. Поступательное движение это такое движение, при котором любая прямая, движущаяся с телом, остается параллельной самой себе. Вращательное движение это такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой - оси вращения. Поступательное движение характеризуется линейной координатой, а враща- 7 тельное – угловой. Это влечет различное название и обозначение координат, скоростей изменения координат, масс и сил (см. табл.2.1). Таблица 1.1 Поступательное движение Название Обознач. Размерность Координата x м Скорость pх м/сек Масса Μ кг Сила Q Н Вращательное движение Название Обознач. Размерность Угол 1,(радиан) Угл. скорость 1/сек p = Мом. инерции J кг·м/сек2 Момент силы М H·м Между линейными и угловыми координатами имеет место формальная аналогия. Наличие формальной аналогии позволяет применять при анализе вращательных и поступательных перемещений общие обозначения в тех случаях, когда нет необходимости выделять тот или иной вид движения. Механический преобразователь осуществляет согласование пространственных координат ротора электродвигателя и исполнительного органа рабочей машины. Механический преобразователь может иметь сложную структуру и состоять их большого числа элементов: роторов, муфт, звездочек, барабанов, шкивов, ходовых колес, винтов и т.д. Элементы механического преобразователя могут иметь между собой различные связи: канаты, цепи, ремни, валы, пружины и т.д. Для согласования скорости вращательного движения ротора электрической машины и скорости вращательного движения исполнительного органа рабочей машины, как правило, используются зубчатые передачи (Рис. 1.1.а) или шкивы с ременной (цепной) передачей (Рис. 1.1.б). Возможно прямое соединение вала электродвигателя с валом исполнительного органа рабочей машины (Рис. 1.1.в). а) б) в) Рис. 1.1.Согласование скоростей движения: а) редуктором; б) шкивами с ременной передачей; в) прямой передачей Кроме того, механический преобразователь осуществляет преобразование вида движения (вращательного в поступательное или наоборот). Преобразование вида движения реализуется различными устройствами, примеры которых приведены на Рис. 1.2. Каждый из элементов механической системы рассматривается как отдельное тело. Взаимосвязь элементов обычно характеризуется кинематическими схемами, примеры которых приведены на Рис. 1.1 и Рис. 1.2. Кинематические схемы являются основой для анализа количественных характеристик движения тел механической системы. 8 μ1 μ2 μ3 μ6 μ5 а ) б ) Рис. 1.2.Преобразование μ4 вращательного движения в поступательное движение передачей: а) ходовое колесо - опора; б) барабан - канат; в) ходовой винт – гайка в ) 1.1.2 Координаты масс механической системы и их взаимосвязи Тела, образующие механическую систему, будем нумеровать i=1,…,n, начиная с ротора электродвигателя, а их массы обозначать i. Например, массами механической системы, изображенной на Рис. 1.2.а, являются: ротор 1, муфта - 2, шкив - 3, шкив - 4, колеса - 5, тележка - 6. Пространственное положение масс механической системы характеризуется координатами. Каждой массе механической системы соответствует одна линейная или угловая пространственная координата xi. Например, пространственными координатами тел i=1,2,…,6 (Рис. 1.2.а) являются, соответственно: угол поворота ротора – х1, угол поворота муфты – х2, угол поворота шкива – х3, угол поворота шкива – х4, угол поворота колеса – х5, перемещение тележки вдоль рельсов – х6. При последовательной передаче энергии от электродвигателя к исполнительному органу рабочей машины тела механической системы попарно взаимодействуют. Взаимодействие тел происходит в точках их сопряжения. Будем полагать, что точки сопряжения тел i и i+1 связаны с пространственными координатами линейным соотношением: yi=r i·(xi+li), yi+1=r i+1·(xi+1+li+1), где ri и ri+1– коэффициенты сопряжения, li и li+1– параметры сдвига. Параметры сдвига li и li+1 зависит от выбора начала координат. Начало координат целесообразно выбирать так, чтобы li =li+1=0. Величина коэффициентов сопряжения ri и ri+1 следует из геометрии сопряжения пары тел механической передачи. Как правило, геометрия сопряжения достаточно проста и коэффициенты сопряжения пар равны радиусу вращения или единице. Иллюстрация вариантов сопряжения двух тел приведена на Рис. 1.3. 9 + xi xi+1 l xi xi+1 xi μi Ri Ri+1 μi+1 xi+1 xi μi Ri μi+1 μi+1 μi ri=Ri; ri+1 =Ri+1; li= li+1=0 ri=Ri; ri+1=1; li= li+1=0 ri=1; ri+1 =1; li= li+1=0 а) б) в) xi+1 μi+1 μi ri=1; ri+1 =1; li=li+1=0 г) Рис. 1.3. Варианты сопряжения тел, имеющих различный характер перемещений: а) вращательное - вращательное разнонаправленные; б) вращательное - поступательное; в) вращательное - вращательное однонаправленные; г) поступательное – поступательное Например, коэффициентами сопряжения пар тел i=1,…,6, механической системы, изображенной на Рис. 1.2а, являются: r1=1; r2=1; r3=R3; r4=R4; r5=1; r6=1, где R3 и R4– радиусы шкивов 3 и 4; R5– радиус колеса 5. Более сложную геометрию xi+1 имеет сопряжение винт-гайка (Рис. yi= yi+1 гай1.4.а), преобразующее вращательxi+1 ка ное движение по координате xi в h поступательное по координате xi+1. R·xi Точки сопряжения находятся на поl=2·π· xi винт верхности наружной части винта и, Rxi а) б) соответственно, на внутренней часРис. 1.4. Механическая пара винт–гайка: ти гайки. Схема развертки винтовоа) схема пары; б) геометрия сопряжения го соединения показана на Рис. 1.4.б. Из данного рисунка следует, что координата сопряжения винта с гайкой yi=R·xi /cos( ), а координата сопряжения гайки с винтом yi+1= xi+1 /sin( ), где R – радиус винта. Отсюда следует, что коэффициенты сопряжения ri R / cos(θ) ; ri 1 1/ sin(θ) , где tan(θ) h / l ; h - шаг винта; l=2·π·R - длина окружности винтового соединения. Связь тел называется упругой, если при передаче энергии происходит упругая деформация тел. Величина деформации определяется разностью координат точек сопряжения yi yi+1. Если энергия не передается, то деформация тел отсутствует и координаты точек сопряжения совпадают yi yi+1=0. Если при передаче энергии величиной деформации yi yi+1 можно пренебречь, то связь тел называется голономной. 1.1.3 Обобщенные координаты механической системы Для упрощения анализа законов движения тел, целесообразно подвергнуть естественные координаты xi такому преобразованию, после которого новые координаты i становятся равными между собой (если энергия по передаче не передается или связи являются голономными). Отсутствие переда- 10 чи энергии влечет равенство точек упругого сопряжения координат. В этом случае отношение координат xi 1 / xi ri 1 / ri zi ,i 1 называется коэффициентом передачи механической пары. Коэффициент передачи от тела 1 к телу i: xi i 1 Zi zk ,k 1 Z i 1 zi 1,i , где i=1,…,n. x1 k 1 Координата каждого тела механической системы может быть приведена к угловой координате ротора электрической машины: (1.1) i = хi / Zi, где i (i=1,…,n) - новые координаты. При голономных связях и отсутствии потенциальных энергий между механическими парами 1 и i имеет место равенство: 1 = i. Если между телами i и i +1 имеется упругая связь, то i i+1. Таким образом, соотношение (1.1) является преобразованием естественных координат хi к новым координатам i, которые будем называть обобщенными координатами. Преобразование координат ведет к приведению их к координате положения электродвигателя: x1= 1. Очевидно, что все обобщенные координаты масс, как правило, будут угловыми и все характеристики масс, движущихся по этим координатам, - вращательными. Коэффициенты передачи Z1,…,Zn будем называть также коэффициентами приведения пространственных координат к обобщенным координатам. Например, в механической системе, изображенной на Рис. 1.2а: коэффициенты передачи механических пар: z1,2=1; z2,3= R3; z3,4=R4/ R3; z4,5= R5/R4; z5,6=R5, а коэффициенты приведения пространственных координат к обобщенным координатам: Z1=1; Z2=1; Z3=1; Z4= R3/ R4; Z5 = R3/ R4; Z6= R5 R3/ R4. Обобщенными координатами могут быть любые переменные, однозначно характеризующие пространственное положение тел и связанные с пространственными координатами тел однозначными преобразованиями. Однако в электроприводе наибольшее распространение получило преобразование (1.1), приводящее пространственные координаты к угловой координате положения ротора электродвигателя. Производные по времени обобщенных координат называются обобщенными скоростями и обозначаются i = p i (i=1,…,n), где р=d…/dt. Обобщенные координаты и скорости называют также приведенными к валу электродвигателя. При передаче энергии от электродвигателя к исполнительному органу рабочей машины обобщенные координаты тел меняются во времени. Временные характеристики координат называются динамическими. В следующем параграфе рассматриваются уравнения, позволяющие определить динамические характеристики тел, движущихся по обобщенным координатам. Выводы по п. 1.1. Для анализа динамических характеристик механической системы необходимо знать законы движения каждой из ее масс в пространстве. Положение масс характеризуется пространственными координа- 11 тами и координатами их сопряжения. Для удобства анализа динамики механической системы пространственные координаты масс целесообразно приводить к угловой координате, характеризующей положение ротора электродвигателя и его скорость. Приведенные координаты называются также обобщенными. 1.2 Характеристики взаимодействия тел механической системы В механике твердого тела полагается, что все взаимодействия тел имеют потенциальный характер, обусловленный гравитационной или упругой связью. Кроме того, при непосредственном контакте тел возникают силы трения, которые приводят к рассеиванию энергии в механической передаче. Ниже рассматриваются энергетические характеристики взаимодействия тел механической системы. 1.2.1 Виды энергий механической системы Будем полагать, что энергия последовательно передается от тела 1 к телу n путем взаимодействия тел между собой. Пусть положительному направлению передачи энергии соответствует возрастание номеров тел и двигательный режим работы электропривода. Отрицательному направлению передачи энергии соответствует убывание номеров тел и тормозной режим работы. Обозначим энергию, переПоложительное направление передачи энергии даваемую от тела i телу i+1 чеW2, W0,1 Wn,n+ Wn-1,n W1, рез Wi,i+1 (i=1,…,n–1). Схема пе… n 1 1 2 2 3 редачи энергии изображена на Рис. 1.5. Полезное взаимодейстW0 W2 Wn-1 W1 вие механической системы с Диссипация энергии внешней средой осуществляется Рис. 1.5. Схема передачи энергии посредством тел с номерами 1 и n. Таким образом, если расширить область изменения индексов номеров тел: i=0,1,…,n+1, то номера 0 и n+1 будут относиться к внешней среде. Так энергия W0,1 является для механической системы внешней. Она создается электромагнитным полем электрической машины и передается ротору (телу i=1). Энергия Wn,n+1 является полезной и совершает полезную работу. Энергия Wi,i+1 (i=1,…,n–1) передается телами внутри механической системы. Передача энергии происходит посредством взаимодействия соседних тел между собой. При взаимодействии тела обмениваются потенциальной энергией. Потенциальная энергия в механической передаче возникает как результат упругого взаимодействия двух тел и является функцией разности координат тел 2 ( i1 п i) W i–1,i= Ci 1,i , 2 где i–1 и i - обобщенные координаты тел i–1 и i; Сi,i+1 - коэффициент жесткости, приведенный к обобщенным координатам. 