Метрические и полуметрические пространства

Ðàçäåë 2. Ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Ëåêöèÿ 2 Ïîëóìåòðè÷åñêèå è ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Ïîëóìåòðè÷åñêîå (ïðåäìåòðè÷åñêîå, êâàçèìåòðè÷åñêîå, ïñåâäîìåòðè÷åñêîå) ïðîñòðàíñòâî  ïàðà (X, ρ), ãäå X  ìíîæåñòâî, à ρ  îòîáðàæåíèå (ïîëíîîïðåäåëåííîå) ρ : X × X → R, óäîâëåòâîðÿþùåå òðåì àêñèîìàì: 1. ∀x ∈ X : ρ(x, x) = 0 2. ∀x, y ∈ X : ρ(x, y) = ρ(y, x) 3. ∀x, y, z ∈ X : ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) Òåðìèíîëîãèÿ: X  íîñèòåëü ïîëóìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ÏÌÏ); ρ  ïîëóìåòðèêà; x, y, · · · ∈ X  òî÷êè ïðîñòðàíñòâà (õîòÿ õàðàêòåð ýëåìåíòîâ ìîæåò áûòü êàêèì óãîäíî), ρ(x, y)  ðàññòîÿíèå ìåæäó x è y . Àêñèîìà 1: ðàññòîÿíèå îò òî÷êè äî ñàìîé ñåáÿ ðàâíî íóëþ.  ïîëóìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå äîïóñêàåòñÿ, ÷òî íóëþ ìîæåò áûòü ðàâíî ðàññòîÿíèå è ìåæäó ðàçëè÷íûìè ýëåìåíòàìè ìíîæåñòâà X (óñëîâíî ãîâîðÿ, íåñêîëüêî îáúåêòîâ ðàñïîëîæåíî â îäíîì ìåñòå). Åñëè èñêëþ÷èòü òàêóþ ñèòóàöèþ è äîáàâèòü óñëîâèå íåâûðîæäåííîñòè 1'. ρ(x, y) = 0 ⇒ x = y , ïîëóìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â ìåòðè÷åñêîå, à ïîëóìåòðèêà â ìåòðèêó. Äëÿ ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ÌÏ) àêñèîìû 1 è 1' ìîæíî îáúåäèíèòü: 1. ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y . Àêñèîìà 2  àêñèîìà ñèììåòðèè, àêñèîìà 3  íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà (äëèíà ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà íå ïðåâîñõîäèò ñóììû äëèí äðóãèõ ñòîðîí). Óòâåðæäåíèå: ρ(x, y) ≥ 0 (äîêàçàòü!) Òàêèì îáðàçîì, ρ : X × X → R+ Âòîðîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, íåðàâåíñòâî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, íåðàâåíñòâî ìíîãîóãîëüíèêà. Óòâåðæäåíèå: â ÏÌÏ R = {x, y : ρ(x, y) = 0}  îòíîøåíèå ýêâèâàëåíòíîñòè (äîêàçàòü!) Óòâåðæäåíèå: x1 ∼ x2 ∧ y1 ∼ y2 ⇒ ρ(x1 , y1 ) = ρ(x2 , y2 ) (äîêàçàòü!) Ðàññòîÿíèå ìåæäó ýëåìåíòàìè, âõîäÿùèìè â ðàçëè÷íûå êëàññû ýêâèâàëåíòíîñòè, çàâèñèò ëèøü îò êëàññîâ è íå çàâèñèò îò âûáîðà ïðåäñòàâèòåëåé. Óòâåðæäåíèå: åñëè íà X̃ = X/R îïðåäåëèòü ðàññòîÿíèå ρ̃(cl(x), cl(y)) = ρ(x, y), ýòî îïðåäåëåíèå êîððåêòíî, è (X̃, ρ̃)  ÌÏ (äîêàçàòü!). Ðàçëè÷íûå ÌÏ (ÏÌÏ) ñ îäíèì íîñèòåëåì. Ïîäïðîñòðàíñòâà (Ï)ÌÏ. Ïîäìíîæåñòâà. Îãðàíè÷åííîñòü (íåîãðàíè÷åííîñòü) (Ï)ÌÏ è ïîäìíîæåñòâ. Äèàìåòð. Ïðèìåðû (íà÷àëî). 