Методы и средства научных исследований

-1МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет» Кафедра технологии композиционных материалов и древесиноведения КРОТОВА Л.Л. МЕТОДЫ И СРЕДСТВА НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Красноярск, 2011 -2Методы и средства научных исследований. Конспект лекций для студентов направления подготовки 250400 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств профиль подготовки Технология деревообработки, 151000 «Технологические машины и оборудование», профиль подготовки «Машины и оборудование лесного комплекса» очной, заочной формы обучения / Кротова Л.Л.Красноярск: СибГТУ,-2011.- 62с. Составитель: к.т.н., доцент Л.Л. Кротова © ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет», 2011 г. -3СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………... Введение. Дисциплина «Методы и средства научных Лекция 1. исследований». Особенности научных исследований в отрасли……………………………………………………. Методология научных исследований. Объект Лекция 2 исследования. Входные и выходные параметры……….. Классификация экспериментов. Структура научноЛекция 3 исследовательской работы……………………………….. Лекция 4 Порядковые методы обработки качественной информации………………………………………………. 4 6 13 18 26 Лекция 5 Планирование эксперимента с целью математического 36 описания систем ………………………………………….. Лекция 6 Полные факторные планы 23……………………………… 44 Лекция 7 Статистический анализ уравнения регрессии…………… 47 Лекция 8 Экспериментальные планы второго порядка……………. 51 Лекция 9 Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) Планы Шеффе 56 Библиографический список……………………………………………. 61 -4ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «Методы и средства научных исследований» изучает круг вопросов, связанных с организацией, проведением, обработкой и внедрением результатов теоретических и экспериментальных исследований. В результате изучения дисциплины специалисты должны знать основные принципы проведения эффективные научных исследований с точки зрения затрат средств и времени, а также обеспечивающих сохранность окружающей среды при минимальном расходе сырьевых ресурсов. Актуальность проблемы. В настоящее время актуальность научных исследований особенно велика, так как владение аналитическими методами позволит находить оптимальные решения возникающих проблем. Социальная значимость конспекта лекций учебной дисциплины. Необходимость создания конспекта обусловлена требованиями подготовке специалистов высшего образования. Соответствия конспекта лекций дисциплины Государственному образовательному стандарту. Конспект лекций написан в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта, разработан на основе учебного плана направления подготовки 250400 Технология лесозаготовительных и деревоперерабатывающих производств профиль подготовки Технология деревообработки, 151000 «Технологические машины и оборудование», профиль подготовки «Машины и оборудование лесного комплекса». Цель и задачи учебного конспекта. Основная цель изучаемой дисциплины - повысить уровень подготовки молодых специалистов в плане вероятных в их дальнейшей самостоятельной деятельности научных исследований прикладного или фундаментального характера. Важнейшим моментом исследовательской деятельности студента является и работа с литературой, и освоение методик, и организация и выполнение сложных измерений, и, конечно, критериальный анализ полученных данных. Особенности изучаемого учебного курса и рекомендации по самостоятельной работе студентов. Особенность изучаемого курса состоит в том, что студент, опираясь на полученные знания в течение всего дальнейшего обучения может подойти к защите квалификационной дипломной работы имея самостоятельные научные разработки. Научно-исследовательскую работу студентов в учебном заведении целесообразно разделить на 3 этапа. Первый этап включает изучение курса «Методы м средства научных исследований», в результате появляется навыки проведения литературного обзора по заданной теме, методами сбора и обработки априорной информации. На этом этапе студент знакомится с общей методикой -5планирования эксперимента, статистической обработки массивов данных, получением анализом математических моделей, формулированием выводов. Второй этап - первая реализация полученных навыков, сбор массива данных во время производственной практики (результаты обработки и анализа приводятся в отчете по производственной практики), лабораторных занятий, курсового проектирования. Третий этап – самостоятельные исследования на старших курсах, в результате дипломные работы или дипломные проекты включающие научно-исследовательские части. Отличительной чертой данного курса является возможность каждого студента обратиться к преподавателю, как эксперту, и не только ведущему данный курс, но и выбранному самим студентом. Лабораторные занятия как и выполнение контрольной работы связаны с использованием ПЭВМ. Студент работает в четырех программных продуктах. -6ЛЕКЦИЯ 1 Введение. Дисциплина «Методы и средства научных исследований». Особенности научных исследований. План 1 Дисциплина «Методы и средства научных исследований». Задачи курса. 2 Квалификационная характеристика специалиста 3 Проблемы и направления научных исследование в области технологии деревообработки. 4 Динамика роста научных кадров в стране 5. Особенности проведения научных исследований в отрасли 6. Взаимосвязь науки техники и производства 7. Математическая теория эксперимента. Историческое развитие методов проведения научных исследований Источники: У1. С. 4-5, МУ Основы научных исследований технологических процессов деревообработки. Львов, 1983, 109 с. Билей П.В. и др. с. 3-7, МУ Основы научных исследований. Ленинград, ЛТА, 1978, 51 с. с. 3-4. Основная литература: Пижурин А.А., Розенблит М.С. Исследование процессов деревообработки.- М: Лесная промышленность, 1984.- 231 с. Львовский Е.Н. Статистические методы построения эмпирических формул.- М.: Высшая школа, 1988.-239 с. 1 Дисциплина: «Методы и средства научных исследований». Задачи курса. Основной задачей нашей науки всегда являлось расширение и углубление исследований закономерностей развития природы, общества, ускорение научно-технического прогресса, роста эффективности производства. Правильный выбор направления научных исследований раньше или позже, но всегда приносил положительный и далеко не редко значительный экономический эффект в развитии материально-технической базы нашего общества. Современный специалист должен быть широко образован, уметь четко ориентироваться во всевозрастающем потоке информации, владеть приемами самоподготовки, уметь объективно оценивать полученный результат. Все это обязывает высшие учебные заведения повысить уровень подготовки молодых специалистов в плане вероятных в их дальнейшей -7самостоятельной деятельности научных исследований прикладного или фундаментального характера. Научно-исследовательскую работу студентов в учебном заведении целесообразно разделить на 3 этапа. Первый этап включает изучение курса «Методы и средства научных исследований», в результате появляется навыки проведения литературного обзора по заданной теме, методами сбора и обработки априорной информации. На этом этапе студент знакомится с общей методикой планирования эксперимента, статистической обработки массивов данных, получением анализом математических моделей, формулированием выводов. Второй этап - первая реализация полученных навыков, сбор массива данных во время производственной практики (результаты обработки и анализа приводятся в отчете по производственной практики), лабораторных занятий, курсового проектирования. Третий этап – самостоятельные исследования на старших курсах, в результате дипломные работы или дипломные проекты, включающие научно-исследовательские части. Предмет курса «Методы и средства научных исследований» изучает круг вопросов, связанных с организацией, проведением, обработкой и внедрением результатов теоретических и экспериментальных исследований. Цель курса исследований. – овладеть современными методами научных 2. Квалификационная характеристика курса В результате изучения дисциплины специалисты должны знать: - основные принципы проведения эффективные научных исследований с точки зрения затрат средств и времени, а также обеспечивающих сохранность окружающей среды при минимальном расходе сырьевых ресурсов. В результате изучения дисциплины специалисты должны уметь: - самостоятельно сформулировать научно-исследовательскую задачу; - оценить состояние вопроса в выбранном направлении, знать методы априорного моделирования; - конкретизировать задачи, намечать пути решения; - уметь планировать эксперимент на основе современных математических методов; -8- организовывать рациональное проведение научных исследований в лабораторных условиях и на предприятиях; - классифицировать и оценивать ошибки эксперимента, определять необходимое число опытов для получения достоверного результата; - проводить статистическую обработку результатов эксперимента, массива данных; получать математические модели для описания основных процессов отрасли, проводить анализ полученной модели; - правильно оформлять результаты исследования, оценивать их экономическую эффективность; - давать обоснованные рекомендации по улучшению характеристик изучаемой системы и внедрению результатов исследований; - знать методы научно-технического прогнозирования. 3 Проблемы и направления научных исследований в области технологии деревообработки. В деревообрабатывающей промышленности основными направлениями научно-исследовательских работ и технического совершенствования производства являются: - комплексное рациональное использование древесины; - создание, исследование и освоение новых наиболее экономичных материалов, развитие и внедрение в производство новейших методов упрочнения материалов; - исследование и оценка конструкции различного деревообрабатывающего оборудования, отдельных механизмов и узлов с целью создания новых конструкций; - создание систем машин для комплексной механизации и автоматизации важнейших производственных процессов в промышленности; - широкое внедрение прогрессивных технологических процессов, использование только современных технологий при вводе в действие новых мощностей; - исследование вопросов экономической эффективности применения различного оборудования, материалов и технологий. В условиях возрастающей сложности технологии деревообрабатывающих производств, увеличения производительности промышленных установок и форсирования рабочих режимов значительно усложнилась проблема управления производственными процессами. Основным при решении этой общей для различных технологических процессов деревообработки проблемы, являются составление математических описаний технологических процессов, изучение динамических свойств автоматизируемых объектов, установление количественных зависимостей между технологическими и экономическими факторами. -94 Динамика роста научных кадров в стране. Экономическая обстановка в России в последние годы складывается таким образом, что потребность в высококвалифицированных специалистах, способных решать поставленные задачи, после достаточно резкого спада стала так же резко возрастать. Подрос и научный потенциал страны в целом. Доля научных работников (включая научно-педагогические кадры вузов) в среднегодовой численности рабочих и служащих составила: в 1950 1965 1975 1980 1985 1990 1995 2000 годах 0,4 0,86 1,20 1,22 1,24 1,27 1,25 1,26, % Как видим из этих цифр, после быстрого увеличения доли научных работников в 70-е годы наступила относительная стабилизация. Спад 90-х годов связан с разрушение отраслевых институтов и некоторой потерей научных кадров. Доля докторов и кандидатов наук в общем числе научных работников составила: в 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 годах 22,4 26,1 29,4 31,6 33,1 33,9 33,2 35,7 %. Таким образом, наблюдается явное повышение уровня квалификации научных кадров. Но для более успешного решения задач производства, техники и технологии необходимо обратить внимание на совершенствование профессиональных кадров в стране, возрождение отраслевых институтов, возможно на основе наиболее отвечающей требованиям времени. Все это так или иначе ставит перед высшими учебными заведениями задачу значительно поднять уровень подготовки специалистов, научить их практике применения накопленных знаний и подготовить к самостоятельной работе в том числе и научной. 5 Особенности проведения научных исследований в отрасли. Деревообрабатывающая промышленность объединяет самые разнообразные технологические процессы: от приемки, хранения и подготовки пиловочного сырья к распиловке до сборки готовых изделий. Здесь различные операции механической обработки древесины, производство древесностружечных плит и других композитов, фанеры, отделки деталей и изделий и многое другое. В сферу исследований, проводимых в деревообработке входят вопросы организации деревообрабатывающих производств, оптимизации управления процессами деревообработки, вопросы технологии и эксплуатации оборудования. Другая особенность связанна со спецификой исходного материала – древесиной, обладающей чрезвычайно сложной структурой. Отсюда и нестабильность ее физических, химических и механических свойств. В научном плане эта нестабильность резко усложняет проведение исследований. Так бревна поступающие в распиловку, даже после соответствующей сортировки по диаметрам имеют разброс по коэффициенту сбега и качественным характеристикам. То есть - 10 неоднородность исходного материала предполагает увеличение объема выборок и значительные затраты на более тщательную подготовку экспериментов. В производственном плане неоднородность исходного материала приводит к переменному ритму деревообрабатывающего оборудования, усложняет механизацию и автоматизацию технологических процессов. 