12 Если тело с номером i имеет упругую связь с двумя соседними телами, то суммарная потенциальная энергия упругого взаимодействия тел Wпi = Wпi–1,i + Wпi,i+1. Потенциальная энергия является полезной энергией. Она передается от одного тела механической системы к другому. До тела с последним номером i=n доходит полезная энергия, которая передается во внешнюю среду и производит полезную работу. Диссипативная энергия ΔWi = Wi–1,i–Wi,i+1 возникает как результат взаимодействия движущихся тел и равна работе сил трения. При взаимодействии тел между собой и внешней средой происходит процесс рассеивания энергии ΔWi, который иначе называется диссипацией энергии. Диссипативная энергия выделяется в виде тепла внутри механической передачи и является некоторой отрицательной неубывающей функцией времени. Кинетическая энергия характеризует инерционные свойства тел и связана с пространственными координатами следующим соотношением ( p i )2 к (1.2) , W i Ji 2 где Ji - момент инерции тела i, приведенный к обобщенной координате i. 1.2.2 Момент инерции тела Момент инерции тела при вращательном движении относительно определенной оси в механике играет роль, аналогичную массе тела, и определяется как R r2 d , J r r R R2 R1 где d – приращение массы тела в направлении координаты r, перпендикулярной оси вращения; R – радиус цилиндра. В механических передачах вращающиеся тела, как праL L вило, представляют собой набор Рис. 1.6. Иллюстрация к определению момента ) инерции цилиндра: а) полного; б) полого вращающихся цилиндров с равномерной плотностью распределения массы вдоль координаты r. Момент инерции цилиндра (Рис. 1.6, а), определяется по формуле: R R R2 2 , J r d r 2 (2 r L dr ) 2 б) а где – удельная плотность материала цилиндра; L – длина цилиндра; R – радиус цилиндра; = · ·R2·L – масса цилиндра. d = R dr Моменты инерции тел, имеющих другую геоR метрию, часто можно определить как комбинацию моментов инерции цилиндров. Например, момент инерции полого цилиндра (Рис. 1.6б) r Рис. 1.7. Иллюстрация к определению момента инерции стержня 13 R1 r2 d J J1 J2 , R2 где J1 - момент инерции полного цилиндра с радиусом R1; J2 - момент инерции вынутого цилиндра с радиусом R2. Можно найти моменты инерции не только цилиндрических тел, вращающихся относительно их оси симметрии, но других. Так, например, момент инерции стержня, вращающегося относительно одного из концов (рис. 2.8), определится по формуле: R R R2 2 . J r d r2 dr R 3 1.2.3 Обобщенные моменты сил, действующих на тела механической системы Под силой понимается количественная мера взаимодействия тел. Рассмотрим совокупность внешних сил, действующих на тело с номером i. Внешние силы возникают как результат взаимодействия с соседними телами, имеющими номера i–1 и i+1, а также с внешней средой. Момент силы потенциального (упругого) взаимодействия. Положим, что тело с номером i имеет упругую связь с телами i–1 и i+1. Между телом i и i–1 накоплена потенциальная энергия Wпi-1,i. При этом на тело i со стороны тела i–1 действует момент силы W пi 1,i W пi 1,i п M i 1,i Ci 1,i ( i 1 i). i 1 i Сумма этих моментов сил, действующих на тело i, образует обобщенный момент силы потенциального взаимодействия M пi M пi 1,i M пi ,i 1 . Обобщенный момент силы потенциального взаимодействия может быть выражен через суммарную энергию потенциального взаимодействия W пi п п п M i M i 1,i M i ,i 1 , i где W п п п W i 1,i W i ,i 1 . Силы диссипативного взаимодействия. Кроме потенциального взаимодействия с соседними телами тело с номером i взаимодействует с внешней средой (с телом n+1). При взаимодействии с внешней средой у тела возникает диссипативная сила, обусловленная трением. Диссипативный момент силы трения обычно оценивается по эмпирической формуле 1 M i Ki ,n 1 ( n 1 sign( n 1 . i) i) где i – скорость движения тела i; n+1 – скорость движения внешней среды; Ki,n+1 - коэффициент диссипативного сопротивления, приведенный к обобщенной координате. Скорость движения внешней среды обычно принимают равной нулю n+1=0. i 14 В зависимости от параметра , силы трения принято делить на силы вязкого и сухого трения. Показателю степени =0 соответствует диссипативная сила сухого трения. Показателю степени =1 соответствует диссипативная сила вязкого трения первого рода, показателю степени =2 соответствует диссипативная сила вязкого трения второго рода. С учетом диссипативного взаимодействия тел обобщенный момент силы, действующий на тело с номером i=1,…n, определяется соотношением ( M i M пi Mi . 1.3) Момент силы сопротивления Мс является внешним моментом силы и действует на тело с номером n со стороны внешней среды. Момент силы сопротивления Мс уравновешивается моментом силы Mп,п+1, действующим со стороны тела n на тело n+1 (внешнюю среду): Мс = Mп,п+1. Момент силы Mп,п+1 производит полезную работу. Энергия взаимодействия тела n с внешней средой носит потенциальный или диссипативный характер. В первом случае момент внешней силы именуют потенциальным или активным. Направление действия потенциальной силы не зависит от направления двиn жения и не зависит от скорости перемещевязкое ния тела с номером n. К потенциальным трение персилам (моментам), действующим со стовязкое вого рода трение роны внешней среды на исполнительный втоорган рабочей машины, относятся, наприрого рода Мc мер, силы гравитации. Если момент внешней силы носит сухое диссипативный характер, то его часто натрение потенцизывают реактивным. Диссипативные моальный момент менты силы это силы трения. Они зависят Рис. 1.8. Графики зависимостей от скорости и меняют свое направление скорости от момента сил сопротивления при изменении направления движения. Момент сопротивления типа вязкое трение второго рода образуется, например, вентилятором (Рис. 1.1.в). Примером сухого трения может служить трение качению (Рис. 1.2.а). Графики зависимостей скорости n от момента сил сопротивления Мс приведены на Рис. 1.8. Электромагнитным моментом силы. Сила, воздействующая на тело 1 со стороны внешней среды (с телом 0), играет особую роль в электромеханических системах. Тело с номером 1, как правило, является ротором электродвигателя. Связь тела 1 с телом 0 носит потенциальный характер. Наличие потенциальной внешней силы обусловлено энергией W0,1п, запасенной обмотками электродвигателя. Энергия упругого взаимодействия тел с номерами 0 и 1 зависит от разности их координат: W0,1п( 0– 1), где 0 и 1– угловые координаты тел с номерами 0 и 1. Электромагнитным моментом силы и определяется как момент потенциальной силы: 15 М= M п 0,1 = – W п 0,1 ( 1 1 ) = W ( 1) , где W( 1)= –W0,1п( 0– 1). 1 При передаче электромагнитной энергии W0,1 к телу с номером 1 (ротору электродвигателя) происходит потеря энергии W0 внутри электромеханического преобразователя. Природа потерь энергии W0 и электромагнитного момента M0 достаточно сложна и рассматривается в следующей главе. 1.2.4 Приведение параметров к обобщенным координатам Из равенства потенциальных энергий в естественной и преобразованной системе координат и уравнений связи обобщенных и естественных координат (1.1) несложно установить, что приведенный момент силы Mпi,i+1 связан с силой Qi,i+1, действующей на тело, движущееся по естественной пространственной координате хi, соотношением W пi ,i 1 W пi ,i 1 п M i ,i 1 Zi Z i Q пi ,i 1 . xi i где хi=Zi · i – естественная пространственная координата. Из равенство кинетической энергий ( pxi ) 2 ( p i )2 ( p i )2 к 2 W i Zi Ji i i 2 2 2 следует, что момент инерции тела i, приведенный к обобщенной координате, Ji=Zi2· i. Из формулы для потенциальной энергии в естественной и преобразованной системе координат 2 2 ( yi yi 1 ) 2 ( i1 п 2 ( i 1 i) i) W i ,i 1 ci ,i 1 ci ,i 1 (ri Zi ) Ci ,i 1 2 2 2 следует, что коэффициент жесткости сопряжения пары, приведенный к обобщенной координате, Сi,i+1= сi,i+1·(ri·Zi)2, где сi,i+1 - коэффициент жесткости сопряжения пары. Аналогично можно установить, что коэффициент диссипативного сопротивления, приведенный к обобщенной координате, Ki = ki · Zi –1, где ki - коэффициент диссипативного сопротивления. Формулы приведения параметров к обобщенным координатам приведены Таблица 1.2 Координата в табл. 2.2. i = хi /Zi Выводы по п. 1.2. Момент силы Mi,i+1= Zi Взаимодействие тел механиQi,i+1 2 ческой системы носит потенМомент инерции Ji=Zi · i 2 циальный характер. Сила поКоэфф. жесткости Сi,i+1= сi,i+1·(ri·Zi) –1 Коэфф. сопротивления тенциального взаимодействия Ki= ki ·Zi двух тел пропорциональна разности координат их сопряжения и производной потенциальной энергии по координате сопряжения. Если к механической 16 системе подводится энергия из внешней среды, то ее тела приходят в движение и накапливают кинетическую энергию. Движение тел сопровождается диссипацией энергии, обусловленной действием сил сухого и вязкого трения. Диссипативная энергия выделяется в механической системе в виде тепла. 1.3 Динамические модели механических систем с упругими связями масс Под динамикой масс механической системы понимаются законы движения ее тел под воздействием энергии, сообщаемой телам из внешней среды. Для того чтобы определить изменение обобщенных координат масс механической системы, необходимо составить и решить так называемые уравнения движения. Уравнения движения составляются с учетом взаимодействия тел друг с другом и внешней средой. В данном параграфе приводятся различные формы представления уравнений движения, которые могут быть использованы для анализа динамического поведения масс. 1.3.1 Уравнения Лагранжа Обобщенный момент силы Mi (1.3), действующий на тело механической системы, называют также избыточным моментом силы. Кинетическая энергия тела связана с избыточным моментом силы уравнением Лагранжа W кi W кi p M i ; i=1,…,n (1.4) i i Данные уравнения называется также уравнениями движения тел. Запись уравнений движения можно сократить, если ввести функцию Лагранжа: n W i 0 W кi n i 0 W пi ,i n n Wi 1 i 0 (W к i W пi ,i 1 Wi ) . i 0 Функция Лагранжа учитывает все кинетические, потенциальные и диссипативные энергии в системе, включающей в себя и энергию внешних взаимодействий. Тогда уравнение Лагранжа можно записать в следующем, достаточно простом, виде: W W p 0 ; i=1,…,n. (1.5) p i i 1.3.2 Уравнения движения тел механической системы Если в выражение (1.4) подставить формулу (1.2), то равенство момента силы инерции избыточному моменту силы можно представить в следующем виде: 2 dJ i 2 i Ji p i M i ; i=1,…,n. (1.6) 2 d i Данное выражение называется уравнением движения или вторым законом Ньютона. Каждой массе Ji может быть поставлено в соответствие свое уравнение движения, характеризующее ее динамическое поведение. Совокупность уравнений, составленных для каждого из тел i=1,…,n, полностью 17 характеризует статические и динамические свойства механической системы, имеющей n масс. Если масса тела не зависит от координаты i, то уравнение движения имеет более простой вид: (1.7) Ji p2 i M i ; i=1,…,n. Число дифференциальных