Моделирование и управление в технологических системах

МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ УДК 621.643.052:620.97 Г. Г. Гоппе, канд. техн. наук, Иpкутский госудаpственный технический унивеpситет elprivod@istu.edu Математические модели технологического комплекса электpопpивод— туpбомеханизм— тpубопpоводная магистpаль Часть 2. Математические модели динамических пpоцессов пpи упpавлении пpоизводительностью методом дpосселиpования* Для отдельных устpойств и технологического комплекса в целом получены математические модели динамических пpоцессов пpи упpавлении пpоизводительностью методом дpосселиpования. Стpуктуpная схема системы упpавления исследована на ПЭВМ пpи отpаботке задающих воздействий. Ключевые слова: математическая модель, электpопpивод, туpбомеханизм, тpубопpоводная магистpаль, исполнительный механизм, дpосселиpование, стpуктуpная схема, pегулятоp. С испоëüзованиеì техноëоãи÷еских коìпëексов эëектpопpивоä—туpбоìеханизì—тpубопpовоäная ìаãистpаëü во все возpастаþщих объеìах тpанспоpтиpуется оãpоìное коëи÷ество жиäких и ãазообpазных пpоäуктов. Pанее в [1] быëи поëу÷ены стати÷еские хаpактеpистики коìпëекса äëя äвух способов упpавëения еãо пpоизвоäитеëüностüþ — äpоссеëиpованиеì и изìенениеì ÷астоты вpащения пpивоäноãо äвиãатеëя. Наpяäу со стати÷ескиìи pежиìаìи не ìенüøий интеpес вызываþт и äинаìи÷еские пpоöессы, котоpые пpоисхоäят в устpойствах коìпëекса пpи пеpехоäе от оäноãо установивøеãося pежиìа к äpуãоìу. В техноëоãи÷еских pежиìах боëüøинства пpоизвоäств объеìная поäа÷а тpанспоpтиpуеìой сpеäы в еäиниöу вpеìени иëи саìа явëяется упpавëяеìой * Частü 1 опубëикована в жуpнаëе "Мехатpоника, автоìатизаöия, упpавëение", № 10, 2009. 20 веëи÷иной, иëи с ее поìощüþ pеãуëиpуþтся äpуãие пеpеìенные — теìпеpатуpы, уpовни, конöентpаöии, äавëение и äp. Во всякоì сëу÷ае, и в пеpвоì, и особенно во втоpоì ваpианте пpоизвоäитеëüностü коìпëекса ìожет изìенятüся в äостато÷но øиpокоì äиапазоне. Поэтоìу показатеëи пеpехоäноãо пpоöесса от оäноãо зна÷ения пpоизвоäитеëüности к äpуãой äоëжны соответствоватü опpеäеëенныì тpебованияì по вpеìени, то÷ности отpаботки упpавëяþщих и возìущаþщих возäействий, зна÷енияì пеpеpеãуëиpования и äpуãиì показатеëяì. Дëя потоков жиäкостей особенно важныì явëяется отсутствие ãиäpоуäаpов и вибpаöий в ìаãистpаëи и туpбоìеханизìе. Достиãается это собëþäениеì опpеäеëенных законов изìенения выхоäной веëи÷ины во вpеìени. Отсþäа сëеäует, ÷то äëя pазpаботки эффективных систеì упpавëения pассìатpиваеìыì техноëоãи÷ескиì коìпëексоì необхоäиìо знатü äинаìи÷еские ìатеìати÷еские ìоäеëи. В них äоëжна отpажатüся взаиìосвязü выхоäных и пpоìежуто÷ных пеpеìенных веëи÷ин с упpавëяþщиìи и возìущаþщиìи возäействияìи, паpаìетpаìи саìоãо коìпëекса и тpанспоpтиpуеìой сpеäы во вpеìени. Цель настоящей pаботы состоит в тоì, ÷тобы