Множественная регрессия

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТВЕРСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА «БУХГАЛТЕРСКИЙ УЧЕТ, АНАЛИЗ И АУДИТ» Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Тверь 2009 ________________________________________________________________________________ Раздел 3. Множественная регрессия Тематические вопросы: Понятие о множественной регрессии. Классическая линейная модель множественной регрессии. Определение параметров уравнения множественной регрессии методом наименьших квадратов. Стандартизованные коэффициенты регрессии, их интерпретация. Парные и частные коэффициенты корреляции. Множественный коэффициент корреляции и множественный коэффициент детерминации. Оценка надежности показателей корреляции. Оценка качества модели множественной регрессии: F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента. Мультиколлинеарность. Методы устранения мультиколлинеарности. Минимум содержания в соответствии с ГОС: линейная модель множественной регрессии; показатель качества регрессии; обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК); нелинейные модели регрессии и их линеаризация. 3.1.Основные понятия множественной регрессии.....................................2 3.2.Параметризация уравнения множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК)....................................................3 3.3.Оценка качества множественной регрессионной модели.....................6 3.4.Показатели качества коэффициентов множественной регрессионной модели.................................................................................................7 3.5.Показатели качества уравнения множественной регрессионной модели ...........................................................................................................9 3.6.Применение множественной регрессионной модели для прогнозирования (предсказания)..........................................................15 3.7.Мультиколлинеарность при построении моделей множественной регрессии...........................................................................................15 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ 3.1.Основные понятия множественной регрессии ◊Функция множественной регрессии как зависимость, выражаемая соотношением: M(Y | х1 , х2, ..., xm) = f(x1 , x2, ..., xm), где X1, X2,…, Xm – набор независимых (объясняющих) переменных, Y зависимая (объясняемая) переменная. ◊Уравнение множественной регрессии: Y=f(β,X)+ε где X=(X1, X2,…, Xm) – вектор независимых (объясняющих) переменных, β – вектор параметров (теоретических коэффициентов регрессии), ε случайная ошибка (отклонение), Y -зависимая (объясняемая) переменная. Виды множественной регрессии Классическая линейная модель Теоретическое линейное уравнение регрессии: Y = β 0+ β 1 X 1 + β 2 X 2 + + ... + β m X m + ε Нелинейная модель Двойная логарифмическая модель: ln Y = β 0 + β 1 ln X 1 + β 2 ln X 2 + Специальные виды переменных Фиктивные переменные используются при моделировании качественных переменных; как правило, выражаются в двоичной форме:  0, фактор  действует D=  1, фактор   не действует + ... + β m ln X m + ε Эмпирическое и другие, по аналогии с линейное уравнение нелинейными моделями, регрессии: представленными в рамках раздела «Парная Y = b 0 + b1 X 1 + b2 X 2 + , регрессия». Подробнее о + ... + bm X m + e свойствах нелинейных где B=(b0, b1, b2,…, моделей регрессии в bm) – вектор оценок разделе «Спецификация Подробнее в переменных в дополнительной теоретических уравнениях регрессии». коэффициентов литературе (напр., учебное пособие регрессии «Эконометрика» автора Бородич С.А.) Интерпретация: коэффициент регрессии при переменной Xi (частичный коэффициент 2 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ регрессии) выражает предельный прирост зависимой переменной при изменении переменной Xi при условии постоянства других переменных; свободный член определяет значение Y, в случае, когда все объясняющие переменные X, равны нулю 3.2.Параметризация уравнения множественной линейной регрессии методом наименьших квадратов (МНК) Предпосылки МНК (условия классического регрессионного анализа) для случая множественной линейной регрессии: 1. Математическое ожидание случайного отклонения εi равно нулю для всех наблюдений: M(εi)=0. 