Методы планирования однофакторного эксперимента

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА имени адмирала С.О. МАКАРОВА ИНСТИТУТ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРИКЛАДНОЙ ИНФОРМАТИКИ УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой д.т.н., доцент С.В. Колисниченко 31. августа 2021г. ЛЕКЦИЯ № 2.1. ТЕМА: МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Направление подготовки: 23.04.01. Технология транспортных процессов Учебная дисциплина: Б1.Б.04 Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе Обсуждена на заседании кафедры Протокол № 01 от 30 августа 2021 Разработал: Профессор кафедры, к.в.н., доцент А.А. Бурыкин Санкт-Петербург  2021 УДК 004.9 ББК 32.811 Рецензент: Колесниченко С.В., доктор технических наук, доцент ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова Бурыкин А.А., Методы планирования однофакторного эксперимента: Фондовая лекция по дисциплине «Аналитические и численные методы в планировании экспериментов и инженерном анализе» СПб: ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова, 2021. 11с. УДК ББК 004.9 32.811  Бурыкин А.А., 2021. 2 ВВЕДЕНИЕ Актуальность темы Несмотря на высокую эффективность теоретических методов, при рассмотрении конкретных технологических проблем, особенно в условиях действующего производства, инженеру зачастую приходится сталкиваться с задачами, решение которых практически невозможно без организации и проведения того или иного экспериментального исследования. Подведение к основной мысли Являясь источником познания и критерием истинности теорий и гипотез, эксперимент играет очень важную роль, как в науке, так и в инженерной практике. Конкретная цель В лекции рассмотрим основные понятия и методологию экспериментальных исследований. Основные вопросы лекции: 1. Понятие однофакторного эксперимента. 2. Планирование эксперимента методом полного факторнорного эксперимента. 3. Планирование эксперимента методом Бокса-Уилсона. 1. ПОНЯТИЕ ОДНОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Однофакторный эксперимент предполагает изучение объекта при поочередном варьирование одного фактора. Однофакторный эксперимент проводится путем выполнения n пар измерений в дискретные моменты времени единственного входного параметра x(h) и соответствующих значений выходного параметра y (см. рис. 1.) Рисунок 1.  Структурная схема объекта исследования Отклик (выходной параметр) — количественная величина исследуемого параметра y, характеризующая процесс или свойство объекта исследования. Фактор (входной параметр) — переменная x, количественно описывающая один из способов внешнего воздействия на объект исследования и по предположению влияющая на отклик. Факторное пространство  пространство, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. При определении факторного пространства прежде всего надо оценить границы определения фактора. При этом должны учитываться ограничения нескольких типов:  Первый тип — принципиальные ограничения для значения факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах; Например, скорость  нижним пределом будет абсолютный ноль.  Второй тип — ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями. Например, со стоимостью сырья, норативным временем ведения процесса.  Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходится иметь дело, определяется конкретными условиями проведения процесса. Например, существующей аппаратурой, технологией, организацией. Информацию о границах областей определения факторов будем называть априорной. Под областью экспериментирования будем понимать  область факторного пространства, где могут размещаться точки, отвечающие условиям проведения опытов. 