Методы оптимальных решений

ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН Вилисов В.Я. Конспект лекций по курсу «МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ» Специальность 080100.62 "Экономика" Королев 2015 Введение Термины Существуют три близких понятия, которые следует различать: задачи, модели и методы. Задача – это конструкция, в которой есть исходные предпосылки и данные (дано), по которым следует найти решение (найти). Одну и ту же задачу можно решить разными методами. Методы - это Способы или Алгоритмы выполнения операций над данными. Примеры методов: метод наименьших квадратов, метод скользящего среднего, метод экспоненциального сглаживания, … Моделями называют некоторые копии, отражающие те или иные стороны объектов, субъектов или процессов. В основе моделирования, т.е. построения моделей и их использования, лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не достижимо, а поэтому необходимо лишь стремиться к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала необходимую сторону объекта, т.е. была адекватна объекту. Один и тот же объект можно представить множеством моделей. В некоторых случаях модель и задача могут использоваться как синонимы, а иногда и метод. Процедуры построения моделей впервые осознанно были использованы в период Второй мировой войны в Англии и послужили основой дисциплины Исследование операций (ИО). Классическая схема применения технологии и моделей ИО заключалась в следующих шагах: 1. Анализ объекта и определение цели исследования. Выбор учитываемых параметров, показателей качества и критериев. 2. Построение модели, адекватной объекту. 3. Исследование модели и поиск на модели оптимального решения для объекта. 4. Реализация решения и оценка его эффективности. В математической модели объект представляется некоторым черным ящиком: Параметры и структура объекта Входные параметры Объект (модель) Выходные показатели Классификация моделей Основные признаки классификации моделей следующие (жирным выделены значения признаков, относящихся к математическим моделям). 1. По степени неопределённости:  Детерминированные  Стохастические 2. По степени отражения изменений во времени:  Статические  Динамические 3. По характеру учёта временного фактора:  Дискретные  Непрерывные  Дискретно-непрерывные 4. По степени абстрагирования:  Виртуальные (от лат. virtus — потенциальный, возможный)  Реальные 5. Виртуальные могут быть представлены следующими группами: 5.1. Наглядные  Гипотетические  Аналоговые (аналоги)  Макеты 5.2. Символьные  Языковые  Знаковые 5.3. Математические  Аналитические (формульные)  Имитационные  Комбинированные 6. Реальные могут быть представлены следующими группами: 6.1. Натурные  Научный эксперимент  Производственный эксперимент  Комплексные испытания 6.2. Физические  В реальном масштабе времени (on-line)  В режиме разделения времени (off-line) 1. Методы экспертного оценивания Экспертом называют лицо компетентное в данной области знаний и способное делать необходимые оценки объектов на основании текущей или ранее полученной информации. Эксперт – это своеобразный измерительный прибор, позволяющий измерить то, что нельзя оценить иным способом. 1.1. Шкалы измерений Измерения Шкалы Качественные Номинальная Порядка Количественные Интервалов Отношений Разностей Абсолютная Самой информативной является абсолютная шкала. Все остальные шкалы являются более грубыми по отношению к ней. Измерения, не различимые в более грубых шкалах, различимы в абсолютной шкале. Абсолютная шкала позволяет измерить объекты в конкретных, заданных эксперту единицах (рублях, днях, кг., …). Шкала отношений применяется там, где необходимо иметь характеристики отношения объектов. Для этой цели масштаб измерения не играет роли. Шкала разностей позволяет оценивать, насколько некоторая характеристика одного объекта превышает характеристику другого, в отличие от шкалы отношений, где определяется - во сколько раз. Шкала интервалов обладает свойствами двух предыдущих типов шкал и применяется там, где необходимо измерить отношение разностей некоторых характеристик объектов, т.