1. Äèñêðåòíàÿ ìåòðèêà. X  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, ρ(x, y) = 1, x ̸= y ε-äèñêðåòíîå ïîäìíîæåñòâî ÌÏ: ∀x ̸= y ∈ A : ρ(x, y) ≥ ε 2. Ïî÷òîâàÿ ìåòðèêà. X  ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî, p ∈ X  ïî÷òàìò, 1 ρ(x, p) = f (x) ≥ 0  íåîòðèöàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ, ðàâíàÿ íóëþ òîëüêî ïðè x = p, ρ(x, y) = f (x) + f (y) 3. Ìåòðèêà êëàññè÷åñêîé ãåîìåòðèè. 4. Ðàññòîÿíèå ìåæäó âåðøèíàìè ãðàôà  íàèìåíüøàÿ ñóììà äëèí ðåáåð. 5. Íàèìåíüøåå âðåìÿ, íåîáõîäèìîå, ÷òîáû ïîïàñòü èç òî÷êè â òî÷êó. √∑ i j 6. Ðèìàíîâî ïðîñòðàíñòâî: dl = i,j gij dx dx (g  ìåòðè÷åñêèé òåí∫ çîð), äëèíà êðèâîé l(γ) = γ dl, ðàññòîÿíèå êàê inf γ l(γ) ïî âñåì âîçìîæíûì êðèâûì γ , ñîåäèíÿþùèì çàäàííûå òî÷êè. Ýéêîíàë. 7. Ðàññòîÿíèÿ  ýêñïåðòíûå îöåíêè ñõîäñòâà-íåñõîäñòâà îáúåêòîâ ëþáîé ïðèðîäû (íàïðèìåð, â ïñèõîëîãèè, áèîëîãèè, ãåîëîãèè, . . . ). Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà ïðîâåðÿåòñÿ îòäåëüíî. 8. X = R, ρ(x, y) = |x − y|. Áóäåì îáîçíà÷àòü E 1 . Òàêóþ ìåòðèêó íà âåùåñòâåííîé îñè áóäåì íàçûâàåòü ñòàíäàðòíîé. 9. X = C, ρ(x, y) = |x − y|. 10. Ïðîñòðàíñòâî RΦ : X = R, ρ(x, y) = |Φ(x) − Φ(y)|, Φ : R → R  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ìåòðèêà, åñëè Φ èíúåêòèâíàÿ, ïîëóìåòðèêà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. 11. Ïðîñòðàíñòâî XΦ : X  ìíîæåñòâî, ρ(x, y) = |Φ(x) − Φ(y)|, Φ : X → R  ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ. Ìåòðèêà, åñëè Φ èíúåêòèâíàÿ, ïîëóìåòðèêà â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. 12. X  ìíîæåñòâî, (Y, ρY )  íåêîòîðîå ÌÏ, F : X → Y . Çàäàäèì ðàññòîÿíèå íà X ôîðìóëîé ρX (x, y) = ρY (F (x), F (y)). (X, ρX )  ÌÏ, åñëè F èíúåêòèâíàÿ, ÏÌÏ â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Ìíîãèå (íå âñå) ÌÏ ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè íîðìèðîâàííûìè ïðîñòðàíñòâàìè (ËÍÏ). Áîëåå ïîäðîáíî äàëüøå, à ñåé÷àñ ïåðâîíà÷àëüíîå çíàêîìñòâî. Ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî (ËÏ) íàä ïîëåì K Ñëîæåíèå, óìíîæåíèå, 8 àêñèîì (1 êóðñ), ñâîéñòâà. Ëàòèíñêèìè áóêâàìè áóäåì îáîçíà÷àòü âåêòîðû (ýëåìåíòû ËÏ), ãðå÷åñêèìè  ÷èñëà (ýëåìåíòû ïîëÿ). Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àÿìè ËÏ íàä ïîëÿìè âåùåñòâåííûõ (îñíîâíîå âíèìàíèå) è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë. Íîðìà è ïîëóíîðìà (ïðåäíîðìà, . . . ). Îáîçíà÷åíèå: ∥ · ∥ : X → R+ (X  ËÏ). Àêñèîìû ïîëóíîðìû: 1. Àáñîëþòíàÿ (ïîëîæèòåëüíàÿ) îäíîðîäíîñòü: ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥ 2 2. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Óòâåðæäåíèå: ∥O∥ = 0, ãäå O  íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà (äîêàçàòü!) Óòâåðæäåíèå: ôóíêöèÿ ρ(x, y) = ∥x − y∥ óäîâëåòâîðÿåò àêñèîìàì ïîëóìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (äîêàçàòü!) Ïîëóìåòðèêà, ïîðîæäåííàÿ ïîëóíîðìîé. Íîðìà: äîïîëíèòåëüíî àêñèîìà íåâûðîæäåííîñòè: 3. ∥x∥ = 0 ⇒ x = O (ìîæíî ñòðåëî÷êó â îáå ñòîðîíû: ∥x∥ = 0 ⇔ x = O)  ýòîì ñëó÷àå ρ(x, y) = ∥x−y∥  ìåòðèêà, ïîðîæäàåìàÿ íîðìîé (äîêàçàòü âûïîëíåíèå àêñèîì ÌÏ!). È îáðàòíî, ∥x∥ = ρ(x, O) (Ðàçóìååòñÿ, ýòî íå äëÿ âñÿêîé ìåòðèêè! Íå ëþáàÿ ìåòðèêà ïîðîæäàåòñÿ íîðìîé) Ïîýòîìó, ÷òîáû íå äåëàòü äâàæäû îäíó è òó æå ðàáîòó, áóäåì ïðîâåðÿòü àêñèîìû íîðìèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà, à âûïîëíåíèå àêñèîì ìåòðè÷åñêîãî ïîëó÷èì êàê ñëåäñòâèå. Ïðèìåðû ËÍÏ (êîòîðûå, ðàçóìååòñÿ, ÿâëÿþòñÿ è ìåòðè÷åñêèìè, òàê ÷òî ñîõðàíÿåì íóìåðàöèþ). Ïðè ïðîâåðêå àáñîëþòíîé îäíîðîäíîñòè ïðîáëåì íå âîçíèêàåò, åå îïóñêàþ. Ïðîâåðêà íåâûðîæäåííîñòè (êîãäà îíà åñòü) òàêæå îáû÷íî òðèâèàëüíà (õîòÿ íå âñåãäà). Èíîãäà áûâàþò ñëîæíîñòè ñ ïðîâåðêîé íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà. 13. Ñíîâà ðàññìîòðèì E 1 : ∥x∥ = |x|, íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: |x + y| ≤ |x| + |y| (áóäåò ìíîãîêðàòíî èñïîëüçîâàíî äàëüøå) 14. X = R2 , ∥x∥ = |x1 |  ïîëóíîðìà, ρ(x, y) = |x1 − y1 |  ïîëóìåòðèêà. Ýëåìåíòû  äâóìåðíûå âåêòîðà, ïîëóíîðìà  ìîäóëü ïðîåêöèè íà îñü àáñöèññ, ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîðàìè îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîåêöèÿìè. Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè  ìíîæåñòâî âåêòîðîâ ñ îäèíàêîâûìè ïðîåêöèÿìè íà îñü àáñöèññ (âåðòèêàëüíàÿ ïðÿìàÿ), ðàññòîÿíèå ìåæäó êëàññàìè ïîñëå ôàêòîðèçàöèè  ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè. ∑n 15. Rn1 : X = Rn , ∥x∥1 = j=1 |xj | (ïðîâåðèòü àêñèîìû) ∑n Ðàññòîÿíèå: ρ1 (x, y) = j=1 |xj − yj |. Ìàíõýòòåíñêàÿ ìåòðèêà. Ñìûñë èíäåêñà 1 ïðè íîðìå è ðàñòîÿíèè, à òàêæå äðóãèõ èíäåêñîâ, âûÿñíèòñÿ äàëüøå. ∑∞ 16. Áåñêîíå÷íîìåðíûé àíàëîã: l1 . X = {x ∈ RN : j=1 |xj | < ∞} (ìíîæåñòâî àáñîëþòíî ñóììèðóåìûõ áåñêîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé).∑Ïðîâåðèòü, ÷òî ËÏ. ∞ ∥x∥1 = j=1 |xj | (ïðîâåðèòü àêñèîìû) ∑∞ Ðàññòîÿíèå: ρ1 (x, y) = j=1 |xj − yj |. 3 17. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëîã. X  ìíîæåñòâî ôóíêöèé íà [a, b], èíòåãðèðóåìûõ ïî Ðèìàíó. ËÏ. ∫b ∥x∥1 = a |x(t)| dt. Ïîëóíîðìà (ïðîâåðèòü) ∫b ρ1 (x, y) = a |x(t) − y(t)| dt  ïîëóìåòðèêà. Àêñèîìà íåâûðîæäåííîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ, ïîñêîëüêó ñóùåñòâóþò èíòåãðèðóåìûå ïî Ðèìàíó ôóíêöèè, íà ðàâíûå òîæäåñòâåííî íóëþ, äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë îò ìîäóëÿ ðàâåí íóëþ (íàïðèìåð, îòëè÷íûå îò íóëÿ â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê). Òàêèå ôóíêöèè îáðàçóþò êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè òîæäåñòâåííîãî íóëÿ. Êëàññ ýêâèâàëåíòíîñòè ïðîèçâîëüíîãî ýëåìåíòà x  ìíîæåñòâî ôóíêöèé, îòëè÷àþùèõñÿ îò x íà ýëåìåíò èç íóëåâîãî êëàññà. 18. CL1 [a, b] = L̃1 [a, b]  ïîäïðîñòðàíñòâî ïðåäûäóùåãî. X  ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ íà [a, b] ôóíêöèé. ∫b ∥x∥1 = a |x(t)| dt  íîðìà. ∫b ρ1 (x, y) = a |x(t) − y(t)| dt  ìåòðèêà. ∫b Òåîðåìà: x ≥ 0 íåïðåðûâíà è íå ðàâíà íóëþ òîæäåñòâåííî ⇒ a x(t) dt > Âñïîìíèòü 1 êóðñ, äîêàçàòü, ïðèìåíèòü. 19. Rnmax . X = Rn , ∥x∥∞ = maxj |xj | Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Âûïèñûâàåì äëÿ êàæäîãî j : ∀j : |xj + yj | ≤ |xj | + |yj | Äàëüøå äâóõõîäîâêà, êîòîðàÿ áóäåò âîçíèêàòü ìíîãîêðàòíî. 1-é øàã: îöåíèâàåì ïðàâóþ ÷àñòü ∀j : |xj + yj | ≤ |xj | + |yj | ≤ ∥x∥ + ∥y∥ 2-é øàã: áåðåì ìàêñèìóì ëåâîé ÷àñòè ïî j ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥ Ðàññòîÿíèå: ρ∞ (x, y) = maxj |xj − yj | Ðàâíîìåðíàÿ ìåòðèêà íà Rn 20. Áåñêîíå÷íîìåðíûé àíàëîã: l∞ . Íîñèòåëü: ËÏ ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íûõ îãðàíè÷åííûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íîðìà: ∥x∥∞ = supj |xj | (ìàêñèìóì ìîæåò íå äîñòèãàòüñÿ, ïîýòîìó áåðåì ñóïðåìóì). Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà òàêîå æå. Ðàññòîÿíèå: ρ∞ (x, y) = supj |xj − yj | 21. Ïðîñòðàíñòâî c  ïîäïðîñòðàíñòâî l∞ . Íîñèòåëü  ËÏ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, èìåþùèõ êîíå÷íûé ïðåäåë. Íîðìà òà æå. 22. Ïðîñòðàíñòâî c0  ïîäïðîñòðàíñòâî c. Íîñèòåëü  ËÏ áåñêîíå÷íî ìàðûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé. Íîðìà òà æå (âìåñòî sup ìîæíî âçÿòü max). 23. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëîã  ïðîñòðàíñòâî C[a, b], ËÏ íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a, b] ôóíêöèé ñ íîðìîé ∥x∥C = maxt∈[a,b] |x(t)| (Ïî÷åìó x(t) îãðàíè÷åíà? Ïî÷åìó ìàêñèìóì äîñòèãàåòñÿ? Âñïîìíèòü äîêàçàòåëüñòâà) Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà: ïðè êàæäîì t çàïèñàòü 4 ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà, äàëüøå äâóõõîäîâêà. Ðàññòîÿíèå: ρC (x, y) = maxt∈[a,b] |x(t) − y(t)| 24. Ðàñøèðåíèå ïðåäûäóùåãî ïðîñòðàíñòâà: ËÏ îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé íà îòðåçêå, âìåñòî ìàêñèìóìà âñþäó ñóïðåìóì, â îñòàëüíîì âñå òàê æå. 25. C 1 [a, b]. Íîñèòåëü  ËÏ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé, ∥x∥C 1 = max{∥x∥C , ∥ẋ∥C }, ãäå ẋ  ïðîèçâîäíàÿ. Äîêàæåì íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Çàïèñûâàåì íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà äëÿ íîðì â C[a, b] ôóíêöèè è ïðîèçâîäíîé: ∥x + y∥C ≤ ∥x∥C + ∥y∥C ∥ẋ + ẏ∥C ≤ ∥ẋ∥C + ∥ẏ∥C , äàëüøå ñíîâà äâóõõîäîâêà. Âîñïðîèçâåäåì ðàññóæäåíèå åùå ðàç: 1) îöåíèâàåì ïðàâûå ÷àñòè ∥x + y∥C ≤ ∥x∥C + ∥y∥C ≤ ∥x∥C 1 + ∥y∥C 1 ∥ẋ + ẏ∥C ≤ ∥ẋ∥C + ∥ẏ∥C ≤ ∥x∥C 1 + ∥y∥C 1 , äàëüøå 2) ïîñêîëüêó îáà âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ëåâûõ ÷àñòÿõ, íå ïðåâîñõîäÿò îáùåé êîíñòàíòû ∥x∥C 1 + ∥y∥C 1 , òî è ìàêñèìóì èç íèõ (òî åñòü ∥x + y∥C 1 ) òàêæå åå íå ïðåâîñõîäèò. 26. C l [a, b]. Íîñèòåëü: ËÏ l ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ íà [a, b] ôóíêöèé, ∥x∥C l = max{∥x∥C , ∥ẋ∥C , ∥ẍ∥C , . . . , ∥x(l) ∥C } Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà  àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ. n (E  â ÷åñòü Åâêëèäà). Ïðîñòðàíñòâî Rn ñ åâêëèäîâîé íîðìîé 27. Rn2 = E√ ∑n 2 ∥x∥2 = j=1 |xj | Êàê îáû÷íî, íåêîòîðóþ ñëîæíîñòü ïðåäñòàâëÿåò òîëüêî ïðîâåðêà