Моделирование процессов и объектов в металлургии

Федеральное агентство по образованию ГОУ ВПО УГТУ-УПИ Кафедра металлургии тяжелых цветных металлов Конспект лекций по курсу «Моделирование процессов и объектов в металлургии» Преподаватель: Агеев Н.Г. Екатеринбург 2009 Введение По мере развития технологии производства цветных металлов повышаются требования к качеству технологического процесса. В переработку поступает все более сложное, комплексное сырье, содержащее помимо основного извлекаемого металла ряд других ценных компонентов. Например, медная руда помимо меди содержит цинк, свинец, железо, серу, золото, серебро и другие примеси. Комплексное использование сырья предполагает извлечение из него всех ценных компонентов, возможное на данном уровне развития технологии. • Чем жестче требования по комплексности использования сырья, тем сложнее технологическая схема, тем больше количество операций в этой схеме, тем больше количество полупродуктов и оборотов в таких схемах. Управлять такими схемами и проектировать такие технологии становится сложнее. • Второй особенностью современных технологических процессов является увеличение единичной мощности технологических агрегатов. Например, в металлургии меди на медеплавильных заводах как правило один, реже два головных агрегата, через которые проходит весь поток поступающего сырья. Печь Ванюкова на СУМЗе перерабатывает более 1.5 тысяч тонн шихтовых материалов в сутки. • Возрастают требования по экологической безопасности процесса. Вследствие этого эффективно управлять такими технологическими процессами на основе опыта и интуиции персонала становится невозможно, а ошибки по управлению становятся слишком дорогими. Выходом из этой ситуации становится внедрение информационных систем для управления технологическими процессами, основное назначение которых состоит в том, чтобы обеспечить обработку информации о технологическом процессе и на основе результатов этой обработки оказать помощь персоналу, управляющему технологическим процессом по принятию решений, направленных на изменение параметров технологического процесса для достижения поставленной цели. Информационные системы работают наиболее эффективно, если в их составе имеется модельная система поддержки принятия решений, в основе которой лежит математическая модель технологического процесса, позволяющая на основе расчетов прогнозировать ход и результат технологического процесса при изменяющихся условиях его проведения. Инженер-металлург, управляющий технологическим процессом, должен владеть методами создания и использования математических моделей для совершенствования и оптимизации технологии. Содержание курса лекций состоит из трех основных разделов: 1.Системный анализ. 2.Методы построения математических моделей. 3.Математические методы оптимизации технологических систем. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Основные понятия и определения системного анализа Основным понятием данного раздела является понятие о технологических процессах и объектах как о системах. Система – составной объект, части которого закономерно объединены и совместно выполняют общую функцию. Системы могут быть искусственными и естественными. Естественные системы. Они не имеют определенной цели существования и создаются в ходе эволюции. Примером естественных систем являются биологические, например организмы. Другим примером являются социальные системы. Искусственные системы отличаются тем, что они создаются для вполне определенной цели (технические и технологические системы). Целью технологических систем в металлургии цветных металлов является переработка сырья, содержащего цветные металлы, с получением продукта, имеющего заданные свойства. Система, как целостный объект, существует во внешней по отношению к ней среде (можно провести границу между системой и внешней средой). В технологических системах внешняя среда проявляет себя, как источник перерабатываемого сырья и как потребитель произведенного продукта. Система мысленно или физически может быть разделена на элементы, таким образом система представляет собой совокупность элементов. Элементы объединяются в систему за счет связей. Таким образом, в любой системе существует определённая структура связей. Задачей системного анализа является определение свойств изучаемой системы. Изучение этих свойств позволяет в последующем выбрать соответствующий задаче метод построения модели. Таким образом, системный анализ является инструментом, позволяющим изучать функционирование сложных технологических систем и выбирать методы моделирования таких систем. Система – это объект, обладающий набором системных свойств, к числу которых относятся: 1. Целостность и членимость; 2. Наличие существенных связей; 3. Наличие структуры или организации; 4. Наличие интегративного качества. 1. Целостность и членимость. Система, как целостный объект, может быть выделена из внешней среды, а как составной объект, может быть мысленно или физически разделена на составные части. Границами технологической системы в металлургии являются точки поступления исходного сырья и выхода готовой продукции. Масштаб системы может быть различным: от предприятия до отдельно рассматриваемой химической реакции, которая протекает в том или ином технологическом процессе. Как систему можно рассматривать также и отдельный технологический аппарат, совокупность таких аппаратов или технологических операций, т.е. технологическую схему, участок, отделение или цех. 2. Наличие существенных связей. Элементы объединяются в систему за счет связей между элементами. Связи можно разбить на три основные группы: а) вещественные; б)энергетические; в)информационные. Вещественные связи – представляют собой потоки вещества, циркулирующие между элементами системы. Особенности потоков вещества: ◦ агрегатное состояние может быть различным (твердое, жидкость, газ); ◦ фазовое состояние (одно- или многофазное). Вещественные связи в системе подчиняются закону сохранения вещества: сумма масс всех потоков, поступающих в элемент системы, равна сумме масс, покидающих элемент системы. То есть для каждого элемента системы мы можем составить материальный баланс. Энергетические связи – представляют собой потоки энергии, циркулирующие между элементами системы. Для металлургических систем виды энергии могут быть различными, наибольшее значение имеют потоки тепловой энергии. В некоторых технологических процессах (электролизе, например) более важное значение имеют и другие виды энергии (электрическая, механическая). Энергетические связи подчиняются закону сохранения энергии, таким образом, для каждого элемента системы можно составить энергетический (в частности тепловой) баланс. Информационные связи – представляют собой потоки информации, циркулирующие между элементами системы. Информация, циркулирующая в потоках, представляет собой величины технологических параметров, которые характеризуют работу каждого элемента системы. Чем выше уровень технологии, тем больше количество таких параметров измеряется по ходу технологического процесса, тем большее количество информации получается в информационном потоке. В отличие от вещественных и энергетических связей, информационные потоки описываются не законами сохранения, а законами распространения информации. Все связи системы характеризуются направленностью. Е1…Е3 – элементы 1…3. Связь 1 является прямой связью Е1 и Е3, связь 3 является обратной. Связи могут быть физически наполненными и не наполненными. Физически не наполненные связи – это связи типа отношений: А>В A . Как видим, недостаточно измерить скорость турбулизации потока в модели, необходимо еще знать, как пересчитать результат измерения на модели и применить его на моделируемый объект. Это и есть правило традукции, и в случае физической модели оно устанавливается на основе теории подобия. Для математических моделей правило традукции базируется на аналогии дифференциальных уравнений, описывающих сходные свойства объекта и модели. Правила традукции выводятся на основе применения фундаментальных физических и химических законов. Существует принципиально два пути построения модели объекта, если речь идет о математической модели: • эмпирический; • структурный. Эмпирический подход применяется широко. Для построения модели в этом случае не требуется знать внутреннюю структуру моделируемого объекта, т.е. его элементы, характер связей между ними, нет необходимости знать, как описать эти связи количественно. Эмпирический подход носит также название метода «черного ящика», поскольку наши знания о моделируемом объекте не позволяют определить его внутреннюю структуру. Применительно к металлургическому процессу или объекту это означает, например, что нам неизвестны основные физико-химические взаимодействия, мы не знаем, какие именно химические реакции происходят в объекте и в какой последовательности они осуществляются, как полно завершаются и с какой скоростью протекают. Остается представить объект как систему с ее входами и выходом в виде «черного ящика», внутреннее устройство которого и функционирование нам неизвестно. Но для практических целей было бы достаточно ответить на вопрос, каково будет состояние такой системы при известных величинах на ее входах. Для ответа не вопрос достаточно закономерным образом изменять состояния входов системы и наблюдать при этом, как изменяется состояние ее выхода в ответ на изменение состояния входов. В простейшем случае можно зафиксировать состояния всех входов, кроме одного. Изменяя величину на этом входе (температуру, например), получим зависимость выходной величины (например, извлечения металла в раствор при выщелачивании) от этого фактора. Эта зависимость в общем случае может быть нелинейной, а ее график будет представлен некой кривой. Из математики известно, что нелинейные функции могут быть представлены с помощью их разложения в ряд. Используя такой подход можно любую функцию представить в виде полинома n-ной степени. Основная задача в процессе построения такой модели сводится к определению коэффициентов полинома b0,b1…..bn. Приемы построения таких моделей широко известны и приводятся в многочисленных литературных источниках. Более того, алгоритмы создания таких моделей реализованы в статистических пакетах прикладных программ, доступных для использования практически на любом персональном компьютере. От инженера-металлурга, желающего на основе использования эмпирического подхода получить модель технологического процесса, требуется только корректно провести системный анализ и выделить входы и выход системы. у = b0 + b1x + b2x2 + … + bnxn – если влияет 1 вход. К сожалению, эмпирические модели имеют существенный недостаток. Коэффициенты, входящие в полином, не обладают каким-либо физико-химическим смыслом. Их величина и знак в лучшем случае позволяют судить о направлении и силе влияния того или иного входа на выход, но не дают информацию о причинах этого влияния. Это ограничивает применение эмпирических моделей. К тому же эмпирические модели обладают нулевой прогностической мощностью: они могут быть использованы только тогда, когда изменение x на входе системы находится в пределах исследованного диапазона. При использовании структурного подхода необходимо знать внутреннюю структуру, её элементы и связи. Модель объекта создается на основе описания всех элементов и связей. Такое описание использует фундаментальные законы: закон сохранения вещества, закон сохранения энергии, закон эквивалентов, термодинамические законы и др. Для каждого элемента системы записываются материальный и тепловой балансы, которые затем объединяются в общее описание моделируемого объекта. Независимо от того, на основе какого подхода создана модель, необходима оценка ее качества. На этом этапе необходим эксперимент с участием объекта моделирования. Идея состоит в том, что одинаковые значения входных величин задаются на соответствующих входах объекта и модели, как показано на рисунке. Состояние выхода объекта у измеряется экспериментально, величина на выходе модели равна y^. Используя полученную модель, проводят расчет выхода и получают предсказанное значение y^. Для каждого состояния входа и выхода можно вычислить отклонение у-у^. Если повторить эксперимент многократно, изменяя состояния входа и фиксируя состояния выхода, возвести в квадрат и просуммировать все квадраты отклонений, получим их сумму. Критерием качества модели может быть (и чаще всего является) минимум суммы квадратов отклонения выходной величины, наблюдаемой на объекте и выходной величины, предсказанной с помощью модели. Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем лучше модель воспроизводит моделируемый объект. → min – сумма квадратов отклонений должна быть минимальной. Алгоритм создания модели Выбор метода создания модели зависит от свойств моделируемого объекта. В целом алгоритм создания модели иллюстрирует следующий рисунок. Проблемная ситуация возникает, как правило, когда изменяется внешние условия функционирования технологического объекта. Это означает изменение либо на входе, либо на выходе (например, изменение состава перерабатываемого сырья, повышение требований к качеству готовой продукции). Изменившиеся условия требуют адекватных изменений в технологическом объекте. Необходимо ответить на вопрос о том какие изменения в работе технологического объекта необходимы для достижения поставленной технологической цели при изменившихся условиях. Постановка цели – определение цели создания модели. Цели создания модели могут быть различными: • уточнение закономерностей, управляющих технологическим процессом; • модель создаётся, как инструмент для прогнозирования поведения объекта; • для поиска оптимальных условий работы технологических объектов. • для прямого оптимального управления технологическим процессом (в результате поиска оптимальных условий найденные оптимальные условия используются для управления технологическим процессом). Формулировка критериев. Необходимо оценить критерии для оценки качества модели. Содержательный анализ и выбор типа модели. Применяя методы системного подхода необходимо определить границы моделируемой системы, выделить ее из внешней среды и определить ее входы и выходы. На следующем этапе системного анализа выявляется внутренняя структура объекта, определяются его элементы и связи этих элементов, образующие структуру моделируемого объекта. На этом этапе становится понятно, к какому классу в соответствии со своими свойствами принадлежит моделируемый объект. Завершение содержательного анализа является выбор метода построения модели. Здесь возможны три дальнейших направления. Аналитический метод или структурный подход. Используется для детерминированных систем с известной нам структурой внутренних связей. Экспериментальный метод или эмпирический подход применяется для стохастических систем, подверженных действию возмущений, которыми нельзя пренебречь. Характер и величина возмущений при этом нам неизвестны, и учесть их действие аналитическим методом невозможно. Экспериментальный подход также является единственным выбором для систем, внутренняя структура которых нам недостаточно известна. Имитационный метод используется для некоторых классов систем, например дискретно-непрерывных систем массового обслуживания. После выбора метода построения модели содержание дальнейших шагов определяется выбранным методом. Составление формализованного описания. На этом этапе, используя установленную структуру связей объекта и, применяя фундаментальные законы, создают математическое описание моделируемого объекта. Таким образом, модель в этом случае представляет собой алгоритм вычислений, уравнение или систему уравнений различного вида. Выполняя расчёты по этому алгоритму, решая системы уравнений, по заданным начальным условиям, можно рассчитать состояние выхода объекта. Наиболее популярными формами описания для металлургических процессов и объектов является материальный и тепловой баланс. Уравнения материального и теплового балансов могут быть записаны в дифференциальной или интегральной форме. Планирование эксперимента. На этом этапе выбирается количество опытов, условия каждого опыта, т.