6 Взаимосвязь науки техники и производства. Причиной и одновременно следствием огромных достижений современного общества во всех отраслях его деятельности является научно-техническая революция, которая связывает 3 компонента: науку, технику и производство. Мы с вами будем рассматривать только один аспект – науку- и ее связь через эксперимент с техникой и производством. Наука – исторически сложившаяся непрерывно развивающаяся логическая система знаний человека об окружающей его действительности, истинность которых проверяется и доказывается общественной практикой. Следовательно, целью деятельности человека в науке является производство новых знаний. Техника – объект реализации научных идей. Развитие техники – сфера деятельности инженера, включающая разработку на основе научных результатов конкретных рекомендаций в виде новых устройств, технологических процессов и так далее. Производство – область для которой изыскиваются и в которой материально воплощаются научно-технические решения. Наука питает технику и производство, и с другой стороны, развитие техники и производства является практической основой для дальнейших поисков и достижений в науке. Основной формой деятельности ученого в науке является научное исследование. Научное исследование – это системное и целенаправленное изучение объектов, в котором используются средства и методы науки и которое завершается формулированием знаний об изучаемых объектах. В ряду научных исследований особое место занимает методология научного поиска. methodas (греч.) – путь следования, способ, прием 7 Математическая теория эксперимента.С момента формирования науки произошло довольно четкое разграничение методов научных исследований на теоретические и экспериментальные. Несмотря на то, что теория и эксперимент всегда взаимно обогащали друг друга в смысле научного результата, все же до недавнего времени методика и качество эксперимента определялись в значительной степени искусством экспериментатора. Однако, примерно с 20-30 годов прошлого столетия такие бурно развивающиеся науки как кибернетика, математическая - 11 статистика, теория вероятности и др. начинают активно обогащать традиционные методы экспериментирования, создавая для них общую фундаментальную теоретическую базу, которую называют математической теорией эксперимента. Границы этой области знаний очертить довольно трудно, так как она непрерывно развивается, однако можно указать ее сформировавшиеся части, с которыми должен быть знаком каждый современный инженер и ученый. Основными частями математической теории эксперимента являются: - статистический анализ; - построение и анализ эмпирических моделей; - оптимальное планирование эксперимента. В настоящее время эксперименты проводятся традиционно при проектировании новых объектов техники в конструкторских бюро различных уровней, при изыскании новых более эффективных технологических решений в условиях производства, при эксплуатации новейшей техники и новых изделий и, безусловно, в научных лабораториях различного ранга. Эксперимент является мощным и эффективным научным методом, позволяющим преодолевать сложности многих явлений природы, общества, техники, социальных и других систем. Математическая теория эксперимента открывает новый подход к инженерным экспериментальным исследованиям. Что нового внесла эта теория в практическую деятельность инженера-исследователя? Какие задачи могут быть решены с помощью этих методов? 1. Внедрение современных экспериментально-статистических методов позволяет свести к минимуму интуитивный подход к организации (планированию) эксперимента, заменить его научно-обоснованной программой проведения экспериментальных работ. При этом субъективные оценки уступают место достаточно надежным статистическим оценкам результатов исследований на всех этапах экспериментальных работ. 2. Основная цель большинства экспериментальных исследований состоящая в нахождении такой совокупности входных управляющих переменных (факторов) при которых оптимизируемая целевая функция принимает экстремальное значение достигается с помощью минимально возможного числа опытов при минимальных затратах времени и средств. 3. Даже при неполном знании внутренних закономерностей изучаемых явлений в объектах, путем направленного эксперимента можно получить математическую модель сложного объекта, включающую наиболее существенные факторы. Такая математическая модель может быть с успехом использована не только для управления и нахождения - 12 необходимых режимов работы, но и для нахождения тех взаимосвязей в объекте, которые ранее были неизвестны или просто не замечались. 4. Методы теории планирования эксперимента учат многофакторному, системному подходу в изучении сложных явлений вместо старого традиционного, однофакторного, одностороннего подхода. 5. Используемый математический аппарат является общим, при исследовании реальных объектов и при исследовании математических моделей. Математическая теория эксперимента базируется на методах теории вероятности и математической статистики и опирается на современную вычислительную технику, применение которой необходимо для проведения большого объема вычислений, связанных с обработкой экспериментальных данных, а также для сравнительного анализа экспериментальных планов методами моделирования. Первые попытки применения математических методов для планирования эксперимента были сделаны в начале 20-х годов прошлого столетия г. Фишером. Особенно быстро теория планирования эксперимента начала развиваться после 1951 г., когда была опубликована работа Д. Бокса и К. Уилсона. В нашей стране работы по планированию эксперимента были начаты В.И. Романовским (1947 г.). Большой вклад в развитие теории эксперимента внесен В.В.Налимовым, Н.А. Черновой, Ю.П. Адлером и другими российскими учеными. - 13 - Лекция 2 Методология научных исследований. Объект исследования. Входные и выходные параметры План 1. Кибернетическая модель объекта исследования. 2. Входные параметры. Выходные параметры 3. Факторы и их классификация. Терминология. 4. Традиционные методы научных исследований. 5. Теория эксперимента и ее возможности. 6. Системный подход в решении задач. (1, с.34..38) 1 Традиционные методы научных исследований. Характеризуя путь познания человеком действительности В.И. Ленин писал: «От живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике - таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности». Живое созерцание – активное чувственное познание. Начальным источником знаний являются ОЩУЩЕНИЯ и ВОСПРИЯТИЯ. ОЩУЩЕНИЯ возникают под воздействием процессов, исходящих из внешней по отношению к человеку среды. Ощущения действую как раздражители на наши органы чувств. Мы знаем пять видов чувств: зрительные, слуховые, вкусрвые, обонятельные и осязательные. ВОСПРИЯТИЯ это чувственное изображение объектов действительности. А так как восприятие возникает только в момент воздействия объекта на органы чувств, оно всегда связано с конкретной ситуацией. Это важный компонент так называемого предметночувственного или наглядно-интуитивного мышления. Однако для того, чтобы активно воздействовать на объект необходимо, чтобы чувственная информация не связывалась жестко с той или иной единичной ситуацией, а могла бы абстрагироваться в процессе познания. Итак, вначале живое созерцание, наблюдение, накопление фактов, затем возникает предположение и на этом этапе исследователь чаще всего обращается к эксперименту как важнейшему методу научного исследования. Тщательно изучив все материалы относящиеся к цели и предмету исследования, исследователь выдвигает рабочую гипотезу. РАБОЧАЯ ГИПОТЕЗА это научное предположение не доказанное, но в той или иной мере вероятное. В процессе исследования рабочая гипотеза или принимается или отвергается, уточняется, улучшается. На основе разработки принятой гипотезы появляется теория. - 14 При традиционном подходе все эксперименты проводятся последовательными сериями, в которых меняется только один изучаемый фактор, а остальные стремятся поддерживать постоянными, насколько это возможно. Развитие науки об эксперименте изменило характер подхода исследователя к эксперименту. Согласно новому подходу, эксперимент следует ПРОЕКТИРОВАТЬ. Стремясь обеспечить требуемое КАЧЕСТВО исследования. Цели и критерии оценки качества исследования необходимо выявлять системно оценивая затраты, важность ожидаемых результатов, последствия недостаточной точности и ошибочных решений. Для вычисления показателей качества исследовательского процесса нужно уметь строить МОДЕЛЬ эксперимента и убеждаться в ее правильности. 2 Теория эксперимента и ее возможности. Решения всех этих задач базируется на результатах ТЕОРИИ ЭКСПЕРИМЕНТА к развитию которой привело широкое применение экспериментальных методов. Теория эксперимента призвана ДАТЬ исследователю ОТВЕТЫ на следующие вопросы: 1 Как нужно организовать эксперимент, чтобы наилучшим образом решить поставленную задачу, в смысле затрат времени, средств и с наибольшей точностью результатов. 2 Как следует обрабатывать результаты эксперимента, чтобы получить МАХ количество информации об исследуемом явлении. 3 Какие обоснованные выводы можно сделать об исследуемом объекте по результатам эксперимента Основой теории эксперимента является математическая статистика, которая применима для анализа эксперимента в тех случаях когда его результаты могут рассматриваться как случайные величины или случайные процессы. А такие условия выполняются в подавляющем большинстве исследований. Статистическое представление об эксперименте образует основу для исследования сложных объектов и систем, которые характеризуются большим числом факторов, воздействующих на результаты эксперимента. Теория эксперимента дает исследователю точную логическую схему и способ решения задач на разных этапах исследования, то есть каждое экспериментальное исследование состоит из ряда следующих друг за другом этапов. - 15 Формулирование цели эксперимента Обработка результатов эксперимен та Выдвиже ние гипотез Проверка справедливости выдвинутой гипотезы Планирование эксперимента Проверка условий конца эксперимен Проведение эксперимен та Формули рование выводов Формулирование цели эксперимента Выдвижение гипотез об исследуемом объекте Составление методики, планирование эксперимента Проведение экспериментов Обработка и анализ результатов эксперимента Проверка правильности выдвинутых гипотез Выдвижение новой гипотезы или проверка условий окончания эксперимента 8. Планирование нового эксперимента или окончание работ. Следует напомнить, что большинство научных исследований в деревообработке имеет прикладной характер. Поэтому требованиям практической значимости результатов исследований уделяется первостепенное значение. И в раздел окончание работ следует подраздел прогнозируемых технико-экономических расчетов подтверждающих целесообразность проводимых исследований. 3 Системный подход в решении задач. В научных исследований необходимо всегда руководствоваться принципом системного подхода. Который заключается в следующем: - исследуемый объект рассматривается как совокупность некоторого числа взаимосвязанных элементов подсистем, а каждая подсистема представляет собой также систему; - сам исследуемый объект является подсистемой какой-то сложной системы. Поэтому изучение любого объекта вместе с исследованием подсистем. Входящих в него. Должно сопровождаться изучением всего множества взаимосвязей между подсистемами. Как уже рассматривалось в первой лекции из-за неоднородности исходного материала – древесины, взаимосвязь всех этапов одного и того же процесса особенно ощутима. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. - 16 Подводя итог вышесказанному следует отметить. Что экспериментальные методы исследований, о которых пойдет речь объединяются в понятии «планирование эксперимента». ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА это процедура выбора числа условий проведения опытов. Необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью. 4 Кибернетическая модель объекта исследования. Чтобы в дальнейшем вести предметный разговор введем ряд понятий. Объект исследования. Для описания объекта исследования удобно использовать кибернетическую систему, называемую «черным ящиком». Объект Y1 исследования Y2 Хк Черный ящик Словами «черный ящик» подчеркивается недостаточное знание объекта исследования. Для проведения эксперимента необходимо иметь возможность воздействовать на поведение «черного ящика» - объекта исследования. Эти воздействия будем обозначать Х – назовем их ФАКТОРАМИ. Итак: факторы действуя на объект изменяют его состояние. 