на основании äинаìи÷еских ìоäеëей отäеëüных устpойств коìпëекса поëу÷итü ìатеìати÷ескуþ ìоäеëü систеìы упpавëения коìпëексоì в öеëоì и оöенитü ка÷ество упpавëения иì äëя ìетоäа äpоссеëиpования. Динамические модели отдельных устpойств комплекса Способ упpавëения пpоизвоäитеëüностüþ опpеäеëяет особенности уpавнений äинаìики отäеëüных устpойств и коìпëекса в öеëоì. Особенно это сказывается на ìоäеëи эëектpопpивоäа туpбоìеханизìа. Математическая модель асинхpонного двигателя (АД) В соответствии с усëовияìи экспëуатаöии туpбоìеханизìов они запускаþтся в pаботу пpи закpытой заäвижке на у÷астке наãнетания. Эëектpопpивоä pазãоняется äо установивøейся скоpости, опpеäеëяеìой ÷астотой и напpяжениеì питаþщей сети. На выхоäе туpбоìеханизìа устанавëивается Мехатроника, автоматизация, управление, № 12, 2009 напоp, соответствуþщий хоëостоìу хоäу (пpоизвоäитеëüности, pавной нуëþ). Посëе этоãо поëностüþ откpывается запоpная заäвижка на выхоäе туpбоìеханизìа. Но пpоизвоäитеëüностü на÷инает наpастатü тоëüко посëе откpытия pеãуëиpуþщеãо оpãана (заäвижки, кëапана и äp.). Обы÷но пpоöесс пеpвона÷аëüноãо запуска коìпëекса äо необхоäиìой пpоизвоäитеëüности выпоëняется пpи pазоìкнутой систеìе упpавëения. Опеpатоp иëи ìаøинист äистанöионно упpавëяет пpивоäоì испоëнитеëüноãо ìеханизìа äо тех поp, пока выхоäная веëи÷ина (пpоизвоäитеëüностü) не äостиãнет жеëаеìоãо на äанный ìоìент зна÷ения. Посëе этоãо пpивоä поäкëþ÷ается к pеãуëятоpу. В пpоöессе установëения необхоäиìой пpоизвоäитеëüности ÷астота вpащения эëектpопpивоäа (туpбоìеханизìа) изìеняется от хоëостоãо хоäа äо ноìинаëüной, ÷то на ëинейной ÷асти ìехани÷еской хаpактеpистики АД соответствует 1...2 % от установивøейся ÷астоты. В äаëüнейøеì же уже пpи автоìати÷ескоì упpавëении наãpузка эëектpопpивоäа пpи ìетоäе äpоссеëиpования äаже пpи зна÷итеëüноì снижении пpоизвоäитеëüности уìенüøается о÷енü ìаëо. Поэтоìу и откëонения от ноìинаëüной ÷астоты вращения буäут еще ìенüøе и составят äоëи пpоöента. По этой пpи÷ине в пеpехоäных pежиìах ÷астота вращения АД пpакти÷ески не изìеняется, ее с÷итаþт неизìенной и pавной ноìинаëüной (ωн). Математическая модель туpбомеханизма В техноëоãи÷ескоì коìпëексе туpбоìеханизì явëяется сpеäниì звеноì, взаиìоäействуþщиì, с оäной стоpоны, с эëектpопpивоäоì, а с äpуãой — с тpубопpовоäной ìаãистpаëüþ. От эëектpопpивоäа он поëу÷ает упpавëяþщее возäействие в виäе ÷астоты вpащения, пpеобpазует ее в зна÷ение напоpа и пеpеäает на вхоä ìаãистpаëи. Пpосëеживается и пpотивопоëожное, иëи обpатное, вëияние. Пpоизвоäитеëüностü тpубопpовоäа, зависящая поìиìо äавëения на вхоäе от еãо внутpенних свойств, вëияет по канаëу внутpенней обpатной связи на напоp туpбоìеханизìа. В своþ о÷еpеäü, туpбоìеханизì, нахоäясü на оäноì ваëу с эëектpопpивоäоì, увеëи÷ивает ìоìент инеpöии еãо вpащаþщихся ÷астей за с÷ет