е. сочетание факторов на входе системы в каждом проводимом опыте. Выполнение эксперимента – выполнение запланированных опытов. В частности, для системы с тремя входами х1,х2,х3 и выходом у при постановке полного факторного эксперимента потребуется провести количество опытов 23=8. В этих опытах сочетания величин факторов на входе не повторяются. Величины на входах будем задавать на двух уровнях, т.н. верхнем и нижнем, изменяя их в пределах выбранного диапазона. Например, температура в технологическом объекте может быть в пределах 1100-1300 оС. Для оценки влияния температуры на процесс будем проводить опыты либо при нижнем, либо при верхнем значении температуры из этого диапазона. Обозначим верхний уровень знаком плюс, а нижний уровень знаком минус. Тогда матрица планирования эксперимента будет соответствовать ниже приведенной таблице. Для ее построения выделим три столбца, соответствующие факторам на входе и столбец для выходной величины, которую обычно именуют откликом. В столбцах факторов будем чередовать значения на верхнем и нижнем уровнях, причем в каждом правом столбце будем чередовать значения вдвое реже по сравнению с левым. В результате получаем матрицу эксперимента с неповторяющимися значениями факторов. Для исключения влияния возмущений и случайных ошибок (связанных, например, с погрешностями измерения отклика) опыты проводят в случайной последовательности, например, первым проводят опыт, условия которого соответствуют третьей строке матрицы, вторым по порядку проводят опыт с условиями, соответствующими восьмой строке и т.д. Каждый раз измеряют значение выходной величины (отклика) и записывают результат в соответствующую строку матрицы, как показано в таблице. Обработка результатов опыта подробно изложена в литературе и проводится в соответствии с известным алгоритмом. В результате такой обработки модель является полиномом первого порядка, содержащим свободный член и слагаемые, в которых присутствует коэффициент и значение фактора в первой степени. Очень важно, что при таком планировании эксперимента матрица планирования обладает свойством ортогональности, а это позволяет выделить влияние каждого фактора на отклик отдельно от остальных факторов. Таким образом, величины коэффициентов в уравнении показывают направление и силу влияния каждого фактора на отклик. Если коэффициент при данном факторе имеет положительный знак и большую величину, то увеличение этого фактор а способствует увеличению отклика. Как в любой эмпирической модели, величины коэффициентов b0, b1, b2, b3 показывают степень проявления данных факторов, но они не имеют явного физико-химического смысла, т.е. не объясняют, почему какие-то факторы оказывают большее действие на отклик по сравнению с другими. у = b0 + b1x1+ b2x2 + b3x3 Имитационное моделирование применяется для создания моделей дискретных или дискретно-непрерывных систем. Такие системы плохо описываются аналитически и затруднительно изучаются экспериментально. Модель создаётся как моделирующий алгоритм, воспроизводящий работу моделируемого объекта. Структурный подход для построения математических моделей При использовании структурного подхода, технологические объекты могут быть описаны на одном из следующих пяти уровней: 1.Молекулярный. Металлургические процессы и объекты на этом уровне описываются как совокупность физико-химических явлений, в частности как совокупность химических реакций. Например, конвертирование медного штейна в первом периоде на молекулярном уровне может быть описано основной химической реакцией окисления сульфида железа, входящего в состав штейна: FeSж + O2г↑ + SiO2тв → 2FeO·SiO2ж + SO2г↑. Исходными веществами-участниками этой реакции являются сульфид железа, кислород подаваемого дутья и кремнезем флюса. Продуктами реакции выступают фаялит (основной компонент шлака) и диоксид серы, удаляющийся в газовую фазу. На молекулярном уровне описание объекта сводится к описанию стехиометрических соотношений масс исходных веществ и продуктов, равновесия и кинетики основных химических реакций. 2.Уровень малого объёма. Пузырёк, капля, твердая частица – элементы малого объёма. При описании конвертирования на уровне малого объема следует учесть дополнительно, что реакция первого периода конвертирования является гетерогенной, происходит на поверхности элемента малого объема, каковым в данном случае является пузырек газа, всплывающий в расплаве. Первоначально пузырек образуется при распаде струи подаваемого в расплав дутья и содержит внутри кислород и азот. Окисление сульфида железа происходит на его поверхности и сопровождается переносом вещества из объема расплава и газового пузырька к этой поверхности. Образующийся диоксид серы отводится внутрь пузырька, а 2FeOSiO2- в объем расплава. Это показано на рисунке. Для осуществления этой реакции отведено ограниченное время, поскольку пузырек всплывает в объеме расплава. Это время определяется скоростью движения пузырька и толщиной слоя расплава. 3.Уровень рабочей зоны аппарата. В дополнение к описанию предыдущего уровня необходимо учесть, что пузырек в расплаве не один. Одновременно в рабочей зоне присутствуют элементы малого объема в большом количестве. Рабочая зона характеризуется суммарной площадью поверхностей малых объёмов. К тому же, пузырьки имеют разные размеры, и необходимо учесть распределение размеров пузырьков и их средний размер суммарную поверхность. 4.Уровень технологического аппарата в целом. На этом уровне следует учесть, что помимо рабочей зоны аппарат имеет также и другие части, например устройства загрузки сырья и отвода продуктов, функционирование которых существенным образом сказывается на результатах работы всего моделируемого объекта. Так, скорость загрузки компонентов сырья или подачи дутья может лимитировать производительность технологического аппарата, хотя собственно физико-химические превращения осуществляются достаточно быстро. 5.Уровень технологической схемы. Моделируемый объект описывается на этом уровне как совокупность технологических операций, осуществляющихся последовательно. В технологических схемах существует большое количество оборотов, когда полученные полупродукты возвращаются на предыдущие технологические операции. На уровне технологической схемы каждая операция или технологический аппарат является объектом с сосредоточенными параметрами. Использование структурного подхода для составления моделей на молекулярном уровне Описание технологического процесса или объекта на молекулярном уровне означает описание следующих его сторон: 1.Описание стехиометрических соотношений между компонентами сырья, получаемых продуктов и вспомогательных материалов в системе химических реакций, составляющих сущность данного процесса. 2.Описание равновесия в системе обратимых химических реакций, которыми сопровождается процесс. 3. Описание скорости (кинетики) химических реакций. Описание стехиометрии системы химических реакций Реальные технологические процессы редко отображаются одной химической реакцией. Обычно процесс является совокупностью химических реакций, идущих одновременно во времени и пространстве. Часть химических реакций можно рассматривать как основные, другая рассматривается как побочные. При описании отдельной химической реакции используется закон эквивалентов, и никаких трудностей при этом не возникает. Например, горение углерода до диоксида описывается простой химической реакцией: С + О2 = СО2 1м 1м 1м 12г 32г 44г. Сложность описания возникает в том случае, когда несколько химических реакций осуществляются в едином реакционном пространстве в одно и то же время, а как раз это и происходит в любом технологическом процессе. При этом возможно осуществление последовательных, параллельных, обратимых химических реакций и их сочетание. Для расчетов стехиометрических соотношений в таких системах существует несколько методов. Метод направленных графов Граф – это фигура, построенная из элементов двух типов: вершин, которые изображаются в виде окружностей и связей, представляющих собой линии, направленные от вершины к вершине. Связи графа характеризуются направлением. Вершины графа отображают массы веществ, а связи – переход веществ из одних в другие в ходе химической реакции. Применение метода направленных графов рассмотрим на следующем примере. Пусть технологический процесс является совокупностью следующих химических реакций: A + 2B → 2C (1) A → 2D (2) C → E + H (3) D → 2F + H (4). Вещества А и В являются исходными, С и D – промежуточными, а Е, H и F – конечными продуктами реагирования. Как видно на схеме, процесс содержит последовательные и параллельные химические реакции. В частности С вначале образуется по реакции (1), а затем расходуется по реакции (3), аналогично D образуется по реакции (2) и расходуется по реакции (4). Компонент А параллельно расходуется по реакциям (1) и (2). Очевидно, что в этом случае ответить на вопрос о том, какая масса вещества участвует в каждой из реакций более сложно, чем для отдельно протекающей химической реакции. Для ответа на этот вопрос построим направленный граф, который позволяет изобразить путь всех химических реакций и массы всех участвующих в них веществ. Пусть для упрощения дальнейших рассуждений в системе в начальный момент времени отсутствовали промежуточные вещества C и D, а также конечные продукты реагирования E, F и H. Построение графа начнем с начальных веществ. Вершиной 1 обозначим исходную массу А в системе. Часть вещества А расходуется по реакциям (1) и (2), обозначим ее вершиной 2. Другая часть А останется в системе, и эту остаточную массу А обозначим вершиной 3. Как видно на схеме, израсходованная масса А связана с реакциями (1) и (2), обозначим соответственно вершиной 4 расход вещества А по реакции (1), а вершиной 5 – расход вещества А по реакции (2). Такие же рассуждения проведем в отношении вещества В. Исходную массу В в системе обозначим вершиной 6, расход В в реакции (1) изобразим вершиной 7, а остаток В в системе – вершиной 8. Обратим внимание на реакцию (1). Продуктом ее является промежуточное вещество С, которого в начальный момент в системе не было. Обозначим массу С, образующуюся по реакции (1) вершиной 9. В реакции (1) принимают участие вещества А в количестве, соответствующем вершине 4, и В, в количестве, соответствующем вершине 7. Следовательно, необходимо направить связи от вершин 4 и 7 к вершине 9. Часть вещества С, являющегося промежуточным, расходуется по реакции (3). Отобразим эту массу С вершиной 11, другая часть С остается в системе, что отображает вершина 10. Расход С обусловлен его участием в реакции (3), продуктами которой являются вещества Е и Н. Обозначим массу вещества Е, образующуюся по реакции (3) вершиной 12, а массу вещества Н, образующуюся по этой же реакции вершиной 13. Заметим, что Н образуется также и в ходе реакции (4). Другое направление процесса связано с реализацией реакции (2), в которой принимает участие вещество А в количестве, соответствующем вершине 5. Продуктом реакции 2 является вещество D, массу которого отобразим вершиной 14. Часть промежуточного вещества D далее разрушается в ходе реакции (4), эту массу D обозначим вершиной 15, а другая часть останется в системе, что соответствует вершине 16. Реакция (4) идет сообразованием веществ F и Н. Масса образующихся в ней веществ обусловлена расходом D в количестве, соответствующем вершине 15. Обозначим вершиной 18 массу вещества F, образующуюся по реакции (4), а вершиной 17 – массу вещества Н, образующуюся по этой же реакции. Общую массу вещества Н в системе обозначим вершиной 19. Полученный граф, приведенный ниже на рисунке, полностью отображает ход всех химических реакций в рассматриваемой системе. 1 – начальная масса вещества А в системе. 2 – расход вещества А по реакциям (1) и(2). 3 – остаток вещества А в системе. 4 – масса вещества А, участвующего в реакции (1). 5 – масса вещества А, участвующего в реакции (2). 6 – начальная масса вещества В в системе. 7 – расход вещества В по реакции (1). 8 – остаток вещества В в системе. 9 – масса вещества С, образующегося по реакции (1). 10 – остаток вещества С в системе. 11 – расход вещества С по реакции (3). 12 – масса вещества Е, образующегося по реакции (3). 13 – масса вещества Н, образующегося по реакции (3). 14 – масса вещества D, образующегося по реакции (2). 15 – масса вещества D, израсходованного в реакции (4). 16 – остаток вещества D в системе. 17 – количество вещества F, полученного по реакции (4). 18 – количество вещества Н, полученного по реакции (4). 