3 Наилучшим условиям, определенным при помощи анализа априорной информации, соответствует комбинация (или несколько комбинаций) уровней фактора. Каждая комбинация является многомерной точкой в факторном пространстве, которую можно рассматривать как исходную точку для построения плана эксперимента. Фиксированное значение фактора относительно начала отсчета называется  уровень фактора. Аналитическая зависимость между этими параметрами вследствие случайного характера возмущающих воздействий рассматривается в виде зависимости математического ожидания y от значения x, носящей название  функции отклика: у = 𝑓(𝑥, ℎ)+ (1) где у  функция отклика; х  контролируемый управляемый фактор; h  контролируемый неуправляемый фактор;   ошибка эксперимента. Как правило, эксперимент строится относительно основного выходного параметра, который иногда называется наблюдаемой переменной. Если экспериментальное иследование используется как инструмент принятия решения, то в роли наблюдаемой переменной выступает показатель эффективности. Непосредственной задачей исследователя пассивном эксперименте является сбор численных значений входов и выходов объекта в виде достаточно больших массивов информации, накапливаемых за значительный интервал времени. Собранные данные затем подвергаются специальной обработке с использованием методов математической статистики. Планирование пассивного эксперимента сводится к определению числа опытов, которые необходимо провести исследователю для решения поставленной перед ним задачи, а конечной целью пассивного эксперимента в большинстве случаев является получение функции отклика в виде: у = 𝑓(ℎ)+(h) где (2)  (h)  ошибка эксперимента, учитывающая влияние неконтролируемых факторов. При активном эксперименте исследователь сознательно по определенному плану варьирует фактор, собирает данные о реакции выходов на входные воздействия, после чего также производит статическую обработку полученных результатов опыта. Активный эксперимент делится:  на интерполяционный эксперимент, цель которого получение функции отклика (ее называют целевой), учитывающей влияние контролируемого фактора в виде уравнения: у = 𝑓(𝑥)+(x) (3) где  (х)  ошибка эксперимента, учитывающая влияние контролируемого фактора. Дисперсия Dу выходного параметра, которая характеризует точность измерений, равна дисперсии ошибки опыта, т.е. 𝐷𝑦 = 𝐷𝑒 (4) Dу  называют дисперсией воспроизводимости эксперимента, характеризующая качество эксперимента. Эксперимент называется идеальным при Dу = 0.  экстремальный (поисковый) эксперимент, цель которого — поиск такого сочетания фактора, при котором отклик достигает экстремума (т.е. максимума или минимума). Исследуемая зависимая переменная у называется  параметром оптимизации. Параметр оптимизации должен быть эффективным с точки зрения достижения цели, универсальным (достаточно широко применяемым и всесторонне характеризующим объект исследования), количественным, выражаться одним числом, статистически эффективным (легкость 4 определения статистических моментов), иметь физический смысл, быть простым и легко вычисляемым, существовать для всех заданных состояний фактора. 2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА МЕТОДОМ ПОЛНОГО ФАКТОРНОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА Планирование эксперимента — процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. Рассмотрим планирование эксперимента первого порядка для одной факторной переменной: 1-й этап  Определение цели действия. В соответсвии с которой определяется показатель эффективности и строится математическая модель целевой функции. Планирование эксперимента предполагает поэтапное решение задачи по нахождению адекватной функции отклика. 2-й этап  Постановка задачи при планировании эксперимента. Предполагается, что существует факторное пространство, в котором определена некоторая функция отклика. Предполагается, что зависимость функции (3) от фактора носит экстремальный характер, при этом вид функции неизвестен. Требуется найти точки экстремума. 3-й этап  Построение математической модели. Нахождение вида функциональной зависимости основывается на методе максимального правдоподобия. В начале строится линейная модель, позволяющая выявить силу и направление влияния. уi  b0  b1 xi  еi (5) Сила влияния фактора в формуле (5) определяется модулем коэффициента при данном факторе. Величина b1 (угловой коэффициент регрессии)  показывает на какую величину в среднем измениться результат y, если фактор х увеличить на одну единицу своего измерения. Чем больше величина модуля коэффициента b1, тем сильнее он влияет на параметр оптимизации  результат y. Знак параметра регрессии b1 в модели указывает направление связи (влияние фактора):  если b1  0  связь прямая (положительная), то увеличение значения фактора приводит к возрастанию параметра оптимизации;  если b1  0  связь обратная (отрицательная), то увеличение значения фактора приводит к уменьшению параметра оптимизации. Если устанавливается, что линейная модель неадекватна, то производят усложнение модели с помощью нелинейных эффектов взаимодействия. 