Методы оценивания систем одновременных уравнений

Методы оценивания систем одновременных уравнений Любое уравнение системы одновременных уравнений, даже при условии идентифицируемости, нельзя оценить обычным методом наименьших квадратов или обобщенным методом. Если обыкновенный МНК применить к уравнению модели, в котором присутствуют несколько текущих значений эндогенных переменных, то придется одну из них выбрать в качестве «зависимой» переменной для данного уравнения. Тогда оставшиеся (одно или несколько) текущие значения эндогенных переменных, участвующие в этом соотношении, будут, вообще говоря, коррелировать с ошибками, и потому МНК-оценки параметров модели окажутся смещенными и несостоятельными. В более общем случае, когда модель состоит из одновременных уравнений, не удовлетворяющих специальным предположениям о рекурсивности, существует простой метод оценивания – косвенный метод наименьших квадратов (К-МНК), но он применим лишь к точно идентифицируемым уравнениям. В случае сверхидентифицируемости косвенный МНК не применим. Если система сверхидентифицируема, то один и тот же структурный коэффициент допускает разные выражения через параметры приведенной формы, так как в системе, связывающей эти коэффициенты число уравнений превышает число неизвестных. В этом случае наиболее простым и в то же время надежным является двухшаговый метод наименьших квадратов (2-МНК). Косвенный метод наименьших квадратов (К-МНК) (или метод приведенной формы) предназначен для оценивания структурных параметров отдельного уравнения системы и может дать результат (без сочетания с другими методами, например, с двухшаговым методом наименьших квадратов) только в применении к точно идентифицируемому уравнению. Суть К-МНК состоит в следующем. Сначала структурная форма преобразуется в приведенную, затем с помощью МНК оцениваются параметры каждого уравнения приведенной формы модели в отдельности. Наконец, параметры приведенной формы трансформируются в параметры структурной формы модели. Иначе говоря, на этом этапе осуществляется обратный переход от системы с численными параметрами приведенной формы к системе структурной формы. Оценки структурных параметров, полученные К-МНК, получаются состоятельными. Пример 1. Для иллюстрации К-МНК рассмотрим простую структурную форму y1  12 y2   11 x1  1 y2   21 y1   22 x2   2 . Оба уравнения точно идентифицируемы, по необходимому условию (1) K  2  x1 , x2 , k  1 x1  , m  2  y1 , y2  K  k  2  1  m  1  2  1. k  1 x2  , m  2  y1 , y2  K  k  2  1  m  1  2  1. Достаточное условие легко проверить самостоятельно в качестве упражнения. Приведенная форма имеет вид y1  a1 x1  a2 x2  1 y 2  b1 x1  b2 x 2   2 . Пусть в результате статистического наблюдения собраны данные об эндогенных переменных y1 , y 2 и экзогенных переменных x1 и x 2 . На основе этой информации с помощью МНК оценим неизвестные параметры приведенной формы, т. е. получим â1 , â 2 и b̂1 , b̂2 . Это первый этап косвенного метода наименьших квадратов. На втором этапе необходимо по найденным оценкам âi , b̂i , i  1,2 определить значения структурных параметров  и  . Для этого используем соотношения, связывающие структурные параметры каждого уравнения, с параметрами приведенной формы: (2) K 2 x1 , x2 ,  11 12 22 , a2  ; 1  12  21 1  12  21  21 11  22 , b2  . b1  1  12  21 1  12  21 a1  Заменим в этих выражениях неизвестные значения коэффициентов их оценками, из полученной системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными найдем оценки структурных коэффициентов ̂ 12 , ̂ 21 , ˆ11 , ˆ 22 . В этом случае МНК-оценки параметров приведенной формы получаются несмещенными и состоятельными, однако оценки структурных коэффициентов, найденные из этой системы, будут только состоятельными. Двухшаговый метод наименьших квадратов (2-МНК). Опишем в общих чертах суть вычислений по двухшаговому методу, которым оцениваются коэффициенты лишь