19 – общая масса вещества Н в системе. Пусть все реакции осуществляются в изолированной по веществу системе, а компоненты находятся в растворе. В начальный момент времени концентрации исходных веществ равны: СА0 = 5моль/дм3; СВ0 = 6моль/дм3. В системе отсутствуют промежуточные и конечные продукты: СС0 = СD0 = СE0 = СF0 = СH0 = 0 моль/дм3. Спустя некоторое время отобрали пробу раствора и определили текущие концентрации веществ: СА = 1моль/дм3; СН = 5моль/дм3; СС = СЕ =2моль/дм3. Остальные концентрации определить не удалось. Как рассчитать СВ, СF, СD? Если дальнейшие рассуждения провести для объема системы, равного 1 дм3, то значения концентраций веществ численно совпадут с их массами. Далее начнем движение по графу от известных вершин. В частности, начальная масса А равна 5 моль, а текущая (остаточная) – 1 моль. Следовательно, расход А составил 4 моль. В отношении В мы не можем провести подобные вычисления, поскольку остаток В нам неизвестен. К тому же неясно, какая масса А расходуется по реакции (1), а какая по реакции (2). Воспользуемся другим направлением, и будем двигаться по графу от продуктов к исходным веществам. В частности, вещество Е, образующееся по реакции (3) представляет конечный продукт, и его масса соответствует вершине 12. В этой же реакции принимают участие вещества С и Н, следовательно расход С по реакции (3) в вершине 11 равен 2 моль, и такая же масса Н образуется в вершине 13. Общая масса образовавшегося Н равна 5 моль, из них 2 – по реакции (3), другие 5-3=2 моль образуются по реакции (4), что отображено вершиной 17. Отсюда следует, что в реакции (4) образуется удвоенное количество молей F, покажем его в вершине 18. Масса F в вершине 18 равна 6 моль. Расход D по реакции (4) равен числу молей Н, образующихся по этой реакции, что соответствует вершине 15. Остаток вещества С в системе равен 2 моль, что показано в вершине 10, а его расход в вершине 11 также равен 2 моль. Следовательно, по реакции (1) образуется 4 моль вещества С (вершина 9), а это требует удвоенного расхода вещества В и такого же количества А (вершины 7 и 4 соответственно). Отсюда остаток В в системе равен 2 моль. Расход вещества А по реакции (2) составляет 2 моль, при этом образуется по реакции (4) вещество D в количестве 4 моль. Расход D равен 3 моль (вершина 15), остаток D в системе равен 1 моль. Ответ: СВ = 2моль/дм3, СD = 1моль/дм3, СF = 6моль/дм3. Преимущество метода направленных графов состоит в наглядности изображения хода процесса, но решение задачи требует сложных логических построений. Матричный метод Помимо метода направленных графов существуют и другие методы решения стехиометрических задач для сложных систем химических реакций. Матричный метод позволяет свести задачу к такой форме, которая в наибольшей степени пригодна для дальнейшего ее решения с использованием компьютерной техники. Рассмотрим решение предыдущей задачи с использованием матричного метода. В системе из 4 химических реакций принимают участие 7 веществ. Уравнения химических реакций с участием этих веществ можно записать так, как если бы в них участвовали все вещества одновременно. Если в какой-то химической реакции вещество не принимает участия, формально это означает, что стехиометрический коэффициент при этом веществе равен нулю. Условимся также, что стехиометрические коэффициенты для исходных веществ будем принимать положительными, а для продуктов – отрицательными. Тогда первое из химических уравнений системы химических реакций, рассмотренных в предыдущем примере, может быть записано следующим образом: A + 2B - 2C + 0D + 0E + 0F + 0H = 0. Рассуждая аналогично для всех веществ и всех реакций составим систему линейных уравнений, описывающих соотношение масс всех участвующих в реакциях веществ. Размерность системы 4х7, где 4- число уравнений, 7- число веществ, участвующих в химических реакциях. Матрица коэффициентов этих уравнений приведена ниже, а вектор-столбец нулевой. К полученной системе уравнений необходимо добавить еще несколько уравнений, имеющих не нулевую правую часть. Эти уравнения записываются исходя из начальных условий задачи. A B C D E F H 1 2 -2 0 0 0 0 0 1 0 0 -2 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -2 -1 0 При определённых условиях, когда известны значения исходных и текущих масс некоторых компонентов системы, можно получить единственное решение методами линейной алгебры. Описание систем путём расчёта стехиометрии химических реакций с практической точки зрения позволяет рассчитать массы всех участвующих веществ. Таким образом, можно прогнозировать поведение системы, состав продуктов, количество израсходованных веществ. Стехиометрические расчёты предполагают, что все химические реакции в данном технологическом процессе идут до конца вправо. Моделирование равновесия в системах химических реакций Значительная часть химических реакций, составляющих основное содержание технологических процессов в цветной металлургии, являются обратимыми. Рассмотрим пример обратимой химической реакции: А + 2В 2С. Равновесие в такой химической реакции достигается при определенных значениях активностей участвующих веществ. Если эти вещества находятся в растворе, а их концентрации невелики (разбавленные растворы), то с некоторым приближением вместо величин активностей можно использовать величины концентраций. Равновесие в химической реакции характеризуется величиной константы равновесия: . Величина константы равновесия связана с изменением энергии Гиббса и может быть рассчитана по термодинамическим данным участвующих веществ: где ΔGT- изменение энергии Гиббса для данной химической реакции, Т – температура, R- универсальная газовая постоянная. Рассчитав величину константы равновесия для химической реакции, идущей при заданной температуре, можно определить соотношение концентраций исходных веществ и продуктов, которое установится при достижении равновесия. Несколько более сложно определить равновесный состав системы, в которой одновременно происходит несколько обратимых химических реакций. Рассмотрим следующий пример. Пусть имеется система обратимых химических реакций с участием веществ А, В, С и D. В данной системе вещество А последовательно и обратимо превращается в вещество С, предварительно образуя В. Возможен и параллельный путь: вещество А параллельно с образованием В разлагается с образованием D. При заданных условиях (температуре, давлении) в системе установится равновесие и будут достигнуты равновесные концентрации веществ. Для расчета равновесных концентраций запишем выражения для констант равновесия всех реакций через равновесные концентрации: А В ; В С ; А D ; . Пусть в начальный момент отсутствуют промежуточные вещества В и С, а также конечный продукт D: ; СВ0=0; СС0=0; CD0=0. Значения констант равновесия рассчитаем для каждой из реакций по термодинамическим данным: . Таким образом, величины констант равновесия будем считать известными величинами. На единицу объёма данной системы СА0 – СА представляет собой количество израсходованных молей компонента А. В соответствии со стехиометрией химических реакций и законом сохранения вещества, убыль массы А равна сумме масс образующихся веществ B,C и D, что можно выразить уравнением: СА0 – СА = CB + CC + CD. Преобразуем уравнение к следующему виду: CA0 = CA + CB + CC + CD, И подставим в правую часть выражения для соответствующих концентраций веществ: CA0 = CA + k1CA + k1k2CA + k3CA. Сгруппируем однородные члены уравнения CA0 = CA(1 + k1 + k1k2 + k3) и получим выражение для равновесной концентрации СА . Равновесные концентрации других веществ легко определить, поскольку значения всех констант равновесия нам известны из предыдущего расчета, а выражения содержат CA. При расчётах равновесий в системах химических реакций необходимо знать kр каждой реакции, начальный состав системы – это даёт возможность рассчитать равновесный состав системы. Реальные задачи расчёта равновесного состава систем намного сложнее: уравнения в этих задачах нелинейны; требуется учесть, что компоненты, входящие в реакцию находятся в разных фазах; вместо концентраций корректно использовать значения активностей компонентов. Практический смысл расчёта равновесий в таких сложных системах сводится к тому, что расчётный равновесный состав системы является тем физико-химическим пределом, до которого может дойти реальный процесс, если для его осуществления отведено неограниченное время. Моделирование кинетики химических реакций В физической химии скорость химической реакции определяется в соответствии с уравнением: , где dq – изменение массы реагирующего вещества, моль. dt – приращение времени, с. V – мера реакционного пространства. Различают гомогенные химические реакции, в которых все участвующие вещества находятся в пределах одной фазы (газовой или жидкой). Для таких реакций мерой реакционного пространства является объем, а размерность скорости будет: . Гетерогенные химические реакции происходят между веществами, находящимися в разных фазах (газ-твердое, газ-жидкость, жидкость-жидкость, твердое-жидкость). Собственно химическая реакция при этом реализуется на поверхности раздела фаз, которая и является мерой реакционного пространства. Для гетерогенных реакций размерность скорости иная: . Изменение массы реагирующих веществ имеет свой знак. Для исходных веществ масса по ходу реакции убывает, изменение массы имеет отрицательный знак, и величина скорости принимает отрицательное значение. Для продуктов химической реакции масса возрастает, изменение массы положительно, знак скорости принимают также положительным. Рассмотрим простую химическую реакцию А + 2В = 2С. К простым реакциям относятся те, которые осуществляются в одну стадию и идут до конца, т.е. являются необратимыми. Определим скорость такой химической реакции. Для этого прежде всего необходимо решить, по какому из веществ будет определена скорость реакции: ведь А и В – исходные вещества, и изменение их масс отрицательно, а С является конечным продуктом, и его масса возрастает со временем. Кроме того, не все стехиометрические коэффициенты в реакции равны единице, а это значит, что если расход А за какое-то время равен 1 молю, расход В за это же время будет 2 моля, и соответственно значения скорости, рассчитанные по изменению масс А и В будут отличаться вдвое. Для простой химической реакции можно предложить единую меру скорости, которая определяется следующим образом: , где ri – скорость по i-му участнику реакции Si – стехиометрический коэффициент i-го участника реакции. Стехиометрические коэффициенты для исходных веществ принимаются положительными, для продуктов реакции они отрицательны. Если реакции идут в изолированной системе, не обменивающейся веществом с внешней средой, то только химическая реакция приводит к изменению масс вещества в системе, и, следовательно, их концентраций. В такой системе единственной причиной изменения концентраций С является химическая реакция. Для этого частного случая , Скорость химической реакции зависит от концентраций участвующих веществ и от температуры. где k – константа скорости химической реакции, СА,СВ – концентрации веществ, n1, n2 – порядки по соответствующим веществам. Это выражение известно в физической химии как закон действующих масс. Чем выше значения концентраций, тем выше скорость химической реакции. Порядок (n) определяется экспериментально и связан с механизмом химической реакции. Порядок может быть целым или дробным числом, существуют также реакции нулевого порядка по каким-то веществам. Если порядок по i-му веществу равен нулю, то скорость химической реакции не зависит от концентрации этого вещества. Значение скорости химической реакции зависит от температуры. В соответствии с законом Аррениуса константа скорости изменяется при изменении температуры: где А – предэкспоненциальный множитель; Е – энергия активации; R – универсальная газовая постоянная, константа; Т – температура. Как и величина порядка реакции, величины энергии активации и предэкспоненциального множителя определяются для конкретной реакции экспериментально. Если химическая реакция осуществляется в гетерогенном процессе, то на её скорость оказывает влияние так же процесс подвода исходных веществ и отвода продуктов из зоны химической реакции. Таким образом, имеет место сложный процесс, в котором имеются диффузионные стадии (подвод, отвод) и кинетическая стадия – собственно химическая реакция. Скорость всего процесса в целом, наблюдаемого в эксперименте, определяется скоростью самой медленной стадии. Таким образом, влияя на скорость диффузионной стадии процесса (перемешивание), влияем на скорость всего процесса в целом. Это влияние сказывается на величине предэкспоненциального множителя А. Большинство химических реакций не являются простыми (т.е. идут не в одну стадию и не до конца) – сложные химические реакции: а) AB – обратимые; б) А→В; В→С – последовательные; в) А→В; А→С – параллельные. Для сложной химической реакции нет единой меры скорости. В отличие от простой, здесь можно говорить о скорости образования и разрушения каждого химического вещества. Таким образом, если в системе происходят химические реакции и участвуют n веществ, для каждого из n веществ есть своё значение скорости. Для любого из веществ скорость образования и разрушения является алгебраической суммой скоростей всех стадий с участием этого вещества. Скорость сложной химической реакции Моделирование кинетики системы сложных химических реакций рассмотрим на следующем примере. Пусть имеется технологический процесс, суть которого отображается следующими химическими реакциями: k1; 1 по В A + 2B C k2; 0,7 по С k3; 1 по А; 0,35 по Н A 2D k4; 1 по С; 1 по D C + D 3Е k5; 2 по Е; rA = –k1CB + k2CC0.7 – k3CACH0.35 rB = –2k1CB + 2k2CC0.7 rC = k1CB – k2CC0.7 – k4CCCD + k5CE2 rD = k3CACH0.35– k4CCCD + k5CE2 rE = k4CCCD – 3k5CE2 rH = 0 Кинетические константы (порядки по веществам и значения констант скорости для стадий) определены экспериментально. На схеме процесса над стрелками, соответствующими стадиям, показаны величины порядков по веществам. Не указанные порядки нулевые. В процессе принимают участие 6 веществ: А и В являются исходными, С и D – промежуточными, Е – конечный продукт, Н – катализатор одной из стадий. Три химические реакции имеют пять стадий, три из которых являются прямыми, две – обратными. Все реакции осуществляются гомогенно и проходят в замкнутой по веществу системе, что дает основания использовать для характеристики скорости выражения: . На основании изложенного выше запишем выражения для скоростей по каждому веществу-участнику. Всего получим 6 выражений по числу веществ. Для каждого из веществ скорость расходования или образования есть алгебраическая сумма скоростей всех стадий с участием данного вещества. Так, веществ А участвует в трех стадиях, в первой в качестве исходного вещества, во второй- как продукт, в третьей вновь как исходное вещество. Слагаемые скорости для первой и третьей стадий будут отрицательны, для второй стадии скорость имеет положительный знак. Значения скорости для каждой стадии по закону действующих масс являются произведением константы скорости соответствующей стадии и концентраций веществ в степенях, равных порядкам по веществам. С учетом этого выражения для скоростей по веществам будут следующими: = –k1CB + k2CC0.7 – k3CACH0.35 = –2k1CB + 2k2CC0.7 = k1CB – k2CC0.7 – k4CCCD + k5CE2 = k3CACH0.35– k4CCCD + k5CE2 = 3k4CCCD – 3k5CE2 = 0. Последняя скорость по веществу Н, катализатору третьей стадии, равна нулю. Масса катализатора не изменяется по ходу реакции. В левой части всех уравнений присутствует производная концентрации вещества по времени, следовательно, уравнения кинетики являются дифференциальными. Концентрации в правой части уравнений в произвольный момент времени должны одновременно удовлетворять всем уравнениям, а это означает, что совокупность уравнений кинетики в математическом смысле есть система уравнений. Модель химической кинетики является системой дифференциальных уравнений, решением которой является набор функций Ci = fi(t): СА=f1(t) СB=f2(t) СC=f3(t) СD=f4(t) СE=f5(t) СH=f6(t). Для того, чтобы установить конкретный вид функций, необходимо решить систему дифференциальных уравнений, т.