4-й этап  Определение условий проведения первой серии опытов. Построение таблицы условий проведения эксперимента осуществляется в несколько шагов. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. В начале на первом шаге для фактора необходимо указать интервал изменения параметра (инрервал варьирования фактора) I, в пределах которого будет производиться исследование. Для этого на основе априорной информации устанавливают координаты одной из наилучших точек в факторном пространстве. Этой комбинации значения фактора соответствует точка, которая принимается за исходную точку. Координаты этой точки принимаются за основной (нулевой) уровень фактора (центр плана). Когда отсутствует априорная информация выбор произволен. Положение усложняется, если эта точка лежит на границе области или весьма близко к границе. Тогда выбор основного уровня выполняется в соответствии с блок-схемой, приведенной на рис. 2 . 5 Рисунок 2.  Порядок выбора основного уровня Разность между максимальным и минимальным натуральными значениями фактора  размах варьирования фактора. 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 (6) Интервал варьирования фактора  половина размаха варьирования фактора. 𝑙= 𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛 2 (7) Т.е. интервалом варьирования фактора называется некоторое число, прибавление которого к основному уровню дает верхний (максимальное значение), а вычитание — нижний пределы (минимальное значение). Для основного уровня выбирают точку в середине области экспериментирования. х0 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 +𝑥𝑚𝑖𝑛 2 (8) На втором эшаге производится процедура кодирования фактора. Преобразование натуральных значений факторов в безразмерные называется  нормализация фактора. 𝑧𝑖 = (𝑥𝑖 −𝑥0 ) 𝑙 (9) Задавая значения хi = х0 + l и хi = х0 - l в формуле (9) получаем для верхнего уровня  (+1), нижнего уровней  (-1), а для основного уровня — 0. Геометрическим представлением функции отклика в факторном пространстве является поверхность отклика (см. рис. 3). При однофакторном эксперименте поверхность отклика представляет собой линию на плоскости. Рисунок 3.  Геометрическое представление функции отклика в факторном пространстве После этого, на третьем шаге определяют количество опытов: 𝑁 = 2𝑘 (10) где N – количество опытов; 2 – количество уровней фактора; k – количество факторов. Так для двух уровнего фактора при однофакторном эксперименте количество опытов равняется двум: 6 𝑁 = 21 = 2 Если эксперимент проводится на нескольких уровнях факторов, то начале на первом шаге для фактора необходимо указать интервал изменения параметра (инрервал варьирования фактора) I, в пределах которого будет производиться исследование. На выбор интервала варьирования накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верхний и нижний уровни окажутся неразличимыми. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы верхний или нижний уровни оказались за пределами области экспериментирования. Размер интервала варьирования составляет некоторую долю от этой области. Можно, например, условиться о следующем: если интервал варьирования составляет не более 10 % от области экспериментирования, то считать его узкими, не более 30 % — средним, в остальных случаях — широким. Количество уровней фактора расчитывают следующим образом. 