Множество рациональных чисел. Множество действительных чисел. Множество комплексных чисел.

Лекция 13.Множество рациональных чисел В множестве Z целых чисел операции сложения, умножения и вычитания всегда выполнимы, а операция обратная умножению, т.е . деления, не всегда выполнима даже при условий, когда делитель отличен от нуля, В связи с этим возникает необходимость расширить множество Z целых чисел до такого множества Q, в котором операции сложения, умножения и вычитания имели бы место со своими свойствами, которыми они обладают в множестве целых чисел, причем в множестве Q была бы выполнима операция деления (исключая деление на нуль). Расширим множество целых чисел Z во множество рациональных (рациональное, происходит от латинского слова ratio – отношение, т.е. отношение целых чисел, исключающее деление на нуль ) чисел Q. Тогда расширенное множество представляет собой объединение множеств целых чисел Z, положительных дробных чисел и отрицательных дробных чисел, где выполнимы сложение, вычитание и умножение, а также сохраняются их свойства и всегда выполнимо действие деление (кроме деления числа на нуль). Появление дробей исторически связано с измерением величины. Проиллюстрируем это на примере измерение длины отрезка. При измерении отрезка с помощью некоторого эталона длины, единичный отрезок, равный по длине эталону, откладывают последовательно на измеряемом отрезке целое число раз, и говорят, что это число выражает длину измеряемого отрезка. Если единичный отрезок не укладывается на измеряемом отрезке в точности целое число раз, то находят наибольшее число отложений единичного отрезка, при котором происходит покрытие всего измеряемого отрезка. Последующее число за этим наибольшим числом больше предыдущего на единицу. Тогда говорят, что первое число с недостатком, а второе - с избытком характеризует длину измеряемого отрезка с точностью до единицы. Если требуется измерить длину отрезка более точно, то единичный отрезок делят на несколько равные части и производят аналогичные измерения, используя одну часть единичного отрезка в качестве эталона длины. Хотя не всегда длина измеряемого отрезка может быть точно измерена указанным способом с помощью единичного отрезка или некоторой его части. Дело в том, что не всегда единичный отрезок или некоторая его часть укладывается целое число раз (без остатка) на измеряемом отрезке. Однако применяя такой способ, можно оценить длину измеряемого отрезка со сколь угодно большой точностью. Пусть даны отрезок а и единичный отрезок е, причем отрезок е является суммой п отрезков, равных е1. Если отрезок ,а состоит из m отрезков, равных п-ой части отрезка е, то его длина может быть представлена в виде. Символ называют дробью (т.е. положительной дробью), где m,nN и читают «эм энных» В записи дроби, где m,nN , m - числитель дроби, n - знаменатель дроби. Если m1 и р,q взаимно простые числа, то в множестве целых чисел р не делится на q, поэтому выражение раньше не было определено. Таким образом, целые числа оказываются частным случаем рациональных чисел. Все рациональные числа , где q>1 оказываются новыми числами, не содержащимися в Z. Поэтому множество рациональных чисел Q можно рассматривать как множество всевозможных выражений (р,qZ,q0), где черта означает знак деления. Выражения указанного вида называют рациональными дробями, а также просто дробями или обыкновенными дробями. Следует иметь в виду, что в этом случае для произвольного р,qZ, где q0, справедливы следующие соотношения: а) ;б) ; в) , тогда и только тогда, когда р=0; г) , тогда и только тогда, когда p=q. Вообще любая дробь равна некоторой единственной несократимой дроби с положительным знаменателем. Эта несократимая дробь находится делением на d числителя и знаменателя данной дроби, где НОД(р,q)=d, имеющий знак числа q ,тогда . Пусть задана координатная ось, на которой известным способом отмечены точки, изображающие целые числа. И пусть положительное рациональное число задано в виде . Разделив единичный отрезок на q равных частей, отложим одну получившуюся долю p раз вправо от точки О, т.е. от начала отсчета. Будем считать, что полученная в конце точка изображает рациональное число. Следовательно, положительное рациональное число(р,qN) характеризует длину отрезка, полученного в результате отложения p раз одной q–й доли единичного отрезка. Если отрицательное число задано в виде , то разделив единичный отрезок на q равных частей, отложим одну получившуюся долю p раз влево от точки О, т.