е. во сколько раз приращение одного больше приращения другого. Рассмотрим группу качественных шкал. Шкала порядка необходима там, где надо лишь упорядочить объекты (ранжировать, выстроить по порядку). Для оценивания объектов по этой шкале каждый из экспертов может пользоваться любым правилом упорядочения, главное требование заключается в том, чтобы для  (x) сохранялась монотонность. Номинальная шкала применяется в тех случаях, когда необходимо разбить объекты по классам, эквивалентным по тем или иным признакам (по классам эквивалентности). 1.2. Ранжирование объектов Ранжирование – это процедура упорядочения объектов, выполненная экспертом. В результате ранжирования каждому объекту ai из множества альтернатив a1 , a2 ,  an  ставят в соответствие натуральное число ri , как место i – го объекта в ряду упорядоченных объектов. Числа r1 , r2 ,  rn называются рангами. Наиболее предпочтительному объекту присваивается 1-й ранг, следующему по предпочтительности – 2-й ранг и т.д. Для эквивалентных объектов назначают одинаковые ранги, равные среднему арифметическому рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Результатом ранжирования является ранжировка R – это совокупность числовых значений рангов объектов. Множество ранжируемых объектов может иметь несколько ранжировок, например, выполненных разными экспертами. Так ранжировка, выполненная k-м экспертом: R k  r1k , r2k , ..., rnk . Пример Множество упорядоченных объектов может иметь вид a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7  a8  a9  a10 , где символом "  " обозначен, что объект, стоящий слева, более предпочтителен, чем объект, стоящий справа; символом "  " обозначена эквивалентность объектов. a1 , a2 , a6 , a7 , a8 В этом примере объектам присваиваются соответственно ранги r1  1; r2  2; r6  6; r7  7; r8  8 . Ранги объектов a3 , a4 , a5 будут одинаковыми и равными: r3  r4  r5  (3  4  5) / 3  4 . Аналогично одинаковыми будут ранги объектов a9 и a10 : r9  r10  (9  10) / 2  9.5 . Тогда ранжировку этой группы объектов можно записать так: R  1, 2, 4, 4, 4, 6, 7, 8, 9.5, 9.5 . 1.3. Парные сравнения Парные сравнения устанавливают взаимные предпочтения всех возможных пар объектов. Т.е. для любой пары объектов ai , a j эксперт устанавливает: ai  a j либо a j  ai . Варианты заполнения матриц парных сравнений (МПС). Дискретное представление результата парных сравнений. Числовое представление результата ( bij ) сравнения пары объектов ai и a j осуществляют обычно следующим способом: 3, если ai  a j  1. bij  2, если ai  a j . 1, если a  a i j  Непрерывное представление МПС (Метод Неймана-Моргенштерна). Здесь при сравнении объектов ai и a j рассматривается непрерывная шкала значений оценок bij  0; 1 , а не дискретная bij  1; 2; 3. 1.4. Обработка матрицы парных сравнений (один эксперт) Пусть экспертом выполнены парные сравнения n объектов, т.е. известны элементы МПС в непрерывном представлении: B  bij . Для элементов матрицы выполняется условие нормировки вида nn bij  b ji  1 . Задача заключается в том, чтобы по МПС найти вектор весов объектов p   p1 , p2 , ..., p n  , для T n которых должно выполняться условие нормировки: p i 1 i  1. Метод сложения. Для каждой строки матрицы (т.е. для каждого i-го объекта) вычисляются веса: n pi   bij . j 1 Нормированная форма весов имеет вид: n pi  b j 1 n n ij  b i 1 j 1 . ij Метод перемножения. Будем считать, что элементы МПС bij - это вероятности того, что i -й объект предпочтительнее j го (по Нейману-Моргенштерну). Тогда вероятность того, что i -й объект предпочтительнее всех других, определится как произведение вероятностей независимых событий. Учитывая условие нормировки, получаем: n pi  b j 1 n n ij  b i 1 j 1 . ij Метод, основанный на аксиоме Льюиса. Сущность аксиомы заключается в том, что отношение вероятности i - го объекта к вероятности j го объекта не зависит от количества и типа других объектов в ранжируемом множестве. 