5 Входные параметры. Выходные параметры Х – фактор – входной параметр, или параметры если факторов больше одного; Y – выходной параметр или отклик, по которому можно судить об изменении состояния объекта исследования; Z – незначительно влияющие факторы, их можно признать шумами. Одной из самых важных составляющих частей научного исследования является построение математической модели объекта. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ - это уравнение связывающее выходной параметр с факторами. Это уравнение в общем виде модно записать так: Y=ƒ (x1, x2, x3 …xk) Такая функция называется функцией отклика. 6 Факторы и их классификация. Терминология. Мы условились факторами называть измеряемые переменные величины, принимающие в некоторый момент времени определенные значения. Факторы это те воздействия на объект исследования, которые так или иначе изменяют состояние исследуемого объекта. Будем считать фактор заданным, если вместе с его названием будет указана область его определения. Под областью определения понимается совокупность всех значений, которые в принципе может принимать фактор. В практических - 17 задачах области определения факторов как правило ограничены. Ограничение может носить либо принципиальный, либо технический характер. Мы об этом будем говорить в последующих лекциях. Факторы участвующие в эксперименте называют основными. Факторы не изменяющие своего значения в течение всего эксперимента называют постоянными. Факторы изменяющие свое значение в интересующем исследовании диапазоне называют варьируемыми. Опыт – часть эксперимента, выполненная при определенных значениях факторов Конкретное числовое значение, принимаемое фактором в опыте называют уровнем фактора. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможных состояний «черного ящика». Введем классификацию факторов в зависимости от того, является ли фактор переменной величиной, которую можно оценивать количественно, например измерить, или же фактор некоторая переменная величина, характеризующаяся качественными свойствами (порода древесины, конструкция аппарата). То есть факторы делятся на - количественные. Каждое значение количественного фактора однозначно характеризуется каким-то единственным числом - качественные. Качественным факторам не соответствует числовая шкала. Однако, для качественных факторов можно построить условную порядковую шкалу, которая ставит в соответствие уровням качественного фактора числа натурального ряда. Таким образом производится кодирование качественных факторов. Порядок уровней может быть произволен, но после кодирования он фиксируется. Zb. Пусть в эксперименте под номером Х5 участвует качественный фактор, например порода древесины Х51 – сосна; Х52 - ель - присвоение индексов не говорит о возможности присвоения числа. Нельзя сказать, что Х52<Х51 и естественно нет кривой, соединяющей эти значения, так как есть два значения, но нет значений в интервале (Х52<Х51). Для качественных факторов нет понятия диапазона варьирования. Для количественных факторов характерно понятие диапазона варьирования. Диапазон варьирования это отрезок внутри которого находятся все значения принимаемые данным фактором в эксперименте. Область варьирования фактора – это совокупность значений данного фактора, которые он принимает в эксперименте. Zb. Исследуемый диаметр бревен 14, 18, 20, 24, 28 – это область значений фактора. [14;28] – диапазон варьирования. - 18 ЛЕКЦИЯ 3 Классификация экспериментов. Структура научно-исследовательской работы План 1 Однофакторные и многофакторные эксперименты 2 Активные и пассивные эксперименты 3 Требования к факторам при активном эксперименте 4 Прикладная НИР. Этапы исследования. 5 Постановка цели и задач научно-исследовательской работы. 6 Стратегия априорного моделирования: методы сбора информации; методы обработки информации 1. Однофакторные и многофакторные эксперименты. Мы с вами говорили о том, что любую изучаемую систему можно представить в виде «черного ящика». При этом каждый фактор может принимать в эксперименте одно или несколько значений. В принципе фактор способен принимать бесконечно много значений – иметь непрерывный ряд. Однако на практике точность с которой устанавливается определенное значение имеет определенные ограничения. То есть мы вправе считать, что фактор имеет определенное число дискретных значений, назовем их уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет одно из возможный состояний «черного ящика». Это и есть условия проведения одного опыта. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы получим полное множество различных состояний изучаемого объекта., то есть число различных опытов. Естественно, что число различных состояний определяет сложность системы. Зная сколько основных факторов воздействует на объект и число уровней каждого фактора можно оценить сложность системы и возможность различного подхода к планированию эксперимента. В случае, если изучаемые влияния на объект более одного фактора существуют два принципиально различных способа организации эксперимента. Это однофокторные и многофакторные эксперименты. Однофакторным называют такой эксперимент, когда изучается воздействие на объект исследования поочередно только одного фактора. Такие эксперименты чаще называют классическими. Если необходимо исследовать влияние двух или нескольких факторов на объект, то в случае однофакторного эксперимента поступают так: сначала варьируют один фактор, а остальные фиксируют на определенных уровнях, затем варьируют только второй, а остоальные, включая первый фиксируют и так далее. Преимущества однофакторного эксперимента: - 19 - наглядность – результаты эксперимента можно даже прогнозировать; - специалист хорошо знающий объект исследования может вовремя заметить ошибку и принять соответствующие меры. Недостаток – большие затраты времени и средств. Многофакторный эксперимент предполагает изменение уровней варьирования сразу нескольких факторов при переходе от опыта к опыту, то есть в многофакторных экспериментах варьируются все или почти все факторы одновременно. ▫ Условия опытов удобно записывать в виде матрицы. Допустим, изучают влияние трех факторов, изменяющихся в пределах: - начальная влажность древесины, Wn , 40…80 %; - температура агента сушки, t, 50…70 0С; - толщина пиломатериалов, S1, 25…63 мм. Допустим, что каждый фактор предполагается варьировать на трех уровнях. Матрица условий опытов для однофакторного и многофакторного экспериментов может выглядеть так: Однофакторный эксперимент Многофакторный эксперимент № опыта Wn, % t, С S1, мм № опыта Wn, % t, 0С S1, мм 1 40 50 25 1 40 50 25 2 60 50 25 2 80 50 25 3 80 50 25 3 40 70 25 4 40 60 25 4 80 70 63 5 60 60 25 5 40 50 63 6 80 60 25 6 80 50 63 7 40 70 25 7 40 70 63 8 60 70 25 8 80 70 63 9 80 70 25 9 60 60 40 10 40 50 40 9 60 60 40 11 60 50 40 10 60 50 40 Всего 27 опытов Всего 14 опытов (план В3) С учетом принятой однофакторной или многофакторной стратегии проведения эксперимента можно подсчитать, сколько опытов будет включено в эксперимент. Пусть надо подсчитать число состояний объекта при 6 факторах на двух уровнях: 26=64 опыта в эксперименте, система из 5 факторов на 5 уровнях даст: 55= 3125 опыта в матрице эксперимента. Надо помнить, что каждый опыт повторяется не один раз, то есть в случае, если экспериментатор предусматривает исследовать все возможные комбинации уровней факторов просто встанет в тупик. Многофакторный эксперимент резко снижает количество опытов. Для такой ситуации как 55 теория эксперимента предлагает план Бокса- - 20 Уилсона, который содержит всего 31 опыт, и конечно в этом случае каждый опыт можно повторить необходимое число раз для получения более точного результата. Даже если точность полученной математической модели будет все таки недостаточной, то благодаря сравнительно небольшому числу опытов матрицы плана, количество повторений каждого опыта можно увеличить. Следовательно, с точки зрения эффективности лучшим будем считать тот экперимент, который при равных условиях – одинаковом количестве поставленных опытов обеспечивает большую точность результатов, более достоверное математическое описание объектов или лучшее приближение е точки оптимума. С этих позиций однофакторный эксперимент уступает многофакторному. Поэтому в теории планирования эксперимента рассматриваются в основном многофакторные эксперименты. Преимущества многофакторного эксперимента тем больше, чем больше факторов предусматривается варьировать. 2 Активные и пассивные эксперименты. Как мы уже отмечали наиболее важной частью научных исследований является получение и анализ математической модели исследуемого объекта. Математическая модель может быть построена по результатам теоретического или экспериментального исследования. Однако, в любом случае достоверность полученной модели, соответствие ее реальному объекту проверяется ээкспериментально при сопоставлении модельных результатов с результатами, полученными на реальном объекте. Постороение математической модели по экспериментальным данным выполняется по следующей схеме: - постулируется вид модели; - проводятся эксперименты в некотором числе точек N; - на основании экспериментов рассчитываются оценки неизвестных параметров модели; - проверяется правильность постулируемой модели ее адекватность; Статистический анализ характеристик экспериментальной модели показывает, что точность модели существенным образом зависит от выбора условий проведения эксперимента, то есть является функцией плана эксперимента. В этих случаях говорят о пассивном и активном эксперименте. Если есть возможность целенаправленного выбора условий проведения эксперимента, то речь идет об активном эксперименте. Для проведения активного эксперимента факторы должны быть управляемыми, эта возможность в основном появляется при лабораторных условиях. Преимущества активного эксперимента, позволяющая применять различные планы очевидна: - 21 - требуемая точность решений может быть достигнута при минимальном числе опытов; - снижены затраты времени и средств на эксперимент; - появляется возможность оценить дисперсию ошибки; - проверить адекватность модели. На промышленных установках, в реальных производственных уловиях этот эксперимент трудно выполним, так как всегда имеется некоторое число факторов, изменять которые по желанию экспериментатора оказывается невозможным. В этом случае применяется пассивный подход к сбору информации, то есть регистрация технологических факторов при нормальном функционировании объекта без целенаправленных изменений. Понятие планирования эксперимента решает проблему оптимальной организации пассивного сбора информации, а именно выбор интервала времени при регистрации данных, задание объема выборки. При проведении пассивного эксперимента следует обратить особое внимание на то, чтобы столбцы значение варьируемых факторов попарно не коррелировали друг с другом. Пусть получили таблицу экспериментальных данных. Х1 Х2 Х3 ….. Хк Между каждой парой столбцов надо просчитать коэффициент корреляции, между Х1 и Х2, затем между Х1 и Х3, и так далее и между Х1 и Хк, потом Х2 и Х3, Х2 и Х4, и так далее до Х2 и Хк. то есть перебрать все возможные пары столбцов. И если для какой то пары коэффициент корреляции окажется значимым, один из коррелирующих факторов необходимо исключить из эксперимента. Какой именно решает экспериментатор, по степени важности, удобству измерения значений и то подобное. 3 Требования к факторам при активном эксперименте 1. Факторы должны быть управляемыми. Это значит, что экспериментатор может поддерживать выбранное значение фактора постоянным в течение всего опыта 2. Факторы должны быть независимыми. Факторы считаются независимыми, если экспериментатор может зафиксировать в эксперименте требуемое значение каждого фактора независимо от значений остальных. Zb. Пусть объект исследования газ в сосуде. Варьируемые факторы P, v, T. - Эти факторы управляемы? Да! - Независимы? Зависимы, так как (P*v)/T=const по уравнению Менделеева-Клапейрона. Любые 2 фактора независимы, а третий уже зависим. Значит в эксперименте могут участвовать только два из трех перечисленных факторов. 3. Факторы должны быть однозначно определены. Трудно управлять фактором, если он функция от других факторов. Необходимость введения - 22 сложных факторов возникает при желании представить динамические особенности объекта в статистической форме. Для этого существуют специальные методы. Zb. Номер вариантов кривых рассматривают в качестве уровня фактора. Мы же будем говорить об однозначности как о непосредственном воздействии фактора на объект. 4. Факторы должны быть совместимыми. Любые комбинации уровней факторов из области значений не должны приводить к нежелательным последствиям (получению брака или поломки оборудования и тем более несчастному случаю). 