2. Дисперсия случайных наблюдений: D(εi)=D(εj)=σ2. отклонений εi постоянна для всех 3. Случайные отклонения являются независимыми друг от друга: cov(εi,εj)=0, i‡j, cov(εi,εj)=σ2, i=j. 4. Случайное отклонение должно быть независимо от объясняющих переменных (является следствием того, что объясняющие переменные не являются случайными в данной модели): cov(εi,xi)=0. 5. Модель является линейной относительно параметров. 6. Между объясняющими переменными отсутствует строгая (сильная) линейная зависимость (отсутствие мультиколлинеарности). 7. Ошибки εi имеют нормальное распределение: εi ~N(0, σ). Практическое условие обеспечения статистической надежности при параметризации множественной линейной регрессии: число наблюдений по крайней мере в 3 раза должно превосходить число оцениваемых параметров. Оценка коэффициентов регрессии векторно-матричным методом: • исходные данные представляются в матричной форме: Y – nмерный вектор-столбец наблюдений зависимой переменной Y, X – матрица размерности n х (m+1), в которой i-я строка представляет i-ое наблюдение вектора значений независимых 3 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ переменных X1,…, Xm, единица соответствует переменной при свободном члене b0:  y1  y  Y =  2  ...     yn  • , x12 ... x1m  x 22 ... x 2m  ... ... ...   x n2 ... x nm  , последовательно проводятся операции с матрицами, согласно формуле: •  1 x11 1 x 21 X =   ... ...   1 x n1 ( B = XT X ) −1 X TY , результат матричных преобразований интерпретируется как вектор-столбец размерности (m+1) параметров уравнения регрессии:  b0  b  B =  1  ...     bm  . Оценка коэффициентов регрессии методом определителей: • на основе исходных данных определяется система уравнений относительно параметров уравнения регрессии b0, b1,…,bm : ∑ ∑ y = nb0 + b1 ∑ x1 + b2 ∑ x 2 + ... + bm ∑ x m y x1 = b0 ∑ x1 + b1 ∑ x12 + b2 ∑ x 2 x1 + ... + bm ∑ x m x1 ∑ 2 yx m = b0 ∑ x m + b1 ∑ x1 x m + b2 ∑ x 2 x m + ... + bm ∑ x m ... • рассчитываются параметры уравнения регрессии b0, b1,…,bm по формулам: b0 = где: ∆ b0 ∆ b1 ∆ bm , , b1 = ,..., bm = ∆ ∆ ∆ 4 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ n ... ∑ x m ∑ x1 ∑ x2 2 ∑ x1 ∑ x1 ∑ x2 x1 ... ∑ x m x1 ∆ = ∑ x 2 ∑ x1 x 2 ∑ x 22 ... ∑ x m x 2 - определитель системы, ... ... ... ... ... ∑ x m ∑ x1 x m ∑ x2 x m ... ∑ x m2 ∆ b0, ∆ b1,…, ∆ bm - частные определители, которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой части системы. Пример оценки коэффициентов регрессии для уравнения с двумя объясняющими переменными в расширенной форме: b0 = y − b1 x1 − b2 x2 b1 = ∑ ( x i1 − x1 )(y i − y ) ⋅ b2 = ∑ ( x i 2 − x 2 )(y i − y ) ⋅ ∑ ∑ ∑ ( x i 2 − x2 )2 − ∑ ( x i 2 − x2 )(y i − y ) ⋅ ( x i1 − x1 )2 ⋅ ∑ ∑ ∑ ( x i 2 − x2 )2 − (∑ ( x i1 − x1 )( x i 2 − x2 ))2 (x i1 − x1 )2 − ∑ ( x i1 − x1 )(y i − y ) ⋅ 2 ( x i 1 − x1 ) ⋅ ∑ ( x i1 − x1 )( x i 2 − x2 ) ∑ (x i1 − x1 )( x i 2 − x 2 ) ( x i 2 − x 2 ) − (∑ ( x i1 − x1 )( x i 2 − x 2 ))2 2 Интерпретация коэффициентов линейной множественной регрессии : • • • • bj представляет собой величину, на которую изменится предсказанное по модели значение Y при увеличении значения независимой переменной Xj на единицу измерения, bj представляет собой величину, на которую в среднем изменяется значение переменной Y при увеличении независимой переменной Xj на единицу, значения коэффициентов bj существенно зависят от масштаба шкал, по которым измеряются переменные, поэтому по ним нельзя судить о степени влияния независимых переменных на зависимую, свободный член уравнения регрессии равен предсказанному значению зависимой переменной Y в случае, когда все независимые переменные равны нулю. Уравнение регрессии в стандартизированном виде: zY = λ 1 z X 1 + λ 2zX 2 + ... + λ m z Xm , где вместо исходных переменных используются их z-оценки, λj – стандартизированные коэффициенты регрессии. ◊Переменная стандартизированная (z-оценка) - количественная переменная, приведенная к "стандартному" масштабу посредством линейного преобразования: Xj − Xj z Xj = , σ x j 5 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ где Xj - исходная переменная, X j - среднее арифметическое, σ x j стандартное отклонение переменной. Свойства z-оценок: среднее арифметическое равно 0; стандартизация не изменяет формы распределения переменной. К уравнению множественной регрессии в стандартизированном масштабе применим МНК: стандартизированные коэффициенты регрессии (λ-коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений: λ 1 + rX1X2 λ 2 + rX1X3 λ 3 + ... + rX1Xm λ m = rYX1 rX2X1 λ 1 + λ 2 + rX2X3 λ 3 + ... + rX2Xm λ m = rYX2 rX3X1 λ 1 + rX3X2 λ 2 + λ 3 + ... + rX3Xm λ m = rYX3 ... rXmX1 λ 1 + rXmX2 λ 2 + rXmX3 λ 3 + ... + λ m = rYXm где rXiXj – парные коэффициенты корреляции для переменных Xi и Xj ; rYXj – парный коэффициент корреляции для переменных Y и Xj. Интерпретация стандартизированных коэффициентов регрессии: стандартизированный коэффициент λj является показателем степени влияния независимой переменной Xj на зависимую переменную Y, интерпретируется как "вклад" независимой переменной Xj в дисперсию (изменчивость) зависимой переменной Y. Связь коэффициентов (нестандартизированных) множественной регрессии со стандартизированными коэффициентами регрессии: bj = λ где σY - стандартное j отклонение σY σ Xj , зависимой переменной Y; σ xj - стандартное отклонение объясняющей переменной Xj . 3.3.Оценка качества множественной регрессионной модели В общем случае, оценка качества множественной регрессионной модели включает следующие направления анализа: • интерпретация регрессии и содержательный экономический анализ, • выполнимость теоретических предпосылок, • анализ расчетных статистических показателей качества. 6 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ В рамках эконометрического исследования, внимание акцентируется на анализе расчетных статистических показателей качества. Система показателей качества множественной регрессии Показатели качества коэффициентов регрессии Показатели качества уравнения регрессии Стандартные ошибки коэффициентов регрессии Коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент детерминации Значения t-статистики Значение F-статистики Вспомогательные показатели Коэффициент корреляции Сумма квадратов остатков Стандартная ошибка регрессии 3.4.Показатели качества коэффициентов множественной регрессионной модели  Стандартные ошибки коэффициентов регрессии для точности определения оценок коэффициентов регрессии. Практические формулы коэффициентов регрессии: для 2 Sbj Sbj = 2 Sbj = расчета стандартных анализа ошибок , S 2 z 'jj - выборочная дисперсия j-коэффициента (j=0,1,…,m), −1 T −1 где z'jj - j-й диагональный элемент матрицы Z = ( X X ) , n S2 = ∑ i=1 ei2 n = ∑ i=1 ˆi )2 (y i − y - необъясненная дисперсия (мера разброса n− m− 1 n− m− 1 зависимой переменной вокруг линии регрессии), где m - количество объясняющих переменных модели, причем (n–m–1) заменяется на (n–k), где под k подразумевается число параметров (коэффициентов) модели регрессии, подлежащих определению; корень квадратный из 2 необъясненной дисперсии: S = S - называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии). 7 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ Пример оценки стандартных ошибок коэффициентов регрессии для уравнения с двумя объясняющими переменными в расширенной форме:  1 x12 ∑ ( x i 2 − x 2 )2 + x 22 ∑ (x i1 − x1 )2 − 2x1 x 2 ∑ (x i1 − x1 )(x i 2 − x 2 )  2 Sb20 =  + S 2 2 2 ( x − x ) ( x − x ) − ( ( x − x )( x − x ))  n  ∑ i1 1 ∑ i 2 2 ∑ i1 1 i 2 2 S2 S b21 = ∑ (x i1 − x1 )2 ⋅ (1 − r122 ) S b22 = ∑ (x i2 S2 2 − x 2 )2 ⋅ (1 − r12 ) r12 = rx1x 2 = где ∑ ( x i1 − x1 )( x i 2 − x 2 ) выборочный коэффициент nσ x1σ x 2 корреляции между объясняющими переменными X1 и Х2 , σx1 и σx2 – среднеквадратическое отклонение для переменных X1 и Х2, соответственно.  t-статистики для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии. Как и в случае парной регрессии, статистическая значимость коэффициентов множественной линейной регрессии с m объясняющими переменными проверяется на основе tстатистики: t = bj Sbj , имеющей распределение Стьюдента с числом степеней свободы (n-m-1). По аналогии с парной регрессией: при условии bj t = ≥ tα , n − m − 1 коэффициент считается статистически значимым при 2 Sbj выбранном уровне значимости α; в противном случае - коэффициент не может быть признан значимым при выбранном уровне значимости α, т.е. означает что, наличие фактора Xj среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения, не оказывая существенного влияния на зависимую переменную. Зачастую строгая проверка значимости коэффициентов заменяется простым сравнительным анализом: • • Если |t|<1, то коэффициент статистически незначим. После установления того факта, что коэффициент bj статистически незначим, рекомендуется исключить из уравнения регрессии переменную Xj, что не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной. Если 1<|t|<=2, то коэффициент относительно значим, рекомендуется воспользоваться таблицей критических точек распределения Стьюдента. 