1 pi  n . b ji b j 1 ij 2. Выбор решений в условиях риска и неопределенности 2.1. Критерии оптимальности решения для дискретного случая Структура платежей полагается известной точно и представляется в нормальной (матричной или табличной) форме:  a11  a1n  A       , am1  amn  где i  1, m ; j  1, n ; столбцы соответствуют состояниям природы s j , а строки - альтернативам ЛПР d i . Для определенности будем считать, что элементы матрицы платежей имеют смысл выигрыша, прибыли, дохода, полезности и т.п. Наиболее часто встречающиеся критерии следующие: № 1 Наименование критерия Вальда Целевая функция L(i) min aij Критерий V max L(i) j i n 2 Лапласа-Байеса q a max L(i) max L(i) j ij j 1 i 3 Оптимистический max aij 4 Гурвица  min aij  (1   ) max aij j j i j max L(i) i n 5 Ходжа-Лемана   q j aij  (1   ) min aij max L(i) j 1 j i 6 Сэвиджа max bij min L(i) 7 Гермейера min q j aij max L(i) j j i i 1. Критерий Вальда (или максиминный критерий). Он основан на осторожном поведении ЛПР и сводится к построению такого алгоритма отбора, при котором выбирается наилучшая альтернатива при условии, что природа всегда находится в наихудшем для ЛПР состоянии. Пример. Дана матрица платежей: sj di s1 s2 s3 s4 min aij j 5 d1 5 5 5 5 4 d2 4 7 6 8 d3 6 7 10 Здесь sj – это состояние поступающих комплектующих или ингредиентов, а di - это решение о выпуске того или иного продукта или комплекта продуктов. Найти оптимальное решение по критерию Вальда. Решение. ЦФ и критерий выбора оптимального управленческого решения имеют вид: L(i)  min aij j V  max L(i)  max min aij i j i Вычислим вектор значений целевых функций для каждой чистой стратегии (строки i ): L(d1 )  min a1 j  5 ; L(d 2 )  min a2 j  4 ; L(d 3 )  min a3 j  0 j j j т.е. L  {5 4 0} . Откуда решение, оптимальное по критерию Вальда: V  max L(d i )  5 , i *  1 . i 2. Критерий Лапласа-Байеса (или просто Лапласа или Лапласа-Бернулли-Байеса). Этот критерий основан на принципе недостаточного основания, сформулированном Якобом Бернулли, который состоит в следующем: если нет оснований считать какое-либо из альтернативных (образующих полную группу) событий более вероятным чем другие, то все события следует считать равновероятными. Отсюда, если нет априорной информации о состояниях природы s j , то все их можно считать равновероятными: 1 qj  , n причем должно выполняться условие нормировки: n q j 1 j  1. Пример. Дана матрица платежей, представленная предыдущей таблицей. Среди состояний нет наиболее предпочтительных. Найти решение по критерию Лапласа-Байеса. Решение. ЦФ и критерий: n L(i )   q j aij , j 1 n V  max L(i)  max  q j aij , i qj  i j 1 n 1 , где n q j 1 n j  1. n 1 1 n Тогда L(i)   q j aij   aij   aij n j 1 j 1 j 1 n Учитывая равные вероятности состояний, значения ЦФ для каждого из решений будут такими: 1 n 1 L(d1 )   a1 j  (5  5  5  5)  5 ; n j 1 4 1 L(d 2 )  (4  7  6  8)  6.25 ; 4 1 L(d 3 )  (0  6  7  10)  5.75 4 Т.е. вектор значений ЦФ: L  {5 6.25 5.75} . Откуда решение, оптимальное по критерию Лапласа, будет следующим: V  max L(d i )  6.25 , i *  2 . i 3. Оптимистический критерий (или максимаксный критерий). По этому критерию выбирается наилучшая альтернатива при условии, что природа всегда находится в наилучшем для ЛПР состоянии. Этот критерий основан на убеждении ЛПР в том, что природа не просто не злонамеренна, но и подыгрывает ему, невольно или преднамеренно. На практике такое случается, например, когда ЛПР действует в дружественной среде (отношение головного предприятия к дочернему) или когда некоторым крупным предприятием создается среда (рекламная, торговая, закупочная и т. п.) для себя, но в этой среде функционирует другая структура, действующая в своих интересах. Пример. Дана матрица платежей (предыдущая таблица). ЦФ и критерий выбора оптимального управленческого решения имеют вид: L(i)  max aij j V  max L(i)  max max aij i i j Найти вектор значений целевых функций для каждой чистой стратегии i . Решение. Совокупность значений ЦФ для каждого из возможных решений: L  {5 8 10} , т.