Модель Хотеллинга –– Даунса и модель Курно

Модель Хотеллинга –– Даунса и модель Курно Дмитрий Дагаев НИУ Высшая школа экономики О моделях Модель ▶ Если мы хотим проанализировать реальную ситуацию, то должны сначала создать модель, формализовав эту ситуацию на языке теории игр. ▶ Затем –– абстрагироваться от ситуации и решить формальную модель. Чем проще, тем лучше ▶ Хорошая модель фиксирует лишь суть исследуемой ситуации и игнорирует все несущественные детали. Модель не должна объяснять всё на свете! Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 2 / 78 О чем эта лекция? В этой лекции мы обсудим две классические модели: 1. Модель Хотеллинга –– Даунса –– модель предвыборной конкуренции кандидатов (партий). 2. Модель Курно –– модель олигополистической конкуренции фирм. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 3 / 78 Модель Хотеллинга –– Даунса Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 4 / 78 История ▶ 1929 –– модель впервые появляется в статье Гарольда Хотеллинга «Стабильность конкуренции»1 . Хотеллинг рассматривал экономические примеры, но отмечал, что его модель хорошо объясняет также и политическую конкуренцию. ▶ 1 2 1957 –– Энтони Даунс в своей книге «Экономическая теория демократии»2 расширил и популяризовал модель, предложенную Хотеллингом. Hotelling, H. (1929). Stability in Competition. The Economic Journal, 39(153), 41–57. Downs, A. (1957). An economic theory of democracy. New York: Harper. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 5 / 78 Идея Представим себе следующую ситуацию: ▶ В стране N с двухпартийной системой намечаются парламентские выборы. ▶ На повестке дня вопрос о степени вмешательства государства в экономику. ▶ Какую позицию по этому вопросу займет каждая из двух главных партий? На этот и другие похожие вопросы дает ответ модель Хотеллинга –– Даунса. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 6 / 78 Модель Хотеллинга –– Даунса Что представляет собой эта модель? Одновременную игру, в которой игроки –– кандидаты или партии 3 –– выбирают свои политические позиции. Приведем формальное описание этой игры. 3 Далее любого игрока в этой игре будем называть кандидатом. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 7 / 78 Формальное описание Политическое пространство Политическое пространство одномерно –– существует один основной вопрос выборов, и множество всех возможных позиций по этому вопросу можно изобразить в виде отрезка [0, 1]. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 8 / 78 Формальное описание Пример Представим множество всех возможных позиций по вопросу о вмешательстве государства в экономику в виде отрезка [0, 1]: 1 Начало отрезка соответствует позиции «никакого вмешательства», конец –– позиции «максимально возможное вмешательство». Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 9 / 78 Формальное описание Кандидаты ▶ P = {A, B} –– множество кандидатов. ▶ Каждый кандидат выбирает свою позицию по основному вопросу выборов. ▶ Множества позиций, доступных кандидатам A и B соответственно: SA = {a | a ∈ [0, 1]}, ▶ SB = {b | b ∈ [0, 1]}. Кандидаты максимизируют вероятность победы на выборах. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 10 / 78 Формальное описание Пример a b 1 Кандидат A мог бы, например, выбрать позицию a = 0,2 из множества всех своих возможных позиций, а кандидат B мог бы выбрать позицию b = 0,8. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 11 / 78 Формальное описание Избиратели ▶ I –– континуум избирателей. ▶ Каждый избиратель i имеет идеальную точку xi –– собственную позицию по основному вопросу выборов. ▶ Через m обозначим идеальную точку медианного избирателя (избирателя с медианной позицией, то есть такой, что ровно половина избирателей имеет позиции не больше m, половина –– не меньше m). ▶ Идеальные точки избирателей распределены непрерывно и равномерно на отрезке [0, 1]. В этом случае m = 0,5. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 12 / 78 Формальное описание Пример xL m 1 Пусть, например, избиратель Леня имеет идеальную точку xL = 0,3. Медианный избиратель имеет идеальную точку m = 0,5. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 13 / 78 Формальное описание Платежи избирателей ▶ Платеж избирателя i в случае, если выигрывает кандидат, занимающий позицию x, равен ui (x) = −|x − xi |. ▶ Это означает, что чем ближе позиция кандидата к позиции избирателя, тем больший платеж получает избиратель. ▶ Следовательно, каждый избиратель предпочитает того кандидата, позиция которого наиболее близка к его собственной. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 14 / 78 Формальное описание Пример. a = 0,2, xL = 0,3, b = 0,8. a xL b 1 uL (a) = −|a − xL | = −|0,2 − 0,3| = −0,1; uL (b) = −|b − xL | = −|0,8 − 0,3| = −0,5. Леня предпочитает кандидата A, так как позиция кандидата A наиболее близка к его собственной. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 15 / 78 Формальное описание Как голосуют избиратели? ▶ Избиратели голосуют правдиво (нестратегически) –– выбирают того кандидата, позиция которого им наиболее близка. ▶ Если позиции кандидатов одинаково близки избирателю, то он определяет, за кого голосовать, в честной лотерее. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 16 / 78 Формальное описание Пример. a = 0,2, xL = 0,3, m = 0,5, b = 0,8. a xL m b 1 Леня проголосует за кандидата A, а медианный избиратель с вероятностью 1/2 проголосует за кандидата A, с вероятностью 1/2 –– за кандидата B. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 17 / 78 Формальное описание Кто выигрывает выборы? ▶ Выигрывает кандидат, получивший большинство голосов. ▶ Если кандидаты получили одинаковое число голосов, то победитель определяется в честной лотерее. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 18 / 78 Предпосылки модели Подчеркнем основные предпосылки модели, которые мы сделали: ▶ Политическое пространство одномерно. ▶ Конкурируют два кандидата. ▶ Кандидаты максимизируют вероятность победы на выборах. ▶ Идеальные точки избирателей распределены непрерывно и равномерно. ▶ Избиратели голосуют нестратегически. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 19 / 78 Решение модели ▶ Теперь мы хотим решить модель –– понять, какие позиции кандидаты будут выбирать в равновесии. ▶ Будем использовать концепцию равновесия Нэша. ▶ Начнем с обсуждения нескольких примеров. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 20 / 78 Решение модели Пример 1. Продолжим разбирать пример, в котором a = 0,2, b = 0,8. (a+b) 2 a b голосуют за A 1 голосуют за B Кандидаты A и B набирают поровну голосов –– каждый из них побеждает с вероятностью 1/2. Является ли такая ситуация равновесной? Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 21 / 78 Решение модели Пример 1. Продолжим разбирать пример, в котором a = 0,2, b = 0,8. a b 1 Нет: например, если кандидат A сдвинется и займет позицию чуть левее b, то сможет гарантированно победить. Позиция a = 0,2 не является наилучшим ответом кандидата A при фиксированной позиции b = 0,8 кандидата B. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 21 / 78 Решение модели Пример 2. Пусть a = 0,1, b = 0,4. (a+b) 2 a голосуют за A b 1 голосуют за B В этом случае гарантированно побеждает кандидат B. Является ли такая ситуация равновесной? Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 22 / 78 Решение модели Пример 2. Пусть a = 0,1, b = 0,4. a b 1 Нет: если кандидат A займет позицию немного правее b, то сможет гарантированно победить. Позиция a = 0,1 не является наилучшим ответом кандидата A при фиксированной позиции b = 0,4 кандидата B. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 22 / 78 Решение модели Пример 3. Пусть a = b = 0,5. a b 1 В этом случае фиксируется ничья между кандидатами A и B, и победитель определяется в честной лотерее. Является ли такая ситуация равновесной? Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 23 / 78 Решение модели Пример 3. Пусть a = b = 0,5. (a+b′ ) 2 a голосуют за A b′ 1 голосуют за B Да! Если кто-нибудь из кандидатов решит занять любую отличную от 0,5 позицию, то гарантированно проиграет: другой получит больше половины голосов. Профиль (0,5, 0,5) –– это равновесие Нэша. А есть ли какой-нибудь другой профиль, являющийся равновесием? Проверим. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 23 / 78 Решение модели Пусть кандидаты заняли такие позиции, что один из них гарантированно проигрывает. Может ли такой профиль являться равновесием? 1) 2) Дмитрий Дагаев a b 1 НИУ ВШЭ a b 1 24 / 78 Решение модели Пусть кандидаты заняли такие позиции, что один из них гарантированно проигрывает. Может ли такой профиль являться равновесием? 1) 2) a b 1 a b 1 Нет! Проигрывающий кандидат всегда может улучшить свое положение, сдвинувшись в точку 0,5. Тогда: или 1) он выиграет выборы (если другой кандидат выбрал не 0,5), или 2) будет ничья (если другой выбрал 0,5). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 24 / 78 Решение модели Пусть кандидаты заняли такие позиции, что возникла ничья. Это возможно в двух случаях: 1) позиции одинаковые, 2) позиции симметричные относительно точки 0,5. Может ли такой профиль являться равновесием? 1) 2) Дмитрий Дагаев a b 1 НИУ ВШЭ a b 1 25 / 78 Решение модели Пусть кандидаты заняли такие позиции, что возникла ничья. Это возможно в двух случаях: 1) позиции одинаковые, 2) позиции симметричные относительно точки 0,5. Может ли такой профиль являться равновесием? 1) 2) a b 1 a b 1 Нет! Любой кандидат всегда может улучшить свое положение, сдвинувшись в точку 0,5, где он гарантированно выиграет. Значит, не существует никакого отличного от (0,5, 0,5) профиля, который являлся бы равновесием в этой модели. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 25 / 78 Решение модели Равновесие ▶ Единственное равновесие в этой модели –– профиль (0,5, 0,5), любой другой профиль равновесием не является. ▶ Позиция 0,5 –– это позиция медианного избирателя: конкуренция между двумя кандидатами приводит к тому, что каждый кандидат стремится занять позицию медианного избирателя. ▶ Этот результат объясняет, например, схожесть политических программ ведущих партий в двухпартийной системе или сближение позиций кандидатов на пост президента перед вторым туром выборов. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 26 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о числе кандидатов Рассмотрим модель с тремя кандидатами: A, B и C. Является ли равновесной ситуация, когда каждый кандидат занимает позицию медианного избирателя? Дмитрий Дагаев a b c НИУ ВШЭ 1 27 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о числе кандидатов Рассмотрим модель с тремя кандидатами: A, B и C. Является ли равновесной ситуация, когда каждый кандидат занимает позицию медианного избирателя? a b c 1 Нет! Любой кандидат может гарантировать себе победу, если сдвинется чуть правее или чуть левее: за него проголосует почти половина избирателей, а оставшиеся голоса поделят поровну два других кандидата. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 27 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о числе кандидатов Пусть a = 0,15, b = 0,3, c = 0,7. Является ли равновесием такой выбор позиций кандидатами? Дмитрий Дагаев a c b НИУ ВШЭ 1 28 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о числе кандидатов Пусть a = 0,15, b = 0,3, c = 0,7. Является ли равновесием такой выбор позиций кандидатами? a c b 1 Да: ни одному из кандидатов нет смысла менять свою позицию (проверьте!). Этот результат объясняет, почему, например, в многопартийных системах конкурирующие партии могут быть очень непохожи друг на друга. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 28 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о распределении идеальных точек Рассмотрим модель с двумя кандидатами и неравномерным распределением идеальных точек избирателей. Профиль (0,5, 0,5) –– это равновесие? Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 29 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о распределении идеальных точек Рассмотрим модель с двумя кандидатами и неравномерным распределением идеальных точек избирателей. Профиль (0,5, 0,5) –– это равновесие? Нет! Сдвинувшись чуть левее, любой кандидат гарантирует себе победу. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 29 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о распределении идеальных точек Равновесием в этой модели является профиль (m, m). Каждый кандидат занимает позицию медианного избирателя (но это уже не 0,5). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 30 / 78 Устойчивость результата к изменению предпосылок Предпосылка о распределении идеальных точек ▶ Более того, оказывается, что равновесие в модели с любым распределением идеальных точек избирателей –– это профиль (m, m). ▶ Результат о медианном избирателе устойчив к изменению предпосылки о распределении идеальных точек. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 31 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) 15 июня 2014 г. состоялся второй тур президентских выборов, в который прошли Оскар Иван Сулуага (29,25 % в первом туре) и Хуан Мануэль Сантос (25,69 %). Juan Manuel Santos by Ministerio TIC Colombia / CC BY 2.0 Дмитрий Дагаев Óscar Iván Zuluaga by Politécnico Grancolombiano Departamento de Comunicaciones / CC BY-NC 2.0 НИУ ВШЭ 32 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Основной вопрос выборов Вопрос о дальнейшей судьбе затянувшихся мирных переговоров между властями Колумбии и леворадикальной повстанческой группировкой FARC. Политическое пространство Отрезок, начало которого соответствует позиции «продолжить переговоры и заключить мир на любых условиях», конец –– позиции «немедленно прекратить переговоры и начать активные военные действия». Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 33 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Медианный избиратель По результатам опросов, большинство избирателей поддерживало продолжение мирных переговоров с FARC (в мае –– 64 %, в июне –– 72 %) 4 . Медианный избиратель занимал позицию где-то ближе к началу отрезка: 4 m 1 (2014, July 4). Encuestas: crece apoyo al proceso de paz. Semana. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 34 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Позиция Сантоса ▶ На протяжении всей кампании выступал активным сторонником продолжения мирных переговоров. ▶ Ради заключения мира готов был пойти на значительные уступки (например, позволить членам FARC занять места в Конгрессе). ▶ Главный конкурент упрекал Сантоса в том, что он занимает слишком мягкую позицию и хочет «мира с освобождением виновных от наказания», однако во время дебатов Сантос опровергал это 5 . 5 Blanco, S., & Reyes, E. (2014, June 10). Colombian candidates wrestle over FARC negotiations in TV debate. El País. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 35 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Позиция Сантоса Отметим условно позицию, которую на протяжении всей избирательной кампании занимал Сантос: Сантос Дмитрий Дагаев m 1 НИУ ВШЭ 36 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Позиция Сулуаги перед первым туром ▶ Утверждал, что «демократическое государство не садится за переговоры с наркотеррористами»6 . ▶ Угрожал остановить мирные переговоры с FARC в первый же день своего прихода к власти. ▶ Выступал скорее сторонником силового решения конфликта. 6 Brodzinsky, S. (2014, May 22). Farc peace talks may tip balance in tight Colombian presidential race. The Guardian. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 37 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Позиция Сулуаги перед первым туром Отметим условно его позицию перед первым туром выборов: Сулуага Сантос Дмитрий Дагаев m 1 НИУ ВШЭ 38 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Изменение позиции Сулуаги перед вторым туром ▶ Объявил, что не будет останавливать переговоры, но FARC должна будет прекратить боевые действия и преступную деятельность в течение месяца. ▶ Выступал за мир с условиями и наказанием всех виновных. ▶ Такое смягчение позиции соперника Сантос назвал политиканством. «Теперь оказывается, что они друзья мира и за продолжающиеся переговоры, хотя и выдвигают такие условия, которые невозможно выполнить»7 . 7 Symmes Cobb, J., & Murphy, P. (2014, May 29). Colombia’s Zuluaga Softens on FARC Peace Talks Ahead of Run-Off Vote. The New York Times. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 39 / 78 Президентские выборы в Колумбии (2014) Сближение позиций кандидатов перед вторым туром Перед вторым туром Сулуага, понявший, что большинство избирателей хочет мира, начал смещаться в сторону медианного избирателя: Сулуага Сантос m 1 Этого, однако, оказалось недостаточно для победы –– президентом Колумбии был переизбран Сантос, набравший 50,95 % голосов (Сулуага набрал 45,00 %). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 40 / 78 Модель Курно Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 41 / 78 Модель Курно: идея Представим себе следующую ситуацию: ▶ В городе N работают две фирмы, производящие сок. ▶ Как устроена конкуренция между ними? ▶ Для того чтобы ответить на этот вопрос, построим модель. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 42 / 78 Модель Курно: идея Чтобы смоделировать взаимодействие двух агентов, мы должны ответить на два следующих вопроса: 1. Что хочет получить каждый из агентов? 2. Какие действия он может совершить, чтобы добиться наилучшего для себя исхода? Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 43 / 78 Модель Курно: идея Предположения модели 1. Каждая из фирм максимизирует свою прибыль. 2. Каждая из фирм может выбрать, какой выпуск ей произвести. 3. Решения об уровнях выпуска принимаются фирмами одновременно и независимо. Одна фирма не может «подстроиться» под выпуск другой. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 44 / 78 Модель Курно: идея Стратегии ▶ Множество стратегий первой фирмы: q1 ∈ [0,1). ▶ Множество стратегий второй фирмы: q2 ∈ [0,1). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 45 / 78 Модель Курно: идея Платежи Прибыль = Доходы − Расходы π = pq − cq Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 46 / 78 Модель Курно: идея Платежи Прибыль = Доходы − Расходы π = pq − cq ▶ p — рыночная цена. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 47 / 78 Модель Курно: идея Платежи Прибыль = Доходы − Расходы π = pq − cq ▶ q — выпуск фирмы. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 48 / 78 Модель Курно: идея Платежи Прибыль = Доходы − Расходы π = pq − cq ▶ c — издержки на производство единицы продукции. ▶ Предполагаем, что c = 0. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 49 / 78 Модель Курно: идея Рыночная цена ▶ Рыночная цена устанавливается на уровне p = 1 − (q1 + q2 ), где q1 –– выпуск первой фирмы, а q2 –– выпуск второй. ▶ Рыночная цена отрицательно зависит от общего выпуска двух фирм. ▶ Если, например, q1 = q2 = 0, то рыночная цена равна ▶ p = 1 − (0 + 0) = 1 1 Если q1 + q2 = , то рыночная цена равна 2 1 1 p=1− = 2 2 Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 50 / 78 Модель Курно: идея ▶ 8 Модель с подобным механизмом, в которой фирмы одновременно выбирают уровни выпуска, что приводит к установлению определенной рыночной цены, была предложена в 1838 году французским математиком Антуаном Огюстеном Курно 8 . Antoine Augustin Cournot, Recherches sur les Principes Mathematiques de la Theorie des Richesses (1838) Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 51 / 78 Модель Курно: идея ▶ Заметим, что мы описали модель в предельно упрощенном виде: с нулевыми издержками и линейной зависимостью цены от суммарного выпуска. ▶ Теперь, после того как мы сформулировали основные предпосылки модели, решим ее. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 52 / 78 Модель Курно: численные примеры Что значит «решить модель»? ▶ Будем использовать концепцию равновесия Нэша. ▶ Ищем равновесный профиль (q1 , q2 ). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 53 / 78 Модель Курно: численные примеры Пусть q1 = 0,2, q2 = 0,3. Прибыли фирм: ▶ π1 = (1 − q1 − q2 )q1 = (1 − 0,2 − 0,3) · 0,2 = 0,1 ▶ π2 = (1 − q1 − q2 )q2 = (1 − 0,2 − 0,3) · 0,3 = 0,15 Равновесная ли это ситуация? ▶ Нет. ▶ Первая фирма может увеличить выпуск на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до π1 = (1 − 0,3 − 0,3) · 0,3 = 0,12. ▶ Вторая фирма может увеличить выпуск на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до π2 = (1 − 0,2 − 0,4) · 0,4 = 0,16. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 54 / 78 Модель Курно: численные примеры Может, просто нужно, чтобы выполнялось q1 = q2 ? Пусть q1 = 0,4, q2 = 0,4. Прибыли фирм: ▶ π1 = (1 − q1 − q2 )q1 = (1 − 0,4 − 0,4) · 0,4 = 0,08 ▶ π2 = (1 − q1 − q2 )q2 = (1 − 0,4 − 0,4) · 0,4 = 0,08 Равновесная ли это ситуация? ▶ Нет. ▶ Первая фирма может уменьшить выпуск на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до π1 = (1 − 0,3 − 0,4) · 0,3 = 0,09. ▶ То же самое может сделать и вторая фирма. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 55 / 78 Модель Курно: численные примеры А что, если q1 значительно больше q2 ? Пусть q1 = 0,6, q2 = 0,1. Тогда прибыли фирм равны: ▶ π1 = (1 − q1 − q2 )q1 = (1 − 0,6 − 0,1) · 0,6 = 0,18 ▶ π2 = (1 − q1 − q2 )q2 = (1 − 0,6 − 0,1) · 0,1 = 0,03 Равновесная ли это ситуация? ▶ Нет. ▶ Первая фирма может уменьшить выпуск на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до π1 = (1 − 0,5 − 0,1) · 0,5 = 0,2. ▶ Второй же выгодно увеличить выпуск на 0,1, и тогда ее прибыль вырастет до π2 = (1 − 0,6 − 0,2) · 0,2 = 0,04. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 56 / 78 Модель Курно: численные примеры Кажется, происходит примерно следующее: ▶ если обе фирмы производят маленький выпуск, то каждой выгодно увеличить выпуск; ▶ если обе производят большой выпуск, то каждой выгодно снизить выпуск. ▶ Из этого можно сделать предположение, что равновесие будет где-то посередине. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 57 / 78 Модель Курно: численные примеры ▶ Эта ситуация возникает из-за того, что когда, например, первая фирма увеличивает выпуск, то на ее прибыль, равную pq1 = (1 − q1 − q2 )q1 , влияет как то, что увеличился ее выпуск q1 , так и то, что снизилась цена p, равная 1 − q1 − q2 . ▶ Прибыль фирмы может как упасть, так и увеличиться. ▶ В итоге равновесной должна быть такая ситуация, в которой для обеих фирм влияние эффекта «увеличил свой выпуск q» совпадет с влиянием эффекта «снизилась рыночная цена p». Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 58 / 78 Модель Курно: численные примеры ▶ Теперь решим задачи максимизации прибыли для обеих фирм и выведем условие на выпуски фирм в равновесии. ▶ Проверим, будет ли получившееся равновесие соответствовать тем интуитивным рассуждениям, которые мы провели, обсуждая численные примеры. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 59 / 78 Модель Курно: решение ▶ Так как фирмы принимают решение о выпуске независимо, то каждая из них воспринимает выпуск другой как заданный и, исходя из этого, максимизирует свою прибыль. ▶ Запишем прибыль первой фирмы: π1 = pq1 = (1 − q1 − q2 )q1 = (1 − q2 )q1 − q21 → max q1 ▶ Графиком функции прибыли первой фирмы является парабола, ветви которой направлены вниз. ▶ Заметим также, что прибыль первой фирмы зависит от выпуска второй фирмы q2 . Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 60 / 78 Модель Курно: решение Ниже приведены графики функции прибыли первой фирмы в зависимости от разных q2 . Заметим, что оптимальный выпуск первой фирмы отрицательно зависит от q2 . Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 61 / 78 Модель Курно: решение ▶ Найдем q1 , являющийся координатой вершины параболы π1 = (1 − q1 − q2 )q1 = (1 − q2 )q1 − q21 → max q1 ▶ Таким образом, оптимальный выпуск первой фирмы равен: q∗1 = Дмитрий Дагаев 1 − q2 2 НИУ ВШЭ 62 / 78 Модель Курно: решение ▶ ▶ Если вторая фирма произведет количество товара q2 , то первой фирме будет выгодно произвести ровно 1 − q2 q∗1 = 2 Зависимость оптимального выпуска первой фирмы от выпуска второй фирмы часто называют кривой реакции первой фирмы на выпуск второй. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 63 / 78 Модель Курно: решение ▶ Мы в явном виде получили зависимость q∗1 от q2 . ▶ Эта зависимость отрицательная. ▶ Чем больше q2 , тем ниже рыночная цена p = 1 − q1 − q2 для каждого выпуска q1 первой фирмы. ▶ Из этого следует, что первая фирма получает за каждую следующую произведенную единицу продукции меньше, а значит, ей выгодно производить меньше товара. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 64 / 78 Модель Курно: решение ▶ Графиком функции прибыли второй фирмы также является парабола, ветви которой направлены вниз, значит, максимум достигается в вершине. π2 = pq2 = (1 − q1 − q2 )q2 → max q2 ▶ Найдем координату вершины параболы. q∗2 = ▶ Значит, если первая фирма произведет количество товара q1 , то второй фирме будет выгодно произвести ровно q∗2 = ▶ 1 − q1 2 1 − q1 2 Это и есть кривая реакции второй фирмы на выпуск первой. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 65 / 78 Модель Курно: решение ▶ В равновесии должны выполняться оба условия:   ∗ 1 − q   2 ∗ q1 = q∗1 =   2 ⇔ ∗     q∗2 = 1 − q1 q∗2 = 2 Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 1 3 1 3 66 / 78 Модель Курно: решение ▶ Что значит, что кривые реакции обеих фирм пересекаются в точке (q∗1 , q∗2 ) = (1/3, 1/3)? ▶ Это значит, что если вторая фирма произведет q∗2 = 1/3, то наилучшим решением для первой фирмы будет произвести q∗1 = 1/3. ▶ И наоборот, если первая фирма произведет q∗1 = 1/3, то вторая фирма получит наибольшую прибыль, если произведет q∗2 = 1/3. ▶ Таким образом, (q∗1 , q∗2 ) = (1/3, 1/3) –– равновесие Нэша. ▶ Оно называется равновесием Курно. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 67 / 78 Модель Курно: решение ▶ Если обе фирмы производят маленький выпуск, то каждой выгодно увеличить выпуск. ▶ Если обе производят большой выпуск, то каждой выгодно снизить выпуск. ▶ Проверим теперь, верны ли эти наши предположения, которые мы сделали вначале. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 68 / 78 Модель Курно: решение Что будет, если q1 < 1/3 и q2 < 1/3? ▶ Если q1 < 1/3, тогда второй фирме выгодно произвести q2 = 1 − q1 1 − 1/3 1 > = , 2 2 3 то есть увеличить свой выпуск. ▶ Из соображений симметрии получаем, что первой фирме тоже выгодно увеличить выпуск при q2 < 1/3. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 69 / 78 Модель Курно: решение А что будет, если q1 > 1/3 и q2 > 1/3? ▶ Если q1 > 1/3, тогда второй фирме выгодно произвести q2 = 1 − q1 1 − 1/3 1 < = , 2 2 3 то есть уменьшить свой выпуск. ▶ Из соображений симметрии получаем, что первой фирме тоже выгодно уменьшить выпуск при q2 > 1/3. ▶ Значит, мы были правы! Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 70 / 78 Монопольный сговор Что произойдет, если две фирмы объединятся? ▶ Выпуск «объединенной» фирмы: qоб = q1 + q2 ▶ Ее прибыль: πоб = (1 − qоб )qоб ⇒ max qоб ▶ Это парабола, ветви вниз, максимум находится в ее вершине. qоб = 1 2 qоб = q1 + q2 = Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 1 2 71 / 78 Монопольный сговор ▶ Значит, чтобы получить наибольшую прибыль, фирмы сообща должны производить qоб = 1/2. ▶ Первая фирма, например, может производить q1 = 0, а вторая –– q2 = 1/2, или выпуск обеих фирм может быть равен q1 = q2 = 1/4. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 72 / 78 Монопольный сговор ▶ Если qоб = 1/2, тогда прибыль объединенной фирмы равна: πоб = (1 − qоб )qоб = 1 4 ▶ В то время как прибыль каждой фирмы: ( ) 1 1 1 1 1 1− · = πоб = 2 2 2 2 8 ▶ А в равновесии Курно каждая фирма получает: ) ( 1 1 1 1 · = π = (1 − q1 − q2 ) · q1 = (1 − q1 − q2 ) · q2 = 1 − − 3 3 3 9 ▶ Прибыль каждой фирмы при сговоре больше, чем в равновесии Курно. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 73 / 78 Монопольный сговор Однако является ли такая ситуация, когда фирмы вместе производят qоб = 1/2, равновесной? ▶ Нет! ▶ В единственном равновесии Нэша в этой игре фирмы производят q1 = q2 = ▶ 1 3 При qоб = 1/2 выпуск хотя бы одной из фирм не будет равен 1/3, и какой-то из фирм будет выгодно отклониться, чтобы получить большую прибыль. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 74 / 78 Монопольный сговор ▶ Когда, например, q1 = q2 = 1/4, при фиксированной стратегии второй фирмы первой фирме выгодно отклониться и вместо q1 = 1/4 произвести q∗1 = ▶ 1 − 1/4 3 = 2 8 То же самое выгодно сделать и второй фирме при условии, что первая фирма решила производить 1 q1 = 4 Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 75 / 78 Монопольный сговор ▶ Любая ситуация, в которой q1 + q2 = 1/2, не будет равновесной, так как обеим фирмам будет выгодно нарушить договор. ▶ Значит, монопольный сговор не будет устойчивым, хотя, казалось бы, обеим фирмам было бы выгоднее сговориться и получить большую прибыль, чем в равновесии Курно. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 76 / 78 Роль информации о выпуске другой фирмы А что было бы, если бы вторая фирма вдруг узнала бы, какой выпуск собирается произвести первая фирма? ▶ Это ничего не изменило бы. ▶ Пусть вторая фирма узнала, что первая собирается произвести выпуск q∗1 . ▶ Тогда она произвела бы ровно q∗2 = (1 − q∗1 )/2. ▶ Но что если (q∗1 , q∗2 ) не оказались равны (1/3, 1/3)? ▶ Тогда какой-нибудь из фирм было бы выгодно отклониться и произвести другое количество товара. Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 77 / 78 Роль информации о выпуске другой фирмы ▶ Пусть вторая фирма, например, узнала, что первая фирма собирается произвести q∗1 = 1/2. ▶ Тогда ей выгодно произвести q∗2 = (1 − 1/2)/2 = 1/4 ▶ Но тогда первой фирме выгодно отклониться и произвести q∗1 = (1 − 1/4)/2 = 3/8 ▶ Таким образом, получение одной фирмой информации о выпуске другой никак не влияет на равновесие. ▶ Единственное равновесие в игре –– по-прежнему (q∗1 , q∗2 ) = (1/3, 1/3). Дмитрий Дагаев НИУ ВШЭ 78 / 78