е. проинтегрировать систему уравнений кинетики. Интегрирование уравнений кинетики рассмотрим ниже на более простом примере, а после этого вновь вернемся к задаче, рассмотренной выше. Интегрирование уравнений кинетики Пусть идет химическая реакция разложения вещества А, в результате которой образуется вещество В. Экспериментально установлено, что она имеет первый порядок по концентрации А, а значение константы скорости для условий ее осуществления равно k. Это отображено на схеме реакции ниже. k; 1 по А A В. Скорость реакции равна ra = –kCA, или . Определим начальные условия для решения дифференциального уравнения кинетики. Будем считать, что в начальный момент реакции нам известна концентрация вещества А, обозначим ее как САо. Запишем начальные условия в виде . Проинтегрируем полученное уравнение, используя интегралы с подстановкой пределов. Пределы интегрирования определяются из начальных условий: когда время равно нулю, концентрация А равна начальной, в произвольный момент t концентрация равна СА: . В результате интегрирования имеем: , заменяя разность логарифмов логарифмом частного имеем далее: , проводя потенцирование получим: . После всех преобразований решение дифференциального уравнения представляет собой экспоненциальную убывающую функцию: . Проверим, не противоречит ли полученное решение условиям нашей задачи. При t=0, т.е. в момент начала химической реакции СA=CA0, поскольку экспонента обращается в единицу. Действительно, в начальный момент концентрация вещества А равна начальной. При t→∞ экспонента с отрицательным показателем стремится по величине к нулю. За бесконечно большое время вследствие химической реакции все вещество разлагается и образует В. Численные методы интегрирования Вернемся теперь к предыдущей задаче. Очевидно, что интегрирование системы дифференциальных уравнений является более сложной задачей по сравнению с рассмотренной ранее. Применение аналитичееских приемов интегрирования вряд ли возможно, поскольку правые части дифференциальных уравнений содержат концентрации сразу нескольких веществ, и разделить переменные не удастся. Воспользуемся численным методом интегрирования. Для этого разобьем ось времени на малые отрезки (шаги). Считая, что производные концентраций веществ по времени есть математический предел отношения приращений концентраций к приращению времени, при Δt ,стремящемся к нулю: , преобразуем систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических. В левой части приращение времени нам известно, поскольку шаг по времени мы выбираем сами. Важно только то, что этот шаг должен быть малым. В правой части значения всех констант скорости нам также известны из эксперимента, то же следует сказать и о величинах порядков. Подставим в правую часть также значения концентраций всех веществ, воспользовавшись начальными условиями. Каждое из уравнений системы содержит в этом случае лишь одну неизвестную величину – изменение концентрации ΔCi. По сути это изменение концентрации за первый шаг решения, когда время изменяется от нуля (начала химической реакции) до Δt. Изменение концентрации со своим знаком суммируем с начальной концентрацией и определяем концентрацию каждого из веществ на момент окончания первого шага решения. На следующем шаге решения в правую часть подставим значения концентраций из предыдущего шага решения и вновь получим ΔCi, но теперь для следующего шага решения, как показано на рисунке. На каждом шаге решения получаем ординаты, соответствующие изменению концентрации всех веществ, участвующих в реакциях. Геометрическое место точек, являющихся ординатами, даст для каждого из веществ график функции изменения концентрации во времени. Заметим, что в результате численного интегрирования мы не получаем аналитического выражения, задающего изменение концентрации во времени, ординаты на графике получаются расчетным путем. Однако построение графиков функций изменения концентраций по времени возможно, а вид кривых позволяет сделать ряд выводов, имеющих практический смысл. Очевидно, что концентрации исходных веществ со временем убывают, поскольку они расходуются в реакции. Не менее очевидно, что концентрации конечных продуктов возрастают. Поведение промежуточных веществ заслуживает отдельного рассмотрения. Графики концентраций промежуточных веществ имеют максимумы, соответствующие определенной продолжительности реакции. Если промежуточное вещество является целевым продуктом химических реакций, то максимум концентрации соответствует оптимальной продолжительности для получения данного целевого вещества. Так происходит потому, что в начальный момент химической реакции концентрации исходных веществ велики, а скорость химической реакции с участием исходных веществ пропорциональна их концентрациям. Реакции с участием исходных веществ вначале происходят с большими скоростями. Это означает, что промежуточные вещества образуются также с высокой скоростью. С другой стороны, скорость разложения промежуточных веществ также пропорциональна их концентрации, и мала вначале. Скорость образования промежуточных веществ больше скорости их разложения, что способствует накоплению промежуточных веществ, их концентрация возрастает. По мере развития химической реакции уменьшается скорость образования промежуточных веществ и растет скорость их разрушения. Когда величины скоростей становятся одинаковыми, рост концентрации прекращается, в системе наблюдается максимум концентрации промежуточного вещества. Далее скорость образования промежуточного вещества снижается, поскольку продолжается уменьшение концентраций исходных веществ. Скорость разрушения промежуточного вещества также уменьшается, оставаясь по величине больше скорости образования, а это приводит к расходованию промежуточного вещества в системе и к падению его концентрации. ; ТС – оптимальное время для получения вещества С. Рассмотрим поведение вещества С: в начальный момент времени СС = 0. k1CB>k2CC0.7 Таким образом, моделирование кинетики позволяет определить образование и расходование всех веществ в системах химических реакций, установить вид функции концентрации в зависимости от времени, в ряде случаев определить оптимальные условия по ведению химической реакции. Химические реакции в потоке вещества Многие технологические аппараты работают в непрерывном режиме. Рассмотрим в качестве примера плавильную печь для переработки шихты из медных концентратов и флюсов. Схема такого аппарата приведена ниже на рисунке. Непрерывный проточный аппарат представляет собой проточный реактор, в котором осуществляется определённый набор химических реакций. Наличие потоков вещества влияет на условия осуществления химических реакций. Реальные потоки вещества обладают достаточно сложными свойствами: • гидродинамический режим – ламинарный, турбулентный, переходный; • число фаз – много- и однофазные. Примером является поток, движущийся по трубе. Скорость движения потока в пределах одного сечения неодинакова: наибольшее значение скорости на оси потока, а вблизи стен за счет торможения потока силами вязкости эта скорость мало отличается от нуля. Однако, если объемный расход среды потока равен Q, а площадь сечения F, нетрудно определить среднюю скорость течения потока, равную Q/F. Q м3/c F м2 Еще больше сложностей возникает при описании многофазных потоков, а реальные потоки как раз чаще всего ими и являются. В этой связи учитывать свойства реальных потоков при создании математической модели достаточно сложно. Поэтому для создания модели аппаратов проточного типа существует несколько идеализированных моделей течения потоков. 1. Модель идеального вытеснения – такая идеализированная модель потока основана на следующих допущениях (аппаратом такого типа может быть трубчатая обжиговая печь): • поток стационарный, объемный расход среды не меняется во времени; dV = F·dl • в таком потоке скорости во всех точках потока одинаковы; • элемент объёма dV в таком потоке является замкнутой по веществу системой (не обменивается с соседними элементами); • в потоке идеального вытеснения отсутствует продольное перемешивание; • поперечное перемешивание в потоке тоже отсутствует. Другое название модели идеального вытеснения – поршневой поток. Для моделирования кинетики в случае потока идеального вытеснения вполне годится подход, применимый к системам, изолированным по веществу. Рассмотрим реакцию первого порядка, которая проходит в аппарате идеального вытеснения. k1; 1 по А A В Создадим модель, позволяю-щую рассчитать выходную концен-трацию А. Константа известна, поря-док первый. – время пребывания вещества в аппарате Чем больше константа скорости k, тем быстрее концентрация стремится к концентрации в точке выхода. В пределах аппарата идеального вытеснения концентрация вещества не остаётся постоянной – она падает от концентрации в точке входа до концентрации в точке выхода. 2. Модель идеального перемешивания (аппаратом такого типа является, например, печь КС, гидрометаллургический реактор для выщелачивания и т.п.). Допущения: • поток стационарный, объёмный расход вещества (Q) через аппарат должен быть постоянным; • концентрация во всех точках аппарата идеального перемешивания одинакова. Следствием второго допущения является то, что концентрация вещества в точке выхода равна концентрации внутри аппарата. Среднее время пребывания вещества в аппарате – . Время пребывания различных порций потока в аппарате идеального перемешивания неодинаково. Элемент объёма в таком аппарате является открытой системой, для такого аппарата не годится подход для замкнутой системы. Для описания кинетики в этом случае используем закон вещества и рассматриваем аппарат, как единое целое, концентрация во всех точках одинакова. На основании закона сохранения вещества запишем уравнение материального баланса для всего аппарата в целом (в единицу времени): Приход – Расход = 0 Пусть в условиях аппарата идеального перемешивания происходит реакция разложения первого порядка: k1; 1 по А A В Материальный баланс по веществу А будет суммой составляющих: где: 1 слагаемое – число молей вещества А, вносимое потоком в единицу времени; 2 слагаемое– унос вещества из аппарата в единицу времени; 3 слагаемое– масса вещества, израсходованного в химической реакции. Разделим обе части уравнения на величину объемного расхода Q≠0: , откуда . Создадим для химических реакций одинаковые условия в том и другом аппарате (одинаковая температура, k1=k2). Допустим, что при определённой температуре k1=k2=1. зададим СА0 = 1 моль/м3. Vа = 1м3, Q1 = Q2 = 1м3/с. Тогда: . Удивительно то, что результат одной и той же химической реакции оказывается в разных аппаратах разным. Более эффективным является аппарат идеального вытеснения, в котором выходная концентрация оказывается ниже. Причиной этого является не скорость химической реакции (она одинакова в обоих аппаратах), а наличие или отсутствие перемешивания элементов потока. В аппарате идеального перемешивания на выходе установится концентрация, являющаяся результатом перемешивания порций вещества, находившихся внутри аппарата в течение разного времени. Некоторые порции вещества проскакивают аппарат быстро, и продолжительность реакции в таких порциях мала, а концентрация вещества А, напротив, высока. Другие порции вещества находятся внутри аппарата достаточно долго, продолжительность химической реакции велика, а остаточная концентрация А - мала. 3. Ячеечная модель потока. Согласно этой модели, реальный технологический аппарат заменяется идеализированной схемой – последовательность ячеек идеального перемешивания. k1; 1 по А A В Пусть n=2, тогда на выходе 1-й ячейки: Если n ячеек, то Учитывая, что – переходим к решению для аппарата идеального вытеснения. При n=1 имеем очевидное решение для аппарата идеального перемешивания. Покажем на графиках, как увеличение количества ячеек может позволить нам перейти с помощью ячеечной модели от аппарата идеального перемешивания к аппарату идеального вытеснения. Чтобы исключить продольное перемешивание в потоке, рабочий объём аппарата секционируют. Применяют также каскадирование аппаратов – последовательное соединение технологических аппаратов для выравнивания результатов химических реакций. Моделирование кинетики в потоках химических реакций позволяет, учитывая особенности потока, рассчитать характеристики работы оборудования (выходной состав). Моделирование явлений тепло- и массопереноса Для технологических процессов более характерным являются гетерогенные химические реакции. В таких реакциях участвующие вещества находятся в разных фазах, собственно химическая реакция осуществляется на поверхности раздела фаз. Доставка реагентов к поверхности реагирования и отвод продуктов реакции в соответствующие фазы осуществляется в результате массопереноса. Массоперенос Рассмотрим взаимодействие сульфида железа, одного из компонентов медного штейна, с дутьем и флюсом в условиях конвертирования медного штейна. В первом периоде конвертирования медного штейна эта реакция является основной: FeS(ж1) + О2(г) + SiO2(тв) → 2FeO(тв) + SiO2(ж2) + SO2(г). Обозначим концентрацию вещества Ся – концентрация в ядре фазы вдали от межфазной границы; У поверхности раздела фаз концентрация этого вещества иная, обозначим ее Сп – поверхностная концентрация. Перенос вещества из объема фазы к поверхности реагирования осуществляется в соответствии с законом Фика: , где D – коэффициент диффузии; δ – толщина диффузионного слоя; (Ся-Сп) – движущая сила процесса, разность концентраций. При заданных условиях (например, температуре), известном характере химической реакции, известных размерах частиц диффундирующих веществ D=const, определяется характером диффундирующих частиц и среды. δ – зависит от гидродинамических особенностей процесса; β – константа скорости диффузии; rg – диффузионный поток – число молей вещества, доставляемых диффузией в зону реакции и отнесённое к единице поверхности. , k – константа, Сп – поверхностная концентрация. Справедливо для реакции 1-го порядка: k – кинетическая константа скорости (истинная). kCп заменим на k'Cя; известная концентрация в объёме Ся. Величина, обратная экспериментальной константе скорости, является суммой обратных величин истинной константы и константы диффузии. 1. – наблюдается быстрая диффузия при относительно медленной химической реакции. Скорость гетерогенной реакции определяется скоростью самой медленной стадии. Поверхностная концентрация выравнивается с концентрацией в объёме фазы. Таким образом, диффузия доставляет вещество в зону реакции с высокой скоростью. 