уравнений движения, описывающих динамику механической системы, равно числу масс n системы и называется числом степеней свободы. Каждое из уравнений имеет второй порядок. Таким образом, динамика механической системы, состоящей из n масс, описывается системой дифференциальных уравнений, имеющих общий порядок 2·n. 1.3.3 Развернутая форма записи уравнений движения Структура дифференциальных уравнений содержит неопределенность в описании диссипативных связей масс, так как реальный вид диссипативной составляющей функции Лагранжа n W Wi i 0 имеет достаточно сложную структуру. Величина суммарной диссипативной энергии в механических системах электропривода мала. Поэтому при исследовании динамических свойств механической системы диссипативной составляющей энергии часто пренебрегают, полагая ΔW=0. Механическая система, в которой отсутствует диссипация энергии, называется консервативной. Для консервативной механической системы уравнения движения масс примут следующий вид: J1 p 2 1 M C1,2 ( 1 2) ; … Ji p 2 i Ci 1,i ( i 1 … i ) Ci ,i 1 ( i i 1 ); (1.8) J n p 2 n Cn 1,n ( n 1 Mc . n) Пространственные координаты консервативной системы при отсутствии внешних воздействий не изменяются во времени или совершают незатухающие колебания. Очевидно, что все реальные системы диссипативны. Диссипация энергии происходит при взаимодействии масс с внешней средой. Будем считать, что потери при взаимодействии с неподвижной внешней средой имеют характер вязкого трения первого рода. Тогда система дифференциальных уравнений будет линейной и примет следующий вид: J1 p 2 1 M C1,2 ( 1 K1 p 1 ; 2) … J i p 2 i Ci 1,i ( i 1 Ci ,i 1 ( i Ki p i ; (1.9) i) i 1) … J n p 2 n Cn 1,n ( n 1 Mc , n) где Ki =Ki,n+1 - коэффициент диссипативного сопротивления, приведенный к обобщенной координате. Системы дифференциальных уравнений (1.8) и (1.9) являются линейными и легко поддаются анализу. 18 1.3.4 Структурная схема двухмассовой системы и ее передаточные функции Реальные механические системы чаще всего имеют не более двух масс. Уравнения движения консервативной механической системы с двумя степенями свободы имеют вид 2 (1.10) J1 p 2 1 M C1,2 ( 1 C1,2 ( 1 Mc . 2 ) ; J2 p 2 2) Диф Mc M 2 1 ференциC1,2 1 1 альным J1 p J2 p p уравнениРис. 1.9. Структурная схема двухмассовой механиям (1.10) ческой системы может быть поставлена в соответствие структурная схема механической системы, приведенная на рис.2.10. Используя дифференциальные уравнения (1.10), можно найти изображения по Лапласу скоростей изменения пространственных координат 1 = p 1 и 2 = p 2: W11 ( p) M W12 ( p) M c ; 2 ( p) W21 ( p) M W22 ( p) M c , 1 ( p) 2 где W11(p)=(p J2+C1,2)/Y(p); W12(p)= W22(p)=C1,2/Y(p); W22(p)=(p2 J1+C1,2)/Y(p) передаточные функции механической системы по управляющему воздействию М и возмущающему воздействию Мс; Y(p)=p [J1 J2 p2+C1,2(J1+J2)] – характеристический полином. 1.3.5 Пример двухмассовой системы. В качестве примера механической системы (Рис. 1.10) рассмотрим тележку грузоподъемного устройства, которая перемещается в направлении x1. Данная система имеет две массы: тележки μ1 и y груза μ2. Масса груза μ2 имеет гибкую (маятx1 никовую) подвеску. Диссипативными связями μ1 масс с окружающей средой будем пренебрегать. Следовательно, данная система консервативна. Функция Лагранжа W=Wк+Wп, где l Wк - сумма всех кинетических энергий; Wп x2 сумма всех потенциальных энергий. h Сумма кинетических энергий μ2 2 2 px12 2 px2 2 py W . масс при движении тележки 2 2 2 грузоподъемного устройства где px1, px2, py – скорости перемещения масс по координатам x1, x2, y. Допустим, что скорость перемещения массы μ2 в вертикальном направлении y мала и, соответственно, 2 2 py 0. 2 Сумма потенциальных энергий состоит из энергии подъема груза массой μ2 на высоту h при движении тележки и электромагнитной энергии электродвигателя W0,1п: Рис. 1.10. Схема положения к 1 19 W п g 2 h W0,1п , где g – ускорение свободного падения. Выразим высоту подъема груза h через координаты x1 и x2. Для этого заметим, что 2 x1 x2 l 2 ( x1 x2 )2 sin( ) = ; h =l [1–cos( )] 2 l sin . 2 2 2 l l С учетом допущений и замечаний функция Лагранжа: 2 2 g 2 ( x1 x2 )2 к п 1 px1 2 px2 W W W W0,1п . 2 2 2 l Координата x1 связана с угловой координатой положения ротора электродвигателя 1 соотношением x1 =Z1 1. Координата x2 связана с обобщенной угловой координатой 2 соотношением x2 =Z2 2, где Z1=Z2. Тогда после замены переменных функция Лагранжа примет следующий вид: 2 C1,2 ( 1 J1 p 12 J 2 p 2 2 2) W W0,1п , 2 2 2 где J1=Z1 2· 1 - момент инерции тележки, приведенный к валу электродвигателя; J2=Z12· 2 - момент инерции груза, приведенный к валу электродвигателя; C1,2= Z12 g 2/l =g J2/l - коэффициент упругого взаимодействия массы груза и тележки, приведенный к валу электродвигателя. Если воспользоваться уравнением Лагранжа (1.5), то получим уравнения движения двухмассовой консервативной системы в виде (1.10): 2 J1 p 2 1 M C1,2 ( 1 C1,2 ( 1 2 ) ; J2 p 2 2) , где М=M0,1= – W0,1п - электромагнитный момент силы. 1 Выводы по п. 2.3. Из закона сохранения энергии следует уравнение движения тела. Уравнения движения тел могут быть записаны в энергетической форме Лагранжа (1.5) или в виде второго закона Ньютона (1.6). Если в механической системе действуют лишь потенциальные силы, тогда механическая система называется консервативной. В консервативной системе движения носят незатухающий колебательный характер. При наличии диссипативных сил движение в динамической системе затухает и может поддерживаться лишь при восполнении энергии из внешней среды. 1.4 Механические системы с голономными связями Динамическое поведение n масс механической системы требует решения системы n дифференциальных уравнений. Решение дифференциальных уравнений движения большого порядка имеет сложную структуру. Однако в большинстве случаев число степеней свободы невелико и редко превышает значение 2. В механической передаче энергии жесткость связей между массами достаточно высока. Если при ограниченной величине потенциальной энергии 20 устремить коэффициент жесткости между двумя телами к бесконечности, то несложно установить, что координаты точек сопряжения будут равны между собой yi=yi+1. При равенстве координат точек сопряжения связь двух тел i и i+1 называют голономной. Из равенства yi=yi+1 следует равенство обобщенных координат i= i+1 и скоростей движения тел i= i+1. Очевидно, что при равенстве обобщенных координат i= i+1 потенциальная энергия взаимодействия равна нулю. Поэтому внешняя энергия, сообщаемая телу i, одновременно передается и телу i+1. Таким образом, два тела с массами i и i+1, имеющих голономную связь, с точки зрения динамических свойств могут рассматриваться как одна эквивалентная масса, перемещающаяся по одной обобщенной координате i= i+1. Механическую систему с голономными связями масс называют также одномассовой системой. 1.4.1 Уравнение движения одномассовой системы В системе с голономными связями масс i i=1,…,n под эквивалентной массой понимается сумма приведенных к валу электродвигателя моментов инерции масс i i=1,…,n: n n Zi 2 Ji J= i 1 i = J1 k , i 1 где J1=μ1 – момент инерции ротора электродвигателя; k =J/J1 – коэффициент, характеризующий увеличение момента инерции ротора за счет присоединения к нему голономно связанных масс. При наличии голономных связей тел i=1,…,n имеют место очевидные равенства 1=…= n = и р 1 =…=р n=р = . При этом число степеней свободы уменьшается до единицы, а динамическое поведение системы описывается одним дифференциальным уравнением движения J p2 M M Mc , где Мc - момент силы сопротивления внешней среды; ΔM – момент силы диссипативного взаимодействия тел i=1,…,n с друг с другом и внешней средой. В следующем пункте рассматриваются диссипативные потери энергии ΔW и диссипативный момент силы ΔM в механической системе с голономными связями между телами. 1.4.2 Потери энергии и обобщенного момента в системе с голономными связями Передача энергии от массы i–1 к массе i, имеет полезную и диссипативную составляющие. Полезная составляющая передается от одного тела механической системы к другому. Диссипативная составляющая энергии выделяется в виде тепла и внутри механической системы. Электромагнитная энергия W0,1 при передаче к исполнительному органу рабочей машины теряется и к исполнительному органу рабочей машины доходит энергия Wn,n+1. Величина потерь энергии определяется суммой диссипативных составляющих энергии 21 n ΔW= Wi =W0,1–Wn,n+1. i 1 Момент также как и энергия имеет полезную и диссипативную составляющие. Электромагнитный момент электродвигателя M отличается от момента сопротивления Мс на величину момент диссипативных потерь: ΔM= М – Мс. Потери момента ΔM, обусловленные наличием сил трения, разделяются на силы сухого трения ΔMст и вязкого трения ΔMвт. Величина сил сухого трения является линейной функцией передаваемого момента и обычно принимается равной ΔMст= ΔM0 sign( )+ Mс, где ΔM0 – постоянная составляющая момента сухого трения; - константа, характеризующая меру зависимости момента сухого трения от передаваемого момента Mс; =р - скорость вращения ротора. Момент вязкого трения пропорционален скорости: ΔMвт= K · . Таким образом, момент потерь в механической передаче ΔM= ΔMст+ ΔMвт= ΔM0 sign( )+ Mс+K · . Отношение приведенного момента (мощности) на выходном валу к приведенному моменту (мощности) на входном валу Mc Mc Mc M Mc M Mc M 0 sign( ) Mc K называется коэффициентом полезного действия механической передачи. Обычно задается номинальный коэффициент полезного действия н механической передачи, соответствующий номинальной скорости вращения н и номинальной нагрузке Mсн. Ориентировочные номинальные значения коэффициентов полезного действия механических передач приведены в табл.2.3. [6]. Таблица 1.3 Зубчатая Тип передачи С цилиндрическими колесами С коническими колесами Цепная Ременная Фрикционная Червячная Самотормозящаяся Не самотормозящаяся Закрытая 0,96 0,98 0,95 0,97 0,95 0,97 0,90 0,96 0,30 0,40 0,65 0,90 Открытая 0,93 0,95 0,92 0,94 0,90 0,93 0,95 0,97 0,70 0,80 - 1.4.3 Структурная схема механической системы с голономными связями Используя полученные соотношения для потери момента, запишем уравнение движения для одномассовой механической системы с голономными связями J p M M Mc M M 0 sign( ) K M c (1 ) . 22 Структурная схема одномассовой системы с голономными связями в механической передаче с учетом диссипативных потерь на вязкое и сухое трение представлена на Рис. 1.11а. Если положить, что диссипативные потери M равны нулю, то динамическое поведение механической системы при одной эквивалентной массе описывается уравнением J p M Mc . (1.11) Уравнение (1.11) также может быть получено, если потери M включить в состав сил сопротивления Мс. Уравнению (1.11) соответствует структурная схема, приведенная на Рис. 1.11б. Связь выходной величины одномассовой системы с управляющим М и возмущающим Mс воздействиями может быть выражена через передаточную функцию p W ( p) ( M M c ) , 1 Mc (1+ ) где - передаW ( p ) M Mc 1 J p M 1 J p точная функция. В большинстве случаJ p K ев механические системы a б ΔM0 sign( 1) построены так, что связи ) ) 1.11.