е. от начала отсчета. Будем считать, что полученная в конце точка изображает рациональное число . Таким образом, мы можем утверждать, что всякому рациональному числу (положительному или отрицательному) соответствует вполне определенная точка на числовой прямой, имеющей начальную точку О, а концом точку, соответствующую данному рациональному числу. Теорема. Для любого положительного рационального числа а (т.е. для любого множества равных дробей) найдется одна и только одна представляющая его дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты. Доказательство. а) Докажем существования несократимой дроби. В самом деле, существует хотя бы одна дробь , представляющая число а. Пусть НОД(p,n)=d. Тогда p= p1∙d и n= n1∙d, где p1 и n1 взаимно простые числа. Умножим p= p1∙d на n1, а n= n1∙d на p1, тогда получим p1∙n= p1∙n1∙d и n1∙p= n1∙p1∙d. Из n1∙p1∙d=p1∙n1∙d n1∙p1=p1∙n1. Следовательно , а потому тоже представляет число а. Значит , несократимая запись числа а. б) Докажем, что иной несократимой записи числа а не существует. Предположим, что тоже представляет число а и отличается от дроби . Тогда из = s∙n1= t∙p1. Так как левая часть этого равенства делится на n1, то его правая часть также делится на n1. Так как НОД(n1,p1)=1, то t делится на n1, тогда t= n1∙q, где число q1, иначе дроби и совпали бы. Итак, s∙n1= p1∙n1∙qи потому s=p1∙q. Значит, s тоже делится на q,и потому дробь можно сократить на q. Таким образом, любая отличная от дроби запись числа, а сократима. Доказанная выше теорема распространяется и для отрицательного рационального числа (-а), так как (-а)=(-1)∙а=а, где а – положительное рациональное число. Определение. Если рациональные числа а и b представлены дробями и (где m, pZ, rZ), то суммой чисел а и b называют число, представляемое дробью , т.е. +=, где m+p – сумма, определяемая по правилу сложения целых чисел. Если рациональные числа а и b представлены дробями с разными знаменателями, то обычно эти дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а потом складывают по правилу приведенному выше. Определение. Если рациональные числа а и b представлены дробями и , то их произведение есть число, представляемое дробью , т.е. ∙=, где mp, nq – произведения, определяемые по правилу умножения целых чисел. Определение. Разностью рациональных чисел а и b называется такое рациональное число с, что а=b+с. Разностью двух рациональных чисел а и b, представленных соответственно дробями и находят по правилу: -=, где m-p – разность, определяемая по правилу вычитания целых чисел. Если рациональные числа а и b представлены с разными знаменателями, то обычно эти дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а потом вычитают по правилу приведенному выше. Определение. Частным двух рациональных чисел а и b называется такое рациональное число с, что а=b∙с. Частное двух рациональных чисел находят по правилу: :=, где mq и np – произведения, определяемые по правилу умножения целых чисел. Определение. Модулем рационального числа а называется рациональное неотрицательное число, обозначаемое |а|, равное а или –а, то есть если а= , где t>0, то Следует также отметить, что правила действий со знаками, установленные для целых чисел из множества Z остаются в силе и при рассмотрении чисел из Q. Тогда для любых чисел s1, s2, t1,t2Z, где t10, t20 имеет место: а) Если t1 иt2 одного знака, то тогда и только огда, когда s1t2< s2t1; б) Если t1>0, то , тогда и только тогда, когда s10, оказывается положительной, т.е. >0 тогда и только тогда, когда s2>0, и, наоборот, отрицательной, т.е. <0, если s2<0. Для любого рационального числа, аQ существует противоположное ему число - а. При этом если число, а представлено в виде дроби а=, то - а= - . а+(-а)=0, то есть +(-). Используя понятие противоположного числа и его свойства, вычитание числа можно заменить сложением противоположного ему числа, т.е. -=+(-). Для любого рационального числа а0 число называется обратным для а и обозначается аи а= , то есть а∙а=1. Если при этом, а представлено в виде дроби а=(s0), то а=. Всякое рациональное число, а0, имеет лишь одно обратное ему число. Используя понятие обратного числа и его свойства, деление на числа отличные от нуля можно заменить умножением, т.е. , где b0 и а, b – данные натуральные числа или :=∙()-1=∙ , если t1,t2, s2 отличные от нуля числа. Теорема. (а,bQ): а+b=b+а – коммутативность сложения. Доказательство. а) Пусть a,bQ т.