2. – химическая реакция быстрая при медленной диффузионной стадии. Лимитирующая стадия – диффузионная, при этом , . 3. В реальных задачах моделирования определение константы диффузии и кинетической константы скорости представляет собой сложную задачу. Кинетическая константа скорости определяется экспериментально, для расчёта констант диффузии используются критериальные уравнения. Моделирование тепловых явлений Технологические процессы представляют собой совокупность химических реакций, сопровождающихся тепловыми эффектами. Технологические процессы происходят при высоких температурах, что требует, при составлении модели, учитывать процессы тепловыделения и теплопоглощения, а так же обмена с внутренней средой. Технологические аппараты, как объекты моделирования могут быть отнесены к одному из трёх типов: 1. изотермические; 2. адиабатические; 3. с частичным теплообменом. По ходу технологического процесса за счёт происходящих химических реакций либо образуется некоторое количество избыточного тепла, либо поглощается некоторое количество тепла извне. Количество выделившегося или поглощённого тепла в единицу времени зависит от скорости химической реакции. Технологические аппараты в большинстве случаев обмениваются теплом с внешней средой, таким образом, избыточное тепло путём теплообмена отдаётся внешней среде. Тип аппарата определяется тем, как соотносятся между собой тепловые эффекты, связанные с химической реакцией, идущей внутри аппарата и возможности теплообмена с внешней средой. В изотермическом аппарате в единицу времени количество выделившегося и поглощённого тепла невелико: 1. скорость химической реакции невелика; 2. количество тепла, отведённое во внешнюю среду в единицу времени много больше, чем тепловой эффект внутри аппарата. Возможности теплообмена значительно больше теплового эффекта внутри аппарата; в результате температура в аппарате приблизительно равна температуре внешней среды и остаётся постоянной. В адиабатическом аппарате возможности внешнего теплообмена значительно уступают тепловому эффекту внутри аппарата. Такой аппарат подобен термосу- выделяющееся в ходе химической реакции тепло практически полностью расходуется на нагрев содержимого внутри аппарата, во внешнюю среду потери незначительны. Величина теплового эффекта внутри аппарата с частичным теплообменом сопоставима с возможностями теплообмена, если в аппарате идет экзотермический процесс; часть тепла успевает рассеяться во внешнюю среду, часть расходуется на разогрев содержимого реактора, таким образом, устанавливается новая температура внутри аппарата, соответствующая тепловому балансу. Тепловая работа аппарата с частичным теплообменом 1. Рассмотрим аппарат идеального вытеснения, в котором идет экзотермическая реакция. Qi – тепловой эффект реакции. ri – скорость химической реак-ции. Предполагаем, что в аппарате происходит экзотермический эффект, тогда: 1 – количество тепла, выделившегося в единицу времени; 2 – количество тепла, теряемое с поверхности аппарата во внешнюю среду; ρ – плотность вещества в потоке; СT – теплоёмкость вещества в потоке; k – коэффициент теплопередачи от потока вещества к внешней среде; f – удельная поверхность теплопередачи, отношение поверхности аппарата к его объёму; Т0 – начальная температура на входе в аппарат; Т – текущее значение температуры в произвольный момент времени; Тс – температура среды; t – время пребывания вещества в аппарате. Приход тепла в тепловом балансе такого аппарата является суммой физического тепла вещества, поступающего в аппарат с потоком, и тепла, выделяющегося в ходе химической реакции. Расход тепла обусловлен уносом тепла веществом, покидающим аппарат с выходным потоком и потерями в окружающую среду. Физическое тепло вещества на входе и выходе аппарата определяется его температурой, теплоемкостью и массой. Потери тепла пропорциональны разности температур в аппарате и температуры окружающей среды, а также поверхности теплообмена. Количество выделяющегося тепла зависит от теплового эффекта реакции и пропорционально скорости реакции. Решение дифференциального уравнения теплового баланса дает функцию изменения температуры от времени пребывания вещества в аппарате. Поскольку время пребывания пропорционально расстоянию от точки входа в аппарат до произвольной точки внутри аппарата, для которой мы определяем значение температуры, можно построить профиль изменения температуры внутри аппарата. В случае экзотермической химической реакции температура по длине аппарата изменяется от начального значения T0 (в точке входа в аппарат), которое определяется из начальных условий для решения дифференциального уравнения теплового баланса, затем возрастает до некоторого максимума, после чего убывает. Рост температуры объясняется тем, что количество тепла, выделяющегося в начальный момент реакции, превышает возможности теплообмена с внешней средой. Избыток тепла приводит к увеличению температуры вещества в аппарате. Скорость химической реакции в начальный момент высока, но поскольку со временем концентрация исходных веществ уменьшается (расходуются исходные вещества), количество тепла, выделяющегося за счет химической реакции в единицу времени также падает. Когда количество выделяющегося и отводимого тепла становится одинаковым, устанавливается максимальная температура в некоторой точке аппарата. Далее количество выделяющегося тепла становится меньше, чем отводимого. Дефицит тепла в балансе приводит к снижению температуры вещества. На профиле температур в аппарате это отображается падающим участком. На практике моделирование аппарата с частичным теплообменом такого типа позволяет проверить, не превысит ли максимальная температура допустимых значений. В таком случае необходимо изменить условия теплообмена в критической зоне аппарата, например использовать принудительное охлаждение или жидкостное охлаждение, что позволит увеличить коэффициент теплопередачи от вещества в аппарате к окружающей среде и количество отводимого тепла. 2. Работа аппарата с экзотермической химической реакцией в режиме идеального перемешивания. Имеем химическую реакцию с выделением тепла. Количество тепла в единицу времени пропорционально скорости химической реакции: – количество тепла, поступающего с входящим потоком; – количество тепла, выносимое из аппарата выходящим потоком; – количество тепла, выделяющегося в ходе химической реакции; – количество тепла, теряющегося в поверхности аппарата. Если известны скорость химической реакции и тепловой эффект, то мы считаем всю величину Q3 известной; Q1 тоже известна; Q2 нельзя считать известной (мы 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 ую реакцию с выделением тепла тепла имической реакцией в режиме идеального перемешивания.ообмена, если в аппарате идет экзотерне знаем Т); Q4 тоже неизвестна. Решением этого уравнения теплового баланса является значение температуры внутри реактора. В результате моделирования мы определяем такую температуру, в зависимости от скорости химической реакции, идущей внутри аппарата. Путём итерационного расчёта значение температуры в реакторе уточняется. Расчёт температуры позволяет судить о том, как в тепловом отношении будет работать аппарат при заданных условиях, при заданном составе вещества на входе, при заданной производительности, при заданной начальной температуре и геометрических размерах аппарата. На основании таких расчётов можно делать вывод, может ли процесс осуществляться автогенно, требуется ли дополнительный отвод тепла или необходим дополнительный источник тепла (топливо, электроэнергия и др.). Мы познакомились с моделированием объектов на простейшем молекулярном уровне. Реальные модели процессов и объектов металлургии, как правило, значительно сложнее, они включают в себя элементы описания на более высоких уровнях: малого объема, рабочей зоны аппарата и т.д. Лишь в некоторых частных случаях можно результаты моделирования на молекулярном уровне распространить на уровень технологического аппарата в целом. Так, если химические реакции идут гомогенно, а технологический объект является аппаратом идеального перемешивания, не требуется его описания на уровне малого объема и рабочей зоны. В этом случае мы можем рассматривать аппарат в целом, как некую материальную точку в физике, поскольку, например концентрации и температуры в разных точках внутри аппарата одинаковы. Создание модели реального процесса или технологического аппарата требует усилий, как правило, коллектива специалистов. Тем не менее, главная роль в коллективе на этапе постановки задач, на этапе получения выводов и их трактовки принадлежит к специалисту предметной области – инженеру-металлургу. Только инженер-металлург может определять такие элементы, которые могут относиться к существенным сторонам модели. Построение математической модели технологического объекта позволяет в пределах имеющихся знаний уточнить закономерности, управляющие работой объекта. В этом смысле модель является инструментом научного познания, позволяя совершенствовать теоретические знания об объекте. Полученная модель технологических процессов и объектов представляет собой инструмент, позволяющий прогнозировать поведение моделируемых объектов. Под прогнозированием следует понимать возможность расчета выходных характеристик технологического объекта (состава, массы полученного продукта в частности) от известных значений фиксированных входных характеристик и выбранных величин управляющих воздействий. В таком виде модель представляет инструмент для управления технологическим объектом, позволяя ответить на вопрос: какие величины управляющих воздействий следует выбрать (и поддерживать) для того, чтобы выходные характеристики технологического объекта приняли желаемые значения. Главное назначение модели – она предоставляет необходимые инструменты для оптимизации. Математические методы оптимизации технологических систем Технологические системы в металлургии – искусственные системы, предназначенные для достижения поставленных целей. Общая цель таких систем состоит в переработке сырья, содержащего цветные металлы и сопутствующие ценные составляющие, и получении продукта с заданными свойствами. По виду сырья, применяемых технологических приемов, особенностей получаемых продуктов, металлургические технологии весьма разнообразны. Однако наличие общей цели позволяет наметить общие подходы к оптимизации таких систем. Оптимизация предполагает наличие критериев оптимальности. Критерии оптимальности характеризуют качество технологического процесса, т.е. степень достижения поставленных целей. К критериям оптимальности предъявляются два важнейших требования: 1. Критерий должен быть количественным, т.е. выражаться числом. В том случае, когда критерий не имеет ясного количественного смысла, для получения количественных критериев используется метод экспертных оценок. 2. Критерий должен быть монотонно связан с качеством функционирования технологической системы. Чем лучше качество системы, тем выше значение критерия оптимальности (или наоборот). Например, извлечение металла в целевой продукт часто является критерием оптимальности: чем лучше работает технология, тем больше извлечение (меньше потерь металла). Другим критерием оптимальности можно считать удельные затраты энергии или топлива на единицу произведенного продукта. Ясно, что чем лучше работает технология, тем меньше удельный расход энергии или топлива. Но и в первом, и во втором случае эта связь монотонна. Критерий оптимальности по происхождению можно разделить на группы: • Технический критерий оптимальности (извлечение металла в целевой продукт, удельная производительность аппарата, удельные затраты энергии и др.). • Технико-экономический критерий (себестоимость продукции, рентабельность и др.). • Экологические критерии. Как правило, при постановке оптимизационной задачи, не удаётся сформулировать единственный критерий оптимальности. На начальном этапе реальные оптимизационные задачи являются многокритериальными. Решения многокритериальных задач часто не являются однозначными – улучшая часть критериев оптимальности, мы ухудшаем другие критерии. Всегда при постановке оптимизационной задачи следует стремиться к формулировке обобщённого единственного критерия оптимальности. Математические методы решения оптимизационных задач при наличии нескольких критериев разработаны недостаточно. Методы построения обобщённых критериев оптимальности В том случае, когда имеется несколько частных критериев оптимальности, имеет смысл попытаться свести задачу к однокритериальной. Для этого существует несколько методов построения обобщенных критериев оптимальности. 1. Аддитивный метод: , где Ki – частный критерий оптимальности; ai – весовой коэффициент при этом критерии. Весовые коэффициенты имеют положительные и отрицательные знаки, в зависимости от того, в каком направлении действует частный критерий оптимальности. Так например, частным критерием оптимальности выбрано извлечение. Понятно, что при весовом коэффициенте выбирается знак плюс, поскольку улучшение частного критерия способствует улучшению обобщенного. Наоборот, если частный критерий – удельные энергозатраты, то знак весового коэффициента уместно выбирать отрицательным: увеличение удельных энергозатрат снижает значение обобщенного критерия оптимальности. Величина весового критерия выбирается в зависимости от степени важности частного критерия. Выбор величин весовых коэффициентов вносит элемент субъективности в формирование обобщенного критерия. Для уменьшения этой субъективной составляющей выбор величин весовых коэффициентов проводят с использованием метода экспертных оценок. Для этого привлекается коллектив экспертов, знающих особенности работы оптимизируемого объекта. 2. Мультипликативный метод: . Обобщенный критерий в этом случае является произведением частных критериев оптимальности. Например, сквозное извлечение по технологической схеме переработки сырья без оборотных материалов является произведением величин извлечения по всем стадиям технологической схемы. Аналогом в механике является к.п.д.: для всего механизма он является произведением к.п.д. отдельных частей этого механизма. При постановке оптимизационных задач следующим шагом является назначение ограничений. Не будет преувеличением сказать, что все реальные задачи оптимизации являются задачами с ограничениями. Наличие ограничений способно радикально влиять на результат решения оптимизационной задачи, изменяя его в очень сильной степени. Поэтому к выбору ограничений следует подходить весьма серьезно. Ограничения 1-го рода наложены на входные величины, поэтому являются более простыми. Ограничения 2-го рода касаются выходных характеристик системы. Они являются более сложными, поскольку требуют ответа на вопрос: какие ограничения первого рода (на входные характеристики) требуется установить, чтобы не нарушались ограничения второго рода. Примером ограничений второго рода являются требования по химическому составу полученного продукта. Обычно они регламентированы соответствующими документами (ГОСТ, технические условия и т.