Структурные схемы одномассовой системы: между телами голономны. Рис. Если нельзя принять равена) с учетом потерь в механической передаче; б) без учета потерь в механической передаче ство обобщенных координат масс, то механическую систему следует рассматривать как многомассовую, что существенно усложняет динамическое поведение механической системы. Выводы по п. 1.4. При равенстве координат сопряжения двух тел связь между телами называется голономной. Передача энергии механической системой с голономными связями сопровождается потерей энергии, обусловленной действием сил трения. В голономных связях при движении действуют силы сухого и вязкого трения. Движение голономно связанных масс можно рассматривать как движение одной эквивалентной массы. В механической системе может быть несколько групп тел, имеющих между собой голономные связи. В этом случае в механической системе будет несколько эквивалентных масс. Взаимодействие этих масс будет носить потенциальный (упругий) характер. 1.5 Механические переходные процессы в электромеханических системах 23 В данном параграфе рассматриваются механические переходные х ЭлектриМеханипроцессы в электромеханических M ческая ческая системах. Электромеханическую часть часть Рис. 1.12. Функциональная схема элексистему можно условно разделить на тромеханической системы две части: электрическую и механическую (Рис. 1.12). Электрическая часть включает в себя электрический преобразователь и электрическую часть электродвигателя. Она предназначена для формирования электромагнитного момента M. Механическая часть включает в себя механическую часть электродвигателя, механический преобразователь и исполнительный орган рабочей машины. 1.5.1 Механические характеристики электропривода Входной координатой электрической части является управляющее воздействие х, а выходной – электромагнитный момент. Связь между управляющим воздействием х и электромагнитным моментом M может быть охарактеризована дифференциальными уравнениями, описывающими электромагнитные процессы в электрической части электромеханической системы. В уравнения электрической части входит скорость вращения ротора электродвигателя в качестве переменного (меняющегося во времени) коэффициента. Скорость протекания электромагнитных процессов, как правило, существенно выше скорости протекания механических процессов. Поэтому при рассмотрении динамики электромагнитных процессов скорость вращения ротора электродвигателя можно приближенно полагать постоянной. Такой прием часто используется при анализе дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и называется методом «замораживания». Так как скорость протекания механических процессов существенно меньше скорости протекания электромагнитных процессов, то при анализе механических переходных процессов можно считать, что электромагнитный момент является стационарной функцией управляющего воздействия х и скорости : M =M(x, ). Зависимость M(x, ) при фиксированном значении х называется механической характеристикой электромеханической системы. Если параметры напряжений и сопротивлений обмоток равны номинальным значениям, то механическую характеристику называют естественной. Вид естественной механической характеристики зависит от конструктивных особенностей электромеханического преобразователя (электродвигателя). Если хотя бы один из параметров напряжений или сопротивлений обмоток отличается от номинального значения, то механическую характеристику называют искусственной. Входной координатой механической части является электромагнитный момент M, а выходной, как правило, - скорость вращения ротора. Выходная координата механической части связана с входной координатой уравнением движения: (1.12) J p =M – Mc= Mиз, 24 где M - электромагнитный момент; Mc - момент сопротивления внешних сил создаваемый нагрузкой и механической передачей; Mиз – избыточный момент. 1.5.2 Устойчивость электромеханической системы Так как в установившемся режиме производная p = 0, то установившуюся скорость ∞ называют неподвижной точкой дифференциального M(x, ) Mc( ) уравнения (1.12), которая может быть найдена из условия ∞ устойчивая J p ∞ = M(x, ∞) – Mc( ∞)=0. 2 Для определения установивше∞ неустойчивая гося значения скорости необходимо 1 найти решение уравнения относительно ∞. Графическая иллюM(x, ∞1)M(x, ∞2) M Рис. 1.13. Механические характеристистрация решения алгебраического ки: электродвигателя M(x, ) и нагрузуравнения (1.13) приведена на Рис. ки Mc( ) 1.13. Такое решение может порождать (1.13) M(x, ∞) = Mc( ∞) не одну неподвижную точку ∞. Например, Рис. 1.13 на показаны две неподвижные точки, которым соответствуют скорости ∞1 и ∞2. Неподвижные точки бывают устойчивыми и неустойчивыми. Устойчивой неподвижной точке соответствует возможность работы с установившейся скоростью ∞. В неустойчивой неподвижной точке установившийся режим работы невозможен. Решение вопроса об устойчивости неподвижной точки может быть получено путем исследования устойчивости линеаризованного дифференциального уравнения движения в окрестности неподвижной точки: dM из ( ) Jp =с , где с = ; = – ∞. d Устойчивой неподвижной точке ∞ соответствует отрицательный корень характеристического линеаризованного уравнения c<0. На Рис. 1.13 неподвижная точка, которой соответствуют скорость ∞1, является неустойчивой, а точка, которой соответствуют скорость ∞2, - устойчивой. 1.5.3 Энергетика управления механическими процессами Рассмотрим энергетические аспекты взаимодействия между электромеханическим и механическим преобразователями электропривода. Зависимость M =М (x, ) может быть достаточно сложной. Часто механическую характеристику аппроксимируют линейной зависимостью: (1.14) М= М0 – с или М=с ( 0– ), где М0= с 0- значение момента при =0; 0 - значение скорости при М=0, называемой пограничной. В данной форме записи момент с можно отнести к силам типа вязкое трение. Коэффициент пропорциональности между 25 скоростью и электромагнитным моментом, обозначенный буквой c, называют коэффициентом жесткости механической характеристики. Он является характеристикой потерь, связанных с образованием электромагнитного момента. Уравнение движения (1.12) в этом случае примет следующий вид: (1.15) J p +с = М0 – Mc. Для простоты рассуждений будем полагать, что механическая характеристика привода линейна (1.14). Умножим левую и правую части уравнения движения (1.15) на . В результате получим уравнение баланса мощностей: p{J 2/2} = М –Mc . Произведение М характеризует мощность, передаваемую электромеханическим преобразователем механической части системы. Если эта мощность положительная, то происходит передача энергии в направлении к механической части (двигательный режим). Очевидно, что устойчивая неподвижная точка фазового пространства {М, }, соответствующая двигательному режиму, будет принадлежать первому и третьему квадранту. Если эта мощность отрицательная, то происходит передача энергии в направлении от механической части к электрической части (генераторный режим). На механической характеристике мощности М соответствует площадь, показанная диагональной и горизонтальной штриховкой (Рис.1.14). Очевидно, что устойчивая неподвижная точка фазового пространства {М, }, соответствующая генераторному режиму, будет принадлежать второму и четвертому квадранту. Мощность имеет две составляющие. Первая, показанная диагональной штриховкой, идет на преодоление внешних сил сопротивления и равна Мс . Данная мощность обычно называется полезной. Вторая составляющая мощности, показанная горизонтальной штриховкой, затрачивается на накопление кинетической и потенциальной энергий механической частью системы и равна (М – Mc) . Если система имеет голономные связи между массами, то энергия затрачивается лишь на накопление кинетической энергии J 2/2 . В установившемся режиме (Мс = М) данная часть мощности равна нулю. Мощность М 0 подводится к ротору и соответствует электромагнитной мощности. Мощность M ( 0– ) характеризует потери в роторе и механические потери при передаче электромагнитного момента к ротору. На электромеханической характеристике площадь M ( 0– ) показана вертикальной штриховкой. Потери мощности имеют достаточно сложную структуру. Поэтому механическая характеристика может быть нелинейной. В том случае, если регулирование скорости осуществляется увеличением наклона механической характеристики, то управление идет за счет увеличения диссипативных потерь в электромеханическом преобразователе. Очевидно, что такой метод управления энергетически нецелесообразен. 26 = М/с – ∞ ∞ –Мс Мс Мс – – ∞ М а) М –Мс – – ∞ б) Рис.1.14. Механические характеристики: а) двигательный режим; б) генераторный (тормозной) режим Произведение М0 = с 0 характеризует мощность, передаваемую от источников электрической энергии в ротор электродвигателя. Регулирование скорости вращения ротора путем изменения параметров электрической энергии не приводит к дополнительным потерям энергии и является предпочтительным. Выводы по п. 1.5. Характер движения масс механической системы определяется уравнением движения. Движение возможно лишь при воздействии на массы механической системы внешних сил: электромагнитного момента и (или) сил сопротивления внешней среды. Величина электромагнитного момента, развиваемого электромеханическим преобразователем, зависит от скорости. Зависимость электромагнитного момента от скорости называется механической характеристикой электромеханического преобразователя. Зависимость момента сопротивления внешней среды от скорости называется механической характеристикой исполнительного механизма. При равенстве электромагнитного момента и сил сопротивления массы механической системы находятся в состоянии стационарного движения. Управление скоростью движения возможно путем регулирования энергии, подводимой к механической системе, а также путем изменения уровня ее диссипации внутри механической системы или электромеханического преобразователя. 1.6 Контрольные вопросы по теме «Динамические модели механических систем» 1. Какими координатами характеризуются поступательное и вращательное движение? 2. Какое преобразование осуществляется механическим преобразователем? 3. Какое свойство тел характеризует кинетическая энергия? 4. В какую энергию переходит диссипативная энергия? 5. Какая механическая система называется консервативной? 6. Какая механическая характеристика называется естественной? 7. Каким образом осуществляется приведение механической системы с жесткими голономными связями, имеющими несколько масс? 27 8. Какими уравнениями описывается динамика движения масс? 9. Какие переменные относятся к переменным состояния динамической системы? 10.Какие переменные состояния, характеризуют электрическую емкость и индуктивность? 11.От каких параметров зависит момент инерции цилиндра? 12.От чего зависит сила вязкого трения? 13.Какой закон Ньютона называется уравнением движения? 28 2 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА 2.1 Устройство и динамическая модель машины постоянного тока Электрическая машина постоянного тока имеет цилиндрическую конструкцию, схематическое изображение поперечного разреза которой представлено на Рис. 2.1. d 1 q 2 3 4 5 6 7 8 9 Рис. 2.1.