ìассы pабо÷еãо коëеса и объеìа вpащаþщейся жиäкости в коpпусе ìеханизìа. Поэтоìу ìатеìати÷еская ìоäеëü äинаìики туpбоìеханизìа иìеет такой же виä, как äëя стати÷ескоãо pежиìа, и äëя ìетоäа äpоссеëиpования пpеäставëяется как H = H0e – kQ 2, (1) Мехатроника, автоматизация, управление, № 12, 2009 ãäе H — напоp на выхоäе туpбоìеханизìа пpи Q > 0; H0e — напоp на выхоäе туpбоìеханизìа на хоëостоì хоäе пpи Q = 0; Q — пpоизвоäитеëüностü туpбоìеханизìа. Дëя тех пеpехоäных пpоöессов, в котоpых pаботает коìпëекс, пpи ìетоäе äpоссеëиpования веëи÷ина H0e пpиниìается постоянной, поскоëüку постоянной явëяется ÷астота вpащения эëектpопpивоäа и туpбоìеханизìа. Поэтоìу äинаìика пpоöессов в туpбоìеханизìе опpеäеëяется тоëüко хаpактеpоì изìенения во вpеìени пpоизвоäитеëüности тpубопpовоäа. Математическая модель потока тpанспоpтиpуемой сpеды В äинаìи÷еской ìатеìати÷еской ìоäеëи потока тpанспоpтиpуеìой сpеäы äоëжна отpажатüся взаиìосвязü ìежäу выхоäной веëи÷иной, свойстваìи саìой сpеäы, паpаìетpаìи тpубопpовоäа и pеãуëиpуþщей аппаpатуpы, упpавëяþщих и äpуãих возäействий пpи изìенении их во вpеìени. Основныì фактоpоì, опpеäеëяþщиì äинаìи÷еские показатеëи потока, явëяþтся еãо инеpöионные свойства. Они опpеäеëяþтся теì, ÷то пpи пеpехоäе от оäноãо зна÷ения пpоизвоäитеëüности к äpуãой äоëжна изìенятüся скоpостü той ìассы сpеäы, котоpая нахоäится в тpубопpовоäе. Дëя этоãо необхоäиìо потоку сообщитü (иëи отвести) äопоëнитеëüнуþ энеpãиþ. А поскоëüку ìощностü испоëüзуеìых исто÷ников энеpãии оãpани÷ена, то пpоöесс изìенения пpоизвоäитеëüности не ìожет бытü ìãновенныì и изìеняется в те÷ение некотоpоãо вpеìени. Дëя поëу÷ения уpавнения äинаìики потока äостато÷но в уpавнение Беpнуëëи äобавитü инеpöионнуþ составëяþщуþ. Дëя потока жиäкости äинаìи÷еская ìоäеëü поëу÷ена в виäе [2] 2 HS g dQ L Q ---- – [1 + λ ------ + Σξс + ξа(y)] ----------- ,(2) ----- = -------ус dt Lγ D ус 2LS ус ãäе Syc — пëощаäü внутpеннеãо попеpе÷ноãо се÷ения тpубопpовоäа; L — äëина напоpной ÷асти тpубопpовоäа; λ — уäеëüный коэффиöиент тpения о стенки тpубопpовоäа; Dyc — внутpенний äиаìетp тpубопpовоäа; γ — пëотностü пеpека÷иваеìой сpеäы; g — ускоpение свобоäноãо паäения; Σξс — суììаpный коэффиöиент сопpотивëения, вносиìый повоpотаìи и ìестныìи суженияìи тpубопpовоäа; ξа(y) — коэффиöиент сопpотивëения тpубопpовоäной аpìатуpы (заäвижек, кëапанов, кpанов); y — относитеëüное поëожение затвоpа pеãуëиpуþщеãо оpãана тpубопpовоäной аpìатуpы (y = 1 — поëностüþ откpыт, y = 0 — поëностüþ закpыт). 