Методы поддержки принятия решений в условиях риска

проф. Емельянов В.А. Риск - вероятность наступления неблагоприятных событий, приводящих к убытку. Риск - математическое ожидание функции потерь вследствие принятия решения. Риск является количественной оценкой последствий принятого решения. Минимизация риска является главным критерием оптимальности в теории принятия решений. Решения в условиях риска принимаются в ситуациях, когда хотя бы один из параметров решения является вероятностным, а все остальные – определенными. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Для поддержки используются: принятия решения в условиях риска ▶ Матрица решений ▶ Дерево решений Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Методология принятия решения в условиях риска предполагает построение в процессе обоснования рисковых решений так называемой «матрицы решений», которая имеет следующий вид: Таблица. «Матрица решений», выстраиваемая в процессе принятия решения в условиях риска ▶ A1- A2-... А n – альтернативы (стратегии действий) ▶ С 1- С2-...- С n — варианты ситуации развития событий▶ Э11-...-Эnn — конкретный уровень эффективности решения, соответствующий определенной альтернативе при определенной ситуации. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Для выбора оптимального решения в условиях риска, когда известны вероятности реализации всех сценариев, определяют вариант действий, связанный с наилучшими возможными результатами. При этом используют стандартную формулу математического ожидания: n Bi   q j aij , i  1,2,..., m j 1 Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Критерий оптимальности при принятии решений в условиях риска: ▶ Критерий Байеса: лучшим решением является вариант, который обеспечивает максимум ожидаемого положительного результата (или минимум ожидаемого отрицательного результата). n  B  max  q j aij  i  j 1  Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Задача. Найти оптимальную стратегию предприятия при выпуске продукции, если платежная матрица имеет вид: П1 П2 П3 bi A1 0,25 0,35 0,40 0,31 A2 0,70 0,20 0,30 0,47 A3 0,35 0,85 0,20 0,47 A4 0,80 0,10 0,35 0,50 qi 0,5 0,3 0,2 Для удобства решения задач платежная матрица дополняется столбцом bi и строкой qi b1= 0.5*0.25+0.3*0.35+0.2*0.4=0.31 B = max {0,31; 0,47; 0,47; 0,50} = 0,50 Оптимальной стратегией предприятия по критерию Байеса относительно выигрышей является А4 Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Дерево решений — это графическое изображение процесса принятия решений, в котором отражены альтернативные решения, альтернативные состояния среды, соответствующие вероятности и выигрыши для любых комбинаций альтернатив и состояний среды. Метод дерева решений состоит из этапов: ▶ Формулировка задачи с идентификацией существующих факторов влияния ▶ Определение перечня событий, которые могут произойти с определенной вероятностью, а также очередность возникновения данных событий ▶ Построение дерева решений, состоящее из 2 основных частей: - «решения» и «вероятностные события» ▶ Оценка выигрышей и проигрышей субъекта решения ▶ Решение задачи и окончательный выбор наиболее подходящего варианта Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Дерево решений имеет пять элементов: ▶ Точки принятия решений - это моменты времени, когда происходит выбор альтернатив. ▶ Точка случайного события (точка возникновения последствий) - момент времени, когда с тем или иным результатом наступает случайное событие. ▶ Ветви - линии, соединяющие точки принятия решений с точками случайного события. Ветви, исходящие из точки принятия решений, показывают возможные решения, а линии, исходящие из узлов случайных событий, представляют возможные результаты случайного события. ▶ Вероятности - числовые значения, расположенные на ветвях дерева и обозначающие вероятность наступления этих событий. Сумма вероятностей в каждой точке принятия решений равна 1. ▶ Ожидаемое значение (последствия) - это расположенное в конце ветви количественное выражение каждой альтернативы. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Правила построения дерева решений: ▶ Модель (дерево) создается слева направо. ▶ Построение начинается с отображения точки принятия решения. Из этой точки рисуют количество ветвей, равное числу проектных альтернативных решений. ▶ Места, где принимаются решения, обозначают квадратами □; ▶ Места появления исходов — кругами ○; ▶ Возможные решения — пунктирными линиями ▶ Возможные исходы — сплошными линиями --------; —. Для каждой альтернативы рассчитывается ожидаемая стоимостная оценка (EMV) — максимальную из сумм оценок выигрышей, умноженных на вероятность реализации выигрышей, для всех возможных вариантов. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Для каждой альтернативы рассчитывается ожидаемая стоимостная оценка (EMV) EMV (Expected Monetary Value)— максимальная из сумм оценок выигрышей, умноженных на вероятность реализации выигрышей, для всех возможных вариантов. Для каждой альтернативы ожидаемая стоимостная оценка EMV есть сумма всевозможных оценок условий (выигрышей) для этой альтернативы, умноженных на вероятности реализации этих выигрышей ai выигрыш ЛПР при выборе альтернативы Pj вероятность наступления состояния j Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Задача: Главному инженеру компании надо принять решение, монтировать или нет новую производственную линию, использующую новейшую технологию. А. Если новая линия будет работать безотказно, компания получит прибыль 200 млн. рублей. Если же она откажет, компания может потерять 150 млн. рублей. По оценкам главного инженера, существует 60% шансов, что новая производственная линия откажет. Б. Можно создать экспериментальную установку, а затем уже решать, монтировать или нет производственную линию. Эксперимент обойдется в 10 млн. рублей. Главный инженер считает, что существует 50% шансов, что экспериментальная установка будет работать. Если экспериментальная установка будет работать, то 90% шансов за то, что смонтированная производственная линия также будет работать. Если же экспериментальная установка не будет работать, то только 20% шансов за то, что производственная линия заработает. 1. Следует ли монтировать производственную линию? 2. Следует ли строить экспериментальную установку? 3. Какова ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения? Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. В узле F возможны исходы: ▶ «линия работает» с вероятностью 0,4 (что приносит прибыль 200) ▶ «линия не работает» с вероятностью 0,6 (что приносит убыток -150) Оценка узла F: EMV(F) = 0,4 · 200 + 0,6 · ( -150) = -10. Это число мы пишем над узлом F. EMV(G) = 0. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. В узле 4 мы выбираем между решениями: ▶ «монтируем линию» (оценка этого решения EMV( F) = -10) ▶ «не монтируем линию» (оценка этого решения EMV(G) = 0) EMV(4) = max { EMV( F), EMV(G) } = max {-10, 0} = 0 = EMV(G). Эту оценку мы пишем над узлом 4, а решение «монтируем линию» отбрасываем и зачеркиваем. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Аналогично выполняем расчет других узлов: EMV(B) = 0,9 · 200 + 0,1 · (-150) = 180 - 15 = 165. EMV(С) = 0. EMV(2) = max { EMV(В), EMV(С) } = max {165, 0} = 165 = EMV(B). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное решение «не монтируем линию». Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Аналогично выполняем расчет узлов D, E, 3: EMV(D) = 0,2 · 200 + 0,8 · (-150) = 40 - 120 = -80. EMV(E) = 0. EMV(3) = max {EMV(D), EMV(E)} = max {-80, 0} = 0 = EMV(E). Поэтому в узле 3 отбрасываем возможное решение «монтируем линию». Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. ЕМV(A) = (0,5 · 165 + 0,5 · 0) - 10 = 72,5. EMV(l) = max {EMV(A), EMV(4)} = max {72,5; 0} = 72,5 = EMV(A). Поэтому в узле 1 отбрасываем возможное решение «не строим установку». Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Окончательный выбор: Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения равна 72,5 млн. рублей. ▶ Решение 1 – «Строим установку». ▶ Решение 2 – Если установка работает, то монтируем линию. Если установка не работает, то линию монтировать не надо. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Задача: Компания рассматривает вопрос о строительстве завода. Возможны три варианта действий: A. Построить большой завод стоимостью M1 = 700 тысяч долларов. При этом варианте возможны: - большой спрос (годовой доход в размере R1 = 280 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью p1 = 0,8 - низкий спрос (ежегодные убытки R2 = 80 тысяч долларов) с вероятностью р2 = 0,2. Б. Построить маленький завод стоимостью М2 = 300 тысяч долларов. При этом варианте возможны: - большой спрос (годовой доход в размере T1= 180 тысяч долларов в течение следующих 5 лет) с вероятностью p1 = 0,8 - низкий спрос (ежегодные убытки Т2 = 55 тысяч долларов) с вероятностью р2 = 0,2. B. Отложить строительство завода на один год для сбора дополнительной информации, которая может быть позитивной или негативной с вероятностью p3 = 0,7 и p4 = 0,3 соответственно. В случае позитивной информации можно построить заводы по указанным выше расценкам, а вероятности большого и низкого спроса меняются на p 5 = 0,9 и р6 = 0,1 соответственно. Доходы на последующие четыре года остаются прежними. В случае негативной информации компания заводы строить не будет. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Ожидаемая стоимостная оценка узлов равна: ЕМV(А) = 0,8 · 1400 + 0,2 · (-400) — 700 = 340. EMV(B) = 0,8 · 900 + 0,2 · (-275) — 300 = 365. EMV(D) = 0,9 · 1120 + 0,1 · (-320) — 700 = 276. EMV(E) = 0,9 · 720 + 0,1 · (-220) — 300 = 326. EMV(2) = max {EMV(D), EMV(E)} = max {276, 326} = 326 = EMV(E). Поэтому в узле 2 отбрасываем возможное решение «большой завод». EMV(C) = 0,7 · 326 + 0,3 · 0 = 228,2. EMV(1) = max {ЕМV(A), EMV(B), EMV(C)} = max {340; 365; 228,2} = 365 = EMV(B). Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Теория принятия решений проф. Емельянов В.А. Окончательный выбор: Ожидаемая стоимостная оценка наилучшего решения равна 365 тыс. долларов. ▶ Решение – «Строим маленький завод». Теория принятия решений проф. Емельянов В.А.