п.). Возникает вопрос: какие ограничения на фиксированные входные характеристики (состав сырья) и управляющие воздействия (время пребывания вещества в аппарате, температура и др.) должны быть приняты, чтобы не нарушались ограничения первого рода (т.е. состав полученного продукта соответствовал требуемому)? Разумеется, выбор ограничений – это задача для специалиста, глубоко знающего оптимизируемый технологический процесс. Следующим этапом постановки задачи является выбор оптимизирующих факторов. Выбираются из вектора управляющих воздействий те величины, которые влияют на выход системы, и которые мы можем изменять в пределах выбранных ограничений. Большинство задач оптимизации содержат эти ограничения. В реальных задачах оптимизации технологических систем в цветной металлургии в качестве оптимизирующих факторов могут рассматриваться : -массовые соотношения между компонентами шихты (соотношение между массами концентратов разных производителей и флюсов различного состава), - время пребывания вещества в технологическом аппарате (фактически определяет, как полно пройдут необходимые физико-химические превращения компонентов сырья в продукт), -температура, -давление, -условия перемешивания и т.п. Как и выбор ограничений, выбор оптимизирующих факторов способен выполнить только специалист, глубоко знающих оптимизируемый процесс. Последним этапом постановки оптимизационной задачи является формулирование вида целевой функции. Она является математическим выражением зависимости критерия оптимальности от оптимизирующих факторов. Целевая функция далеко не всегда представляет собой аналитическое выражение этой зависимости, значительно чаще эта связь представляет собой алгоритм вычислений, иногда достаточно сложных, следуя которому мы по известным значениям оптимизирующих факторов можем рассчитать значение целевой функции. Для решения оптимизационной задачи необходима математическая модель процесса или объекта, который мы оптимизируем. В математической форме оптимизационная задача сводится к следующему: F(x, u, V, t) → max (min) a1≤u1≤b1 a2≤u2≤b2 . . . . . . . an≤un≤bn. имеются управляющие воздействия u1, u2, …, un, которые могут изменяться в интервалах разрешённых ограничений a1 – b1, a2 – b2, …, an – bn. Целевая функция (F) отображает зависимость критерия оптимальности от управляющих воздействий u1 –un. Требуется отыскать такие управляющие воздействия u1 –un, которые, с одной стороны не нарушают ограничений поставленной задачи, а с другой – обращают целевую функцию в максимум или минимум. Таким образом, на этапе постановки оптимизационной задачи требуется участие специалиста предметной области – металлурга по цветным металлам, глубоко разбирающегося в особенностях оптимизируемого объекта. Для оптимизации также необходима математическая модель оптимизируемого объекта. Когда оптимизационная задача формализована, т.е. поставлена в математической форме, переходят к выбору математического метода ее решения. Выбор метода определяется свойствами самой оптимизационной задачи: какова задача, таков и адекватный задаче метод решения. Методы решения многих классов оптимизационных задач математически разработаны довольно хорошо, алгоритмы этих методов описаны, на базе алгоритмов разработаны и пакеты прикладных программ для решения оптимизационных задач. Если знаний металлурга в этой области недостаточно (а это естественно), то на этапе решения оптимизационной следует привлечь к работе специалистов по прикладной математике, программистов и т.п. На этапе постановки задачи от специалистов этого профиля помощи ждать бессмысленно. Выбор метода решения задачи зависит от ее свойств. В этой связи необходимо познакомиться с классификацией оптимизационных задач по их свойствам. Классификация оптимизационных задач Все множество оптимизационных задач можно разделить на несколько классов по следующим признакам: 1. Вид экстремума целевой функции. Нас может интересовать поиск максимума или минимума целевой функции. Как известно, переход от поиска минимума к поиску максимума не представляет труда: минимум функции y=f(x) достигается при тех же условиях, что и максимум функции –y=–f(x). Таким образом, для смены знака экстремума достаточно целевую функцию умножить на минус единицу. Пример пояснен на рисунке. 2. Число критериев оптимальности. По этому признаку все множество задач оптимизации можно разделить на два подмножества: а) однокритериальные задачи; б) многокритериальные задачи. В первом случае в задаче может быть сформулирован единственный критерий оптимальности. При необходимости он может быть получен из нескольких частных критериев оптимальности одним из ранее описанных методов (аддитивный, мультипликативный). Во втором случае в задаче по принципиальным соображениям нет единственного критерия оптимальности. Решение такой задачи часто бывает неоднозначным, а математические методы решения разработаны хуже, чем для однокритериальных задач. По этой причине всегда имеет смысл попытаться построить единственный критерий оптимальности путем свертки нескольких частных критериев. 3. По числу оптимизирующих факторов. Здесь также можно выделить два подмножества: а) однофакторные задачи; б) многофакторные задачи. В первом случае в задаче имеется единственный оптимизирующий фактор (единственное управляющее воздействие не объект, которое мы можем изменять в заданных пределах). Математически это означает, что целевая функция зависит от величины единственного своего аргумента. Во втором случае целевая функция зависит от нескольких (двух и более) аргументов. Имеется два и более управляющих воздействия, изменяя которые в заданных пределах, мы управляем объектом. 4. Наличие ограничений. Большинство реальных задач содержат ограничения. Наличие ограничений существенно влияет на получение решения оптимизационной задачи. Некоторые задачи можно рассматривать как задачи безусловной оптимизации. В таких задачах ограничения очень широкие и не влияют на результат решения задачи. 5. По особенностям целевой функции. Целевая функция может быть задана математически различными способами: • Аналитический способ F = (u1, u2, …, um). Имеется некое аналитическое выражение, при подстановке в которое значений аргументов может быть определено значение функции. • Алгоритм, т.е. последовательность вычислений, в результате выполнения которых определяется значение целевой функции при заданных значениях ее аргументов (оптимизирующих факторов). Целевая функция может быть линейной или нелинейной относительно оптимизирующих факторов. В задачах линейного программирования, например, целевая функция линейная. Существует много задач с нелинейно-заданной функцией. Итак, выбор математического метода решения оптимизационных задач зависит от свойств поставленной задачи. К настоящему времени существует достаточно много математических методов решения оптимизационных задач. По особенностям их реализации методы можно объединить в три группы: 1. Аналитические. 2. Поисковые. 3. Экспериментальные. Аналитические методы решения оптимизационных задач Для реализации аналитических методов целевая функция должна быть задана аналитически. Аналитические методы могут использоваться для решения однофакторных и многофакторных задач. 1. Однофакторные задачи. Пусть целевая функция зависит от единственного аргумента. Для поиска ее экстремума (скажем, минимума) используем известные приемы математического анализа. Достаточно взять производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение. Для определения типа экстремума (минимум, максимум или точка перегиба) потребуется также взять вторую производную. Знак второй производной указывает на тип экстремума: положительное значение говорит о том, что найден минимум, отрицательное – максимум функции. y = f (x) → min y = 2x2 + 4x – 8 → min y'=0 4x + 4 = 0 x = -1 y''Є(- ∞; +∞ ) y'' = 0 – точка перегиба y'' < 0 – максимум функции y'' > 0 – минимум функции. Аналитический метод для однофакторных задач предъявляет высокие требования к целевой функции: она должна быть задана аналитически и иметь 1-ю и 2-ю производные. В этом случае поиск решения может быть осуществлен методами математического анализа. 2. Многофакторные задачи. В многофакторных задачах целевая функция зависит от двух и более аргументов. F(x1, x2, …, xn) – функция нескольких переменных (≥2). Пусть, например, аналитическое выражение целевой функции имеет следующий вид: у = 2х12 + 3х22 + 4х1 + 5х2 – 16. 4х1 + 4 = 0 6х2 + 5 = 0. Для решения воспользуемся методами математического анализа применительно к функции нескольких переменных. Возьмем частные производные по каждому аргументу и приравняем их к нулю. Получим систему уравнений, решая которую определим условия экстремума целевой функции. В нашем примере получаем систему линейных уравнений, решая которую находим условия экстремума целевой функции: х1=-1; х2=-5/6. Аналитические методы для решения многофакторных задач так же используются крайне редко, т.к.: -функция должна быть задана аналитически (иметь 1-ю и 2-ю производные); -в ходе решения задачи можно прийти к системе нелинейных уравнений, которую все равно придется решать численными, приближёнными методами. Поисковые (численные) методы решения однофакторных оптимизационных задач Для использования этих методов не обязательно, чтобы целевая функция была задана аналитически. Единственное требование – она должна быть вычислимой, т.е. должен быть известен способ ее вычисления (аналитическое выражение или алгоритм вычисления). Полученное решение может быть найдено с любой заданной нами точностью. Точность решения определяется лишь последующим использованием его результатов. Например, в ходе решения мы определяем оптимальную температуру проведения металлургического процесса. Понятно, что точность решения в несколько градусов нас устроит, поскольку на практике мы не сможем поддерживать температуру в печи с большей точностью, ведь регулятор температуры имеет некоторые погрешности измерения и регулирования. Для получения решения численным методом необходимо: а) задать способ вычисления целевой функции (алгоритм или аналитическое выражение): y = f (x) → min. б) все поисковые методы – приближённые, поэтому перед началом решения следует задать интересующую нас точность решения . в) выбрать интервал допустимых значений оптимизирующего фактора: a≤x≤b. 1. Метод перебора (сплошного поиска). Разбиваем ось аргументов на конечное число шагов решения, которое определяется интересующей нас точностью: . При точности 1% от интервала изменения фактора это будет соответствовать разбиению интервала на 100 шагов, при точности 5% потребуется разбить интервал на 20 шагов и т.д. Далее проводим вычисления целевой функции в точках, являющихся границами шагов, и запоминаем все результаты вычислений. Сравниваем значения целевой функции, ищем минимальное значение и определяем значение аргумента, соответствующее минимуму целевой функции. Поиск напоминает поиск наиболее глубокого места в реке. Достоинством метода является то, что он позволяет найти глобальное решение на всем интервале, если существует несколько локальных экстремумов. Недостаток – большое количество вычислений целевой функции, и, как следствие, низкая скорость. Требует запоминания всех вычисленных значений целевой функции и аргументов. 2. Метод дихотомии (половинного деления). Исходно требуется то же, что и в предыдущем методе. Разбиваем интервал значений аргумента пополам: . Строим две дополнительные узловые точки с координатами: и вычисляем значения целевой функции в этих точках. y1 = f (x1) y2 = f (x2). Представим, что функция имеет один минимум на отрезке от a до b. Ординаты у1 и у2 вычислены в точках, лежащих достаточно близко друг к другу, на расстоянии удвоенной точности решения. Если у2>у1, поиск минимума на левой половине интервала теряет смысл, и ее можно отбросить. На этом первая итерация решения заканчивается, и после сокращения интервала вдвое задача вновь возвращается к исходной, но интервал дальнейшего поиска сокращается вдвое. Для сокращения интервала достаточно перенести точку а в центр первоначального отрезка, а координаты точки в оставить без изменений. Далее решение продолжается до тех пор, пока после нескольких итераций сокращенный интервал не станет меньше заданной точности. Поскольку сокращение интервала на каждой итерации происходит вдвое, то совершив 7 итераций, например, мы уменьшим первоначальный интервал в 27= 128 раз, достигнув точности решения 1/128, что менее 1% от первоначального интервала. Поскольку на каждой итерации целевая функция вычисляется дважды, общее количество ее вычислений будет равно 14. При этом нет необходимости запоминать результаты вычислений, в отличие от метода сплошного поиска. К тому же, решая задачу по методу сплошного поиска с более высокой точностью 1%, мы были бы вынуждены выполнить 100 вычислений целевой функции, и при этом все результаты вычислений надо было бы сохранить. При повышении точности решения различия методов становятся еще больше: при точности 0.5% метод дихотомии требует 16 вычислений функции, а метод сплошного поиска – 200 вычислений, при точности 0.1% - 20 и 1000 вычислений соответственно! 1 7 шагов Однако, метод дихотомии имеет и существенный недостаток. При наличии нескольких экстремумов целевой функции он не обеспечивает поиск глобального решения. Если желаем получить глобальное решение, то необходимо использовать метод сплошного поиска. В реальных задачах комбинируют методы. Поисковые методы решения многофакторных оптимизационных задач В таких оптимизационных задачах F(x1, x2, …, xn) – целевая функция двух и более аргументов. F(x1, x2, …, xn) → min. Рассмотрим Y=F(x1;x2). В этом случае пространство переменных есть плоскость. Поверхность целевой функции является геометрическим местом точек, заданных концами ординат Y(M). Поверхность целевой функции может быть изображена проекциями линий сечения плоскостями постоянного уровня. Такие линии называются линиями постоянного уровня целевой функции, или просто линиями уровня. Нужно найти такие х1 и х2, при которых Y → min. Необходимо предварительно установить точность решения (). Точность решения оптимизационной задачи определяется тем, как в последующем будут использованы результаты решения. Оптимальные значения технологических параметров, найденные в результате решения оптимизационной задачи, необходимо поддерживать при проведении технологического процесса. Для этого служат регуляторы соответствующих параметров: температуры, объемных и массовых расходов и т.