Схематическое изображение поперечного разреза электрической машины постоянного тока:1- обмотка возбуждения; 2 –плюс; 3 – ротор; 4 – магнитопровод статора; 5 – дополнительный полюс; 6 – обмотка дополнительного полюса; 7 - щетка; 8 - коллектор; 9 - обмотка якоря Статор представляет собой цилиндрический магнитопровод с присоединенными к нему с внутренней стороны полюсами. Таким образом, магнитная система имеет явно выраженные полюсы и характеризуется двумя ортогональными осями симметрии: продольной d и поперечной q(Рис. 2.1). Обмотка возбуждения статора наматывается на полюсы и является сосредоточенной. Обмотки полюсов разной полярности соединяются между собой последовательно. Обмотка возбуждения характеризуется активным сопротивлением Rd и индуктивностью Ld. Магнитная ось обмотки возбуждения направлена по оси d (см. Рис. 2.1). Ротор состоит из якоря и коллектора. Якорь представляет собой цилиндрической магнитопровод, одетый на вал. На якоре находится обмотка. Коллектор представляет собой цилиндр, на наружной поверхности которого расположены изолированные друг от друга медные пластины (ламели). К ламелям подключатся выводы обмотки якоря. Конструктивно обмотка якоря и коллектор образуют единое целое. Для подведения к коллектору постоянного напряжения в машине постоянного тока имеется щеточный механизм. Постоянное напряжение подводится через пару щеток, закрепленных на специальной поворотной конструкции, называемой щеткодержателем. Обмотка якоря характеризуется также активным сопротивлением Rqи индуктивностью Lq. Для уменьшения индуктивности Lqцепи якоря по поперечной оси в пазы на поверхности полюсов обмотки возбуждения может укладываться компенсационная обмотка (см. Рис. 2.1). Компенсационная об- 29 мотка включается в цепь якоря так, чтобы ее магнитный поток был направлен навстречу потоку обмотки якоря. Установка компенсационной обмотки позволяет уменьшить индуктивность цепи обмотки якоря Lq примерно в 4 раза. Для уменьшения искрения на коллекторно-щеточном механизме обычно предусматривается установка дополнительных полюсов(см. Рис. 2.1). Дополнительные полюсы располагаются на статоре между полюсами обмотки возбуждения и позволяют направить часть магнитного потока якоря через воздушный зазор по магнитопроводу статора, минуя полюсы обмотки возбуждения. На дополнительные полюса наматывается обмотка, которая подключается последовательно с обмоткой якоря так, чтобы ее магнитный поток был направлен навстречу потоку обмотки якоря. 2.2 Номинальные данные и относительные единицы машины постоянного тока Все расчеты динамических процессов в электроприводе постоянного тока удобно производить в относительных единицах. Для введения относительных величин необходимо выбрать базовые величины. Базовые величины целесообразно выбрать с использованием номинальных данных машины постоянного тока. В качестве номинальных данных обычно используются; Рн (Вт) номинальная мощность; Uн (В) – номинальное напряжение якоря; Iн(A) номинальный ток якоря; nн (об./мин.) номинальная частота вращения; ηн (о.е.) номинальный коэффициент полезного действия. В качестве основных базовых величин машины постоянного тока целесообразно использовать: Uн номинальное напряжение якоря, Iн номинальный ток якоря и б базовое значение скорости. За базовое значение скорости принимается электрическая скорость вращения якоря на холостом ходу при номинальном напряжении на обмотке якоря и номинальном токе в обмотке возбуждения. Электрическая скорость вращения якоря б связана с фактической скоростью вращения б соотношением б pп б. Для машин с независимым возбуждением базовое значение скорости находится при токе якоря равном нулю. Производные базовые величины выражаются через основные базовые величины: сопротивление — Rб U б / I б U н / I н ; индуктивность — Lб Rб / б ; мощность — Pб U б I б / 2 U н I н ; электромагнитный момент— M б pп Pб / б ; угловая скорость вращения ротора — б б / pп , где рп floor(3000/nн) — число пар полюсов; floor(x) —целая часть числа x. Переменные, выраженные в относительных единицах, равны отношению переменой к соответствующему базовому значению и помечаются верхним индексом *. Так, например, R в относительных единицах R* R/Rб. 30 Сопротивление якоря в относительных единицах связано с номинальным значением коэффициента полезного действия машины ηнприближенным соотношением Rq *≈ 0,5·(1 – ηн). Значения сопротивления якоря машины постоянного тока в относительных единицах Rq *=0,03 0,12. Причем меньшие значения относятся к машинам большей мощности. Значение относительной индуктивности цепи якоря машин мощностью от 1 200 кВт Lq* 0,13 0,17 для машин с компенсационной обмоткой и Lq* 0,55 0,65 для машин без компенсационной обмотки. При равенстве номинальных напряжений обмоток якоря и возбуждения сопротивление обмотки возбуждения Rd* в относительных единицах в зависимости от мощности можно оценить по графику, приведенному на Рис. 2.2. В этом случае коэффициент взаимной индукции между обмоткой возбуждения и обмоткой якоря L0* Rd* 15 ln(Pн+ 0,5). Rd* 100 80 60 40 20 Pн, кВт 1 2 5 101 20 50 102 200 500 103 Рис. 2.2. Зависимость сопротивления обмотки возбуждения в относительных единицах от мощности машины постоянного тока 2.3 Математическая модель машины постоянного тока Между обмотками возбуждения и обмоткой якоря имеется магнитная связь, которая характеризуется индуктивностью L0. При вращении ротора в обмотке якоря индуктируется э.д.с. вращения Ed=L0·id = d, где d = L0·id потокосцепление обмотки возбуждения и обмотки якоря. Взаимная индуктивность между обмотками возбуждения и якоряL0 далее называется основной. Если угол сдвига щеток относительно поперечной оси qравен нулю, то уравнения напряжений на обмотках машины постоянного тока примут следующий вид: ud Rd id Ld · pid ; uq Rq iq Lq · piq Ed . (2.1) где Rd сопротивление обмотки возбуждения; Rq сопротивление цепи обмотки якоря, LdиLq индуктивность обмотки возбуждения и обмотки якоря; 31 Уравнениям (2.1) соответствуют схемы замещения обмоток возбуждения и якоря электродвигателя постоянного тока приведены на рис. 3.4. а) ud б) Rd iq Lq L0 iq Ed Ld Rq uq Рис. 2.3. Схемы замещения обмоток электродвигателя постоянного тока: а) возбуждения; б) якоря Электромагнитный момент машины постоянного тока M L0 id iq (2.2) d iq . Электромагнитный момент машины постоянного тока связан со скоростью вращения ротора уравнением движения Ньютона: J·p M Mс , (2.3) где J момент инерции электропривода; угловая скорость вращения ротора; Mс момент сопротивления движению. 2.4 Структурная схема электрической машины постоянного тока Электромагнитные процессы в электрической машине постоянного тока характеризуются уравнениями (2.1). В относительных единицах уравнения напряжений на обмотках двигателя будет иметь следующий вид: Td p * d (Tq piq* iq* ) Rq* * d uq * ud * ; * d (2.4) * , (2.5) где Td Ld/Rd и Tq=Lq/Rq постоянные времени обмотки возбуждения и якоря; d* относительное потокосцепление обмотки возбуждения и обмотки якоря; ud и uq относительное напряжение возбуждения и якоря; * / б относительная угловая скорость вращения ротора. Электромагнитный момент, определенный выражением (2.2), в относительных единицах примет следующий вид: * M* iq* . (2.6) d Уравнение движения машины постоянного тока в относительных единицах: Tмех · p * M * M с* , (2.7) * где Tмех механическая постоянная времени; M относительный электромагнитный момент; Mс* относительный момент сопротивления движению. 32 Eq*= uq* * d · 1 / Rq* * iq* 1 Tq p 1 ud* 1 Td p 1 Tмех p * * d Mс Рис. 2.4. Структурная схема машины постоянного тока в относительных единицах Уравнениям (2.4), (2.5), (2.6) и (2.7) соответствует структурная схема, изображенная на Рис. 2.4. Структурная схема и (или) уравнения (2.4), (2.5), (2.6) и (2.7) являются исходной моделью машины постоянного тока при синтезе системы управлении напряжением якоря uq* и напряжением возбуждения ud*. Наиболее распространенное управление электродвигателем постоянного тока состоит в поддержании постоянного номинального тока возбуждения обмотки возбуждении и управлении обмоткой якоря электромагнитным моментом. Номинальному току намагничивания соответствует номинальное напряжение на обмотке возбуждения. При управлении с номинальным током намагничивания к обмотке возбуждения подводится относительное напряжение u d * = 1. В этом случае будут иметь место соотношения: р d* 0; d* ud* 1; M*= iq*. В данном случае анализ и синтез динамических процессов можно выполнить, учитывая лишь уравнение напряжений обмотки якоря и уравнение движения якоря: * Rq* (Tq p 1) iq* uq* ; (2.8) Tмех · p * M * M с* . Уравнениям (2.8) соответствует структурная схема, изображенная на Рис. 2.5. Структурная схема и (или) уравнения Рис. 2.5 являются исходной моделью машины постоянного тока при постоянном напряжении на обмотке возбуждения, позволяющей вести синтез ее статических и динамических характеристик. Б Mc* А * * iq 1 uq * x* 1 1 / Rq Txq p 1 Tмех p Tq p 1 Электродвигатель Рис. 2.5. Структурная схема силовой части электропривода постоянного тока при постоянном токе намагничивания: A электрического преобразователя; Б электродвигателя 33 2.5 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель машины постоянного ток» 1. Из каких элементов состоит машина постоянного тока? 2. Как осуществляется намагничивание магнитопровода двигателя постоянного тока? 3. Какое движение совершает ротор машины постоянного тока? 4. Что называется двигателем постоянного тока? 5. Что означает обратимость машин постоянного тока? 6. Какие уравнения описывают динамику электромагнитных и механических процессов в двигателе постоянного тока 7. Из каких элементов состоит схема замещения обмоток возбуждения и якоря машины постоянного тока? 8. Каким динамическим звеном является обмотка возбуждения? 3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТРАНСФОРМАТОРА Трансформатор – это статический электромагнитный аппарат, преобразующий напряжение и ток первичной обмотки в напряжения и токи вторичных обмоток при неизменной частоте питающего напряжения. В трансформаторе нет вращающихся частей. Однако преобразование электроэнергии в нем происходит на основе тех же законов электричества и магнетизма, как и в электрических машинах. В частности, теория трансформаторов очень схожа с теорией асинхронных машин, поэтому трансформаторы составляют неотъемлемую часть курса электрических машин. Электрические трансформаторы имеют высокий коэффициент полезного действия, доходящий до 99 % и высокую надежность, так как не содержат движущихся частей. 3.1 Устройство трансформатора Простейший силовой трансформатор состоит из ферромагнитного сердечника (магнитопровода) и двух обмоток, расположенных на стержнях магнитопровода (Рис. 3.1). Магнитопровод набран из изолированных друг от друга листов электротехнической стали толщиной 0.3-0.5 мм, с целью уменьшения потерь на вихревые токи. Обмотка трансформатора, соединенная с источником питания, называется первичной, а обмотка, к которой подключается потребитель электроэнергии, называется вторичной. Параметры, относящиеся к первичной обмотке, обозначаются индексом 1, (w1 , u1 , i1) , относящиеся к вторичной обмотке – обозначают с индексом 2 , (w2 , u2 , i2). 