𝑚= 𝑥вг −𝑥нг 𝑙 −1 (11) m  rоличество сценариев серии опытов; хвг  верхняя граница области экспериментирования; хнг  нижняя граница области экспериментирования. В каждой точке уровня проводится полный факторный эксперимент. Тогда количество опытов при однофакторном эксперименте будет равно: 𝑁 = 2∙𝑚 (12) На четвертом шаге осуществляют определение количества измерений/наблюдений в опыте. Статистическое наблюдение заключается в планомерном, научно организованном и, как правило, систематическом сборе данных о явлениях и процессах путем регистрации заранее намеченных существенных признаков с целью получения в дальнейшем обобщающих характеристик. Выборочное наблюдение при научной его организации и соблюдении технологии проведения дает обоснованные и достоверные данные о параметрах изучаемой совокупности в целом. Получение достоверных результатов возможно лишь в том случае, если выборочная совокупность является репрезентативной. Научной основой выборочного метода является закон больших чисел и теория вероятности, которые позволяют сформулировать следующие основные положения закона больших чисел:  при увеличении числа наблюдений данные выборочной совокупности стремятся воспроизвести данные генеральной совокупности;  при достижении определенного, достаточного количества данные выборочной совокупности воспроизводят данные генеральной совокупности. Статистические методы позволяют обрабатывать любое число наблюдений (как было показано ранее), но чтобы застраховать себя от получения недостоверного результата, следует заранее определить необходимый объем наблюдений для получения достоверных результатов. С этой целью используют специальные формулы, полученные при помощи преобразования формул предельных ошибок для средних и относительных величин:  Если конечный результат будет выражен средними величинами, то необходимый объем наблюдений будет определяться по формуле: где 𝑛= где 𝑡 2 ∙𝜎 2 ∆2 (13) n  количество наблюдений; t  доверительный коэффициент, значение которого зависит от заданного уровня вероятности (р) конечного результата (при р = 95% t = 2, при р = 99% t = 3); σ  среднее квадратическое отклонение, определяется в ходе проведения пробного исследования; 7 Δ  предельная ошибка, значение которой задается исследователем в соответствии с целью и задачами исследования.  При простом случайном отборе необходимый объем выборки будет определяться следующим приближенным соотношением (см. табл. 2.): 𝑛= 4∙р∙(1−р) (14) ∆2 р  уровень вероятности конечного результата (доля признака в совокупности). Δ  предельная ошибка оценки доли по выборке. где Таблица 2.  Характеристика зависимости объема выборки от предельной ошибки и доли признака по совокупности  При простом случайном отборе необходимый объем выборки используя формулу Корнфельда выбирают таким образом, чтобы обеспечить доверительную вероятность проводимых испытаний 95%: 1 𝑛−1 𝑝 = 1 − (2) (15) На пятом шаге производится построение таблицы проведения эксперимента. Так для двух уровнего полного факторного эксперимента при одном факторе матрица эксперимента может быть предствалена в виде таблицы (см. таб.3., 4.): Таблица 3.  Матрица планирования эксперимента Планирование Нормализованое значение фактора х1 Результат Номер опыта 1 -1 𝑦1 2 +1 𝑦2 у Первая строка матрицы соответствует опыту 1, в котором фактор (см. столбец 3) находятся на нижнем уровне  (-1); вторая  опыту 2, когда фактор находится на верхнем уровне  (+1). В последнем столбце приводится среднее значение результатов измерения. Таблица 4.  Расширенная матрица планирования эксперимента Номер опыта Планирование Значение Значение фактора х1 вспомогательной НатуральНормалипеременной ное зованое х0 Выходы отклика Результат у1 у2 … уn у 1 +1 xmin -1 у11 у12 … у1𝑛 𝑦1 2 +1 xmax +1 у12 у22 … у𝑛2 𝑦2 8 Во втором столбце  значения вспомогательной (фиктивной) переменной, вводимой формально для расчета коэффициента b0.  (+1). В столбцах выходы отклика записываются результаты измерений отклика. у= ∑𝑛 𝑖=1 𝑦𝑖 (16) 𝑛 Матрица планирования, записанная в кодированных обозначениях, всегда имеет один и тот же вид для любой задачи с одинаковым числом факторов. Общие свойства матрицы планирования:  симметричность относительно центра эксперимента  сумма элементов всех столбцов матрицы, кроме первого (нулевого) равна нулю ∑𝑁 (17) 𝑖 𝑥𝑖𝑗 = 0  нормировки  сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов 2 к ∑𝑁 (18) 𝑖 𝑥𝑖𝑗 = 𝑁 = 2  ортогональности  скалярное произведение двух любых столбцов матрицы равно нулю: ∑𝑁 (19) 𝑖 𝑥𝑖𝑗 ∙ 𝑥𝑖𝑛 = 0, где 𝑗 ≠ 𝑛 Ортогональные планы делают эксперимент более эффективным. Ортогональность плана позволяет получить оценки для коэффициентов уравнения регрессии независимые друг от друга. Иными словами ортогональность характеризует отсутствие корреляции между факторами.  ротатабельности  точки (значения факторов) в матрице планирования подбираются так, что точность предсказания выходного параметра/отклика должна быть одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента (нулевого уровня) и не зависеть от направления. Т.е. это такие планы, для которых дисперсия у одинакова для всех точек пространства переменных x, лежащих на одинаковых расстояниях от центра. 5-й этап  Расчет коэффициентов регрессии. Коэффициенты регрессии рассчитываются по формулам: 𝑏0 = 𝑏1 = (+1)∙у1 +(+1)∙у2 (20) 2 (−1)∙у1 +(+1)∙у2 (21) 2 Выбор количества и положения на оси х экспериментальных точек начинают с определения граничных значений области экспериментирования. 3. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА МЕТОДОМ БОКСА-УИЛСОНА Одним из методов поиска оптимальных условий для сложных процессов является метод Бокса-Уилсона (Крутого восхождения/спуска). Суть активного поискового эксперимента состоит в том, что по заранее определенным правилам проводятся небольшие серии опытов, после обработки результатов которых планируются условия проведения следующей серии. Двигаясь шаг за шагом, достигают области оптимума. Согласно концепции Бокса-Уилсона задача оптимизации условно разбивается на два этапа:  Первый этап  крутое восхождение/спуск с целью скорейшего достижения области оптимума. При этом используется линейное планирование. Линейный план может использоваться один или несколько раз в зависимости от интенсивности продвижения. В окрестности точки нулевого уровня (область, удаленная от оптимума) ставится эксперимент по схеме планирования факторного эксперимента для локального описания поверхности отклика в исходной точки, линейным уравнением регрессии. 9 Далее рассчитывается вектор-градиент1: 𝜕𝑦 𝑦 = 𝜕𝑥 = 𝑏1 (22) Составляющие градиента есть частные производные функции отклика, оценками которых являются коэффициенты регрессии. Знак составляющих градиента зависит только от формы поверхности отклика и положения нулевой точки. Метод предусматривает движение к оптимуму по наикратчайшему пути, т.е. от центра плана начинают движение к оптимуму по поверхности отклика в направлении градиента. Для того, чтобы начать крутое восхождение по поверхности отклика, моделируемой уравнением (5), необходимо рассчитать шаги крутого восхождения ji для каждого фактора. Шагами крутого восхождения/спуска называют  величины приращений значений факторов при движении по поверхности отклика к области оптимума. Очевидно, что шаги должны быть пропорциональны коэффициенту bj линейной математической модели, рассчитанного по результатам ПФЭ: 𝐽 = 𝑚 ∙ 𝑏𝑗 = 𝑚𝑏1 (23) J  шаг крутого восхождения/спуска; m  масштаб шаг крутого восхождения/спуска. Выбор коэффициента пропорциональности m достаточно сложная задача. От того, как будет выбран масштабный коэффициент, будет зависеть количество необходимых шагов крутого восхождения/спуска. С одной стороны, особенно при проведении физического эксперимента, необходимо стремиться к минимизации опытов, но с другой стороны, появляется опасность «перешагнуть» область оптимума. В расчетных экспериментах, где количество шагов не так критично, масштаб m выбирается минимальным. Отметим, что масштаб шагов крутого восхождения один для всех факторов. Движение к экстремуму продолжают до тех пор, пока наблюдается увеличение (если поиск максимума) или уменьшение (если поиск минимама) параметра оптимизации y. Как только y перестает расти, переносят центр планирования в точку, до которой дошли по градиенту, вновь выполняют эксперимент. При эффективном крутом восхождении/спуска весьма часто удается быстро, приблизиться к области оптимума. Если исследователь попадает в область оптимума, которая не может быть описана линейным приближением, то движение по методу крутого восхождения/спуска заканчивается. Завершается первый этап оптимизации.  Второй этап  описание области оптимума методами нелинейного планирования. Решение этой задачи излагается в методах нелинейного планирования и выходит за рамки настоящего пособия. Рассмотрим планирование эксперимента первого порядка для одной факторной переменной методом крутого восхождение/спуска, начиная с 4-го этапа. 4-й этап  Определение условий проведения серии опытов. Построение таблицы условий проведения эксперимента осуществляется в несколько шагов. Построение плана эксперимента сводится к выбору экспериментальных точек, симметричных относительно нулевого уровня. Для основного уровня выбирают точку в середине области экспериментирования: где х0 = 𝑥вг −𝑥нг (24) 2 Далее производится процедура кодирования фактора по схеме (9). После проведения первой серии опытов определяют условия проведения второй серии опытов, расчитывая следующую точку основного уровня, двигая по направлению градиента: 1 Градиент – это вектор, который направлен в сторону наибыстрейшего изменения функции. 10 х10 = х0 ∓ 𝐽 (25) Алгоритм крутого восхождения удобно оформлять в виде таблицы проведения эксперимента (см. табл. 5.). Таблица 5.  Матрица планирования эксперимента Номер шага Планирование х1 Результат у 1 х0 1 𝑦1 2 х10 = х0 ∓ 𝐽 𝑦2 3 х10 = х0 ∓ 2𝐽 𝑦2 … … … k х10 = х0 ∓ 𝑘𝐽 𝑦𝑘 Эта процедура продолжается до тех пор, пока не попадем в почти стационарную область, т.е. в область, близкую к экстремуму. Восхождение/спуск приостанавливается, если на последующем шаге получится худшее значение параметра оптимизации, чем на предыдущем. После проведения эксперимента методом крутого восхождения/спуска возможны разнообразные ситуации:  крутое восхождение/спуск эффективно;  крутое восхождение/спуск не эффективно;  положение оптимума:  - близко;  - далеко;  - не определено;  адекватна или нет линейная модель?  и т.д. Рассмотрим некоторые из этих ситуаций. Эффективным будем называть восхождение при котором движение по градиенту приводит к улучшению значения параметра оптимизации по сравнению с самым хорошим результатом в матрице ПФЭ. При эффективном крутом восхождении возможны два исхода: область оптимума достигнута или область оптимума не достигнута. Область оптимума достигнута  этот случай является самым легким в смысле принятия решений. Экспериментатор может окончить исследование, если задача заключалась в достижении области оптимума, или продолжить исследование, если задача заключалась не только в достижении области оптимума, но и в детальном ее изучении. При этом необходимо достроить линейный план до плана второго порядка и результаты эксперимента представить в виде полинома второй степени. Область оптимума недостигнута  в этом случае ставится линейный план следующего цикла и исследование продолжается. Возможные варианты решений:  окончить исследование;  построить план второго порядка для исследования области оптимума;  построить линейный план следующего цикла крутого восхождения. При построении линейного плана второго цикла прежде всего возникает вопрос о выборе центра эксперимента. Самая простая рекомендация - расположить центр нового плана в той части факторного пространства, которая соответствует условиям наилучшего опыта при крутом восхождении. 11 Неопределенная ситуация  часто проблема заключается в том, что область оптимума определить невозможно. Не то, что её положение не известно, а то, что значение yopt неизвестно – нет близких аналогов, отсутствует теоретическая модель и т.д. Когда у не имеет ограничения и экспериментатор не может определить степень близости оптимума, возможны два решения: построение линейного плана следующего цикла или, если достигнут требуемый результат, окончание работы. Крутое восхождение не эффективно. Принимать решения при неэффективном движении по градиенту гораздо сложнее. Принятие решений во многом зависит от определенности ситуации (далеко от оптимума, близко, неопределенно) и от адекватности линейной модели. Область оптимума близка. Если при реализации матрицы планирования удалось получить достаточно высокие значения параметра оптимизации и при крутом восхождении улучшить их не удалось, то наиболее типичными являются решения:  окончание исследования (выбирается лучший опыт);  построение плана второго порядка для описания области оптимума.  