21 С то÷ки зpения упpавëения пpоизвоäитеëüностüþ ìетоäоì äpоссеëиpования наибоëüøий интеpес пpеäставëяет веëи÷ина ξа(y). Данный коэффиöиент опpеäеëяется поëожениеì затвоpа pеãуëиpуþщеãо оpãана: пpи поëностüþ откpытоì затвоpе (y = 1) ξа (y = 1) = min, пpи поëностüþ закpытоì (y = 0) — ξа (y = 0) = ∞; в пpоìежуто÷ных поëожениях (0 m y m 1) ∞ m ξа(y) m min. Отсþäа сëеäует, ÷то изìеняя относитеëüное поëожение затвоpа, ìожно упpавëятü пpоизвоäитеëüностüþ. В ка÷естве pеãуëиpуþщеãо оpãана испоëнитеëüных устpойств наибоëüøее пpиìенение иìеþт ìеханизìы с ëинейной pасхоäной хаpактеpистикой. Дëя воäы она иìеет сëеäуþщий виä: 2 20gS ξа(y) = -----------ус --- . 2 ( Q ус y ) (3) Из (2) виäно, ÷то äëя способа äpоссеëиpования пеpеìенной веëи÷иной, вëияþщей на пpоизвоäитеëüностü, явëяется составëяþщая ξа(y), а в (3) показан хаpактеp ее зависиìости от относитеëüноãо поëожения pеãуëиpуþщеãо оpãана. Оäнако пpи pаботе коìпëекса с такиì способоì упpавëения в соответствии с (1) изìеняется и напоp туpбоìеханизìа. Поэтоìу уpавнения (1), (2) и (3) сëеäует pеøитü совìестно. Но äëя (3) öеëесообpазно боëее поäpобно pассìотpетü ìетоä фоpìиpования упpавëяþщеãо возäействия — y. ãäе ω — ÷астота вpащения; Uф — ноìинаëüное напpяжение в сети; kä — постоянный коэффиöиент, опpеäеëяеìый ÷исëоì паp поëþсов АД и еãо ноìинаëüной скоpостüþ; Tì — ìехани÷еская постоянная вpеìени всех вpащаþщихся и пеpеìещаþщихся ìасс ìеханизìа пpи вpащении pотоpа АД. Опpеäеëитü Tì pас÷етныì путеì затpуäнитеëüно, но пpибëиженно ее ìожно пpинятü pавной 1/3 вpеìени pазãона äвиãатеëя. Посëеäнее обы÷но составëяет 0,1...0,15 с, поэтоìу ìожно с÷итатü Tì ≈ 0,05 с. Соотноøение (4) уäобнее пpеäставитü в опеpаöионной фоpìе в виäе k ω(s) = --------ä------ Uф(s), Tì s + 1 (5) k ãäе --------ä------ — пеpеäато÷ная функöия; s — опеpатоp Tì s + 1 Лапëаса; ω(s) и Uф(s) — изобpажения Лапëаса выхоäной и вхоäной веëи÷ин. Pеäуктоp öеëесообpазно pассìатpиватü в виäе интеãpатоpа, вхоäныì сиãнаëоì котоpоãо явëяется ÷астота вpащения АД, а выхоäныì — уãоë повоpота выхоäноãо ваëа pеäуктоpа, пpопоpöионаëüноãо относитеëüноìу поëожениþ pеãуëиpуþщеãо оpãана. Тоãäа tк y = kp ∫ ω(t)dt, (6) tн Математическая модель электpопpивода исполнительного механизма и pегулиpующего оpгана Pассìотpиì испоëüзование эëектpопpивоäа в ка÷естве пpивоäа испоëнитеëüноãо устpойства. Чаще всеãо это асинхpонный эëектpопpивоä, испоëüзуеìый в pежиìе pаботы с постоянной скоpостüþ. Пpи необхоäиìости пеpестановки pеãуëиpуþщеãо оpãана эëектpопpивоä поäкëþ÷ается к сети, pазãоняется äо ноìинаëüной скоpости и ÷еpез pеäуктоp обеспе÷ивает пеpеìещение затвоpа, изìеняя веëи÷ину y. Пpи откëþ÷ении эëектpопpивоäа от сети посëеäний тоpìозится выбеãоì, ÷то соответствует весüìа ìаëоìу пеpеìещениþ затвоpа — äоëи пpоöента от еãо поëноãо хоäа. Пpи таких усëовиях pаботы ìатеìати÷еская ìоäеëü АД в äинаìике ìожет бытü пpеäставëена ëинейныì äиффеpенöиаëüныì уpавнениеì пеpвоãо поpяäка с пpавой ÷астüþ виäа dω Tì ----- + ω = käUф, dt 22 (4) ãäе kp — коэффиöиент пpеобpазования уãëа повоpота ваëа pеäуктоpа в ëинейное пеpеìещение; tн, tк — соответственно вpеìя на÷аëа и окон÷ания вpащения ваëа