4 Прикладная НИР. Этапы исследования. Как показывает практика, научно-исследовательская работа (НИР) в деревообработке носит главным образом прикладной характер. Это значит, что результаты такой работы непосредственно напрвлены на их практическое воплощение. Прикладной НИР называют совокупность теоретических и экспериментальных исследований, направленных на производство знаний по созданию прогрессивной технологии, техники, новых материалов. Основные признаки НИР: - прежде всего целенаправленность, то есть наличие четко поставленной цели исследования; научность методов; - творческий характер в выяснении сущности явления на основе выявления причинных связей в изучаемом объекте и анализ их влияния на объект исследования; - формулирование выводов. В общем виде НИР можно представить состоящей из этапов: 1. Постановка цели исследования 2. Изучение состояния вопроса 3. Формирование основных задач исследования 4. Разработка методики исследования, планирование эксперимента 5. Проведение эксперимента 6. Обработка результатов эксперимента материала. Поэтому цель выступает как руководящий принцип действия. Четкая постановка цели во многих случаях позволяет сократить объем научного исследования, помогая отсеять задачи, решение которых не направлено на достижение цели. Для достижения намеченной задачи всю будущую работу разделяют на этапы, в каждом из которых Формирование выводов Рассмотрим методику работ на указанных этапах. 7. - 23 5. Постановка цели и задач научно-исследовательской работы. Цель научной работы - производство новых знаний об исследуемом объекте в процессе изучения его свойств. Целью прикладной НИР является например, повышение эффективности процесса, создание нового формируется самостоятельная подцель-задача. Построение, содержание и количество задач должно быть таким, чтобы в рамках поставленной цели и в пределах отведенного стока обеспечить отыскание решения, приемлемого на данном этапе развития науки. Как найти предмет исследования? Какие требования предъявляются к объекту - предмету исследования? К предмету исследования предъявляются следующие требования: - предмет исследования должен быть характерным для сущности исследования. Zb: при изучении свойств материалов, необходимо брать такие, которые чаще всего применяются или могут быть применены. Сравнительные испытания нового оборудования проводятся при одинаковых условиях с существующим; - предмет исследования должен быть строго оговорен; - тема исследования должна соответствовать материальной базе; - каждое исследование должно быть экономически целесообразным. Как найти тему исследования? Обычно исследователь интересуется какой-либо областью и у него возникает много вопросов. Таким образом постановка задачи начинается с обнаружения некоторой неясности. Количество невыясненного очень много, поэтому и поиск неизвестного не так и труден. Важно выбрать те вопросы, которые помогут выяснить сущность какого-либо явления, а не выльются только в техническое фиксирование какого-либо факта. Существует множество приемов отыскания темы исследования. Первый прием – академик Курнаков советовал взять научную работу 30…50 летней давности и попытаться повторить ее от начала до конца, но применяя современные, более совершенные способы измерения, приборы, методологию и можно найти целый ряд новых тем. Аналогична мысль Гете: «Все разумное уже однажды обдумывали, остается попробовать обдумать вновь». - 24 Второй прием – работы начинают без заранее ясной узкой прикладной задачи, тогда сам ход исследования наталкивает на новые неясности, побуждает проводить детальные исследования. Очень широко в деревообработке применяются стандартные методики в привязке к оригинальным условиям. Это позволяет найти множество тем, вопросов, проблем, решение которых может заведомо принести значительный экономический эффект. Существуют и более строгие рекомендации для отыскания цели и задач исследования. Согласно «методу формулирования задач», предусматривается такой план действий: 1. Охарактеризовать исходную ситуацию и оценить (при необходимости) допустимые затраты времени и средств: 2. Четко сформулировать новизну и актуальность работы, обосновать ее необходимость, выбрать направление исследования (теоретическое, экспериментальное, теоретико-экспериментальное): 3. Определить конечную цель исследования и промежуточные цели по конкретным задачам 4. Оценить возможный экономический эффект. Итак, тема определена, следующий этап – изучение состояния вопроса. Как собрать нужные сведения о предмете исследования? Это довольно сложный процесс. Ежегодно в мире публикуется около 10 млн статей только по естественным наукам, причем каждые 5…10 лет число публикаций удваивается. Современный исследователь находится в положении золотоискателя, которому нужно отыскать крупинки золота (нужных сведений) в горе песка. На помощь приходят методы априорного моделирования, методы сбора и обработки априорной информации 6. Стратегия априорного моделирования Джонс с 89…100, 198..200 Цель этапа изучение состояния вопроса – накопление максимально доступного количества информации, связанной с предметом исследования. Для сбора качественной информации применяют такие методы исследования как: - поиск и анализ литературных источников: - мозговая атака: - анкетный опрос. Эти методы сбора информации до проведения экспериментов относятся к методам априорного моделирования. Априорное моделирование – это методы выявления, формализации и обработки качественной, субъективной информации, которая может содержаться в мнениях и высказываниях экспертов. - 25 Методы априорного моделирования называют «методами экспертных оценок». Задачей априорного моделирования является получение количественного описание объектов путем обработки данных полученных в результате сбора априорной информации, путем обработки мнений специалистов. Следовательно, априорное моделирование проводится тогда, когда есть информация по результатам литературного поиска, анкетного опроса или мозговой атаки. Прежде всего отметим, что стратегия априорного моделирования является циклическим видом научного исследования Структурную схему априорного моделирования можно изобразить следующим образом: Объект исследования Исследователь У Эксперт Методы сбора информации Х Результаты Для сбора априорной информации применяют различные методики. Мы рассмотрим наиболее приемлемые: -метод литературного поиска; - метод мозговой атаки или штурма; - метод анкетного опроса. Полученные результаты до экспериментальных исследований обрабатывают графическими или порядковыми методами. Сравнительно просты графические методы обработки априорной информации. Самыми распространенными являются: - структурные схемы ИСИКАВА. Исикава известный в Японии специалист по качеству выпускаемой продукции; - диаграммы ПАРЕТО Порядковые методы мы подробно рассмотрим дальше. - 26 - Лекция 4 Методы сбора априорной информации. Порядковые методы обработки качественной информации План 1. Метод литературного поиска 2. Метод мозгового штурма 3. Метод анкетного опроса 4. Упорядочение данных в виде ранжированного ряда 5. Обработка информации методом конкордации 6. Анализ ранжирования методом ранговой корреляции Эффективность научных исследований во многом зависит от качественного анализа исходной ситуации и применяемых методов сбора априорной (до опытной) информации. Это методы: - поиска и анализа литературных источников, позволяющие составить характеристику объекта исследования по данным литературного обзора; - "мозговой атаки" - наиболее оперативный метод, (применяется для нахождения множества отправных точек при независимом поиске решений); - анкетного опроса (служит для сбора информации накопленной у специалистов и экспертов). Грамотно проведенный анализ исходной ситуации дает представление, о степени иэученности предмета исследования, сравнительной оценке методов решения аналогичных задач, обобщения имеющихся результатов и выделении доминант исследования. 1. Метод литературного поиска. Задача метода. Отыскать опубликованную информацию, полезную для будущих исследований. Стандартные методы поиска охватывают следующие способы выявления и нахождения необходимых типов публикаций: - просмотр монографий и учебников; - обращение к энциклопедическим словарям и справочникам, реферативным журналам и их перечням; - использование библиотечных каталогов и указателей; - консультации с библиографами и сотрудниками информационных служб; консультации с экспертами или исследователями, которых могли интересовать подобные публикации; - 27 - просмотр периодической литературы. 1.1 План действия при поиске литературных источников 1. Определить цель поиска опубликованной информации. 2. Уточнить виды изданий, в которых может быть опубликована достоверная информация, пригодная для намеченной цели. 3. Определить библиотеки специализированных учреждений, где могут быть искомые издания. 4. Выбрать метод поиска информации. 5. Выбрать метод фиксирования информации. Для накопления опубликованного материала возможны следующие варианты: использование персонального компьютера или сохранение найденного материала традиционным способом. Для этого используются стандартные карточки. Форма записи выбирается в зависимости от субъективной оценки найденного материала. Это может быть либо краткий конспект, или краткая запись существа вопроса или цитата. Каждый исследователь в результате получает собственную небольшую «картотеку» по узкому направлению будущих исследований. Для ведения конспекта первоисточников удобно разделить каждый лист по длинной или короткой стороне в соотношении I: 2 или I: 3. форма I. В левой части конспекта записывается дата поиска и собственные суждения по каждому источнику, а в правой реферативная информация из опубликованного источника. Форма 1 - Рекомендуемая композиция ведения заметок при литературном поиске Библиотечные номера источника Дата работы Автор, название книги, статьи, журнала, подробные выходные данные. Название библиотеки в которой найден источник Собственные Конспект источника, реферат, суждения цитата Результатом литературного поиска является глубокий анализ существа вопроса и как следствие уточнение тематики будущих исследований. 2. Метод мозговой атаки. Известно, что критика, или даже боязнь критики, служат помехой творческому мышлению. Разумеется, что любая новая идея может оказаться неверной. Чтобы устранить препятствия, вызываемые боязнью критики, при генерировании идей был разработан метод " мозгового штурма" - "мозговой атаки". - 28 Для эффективного применения метода "мозговой атаки" необходимо представлять себе его возможности и знать, как и когда его целесообразно применять. Если метод использован правильно, то он является мощным средством генерирования идей. Применять метод довольно трудно, для этого нужна специальная тренировка. Каковы способы получения новой точки зрения на проблему исследования? ИНВЕРСИЯ – сознательное преодоление инерции мышления, отказ от прежних взглядов на задачу с тем, что бы рассмотреть ее с новой точки зрения, с новой позиции: - если объект рассматривался с наружи, то будем рассматривать его изнутри; - если какая-то деталь всегда располагалась вертикально, то ее помещают в горизонтальное положение или под углом; - если одна деталь движется, а другая неподвижна, то метод инверсии означает, что детали меняются местами. Перевернуть вверх дном, вывернуть на изнанку, поменять местами – эти слова характеризуют существо метода инверсии, используемого для получения новых идей. Инверсия – это простой и мощный метод получения новых взглядов на традиционные исследования. ЭМПАТИЯ – означает отождествление личности одного человека с личностью другого и проникновение в чувства другого лица. Этим термином определяется так же и отождествление человека с исследуемым предметом, деталью или даже процессом. Задача состоит в том, что бы «стать» этим предметом и посмотреть с точки зрения этого предмета, с его позиций, что можно предпринять. Задача с ядром грецкого ореха. 1. Все действия «снаружи» отменяются, нужно решить задачу «изнутри». 2. Что ядру выйти изнутри, нужна помощь. От уяснения этой задачи до схемы подачи воздуха под давлением в просверленные отверстия в скорлупе 1 шаг. Важным для решения этой задачи является обдумывание ее находясь как бы внутри скорлупы. Эмпатия требует от человека определенного вхождения в образ. Этому способствует природная одаренность и нескованность. Многие могут применять его при определенной тренировке. АНАЛОГИЯ – использование для достижения поставленной цели аналогичных ситуаций встречающихся в других задачах, других отраслях, в природе и даже в художественной литературе. ФАНТАЗИЯ – очень полезно рассматривать идеальную ситуацию. Использование фантазии для стимулирования новых идей заключается в размышлении над некоторыми фантастическими решениями, в которых иногда используются нереальные события, предметы или - 29 сверхестественные процессы. Есть надежда, что размышления о желаемом могут натолкнуть на новые идеи или точку зрения, которая приведет к желаемому результату. Правила мозговой атаки. Любая критика и внесение любого суждения - благоприятного или неблагоприятного - не допускается. Это наиболее жесткое и важное правило, т.к. велика вероятность неудачи из-за нарушения психологической атмосферы при обмене идеями между участниками мозговой атаки. Стратегия мозговой атаки. 1. Генерирование большого числа идей. При этом одна идея может порождать другую, а поскольку критика не допускается, то каждая идея хороша. 2. Необходимо свободно высказывать свои мысли. Нужны разнообразные идеи. При окончательном решении многие идеи окажутся бесполезными, однако сам процесс должен происходить таким образом, чтобы поток идей был бурным, и они следовали быстро друг за другом. Паузы не допустимы. Выбор генераторов идей. Эти люди не должны быть лично заинтересованными в рассматриваемой задаче, не связаны друг с другом личными симпатиями. Они не обязаны также быть узкими специалистами по рассматриваемому вопросу, но должны иметь общее представление о поставленной задаче, понимать её. Ценным выходом мозговой атаки являются не сами идеи, а категории на которые они разбиваются в процессе классификации. 3. Метод анкетного опроса Метод анкетного опроса служит для сбора фактической информации накопившейся у специалистов. Этот метод априорного моделирования нашел свое применение, прежде всего в психологии, затем в социологии. В настоящее время объектами априорного моделирования стали технологические процессы, промышленные установки. План действия при реализации метода анкетного опроса. 1 Определить четко цель анкетного опроса. 2 Определить категории лиц, располагающих необходимой информацией. Опыт показывает, что к опросу следует привлекать экспертов, принадлежащих к возможно большему числу различных направлений или научных школ в соответствующей области. Это позволит рассмотреть объект с различных точек зрения и избежать ошибок, связанных с неправильной постановкой задачи. 3 Составить пробную анкету, включающую интересующие вопросы. Требования к составлению анкет - 30 1 Вопросы должны быть сформулированы так, чтобы эксперт мог ответить на них однозначно. 2 Вопросы должны быть тактичными. 3 Спрашивать лишь о минимуме информации, необходимой для данного случая. 4 Формулировать вопрос так, чтобы на него можнo было ответить "да" или "нет" или поставить цифру (ранг). Действие с анкетой. Сначала составляют пробную анкету и реализуют 2-4 экспертам, собранные ответы анализируют, если необходимо, вносят уточняющие изменения. Окончательную анкету, размножают с учетом вида реализации и распространяют. Собрать ответы на анкету можно путем очного и заочного опросов. Очный опрос дает лучшие результаты, но во время личной беседы исследователь может повлиять на ответ эксперта. Поэтому при очном опросе строго придерживаются вопросов анкеты. Заочный опрос дает незаполненные анкеты или неверно заполненные. Поэтому анкету, отправленную почтой, сопровождают подробной инструкцией, объясняющей цели исследования. Заполненные анкеты обрабатывают статистическими методами. Таким образом, предварительное изучение исследуемого процесса сводится к тому, что мы должны формализовать априорные сведения об изучаемом объекте или процессе, объективно обработать субъективные сведения РАНГИ. Основная цель анкетирования при изучении процессов отрасли - ответить на вопрос о степени влияния различных факторов на протекающий процесс. При этом факторам приписывают порядковые номера 1, 2, 3, ..., в зависимости от величины вносимого ими вклада в исследуемый процесс. Эти номера принято называть рангами. Чем выше ранг фактора, тем меньше степень влияния его на процесс. Если специалист считает, что степень влияния каких-то факторов одинакова, то всем им приписывают одинаковый paнг. Результаты, полученные при опросе экспертов сводят в таблицу по форме 7.1 Таблица 7.1- Исходная матрица рангов Эксперты 1 А 1 Б В Г Д Номера факторов 2 3 4 5 6 7 Оценки экспертов 4 2 4 1 3 4 8 9 10 11 5 5 7 6 - 31 Эта матрица является исходной информацией для оценки полученных сведений порядковыми методами. Порядковые методы обработки и измерения качественной информации позволяют оценить отношения между объектами. Наиболее распространенным методом является ранжирование и его анализ способом конкордации и ранговой корреляции. 4 Упорядочение данных в виде ранжированного ряда Упорядочение заключается в расположении объектов в порядке убывания или возрастания какого-либо признака, присущего этим объектам. Обычно степень, с которой тот или иной признак присущ объектам, не поддается количественному измерению и оценивается только качественно. Пусть ni - объектов обладают свойством Х, расположены экспертами в порядке возрастания или убывания степени обладания этим свойством. Обозначим xi – ранг i - го объекта среди остальных (n -I) объектов этой последовательности. Сумма рангов в таком ряду составляет k n (n + 1) (8.1) ∑ Χ i = i 2i i =1 Если эксперты затрудняются присвоить всем объектам различные ранги, они могут приписать двум или нескольким объектам одинаковые ранги так, что общее число различных рангов N будет меньше числа исследуемых объектов ni. В этом случае полученную ранжировку нужно привести к нормальному виду, т.е. такому, при котором условие 6.1 выполняется. Для этого объектам, имеющим одинаковые ранги, приписывают ранг, равный среднему значению мест, которые объекты поделили между собой в ранжировке с совпадающими рангами. Эти ранги называют связанными. В таблице 8.1 показаны различные виды ранжировок. Таблица 6.1 - Виды ранжировок Ранжировки 1. Нормальная ранжировка 2. Ранжировка с повторяющимися рангами 3. Ранжировка со связанными рангами Объекты исследования, факторы n1 n2 n3 n4 n5 n6 Оценки экспертов, ранги k ∑ Xi i =1 2 1 5 3 6 4 21 1 2 3 3 2 3 14 1 2,5 5 5 2,5 5 21 В первой ранжировке сумма рангов равна 2I = 2+1+5+3+6+4, то есть - 32 соблюдается условие (6.1) 6(6 + 1) = 21 2 i =1 В ранжировке 2 с повторяющимися рангами сумма рангов равна I4=I+2+3+3+2+3, так как по мнению эксперта, объекты 2 и 5 одинаково представляют 2 места, а остальные объекты значат еще меньше и все могут соответствовать 3-му месту. Чтобы привести ранжировку 2 к нормализованному виду, объектам 2-му и 5-му, которые поделили 2 и 3 места, приписывается связанный ранг 2+3 = 2,5 . 2 Объекты 3, 4 и 6 поделили соответственно 4, 5 и 6 места, значит их связанный ранг равен 4+5+6 = 5. 3 Полученные связанные ранги записывают в таблицу в соответствующие ячейки повторяющихся рангов. В результате нормализации получится упорядоченный ряд, сумма рангов которого соответствует условию (6.I), т.е. 2I=I+2,5+5+5+2,5+5. Даже после того, как ранги нормализованы, процедура простого усреднения рангов некорректна. Для оценки полученной информации применяют методы конкордации и ранговой корреляции. 6 ∑ Χi = 5 Обработка информации методом конкордации. Конкордация заключается в установлении согласованности между отдельными ранжировками. Чаще всего конкордация применяется для объективного выбора доминирующих факторов или параметров технологических процессов, когда сведения о них получены из многих, не согласованных друг с другом информационных источников. Результаты ранжирования обычно представляют в виде матрицы рангов. Степень значимости ранжировок отдельных экспертов устанавливают по величине суммы рангов, полученных от всех экспертов. Сумма рангов для каждого объекта — это величина вклада этого объекта в исследуемый процесс. Величину вклада численно оценивают коэффициентом конкордации W. При отсутствии связанных рангов коэффициент конкордации рассчитывают по формуле 12 S W = 2 3 , m n −n (8.2) ( где ) 2   m  S = ∑  ∑ Χ ij − 0,5m (n + 1) .  i =1   j =1  n (8.3) - 33 Если в ранжировках имеются связанные ранги, то коэффициент конкордации равен S W = , (8.4) m 1 / 2m 2 n 3 − n − m ∑ T j ( ) ( j =1 ) 1 n 3 ∑ ti − ti , 12 i =1 а ti - число и вид повторений i – го ранга в j – м ряду. где Tj = (8.5) Величина коэффициента W (конкордации) изменяется от 0 до I. Оценка согласия между ранжировками по величине коэффициента конкордации может быть следующей, таблица 8.2. Чтобы убедиться в том, что расстановка рангов не была случайной, проводят процедуру проверки коэффициента конкордации на значимость. Проверка значимости сводится к проверке статистической гипотезы о равенстве коэффициента конкордации нулю. При числе ранжируемых объектов n < 7 рассчитывают неравенство (m − 1) ⋅ W ≥ F . 1 / 2 ln (8.6) табл 1−W Если неравенство (6.6) выполняется, то коэффициент конкордации признаётся значимым. Таблица 8.2 - Оценка согласия между ранжировками Значение коэффициента Оценка согласия между ранжировками конкордации Связь между ранжировками отдельных экспертов отсутствует 0,10 – 0,30 Слабая степень согласия между ранжировками 0,31 – 0,50 Умеренная 0,51 – 0,70 Значительная 0,71 – 0,90 Высокая 0,91 – 0,99 Очень высокая 1 Все эксперты дали одинаковые ранжировки В случае, если 7 ≤ n ≤ 30 , то проверка значимости коэффициента конкордации проводится по критерию Пирсона и гипотеза о равенстве коэффициента конкордации нулю отвергается, если имеет место соотношение 2 m (n − 1)W ≥ χ табл , (8.7) - 34 2 где χ табл - табличное значение χ 2 - критерия Пирсона при числе степеней свободы f =n –1. Только получив доказательства значимости коэффициента конкордации, можно сделать вывод об объективности полученной информации. То есть, если коэффициент конкордации значим можно сделать вывод, что полученная информация объективна, в противном случае делается вывод о случайной расстановке рангов. Результаты ранжирования могут быть представлены в таблицах и графически. Более наглядное распределение объектов по степени влияния можно представить с помощью ГИСТОГРАММЫ рангов. Для ее построения на оси абсцисс указывают положение объектов в соответствии с их вкладом, отмечаемым по оси ординат. Гистограмма рангов должна быть построена в любом программном продукте из курса «Пакеты прикладных программ». На гистограмме четко выделяют группы факторов по степени их влияния на оказывающие существенное влияние и менее значимые. Менее значимые либо исключают из дальнейшего исследования, либо изучают по специальной методике. Обратите внимание, что априорная гистограмма имеет 0 в верхнем пересечении оси ординат и вспомогательной оси абсцисс. Х8 Х7 Х3 Х2 9,5 11,5 11,5 12,5 Х1 Х4 19,5 20,5 Х5 Х6 Суммы вкладов 5 10 15 20 28,5 25 30,5 30 35 Факторы по величине вклада Рисунок 6.1 - Априорная гистограмма рангов Из гистограммы видно, что рассмотренные причины можно сгруппировать следующим образом: в первую группу - 8, 7, 3 и 2 факторы; во вторую - I, 4; в третью группу - 5, 6 факторы. Сумма вкладов в каждой группе, примерно одинакова и существенно отличается от соседней группы. Это позволяет сделать заключение о возможности изучения факторов в каждой группе по самостоятельной программе, а затем установить взаимосвязь факторов между группами. - 35 6 Анализ ранжирования методом ранговой корреляции Способ ранговой корреляции применяют для установления функциональной связи между отдельными ранжированными рядами или в том случае, если нужно оценить наличие связи между двумя объектами, один из которых качественный. Показателем связи служит коэффициент ранговой корреляции Спирмэна, который вычисляют по формуле 6S R=1− (8.8) n ⋅ n2 − 1 ( n S = ∑ (x i − yi ) где ) 2 , (8.9) i =1 xi - ранг i -го объекта в ранжировке по свойству Х; y i - ранг i -го объекта в ранжировке по свойству У. Оценку значимости коэффициента ранговой корреляции производят так же, как и для обычного коэффициента корреляции при n ≥ 9 , то есть по t – критерию Стьюдента. n−2 t расч. = R ⋅ . (8.10) 1 − R2 При этом если t расч. > t табл. , то коэффициент ранговой корреляции значим. При большей величине n ≥ 30 для оценки значимости коэффициента ранговой корреляции применяют нормальный закон распределения с дисперсией 1 . (8.11) σ R2 = n−1 Гипотеза о том, что истинное значение коэффициента ранговой корреляции равно нулю отклоняется, если выполняется неравенство R > ρ табл . (8.12) σR ρ табл . - значение аргумента нормализованной функции Лапласа ψ 0 (ρ ) , удовлетворяющей уравнению ψ 0 (ρ ) = − q 2 q - уровень значимости. (8.13) - 36 Лекция 5 Выбор класса математической модели. Планирование эксперимента с целью математического описания систем План 1. Классификация математических моделей 2. Как выбрать модель? 3. Задачи планирования экспериментов 4 Полные факторные планы. План 22 5. Нормализованные и натуральные значения факторов 6. Геометрическая интерпретация ПФП 1. Классификация математических моделей. Математическая модель именно тот инструмент исследования, с помощью которого определяются: - интересующие характеристики объекта; - результаты влияния на него тех или иных факторов; - оптимальные режимы работы объекта; - способы управления объектом. В дальнейшем будем классифицировать математические модели на - интерполяционные (описательного характера) и - экстремальные (оптимизационные). К первому виду задач относятся задачи выявления количественных зависимостей между различными факторами с целью математического описания объекта. Такие задачи заканчиваются проверкой адекватности полученного уравнения и исследованием самой модели. Экстремальные задачи – это задачи поиска оптимальных условий протекания изучаемого процесса. Такие задачи заканчиваются выбором оптимальных условий и их экспериментальной проверкой. Обычно эти задачи ставятся и решаются последовательно. Модели предназначенные для описания объекта классифицируются по методу их получения на: - теоретические – модели полученные на основе изучения механизма явлений; - эмпирические – модели полученные только на основе обработки экспериментальных данных. К существующая теория применима только для сравнительно простых случаев, большинство же процессов деревообработки слишком сложны, чтобы можно было получить их теоретические описания. Поэтому основным средством получения модели процесса является специально для этих целей спланированный эксперимент. Методы планирования эксперимента когда отсутствует информация о внутренней структуре объекта оказались эффективными при экспериментальных исследованиях объектов в деревообработке. - 37 - 2. Как выбрать модель?