34 ФО i1 u1 w1 i2 Ф1 Ф2 w2 u2 Рис. 3.1. Конструкция простейшего однофазного трансформатора Действие трансформатора основано на явлении электромагнитной индукции. При подключении первичной обмотки к источнику переменного тока в витках этой обмотки протекает переменный ток i1, который создает в магнитопроводе переменный магнитный поток ФO, который называется основным. Замыкаясь в магнитопроводе, этот поток сцепляется с обеими обмотками (первичной и вторичной) и индуктирует в них э.д.с., величина которой пропорциональна числу витков обмотки. Кроме основного магнитного потока выделяют потоки рассеяния первичной и вторичной обмотки, которые существенно меньше основного магнитного потока. При подключении к выводам вторичной обмотки трансформатора нагрузки под действием э.д.с. в цепи этой обмотки создается ток i2 , а на выводах вторичной обмотки устанавливается напряжение u2. При этом ток в первичной обмотке возрастет так, что основной магнитный поток, который сцепляется с витками как первичной, так и вторичной обмотки останется постоянным. 3.2 Номинальные данные трансформатора и относительные единицы Для упрощения изложения, придания общности и универсальности в данном параграфе, с использованием номинальных данных, вводятся относительные единицы. Предлагаются соотношения, позволяющие оценить параметры машины через номинальные данные Номинальные данные. Под номинальными данными машины понимается совокупность числовых значений параметров, обусловленных изготовителем, которым удовлетворяет трансформатор в заданных условиях эксплуатации. Трансформатор характеризуется номинальными данными, которые обычно приводятся на шильдике: мощность — Sн; фазное напряжение первичной обмотки — Uн1; фазное напряжение вторичной обмотки — Uн2; частота напряжения статора — fн; 35 коэффициент полезного действия — н; напряжение короткого замыкания uк*, %. Относительные величины. Переменные, характеризующие его состояние и параметры трансформатора удобно представлять в относительных единицах — в виде отношения переменной или параметра к его базовому значению. Переменными состояния трансформатора, характеризующими его электромагнитную динамику, являются токи, протекающие обмоткам. Под параметрами асинхронного двигателя понимаются константы, характеризующие его конструктивные особенности. Переменные состояния и параметры, представленные в относительных единицах, помечаются верхним индексом *. Для представления параметров в относительных единицах и перехода обратно к переменным или параметрам в именованных единицах вводятся базовые величины, которые делятся на основные и производные от них. Основные базовые величины: напряжение — Uб = Uн ; ток — Iб Iн ; номинальная угловая частота напряжения статора — ωб 2 fн. Производные базовые величины находятся из основных базовых величин: время — tб 1/ б ; сопротивление — Rб U б / I б U н / I н ; индуктивность — Lб Rб / б ; мощность — Sб m Uб I б m Uн I н , где m число фаз. 3.3 Схема замещения и параметры трансформатора Параметры вторичной обмотки обычно приводят к вторичной обмотке трансформатора. При этом полагается, что число витков обмоток совпадает. Т-образная схема трансформатора приведена на Рис. 3.2. Под параметрами трансформатора понимается совокупность параметров схемы замещения (Рис. 3.2), приведенных к обмотке статора: сопротивление первичной обмотки R1; сопротивление вторичной обмотки приведенное к первичной обмотке R2 ; индуктивность рассеяния первичной обмотки L1; индуктивность рассеяния вторичной обмотки, приведенная к первичной обмотке L2; основная индуктивность L0; сопротивление, характеризующее потери энергии в магнитопроводе R0. 36 R1 L1 i1 L2 L0 u1 R2 i2 i0 R0 Рис. 3.2. Схемы замещения трансформатора Кроме этих параметров далее также используется полные индуктивности обмоток L01 L0 L1 ; L02 L0 L2 , (3.1) а также параметры L012 L0 2 Rк R1 R2 R1 R2 ; Lк L01 L1 L2 , (3.2) L02 2 L02 называемые сопротивлением и индуктивностью короткого замыкания. Между параметрами имеет место следующие приближенные соотношения R1 R2 ; L1 L2 ; L01 L02 . (3.3) Для трансформаторов мощностью 25 500000 кВ А параметры в относительных единицах имеют следующие значения (более мощным трансформаторам соответствуют меньшие активные сопротивления и большие значения индуктивностей): R1* R2* 0,01 0,0015; L1* L2* 0,03 0,07; L0*= 33 330; R0*= 5 65. Меньшие значения сопротивлений относятся к электродвигателям большей мощности. Значение индуктивности L0 существенно зависит от отношения размера воздушного зазора к длине полюсного деления. 3.4 Уравнения напряжений на обмотках трансформатора Схема замещения трансформатора представлена на Рис. 3.3. Данная схема замещения не учитывает насыщение магнитопровода. Данной схеме соответствуют уравнения напряжений, составленные в соответствие законами Кирхгофа: u1 R1 i1 L1 pi1 L0 pi0 ; u2 R2 i2 L2 pi2 L0 pi0 ; (3.4) i0 i1 i2 . 37 R1 L1 i1 u1 LSS L2 L0 LRR R2 IR u1 Рис. 3.3.. Схема замещения трансформатора Кривая намагничивания магнитопровода. Уравнения (1.1) записаны в предположении, что магнитопровод трансформатора ненасыщен. Основной магнитный поток проходит через стальной магнитопровод. Поэтому при протекании по обмоткам токов происходит магнитное насыщение стали магнитопровода, что ведет к нелинейной зависимости потокосцепления 0* L0* i0* от относительного некоторого тока намагничивания i0*. При этом основная индуктивность также является функцией от тока намагничивания i0*.Тока намагничивания представляет собой сумму векторов токов обмоток: i0 i1 + i2, где тока i2 приведен к первичной обмотке. Индуктивности обмоток L1, L2 являются постоянными величинами, так как магнитные потоки рассеяния замыкаются через большие воздушные промежутки. Поэтому такое допущение можно считать адекватным. В литературе предлагается множество функций для аппроксимации кривой намагничивания электротехнических сталей и магнитопроводов. При моделировании АД используется аппроксимация обратной функции кривой намагничивания магнитопровода АД вида: Используя уравнения (3.4) несложно заметить, что функция О*(i0*) является характеристикой холостого хода АМ, работающей в генераторном режиме при * 1. Характеристика холостого хода АМ может быть аппроксимирована функцией: О * 1,5 s 1,0 1,6 0,5 i0* 0,5 1,0 1,5 Рис. 3.4. Кривая намагниченности магнитопровода * О arctan s L0* i0* arctan s , (3.5) 38 где s 1,4…2,0 параметр формы кривой намагничивания. Иллюстрация аппроксимации (3.5) кривой намагничивания от параметра формы и масштаба приведена на Рис. 3.4. При учете насыщения магнитопровода моделирование электромагнитных процессов в трансформаторе следует по уравнениям: u1 R1 i1 L1 pi1 p О (i0 ) ; u2 R2 i2 L2 pi2 p О (i0 ) ; (3.6) i0 i1 i2 . Насыщение магнитопровода оказывает существенное влияние на работу трансформатора. Так при пуске трансформатора без нагрузки пусковой ток может превышать номинальный ток. 3.5 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель трансформатора» 1. Из каких элементов состоит трансформатор? 2. Для чего применяются трансформаторы? 3. На каком законе основан принцип действия трансформатора? 4. Путь, по которому замыкаются основной магнитный поток и поток рассеяния в трансформаторе? 5. Какой поток в трансформаторе больше по величине (основной или рассеяния)? 6. От какого тока зависит намагничивание магнитопровода в трансформаторе? 7. Чему равен ток намагничивания трансформатора? 8. Схема замещения трансформатора? 9. Что называется трансформатором тока? 39 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОНОЙ МАШИНЫ 4 4.1 Конструкция асинхронной машины Схематическое изображение конструкции трехфазной асинхронной машины (АД) представлено на Рис. 4.1. Схематическое изображение трехфазной асинхронной машины с короткозамкнутым ротором: 1 – обмотка статора; 2- обмотка ротора; 3 – вал; 4 – магнитопровод статора; 5 – магнитопровод ротора; 6 – подшипниковый щит. Для синтеза системы управления электрической машиной требуется формализация описания ее функционирования в виде математической модели. В данном параграфе рассматриваются конструктивные особенности асинхронных электрических машин. 1 1 t A 1 2 q d S 1 4 3 2 5 B 6 C S Рис. 4.1. Схематическое изображение трехфазной асинхронной машины с короткозамкнутым ротором: 1 – обмотка статора; 2- обмотка ротора; 3 – вал; 4 – магнитопровод статора; 5 – магнитопровод ротора; 6 – подшипниковый щит Статор представляет собой полый цилиндр, который набирается из листов электротехнической стали, изолированных друг от друга и имеющих толщину 0,5 мм. С внутренней стороны магнитопровода статора имеются пазы. В пазы укладывается m-фазная обмотка, состоящая из m фазных обмоток. Фазные обмотки статора одинаковы и симметрично распределены по пазам. Обмотка каждой фазы занимает 1/m окружности статора и распределяется по пазам. На Рис. 4.1 фазные обмотки двухполюсной машины показаны как сосредоточенные. Фазные обмотки соединяются между собой в звезду или треугольник. Ротор представляет собой цилиндр, который набирается из листов электротехнической стали, имеющих толщину 0,5 мм и изолированных друг от друга. С наружной стороны магнитопровода ротора имеются пазы. В пазах располагаются проводники обмотки ротора. 40 Обмотка короткозамкнутого ротора является n-фазной. Концы проводников каждого паза соединяются между собой. Короткозамкнутая n-фазная обмотка имеет форму беличьей клетки (Рис. 4.2). Соединитель Активный проводник Рис. 4.2. Короткозамкнутая обмотка ротора 4.2 Номинальные данные и относительные единицы Для упрощения изложения, придания общности и универсальности в данном параграфе, с использованием номинальных данных, вводятся относительные единицы. Предлагаются соотношения, позволяющие оценить параметры машины через номинальные данные. Номинальные данные. Под номинальными данными машины понимается совокупность числовых значений параметров, обусловленных изготовителем, которым удовлетворяет вращающаяся электрическая машина в заданных условиях эксплуатации. Асинхронный двигатель характеризуется номинальными данными, которые обычно приводятся на шильдике: мощность — Pн; частоту вращения ротора — nн (об./мин.); фазное напряжение — Uн; ток обмотки статора — Iн; частота напряжения статора — fн; коэффициент полезного действия — н; коэффициент мощности — cos( н). Кроме того, в каталогах приводятся следующие значения асинхронной машины: кратность максимального момента — Мк/Мн; кратность пускового тока Iп* =Iп/Iн, кратность пускового момента — п Мп/Мн: момент инерции ротора — JR. Относительные величины. Переменные, характеризующие его состояние и параметры асинхронного электродвигателя удобно представлять в относительных единицах — в виде отношения переменной или параметра к его базовому значению. Переменными состояния асинхронного двигателя, характеризующими его электромагнитную динамику, являются токи, протекающие обмоткам. Под параметрами асинхронного двигателя понимаются константы, характеризующие его конструктивные особенности. Переменные состояния и параметры, представленные в относительных единицах, помечаются верхним индексом *. Для представления параметров в 41 относительных единицах и перехода обратно к переменным или параметрам в именованных единицах вводятся базовые величины, которые делятся на основные и производные от них. Основные базовые величины: напряжение — Uб = Uн 2 ; ток — Iб Iн 2 ; номинальная угловая частота напряжения статора — ωб 2 fн. Производные базовые величины находятся из основных базовых величин: время — tб 1/ б ; сопротивление — Rб U б / I б U н / I н ; индуктивность — Lб Rб / б ; мощность — Pб m U б I б / 2 m U н I н ; электромагнитный момент — M б pп Pб / б ; угловая скорость вращения ротора — б б / pп , где рп — число пар полюсов; floor(x) —целая часть числа x. Номинальный момент асинхронного двигателя находится по номинальным данным: pп m U н I н н cos( н ) cos( н ) , Mн Mб н (1 s ) 1 s б н н где sн — номинальное скольжение. Относительный номинальный момент Mн н cos( н ) M н* . Mб 1 sн Для записи дифференциальных уравнений, описывающих динамику электромеханических процессов в приводе, далее используется оператор дифференцирования по времени: p d/dt. Формально оператор дифференцирования по относительному времени p* p/ б d/dt*. Однако далее производная относительной переменной x* по относительному времени t* записывается dx* * px . dt * В структурных схемах используются изображения переменных по Лапласу. В этом случае изображение относительной производной x* по реальному времени t записывается в виде p x*, где p комплексная переменная изображения Лапласа, имеющая размерность обратную реальному времени t. Производной px* соответствует изображение по Лапласу б p x*. 