АД пpи о÷еpеäноì вкëþ÷ении. Уpавнение (6) в опеpаöионной фоpìе пpиìет виä k y(s) = ---р- ω(s). s (7) Коэффиöиент kp опpеäеëяется ноìинаëüной ÷астотой вращения эëектpопpивоäа и вpеìенеì поëноãо пеpеìещения затвоpа из оäноãо кpайнеãо поëожения в äpуãое. Пpеäпоëожиì, ÷то ноìинаëüная ÷астота вращения АД pавна 1460 ìин–1, а вpеìя pаботы пpивоäа äëя поëноãо пеpеìещения от у = 1 äо у = 0 составëяет 40 с. Тоãäа поëный уãоë 2π1460 повоpота ваëа пpивоäа pавен ϕ = -------------- 40 = 60 1 = 6115,6 pаä, а kp = ------------ = 1,635•10–4. 6115,6 Мехатроника, автоматизация, управление, № 12, 2009 Устpойствоì, позвоëяþщиì изìеpятü относитеëüное поëожение затвоpа, явëяется äат÷ик поëожения. Есëи с÷итатü еãо безынеpöионныì устpойствоì с ëинейной øкаëой и обозна÷итü еãо выхоäной сиãнаë Uос, то еãо уpавнение записывается как Uoс = ky ос y. (8) Пpи pу÷ноì pежиìе опеpатоp, упpавëяя пpивоäоì испоëнитеëüноãо устpойства, откëþ÷ает еãо, оpиентиpуясü на показания äат÷ика. Пpи автоìати÷ескоì упpавëении веëи÷ины y иëи Uoс фоpìиpуþтся pеãуëятоpоì поëожения. Саìыì пpостыì äëя этих öеëей явëяется pеëейный pеãуëятоp с зоной не÷увствитеëüности. Пpинöип еãо äействия становится понятныì из пpивеäенной ниже стpуктуpной схеìы. Стpуктуpная схема системы упpавления комплексом с использованием способа дpосселиpования Стpуктуpная схеìа систеìы упpавëения явëяется спеöиаëüныì виäоì ìатеìати÷ескоãо описания, котоpая äает наãëяäное пpеäставëение о хаpактеpе пpеобpазования соответствуþщих веëи÷ин от вхоäа äо выхоäа систеìы. Стpуктуpная схеìа pазpаботана äëя сëу÷ая автоìати÷ескоãо упpавëения пpоизвоäитеëüностüþ. Пpеäпоëаãается систеìа поä÷иненноãо упpавëения, ãäе ãëавный pеãуëятоp — это pеãуëятоp пpоизвоäитеëüности, а поä÷иненный — pеãуëятоp относитеëüноãо поëожения pеãуëиpуþщеãо оpãана. В стpуктуpной схеìе пpеäставëены äанные äëя тpубопpовоäа äëиной L = 200 ì, внутpенниì äиаìетpоì Dyc = 0,1 ì, Qyc = 885 ì3/÷ = 0,2458 ì3/с, λ = 0,02. Данные туpбоìеханизìа: Qн = 197 ì3/÷ = = 0,0547 ì3/с, Hн = 1 МПа, H0е = 1,5 МПа, коэффиöиент k в (1) pавен 166,8•106. Данные эëектpопpивоäа испоëнитеëüноãо ìеханизìа пpивеäены выøе. Стpуктуpная схеìа систеìы упpавëения показана на pис. 1. В ка÷естве pеãуëятоpа пpоизвоäитеëüности öеëесообpазно испоëüзоватü ПИ-стpуктуpу. Это ãаpантиpует отсутствие оøибки pеãуëиpования в установивøеìся pежиìе. Pеëейный pеãуëятоp поëожения с зоной не÷увствитеëüности упpощает упpавëение эëектpопpивоäоì испоëнитеëüноãо ìеханизìа. Шиpина зоны не÷увствитеëüности устанавëивается исхоäя из зна÷ения выбеãа пpивоäа пpи откëþ÷ении еãо от сети. В пpивеäенноì пpиìеpе ε = ± 0,005, ÷то соответствует ±0,5 % от поëноãо относитеëüноãо пеpеìещения pеãуëиpуþщеãо оpãана. Есëи сиãнаë на вхоäе pеãуëятоpа пpевыøает +ε, то вкëþ÷ается пpивоä испоëнитеëüноãо ìеханизìа, и pеãуëиpуþщий оpãан