Модели бываю разные, моделей бывает много. Что бы выбрать одну из них, надо понять, что мы хотим от модели, какие требования к ним предъявлять. Исходя из выбранной стратегии, ясно, что главное требование к модели – это способность предсказывать направление дальнейших исследований, причем предсказывать с требуемой точностью. Так как до получения модели мы не знаем, какие направления нам понадобятся, то естественно требовать, чтобы точность предсказания во всех направлениях была одинаковой. Это вопрос об адекватности модели. Адекватность – соответствие модельных значений экспериментальным, то есть предсказанное с помощью модели в некоторой подобласти значение выходной величины не отличалось бы от фактического больше, чем на некоторую заранее заданную величину. Как проверить адекватность модели мы рассмотрим позже. На будущее договоримся, что при прочих равных условиях всегда будем предпочитать степенные ряды, точнее отрезки степенных рядов – алгебраические полиномы. Фактически нами проведен выбор класса модели. Решено, что всегда, когда это возможно, будем искать математическую модель среди полиномов. Построение полинома возможно в окрестности любой точки факторного пространства, поскольку принято предположение, что функция аналитическая. Аналитической называется такая функция, которую можно разложить в степенной ряд в окрестности любой точки из области ее определения Давайте выпишем полиномы разных степеней, например, для случая 2-х факторов: полином нулевой степени y=b0 полином первой степени y= b0+b1x1+b2x2+b12x1x2 полином второй степени y= b0+b1x1+b2x2+b11x12+b22x22+b12x1x2 Какой полином выбрать на перовом шаге? Эксперимент нужен для того, чтобы найти коэффициенты полинома, и чем больше коэффициентов, тем больше опытов, а естественное стремление исследователя сократить число опытов. Значит надо выбрать такой полином, который содержит меньше неизвестных коэффициентов, но удовлетворяет требованиям, предъявляемым к модели. Чем ниже степень полинома, тем меньше коэффициентов. Можно ли в этой связи использовать полином 0-й степени? Нет! Выходное значение этого полинома не зависит от уровней факторов, то есть какое бы состояние «Черного ящика» не было задано, результат всегда будет один и тот же. Значит модель будет предсказывать для всех условий один и тот же результат, а действительный результат будет отличен. Модель неадекватна. Значит на первой стадии выбора модели практически всегда рекомендуется выбирать полином первой степени. Он содержит: - 38 - достаточную информацию об исследуемом объекте; - может предсказывать дальнейшее направление исследований; - в нем минимально возможное число неизвестных коэффициентов при данном числе факторов. Если линейная модель окажется неадекватной, имеется по крайней мере два выхода из положения. При интерполяционных задачах необходимо последовательно повышать степень полинома до тех пор, пока модель не окажется адекватной. В задачах оптимизации – это выбор подобласти в исследуемой области, где линейная модель адекватна или так же повышение степени полинома. Резюме: 3. Основные задачи планирования эксперимента. Задачи для решения которых может использоваться математическое планирование эксперимента чрезвычайно разнообразны. В дальнейшем рассмотрим следующие: 1. Планирование эксперимента с целью математического описания объекта. Задачи такого плана в деревообработки встречаются чаще всего. Целью подобных экспериментальных исследований является получение эмпирической математической модели, то есть отыскание зависимости выходной величины объекта от варьируемых факторов. Исследование зависимости шероховатости поверхности пиломатериалов рамной распиловки от скорости резания и других технологический факторов. 2. Планирование отсеивающих экспериментов. Протекание любого технологического процесса сопровождается воздействием на него множества факторов. На точность геометрических размеров пиломатериалов влияет более 20 факторов Однако, далеко не все факторы оказывают существенное влияние на объект, необходимо выявить основные и исследовать их. Так возникает идея постановки специального эксперимента – отсеивающего, позволяющего выделить важнейшие факторы для исследуемого процесса. Только после определения основных факторов решается интерполяционная задача методами планирования эксперимента с целью математического описания объектов исследования. 3. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Целью таких экспериментов является отыскание таких значений варьируемых факторов, при которых выходная величина принимает экстремальное значение (максимальное или минимальное) - 39 Тема: 1. Определить при какой температуре прессования и какой концентрации связующего достигается максимальная прочность ДсТП. 2. При какой скорости подачи бревна и какой толщине пил достигается наибольшая точность размеров пиломатериалов. Широкое использование в деревообработке оптимизационных моделей объясняется тем, что решение таких задач – это естественное требование к улучшению функционирования исследуемой системы. Требование лучшего функционирования системы заставляет исследователя выбирать показатели качества (критерии оптимальности, параметры оптимизации) и формулировать задачу для отыскания минимума или максимума этого критерия с учетом дополнительных ограничений. Тема: Требования наибольшей экономичности прцесса раскроя пиломатериалов на заготовки может быть реализовано в модели оптимизации условием минимизации количества отходов. 4. Одно из важнейших мест среди оптимизационных моделей в деревообработке занимают модели, сводящиеся к задачам математического программирования. В них так же требуется найти экстремум некоторой функции нескольких переменных при дополнительных соотношениях вида равенств или неравенств. Эта функция называется целевой, а дополнительные соотношения ограничениями. Если целевая функция и все ограничения линейны по аргументам, то это задачи линейного программирования. С помошью ЭВМ этим методом можно решать задачи, включающие сотни переменных и ограничений. Тема: Составить план раскроя пиловочного сырья на пиломатериалы исходя из определенного количества пиловочных бревен по каждому диаметру (в среднем на лесозаводы поступают до 30 диаметров от 12 до 60 см и выше) и спецификации пиломатериалов включающей до 60 различных сечений. Если целевая функция или любое из ограничений не является линейным, то это задача нелинейного программирования. Более сложная и не имеющая универсальных алгоритмов. В деревообработке с применением методов нелинейного программирования решены задачи оптимизации режимов пиления древесины круглыми пилами, на лесопильных рамах, режимы сверления и точения Мы начинаем изучение методов планирования многофакторных экспериментов. Планировать эксперимент-это умение строить хорошие планы, экономичные, дающие максимально большую информацию об изучаемом объекте. Начнем с линейной модели. - 40 Пусть число факторов =1 и нам достаточно прямой для описания объекта исследования., то есть уравнение регрессии будет таким: Y= b0+b1x1 Пусть имеется возможность провести только 20 опытов. Как лучше распределить эти опыты в интервале варьирования фактора? У Интервал варьирования Х1 Предложения: 1. распределить равномерно в исследуемой области; 2. сделать по 10 опытов на концах отрезка; 3. выполнить опыты в 3 точках- начало, средина и конец отрезка. В этих предложениях лучшее второе, так как дает явное различие между полученными результатами. Следовательно, если исследуется линейная зависимость, то реализовать план лучше на концах отрезка. 4. Полные факторные планы. План 22 Эксперимент в котором реализуются все возможные неповторяющиеся сочетания уровней исследуемых факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Рассмотрим ПФП планы в которых число уровней факторов равно двум. Эти плана записываются так 2к. В этом случае: 2 – число уровней фактора; к – число варьируемых факторов. По результатам реализации ПФП 2к всегда можно получить линейную модель и в дальнейшем рассмотрим как эту модель можно дополнить парными взаимодействиями. В плане 2к каждый фактор варьируется только на двух уровнях: в том случае, когда фактор X i принимает максимальное значение – Xi max и в том случае, когда принимает минимальное значение -X i min. Для произвольного числа факторов к, число опытов ПФП - N=2к, без учета дублирования. Пусть к=2, то есть рассмотрим ПФП 22 На первом этапе планирования эксперимента исследователь должен выбрать диапазон варьирования каждого фактора: Х1min ≤ X 1 ≤ X 1max X 2min ≤ X 2 ≤ X 2 max Исходя из определения, получаем матрицу плана 22 в натуральных значениях факторов. - 41 - Значения факторов X1 X2 1 X1 max X2 max 2 X1 min X2 max 3 X1 max X2 min 4 X1 min X2 min От порядка опытов зависит возможность компенсировать некоторые систематические ошибки, мы с этим встретимся в дальнейшем. Zb: Пусть варьируются факторы 30 ≤ t ≤ 50, 0С; 20 ≤ W ≤ 60, %. Как будет выглядеть план эксперимента? № опыта Значения факторов t W 1 30 20 2 50 20 3 30 60 4 50 60 Реализовав такую матрицу, например, используя МНК можно получить линейную модель в виде многочлена 1-го порядка Y= b0+b1x1+b2x2 и дополнить всевозможными взаимодействиями факторов. № опыта 5. Нормализованные и натуральные значения факторов Рассмотри вопросы вклада коэффициентов регрессии. Zb: пусть получено уравнение τ= 10-50t + 18W Можно ли в этом случае сравнивать степень влияния факторов на выходную величину? ПРИНЦИПИАЛЬНО НЕЛЬЗЯ, так как единицы измерения и диапазоны варьирования факторов различны. Следовательно для возможности сравнения коэффициентов регрессии нужно ввести безразмерные величины для варьируемых факторов и одинаковый для все варьируемых факторов диапазон. Для удобства расчетов и интепретации результатов в планировании экспериментов вводят нормализованные обозначения факторов. Заглавными буквами Х – обозначают натуральные значения факторов, строчными х – безразмерные величины – нормализованные обозначения. Пусть Хi любой варьируемый фактор, диапазон его варьирования Х i min ≤ X i ≤ X i max Величина X i min – нижний уровень варьирования, Xi max - верхний. Основной уровень или середину диапазона варьирования Xi(0) находят из соотношения X (0) X i min + X i max = . i 2 Интервал варьирования ∆i определяют как разность: (10.1) - 42 - ∆i = Ximax - Xi = Xi(0) -Ximin ; (10.2) Это половина диапазона варьирования или шаг варьирования. Для перехода от натуральных факторов к нормализованным получаем формулу (0) Xi = (0 ) Xi −X i ∆i (10.3) Из формулы 10.3 видно, что: 1. нормализованные факторы безразмерны; 2. независимо от натурального диапазона варьирования для любого фактора соответствуют -1 +1 нижний уровень основной уровень верхний уровень 3. диапазон варьирования всех факторов оказался одинаковым [-1…+1] Полученные результаты позволяют: 1. облегчить расчеты и интепретацию результатов; 2. сравнить степень влияния факторов непосредственно по величинам коэффициентов регрессии линейной модели. Zb: Пусть имеем уравнение регрессии в натуральных значениях факторов У= 30 + 15х1 - 10х2 Анализ позволяет сделать следующие выводы: 30 – имеет размерность У, когда факторы зафиксированы на 0 уровне; +15 – величина, на которую возрастает отклик при изменении х1 от 0 до +1; -10 - величина, на которую уменьшается отклик при изменении уровней х2 от 0 до +1. Сравнивая абсолютные величины коэффициентов регрессии 15 и 10 можно сделать вывод, что в имеющихся диапазонах, влияние фактора х1 больше, чем фактора х2 на 5 единиц. Следовательно, только в случае нормализованных обозначений факторов можно говорить о степени влияния факторов. Убедившись в удобстве использования нормализованных обозначений строим матрицу полного факторного плана (план 22) Таблица 10.1 - Матрица ПФЭ для двух факторов (ПФП 22) Номер опыта x1 x2 yi 1 +1 +1 y1 2 -1 -1 y2 3 +1 +1 y3 4 -1 -1 y4 Матрица плана показывает только условия проведения опытов, но не последовательность их. Это специальный вопрос и мы пока его не рассматриваем. - 43 6.