е. L(d1 )  5 , L(d 2 )  8 , L(d 3 )  10 . Откуда решение, оптимальное по оптимистическому критерию, будет следующим: V  10 , i *  3 . 4. Критерий Гурвица. Этот критерий относится к группе комбинированных критериев и является обобщением критерия Вальда и оптимистического критерия. В качестве дополнительной информации используется параметр   0; 1, отражающий степень близости позиции ЛПР к крайнему пессимизму. Тогда значение параметра   1 соответствует позиции крайнего пессимизма ЛПР (критерий Вальда). Значение   0 соответствует позиции крайнего оптимизма. Пример. Дана матрица платежей, представленная предыдущей таблицей: sj di s3 s1 s2 s4 . d1 5 5 5 5 d2 4 7 6 8 d3 6 7 10 Найти оптимальные решения по критерию Гурвица для различных возможных значений параметра Решение. ЦФ и критерий: L(i)   min aij  (1   ) max aij j j V  max L(i)  max( min aij  (1   ) max aij ) i i j j 5. Критерий Ходжа-Лемана. Этот критерий является комбинированным, как и критерий Гурвица. Он использует в качестве взвешенной суммы критерий Лапласа-Байеса и критерий Вальда. В нем параметр   0; 1 отражает степень доверия ЛПР к распределению вероятностей состояний природы. Если это доверие велико (   1 ), то доминирует критерий Лапласа-Байеса, в противном случае (   0 ) ЛПР остается на позиции крайнего пессимизма и пользуется критерием Вальда. Пример. Даны: матрица платежей А , представленная последней таблицей и вероятности состояний природы в 2-х вариантах: 1. состояния природы равновероятны ( p1 =0.25; p2 =0.25; p3 =0.25; p4 =0.25); 2. вероятности состояний природы из Примера для критерия Лапласа-Байеса ( p1 =0.1; p2 =0.2; p3 =0.2; p4 =0.5). Пусть значения параметра   0.35 . Найти решение, оптимальное по критерию Ходжа-Лемана. Решение. ЦФ и критерий: n L(i)    q j aij  (1   ) min aij j j 1 n V  max L(i)  max(  q j aij  (1   ) min aij ) i i j j 1 1. Для равновероятных состояний природы векторы значений ЦФ для каждого из решений по критериям T T Лапласа-Байеса и Вальда соответственно: L  5 6.25 5.75 и L  5 4 0 . Тогда для критерия T Ходжа-Лемана с параметром   0.35 : L  5 4.79 2.01 . Откуда решение, оптимальное по критерию Ходжа-Лемана, будет следующим: d *  d1 ; V  5 . 2. Для случая разных вероятностей состояний природы - ЦФ Лапласа-Байеса и Вальда будут T T L  5 7 7.6 L  5 4 0 . Тогда для критерия Ходжа-Лемана: соответственно: и L  5 5.05 2.66 . Откуда решение, оптимальное по критерию Ходжа-Лемана, будет таким: d *  d 2 ; V  5.05 . 6. Критерий Сэвиджа. Его также называют критерием минимального сожаления или критерием минимизации упущенной выгоды. В нем на основании матрицы платежей A строится матрица сожалений B , элементы которой вычисляются по матрице платежей следующим образом: bij  max aij  aij . T i Т.е. в каждом столбце выбирается наибольшее значение, и все элементы столбца матрицы сожалений формируются как разность между ним и исходным элементом. При этом в каждом столбце будет не менее одного нулевого элемента, а остальные bij будут показывать величину упущенного платежа. Далее выбор решения по своей логике аналогичен критерию Вальда. Однако к матрице сожалений могут быть применены и все другие критерии, приведенные в таблице, с той лишь разницей, что операторы максимизации и минимизации следует поменять местами. Пример. Дана матрица платежей А, представленная последней таблицей. Найти решение, оптимальное по критерию Сэвиджа. Решение. Матрица сожалений В строится по матрице А: bij  max aij  aij , i и примет вид: di sj s1 d1 d2 1 d3 5 ЦФ и критерий: s2 s3 s4 min aij 2 2 5 5 1 2 2 1 5 L(i)  max bij j ~ V  min L(i)  min max b i i j ij j Вектор значений целевых функций для решений: L  {5 2 5} . Откуда решение, оптимальное по ~ критерию Сэвиджа, будет следующим: V  2 , i *  2 или, если учесть, что этому решению соответствует элемент b24 , в терминах выигрыша решение будет: V  8 , i *  2 . 