пеpеìещается äëя боëüøеãо откpытия. Как тоëüко сиãнаë уìенüøается äо зна÷ения, ìенüøеãо ÷еì ε, пpивоä откëþ÷ается, и пpоäоëжается незна÷итеëüный выбеã. Пpи необхоäиìости снижения пpоизвоäитеëüности эëектpопpивоä вкëþ÷ается на pевеpс, и зна÷ение y уìенüøается. Матеìати÷еская ìоäеëü систеìы упpавëения в соответствии со стpуктуpной схеìой на pис. 1 pеаëизована в сpеäе Matlab пpи отpаботке заäаþщеãо возäействия в виäе ступен÷атых функöий вpеìени. Pис. 1. Стpуктуpная схема системы упpавления пpоизводительностью комплекса способом дpосселиpования Мехатроника, автоматизация, управление, № 12, 2009 23 Pис. 2. Pезультаты исследования стpуктуpной схемы пpи отpаботке задающих воздействий На pис. 2 показан хаpактеp изìенения во вpеìени некотоpых пеpеìенных систеìы упpавëения:  заäаþщеãо возäействия Uз;  пpоизвоäитеëüности коìпëекса Q;  ÷астоты вpащения эëектpопpивоäа испоëнитеëüноãо ìеханизìа ω;  пеpеìещения затвоpа pеãуëиpуþщеãо оpãана y;  изìенения äавëения на выхоäе туpбоìеханизìа H. Повеäение pяäа pассìотpенных пеpеìенных ìожно быëо пpеäсказатü на основе их äинаìи÷еских ìоäеëей. В ÷астности, пpи отpаботке заäаþщих возäействий äëя ìаëых зна÷ений пpоизвоäитеëüности пеpехоäный пpоöесс закан÷ивается äостато÷но быстpо из-за высоких зна÷ений коэффиöиента усиëения стати÷еской хаpактеpистики коìпëекса. Дëя относитеëüной же пpоизвоäитеëüности в äиапазоне 0,8...1,0 коэффиöиент усиëения существенно ниже. Поэтоìу в автоìати÷еской систеìе отpаботка их тpебует зна÷итеëüноãо вpеìени. Чтобы ускоpитü этот пpоöесс, öеëесообpазна пеpенастpойка паpаìетpов pеãуëятоpов. На pис. 2 показана пеpенастpойка коэффиöиента интеãpаëüной ÷асти pеãуëятоpа в äиапазоне 0,8...1,0. Есëи äëя 24 пpоизвоäитеëüности 0...0,8 она составëяëа 0,1, то äëя названноãо выøе äиапазона — 1. Вpеìя отpаботки пpи этоì существенно уìенüøиëосü. В закëþ÷ение ìожно отìетитü сëеäуþщее: поëу÷ены и иссëеäованы äинаìи÷еские ìатеìати÷еские ìоäеëи техноëоãи÷ескоãо коìпëекса эëектpопpивоä—туpбоìеханизì—тpубопpовоäная ìаãистpаëü. Они показаëи своþ pаботоспособностü во всеì äиапазоне упpавëения пpоизвоäитеëüностüþ, но пpи этоì пpоявиëасü особенностü, хаpактеpная äëя стати÷еских хаpактеpистик, — зна÷итеëüное изìенение коэффиöиента усиëения. Посëеäнее äиктует öеëесообpазностü испоëüзования саìонастpойки паpаìетpов pеãуëятоpов. Список литеpатуpы 1. Гоппе Г. Г. Матеìати÷еские ìоäеëи техноëоãи÷ескоãо коìпëекса эëектpопpивоä—туpбоìеханизì—тpубопpовоäная ìаãистpаëü. Частü 1. Статисти÷еские pежиìы пpи äвух способах упpавëения пpоизвоäитеëüностüþ // Мехатpоника, автоìатизаöия, упpавëение. № 10. 2009. 2. Гоппе Г. Г. Матеìати÷еская ìоäеëü pасхоäа потоков жиäкостей в тpубопpовоäах как звено САP // Автоìатизаöия хиìи÷еских пpоизвоäств. М.: НИИТЭХИМ. 1973. № 4. С. 32—43. Мехатроника, автоматизация, управление, № 12, 2009