п. Регуляторы позволяют измерять и поддерживать значения параметров с некоторой точностью, составляющей обычно от 0.5% до 5% диапазона измерения. Поэтому нет смысла задавать точность решения оптимизационной задачи более жестко, поскольку регулятор впоследствии не позволит поддерживать значение параметра с высокой точностью. Далее необходимо определить область допустимых решений оптимизационной задачи. Для этого используют ограничения первого рода, наложенные на величины оптимизирующих факторов. Эти ограничения возникают на этапе постановки задачи. Например, если оптимизирующим фактором некоторого технологического процесса выбрана температура, то ее значения ограничены сверху максимально допустимыми значениями, при которых работоспособен аппарат, или температурой кипения растворов (если аппарат гидрометаллургический). Минимальное значение температуры не может быть ниже температуры окружающей среды (если не используется устройство охлаждения), а также ниже температуры затвердевания или кристаллизации расплава (если аппарат пирометаллургический и предназначен для плавки). Система ограничений дает возможность в пространстве переменных построить область, внутри которой и на границах выполняются совместно все ограничения задачи. Такая область называется областью допустимых решений (ОДР). Для целевой функции двух переменных пространство переменных представляет собой плоскость, а область допустимых решений – часть плоскости, ограниченная прямыми. В случае трех переменных пространство становится объемным, а область допустимых решений является многогранником, ограниченным плоскостями. Для четырех и более переменных привычных геометрических образов нет, говорят о гиперпространстве переменных и области допустимых решений, ограниченных гиперплоскостями. % % а1≤x1≤b1 a2≤x2≤b2 N = n1 ∙ n2 Дальнейшее решение оптимизационной задачи состоит в исследовании области допустимых решений в поисках оптимального решения. При этом надо иметь в виду, что методы решения, описанные ранее для однофакторных задач, не могут быть использованы. Пусть целевая функция имеет три оптимизирующих фактора. Используя метод сплошного поиска, мы могли бы построить и исследовать область допустимых решений. В нашем случае такая область представляет собой параллелепипед. Предположим, нас интересует точность решения в 1% от диапазона изменения каждого фактора. Мы могли бы разбить интервал каждого фактора на сто шагов, что привело бы к пространственной сетке, содержащей сто плоских слоев, в каждом из которых количество узлов составило бы десять тысяч. Таким образом, общее число узлов на области допустимых решений составило бы миллион. Далее следовало бы вычислить (и запомнить значения) целевую функцию в каждом узле, отсортировать полученные значения и найти экстремум. Значения факторов в точке экстремума и были бы решением оптимизационной задачи. Однако для получения решения таким путем потребовалось бы слишком много времени, поскольку вычисление целевой функции каждый раз требует некоторых затрат времени. К тому же требуется время на сортировку и поиск оптимального решения, а также огромный объем памяти для хранения результатов вычислений. А если число оптимизирующих факторов (аргументов целевой функции) больше трех, то легко показать, что задача вообще не может быть решена за приемлемое время - пока мы занимаемся ее решением, условия технологического процесса изменятся. Поэтому усилия специалистов в области прикладной математики были сосредоточены в направлении разработки «быстрых» методов решения многофакторных оптимизационных задач. В настоящее время создано несколько групп методов для решения таких задач. Математиками разработаны следующие методы для решения многофакторных оптимизационных задач: • Метод координатного спуска. • Градиентные методы. • Симплексные методы. Для всех трёх способов решения задач есть общие требования, и есть отличительные особенности, присущие каждому методу. Общие требования: 1. Целевая функция должна быть вычислима (задана аналитически, либо известен алгоритм вычислений, либо имеется таблица табулированных значений). 2. Так как все методы являются численными, приближёнными, до начала решения должны быть определена точность по каждому из оптимизационных факторов. Достижение заданной точности является критерием завершения поиска. Наряду с общими поисковые методы отличаются элементами стратегии поиска, к которым относятся: 1. Начальная точка поиска. 2. Направление поиска. 3. Величина начального шага. 4. Способ сокращения начального шага и коэффициент сокращения. Любой поисковый метод из перечисленных обеспечивает наличие решения, сходимость, и, если целевая функция унимодальна (один минимум), то и единственное решение. Начальная точка поиска – любая точка из области допустимых значений решений (ОДР). ОДР ограничена, если задача решается как задача с ограничениями. Ограничения назначаются на этапе математической постановки задачи. Начальная точка поиска может находиться внутри области, на границе области или на пересечении границ, т.е. в вершине ОДР. Направление поиска – выбирается в каждом методе, исходя из особенностей метода. Начальный шаг. Идея поисковых методов – движение по области допустимых решений, причём направление и размер шага зависят от результатов решения, полученных на предыдущем шаге. При этом, для более быстрого получения решения (за меньшее число вычислений) следует выбирать начальный шаг достаточно большим: величина начального шага 20…25% от интервала изменения фактора. Способ и коэффициент сокращения шага. Двигаясь по ОДР начальным шагом, можно решить задачу с точностью, равной величине начального шага, для практических целей этого не достаточно. Для достижения заданной точности решения требуется продолжить поиск, исследуя область допустимых решений шагами меньшей величины. Последующая величина шагов получается делением начального шага на коэффициент сокращения. Коэффициент сокращения шага обычно от 2-х до 5-ти. Метод координатного спуска В этом методе направление поиска совпадает с направлением координат (осями факторов). На любом шаге решения можно менять только один фактор, а все остальные остаются без изменения. Поиск решения начинается в начальной точке 1 (см. рис.), где вычисляется значение целевой функции. Затем начинаем движение по пространству переменных в пределах области допустимых решений. Это означает, что увеличив координату на величину начального шага вдоль х1, и оставив без изменения х2, мы переместимся в новую точку 2. Вычислим значение целевой функции в этой точке и сравним его с предыдущим. Если при поиске минимума значение функции в точке 2 меньше, чем в точке 1, то такой шаг следует считать удачным. В этом случае поиск продолжается в выбранном направлении. Двигаясь вдоль х1 и вычисляя на каждом шаге значение целевой функции, мы рано или поздно можем убедиться в том, что последующее значение станет больше предыдущего. Такой шаг является неудачным. Если очередной шаг решения оказался неудачным, направление поиска изменяется. Для этого координату последней удачной точки по х1 фиксируют, и начинают движение в направлении х2, используя величину начального шага. Вблизи области минимума движение начальным шагом во всех разрешенных направлениях не приводит к улучшению значения целевой функции. При этом одна из точек окажется наилучшей, в ней значение целевой функции наименьшее. Однако задача еще не решена, поскольку величина начального шага выбирается заведомо больше интересующей нас точности решения. Фактически задача пришла к исходной – имеется начальная точка поиска (наилучшая), и требуется путем движения по пространству переменных найти такую точку, в которой значение целевой функции еще меньше. Для этого последующий поиск надо проводить, двигаясь шагом уменьшенной величины. Такой шаг получают делением начального шага на коэффициент сокращения шага, обычно его выбирают равным от 2 до 5. Разделив начальные шаги на соответствующие коэффициенты сокращения продолжают поиск, пока одна из точек вновь не станет наилучшей и т.д. Критерием завершения поиска является достижение заданной точности решения. Градиентные методы Эти методы отличаются от предыдущего некоторыми элементами стратегии, в частности направлением поиска. Известно, что градиент функции – это вектор, указывающий направление наискорейшего возрастания функции из данной точки пространства ее переменных. Противоположно направленный вектор антиградиента функции указывает направление наискорейшего ее убывания из данной точки. Направление поиска в случае мини-мизации целевой функции совпадает с на-правлением антиградиента. Пусть имеется Y=F(x1;x2), тогда , где Н1 и Н2 - единичные направляющие векторы (орты), направление которых совпадает с направлением осей факторов х1 и х2, а модуль равен единице; - частная производная целевой функции F по ее аргументу х1; - частная производная целевой функции F по ее аргументу х2. Для отыскания положения вектора градиента можно воспользоваться следующим приемом. Заменим величины производных отношением конечных разностей. Такая замена корректна, если приращения аргументов функции являются малыми (теоретически – бесконечно малыми) величинами. Приращения аргументов выберем равными точности нашего решения, поскольку она достаточна мала по сравнению с исходными интервалами изменения аргументов функции: . Для вычисления приращений функции в направлении осей ее аргументов построим две дополнительные точки N и P, лежащие вблизи начальной точки поиска М на расстояниях ε1 и ε2 сответственно. Вычислив значения целевой функции в этих точках, а затем вычислим приращения в направлении аргументов. Умножив величины частных производных на направляющие векторы, получим два вектора, направления которых совпадают с осями факторов, а модули пропорциональны величинам частных производных. Построив векторную сумму этих векторов, определим направление градиента. Поиск оптимального решения начинается в начальной точке. Затем мы перемещаемся по направлению градиента величиной начального шага. В новой точке поиска вычисляем значение функции и сравниваем его с предыдущим. Если очередной шаг оказался удачным, перемещаемся в следующую точку поиска по направлению градиента. При нелинейной целевой функции ее поверхность криволинейная, и направление градиента в разных точках будет разным. Поэтому, если очередной шаг решения оказался неудачным, то это означает, что направление градиента существенно отклонилось от первоначального. В таком случае, из последней удачной точки следует вновь определить направление градиента функции и продолжить поиск в новом направлении. Если же при этом первый шаг сразу будет неудачным, то продолжить поиск следует шагом уменьшенного размера, разделив начальный шаг на коэффициент уменьшения. Как и в предыдущем случае, критерием завершения поиска является достижение заданной точности: при уменьшении шага область поиска сокращается, и когда она достигнет размеров, соответствующих заданной точности, поиск останавливается. В отличие от координатного метода, траектория поиска сразу выводит нас в область экстремума функции. При этом требуется меньшее количество вычислений функции, т.е. поиск осуществляется быстрее. Градиентные методы обеспечивают более быстрое решение, но продолжительность решения зависит от выбора начальной точки и вида поверхности целевой функции. В некоторых случаях неудачный выбор начальной точки или особенности целевой функции могут привести к тому, что градиентные методы оказываются даже хуже координатного. Симплексные методы Для реализации симплексных методов требуется, чтобы целевая функция была вычислима, должны быть заданы точность решения и начальный размер симплекса. Отличительной особенностью является направление поиска. Поиск решения осуществляется с использованием симплекса. Симплекс – геометрический комплекс, имеющий n+1 вершину; где n – число факторов оптимизационной задачи. Для функции двух переменных n=2, а симплекс представляет собой треугольник на плоском пространстве переменных. Если этот треугольник равносторонний, то метод поиска называется методом регулярного симплекса. Когда начальный размер симплекса известен и равен R, координаты всех его вершин легко определить, если заданы координаты любой вершины, кА это показано в таблице. Пусть вершина А является начальной точкой поиска. Начиная поиск, определим координаты двух других вершин симплекса и вычислим значения целевой функции во всех трех вершинах. Сравним значения функции между собой и определим наихудшее (при поиске минимума – наибольшее, при поиске максимума – наименьшее). Дальнейший поиск следует предпринимать в направлении, противоположном той вершине, в которой наблюдается наихудшее значение функции. Для этого используется процедура отражения: ищем точку, зеркально отражая наихудшую вершину через противоположную сторону симплекса. Получаем новый симплекс, две из трех вершин которого принадлежат старому. Рассчитываем значение целевой функции в новой вершине и сравниваем его со значениями в двух других вершинах нового симплекса (эти значения были рассчитаны на предыдущем шаге решения). Вновь определяем наихудшее значение функции на новом симплексе, проводим процедуру отражения и ищем вершину следующего симплекса. Продолжая движение таким способом, мы неизбежно придем в область экстремума целевой функции, где при использовании процедуры отражения начнется вращение симплекса вокруг одной из его вершин. Если симплекс начал вращение и совершил (путем последовательных отражений вершин) полный оборот, то улучшить значение функции при движении симплекса начального размера уже не удастся. Необходимо уменьшить размер симплекса, разделив начальный размер на коэффициент сокращения, и продолжить решение задачи до достижения заданной точности. y=F(x1;x2), R – начальный размер симплекса. Х1 Х2 А В С Х10 Х10+R/2 X10+R X20 X20+ X20 Существует метод деформируемого симплекса, в котором отражение наихудшей вершины происходит через «центр тяжести» предыдущего симплекса, который определяется с учетом величины функции в его вершинах («тяжести» вершин). При использовании деформируемого симплекса поиск решения происходит еще более быстро по сравнению с методом регулярного симплекса. Реальные поисковые оптимизационные задачи решаются с применением разных методов. Если при этом решение совпадает, то это увеличивает надёжность полученного решения. Поисковые методы не являются глобальными, поэтому если в ОДР существует два и более минимума, мы можем получить локальное решение вместо глобального. Y(M2) < Y(M1) глоб. лок. То, какой из типов мы обнаружим, зависит от выбора начальной точки. Поэтому используют не только разные методы поиска, но проводят поиск из разных начальных точек. Экспериментальные методы оптимизации Как в аналитических, так и в поисковых методах требуется, чтобы целевая