ñïðàâåäëèâîñòè íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà. Äîêàæåì ñíà÷àëà âñïîìîãàòåëüíîå, íî î÷åíü âàæíîå íåðàâåíñòâî Êîøè-Áóíÿêîâñêîãî-Øâàðöà (ÊÁØ): v v u∑ u∑ n ∑ u n u n 2 t xj yj ≤ |xj | · t |yj |2 j=1 j=1 j=1 Îäèí èç∑ñïîñîáîâ äîêàçàòåëüñòâà: ðàññìîòðåíèå ñóììû n Φ(λ) = j=1 (xj + λyj )2 ≥ 0 Ôóíêöèÿ Φ(λ) íåîòðèöàòåëüíà ïðè ëþáîì λ, ïîñêîëüêó íåîòðèöàòåëüíû âñå ñëàãàåìûå. Ñ äðóãîé ∑n ∑ñòîðîíû, ∑n ∑n n Φ(λ) = j=1 (xj + λyj )2 = j=1 x2j + 2λ j=1 xj yj + λ2 j=1 yj2 , ò.å. Φ(λ)  êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí îòíîñèòåëüíî λ (ïðè íåíóëåâîì âåêòîðå y ) ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì ïðè λ2 . Äèñêðèìèíàíò ýòîãî òðåõ÷ëåíà äîëæåí áûòü íåïîëîæèòåëüíûì, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïðè íåêîòîðûõ λ (ëåæàùèõ ìåæäó êîðíÿìè) òðåõ÷ëåí ïðèíèìàë áû îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Îòñþäà (∑ )2 (∑ ) (∑ ) n n n 2 2 D/4 = x y − y x j=1 j j j=1 j j=1 j ≤ 0, 5 ò.å. (∑ n ) ) (∑ )2 (∑ n n 2 2 , y x y ≤ x j j j j j=1 j=1 j=1 îòêóäà è ñëåäóåò íåðàâåíñòâî ÊÁØ. Çàìå÷àíèå 1. Íåðàâåíñòâî ÊÁØ ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî, åñëè äèñêðèìèíàíò ðàâåí 0, ò.å. êîãäà Φ(λ) ïðè íåêîòîðîì λ îáðàùàåòñÿ â 0, ò.å. êîãäà âñå ñëàãàåìûå â ñóììå Φ(λ) ðàâíû íóëþ, ò.å. ∀j : (xj + λyj ) = 0, ò.å. ∀j : xj = −λyj , ò.å. x = −λy , ò.å. âåêòîðû x è y êîëëèíåàðíû. Çàìå÷àíèå 2. Ìîæíî â äîêàçàòåëüñòâå è â ñàìîì íåðàâåíñòâå ÊÁØ çàìåíèòü xj è yj ìîäóëÿìè. Òîãäà ïîëó÷àåì:√ √∑ ∑n ∑n ∑n ∑n n 2· 2 ≤ |x | · |y | ≤ x y x y ≤ |x | j j j j=1 j=1 j j j=1 j j j=1 j=1 |yj | Çàìå÷àíèå 3. Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåíî äëÿ ñëó÷àÿ âåùåñòâåííûõ âåêòîðîâ. Íåñêîëüêî ìîäèôèöèðîâàâ åãî, ìîæíî äîêàçàòü è êîìïëåêñíûé àíàëîã íåðàâåíñòâà, çàïèñûâàþò â âèäå √∑ êîòîðûé√îáû÷íî ∑n ∑n n 2· 2 x ȳ ≤ |x | |y j j=1 j j j=1 j=1 j | (âåðõíÿÿ ÷åðòî÷êà  êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå) Òåïåðü ïåðåõîäèì ê äîêàçàòåëüñòâó íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì Φ(1) è ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî ÊÁØ: ∑n ∑n ∑n ∑n 2 2 2 x y x + 2 (x + y ) = j j + j j j=1 yj ≤ j=1 j=1 j=1 j √ √ ∑n ∑n ∑n ∑n 2 2 2 ≤ j=1 x2j + 2 j=1 yj = j=1 |xj | · j=1 |yj | + (√∑ )2 √∑ n n 2 2 = j=1 |xj | + j=1 |yj | Èçâëåêàÿ êâàäðàòíûé êîðåíü, ïîëó÷àåì √∑ √∑ √∑ n n n 2 2+ 2 (x + y ) ≤ |x | j j j j=1 j=1 j=1 |yj | , ò.å. ∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2 + ∥y∥2 √ íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. ∑n n 2 Ðàññòîÿíèå â E : ρ2 (x, y) = j=1 (xj − yj ) ∑∞ 28. Áåñêîíå÷íîìåðíûé àíàëîã: l2 . X = {x ∈ RN : j=1 |xj |2 < ∞} (ìíîæåñòâî êâàäðàòè÷íî ñóììèðóåìûõ áåñêîíå÷íûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé). Ñíà÷àëà íóæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îáðàçóþò ËÏ, ò.å. ÷òî ïðîèçâîëüíàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ òàêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé òàêæå êâàäðàòè÷íî ñóììèðóåìà. Äîêàæåì, ÷òî ñóììà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èç l2 ïðèíàäëåæèò l2 (óìíîæåíèå íà ÷èñëî âîïðîñîâ ∑∞ ∑∞ íå âûçûâàåò), ò.å. åñëè ñõîäÿòñÿ ðÿäû j=1 |xj |2 è j=1 |yj |2 , òî ðÿä ∑∞ 2 j=1 |xj + yj | òàêæå ñõîäèòñÿ. ∑∞ Äëÿ ýòîãî ñïåðâà äîêàæåì ñõîäèìîñòü ðÿäà j=1 xj yj . Ìû çíàåì, ÷òî â ñèëó íåðàâåíñòâà√ÊÁØ √∑ ∑n ∑n n 2· 2 ∀n : j=1 |xj yj | ≤ |x | j j=1 j=1 |yj | Îöåíèì ïðàâóþ ÷àñòü, ñóììû ñóììàìè ðÿäîâ: √∑ çàìåíèâ êîíå÷íûå √∑ ∑n n n 2· 2 ∀n : j=1 |xj yj | ≤ |x | |y j j=1 j=1 j | ≤ √∑ √∑ ∞ ∞ 2 2 ≤ j=1 |xj | · j=1 |yj | , 6 ÷òî îçíà÷àåò îãðàíè÷åííîñòü ∑∞ ìíîæåñòâà ÷àñòè÷íûõ ñóìì ðÿäà ñ íåîòðèöàòåëüíûìè ÷ëåíàìè j=1 |xj yj |, îòêóäà âûòåêàåò åãî ñõîäèìîñòü, ∑∞ à ýòî çíà÷èò, ÷òî ðÿä j=1 xj yj òàêæå ñõîäèòñÿ (àáñîëþòíî). Ïîýòîìó ñõîäèòñÿ è ðÿä ∑ ∑ ∞ ∞ 2 2 2x y + |y |2 ) = j=1 |xj + yj | =∑ j=1 (|xj | + ∑ ∑∞ j j 2 j ∞ ∞ 2 = j=1 |xj | + 2 j=1 xj yj + j=1 |yj | , òî åñòü ìû âèäèì, ÷òî l2  äåéñòâèòåëüíî ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî. Óñòðåìèâ â íåðàâåíñòâå ÊÁØ n ê áåñêîíå÷íîñòè, ïåðåéäåì ê ïðåäåëó (ýòî ìîæíî, ïîñêîëüêó íåðàâåíñòâî íåñòðîãîå, à ïðåäåëû ñóùåñòâóþò) è ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî ÊÁØ äëÿ êâàäðàòè÷íî ñóììèðóåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé: √∑ √∑ ∑∞ ∞ ∞ 2 2 j=1 xj yj ≤ j=1 |xj | · j=1 |yj | èëè, â ðàçâåðíóòîì âàðèàíòå, ∑∞ ∑∞ ∑∞ j=1 xj yj ≤ j=1 xj yj ≤ j=1 |xj | · |yj | ≤ √∑ √∑ ∞ ∞ 2 2 ≤ j=1 |xj | · j=1 |yj | Îòñþäà íåìåäëåííî ñëåäóåò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà (ðîâíî òàê æå, êàê äëÿ E n ). √∑ ∞ 2 Ðàññòîÿíèå: ρ2 (x, y) = j=1 |xj − yj | . 29. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëîã: CL2 [a, b]√= L̃2 [a, b]  ËÏ íåïðåðûâíûõ íà ∫b |x(t)|2 dt. Ïîñêîëüêó ôóíêöèè [a, b] ôóíêöèé ñ íîðìîé ∥x∥2 = a íåïðåðûâíûå, âûïîëíåíà àêñèîìà íåâûðîæäåííîñòè, íóæíî äîêàçàòü íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. Òàê æå, êàê è ðàíüøå, äîêàçûâàåì √∫ íåðàâåíñòâî ÊÁØ äëÿ ôóíêöèé √∫ ∫b b b 2 |x(t)| dt · |y(t)|2 dt, x(t)y(t) dt ≤ a a a âûòåêàþùåãî èç íåîòðèöàòåëüíîñòè ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ λ ôóíêöèè ∫b Φ(λ) = a (x(t) + λy(t))2 dt = ∫b ∫b ∫b = a x2 (t) dt + 2λ a x(t)y(t) dt + λ2 a y 2 (t) dt, è ñëåäóþùåé èç íåå íåïîëîæèòåëüíîñòè äèñêðèìèíàíòà ) ) (∫ (∫ )2 (∫ b b b 2 |y(t)| dt D/4 = a x(t)y(t) dt − a |x(t)|2 dt a Äîêàçàòåëüñòâî íåðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêà ïîâòîðÿåò ñîîòâåòñòâóþn ùåå äîêàçàòåëüñòâî äëÿ . √E ∫b Ðàññòîÿíèå: ρ2 (x, y) = |x(t) − y(t)|2 dt Òàêàÿ ìåòðèêà íàçûâàåòñÿ a ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé. 30. Ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ, îòëè÷íîé îò îòðåçêà 31. Âåñîâûå ïðîñòðàíñòâà 32. Ïðîñòðàíñòâà W̃1l è W̃2l 33. Ïðîñòðàíñòâà âåêòîð-ôóíêöèé 7 34. Ìåòðè÷åñêîå (íå íîðìèðîâàííîå, íå âåêòîðíîå) ïðîñòðàíñòâî êðèâûõ (íà ïëîñêîñòè, â ïðîñòðàíñòâå). Äëÿ êàæäîé êðèâîé âûáèðàåì ïàðàìåòðèçàöèþ ñ ïîìîùüþ âåêòîð-ôóíêöèè íà îòðåçêå, íàõîäèì ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ôóíêöèÿìè. Ðàññòîÿíèå çàâèñèò îò ïàðàìåòðèçàöèè. Áåðåì inf ïî âñåì ïàðàìåòðèçàöèÿì. (Äîêàçàòü âûïîëíåíèå àêñèîì ÌÏ) Äëÿ ëèíåéíûõ íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ åñòü è äðóãèå ñïîñîáû ìåòðèçàöèè, ïîìèìî ôîðìóëû ρ(x, y) = ∥x − y∥. 35. Ìåòðèêà ôðàíöóçñêîé æåëåçíîé äîðîãè.  XIX âåêå âñå æåëåçíûå äîðîãè âî Ôðàíöèè øëè ÷åðåç Ïàðèæ. P ∈ X  âûäåëåííûé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà (Ïàðèæ), òîãäà ρ(x, y) = ∥x − y∥, åñëè âåêòîðà x − P è y − P êîëëèíåàðíû (x è y íàõîäÿòñÿ íà îäíîé è òîé æå æåëåçíîäîðîæíîé âåòêå), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ρ(x, y) = ∥x − P ∥ + ∥y − P ∥ (åäåì ÷åðåç Ïàðèæ). ×àñòíûé ñëó÷àé P = O  ìåòðèêà ïàðèæñêîãî ìåòðî. Äàëåå áóäóò ðàññìîòðåíû è äðóãèå ïðèìåðû ìåòðè÷åñêèõ è íîðìèðîâàííûõ ïðîñòðàíñòâ. 8