8 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ • Если 2<|t|<=3, то коэффициент значим, это утверждение является гарантированным при числе степеней свободы ν>20 и α≥0,05 (см. таблицу критических точек распределения Стьюдента). • Если |t|>3, то коэффициент считается сильно значимым, вероятность ошибки в данном случае при достаточном числе наблюдений не превосходит 0,001.  Доверительные интервалы для проверки значимости коэффициентов регрессии. По аналогии с парной регрессией могут быть рассчитаны и применены для проверки значимости коэффициентов регрессии интервальные оценки: b − t  α , n − m − 1Sbj ; b j + tα , n − m − 1Sbj  j  2 2 . 3.5.Показатели качества уравнения множественной регрессионной модели  Коэффициент детерминации как суммарная мера общего качества уравнения регрессии (соответствия уравнения регрессии статистическим данным). ◊Коэффициент детерминации R2 является мерой, позволяющей определить, в какой степени найденная прямая регрессии дает лучший результат для объяснения поведения зависимой переменной Y, чем горизонтальная прямая Y = Y . ◊Коэффициент детерминации R2 определяет долю разброса зависимой переменной Y, объяснимую уравнением регрессии. Как и в случае парной регрессии, детерминации рассчитывается по формуле: n R2 = 1 − ∑ n ∑ (y i=1 i практике n 2 i e i=1 на − y) 2 = 1− ∑ (y i ˆi ) − y ∑ (y − y) i=1 n i=1 i коэффициент 2 2 Особенности интерпретации значения коэффициента детерминации в множественной регрессионной модели: • В общем случае, справедливо соотношение 0 ≤ R2 ≤ 1, чем ближе коэффициент детерминации R2 к единице, тем больше уравнение регрессии объясняет поведение Y. • Низкое значение R2 не свидетельствует о низком качестве модели, и может объясняться наличием существенных факторов, не включенных в модель. 9 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ • Добавление новой объясняющей переменной никогда не уменьшает значение R2: каждая следующая объясняющая переменная может лишь дополнить, но никак не сократить информацию, объясняющую поведение зависимой переменной, что уменьшает (в худшем случае не увеличивает) область неопределенности в поведении Y. • Показатели R2 в разных моделях с разным числом переменных (и наблюдений) несравнимы. ◊Скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации R 2 показывает долю объясненной дисперсии зависимой переменной Y с учетом числа переменных регрессии; при расчете коэффициента детерминации для получения несмещенных оценок (остаточной и общей дисперсии) в числителе и знаменателе вычитаемой из единицы дроби делается поправка на число степеней свободы: n ∑ i=1 R 2 = 1− ei2 (n − m − 1) n ∑ (y i=1 Интерпретация детерминации: i − y) 2 = 1 − (1 − R2 ) n− 1 n− m− 1 (n − 1) значения скорректированного коэффициента • R 2 < R 2 при m>1, т.е. с ростом числа объясняющих переменных m скорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем (обычный) коэффициент детерминации. • R 2 = R 2 только при R2 = 1. • Скорректированный коэффициент детерминации R 2 может принимать отрицательные значения (напр., при R2 = 0). Скорректированный коэффициент детерминации R2 увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы; поэтому на практике добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Показатели R 2 в разных моделях с разным числом переменных (и наблюдений) ограниченно сравнимы. • • 10 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________  F-статистика для проверки качества уравнения: представляет собой отношение объясненной суммы квадратов (в расчете на одну объясняющую переменную) к остаточной сумме квадратов (в расчете на одну степень свободы), т.е.: n ∑ i=1 F = n ∑ (y i=1 i (yˆ i ˆ − y ˆi ) − y ) 2 m = 2 R2 2 m (1 − R ) (n − m − 1) (n − m − 1) Анализ статистической значимости коэффициента детерминации R2 с помощью F-статистики как проверка гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных: по аналогии с парной регрессией, R2 признается статистически значимым (т.