функция была вычислимой. Фактически это означает, что мы должны иметь модель оптимизируемого объекта. Во многих случаях такой модели нет. Остается использовать экспериментальные методы оптимизации, в которых вместо вычисления целевой функции ее значения определяются в эксперименте, путем измерений при заданных значениях оптимизирующих факторов. В экспериментальных методах решение должно достигаться за возможно меньшее число определений самой функции, поскольку вычислить функцию значительно проще (и быстрее), чем поставить эксперимент и измерить значение целевой функции. При экспериментальной оптимизации используются методы, аналогичные поисковым методам оптимизационных задач. Вся разница в том, что на каждом шаге решения вместо вычисления функции потребуется задать соответствующее значение оптимизирующих факторов, провести эксперимент и определить величину целевой функции. Аналогом координатного метода в экспериментальной оптимизации является метод Гаусса-Зайделя. Условия экспериментов в методе Гаусса-Зайделя выбираются так, что в каждом последующем опыте изменяется один оптимизирующий фактор, а все остальные имеют фиксированное значение. Траектория поиска при использовании этого метода представляет собой ломаную линию в пространстве переменных, отрезки этой линии параллельны осям координат. Особенности градиентного метода поиска в экспериментальной оптимизации реализованы в методе Бокса-Уилсона. Основная идея метода состоит в определении направления градиента целевой функции и движении по направлению градиента в область экстремума с последующим уточнением положения экстремума. Траектория поиска в этом методе более короткая, решение достигается при меньшем числе опытов. Симплексный метод в экспериментальной оптимизации практически воспроизводит поисковый метод и носит то же название. Отличие здесь только в том, что в поисковом методе целевая функция вычисляется, а в экспериментальном методе она определяется в опыте. Методы линейного программирования Задачи линейного программирования представляют частный случай задач оптимизации с целевыми функциями, зависящими от нескольких факторов. В задачах линейного программирования целевая функция зависит линейно от своих аргументов. Известно несколько типов задач линейного программирования: • Шихтовая задача; • Задача об использовании ресурсов; • Транспортная задача; • Задача о составлении расписаний. Транспортная задача линейного программирования. Рассмотрим постановку задачи. Пусть имеется 4 поставщика медных концентратов (обогатительных фабрик), и существует 3 медеплавильных завода для переработки этих концентратов. Требуется организовать перевозку концентрата с обогатительных фабрик на медеплавильные заводы. Всё количество медных концентратов должно быть вывезено и переработано, все медеплавильные заводы должны быть загружены переработкой концентратов. При этом суммарная стоимость перевозки концентратов должна быть минимальной. Обозначим обогатительные фабрики А1…А4, а медеплавильные заводы В1…В3. Пусть стоимость перевозки одной тонны концентрата от i-того поставщика к j-тому потребителю составляет Сij. Такая матрица носит название стоимости перевозок. Количество тонн концентрата, перевозимое от i-того поставщика к j-тому потребителю обозначим как хij и запишем в соответствующую матрицу, которая называется матрицей элементов решения. Суммарная стоимость перевозки концентрата от Аi к Вi будет: . Разумеется, мы желаем достичь минимальной стоимости всех перевозок. Кроме того, все элементы решения – неотрицательные числа: . По условию задачи все концентраты должны быть вывезены от поставщиков: , и доставлены потребителям: . Совокупность описанных выше условий позволяет сформулировать транспортную задачу математически: требуется отыскать такие элементы решения, которые не нарушают ограничения задачи и минимизируют целевую функцию, линейно зависящую от элементов решения. Решение задач линейного программирования Рассмотрим решение задачи линейного программирования графическим методом на следующем при мере. Имеется предприятие, производящее 2 продукта: А и В. Продукты отличаются по цене: продукт А имеет цену 3 у.е. за тонну, продукт В – 5 у.е. за тонну. Кроме того, производство одной тонны продукта А требует 3, а продукта В -9 единиц сырья. Запас сырья на предприятии ограничен и составляет 75 единиц. Общее количество продуктов А и В не должно превышать 10 тонн, что обеспечит стабильность цен при их продаже. Производство более дешевого продукта А не может превышать производство более дорогого продукта В более чем на 3 тонны. Расход сырья на производство не может превышать имеющегося запаса в 75 единиц. С учетом этого сформулируем математически условия задачи. Обозначим как х1 массу продукта А, а х2 – массу продукта В соответственно. Тогда целевая функция L будет определяться следующим выражением: L = 3x1 + 5x2 → max. Требуется определить такие х1 и х2, при которых эта функция максимальна. Из условий задачи вытекает ряд ограничений: x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 3x1 + 9x2 ≤ 75 x1 + x2 ≤ 10 x1 – x2 ≤3 Используем имеющиеся ограничения и вид целевой функции для поиска решения графическим методом. Поскольку наша задача содержит две неизвестных величины, отведем для них две оси в декартовой системе координат. Обе оси лежат в одной плоскости, которая в данном случае является пространством переменных. Первое ограничение задачи x1 ≥ 0 делит пространство переменных на две половины, одна из которых является разрешенным, а другая – запрещенным полупространством. Второе ограничение x2 ≥ 0 также отсекает от пространства переменных разрешенное полупространство. Оба первых ограничения совместны в первом квадранте декартовой плоскости. Заметим, что и на осях переменных ограничения не нарушаются, поскольку ограничения являются нестрогими неравенствами. Разрешенное полупространство покажем штриховкой. Третье ограничение задачи 3x1 + 9x2 ≤ 75 в предельном виде можно рассматривать как уравнение прямой в выбранной системе координат: 3x1 + 9x2 =75, или х2= -1/3х1+25. Положение этой прямой показано ниже на рисунке. Разрешенное полупространство расположено ниже прямой. Используя оставшиеся ограничения, проведем соответствующие им прямые и покажем разрешенное полупространство для каждой из них. В результате всех построений на пространстве переменных образуется область, внутри которой и на границах которой совместно выполняются все ограничения данной задачи. Это область 0ACEG, имеющая вид пятиугольника, называется областью допустимых решений данной задачи. Особенности области допустимых решений (ОДР) вытекают из ограничений задачи. Любая точка внутри и на границах ОДР, а также на пересечении границ, т.е. в вершинах ОДР, является допустимым решением. Также очевидно, что число допустимых решений бесконечно велико. Нас же интересует оптимальное решение, т.е. такое, при котором целевая функция нашей задачи обращается в максимум. Вторым этапом решения и является поиск оптимального решения на области допустимых решений. Для этого воспользуемся выражением для целевой функции L = 3x1 + 5x2. Зададим L произвольное значение, пусть например L=15. Последнее означает, что мы определили в трехмерном пространстве, имеющем ось для отображения целевой функции, некую плоскость, для любой точки которой значение целевой функции неизменно и равно 15, независимо от значений x1 и х2. С другой стороны, выражение L = 3x1 + 5x2 определяет положение плоскости целевой функции в выбранной системе координат. Плоскость целевой функции проходит через начало координат и наклонена к по отношению к осям переменных. Этот наклон тем больше, чем больше коэффициент при соответствующей переменной. Выражение 3x1 + 5x2=15 означает, что плоскости в пространстве пересекаются. Линия пересечения плоскости постоянного уровня и плоскости целевой функции есть прямая, проекция ее на пространство переменных также является прямой, которая называется прямой опорного решения (ПОР). В нашей задаче положение ПОР соответствует уравнению прямой х2=-3/5х1+3. Она отсекает на оси х1 отрезок, равный 5, а на оси х2 – 3 единицам. Возрастание целевой функции происходит при увеличении х1 и х2, что показано стрелками на ПОР на рисунке. Значение 15 мы выбрали произвольно. Если задать большее значение, линия пересечения плоскости целевой функции и плоскости постоянного уровня целевой функции переместится в пространстве параллельно самой себе, а ее проекция переместится параллельно ПОР вправо и вверх. Нетрудно заметить, что наиболее далеко отстоящей точкой от ПОР является вершина области допустимых решений С, в которой и будет наибольшее значение целевой функции L. Эта вершина области и будет оптимальным решением нашей задачи. Положение вершины С определяется решением системы уравнений: х1+х2=10 3х1+9х2=75, что дает координаты С(2,5;7,5). Значение целевой функции при этом равно 45. ПОР –прямая опорного решения. 3x1 + 9x2 = 75 x1 + x2 = 10 x1 = 2,5, x2 = 7,5 L = 45 Графический метод не может быть использован, если число переменных в задаче больше двух, поскольку пространство переменных становится многомерным, а задача лишается наглядного образа. Для решения таких задач линейного программирования (а реальные задачи могут содержать сотни переменных) используются иные методы, например симплекс-метод и метод искусственного базиса. Алгоритмы методов решения задач линейного программирования известны, исследованы математиками с точки зрения сходимости и наличия решения. На базе имеющихся алгоритмов созданы программы, входящие в пакеты прикладных программ общего назначения и проблемно-ориентированных. В частности, решение задач линейного программирования может быть достигнуто при использовании электронных таблиц Microsoft Excel или математического пакета MathCAD. Наличие таких инструментов упрощает получение решения. Основная сложность состоит в корректной постановке задачи, а также в интерпретации и проверке полученных результатов. Заключение Ограниченное время, отпущенное для изучения курса «Моделирование процессов и объектов в металлургии», разумеется, недостаточно для того, чтобы дать студентам знания и навыки, необходимые для решения практических задач моделирования и оптимизации металлургических процессов и аппаратов. Тем более, что металлургические технологии весьма разнообразны, как и оборудование, в котором они реализуются. Постановка и решение практических задач моделирования и оптимизации потребует участия специалистов нескольких предметных областей: металлургов, прикладных математиков, программистов. Главная задача курса состояла в том, чтобы дать инженеру-металлургу необходимые знания в области системного анализа, методологии моделирования и математических методов оптимизации металлургических процессов и аппаратов, познакомить с терминологией для успешного диалога со специалистами других профилей, привлекаемых для решения задач. Особое внимание при изложении курса уделено тому обстоятельству, что участие инженера-металлурга в подобной работе просто необходимо: без него никто не может создать эффективно работающую модель и использовать ее для поиска оптимальных условий проведения технологического процесса. Развитие технологии в металлургии невозможно без использования информационных систем, помогающих персоналу вести технологический процесс наиболее эффективно и безопасно. Важной составляющей таких систем является модельная система поддержки принятия решений. Для большинства металлургических процессов и аппаратов математические модели еще не созданы. Учитывая разнообразие металлургических процессов и аппаратов, видов сырья и получаемых продуктов, можно утверждать, что создание моделей – дело ближайшего будущего. Реализация этой задачи потребует от металлургов знаний и навыков, полученных при изучении данного курса. СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ 1.1. Основные понятия и определения системного анализа 1.2. Внешние связи системы 1.3. Классификация систем по их свойствам 2. Моделирование технологических процессов и объектов 2.1. Основные понятия и определения 2.2. Алгоритм создания модели 2.3. Структурный подход для построения математических моделей 2.4. Использование структурного подхода для составления моделей на молекулярном уровне 2.5. Описание стехиометрии системы химических реакций 2.6. Метод направленных графов 2.7. Матричный метод 2.8. Моделирование равновесия в системах химических реакций 2.9. Моделирование кинетики химических реакций 2.10. Скорость сложной химической реакции 2.11. Интегрирование уравнений кинетики 2.12. Численные методы интегрирования 2.13. Химические реакции в потоке вещества 2.14. Моделирование явлений тепло- и массопереноса 2.15. Моделирование тепловых явлений 2.16. Тепловая работа аппарата с частичным теплообменом 3. Математические методы оптимизации технологических систем 3.1. Методы построения обобщённых критериев оптимальности 3.2. Классификация оптимизационных задач 3.3. Аналитические методы решения оптимизационных задач 3.4. Поисковые (численные) методы решения однофакторных оптимизационных задач 3.5. Поисковые методы решения многофакторных оптимизационных задач 3.6. Метод координатного спуска 3.7. Градиентные методы 3.8. Симплексные методы 3.9. Экспериментальные методы оптимизации 3.10. Методы линейного программирования 3.11. Решение задач линейного программирования Заключение ЛИТЕРАТУРА 1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учебник для вузов.- 3-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 2007. 2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Практикум. М.: Высшая школа, 1999. 3. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1985. 4. Цымбал В.П. Математическое моделирование металлургических процессов. М.: Металлургия, 1987. 5. Закгейм А.Ю. Введение в моделирование химико – технологических процессов. М.: Химия, 1982. 6. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс. М.: Радио и связь, 1988. 7. Банди Б. Основы линейного программирования. М.: Радио и связь, 1989. 8. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1986. 9. Введение в системный анализ теплофизических процессов: Учебное пособие для вузов/ Н.А.Спирин, В.С.Швыдкий, В.И.Лобанов, В.В.Лавров. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 1999, 205 с. 10. Оптимизация и идентификация технологических процессов в металлургии: Учебное пособие/ Н.А.Спирин, В.В.Лавров, С.И.Паршаков, С.Г.Денисенко. Екатеринбург, ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2006. 307 с. 11. Цымбал В.П. Математическое моделирование сложных систем в металлургии: Учебник для вузов/ В.П.Цымбал.-Кемерово; М.: Изд. Объед. «Российские университеты»: Кузбассвузиздат – АСТШ, 2006. 431 с. 12. Перегудов Ф.И., Тарасенко Ф.П. Введение в системный анализ: Учебное пособие для вузов.- М.: Высшая школа, 1989.-367 с.