е. a= , b= . Тогда по определению суммы рациональных чисел a+b= и b+a=, где m+p и p+m суммы определяемые в Z, которые равны, на основании коммутативности сложения в Z. Теорема. (а,b,сQ): (а+b)+с=а+(b+с) – ассоциативность сложения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,bQ): из а+с=b+с следует, что а=b – сократимость сложения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,bQ): а∙b=b∙а – коммутативность умножения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,b,сQ): (а∙b)∙с=а∙(b∙с) – ассоциативность умножения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,b,сQ): (а+b)∙с=а∙с+b∙с – дистрибутивность умножения относительно сложения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,b,сQ): (а-b)∙с=а∙с-b∙с – дистрибутивность умножения относительно вычитания. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,b,сQ): из а∙с=b∙с следует, что а=b – сократимость умножения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,bQ): найдется сQ, для которого а+с=b – обратимость сложения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Теорема. (а,bQ), где b0: найдется сQ, для которого а∙с=b – обратимость умножения. Доказательство (аналогично доказательству первой теоремы). Среди дробных чисел наиболее значимым в практическом аспекте является так называемые десятичные дроби. Их можно записать с помощью дробной черты, над которой пишут числитель, а под ней знаменатель. Они имеют также специальную форму записи, называемой десятичной записью. Определение. Десятичными дробями называются обыкновенные дроби со знаменателями, равными степени десяти, записанными в десятичной позиционной системе счисления, то есть дроби вида , где m, nN. Дробь принято записывать в виде . Если десятичная запись числителя m=, т.е. m=mк∙10к+mк-1∙10к-1+…+ m0, тогда по правилам действий со степенями при nк имеем: == =mк∙10к-п+…+ mп ++…+, где натуральное число mк∙10к-п+…+ mп можно обозначить буквой М, называемой целой частью десятичной дроби, а сумма+…+ называется дробной частью десятичной дроби. Таким образом, при записи дроби в десятичной записи числа m последние его п цифр отделяют запятой. Если числитель содержит менее п десятичных знаков, то перед ним пишут столько нулей, чтобы получилось п+1 цифр и после чего отделяют запятой п знаков с конца. Например: Определение. Десятичными знаками десятичной дроби называются цифры стоящие после запятой в ее десятичной записи. Десятичные дроби имеют следующие свойства. * Из двух рядом стоящих цифр в записи десятичной дроби левая цифра имеет разрядную единицу в десять раз большую, чем правая. * Умножение десятичной дроби на 10к достигается переносом запятой на к цифры вправо. А деление десятичной дроби на 10к достигается переносом запятой на к цифры влево. * Приписывание нулей к десятичной дроби и отбрасывание нулей стоящих в конце десятичной дроби, не изменяет ее значение, т.е. каковы ни были натуральные числа m,n,s - дроби и равны. * Для приведения двух дробей к общему знаменателю достаточно приписать к той десятичной дроби, у которой меньше десятичных знаков, несколько нулей, чтобы десятичных знаков стало поровну. * Из двух десятичных дробей больше та, у которой больше целая часть. Из двух десятичных дробей с равными целыми частями больше та, у которой больше первый из неравных десятичных знаков. Любую дробь в десятичной записи можно записать в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10п. Например: 3,787=; 8,009=; 0,0007= . Однако не всякую обыкновенную дробь вида (где m,nN) можно представить в десятичной записи. Например, умножая числитель и знаменатель обыкновенной дроби на 125, получим =0,375, а если дана дробь , то ее знаменатель 30 нельзя привести к степени числа 10, на какое бы число не умножим знаменатель и числитель данной обыкновенной дроби. Ответ на вопрос какую обыкновенную дробь можно представить в десятичной записи дает следующая теорема. Теорема. Для того, чтобы несократимая дробь была равна десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители входили только числа 2 и 5. Доказательство. а) Пусть разложение знаменателя дроби на простые числа имеет вид n=2r∙5s. Для определенности и пусть, rs. Докажем, что тогда дробь можно заменить равной ей десятичной дробью. Умножая числитель и знаменатель дроби на 5r-s получим:=. Но 2r∙5s =10r и поэтому =. б) Пусть несократимая десятичная дробь равна десятичной дроби , т.