Методы решения систем линейных алгебраических уравнений; метод прогонки

ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Метод прогонки Лекция 6 Метод прогонки теория Применяется для решения систем уравнений с трехдиагональной (ленточной) матрицей. Такая система уравнений записывается в виде: (1) Является частным случаем метода Гаусса и состоит из прямого и обратного хода. Прямой ход состоит в исключении элементов матрицы системы (1), лежащих ниже главной диагонали. В каждом уравнении останется не более двух неизвестных и формулу обратного хода можно записать в следующем виде: (2) Метод прогонки теория Уменьшим в формуле (2) индекс на единицу: и подставим в : Выразим (3) Сравнивая (2) и (3), получим: (4) Метод прогонки теория (5) Теперь по формулам (4) и (5) можно вычислить прогоночные коэффициенты Ui и Vi ( i =1, 2, 3, ..., n ). Это прямой ход прогонки. Зная прогоночные коэффициенты, по формулам (2), можно вычислить все xi ( i = n, n -1, ..., 1) (обратный ход прогонки). Поскольку cn=0 , то Un=0 и xn =Vn . Далее вычисляем 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥2 , 𝑥1 . Метод прогонки Решение примеров Пример 4. Решить систему уравнений методом прогонки: 10𝑥2 + 𝑥3 = 5 −2𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 1 0,1𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = −5 −𝑥1 + 8𝑥2 = 40 Решение. Коэффициенты записываем в виде таблицы Метод прогонки Решение примеров Прямой ход прогонки. По формулам (4) и (5) определяем прогоночные коэффициенты Ui и Vi ( i =1, 2, 3,4 ). (4) (5) Метод прогонки Решение примеров Метод прогонки Решение примеров Обратный ход прогонки. По формулам (2) вычисляем все xi ( i = 4, 3, 2,1). Поскольку U4=0, то x4=V4=5 . Метод прогонки Решение примеров Пример 5. Решить систему уравнений методом прогонки на языке VBA.. 10𝑥2 + 𝑥3 = 5 −2𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 1 0,1𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥3 = −5 −𝑥1 + 8𝑥2 = 40 Решение. Вносим данные в таблицу. Метод прогонки Решение примеров Программа решения системы линейных алгебраических уравнений методом прогонки на языке VBA. Результат программы: Метод прогонки Решение примеров Пример 6. Решить систему уравнений методом прогонки с помощью программы Excel. Порядок решения. 1) Ввести в ячейки A1:G1 заголовки столбцов. 2) В ячейки A3:D6 – коэффициенты 𝑎𝑖 , 𝑏𝑖 , 𝑐𝑖 , 𝑑𝑖 . Строки выше и ниже данных оставить пустыми. Метод прогонки Решение примеров 3) В ячейку E3 – формулу U1 =-C3/(A3*E2+B3) 4) В ячейку F3 – формулу V1 =(D3-A3*F2)/(A3*E2+B3) 5) В ячейку G3 – формулу x1 =G4*E3+F3 6) Выделить ячейки E3:G3 и скопировать формулы в соседние ячейки E4:G4 … E6:G6 при помощи маркера заполнения. 7) В ячейках G3:G6 появятся значения решения системы уравнений. Метод прогонки Решение примеров Результат вычислений: