Методы оптимальных решений

Дисциплина: МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ Лекция 2. Многокритериальные задачи и методы принятия оптимальных решений в условиях определенности. Методы принятия оптимальных решений в условиях риска и неопределенности Тема 2.1. Многокритериальные задачи и методы принятия оптимальных решений в условиях определенности. Метод анализа иерархий. Анализ Парето Гвоздкова Ирина Александровна МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО При принятии решений в условиях определенности модели линейного и нелинейного программирования применяют, когда альтернативные решения (например, различные варианты выпуска продукции или услуг) связаны друг с другом точными функциями. Если альтернативные решения оцениваются экспертами на основе совокупности определенных критериев и для решений, критериев и экспертов могут быть введены количественные показатели, задающие числовую шкалу их предпочтений, то соответствующая задача выбора оптимального решения в условиях определенности может быть сведена к построению многоуровневой иерархической модели и решена методом анализа иерархий (МАИ), разработанным американским ученым Т.Л. Саати. МАИ позволяет найти оптимальный вариант из имеющихся альтернатив, который лучше других согласуется с пониманием сущности проблемы и требованиями к её решению, предъявляемыми ЛПР. Данный метод основан: - на структуризации проблемы выбора в виде совокупности различных иерархических уровней (уровня цели (верхний уровень), уровня экспертов, уровня критериев оценки, уровня альтернативных решений (нижний уровень)); - сравнении, количественной оценке и упорядочивании в соответствии с убыванием предпочтительности альтернативных вариантов решения. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Метод анализа иерархий (МАИ) На каждом уровне МАИ элементы (мнения экспертов, критерии, решения) оцениваются с помощью безразмерных весовых коэффициентов (весов), измеряемых по шкале от 0 до 1. Чем больше величина весового коэффициента, тем более предпочтительным является определяемый им элемент. Сумма весовых коэффициентов элементов одного иерархического уровня в МАИ всегда равна 1. На заключительном этапе применения метода осуществляется линейная свертка весовых коэффициентов иерархии, в результате которой вычисляются итоговые весовые коэффициенты альтернативных решений. Лучшей считается альтернатива с максимальным итоговым (глобальным) весом. При характеристике решений необходимо указать локальный рейтинг (локальный весовой коэффициент) каждой альтернативы по всем критериям оценки. Критерии могут быть объективными (цена, объемы выбросов различных веществ, КПД производственного процесса и т. д.) и субъективными (улучшение здоровья людей и климата при использовании производственной технологии, удобство транспортировки сырья и др.), значения которых задаются по определенной шкале предпочтений. Рейтинг значимости критериев устанавливается ЛПР. Выбранные критерии оценки могут иметь или одинаковый показатель значимости, или различные коэффициенты весомости. Если решения оцениваются двумя или большим количеством экспертов, то дополнительно вводятся весовые коэффициенты их мнений. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий с двумя иерархическими уровнями (не считая уровня цели) Для выбора решения из Р альтернативных вариантов на основе N критериев оценки необходимо определить абсолютные значения показателей оценки решений по всем выбранным критериям Q(i, k), i = 1, 2, …, N, k = 1, 2, …, Р. При этом среди указанных значений не должно быть отрицательных чисел. Этого можно добиться, прибавляя ко всем показателям (или к показателям оценки решений по какому-то одному критерию) достаточно большое положительное число. Если есть решение, лидирующее по всем критериям, отбор прекращается. Если его нет, то на основе индивидуальных предпочтений ЛПР вводится рейтинг значимости каждого критерия оценки R(i). Далее по формулам (2.1.1 - 2.1.3) вычисляют нормированные значения рассматриваемых параметров, измеряемые по шкале от 0 до 1: Если для критерия m = -1, то абсолютные значения показателей оценки решений по нему Q(i, k), согласно формуле (2.1.3), не должны быть равны 0. В этом случае вместо 0 надо ввести очень маленькое положительное число. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий с двумя иерархическими уровнями (не считая уровня цели) Итоговые (суммарные, или комбинированные) весовые коэффициенты решений V(k) в двухуровневом МАИ вычисляются путем линейной свертки весовых коэффициентов иерархии по формуле (2.1.4): k = 1, 2, …, Р. Значения весовых коэффициентов V(k) находятся в диапазоне от 0 до 1, их сумма равна 1, а решение с наивысшим V(k) является оптимальным. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий с тремя иерархическими уровнями (не считая уровня цели) Рассмотренный алгоритм двухуровневого МАИ можно обобщить и на трехуровневый метод анализа иерархий (не считая уровня цели). Если в процессе выбора оптимального решения участвуют L экспертов, то каждый из них должен присвоить критериям и показателям оценки решений по ним индивидуальные весовые коэффициенты, обозначаемые соответственно R(i, l) и Q(i, k, l), l = 1, 2, …, L. Показатели оценки решений по критериям могут быть заданы и на основе объективных характеристик решений (например, цена), тогда у всех экспертов они будут иметь одинаковые значения. Затем по формулам (2.1.1) - (2.1.3) вычисляются нормированные весовые коэффициенты критериев и показателей оценки решений по ним для каждого эксперта с учетом их индивидуальных предпочтений. Указанные параметры обозначаются соответственно r(i, l) и q(i, k, l), l = 1, 2, …, L. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий с тремя иерархическими уровнями (не считая уровня цели) Если абсолютный рейтинг значимости мнения l-го эксперта равен Е(l), то для вычисления нормированных весовых коэффициентов мнений экспертов е(l) следует воспользоваться формулой (2.1.5): l = 1, 2, …, L. Итоговые весовые коэффициенты решений V(k) в трехуровневом МАИ определяются по формуле (2.1.6): k = 1, 2, …, Р, r(i, l) – нормированный весовой коэффициент i-го критерия оценки у l-го эксперта; q(i, k, l) – нормированный весовой коэффициент показателя оценки решения с номером k по i-у критерию у l-го эксперта; е(l) – нормированный весовой коэффициент мнения l-го эксперта. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий При сравнении элементов, принадлежащих одному иерархическому уровню МАИ, можно пользоваться шкалой их относительной важности. Шкала относительной важности элементов иерархического уровня в МАИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий Пусть для оценки альтернативных решений используются N критериев К1, К2, …, КN. Обозначим через W1, W2, …, WN интенсивности проявления критериев. Должны соблюдаться следующие условия: Wi -1/Wi + Wi /Wi +1 > Wi -1/Wi, Wi -1/Wi + Wi /Wi +1 > Wi/Wi+1, (2.1.7) i = 2, …, N. Расчет безразмерных весовых коэффициентов критериев оценки решений в МАИ по принципу попарных сравнений Аналогично сравнивают решения по критериям и мнения экспертов. В некоторых случаях можно выбрать три уровня оценки элементов иерархического уровня – низкий, средний, высокий. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу анализа иерархий Для МАИ, как и для других оптимизационных методов, важным критерием оценки найденного решения является его устойчивость при изменениях вводимых параметров, которые могут быть неточно заданы или подвержены влиянию субъективных факторов. Поэтому для проверки устойчивости решения следует проводить как минимум несколько альтернативных вычислений со случайными вариациями: - показателей оценки решений по критериям (если они заданы на основе субъективной шкалы предпочтений); - весовых коэффициентов мнений экспертов; - весовых коэффициентов критериев оценки. Если количество альтернативных решений, критериев их оценки и экспертов невелико, то задачи принятия решений по методу анализа иерархий легко решаются приведением к простой системе линейных уравнений. Однако при большом количестве критериев, возможных решений и экспертов необходимо использовать один из вариантов программной реализации МАИ. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу Парето Сравнение альтернативных решений на основе множества критериев оценки с учетом предпочтений ЛПР можно проводить и с помощью анализа Парето. Согласно закону Парето, в среднем 20% альтернативных решений имеют 80% преимуществ. Чтобы их выявить, нужно вначале на основе выбранных критериев оценки определить преимущества и недостатки каждой рассматриваемой альтернативы. Для упрощения процесса выбора можно рассматривать только ключевые критерии, количество которых, по закону Парето, составляет примерно 20% от их общего числа. Дальнейшая процедура отбора решений будет заключаться в использовании правил формирования области эффективных решений (области Парето), позволяющих определить рейтинг сравниваемых альтернатив с учетом относительной важности используемых критериев оценки. Общая схема принятия решений по методу Парето следующая: - выбор сравниваемых альтернативных решений; - выбор критериев оценки решений; - присвоение критериям оценки рейтинга значимости и отбор ключевых критериев с наиболее высоким рейтингом; - оценка альтернативных решений по ключевым критериям; - выбор оптимального решения. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Схема решения задач по методу Парето Сравнение альтернативных решений по ключевым критериям при использовании метода Парето осуществляется по следующему алгоритму. Если имеется решение, лидирующее по всем критериям, отбор прекращается. Если его нет, то: 1) выбирается любое из рассматриваемых решений; 2) выбранное решение сравнивается с остальными по всем критериям, и отмечаются те из них, которые хуже выбранного по всем сравниваемым параметрам; 3) отмеченные решения исключаются из дальнейшего анализа; 4) из не исключенных решений выбирается любое, и повторяется последовательность действий, обозначенных в пунктах 2-3; 5) исключение альтернативных решений повторяется до тех пор, пока каждое из них не побывает в роли «выбранного»; 6) оставшиеся не исключенными решения формируют область Парето (область эффективных решений); 7) дальнейшее уточнение мест решений происходит на основе анализа относительной важности используемых критериев оценки. Анализ Парето рекомендуется использовать только в ситуациях, когда количество сравниваемых альтернатив не меньше пяти. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ. АНАЛИЗ ПАРЕТО Метод анализа иерархий и метод Парето основаны на универсальных алгоритмах, которые могут быть применены к решению самых разнообразных многокритериальных управленческих задач, целью которых является нахождение наилучших вариантов из совокупности возможных альтернатив с учетом выбранных критериев оценки и шкалы предпочтений. Моделирование социально-экономических решений в условиях определенности может быть осуществлено также с помощью иных оптимизационных подходов, например, на основе методов функционально-стоимостного анализа (ФСА, Activity Based Costing, АВС-анализ) и балльной оценки. ФСА ориентирован на системное исследование функциональных особенностей выбранного объекта или процесса для нахождения баланса между его себестоимостью и полезностью. Основоположниками данного метода принято считать отечественного инженера Ю.М. Соболева и американского исследователя Л.Д. Майлса. Главная задача ФСА заключается в максимизации качества объекта исследования и снижении затрат. Метод балльной оценки основан на совокупности последовательных действий, включающей: - выбор показателей качественной оценки исследуемых процессов и объектов; - разработку балльной шкалы, устанавливающей взаимосвязь между уровнями качества и суммарными балльными оценками изучаемых альтернатив; - оценку процессов и объектов по всем качественным показателям в баллах; - суммирование набранных баллов для всех альтернатив и присвоение им определенного уровня качества по балльной шкале. Список литературы 1. Математические методы и модели исследования операций: учебник / под ред. В.А. Колемаева. - Москва: Юнити-Дана, 2015. - 592 с.: ил., табл., граф. - Библиогр. в кн. - ISBN 978-5-238-01325-1; [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=114719 2. Мендель А.В. Модели принятия решений: учебное пособие / А.В. Мендель. – М.: Юнити-Дана, 2015. – 463 с.: табл., граф., схемы – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5238-018942; [Электронный ресурс]. – URL: http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115173 3. Зенков А.В. Методы оптимальных решений: учебное пособие для вузов / А.В. Зенков. — Москва: Издательство Юрайт, 2020. — 201 с. — (Высшее образование). — ISBN 978-5-534-05377-7. — Текст: электронный // ЭБС Юрайт [сайт]. — URL: https://urait.ru/bcode/454524 4. Гвоздкова И.А. Основы математического моделирования социальноэкономических процессов + еПриложение: тесты: учебник. – М.: КНОРУС, 2021. – 268 с. ISBN 978-5-406-01893-4. 5. Гвоздкова И.А. Методы оптимальных решений. Учебное пособие. – М.: ИИЦ «АТиСО», 2017. – 104 с. ISBN 978-5-93441-623-3. 6. Гвоздкова И.А. Математическая теория принятия решений. Учебное пособие. – М.: ИИЦ «АТиСО», 2018. – 97 с. ISBN 978-5-93441-670-7. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! УСПЕХОВ В ОБУЧЕНИИ!