одного уравнения сверхидентифицированной системы. К процедуре оценивания параметров при применении 2-МНК прибегают дважды. На первом шаге производится оценивание обычным МНК параметров приведенной формы. Это дает возможность получить оценки систематической и случайной составляющей эндогенной переменной y , т. е. предполагается, что yi  yˆ i  i , где ŷi – оценки значений этой переменной, полученные по приведенной форме. На втором шаге эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурных уравнений, заменяются их оценками ŷi . К преобразованому таким путем структурному уравнению применяется обычный МНК. Оценки структурных параметров, полученные 2-МНК, получаются, вообще говоря, смещенными, но состоятельными и эффективными. Отметим, что в большинстве эконометрических компьютерных пакетов для оценивания систем одновременных уравнений реализован именно двухшаговый метод наименьших квадратов, при использовании которого фактически каждое уравнение оценивается независимо от других. Трехшаговый метод наименьших квадратов (3-МНК). Метод применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод для определения оценок коэффициентов и оценок дисперсий случайных ошибок. Затем с использованием найденных оценок дисперсий возмущений строится оценка ковариационной матрицы. После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов. Трехшаговый метод в случае, когда возмущения, входящие в различные структурные уравнения, коррелируют друг с другом, оказывается асимптотически эффективнее двухшагового метода. При практическом использовании 3МНК требуется иметь в виду, что: 1) каждое уравнение, являющееся определением (т. е. все тождества), необходимо исключить из системы прежде, чем приступать к вычислениям; 2) каждое неидентифицируемое уравнение также исключается; 3) в системе остаются только точно идентифицируемые и сверхидентифицируемые уравнения, причем с вычислительной точки зрения целесообразно применять трехшаговую процедуру к каждой из этих групп уравнений отдельно; 4) если матрица ковариаций для структурных возмущений блочнодиагональная, то вся процедура трехшагового оценивания может быть применена отдельно к каждой группе уравнений, соответствующих одному блоку. Пример 2. В 1950 году Л. Клейн предложил динамическую модель макроэкономики, получившую название модель Клейна 1. Она описывается следующей системой уравнений. Ct   0  1 Pt   2 Pt 1   3 Wt P  WtG  1t (потребление), I t   0  1Pt   2 Pt 1   3 K t 1   2t (инвестиции),   Wt P   0   1 X t   2 X t 1   3 At   3t (зарплата в частном секторе), X t  Ct  I t  Gt (совокупный спрос в равновесии), Pt  X t  Tt  Wt P (доход частного сектора), K t  K t 1  I t (капитал). Переменные, стоящие в левых частях уравнений, являются эндогенными. Экзогенными переменными в данной модели являются: G – государственные расходы, не включающие зарплату, T – непрямые налоги плюс чистый доход от экспорта, W G – зарплата в государственном секторе, At – временной тренд (в годах, начиная с 1931 года). Кроме того, включены три лаговые переменные. Модель содержит три поведенческих уравнения, одно уравнение равновесия и два тождества. Приведем результаты оценивания первых трех уравнений на основе ежегодных данных для экономики США за период с 1921 по 1941 г. с помощью обычного МНК и двухшагового МНК (в скобках указаны оценки стандартных ошибок). Обычный метод наименьших квадратов: Ct  16,2  0,193 Pt  0,090 Pt 1  0,796 Wt P  WtG , (1,30) (0,091) (0,091) (0,040) I t  10,1  0,480Pt  0,333Pt 1  0,112K t 1 , (5,47) (0,097) (0,101) (0,027) Wt P  1,48  0,439 X t  0,146 X t 1  0,130 At . (1,27) (0,032) (0,037) (0,032) Двухшаговый метод наименьших квадратов: Ct  16,6  0,017 Pt  0,216 Pt 1  0,810 Wt P  WtG , (1,32) (0,118) (0,107) (0,040) I t  20,3  0,150Pt  0,616Pt 1  0,158K t 1 , (7,54) (0,173) (0,162) (0,036) P Wt  1,50  0,439 X t  0,147 X t 1  0,130 At . (1,15) (0,036) (0,039) (0,029)    