7. Критерий Гермейера. Он похож на критерий Вальда и на критерий Лапласа-Байеса, но с той лишь разницей, что в матрице платежей каждый элемент заменяется на произведение его ( a ij ) и вероятности данного состояния s j . Логика этого критерия такая – любой выигрыш может быть получен, но с некоторой вероятностью, т.е. в среднем при многократном повторении ситуации выбора будет получен не весь выигрыш a ij , а уменьшенный на весовой коэффициент q j , соответствующий вероятности j -го состояния. После такой замены элементов к матрице применяется критерий Вальда. Т.е. критерий Гермейера учитывает и информацию о состояниях природы и позволяет сделать очень осторожный выбор. Пример. Дана последняя матрица платежей, а вероятности состояний природы в двух вариантах: 1. состояния природы равновероятны ( p1 =0.25; p2 =0.25; p3 =0.25; p4 =0.25); 2. вероятности состояний природы те же, что и в примере для критерия Лапласа-Байеса: ( p1 =0.1; p2 =0.2; p3 =0.2; p4 =0.5). Найти решение, оптимальное по критерию Гермейера. Решение. Матрица Гермейера G строится по матрице А, как g ij  q j aij . Таблица 1. Таблица 2. sj di di sj s1 s2 s3 s4 d 1 1.25 1.25 1.25 1.25 d 1 0.5 1 1 2.5 d2 1 1.75 1.5 2 d 2 0.4 1.4 1.2 4 d3 1.5 1.75 2.5 d3 5 s1 s3 s2 s4 1.2 1.4 ЦФ и критерий имеют вид: L(i)  min g ij j V  max L(i)  max min gij i i j 1. Найдем решение для равновероятных состояний. T Вычислим вектор значений ЦФ для альтернатив d i : L  1.25 1 0 . Откуда решение, оптимальное по критерию Гермейера: d *  d1 ; V G  1.25 . Или в терминах исходной матрицы прибыли: d *  d1 ; V  5 . Т.е. решение полностью совпадает с полученным по критерию Вальда. 2. Для случая разных вероятностей состояний вычислим вектор значений ЦФ для альтернатив d i : L  0.5 0.4 0 . Откуда решение, оптимальное по критерию Гермейера: d *  d1 ; V G  0.5 . В терминах исходной матрицы прибыли также: d *  d1 ; V  5 . Сводная таблица результатов. В таблице для сравнимости результатов оптимальные значения ЦФ приведем для прибыли (а не сожаления по Сэвиджу). № Наименование Оптимальное Оптимальное п/п критерия решение значение ЦФ d1 1 Вальда 5 T 2 Лапласа-Байеса 3 Оптимистический d2 d3 d3 6.25 7.6 10 4 Гурвица 5 Ходжа-Лемана 6 Сэвиджа 7 Гермейера d2 d1 d2 d2 d1 d1 6.6 5 5.05 8 5 5 Выводы по результатам примеров. 1. В зависимости от степени осторожности, заложенной в критерии выбора решения, полученная прибыль тем меньше, чем более осторожный выбор. 2. Чем больше известно о состояниях природы – чем больше вероятности состояний природы отличаются от равных вероятностей, тем больше средняя прибыль. 3. Деревья решений. Дерево решений - это графическое изображение последовательности решений и состояний природы с указанием соответствующих вероятностей и выигрышей для любых комбинаций альтернатив и состояний природы. В дереве решений узлы соответствуют состояниям процесса, а дуги – переходам из одного состояния в другое. В простейшем случае ситуация может быть представлена и таблицей решений и деревом решений. Пример (Выбор товара) На летний период магазин выбирает основной вид товара для продажи, чтобы вложить в него имеющийся объём оборотных средств: a1 - свежие, но с ограниченным сроком хранения. a 2 - консервированные, т.