Модель простейшего нелинейного объекта

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Системы технологического управления Лекция №11 Доц., к.ф.-м.н. Ефремов А. А. Санкт-Петербург Модель простейшего нелинейного объекта Линейные модели подчиняются принципу суперпозиции Находим частные решения суммируем как правило, получаем общее решение Для нелинейных моделей принцип суперпозиции неприменим Общее решение можно найти лишь в редких случаях. Отдельные частные решения нелинейных уравнении могут не отражать характер поведения объекта в более общей ситуации. 2 Источники нелинейности различны Например фундаментальные законы природы: 3 Источники нелинейности различны 4 Источники нелинейности различны Оба фундаментальных закона изначально нелинейны (квадратичная зависимость силы взаимодействия между массами или зарядами), и потому основанные на них модели, вообще говоря, также нелинейны. Свой вклад в нелинейность моделей могут вносить сложная геометрия явления или различные внешние воздействия, а так же изменение характера взаимодействия в самом объекте при изменении его состояния В сущности, реальным явлениям отвечают только нелинейные модели, а линейные справедливы лишь при описании незначительных изменений величин, характеризующих объект. 5 Модель Мальтуса. скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N ( t) , умноженной на сумму коэффициентов рождаемости α(t) ≥ 0 и смертности β(t) ≤ 0. . dN (t ) = [ (t ) −  (t )]N (t ) dt Интегрирование уравнения дает решение ( N (t ) = N (0) exp  tt0 [ (t ) −  (t )]dt ) 6 Модель Мальтуса. На приведены графики функции N(t) при постоянных α и β (разным подобным друг другу кривым соответствуют разные t0 значения времени начала процесса). При α = β численность остается постоянной, т. е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина N ( t) = N (0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α = β приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N(t) от равновесного значения N(0). 7 Источники нелинейности различны В отличие от модели Мальтуса коэффициент рождаемости будем считать зависящим от численности популяции N(t), т. е. α = α(N). Коэффициент смертности β также зависит от N. Уравнение динамики популяции нелинейно благодаря изменению характеристик взаимодействия внутри популяции при изменении ее состояния. dN = ( ( N ) −  ( N )) N dt Положим для определенности β(N) = β0 = const, α(N) = α0N, т. е. рождаемость пропорциональна численности (например, потому что члены популяции заинтересованы в ее росте). Тогда уравнение преобразуется к виду с квадратичной нелинейностью dN =  0 N 2 − 0 N dt 8 Рассмотрим поведение функции N(t) при различных начальных численностях N (0) = N0 При N0 < Nкр = β0/α0 численность монотонно уменьшается со временем, стремясь к нулю при t →∞. 9 При критическом значении N0 = Nкр численность популяции не зависит от времени 10 При N0 > Nкр характер решения принципиально изменяется по сравнению со случаями а) и б): численность растет со временем, причем настолько быстро, что обращается в бесконечность за конечное время t = t1. Величина t1 тем меньше, чем больше N0 . 11 При N0 > Nкр Нелинейность рассмотренного уравнения порождает большое разнообразие эффектов, содержащихся даже в простейшей модели: три возможных режима изменения численности со временем + неустоичивость режима при малых отклонениях α0 и β0 12