4.3 Схема замещения и параметры асинхронной машины Параметры ротора асинхронного электродвигателя обычно приводят к обмотке статора. При этом полагается, что число витков и фаз приведенной обмотки ротора совпадает с числом витков и фаз обмотки статора. Под па- 42 раметрами асинхронного электродвигателя понимается совокупность параметров схемы замещения (Рис. 4.3), приведенных к обмотке статора: сопротивление обмотки статора R1 RS; сопротивление обмотки ротора, приведенное к статору R2 RR; индуктивность рассеяния обмотки статора L1 LS; индуктивность рассеяния обмотки ротора, приведенная к статору L2 LR; основная индуктивность L0; сопротивление, характеризующее потери энергии в магнитопроводе R0. R1 L1 I1 L2 L0 U1 I2 I0 R2/s R0 Рис. 4.3. Схемы замещения фазы асинхронного электродвигателя при стационарном режиме работы Кроме этих параметров далее также используется полные индуктивности обмоток статора и ротора L01 L0 L1 ; L02 L0 L2 , (4.1) а также параметры L012 L0 2 Rк R1 R2 R1 R2 ; Lq L01 L1 L2 , (4.2) L02 2 L02 называемые сопротивлением и индуктивностью короткого замыкания. Между параметрами имеет место следующие приближенные соотношения R1 R2 ; L1 L2 Lq / 2 ; L01 L02 Ld . (4.3) Полная индуктивность Ld далее также называется продольной, а индуктивность короткого замыкания Lq поперечной. Отношение индуктивностей (4.4) Lq/Ld называется далее коэффициентом поперечного рассеяния. Его величина существенно зависит от величины воздушного зазора между статором и ротором и может принимать значения ,05 0,14. Оценки параметров асинхронного электродвигателя. Оценки параметров асинхронного электродвигателя в относительных единицах могут быть найдены по номинальным данным из соотношений: 1 1 sн L1* L2* ; L0* ; (4.5) * 2 2 Iп 1 cos ( н ) н 43 Rq* R0* R1* Ld *2 R2* sн M н* Rd * R1* (1 н ) 1 1 1 * I п L0* ; R0* ; 0,03 pп 2 2 R1* . Для наиболее распространенных асинхронных электродвигателей мощностью параметры в относительных единицах имеют следующие значения: R1* R2* 0,02 0,06; L1* L2* 0,07 0,10; L0*= 1,5 3; Rd*= 0,04 0,3. Меньшие значения сопротивлений относятся к электродвигателям большей мощности. Значение индуктивности L0 существенно зависит от отношения размера воздушного зазора к длине полюсного деления. Большим значениям этого отношения соответствует меньшее значение индуктивности L0. Значения параметров (4.6) Rq* R1* R2* 0,03; Lq* 0,2; Ld* 2,0; R0* 0,06 принимаются за параметры среднестатистического асинхронного электродвигателя. Данные значения параметров использованы далее при построении иллюстрационных графиков. В качестве параметров асинхронного электродвигателя также используются коэффициенты L0* L01* L02* 1 k0 ; k1 ; k2 . (4.7) * * *2 * * *2 * * *2 L01 L02 L0 L01 L02 L0 L01 L02 L0 Lq* Между этими коэффициентами имеется следующая связь 1 1 k1 k2 5 7 ; k0 k 2 . * Lq 2 Ld * Постоянные времени. В ряде случаев для сокращения записи различных соотношений целесообразно использовать постоянные времени, имеющие размерность секунда: Lq Ld Td T01 T02 ; Tq . (4.8) R1 R1 Постоянная времени Td далее называется продольной, а Tq поперечной. Для наиболее распространенных асинхронных электродвигателей мощностью постоянные времени в относительных единицах имеют значения Td* 60 90; Tq* 2 7 б Td б Tq (меньшие значения параметров относятся к электродвигателям меньшей мощности). Для характеристики скорости протекания механических процессов используется механическая постоянная времени ротора: J R б J R б J R б2 2 J R б2 TR , Mб pп M б pп 2 Pб m pп 2 U б I б 44 где JR момент инерции ротора; pп число пар полюсов. Механическая постоянная времени ротора обычно имеет значения 0,1 0,5 сек (меньшие значения относятся к многополюсным машинам). В электроприводе к ротору присоединяются массы приводимых в движение механизмов, имеющие голономными связи с ротором. Поэтому при настройке систем управления электропривода механическая постоянная времени ротора увеличивается в kJ раз: Tмех k J TR . (4.9) Коэффициент кратности момента инерции механизмов нагрузки kJ в зависимости от присоединенных к валу масс, может принимать значения 1…10 и больше. Использование различных совокупностей параметров в зависимости от ситуации позволяет представить результаты анализа в наиболее удобном виде. При этом сокращаются записи формул, характеризующих динамику и статику электромагнитных процессов. Использование относительных величин облегчает восприятие результатов, полученных при моделировании динамических процессов. Результаты расчетов в относительных единицах становятся универсальными. 4.4 Уравнения напряжений АД в координатах магнитных осей обмоток Схема замещения асинхронной машины с короткозамкнутым ротором в матричной форме представлена на Рис. 4.4. Будем полагать, что к обмоткам статора прикладываются напряжения, которые могут быть представлены вектором US. Под воздействием напряжений по обмоткам статора и ротора потекут токи IS и IR. Векторы US, IS и IR являются соответственно 1 и 2периодическими функциями времени. Угловые частоты токов статора 1 и ротора 2 связаны соотношением 1 – 2 , где электрическая угловая скорость вращения ротора. RS LS LR RR LSR US IS LRR LSS IR LRS Рис. 4.4. Схема замещения асинхронной машины с короткозамкнутым ротором в матричной форме Элементы вектора US образуют m-фазную систему напряжений обмотки статора. В развернутом виде фазные напряжения можно записать в следующем виде: uk ua cos( 1 k S 0), 45 где k 1, 2, …, m номера фаз; S 2 /m угол фазового сдвига; m число фаз; 1 текущая фаза напряжения статора; 0 начальная фаза напряжения статора; ua амплитуда напряжения статора. Элементы вектора IS образуют m-фазную систему токов обмотки статора. В развернутом виде фазные токи можно записать в следующем виде: ik ia cos( 1 k S ), где угол сдвига фаз напряжений и токов статора; ia амплитуда токов статора. Согласно второму закону Кирхгофа матричные уравнения напряжений на обмотках статора и ротора для схемы замещения, изображенной на Рис. 4.4, имеют следующий вид: US RS I S LS pI S p{LSS I S LSR I R } ; (4.10) 0 RR I R LR pI R p{LRR I R LRS I S } . где RS и RR электрическое сопротивление обмотки статора и ротора; LSS и LRR матрицы основных индуктивностей обмотки статора и ротора; LSR T LRS матрицы взаимных индуктивностей обмотки статора и ротора. Данные матричные уравнения напряжений, записаны в осях координат магнитных осей обмоток и служат основой для создания математической модели АД, которая далее используется при синтезе алгоритмов векторного управления. Элементы матриц LSR LSRT уравнений (4.10) являются периодическими функциями электрического угла поворота ротора , который связан со скоростью вращения ротора АД операцией дифференцирования: p . Следовательно, уравнения (4.10), связывающие напряжения и токи обмоток статора, являются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами, что затрудняет работу с ними. Для упрощения синтеза динамики электромагнитных процессов в АД полезно преобразование уравнений напряжений (4.10) с периодическими коэффициентами в уравнения с постоянными коэффициентами, которое рассматривается в следующем параграфе. 4.5 Преобразование уравнения напряжений АД во вращающиеся оси координат Уравнения (4.10), связывающие напряжения и токи обмотки статора, являются дифференциальными уравнениями с периодическими коэффициентами. Обычно для дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами (4.10) стремятся найти матрицу Ляпунова, которая преобразует их в уравнения с постоянными коэффициентами. Преобразования дифференциальных уравнений электрических машин также называют преобразованиями Парка-Горева. Преобразование матричных уравнений напряжений (4.10) упрощает их анализ и синтез системы управления. Линейные дифференциальные уравнения напряжений с периодическими коэффициентами (4.10) записаны в координатах магнитных осей обмоток. Для преобразования этих уравнений в дифференциальные уравнения с по- 46 стоянными коэффициентами на плоскости поперечного разреза машины вводится декартова система координат d-q, которая вращается со скоростью вращения магнитного поля статора 1 p 1, где 1 электрический угол поворота магнитного поля в статоре. Формулы преобразования. В развернутом виде прямое преобразование переменных для наиболее распространенной трехфазной системы магнитных осей на плоскость d-q запишется в следующем виде: 2 xd x A cos( 1,2 ) xB cos( 1,2 ) xC cos( 1,2 ) ; 3 (4.11) 2 xq x A sin( 1,2 ) xB sin( 1,2 ) xC sin( 1,2 ) , 3 где xd и xq координаты вектора на плоскости d-q; xA, xB и xC координаты исходного вектора XS,R в системе координат магнитных осей обмоток АД; 1,2 электрический угол поворота магнитного поля статора 1, ротора 2. Формулы обратного преобразования. В развернутом виде преобразование переменных с плоскости d-q в трехфазную систему магнитных осей запишется в следующем виде: xA xd cos( 1,2 ) xq sin( 1,2 ); xB xd cos( 1,2 ) xq sin( 1,2 ); xC xd cos( 1,2 ) xq sin( 1,2 ). (4.12) 4.6 Уравнения напряжений в осях координат d-q Если в уравнениях (4.10) выполнить замену переменных, то получим матричные уравнения асинхронной машины во вращающейся системе координат d-q с угловой скоростью 1, равной угловой частоте токов статора IS: U1 R1·I1 L01· pI1 L0 · pI 2 ; 1 L01·E I1 1 L0 ·E I 2 (4.13) 0 R2 ·I 2 L02 · pI 2 L0 · pI1 , 2 L02 ·E I 2 2 L0 ·E I1 где R1 сопротивление обмотки статора; R2 сопротивление обмотки ротора, приведенное к обмотке статора; L01 и L02 полные индуктивности обмоток статора и ротора (4.1); L1 индуктивность рассеяния обмотки статора; L2 индуктивность рассеяния обмотки ротора, приведенная к обмотке статора; L0 основная индуктивность; E матрица поворота на /2; 2 частота токов в обмотках ротора. Развернутый вид уравнений напряжений (4.13), описывающих динамику электромагнитных процессов в осях координат d-q: ud R1·id L01· pid L0 · pjd ; 1 L01 iq 1 L0 jq (4.14) uq R1·iq L02 · piq L0 · pjq ; 1 L01 id 1 L0 jd 0 R2 · jd 2 L02 0 R2 · jq 2 L02 Соотношения (4.14) и координат d и q на обмотке jq L02 · pjd L0 · pid ; 2 L0 iq (4.15) jd L02 · pjq L0 · piq . 