Геометрическая интерпретация ПФП. Как расположены условия опытов в пространстве? Введем понятие факторной плоскости. Это координатная плоскость, по оси абсцисс которой откладывают значения фактора X1, а по оси ординат значения фактора X2 X2 X2 max X2 min X1 X1 min X1 max Тогда любому опыту экспериментального плана соответствует определенная точка. Пусть опыт идет в условиях X1 → X1' и X2→ X2', а так как каждый фактор варьируется в ограниченном диапазоне Х ≤X ≤X i min i i max все точки факторной плоскости не выходят за пределы заштрихованного прямоугольника. Все множество точек, лежащих внутри и на границах этого прямоугольника, соответствуют всем опытам, которые можно поставить с учетом заданных диапазонов варьирования факторов, образуют область варьирования факторов. Перейдем к нормализованным факторам. Каждый фактор варьируется в диапазоне -1 ≤ хi ≤ +1, i=1,2. Откладывая значения факторов по соответствующим осям строим факторную плоскость для нормализованных факторов. Получаем квадрат. х2 +1 х1 -1 +1 -1 Зависимость У от варьируемых факторов называют функцией отклика. Значения У рассчитывают по регрессионной модели. Геометрическое изображение функции отклика называют поверхностью отклика. Для плана 22 поверхность отклика плоскость. - 44 - Лекция 6 Полные факторные планы 23 План 3 1. Структура ПФП 2 2. Свойства матриц полного факторного плана 3. Расчет коэффициентов регрессии моделей ПФП 4. Учет взаимодействий факторов по результатам реализации ПФП. 1. Структура ПФП 23. Количество опытов плана N=8 (23). Как построить матрицу такого плана? Столбец x1 заполняется чередованием -1 и +1 поочередно, столбец x2 -значения -1 и +1 чередуются по два, то есть 1,-1 № опыта 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 x2 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 x3 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 и +1,+1, столбец x3 чередования по четыре и так далее. Столбец x4 чередование по 8., то есть любое следующее увеличение происходит по степени двух. В результате получаем матрицу условий проведения опытов, а не их последовательность. Внимательно рассмотрим план, а именно опыты с 1 по 4 и с 5 по 8. Та и другая четверка опытов образуют план 22, при этом фактор x3 сначала зафиксирован на уровне -1 в первых четырех опытах, а затем на уровне +1 в остальных. План 23 позволяет получить математическую модель вида Y= b0+b1x1+b2x2+ b3x3 При к=3 потребуется факторное пространство с тремя координатами x1, x2, x3, то есть в нормализованных единицах – уловия опытов матрицы – вершины куба, в натуральных значениях – вершины параллелепипеда. 2. Свойства матриц полного факторного плана. ПФП обладают целым рядом достоинсв по сравнению с другими планами, позволяющих получить регрессионные модели подобного типа. Достоинства регрессионных моделей полученных по результатам реализации ПФП 2к 1. независимые друг от друга оценки коэффициентов регрессии (b1, b2,….. bk); 2. min дисперсии коэффициентов регрессии; - 45 3. простота обработки результатов эксперимента. Эти хорошие качества ПФП 2к объясняется рядом особенностейц матриц этих планов. Матрицы ПФП в нормализованных обозначениях факторов обладают следующими характерными свойствами: 1.симметричность – сумма значений столбца каждого фактора по всем опытам =0 ∑ xij=0, i=1,….k; j=1,…..N 2. нормированность – сумма квадратов значений любого фактора по всем опытам = числу опытов ∑ xij2 = N, i=1,….k; j=1,…..N 3. ортогональность – сумма произведений значений любых двух факторов по всем опытам =0, то есть сумма произведений любых двух столбцов матрицы =0 ∑ xij* xuj =0, i, u=1,….k; Матрицы планов, ортогональными. j=1,…..N обладающие этим свойством называют 3. Расчет коэффициентов регрессии моделей ПФП. Перечисленные свойства матриц ПФП значительно облегчают расчет коэффициентов регрессии по результатам эксперимента, сводя их к простым вычислениям. Для линейной модели записанной в нормализованных факторах в общем виде Y = b0 + b1 x 1 + ...+ bi x i + ...+ bm x m формулы для расчета коэффициентов имеют вид bi = 1 N ∑ x iuYu N u= 1 ( i = 1,2 ,..., k ) Для b0, в виду отсутствия переменной величины у свободного члена уравнения, формула еще проще b0 = 1 N ∑ Yu ; N u= 1 Из этих формул видно, что для вычисления коэффициентов регрессии нужно столбец значений соответствующего фактора в нормализованных значениях умножить на назначения выходной величины, а b0 равен среднему арифметическому значению выходной величины. 4. Учет взаимодействий факторов по результатам реализации ПФП ПФП позволяют кроме линейных коэффициентов регрессии, оценить и эффекты взаимодействия факторов. - 46 Вновь начнем с плана 22. Здесь возможно только одно взаимодействие между факторами x1 и x2, и коэффициент регрессии будет обозначаться b12. Математическая модель примет вид Y= b0+b1x1+b2x2+ b3x3+ b12x1x2 Отметим, что в такой модели число коэффициентов регрессии равно 4, р=4, и это число совпадает с числом опытов N=4, то есть р = N. В этом случае план называется насыщенным. Составим матрицу базисных функций для плана 22 в нормализованных значениях факторов с целью получения регрессионной модели заданного вида, то есть так, что бы каждому коэффициенту регрессии соответствовал определенный столбец. Номер точки x1 x2 x1x2 yi плана 1 +1 +1 +1 y1 2 -1 -1 +1 y2 3 +1 +1 -1 y3 4 -1 -1 -1 y4 Убедимся, что эта матрица обладает вышеперечисленными свойствами. Следовательно оценить коэффициенты парных взаимодействий можно используя столбец x1x2 и знакомую формулу bi = 1 N ∑ x iuYu N u= 1 ( i = 1,2 ,..., k ) В общем случае при реализации ПФП 2к, содержащего N=2к опытов, число возможных парных взаимодействий равно числу сочетаний из к по 2. С2к= к(к-1)/2 Число взаимодействий вида x1x2x3 – взаимодействий второго порядка равно числу сочетаний из к по 3 С2к= к(к-1)(к-2)/2*3 Итак. Преимущества ПФЭ - простота реализации плана и расчета коэффициентов. Недостаток - резкое увеличение количества опытов с увеличением числа факторов. Уже для пяти факторов при реализации ПФЭ необходимо поставить 32 опыта и это без условия повторений каждого из них. Поэтому ПФЭ рекомендуется использовать только при проведении поисковых исследований, в случае если число варьируемых факторов не превышает 4. - 47 Лекция 7 Статистический анализ уравнения регрессии План 1. Дисперсия воспроизводимости: - проверка однородности нескольких дисперсий; - отбрасывание грубых измерений. 2. Оценка значимости коэффициентов регрессии 3. Проверка адекватности регрессионной модели 1. Дисперсия воспроизводимости. S 2 {Y} характеризует количественную Дисперсию воспроизводимости S 2 {Y} методики дублирования опытов. При равномерном дублировании дисперсий всех опытов плана Дисперсия воспроизводимости ошибку эксперимента в целом. определяют в зависимости от - это среднее арифметическое n S 2 {Y } = ∑S 2 j =1 N . (12.1) Число степеней свободы, (fy), при такой процедуре равно n f y = N (n − 1 ) = ∑ f j (12.2) j =1 Эти формулы применимы в том случае, если дисперсии каждой серии всех опытов однородны. 1.1 Проверка однородности нескольких дисперсий. Процедура проверки однородности нескольких дисперсий такова. Пусть n - количество повторений каждого опыта. Оценки дисперсий 2 (Sj ) каждой серии дублированных опытов рассчитывают по формуле S 2j 1 = n−1 n ∑ _ (Y ij − Y j ) 2 , (12.3) i =1 здесь Yj –среднее арифметическое j - ой серии дублированных опытов; Yij - значение выходной величины в j - ом дублированном опыте серии i. Расчетное значение G - критерия Кохрена определяют так: (12.4) 2 G расч = S max n 2 ∑ Sj j =1 В числителе стоит большая из всех найденных дисперсий дублированных опытов, в знаменателе - cyмма всех дисперсий опытов. - 48 По выбранному уровню значимости q, числу степеней свободы каждой дисперсии f=n-1 и количеству выборок N, равному числу опытов матрицы плана, определяют табличное значение G - критерия ( Ggf ) по таблице П.6. Если GРАСЧ < Ggf , (12.5) то гипотеза об однородности дисперсий принимается. Если вследствие наличия грубых измерений, хотя бы один элемент выборки отбрасывается, следует исключить из каждой серии дублированных опытов также по одному элементу, чтобы сохранить методику равномерного дублирования. В таком случае число повторений опытов в расчетной работе станет равно 4, а процедуру проверки на промах надо еще раз повторитъ, чтобы убедиться в том, что в оставшихся значениях выходной величины больше грубых измерений нет. 1.2 Отбрасывание грубых измерений Процедура такова. Сомнительный результат временно исключается из выборки. По оставшимся данным рассчитывают среднее арифметическое: n−1 ∑ Yi i ′ = =1 Y ji n−1 i=1….4, j =1,2….14, (12.6) оценку дисперсии: n −1 ∑ (Y ′ − Y ) 2 ij S ij′ 2 = i =1 ij , (n − 2) (12.7) и среднеквадратическое отклонение: S′j = ± S′j 2 . (12.8) Затем находят расчетное значение для tpacч - критерия Стьюдента для сомнительного результата _ Yij −Yij′ t расч = S j′ . (12.9) По выбранному уровню значимости q и числу степеней свободы f, связанному с дисперсией Sij2, формула (2.2), находят табличное значение критерия (tqf) по таблице приложения Д. Если tрасч. > tqf , (12.10) то сомнительный результат является промахом и должен быть исключен из выборки. - 49 Затем проводят проверку однородности дисперсий при полученном виде дублирования. 3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Ортогональные планы составлены из условия равенства 0 ковариаций между коэффициентами регрессии. Ковариация как и коэффициент корреляции является мерой линейной статистической зависимости между двумя случайными величинами. Следовательно при ортогональном планировании отбрасывание нехначимых коэффициентов регрессии не приводит к изменению оценок остальных коэффициентов. В случае выполнения вышеперечисленных условий матрицы планов дисперсии всех коэффициентов регрессии равны между собой и определяются по формуле S{2bi } = S{2y } где (12.11) Nn N - общее число точек в матрице плана; n - число дублированных наблюдений в каждой точке. И это в случае равномерного дублирования опытов (n). Если дублирование отсутствует, то в знаменателе нет и сомножителя n. Для оценки значимости коэффициентов регрессии используют tкритерий Стюдента. Значение S2{bi} для всех коэффициентов одинаковое. Для каждого коэффициента вычисляют значение t - критерия по формуле t= bi S 2 {bi } . (12.12) Расчетное значение критерия сравнивают с табличным, найденным для заданного уровня значимости g и числа степеней свободы f=N(n-1). Если tg > t , (12.13) то коэффициент считается статистически значимым. 4. Проверка адекватности регрессионной модели. Эта процедура является проверкой соответствия математической модели действительному состоянию объекта. Другими словами, предсказывает ли построенная модель значения выходной величины Yij с заданной точностью. Для проверки адекватности модели используют дисперсию адекватности S2aq, процедура расчета которой зависит от вида дублирования опытов. При равномерном дублировании - 50 - ∑ (Y N n⋅ 2 S aq = j − Yˆ j J =1 ) , f ад (12.14) где Yj - среднее значение выходной величины j серии опытов; ) Yj - значение выходной величины, рассчитанной по уравнению регрессии для j-го опыта, где р-число оцениваемых коэффициентов регрессии; fад – число степеней свободы дисперсии адекватности, рассчитываемое по формуле f ад = N - p , (12.15) где p – число коэффициентов регрессии математической модели. При N = p (насыщенный план) проверить адекватность уравнения не представляется возможным, так как возникает операция деления на ноль . Затем по F-критерию Фишера для уровня значимости q=0,05 проверяют однородность дисперсии адекватности S2aq (с числом степеней свободы faq), и дисперсии воспроизводимости S 2 {Y} (с числом степеней свободы fy) при этом в числителе указывают дисперсию адекватности: F расч = 2 S aq S 2 {y } , (12.16) Если Fрасч < Fgf , (12.17) то различие между дисперсиями незначимо, они однородны. Следовательно, найденную модель объекта можно считать адекватной. - 51 Лекция 8 Экспериментальные планы второго порядка План 1. В-планы: структура плана, геометрическая интепретация 2. Анализ уравнения регрессии второго порядка 3. Униформ-ротатабельные планы 1. В-планы: структура плана, геометрическая интепретация При проведении эксперимента можно использовать различные планы при этом коэффициенты модели и значения выходной величины будут оцениваться с различной точностью. Планы второго порядка позволяют получать регрессионную модель в виде полинома 2-го порядка, наиболее точно описывающую большинство исследуемых процессов k k k i=1 i=1 i= j=1 i≠ j Y = b0 + ∑ bi x i + ∑ bii x 2 + ∑ bij x i x j Число коэффициентов регрессии в полиноме p= ( k + 1 )( k + 2 ) 2 Наибольшее распространение получили план Бокса, обозначение Вкпланы.. Эти планы состоят из ПФП 2к к которым добавляют 2к звездных точек. Общее число опытов таким образом равно N = 2k + 2k В В-планах каждый фактор варьируется на 3 уровнях, то есть принимает 3 значения X i min, Xi max, и среднее X (0) X i min + X i max = . i 2 В нормализованных обозначениях это значит -1, 0, +1. Звездными точками В-плана называют условия опытов, в которых один из факторов принимает значение +1 или -1, а остальные фиксируются на основном уровне (на 0 уровне). Матрица Вк-плана при к=2 выглядит так: Составляющие Номер Факторы Yu эксперимента опыта x1 x2 +1 +1 y1 Опыты в ядре 1 2 ПФЭ 2 2 -1 +1 y2 3 +1 -1 y3 4 -1 -1 y4 +1 y5 Опыты в 5 «звездных» 6 -1 y6 точках 7 +1 y7 8 -1 y8 Планы Бокса (Bk) строятся на k-мерном кубе и содержат все вершины куба и середины ребер (звездные точки) - 52 Покажем опыты В-плана для к=2 на факторной плоскости для нормализованных факторов. Как видно из рисунка, звездные точки 5,6,7,8 дополняющие ПФП до Вплана находятся на осях, то есть на средине сторон квадрата, вершинами которого являются точки ПФП Планы второго порядка содержащие в своей основе планы первого порядка называются композиционными. К ним относятся и В-планы. Формулы для расчета коэффициентов регрессии планов второго порядка приводятся в соответствующих каталогах в разделах «Планы близкие к Д-оптимальным» 2. Анализ уравнения регрессии второго порядка. Анализируя полученную модель объекта, исследователь получает необходимую информацию о нем. Такой анализ проводят, используя математическую модель в нopмализованных обозначениях факторов: 1. Полученная модель позволяет предсказать значения Yj для любой точки внутри области варьирования факторов. 