е. R2>0) при условии: F > Fα , m , n − m − 1 , где Fα , m , n − m − 1 - критическое значение, определяемое по таблицам критических точек распределения Фишера при заданном уровне значимости α и степенях свободы m и (n-m-1). Проверка равенства двух коэффициентов детерминации с помощью Fстатистики как проверка гипотезы о равенстве нулю не всех коэффициентов регрессии одновременно, а только некоторой части этих коэффициентов, что позволяет оценить обоснованность исключения или добавления в уравнение регрессии некоторых наборов объясняющих переменных (при совершенствовании регрессионной модели). Анализ целесообразности исключения из уравнения регрессии некоторых наборов объясняющих переменных Анализ целесообразности добавления в уравнение регрессии некоторых наборов объясняющих переменных Определяется R12 - коэффициент детерминации для построенного по n наблюдениям уравнения регрессии первоначально Исключением из рассмотрения k последних переменных формируется уравнение для оставшихся факторов по первоначальным n наблюдениям и определяется для него 2 коэффициент детерминации R2 Добавлением новых k объясняющих переменных формируется уравнение по первоначальным n наблюдениям и определяется для него коэффициент детерминации R22 Рассчитывается F-статистика: Рассчитывается F-статистика: F = R12 − R22 n − m − 1 ⋅ , 1 − R12 k где (R12-R22) уравнения – потеря в F = R22 − R12 n − m − 1 ⋅ , k 1 − R22 качества где обозначения результате ранее принятым. 11 соответствуют Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ отбрасывания k переменных, k – число дополнительно появившихся степеней свободы, (1- R12)/(n-m-1) – необъясненная дисперсия первоначального уравнения Определяется критическое значение Fα , k , n − m − 1 по таблицам критических точек распределения Фишера при заданном уровне значимости α и степенях свободы v1=k, v2=n-m-1 Исключение (одновременное) из уравнения k переменных считается нецелесообразным при F > Fα , k , n − m − 1 , в противном случае такое исключение допустимо. Добавление в уравнение k новых переменных считается целесообразным при F > Fα , k , n − m − 1 , в противном случае такое добавление нецелесообразно. Проверка гипотезы о совпадении уравнений регрессии для двух выборок (тест Чоу) с помощью F-статистики. Здесь F-статистика представляет собой отношение меры улучшения качества уравнения в расчете на одну использованную степень свободы к мере необъясненной дисперсии в расчете на оставшуюся степень свободы, имеет F-распределение со степенями свободы v1=m+1, v2=n-2m-2: RSS − RSS1 − RSS2 n − 2m − 2 F = ⋅ , RSS1 + RSS2 m+ 1 где RSS1 и RSS2 – суммы квадратов остатков (отклонений от линии регрессии) для выборки объемами n1 и n2 , соответственно, причем для каждой из выборок оценено уравнение регрессии вида: Y = b0 k + b1k X 1 + b2 k X 2 + ... + bmk X m + ek , k = 1,2 ; RSS - сумма квадратов остатков (отклонений от линии регрессии) для объединенной выборки (n=n1+n2), причем для объединенной выборки оценено уравнение регрессии аналогичного вида: Y = b0 + b1 X 1 + b2 X 2 + ... + bm X m + e . Если F < Fα , m + 1 , n − 2m − 2 (т.е. F-статистика близка к нулю при RSS≈RSS1+RSS2), то уравнение регрессии для двух выборок практически одинаково, в противном случае – суждение о несовпадении уравнений регрессии для двух выборок. Fα , m + 1 , n − 2m − 2 - критическое значение, определяемое по таблицам критических точек распределения Фишера при заданном уровне значимости α и степенях свободы v1=m+1, v2=n-2m-2.  Коэффициент корреляции между зависимой и независимой переменной указывает на наличие (или отсутствие) линейной связи между зависимой и независимой переменной. Использование множественной регрессии позволяет обобщить это понятие на случай, когда имеется несколько зависимых переменных, с некоторой корректировкой: высокое значение коэффициента корреляции между исследуемой зависимой и какой-либо независимой переменной может означать, как высокую степень зависимости, так и быть обусловлено другой причиной, например, может 12 Конспект лекций по дисциплине «Эконометрика» для студентов специальности «Бухгалтерский учет, анализ и аудит» Составитель: Коновалова А.С. Раздел 3. Множественная регрессия ________________________________________________________________________________ существовать третья переменная, которая оказывает сильное влияние на первые две. Поэтому на практике для характеристики «чистой» (исключая влияние других факторов) корреляции используются частные коэффициенты корреляции. ◊Парный коэффициент корреляции – коэффициент корреляции между двумя переменными, определяет силу линейной зависимости между двумя переменными; при изучении многомерных связей в ряде случаев может давать неверные представления о характере связи между двумя переменными. ◊Частный коэффициент корреляции – коэффициент корреляции между двумя переменными, очищенный от влияния других переменных. В общем случае выборочный частный коэффициент корреляции между переменными Xi и Xj (1≤i