Моделирование, модели и системы

Лекция 1. Основные понятия теории моделирования Задачи моделирования систем. Классификация. Основные понятия теории моделирования. Этапы создания модели. Основные направления применения моделей в задачах исследования и проектирования систем. Моделирование, модели и системы Сегодня мы начинаем курс, посвященный моделированию систем. Отвлечемся сначала от технической и математической направленности курса и рассмотрим его название с терминологической точки зрения. Моделирование – это создание и применение моделей. моделировании, сначала рассмотрим понятие модели. Прежде чем говорить о Модель в обыденном смысле: 1. Детская игрушка – модель корабля, самолета. 2. Объект серийного производства – модель телефона, фотоаппарата и пр. 3. Мир моды и искусства – фотомодель, модель на подиуме. Что характеризует применение данного термина? Во всех его смыслах мы абстрагируемся от одних свойств рассматриваемого объекта и заостряем внимание на других, возможно, с некоторой потерей точности полученной абстракции. Что абстрагируют приведенные примеры использования слова «модель» из обычной жизни? Система – совокупность, взаимосвязь составляющих её элементов, рассматриваемая во всей полноте присущих свойств. Это устройство, правила, общее и закономерное в противоположность частному и не поддающемуся рациональному описанию. Для чего нужно моделирование систем? систем, абстрагируясь от других. Очевидно, для исследования одних свойств Зачем нужно моделирование? Воспринимать явления во всей их полноте трудно, хотя и плодотворно для развития собственной личности. Человек, не забывающий о том, что толпа народа в метро – это не массив броуновских частиц, а живые люди со своими эмоциями, здоровьем, физической формой, одеждой, целями и потребностями – вряд ли станет толкаться и первый уступит место дедушке, мамаше с ребенком или просто молодому парню, который плохо себя чувствует. Насколько человеку присуще моделирование? Самая простая модель, которую вы когдалибо использовали – это натуральное число. Считая в школе на уроке математики яблоки в корзинке у Маши и складывая их с яблоками в корзинке у Вани, вы абстрагировались от сорта яблок, их цвета, вкуса, свежести, массы и всех остальных свойств. Вас интересовало только количество. А вот, например, в магазине определяющими свойствами яблок будут сорт и масса. Если задуматься, мы живем в мире моделей, которые сами же и построили. Глядя на мир вокруг нас, мы, во-первых, ожидаем подтверждения наших представлений, во-вторых, зачастую, не замечаем явлений, не охватываемых нашей моделью. Например, переходя улицу, мы рассчитываем на прямолинейное равномерное или замедляющееся движение автомобилей в границах проезжей части и нас мало интересует цвет автомобилей, пассажиры, сидящие в них, и содержание CO-CH в их выхлопе. Ситуация с нестандартно маневрирующим и резко ускоряющимся автомобилем зачастую оказывается шоковой, даже если не приводит к печальным последствиям. Таким образом, наша модель оказывается неточной дважды. Во-первых, она не полностью описывает объекты реального мира (автомобиль мы оцениваем как твердое тело с вектором скорости, что весьма приблизительно). Вовторых, модель неточна даже в аспектах, для которых она построена – обеспечение безопасного пересечения нами улицы. Любой модели свойственны:   Область применения. Вне этой области модель не имеет никакой ценности. Точность описания объектов и системы в рамках области применения. Про любую модель можно сказать, что она опосредована исследуемому объекту и используется для получения новых знаний об объекте. Однако, наши «внутренние» модели отличаются от рассматриваемых в рамках курса тем, что они неформальные. Мы не всегда можем объяснить, что и почему мы ожидаем от мира вокруг, как и для чего мы меняем наши модели. Классификация моделей Моделирование бывает различных видов:      концептуальное – система представляется в виде описания с помощью знаков, символов на естественных или искусственных языках; физическое – объект или процесс воспроизводятся с помощью другого объекта или процесса, обладающего схожими или подобными свойствами (изоморфизм – полное подобие, гомоморфизм – частичное подобие); примеры: аналоговый вычислительный комплекс (АВК), прибор управления артиллерийским зенитным огнем (ПУАЗО). структурно-функциональное – модели представляются в виде схем, графов, диаграмм, рисунков, таблиц, а также правил их применения – схемы UML, широко используемые в разработке программного обеспечения; математическое – модели представляются средствами математики и логики; имитационное (программное) – математическая модель или структурнофункциональное представляется в виде алгоритмов, исполняемых на компьютере. Теперь перейдем к рассмотрению моделей технических и прочих систем, поддающихся формализации. Сложные модели обладают следующими свойствами:     декомпозиция на простые; многовариантность; итеративность (поэтапное прохождение процессов); интерактивность (возможность оперативного вмешательства в ход моделирования). По типу организации объекты и системы могут быть:   организационно простые (механические, электрические, тепловые и пр.); организационно сложные (живой организм, биосфера, литосфера, социум);  беспорядочно сложные (химические и атмосферные процессы). Нас будут интересовать в основном технические системы, относящиеся к первому типу организации, однако рассматриваемые подходы применимы и для других типов. В то же время, специфика инженерной деятельности имеет целью активное влияние на систему или объект, поэтому далее под объектом мы всегда неявно будем подразумевать что-то управляемое извне, а под системой будем понимать систему