е. 10r∙m=a∙n. Докажем, что тогда в разложение на простые множители ее знаменателя входят только числа 2 и 5. Если бы в разложение п на простые множители входило бы простое число p, отличное от 2 и 5, то 10r∙m делилось бы на p. Тогда m делилось бы на p и дробь можно, было бы сократить на p вопреки предположению. Полученное противоречие показывает, что п не может иметь простых множителей, отличных от 2 и 5. Действия с десятичными дробями и представление обыкновенной дроби в виде десятичной и, наоборот, десятичной дроби в виде обыкновенной (иными словами осуществить замену дроби в десятичной записи равной ей обыкновенной и, наоборот, замену обыкновенной дроби с дробью в десятичной записи) можно выполнять по специальным правилам. В общем виде эти правила выглядят следующим образом. * Для того, чтобы выполнить сложение (вычитание) двух десятичных дробей, нужно уровнять в этих дробях число десятичных знаков после запятой, приписывая справа, в случае необходимости, к одной из этих дробей несколько нулей; отбросить в получившихся дробях запятые и выполнить сложение (вычитание) с полученными при этом натуральными числами по известному алгоритму; в сумме (разности) отделить запятой столько же знаков, сколько отдельно в каждом из слагаемых (уменьшаемом и вычитаемом). * Для того, чтобы выполнить умножение двух десятичных дробей нужно отбросить на записях запятые; найти произведение двух получившихся натуральных чисел по известному алгоритму; в произведении отделить запятой столько последних цифр, сколько в первом и втором множителях вместе (т.е. p+q цифр, если в первом множителе отдельно p цифр, а во втором q цифр после запятой). * Для того, чтобы разделить десятичную дробь на десятичную нужно в делителе запятую перенести так, чтобы сделать его целым; чтобы частное не изменилось, в делимом надо перенести запятую на такое же количество десятичных знаков, на какое количество знаков перенесли запятую в делителе; после этого деление производится по известному алгоритму записывая делимое и делитель «уголком»; запятая в частном проставляется в момент исчерпания целой части делимого; при делении «уголком» в делимом приписывают нули до тех пор, образуя все новые неполные делимые, пока деление не завершится. * Для того, чтобы обратить в десятичную дробь число а, представляемое несократимой дробью , надо выполнить деление натурального числа p на натуральное число q. Очевидно, что при этом будут получаться остатки, меньше q,т.е. числа вида 0;1;2;…;q-1. Если хотя бы один из остатков на каком-то шаге процесса деления окажется равным нулю, то деление закончится. Тогда десятичная запись числа, а= представляется конечной десятичной дробью. Если же каждый раз все остатки, отличные от нуля, то деление никогда не закончится. Поскольку количество различных остатков, конечно, то начиная с некоторых шагов, какой-то остаток повторится, а тогда в частном начнут, повторяться цифры. Такие повторяющиеся цифры образуют период. В этом случае процесс деления р на q бесконечен и десятичная запись числа, а= представляется бесконечной последовательностью десятичных знаков, то есть бесконечной десятичной периодической дробью. Это значит, что начиная с некоторого места, будут бесконечно повторяться одна цифра или группа цифр в бесконечной последовательности десятичных знаков. При записи такой дроби в скобках заключают повторяющуюся группу цифр, которую называют периодом этой дроби. Различают чисто периодические дроби – в них период начинается сразу после запятой и смешанные периодические дроби – в них между запятой и периодом есть другие десятичные знаки. Например: а) =0,0791(6); б) =0,(809523); в) =0,1625(0); г) =0,085(0). 19| 240 190 0,0791(6) ¯ 0 1900 ¯1680 2200 ¯2160 400 ¯240 1600 ¯1440 160 240=24·5·3 17| 21 170 0,(809523) ¯168 20 ¯0 200 ¯189 110 ¯105 50 ¯42 80 ¯63 17 21=3·7 13| 80 130 0,1625(0) ¯80 500 ¯480 200 ¯160 400 80=24·5 17 | 200 170 0,085(0) ¯0 1700 ¯1600 1000 200=23·52 * Конечные десятичные дроби можно также записать как бесконечные дроби, приписав, к ним справа последовательность нулей. Условимся считать конечную десятичную дробь бесконечной с периодом, равным нулю. Тогда можно говорить, что любое положительное рациональное число представимо бесконечной периодической десятичной дробью. Справедливо и обратное утверждение, что любая положительная бесконечная периодическая десятичная дробь выражает некоторое положительное рациональное число. Например: =0,1(45); =0,(27); =0,(3); =0,(857142); =0,25(0); =0,125(0); =0,5(0); =0,0625(0). * Если в разложение знаменателя несократимой дроби на простые множители не входят 2 и 5, то при обращении этой дроби в бесконечную десятичную дробь, получим чистую периодическую дробь. Если в разложение знаменателя входит множитель 2 или 5, то периодическая дробь оказывается смешанной (между запятой и началом периода будет именно столько цифр, каков больший из показателей степени множителей 2 и 5). Вообще, если дробь несократима и в разложении ее знаменателя есть простой множитель, отличный от 2 и 5, то дробь представляется периодической десятичной дробью. Если в разложении ее знаменателя входят лишь числа 2 или 5, то дробь представляется конечной десятичной дробью, т.