если линейная модель была неадекватна, то возможно третье решение  возврат к началу исследования для выяснения причины неадекватности линейной модели. Таким образом, метод крутого восхождения/спуска не решает вопроса о самой лучшей точке поверхности отклика, об экстремуме. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных пакетах, широко представленных на рынке программных продуктов:  MS Excel  это электронная таблица с достаточно мощными математическими возможностями, где некоторые статистические функции являются просто дополнительными встроенными формулами. Существует макрос-дополнение XLSTAT-Pro http://www.xlstat.com для MS Excel который, включает в себя более 200 статистических функций. Расчеты сделанные при помощи электронной таблицы не признаются авторитетными журналами.  StatGrapfics  приложение для Windows, предназначено для выявления зависимостей и анализа статистических данных. Приложение позволяет изучать, обрабатывать и анализировать данные, полученные в ходе экспериментов и исследований. Утилита содержит большой набор инструментов для получения статистического описания переменных. Есть возможность выявлять зависимости и находить степень корреляции.  Statistica (http://statsoft.ru/ ) мощнейший инструмент для анализа данных, визуализации, прогнозирования, нейросетевых вычислений, data mining, контроля качества. Российское представительство компании предлагает полностью русифицированную версию программы. Пакет можно рекомендовать для начинающих и профессионалов, которым нужна подсказка и развитая документация на русском языке.  IBM SPSS Statistics (https://www.ibm.com/products/spss-statistics)  позволяет анализировать big data для получения прогнозной информации и формирования эффективной стратегии. Предоставляет мощные средства для сбора данных, построения, оценки и автоматизации прогнозных моделей, а также для интеллектуального анализа данных. Обеспечивает расширенное управление моделями и аналитическое управление решениями как локально, так и в облачных и гибридных средах.  Systat Software (http://systat.com )  программный продукт для статистического анализа, научных исследований, моделирования и прогнозирования для персональных компьютеров.  STATA (http://www.stata.com) профессиональный статистический программный пакет с data-management system.  JMR (http://www.jmp.com)  12  NCSS (http://www.ncss.com)  программа рассчитана на непрофессионалов в области статистической обработки, действия пользователя сопровождаются подсказками.  MINITAB (http://www.minitab.com)  статистический программный пакет, имеющий хороший интерфейс пользователя, хорошие возможности по визуализации результатов работы. Задание для самостоятельной работы: 2. Изучить материал лекции и подготовиться к семинарскому занятию. ЛИТЕРАТУРА а) Использованная при подготовке текста лекции: 1. ГОСТ 24026-1980 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента: Термины и определения. (Документ предоставлен КонсультантПлюс). 2. Планирование эксперимента: материал из Википедии  свободной инциклопедии.URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Планирование_эксперимента. (Дата обращения: 24.07.2021). 3. Спирин, Н.А., Лавров, В.В., Зайнуллин, Л.А., Бондин, А.Р., Бурыкин, А.А., Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента: Учебное пособие. — Екатеринбург: ООО «УИНЦ», 2015 — 290 с. 4. Макаричев Ю.А., Иванников Ю.Н., Методы планирование эксперимента и обработки данных: учеб. пособие / Макаричев Ю.А., Иванников Ю.Н. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2016. – 131с. б) Рекомендуемая студентам для самостоятельной работы: Основная: 1. Сидняев Н.И., Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: Учебник и практикум для Вузов, 2-е изд., испр. и доп. М.: Юрайт, 2020. 495с. Дополнительная: 2. ГОСТ 24026-1980 Исследовательские испытания. Планирование эксперимента: Термины и определения. Профессор кафедры математического моделирования и эконометрии, к.в.н., доцент 14 июня 2021г. 13 А.А. Бурыкин 14