Множества и функции

Тема М 1-1 Множества и функции 1. Множество это любое собрание определенных и различимых между собой объектов, представляемое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества. Конечное множество состоит из конечного числа элементов. Запись сard А = n означает, что множество содержит n элементов. Для записи принадлежности элементов x1, х2,…, хn множеству А используют обозначение x1, х2,…, хn  А. 2. Пусть Р(x) некоторое предложение, зависящее от x. Оно называется характеристическим свойством A, если для aA Р(a), принимает истинное значение, а в противном случае, когда a  A, – ложное. Тогда множество А можно представить в компактном виде А={ aР(a), aA}. 3. Подмножества. • А=В, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть, xA  xB; xB  xA. • А есть подмножество В:  а  А  а  В, что обозначается А  В. • Множество-степень P(A) – множество всех подмножеств множества А; если сard А = n, то card P(A) = 2 n. 4. Операции над множествами. • Объединение множеств AB = {x  x  A или x  B}. • Пересечение AB = {x  x  A и x  B}. • Пусть А  В, тогда A = {x  B x  A} – дополнение A. 5. Для данного выражения двойственное выражение получается заменой  на , универсального множества Ω на пустое множество  и наоборот. Принцип двойственности: для любого тождества множеств, двой­ственное ему выражение также является тождеством. Примеры: 1. A  B = B  A. 1'. A  B = B  A. 2. A  (B  C) = (A  B) (A  C). 2'. A  (B  C) = (AB)  (AC) 6. Функция f: XY – правило, по которому  x  X ставится в соответствие один и только один элемент yY. Функциональная зависимость обозначается y = f(x), при этом x – независимая переменная (аргумент), а y – зависимая (значение функции). Совокупность всех значений аргумента, каждому из которых соответствует вполне определенное значение функции, называется областью определения функции Df . Свойства функций: • четность: f(-x) = f(x)  x  Df, нечетность: f(-x) = -f(x)  x  Df; • возрастание:  x1, x2  Df│x1 < x2  f(x1) < f(x2) ; • ограниченность:  число М > 0:  f(x)  0: f(x+T) = f(x)  x  Df. 7. Если f: XY , g: YZ, то композиция функций f ° g = h: X→ Z  x  Х ставит в соответствие элемент z = g(f(x)). Если f: XY , то функция f -1: YX является обратной по отношению к f, если имеет место тождество y = f (f -1(y)). Графиком функции f называется геометрическое место (множество) точек на координатной плоскости, имеющих координаты (x; f(x)). Нулями функции f(x) называют те значения аргумента, при которых функция обращается в нуль: f(x) = 0 .