е. бесконечной десятичной дробью, с периодом 0. * Для того, чтобы обращать в обыкновенную чистую бесконечную периодическую десятичную дробь с нулем в целой части, надо записать такую обыкновенную дробь, числитель которой равен периоду; знаменатель состоит из стольких девяток, сколько цифр в периоде; затем следует произвести сокращение дроби, если это возможно. Например, применяя правило можно записать сразу, записать, что 0,(27)= =. Дробь 0,(27) можно обращать в обыкновенную дробь на основе и следующих рассуждений. Обозначим рациональное число соответствующее данной периодической дроби через у, тогда у=0,272727…. Если перенести запятую на две цифры вправо, число у увеличится в 100 раз и мы получим, что 100у=27,2727… т.е. 100у=27+0,272727…, так как у=0,272727…. Значит, 100у=27+у. Отсюда 99у=27. Следовательно, у=. * Для того, чтобы обращать в обыкновенную бесконечную смешанную периодическую десятичную дробь с нулем в целой части, надо записать такую обыкновенную дробь, числитель которой равен разности между числом записанным, цифрами, стоящими до начала второго периода, и числом, записанным цифрами, стоящими до начала первого периода; знаменатель состоит из такого числа девяток, сколько цифр в периоде, и такого числа нулей, сколько цифр стоит до начала первого периода; затем произвести сокращение дроби, если это возможно. Например, применяя правило можно сразу записать, что 0,18(60)= = = . Дробь 0,18(60) можно обращать в обыкновенную дробь на основе и следующих рассуждений. Обозначим рациональное число соответствующее данной периодической дроби через z, тогда z=0,186060…; если перенести запятую на две цифры вправо, число z увеличится в 100 раз, и мы получим, что 100z=18,6060…, т.е. 100z=18+0,6060…; положим х=18,6060….Если перенести запятую на две цифры вправо, то число х увеличится в 100 раз и мы получим, что 100х=1860,6060…, т.е. 100х=1860+0,6060…; прибавим к обеим частям 18. 100х+18=1860+18,6060…, так как х=18,6060; Значит, 100х+18=1860+х, откуда х=. Подставим это значение в равенство 100z=18+0,6060…,т.е. 100z= , z= . Рассмотренное позволяет нам сформулировать вывод, характеризующий существенный признак положительных рациональных чисел, что распространяется и для любых отрицательных рациональных чисел, следующим образом. Каждое рациональное число представляется бесконечной периодической десятичной дробью, не имеющей девятку в периоде, и, наоборот, любая периодическая десятичная дробь, не имеющая в периоде девятку, является представлением какого-либо рационального числа, получившегося из этого числа в результате алгоритма деления. В множестве Q можно определить отношение « меньше» также, как это понятие определяли для целых чисел, т.е. число аQ больше числа bQ, если существует такое сQ, что а=b+с. Это отношение упорядочивает элементы этого множества. Поэтому множество Q рациональных чисел является упорядоченным множеством. В множестве Q нет как наименьшего, так и наибольшего числа. В самом деле, пусть, аQ. Его можно представить в виде дроби . Но тогда дробь, например, запись числа, меньшего чем а, если n,pZ+ . Если pZ- и nZ+, то запись числа большего, чем а, представленного в виде дроби и.т.д. Следовательно, между двумя различными числами а и b из Q заключено бесконечно много чисел того же множества. С другой стороны, если даны два различных положительных рациональных числа а и b, тогда одно из них меньше другого, для определенности, например, ау найдется такое zR, что х=у+z. Это число называют разностью чисел х и у и обозначают х-у. Ясно, что операция вычитания в R+ , обратная операцию сложения: (х+у)-у=х и (х-у)+у=х, если х>у. Для любых двух чисел х и у изR+ найдется такое z, что x=y·z. Это число называют частным от деления х на у и обозначают х:у. Операция деления в R+, выполнима (за исключением деление на нуль), причем она обратная операцию умножения: (х·у):у=х и (х:у)·у=х. Чтобы распространить эти определения арифметических действий для любых чисел из R введем следующие понятия и правила: *Модулем неотрицательного действительного числа является само это число, а модулем отрицательного действительного числа является противоположное ему положительное число. * -(-х.)