е. срок хранения не ограничен. Спрос на товар может быть хороший b1 или плохой b2 . Эта задача может быть представлена матрицей C  cij mn или следующей таблицей: Спрос (состояния природы bj) b1 b2 Варианты товара (решения ai) a1 a2 Вероятность спроса (P(bj)) 5000 -2000 1500 500 P( b1 )=0.5 P( b2 )=0.5 Можно решить эту задачу по критерию Лапласа-Байеса: L( a1 )= 0.5*5000 + 0.5*(-2000) = 1500 L( a 2 )= 0.5*1500 + 0.5*500 = 1000 Здесь оптимальной является стратегия a1 - свежие товары. Можно представить эту задачу и деревом решений: b1 а1 1 2 а2 3 b2 b1 b2 P(b1) P(b2) P(b1) c11 c12 c21 P(b2) c22 Условные обозначения на деревьях решений (ДР) следующие.  Двойными стрелками представлены альтернативы, из которых выбирает менеджер (лицо, принимающее решение - ЛПР). Над двойными стрелками проставляются возможные варианты выбора.  Одинарными стрелками обозначают случайные исходы, в конце которых указаны значения выигрышей, соответствующие исходам, а над стрелками – вероятности случайных исходов.  Квадратные узлы – это те состояния, в которых делает выбор ЛПР.  Круглые узлы – те состояния, в которых выбирает природа, т.е. происходит случайный выбор.  Все узлы нумеруются подряд. Пример (Выбор товара) - Продолжение Для выбора решения надо проставить значения средних выигрышей в каждом узле, двигаясь справа налево: В узле 2: L2(a1) = 0.5*5000+0.5*(-2000) =1500 В узле 3: L3(a2) = 0.5*1500+0.5*500 =1000 В узле 1: L1 =max(L2(a1); L3(a2)) = max(1500; 1000)=1500 Т.е. оптимальной является стратегия a1 - свежие товары. 1500 1 а1 а2 1500 b1 2 b2 1000 3 b1 b2 0.5 0.5 0.5 5000 -2000 1500 0.5 500 ▲ Пример (Выбор товара с предварительным анализом) Кроме выбора товара (в предыдущем примере) Менеджер может перед принятием решения о выборе товара, заказать (альтернатива e2 ) или не заказать (альтернатива e1 ) маркетинговое исследование (стоимостью в 600 ед.) для выяснения ожидаемого спроса, т.е. для определения вероятностей того, каким будет спрос на товары. Причем заранее Менеджер не знает, каким будет ответ маркетинговой компании. Граф дерева решений представлен на рисунке, расположенном ниже. Аналогично предыдущему случаю найдем оптимальное решение, для чего выполним следующие расчеты. L(2) =0,5*5000+0,5*(-2000)=1500 L(3) =0,5*1500+0,5*500=1000 … L(5) = max(0.8*5000+0.2*(-2000); 0.8*1500+0.2*500)=0.5*3600=1800 L(8) = max(0.3*5000+0.7*(-2000); 0.3*1500+0.7*500)= 0.5*800=400 L(0) = max((2200 -600); 1500) = 1600 Это решение означает, что можно заказывать маркетинговое исследование спроса. Теперь надо построить решающее правило: Если прогноз спроса будет положительный (d1, т.е. процесс перейдет в узел 5), то следует выбрать решение a1, если отрицательный (d2, т.е. процесс перейдет в узел 8), то надо выбрать решение a2. ▲ Таким образом, построить оптимальное решение для дерева решений – это: 1. Вычислить величину ожидаемого выигрыша. 2. Построить решающее правило, для тех ДР, где после случайного хода природы ЛПР должен делать свой выбор. Правило обычно имеет форму «если …то …». 1500 b1 а1 2 b2 0.5 0.5 -2000 1500 1 а2 5000 1000 b1 3 b2 0.5 1500 0.5 500 3600 b3 0.8 5000 e1 а1 1600 3600 5 а2 e2 6 d1 1300 0.8 1500 b3 b4 0.5 0.2 500 4 2200 d2 0.2 -2000 7 -600 b4 0.5 а1 100 b5 9 b6 0.3 0.7 -2000 800 8 а2 5000 800 10 0.3 1500 b5 b6 0.7 500 Литература 1. Аттеков А. В. Введение в методы оптимизации. – М.: Финансы и статистика, 2008. 2. Кремер Н. Ш. Исследование операций в экономике. – М.: ЮНИТИ, 2003. 3. Афанасьев М.Ю, Суворов Б.П. Исследование операций в экономике. – М.: Инфра-М, 2003. 4. Малыхин В.И. Математика в экономике. - М.: Инфра-М, 2002. 5. Протасов И.Д. Теория игр и исследование операций. – М.: Гелиос, 2006. 6. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2008. 7. Зайцев М.Г., Варюхин С.Е. Методы оптимизации управления и принятия решений: примеры, задачи, кейсы. - М.: Дело, 2008. 8. Вилисов В.Я. Методы и модели в экономике. Учебное пособие. - Королев: КИУЭС, 2010. 9. Вилисов В.Я. Методы оптимизации. Учебное пособие. - Королев: КИУЭС, 2010.