2 L0 id (4.15) являются уравнениями напряжений в осях статора и ротора соответственно. Уравнения на- 47 пряжений в относительных единицах будут идентичны уравнениям (4.14) и (4.15), в которых все переменные помечены верхним символом Введем понятия относительного продольного и поперечного потокосцеплений обмоток статора и ротора * L01*·id * L0* jd * ; 1q* L01* ·iq* L0* jq* ; 1d (4.16) * * * * * * * * * * L · j L i ; . L · j L i 2q 02 q q 2d 02 d d Относительные токи статора и ротора могут быть выражены через относительные потокосцепления (4.16) в следующем виде: id * k2 1d * k0 2d * ; iq* k2 1q* k0 2 q* ; (4.17) jd * k1 2d * k0 1d * ; jd * k1 2 q* k0 1q* , где k0, k1, k2 коэффициенты, определенные выражениями (4.7). Используя соотношения (4.17) уравнения напряжений (4.14) и (4.15) в относительных единицах можно записать в виде четырех уравнений первого порядка в форме Коши: * * ud * R1* ·id * p 1d * ; 1 · 1q (4.18) * * uq* R1* ·iq* p 1q* ; 1 · 1d R2* · jd * * 2 * 2q p * 2d ; (4.19) . 2 2d 2q Изображение уравнений напряжений в (4.18), (4.19) в виде структурной схемы приведено на Рис. 4.5, узел А. Электромагнитный момент. Электромагнитный момент может быть записан в развернутой форме записи через элементы векторов токов статора I1 и ротора I2 или векторов потокосцеплений 1 и 2: m m M pп · ·L0 (id jq iq jd ) pп · ·k0 ( 1d 2 q (4.20) 1q 2 d ), 2 2 где L0 основная индуктивность; k0 коэффициент, определенный выражениями (4.7); id, iq, jd, jq элементы векторов токов статора и ротора в осях координат d-q; 1d, 1q, 2d, 2q элементы векторов потокосцеплений статора и ротора в координатах d-q (4.16). Электромагнитный момент асинхронной машины в осях координат d-q в относительных единицах * * * * M * L0* (id * jq* iq* jd * ) id * iq* jq* jd * , (4.21) 1q 1d 2d 2q Уравнение движения ротора. Динамика механических процессов в соответствие со вторым законом Ньютона описывается уравнением вращения ротора асинхронной машины: J·p M Mс , (4.22) где J момент инерции электропривода; угловая скорость вращения ротора; Mс момент сопротивления движению. Уравнение движения асинхронной машины в относительных единицах: Tмех · p * M * M с* , (4.23) R2* · jq* * * p * 48 где Tмех механическая постоянная времени (4.9); * / б относитель* ная угловая скорость вращения ротора; M относительный электромаг* нитный момент; Mс относительный момент сопротивления движению. Изображение уравнения движения (4.23) в виде структурной схемы представлено на Рис. 4.5, узел В. k0* id* A * R1 k2 ud* * * k1* * 1d б jd* k0* p 2d R2* * Б M* б p * 1 2 uq* б R1* k0* p iq* jq* R2* * k 2* б p * k1 1q k0 M* * 2q * * 1 Tмех p k0 В Mc* L01* L0* ; k1 L02* L0*2 L01* L01* L02* L0*2 Рис. 4.5. Структурная схема асинхронного электродвигателя, состоящая из узлов вычисления: A токов и потокосцеплений; Б электромагнитного момента; В скорости вращения ротора Для моделирования АД в координатах d-q система уравнений (4.18), (4.19), описывающих электромагнитные процессы, дополняется уравнениями двумя дифференциальными уравнениями, описывающими динамику механических процессов: * * ud * R1* ·id * p 1d * ; 1 · 1q uq * R1* ·iq* R2* · jd * R2* · jq* Tмех · p * 1 * · 1d * * 2 2q * * 2 * p 2d M * * 1q p 2d p * с M ; , * p 2q ; * ; * ; (4.24) 49 * * 1q , * 2d , * где 1d , относительные потокосцепления, определенные 2q выражениями (1.10); электрический угол поворота ротора; Tмех меха* ническая постоянная времени (4.9); Mc момент сопротивления; M элек* * * тромагнитный момент (4.21); относительная скорость вра1 – 2 щения ротора. 4.7 Контрольные вопросы по теме «Математическая модель асинхронного двигателя» 1. Из каких основных элементов состоит асинхронный электродвигатель? 2. Что называется асинхронным двигателем? 3. Преобразование какой энергии в какую происходит в асинхронном двигателе и генераторе? 4. Какие уравнения описывают динамику электромагнитных процессов в асинхронном двигателе? 5. Может ли ротор асинхронного двигателя вращаться синхронно с магнитным полем статора? 6. Какие индуктивности изменяются в асинхронном двигателе при вращении ротора? 5 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ При моделировании систем управления используется язык структурных схем. Под структурной схемой понимается совокупность элементарных звеньев объекта и связей между ними. Под элементарным звеном подразумевается часть объекта, системы управления и т. В системах управления с целью удобства описания динамических процессов используются структурные схемы. Структурные схемы являются графическим отображением дифференциальных уравнений, описывающих динамические процессы в объектах управления. Основными элементами структурной схемы являются: звено, элемент сравнения и элемент суммирования сигналов (сумматор). Графическое изображение элементов структурной схемы представлено на Рис. 5.1. G ( p ) X ( p) X ( p) X ( p) X ( p) Y ( p) W(p) а) U ( p) U ( p) в) б) Рис. 5.1. Графическое изображение элементов структурной схемы: а) звено; б) элемент сравнения; в) сумматор Элементы сравнения производят вычитание сигналов: X(p) = G(p) – U(p), а элементы суммирования - суммирование: X(p) = G(p) + U(p). Для каждого звена должен быть определен закон преобразования входного сигнала X(p) в выходной Y(p). Обычно закон преобразования входного сигнала в выходной задается в виде передаточной функции W(p). Если преобразование сигналов описывается алгебраическими уравнениями, то звено называется статическим. Статическое звено не содержит инерционных элементов и поэтому называется также без- 50 инерционным. Если преобразование сигналов описывается диффере нциальными уравнениями, то звено называется динамическим. Динам ические звенья могут содержать инерционные элементы, имеющие эле ктрическую или механическую природу. Одноименные сигналы звеньев системы объединяются и образуют единую структуру, называемую структурной схемой. Структурная схема является математической моделью, описывающей динамическое поведение системы. По структурной схеме могут быть однозначно составлены дифференциальные уравнения, связывающие переменные состояния системы и управляющие воздействия. Дифференциальные уравнения также можно представить в виде структурной схемы. Однако, этот процесс неоднозначный. Одним и тем же дифференциальным уравнениям может быть поставлено в соответствие множество структурных схем. 5.1 Типовые звенья структурных схем При построении структурных схем обычно используются ста ндартные звенья, динамическое поведение которых хорошо изучено. Пропорциональное звено является простейшим. Его передаточная функция имеет вид W ( p) k . Параметр k называют коэффициентом передачи в случае, когда размерности входного и выходного сигналов не совпадают. Если ра змерности входного и выходного сигналов совпадаю т, то параметр k называют коэффициентом усиления. Данное звено мгновенно передает входной сигнал на выход. Переходной характеристикой h(t) данного звена является сигнал включения k 1(t). Примерами пропорционального звена могут служить механический редуктор, безинерционный усилитель, различные датчики и другие элементы. Дифференциальное звено производит дифференцирование входного сигнала и имеет передаточную функцию W ( p) T p , где T - параметр, имеющий, как правило, размерность времени. Переходной характеристикой h(t) данного звена является импульсная функция - T (t) = T p1(t). Очевидно, что реакцией данного звена на линейно нарастающий во времени сигнал x(t)= t/T 0 будет константа h(t)=T/T 0 . Если на вход звена воздействует высокочастотная помеха A sin( t), то на выходе дифференциального звена будет сигнал A T cos( t). Так как частота велика, то амплитуда выходного сигнала AT будет также большой. Отсюда следует, что дифференциальное звено усиливает высокочастотные помехи и поэтому имеет низкую п омехоустойчивость. Интегральное звено производит интегрирование входного сигнала и имеет передаточную функцию W ( p ) 1 / (T p) , 51 где T - параметр, имеющий, как правило, размерность времени. Переходной характеристикой данного звена является линейно нарастающий во времени сигнал h(t)= t/T. Если на вход звена воздействует высокочастотная помеха A cos( t), то на выходе интегрального звена будет сигнал A/(T ) sin( t). Так как частота велика, то амплитуда выходного сигнала A/(T ) будет небольшой. Отсюда следует, что интегральное звено фильтрует высокочастотные помехи. Апериодическое звено первого поh рядка характеризует передачу сигнала 1 (t)/k через инерционный элемент с потерей ,0 энергии. Инерционность может быть магнитной, электрической или механи,5 ческой. Стандартная форма представt /T ления передаточной функции данного 1 2 3 4 звена имеет вид Рис. 5.2. График переход5 6 W ( p) k / (T p 1) , ной функции апериодического где k - статический коэффициентом пезвена первого порядка редачи; T - параметр, имеющий размерность времени и называемый постоянной времени. Передаточная функция звена имеет один действительный корень p 1 = –1/T. Переходной характеристикой данного звена является экспоненциально нара стающий во времени сигнал h(t) = k [1–exp(–t/T)]. График переходной функции апериодического звена первого порядка представлен на Рис. 5.2. Если принять погрешность установления переходного процесса равной 5%, то длительность переходного процесса будет равной пр имерно 3 T. При малых значениях t переходная функция нарастает линейно h(t) = t/T. Звено второго порядка характеризует передачу сигнала через два инерционных элемента с потерей энергии и имеет стандартную форму записи передаточной функции: k , W ( p) 2 2 T p d T p 1 где k статический коэффициентом передачи; T - параметр, имеющий размерность времени и называемый среднегеометрической постоянной времени; d - безразмерный коэффициент, называемый параметром зат ухания. Параметр T характеризует быстродействие переходных процессов. Он не влияет на форму переходной функции и может рассматр иваться как некоторый масштаб времени. Параметр d характеризует форму переходной функции. Характеристическое уравнение передаточной функции звена второго порядка T 2 p2 d T p 1 0 52 имеет два корня p1 d 2 / 4 1 / T ; p2 d /2 d /2 d2 / 4 1 / T . При d 2 корни характеристического уравнения p 1 и p 2 действительные и отрицательные. Передаточная функция может быть записана в следующем виде k , где T1 W ( p) 1/ p1 ; T2 1 / p2 . (5.1) (T1 p 1) (T2 p 1) Звено, имеющее передаточную функцию вида (5.1), называется апериодическим звеном второго порядка. Переходная характеристика данного звена находится в соответствии с формулой Ошибка! Источник ссылки не найден. и имеет вид p2 p1 h(t ) k 1 exp( p1 t ) exp( p2 t ) . p1 p2 p1 p2 Апериодическое звено второго порядка может быть аппроксимировано звеном первого порядка k k W ( p) . (T1 p 1) (T2 p 1) (T1 T2 ) p 1 Звено второго порядка при 0