=х. * * Модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей множителей, произведение двух действительных чисел положительно, если множители одинакового знака, и отрицательно, если множители разных знаков. * Сумма положительных чисел положительно, сумма отрицательных чисел отрицательно. Вычитание меньшего неотрицательного числа из большего числа определяется как операция, обратная сложению, то есть переноситься без каких-либо поправок из множества рациональных чисел на множество действительных чисел. * Если а и b разных знаков и |а|>|b|, то а+b имеет тот же знак, что число а, и модуль а+b равен разности модулей чисел а и b. Действия сложения и умножения в R обладают следующими свойствами. Теорема. (х,уR): х+у=у+х – коммутативность сложения. Теорема. (х,у,zR): (х+у)+z=х+(у+z) – ассоциативность сложения. Теорема. (х,уR): найдется zR, для которых х+z=y – обратимость сложения. Теорема. (х,у,zR): из х+z=у+z следует, что х=у – сократимость сложения. Теорема. (х,уR): х·у=у·х – коммутативность умножения. Теорема. (х,у,zR): (х·у)·z=х·(у·z) – ассоциативность умножения. Теорема. (х,у,zR), где х0: найдется хR, для которого х·z=у – обратимость умножения с ограничением относительно нуля. Теорема. (х,у,zR): из х·z=у·z следует, что х=у – сократимость умножения. Теорема. (х,у,zR): (х+у)·z= х·z+у·z – дистрибутивность умножения относительно сложения. Теорема. (х,у,zR): (х-у)·z= х·z-у·z – дистрибутивность умножения относительно вычитания. Контрольные вопросы 1. Определите понятия сумма и произведение положительных действительных чисел, стандартный вид числа, абсолютная и относительная погрешность, значащая цифра и десятичные знаки приближенного значения числа. 2. Раскройте смысл понятия иррациональное число, множество действительных чисел, разность положительных действительных чисел, частное положительных действительных чисел. 3. Сформулируйте правило округления чисел, сложения и вычитания приближенных значений чисел, умножения и деления приближенных значений чисел. 4. Сформулируйте свойство сложение в R. 5. Сформулируйте свойство умножение в R. 6. Сформулируйте свойства умножение в R, которые связывает его со сложением и вычитанием. Множество комплексных чисел Элементами числовых множеств (N,N,Z,Q,R) рассмотренных в предыдущих темах явились числа, применяемые при подсчетах и измерениях. Причем наше представление о числе изменились в ходе решения различных задач, в процессе которого удалась реализовать идею расширения числовых множеств. Например, для счета отдельных предметов нам хватало натуральных чисел. Для решения уравнения х+p=q, где p>q и p,qN0 недостаточно целых неотрицательных чисел, так как разность q-p не имеет смысла. Для решения уравнения px+q=0, где p, qN, натуральных чисел мало – нужны рациональные числа. Для измерения длины отрезков рациональных чисел недостаточно, необходимо добавить к ним иррациональные, то есть иметь действительные числа. Для решения алгебраических уравнений (х+1=0, х+х+1=0) действительных чисел недостаточно, поэтому следует ввести в рассмотрение новые числа, которые составляют расширенное множество по сравнению с множеством действительных чисел. Согласно идее расширения числовых множеств, новое расширенное множество чисел должно включать в себя множество действительных чисел. В этом множестве должны быть определены операции сложения и умножения, подчиняющиеся обычным законам операции, а введенные операции не должны противоречить операциям сложения и умножения действительных чисел и поэтому необходимо: * ввести некоторое новое число, обозначив его символом (буквой) i, считая справедливым для нового числа i равенство i+1=0, то есть i=-1(Например, тогда решением уравнения х+1=0, т.е. х=-1, является х=); * пополнить множество действительных чисел, новыми числами bi, то есть мнимыми, или чисто мнимыми числами, считая их произведениями действительных чисел b на i; * записать сумму действительного числа а и мнимого числа bi в виде а+bi; *сложение двух комплексных чисел определить так, чтобы его можно было выполнить по правилу сложения двучленов; * умножение двух комплексных чисел определить так, чтобы его можно было выполнить по правилу умножения двучленов; * соединять обычным знаком равенства «=» равные новые числа. Определение. Комплексными числами называются выражения вида, а+bi (а и b – действительные числа, i–некоторый символ). Действительное число а, называется действительной частью комплексного числа, а+bi. Действительное число b – его мнимой частью. Комплексное число i принято называть мнимой единицей, причем i=-1. Комплексное число, а=a+0i=а, а число 0+bi=bi, bi – чисто мнимое число. Числа 0+0i и 1+0i в множестве комплексных чисел играют такую же роль, как 0 и 1 в множестве R. Определение. Два комплексных числа, а+bi и с+di равны тогда и только тогда, когда, а=с и b=d. Определение. Числа, а+bi и а-bi, то есть числа, отличающиеся только знаком мнимой части, называются сопряженными комплексными числами. Заметим еще, что понятия «больше» («меньше») для комплексных чисел не определяются. Поэтому записи вида z>0, z<0, 3+i<4, 2i+4>10, 3i+7<2i+6 и им подобные, лишены всякого смысла. Подобно тому, как действительные числа можно изображать точками числовой прямой, комплексные же числа можно изображать точками не координатной прямой, а координатной плоскости. Возможность такого изображения основана на том, что между множеством комплексных чисел, а+bi и множеством пар (a;b) действительных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Пара вида (a;b) определяет положение точки на координатной плоскости. Действительно, каждому комплексному числу а+bi можно поставить в соответствие точку С(a;b) координатной плоскости, т.