автоматического управления, включающую как объекты, так и элементы, используемые для управления ими. Модели объектов и систем управления можно классифицировать по многим различным критериям. Например,        по структуре дифференциальных уравнений (линейные, нелинейные); по виду дифференциального оператора (с сосредоточенными, с распределенными параметрами); по характеру процессов в системе (детерминированные, стохастические); по числу входов-выходов (односвязные, многосвязные); по виду исчисления времени моделирования (дискретные, непрерывные); по способу использования знаний об объекте (обыкновенные, адаптивные); по зависимости от объекта (предсказывающие, автономные). Линейными называются дифференциальные уравнения, в которых дифференциальный оператор линейный: 𝐿(𝑦) ≡ 𝐴𝑛 (𝑥) 𝑑𝑛 𝑦 𝑑𝑦 + ⋯ + 𝐴1 (𝑥) + 𝐴0 (𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Общий вид дифференциального уравнения, записанного в операторной форме: 𝐿(𝑦) = 𝑓(𝑥) Пример линейного дифференциального уравнения: 𝑦 ′′ + 2𝑥 2 𝑦 ′ − 𝑦 = sin 𝑥 Если производная или сама дифференцируемая функция фигурирует в более сложных сочетаниях, то уравнение является нелинейным, методов точного решения которого в общем случае может не существовать. Пример нелинейного дифференциального уравнения: 𝑦 ′′ + (𝑦 ′ )2 − 𝑥𝑒 𝑦 = 1 Вхождения переменной, по которой производится дифференцирование, не влияют на линейность/нелинейность дифференциального уравнения. В теории управления этой переменной выступает время (определяющее динамические свойства системы) и координаты (для систем с распределенными параметрами). Если коэффициенты в дифференциальном операторе зависят от времени, такое уравнение называется нестационарным. Применительно к системам управления это означает изменение параметров системы во времени. Системы с сосредоточенными параметрами могут быть полностью описаны конечным числом параметров. К таким системам относятся все механические устройства с жесткими связями, а также множество систем с колебательным характером происходящих процессов, к которым относятся механические и электрические схемы. В некотором приближении к системам с сосредоточенными параметрами относятся термодинамические процессы, например, в рамках модели идеального газа. Системы с сосредоточенными параметрами могут быть описаны системами обыкновенных дифференциальных уравнений. В системах с распределенными параметрами динамика происходящих процессов не может быть описана конечным числом переменных. Например, нагреваемое трехмерное тело имеет различную температуру в каждой своей точке и температуры во времени проходит по-разному в каждой точке. Таким образом, искомая функция – дифференцируемая переменная – зависит от времени и от координаты в пространстве: 𝑢 = 𝑢(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) Процессы такого типа описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Например, класс уравнений, описывающих процессы распространение тепла в твердом теле, имеют вид: 𝜕𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 𝜕 2𝑢 2 − 𝑎 ( 2 + 2 + 2 ) = 𝑓(𝑡, 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Для таких уравнений также справедлива классификация стационарных/нестационарных систем в том случае, если коэффициенты уравнения зависят от времени. Кроме того, коэффициенты, определяющие свойства описываемого тела, могут иметь разное значение в разных точках пространства. Например, твердое тело может иметь элементы из материалов с разными теплопроводящими свойствами: металлов и пластика. Физические процессы и системы обычно описываются в непрерывном времени дифференциальными уравнениями. Однако многие процессы в информационных системах, а также при моделировании физических процессов на цифровых компьютерах представляются в дискретном времени. При описании таких процессов переменные рассматриваются только в отдельные моменты времени, каждый из которых принято обозначать целочисленным индексом: 𝑦(𝑡𝑘 ) → 𝑦𝑘 , 𝑡𝑘 = 𝑡𝑘−1 + ∆𝑡 Динамика изменения переменных во времени в этом случае описывается разностным уравнением. Некоторую аналогию с дифференциальным уравнением можно провести на следующем примере: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 Δ𝑦 = 𝑓(𝑡) Δ𝑡 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1 = 𝑓𝑘 𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 𝑦𝑘 − 𝑦𝑘−1 = 𝑓𝑘 ∆𝑡 = 1 Пример разностного уравнения, описывающего зависимость значение переменной в дискретном времени от предыдущего значения и внешнего переменного воздействия, приводится ниже: 𝑦𝑘 = 𝑦𝑘−1 + 𝑓𝑘 Разностные уравнения аналогично дифференциальным могут быть линейными или нелинейными, стационарными или нестационарными. Нестационарность в данном случае отражается зависимостью параметров модели от индекса времени Разностные уравнения используются при моделировании систем в дискретном времени с сосредоточенными (см. тему «Численные методы интегрирования») и распределенными параметрами (см. тему «Метод конечных разностей». Этапы моделирования Рассмотрим основные этапы моделирования: Объект Идентификация объекта Построение рабочей модели Проверка адекватности модели Использование модели  класс рассматриваемых физических явлений; Анализ известных  выявление управляющих, знаний возмущающих воздействий, помех и наблюдаемых величин;  параметры и связи, влияющие на поведение объекта. Построение формализованной  математический аппарат (ОДУ, модели ДУЧП). Упрощение модели  понижение размерности;  линеаризация;  смена вида модели. Реализация модели  макетирование;  конструирование;  программирование.  эксперименты, сопоставление по качественным и количественным показателям.  оптимальное управление;  параметрическая идентификация;  АСУТП, АСНИ, САПР.