е. точку абсцисса которой равна действительной части а комплексного числа,а ордината – мнимой части b. И наоборот, каждой точке С(a;b) координатной плоскости можно поставить в соответствие комплексное число а+bi. Очевидно, что получаемое при этом соответствие является взаимно однозначным. При этом само соответствие дает возможность интерпретировать комплексные числа как точки некоторой плоскости, на которой выбрана система координат. На оси абсцисс лежат точки, соответствующие комплексным числам, а+0i, т.е. соответствующие действительным числам а и на оси ординат лежат точки, соответствующие чисто мнимым комплексным числам bi. Комплексному числу, а+bi соответствует вектор , исходящий из начала координат О(0;0) и идущий в точку С(a;b) , и наоборот, вектору соответствует комплексное число а+bi , а нулевому вектору соответствует комплексное число 0+0i. Это дает возможность интерпретировать комплексные числа как векторы, исходящие из начала координат. Определение. Модулем комплексного числа z называется длина вектора, соответствующего этому числу: если z=a+bi, то |z|=; если z=а+0i, то |z|==|а|. Определение. Аргументом комплексного числа z называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , причем величина угла считается положительной, если отсчет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отсчет ведется по часовой стрелке. Для обозначения аргументов комплексного числа z=a+bi используется argz или arg( a+bi). Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Вообще заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Однако, любые два аргумента комплексного числа отличается только слагаемым кратным 2. Для нахождения аргумента комплексного числа z=a+bi можно воспользоваться формулой cos=и sin=, где . Чтобы исключить неоднозначность, возникающую при вычислении аргумента, используют понятия главного аргумента, т.е. argz(). Например, аргументами числа z=-1+I являются следующие углы: и вообще, каждый из углов . К сожалению, приведенные выше равенства не позволяют написать удобную единую формулу для выражения угла через числа а и b. Во всяком случае, оно не обязано совпадать ни с arccos , ни с arcsin. Поэтому аргумент заданного конкретного числа удобно находить обычно не по формулам, а с помощью геометрического изображения, как угол между положительным направлением действительной оси и вектором . Способ записи комплексных чисел в виде a+bi принято называть исходной, т.е. алгебраической формой. Однако понятия модуля и аргумента позволяет ввести еще один важный способ записи комплексных чисел, так называемой тригонометрической формой. Если r=|z| - модуль комплексного числа z=a+bi, а - один из аргументов этого числа, то есть arg(a+bi)=, то запись z=r(cos+isin) – тригонометрическая формула записи комплексного числа z0. Число 0 тригонометрической формы, естественно, не имеет, поскольку для него не определено понятие аргумента. При решении различных задач, связанных с комплексными числами, часто требуется от одной из рассмотренных форм записи переходить к другой. Если число z задано в тригонометрической форме z=r(cos+isin), то z=rcos+i(rsin) и есть его представление в алгебраической форме. Что же касается обратного перехода от алгебраической формы к тригонометрической, то для нахождения аргумента комплексного числа нет удобной единой формулы. На практике обычно руководствуются геометрическим изображением. Существует и так называемая, показательная форма записи комплексного числа в виде , где cos+isin(формула Л.Эйлера), если z=r(cos+isin). Например: а) Пусть z=-3+i. Следует представить его в тригонометрической форме. По определению модуля комплексного числа имеем |z|=. Если обозначить через аргумент комплексного числа, тогда по формуле sin=получим sin=, а по формуле cos= получим cos=. Угол принадлежит второй четверти и равен arccos(). Следовательно, z=( cos(arccos() + isin(arccos()). б) Пусть z=-cos+isin. Следует представить его в тригонометрической форме. Вычислим модуль числа z по формуле , т.е. Вычислим аргумент и определим его конкретное значение с помощью геометрического изображения. По формуле cos= и sin=. Значит cos=. и sin=. . Угол принадлежит второй четверти и равен . =1200=.Следовательно, . в) Пусть z=3(cos+isin). Следует представить его в алгебраической форме. Тогда z=3cos+3isin=, где a= и b=, z= Определение. Суммой чисел a+bi и с+di называется число, а+с+(b+d)i. Операцию нахождения суммы называют сложением. Определение. Произведением чисел a+bi и с+di называется число ас-di+(ad+сb)i. Операцию нахождения произведения называют умножением. Определение. Для любых комплексных чисел z и z существует комплексное число z, что z+z=z. Это число называется разностью чисел z и z и обозначается z=z- z. Операцию нахождения разности называют вычитанием. Определение. Для любых комплексных чисел z0+0i и z существует число z такое, что z·z=z. Это число называется частным чисел zи z и обозначается z=. Деление на комплексное число 0+0i, которое называется нулем, невозможно. Операцию нахождения частного называют делением. Пусть даны комплексные числа z1=r1(cos1+isin1) и z2=r2(cos2+isin2). Выразим сумму z+z, разность z1-z, произведение z·z и частное z:z. а) z+z= r1cos1+ r1isin1 + r2cos2+ r2isin2=( r1cos1+ r2cos2)+ +( r1sin1+ r2sin2)i; б) z1-z= r1cos1+ r1isin1 -r2cos2 - r2isin2= =( r1cos1 - r2cos2) +(r1sin1 - r2sin2)i; в) z·z=( r1cos1+ r1isin1)× ×(r2cos2+ r2isin2)= r1r2cos1cos2 + r1r2i2sin1sin2+ ir1r2sin1cos2+ + ir1r2cos1sin2 = r1r2(cos1cos2 - sin1sin2) + r1r2(sin1cos2 + +cos1 sin2)i= =r1r2(cos(1+2)+ i sin(1+2); г) z:z= === =. Проиллюстрируем выполнения операции с комплексными числами на конкретных примерах, последовательно выполняя привычные действия с многочленами. Пусть даны комплексные числа z1=3-2i и z2=-5+4i. Найти: z+z, z-z, z∙z, z:z. а) z+z=3-2i-5+4i=(3-5)+(4i-2i)=-2+2i; б) z-z=3-2i–(-5+4i)= 3-2i +5-4i=(3+5)-(2i+4i)= 8-6i; в) z∙z=(3-2i) ∙ (-5+4i)= -15+10i-5+12i-8i2=(-15+8)+(10+12)i=-7+22i; г)z:z= = = = = =. Действия сложения и умножения в множестве С обладают следующми свойствами. Теорема. Пусть (z, z, zС) и каждое из этих чисел отлично от 0+0i. Тогда имеет место следующие равенства: * z+z=z+z– коммутативность сложения; * (z+z)+z=z+(z+z) – ассоциативность сложения; * z∙z=z∙z– коммутативность умножения; * (z∙z)∙z=z∙(z∙z) – ассоциативность умножения; * z∙(z+z)=z∙z+z∙z– дистрибутивность умножения относительно сложения. Проиллюстрируем доказательство на примере теоремы: «Для любых двух комплексных чисел z и z, отличных от нуля имеет место равенство z+z=z+z». В множестве С число 0+0i играет роль нуля, а число 1+0i – роль 1. Очевидно, что (a+bi)+(0+0i)=(a+0)+(bi+0i)=a+(b+0)i=a+bi.Аналогично, (a+bi)∙(1+0i)=a+bi+a∙0∙i+b∙0∙i2=a+bi. Поэтому в условии теоремы дополнительно указано, что числа z,zи z отличны от нуля. Доказательство. Пусть z=a+bi и z=с+di, тогда z+z=(a+с)+ (b+d)i и z+z=(с+a)+(d+b)i. Однако для действительных чисел a,b,с и d имеет место равенства a+с=с+а и b+d=d+b. Следовательно. z+z=z+z». (Доказательство остальных теорем аналогично доказательству первой теоремы). Контрольные вопросы 1. Раскройте смысл понятия комплексное число. 2. Определите следующие понятия: равные и сопряженные комплексные числа, сумма и разность двух комплексных чисел, произведение и частное двух комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа, 3. Проиллюстрируйте на примере прием сложения двух комплексных чисел. 4. Проиллюстрируйте на примере прием вычитания двух комплексных чисел. 5. Проиллюстрируйте на примере прием умножения двух комплексных чисел. 6. Проиллюстрируйте на примере прием деления двух комплексных чисел. 7. Объясните, как надо осуществить переход от тригонометрической формы записи числа к алгебраической форме. 8. Объясните, как надо осуществить переход от алгебраической формы записи числа к тригонометрической форме. 9. Сформулируйте свойства сложения в С. 10. Сформулируйте свойства умножения в С Упражнения для СРСП 1. Назовите действительную и мнимую части комплексного числа: 3+2i; 3+2i; -3-2i; 3-2i; 3+0i; 0+2i; 0+0i. 2. Отметьте точки, соответствующие комплексным числам на координатной плоскости: 3+2i; -3+2i; -3-2i; 3-2i; 0+0i; 0+i; 0+0i. 3. Изобразите векторы, соответствующие комплексным числам на координатной плоскости: 4+3i; -4+3i; -4-3i; 4-3i; 0+0i; 0+3i; 4+0i. 4. : 3+4i; -3+4i; -4-3i; 4-3i; 0+0i; 0+3i; 4+0i. 5. Найдите модуль и аргумент (в общем виде) комплексного числа: 4+3i; -4-3i; -4+3i; 4-3i; 0+3i; 4+0i. 6. Представьте числа в алгебраической форме, если они заданы в тригонометрической форме: z=2(cos30°+isin30°); z=3(cos60°+isin60°); z=4(cos45°+isin45°). 7. Выполните действия: а) (5+2i)+(2+3i); (5+2i)-(2+3i); (5+2i)∙(2+3i); (5+2i):(2+3i); б) (5-2i)+(2+3i); (5-2i)-(2+3i); (5-2i)∙(2+3i); (5-2i):(2+3i).