2. По уравнению регрессии можно оценить относительную степень влияния факторов на выходную величину. З. Знаки коэффициентов регрессии также несут важную информацию. Например, если линейный коэффициент pегрессии положителен, то выходная величина возрастает с увеличением соответствующего фактора и убывает при его уменьшении. Однако следует помнить, что для квадратичной модели степень влияния факторов на изменение отклика не является постоянной. Она различна в различных точках диапазона варьирования каждого фактора, а если в уравнении присутствуют еще и парные взаимодействия, то степень влияния факторов на выходную величину определяется еще и уровнями факторов, входящих в эти взаимодействия. Поэтому при изучении влияния некоторого фактора Xi на изменение выходной величины наибольшую наглядность дают графики зависимости - 53 Y= f(xi). Эти графики строят по уравнению регрессии при различных фиксированных значениях остальных факторов. При сопоставлении таких графиков можно выявить смысл парных взаимодействий. При построении графиков следует помнить следующие случаи: - если bii > 0, то концы oтрезка параболы направлены вверх, то есть получена вогнутая кривая; - если bii < 0, то кривая выпуклая; - если имеет место соотношение b i ≥ 2 b ii , то вершина параболы расположена вне диапазона варьирования факторов, то есть функция монотонно изменяется. При этом: - если bi > 0 , то это монотонно возрастающая функция; - если bi < 0 то получена функция, монотонно yбывающая; - если bi ≤ 2 b ii , то функция имеет экстремум внутри диапазона варьирования фактора Xi . Причем: - если bii < 0, это максимум; - если bii > 0, это минимум. .При небольшом числе варьируемых факторов (k≤4) планы Бокса одни из лучших планов. При большем числе варьируемых факторов резко увеличивается число точек в плане и, соответственно, затраты на проведение эксперимента. Поэтому эти планы лучше использовать для k=4 и, особенно для k=3. В последнем случае матрица плана содержит всего 14 опытов не уступая остальным планам для такого же числа варьируемых факторов по статистическим свойствам. Матрица плана В3 Этапы Номер Факторы эксперимента опыта x1 x2 Опыты в ядре 1 +1 2 ПФЭ 2 2 -1 3 +1 4 -1 5 +1 6 -1 7 +1 8 -1 Опыты в 9 +1 «звездных» 10 -1 точках 11 12 13 14 Yu x3 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 y14 - 54 3.Униформ-ротатабельные планы Бокса-Уилсона относятся к композиционным планам, т.е. матрица плана состоит из 3-х частей: опытов ПФП или ДФП, опытов в звездных точках, когда один из факторов варьируется на уровне α, а остальные на основном и опытов в центре плана (центральные точки), где все факторы варьируются на основном уровне (0). Униформ-ротатабельные планы Бокса-Уилсона обладают двумя отличительными свойствами, заложенными в их названии: ротатабельности – что означает, что точность уравнения регрессии одинакова во всех точках факторного пространства, находящихся на одинаковом расстояниях от центра плана. Для к=2 это окружность с центром в начале координат факторной пласкости; униформности – означает постоянство дисперсии воспроизводимости в некоторой окрестности центра плана. Следовательно, УРП с хорошей точностью описывает объект вблизи центра плана и с возрастающей погрешностью на границах области варьирования. Поэтому такие планы рекомендуются применять с целью оптимизации изучаемого процесса. Факторы УРП варьируются на 5-и уровнях: -α; -1; 0; +1; +α k/4 где α =2 , где k - число варьируемых факторов. Величина α называется звездным плечем. Как и в В планах звездные точки это условия опытов, в которых один из факторов принимает значение +α или -α, а остальные фиксируются на основном уровне (на 0 уровне). Униформ ротатабельный план Бокса-Уилсона для двух варьируемых факторов выглядит так: Этапы эксперимента Номер опыта 1 Опыты в ядре 2 2 ПФЭ 2 3 4 5 Опыты в 6 «звездных» 7 точках 8 9 Опыты в 10 центре 11 эксперимента 12 13 Факторы x1 x2 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 +1,414 -1,414 +1,414 -1,414 Yu y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8 y9 y10 y11 y12 y13 - 55 Величина звездного плеча выбирается так, что бы сохранить свойство ортогональности без которого вычисления значений коэффициентов регрессии превратилось в ложную процедуру. Покажем УРП на факторной плоскости для к=2.Опыты звездных точек будут располагаться на окружности с центром в начале координат. Следовательно областью варьирования факторов для ротатабельного плана является шар в отличие от куба для В-планов. - 56 Лекция 9 ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ (ДФЭ) 1. 2. 3. 4. План Идея дробного планирования Генератор и определяющий контраст, оценки смешивания ДФП на базе ПФП 23 Разрешающая способность дробных реплик. Эксперимент, в котором 1. Идея дробного планирования. используется определенная часть опытов ПФЭ, называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Регрессионная модель получаемая по результатам ПФЭ имеет вид линейного полинома Y = b0 + b1 x 1 + ...+ bi x i + ...+ bm x m Дробный факторный эксперимент рекомендуется применять в следующих случаях: - выходной параметр зависит от трех и более факторов; - коэффициенты регрессии тройных взаимодействий или часть двойных взаимодействий могут быть приняты незначимыми и им можно пренебречь. То есть дробные факторные планы позволяют сократить число опытов по сравнению с ПФП в том случае, если можно пренебречь некоторым или всеми взаимодействиями факторов. В этом идея дробного планорования. По сравнению с ПФЭ содержат меньшее число опытов при одинаковом числе варьируемых факторов, за счет небольшой потери информативности регрессионной модели. kОбозначаются как ДФП 2 p, где p - число взаимодействий заменяемых факторами, которые варьируются одинаково с заменяемыми взаимодействиями. k-1 ДФП 2 называют также полурепликами соответствующего ПФП, k-2 2 - четвертьрепликами, 2k-3 - 1/8-репликами, 2k-4 - 1/16-репликами. При построении матрицы планирования ДФЭ произведения комбинаций факторов можно приравнять к новым факторам, если известно, что между факторами отсутствует эффект взаимодействия. Тогда значения нового фактора в условиях опытов определяется по знакам, указанным в 3-1 этом столбце. При построении матрицы ДФП 2 незначимое взаимодействие x1x2 заменено фактором x3. - 57 - Номер Факторы опыта x1 x2 1 +1 2 -1 3 +1 4 -1 +1 +1 -1 -1 x3=x1x2 +1 +1 +1 +1 Yu Y1 Y2 Y3 Y4 2. Генератор и определяющий контраст, оценки смешивания. 3-1 В полученном плане ДФЭ 2 фактор x3 варьируется одинаково с парным взаимодействием x3=x1x2 . Соотношение x3=x1x2 показывающее какое взаимодействие заменено новым фактором при построении дробной реплики, называют генерирующим соотношением, так как оно генерирует, или создает, реплику. При умножении обеих частей генерирующего соотношения на x3 получаем: x3 2=x1 x2 x3 (14.1) 2 Независимо от уровня фактора x3 =1, следовательно вместо выражения (14.1) можно записать: 1=x1 x2 x3 (14.2) Отношение (14.2) называют определяющим контрастом. Умножая обе части определяющего контраста поочередно на x1 , x2 и x3 получают: x1=x12 x2 x3 ; x2=x1 x22 x3 ; x3 =x1 x2 x3 2 (14.3) 2 2 2 Учитывая, что x1 = x2 =x3 =1 соотношения (14.3) можно представить в следующем виде: x1= x2 x3 ; x2=x1 x3 ; x3 =x1 x2 (14.4) Следовательно в плане ДФЭ 23-1 имеет место следующая система смешивания (совпадения) оценок: b1→β1+β23 b2→β2+β13 b3→β3+β12, (14.5) т.е. при анализе полученной регрессионной модели надо помнить, что, например, коэффициент b1 оценивает не только вклад фактора x1, но и вклад взаимодействия факторов x2 x3. 3. ДФП на базе ПФП 23. Построим полную матрицу базисных функций ПФП 23 - 58 - № опыта х1 опыта 1 +1 2 -1 3 +1 -1 4 +1 5 6 -1 7 +1 -1 8 х2 х3 х12 х13 х23 х123 Yi +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 y1j y2j y3j y4j y5j y6j y7j y8j Перед тем как построить дробные реплики по этому плану решается вопрос о том каким взаимодействием можно пренебречь. Чаще всего пренебрегают тройным взаимодействием x1x2 x3.. Получим план 24-1. № опыта x1 1 2 3 4 5 6 7 8 x2 +1 -1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 x3 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 x4=x1x2 x3 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 Это полуреплика от ПФП 24, построенная на базе ПФП 23, с генератором x4=x1x2 x3 и определяющим контрастом 1=x1x2 x3x4. Умножив последовательно ОК (определяющий контраст) на x1 , x2 , х3 , x1x2, x1x3, x1 x4 получим генерирующие соотношения и системы смешивания оценок: x1 = x2 x3 x4 b1→ β1 +β2347 x2 = x1 x2 x4 b2→ β2 +β134 x3 = x1 x2 x4 b3→ β3 +β124 x1 x2 = x3 x4 b12→ β12 +β34 x1x3 = x2 x4 b13→ β13 +β24 x1 x4 = x2x3 b14→ β14 +β23 При замене двух взаимодействий новыми факторами получают четверть-реплики ПФП 25-2. - 59 - Номер Факторы опыта x1 x2 1 +1 2 -1 3 +1 4 -1 5 +1 6 -1 7 +1 8 -1 Yu x3 +1 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 x4=x1x2 x3 x5=x2x3 +1 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 +1 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 При замене трех взаимодействий новыми факторами получают 1/8реплики ПФП 26-3. Номер Факторы опыта x1 x2 x3 1 +1 +1 +1 2 -1 +1 +1 3 +1 -1 +1 4 -1 -1 +1 5 +1 +1 -1 6 -1 +1 -1 7 +1 -1 -1 8 -1 -1 -1 Yu x4=x1x2 x5=x1x3 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 x6=x2x3 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 x7=x1x2 x3 +1 -1 -1 +1 -1 +1 +1 -1 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 Y8 Определяющими контрастами для плана 2 являются соотношения 1=x1 x2 x4, 1=x1 x3 x5 , 1=x2 x3 x6 , 1=x1 x2 x3x7 Обобщающий определяющий контраст 1= x1 x2 x4 = x1 x3 x5 = x2 x3 x6 = x1 x2 x3x7= x2 x3 x4 x5 = x1 x3 x4 x6 = = x3 x4 x7 = x1 x2 x5x6= x2 x5 x7 = x1 x6 x7 = x4 x5 x6 = x1 x4 x5x7= x2 x4 x6 x7 = x3 x5 x6x7= x1 x2 x3x4 x5 x6 x7. Если всеми коэффициентами взаимодействия можно пренебречь, то коэффициенты регрессии будут совместными оценками b1→β1+β24+β35+β67 b2→β2+β14+β36+β57 b3→β3+β15+β26+β47 b4→β4+β12+β56+β37 b5→β5+β13+β46+β27 b6→β6+β23+β45+β17 b7→β7+β34+β25+β16 - 60 4. Разрешающая способность дробных реплик. Таким образом, в плане все линейные эффекты оказываются смешанными с несколькими парными взаимодействиями, поэтому разрешающая способность такой реплики очень низкая. Лучшим в плане повышения разрешающей способности можно считать замены наиболее высоких взаимодействий – тройных и выше. ДФЭ рекомендуется использовать только при проведении отсеивающих экспериментов, когда из ряда факторов следует выбрать наиболее важные. k-m Для ДФП 2 уже при m>2 значительно усложняется система смешивания оценок. Поэтому эффективное их использование возможно только достаточно квалифицированными специалистами, имеющими четкое представление об исследуемом процессе. 4. Оптимальные симплекс-решетчатые планы Шеффе Пусть хi – доля i-го компонента в смеси, состоящей из k компонентов (i=1,2,3, …., k). Если исследователя интересуют не все компоненты, то задача, как правило, может быть сведена к обычному факторному планированию. Сейчас нас интересует случай одновременно варьирования всех k переменных. Очевидно, что при этом должно выполняться ограничение хi =1 (12.1) Отметим две особенности таких задач. 1. Если в структурной матрице одновременно имеются столбцы фиктивной переменной х0=1, парных взаимодействий xixj и квадратов хi2, то из-за условия (12.1) ковариационная матрица оказывается вырожденной, поэтому приходится особым образом выбирать вид аппроксимирующего полинома. Как правило, поверхности отклика в рассматриваемом классе задач довольно сложны, в связи с этим для их аппроксимации приходится пользоваться полиномами сравнительно высоких степеней. В общем случае для k-компонентной смеси уравнение некоторых наиболее употребительных приближений имеют вид квадратичного, кубического, четвертой степени (к = 3) или четвертой степени ( к>3 ) полиномов. Планы Шефе или симплекс-решетчатые планы, представляют собой совокупность (k -1)-мерных экспериментальных точек, координаты которых принимают значения хi =0, 1/d, 2/d, ……, 1; при i=1,2,3, …., k, - 61 где d – степень аппроксимирующего полинома при условии выполнения ограничения (12.1). Общее число точек плана может быть определено по формуле Приведем число точек наиболее часто употребляемых планов Таблица 9.1 - число экспериментальных точек в планах на симплексе Число варьируемых факторов - k d 3 4 5 6 7 8 9 10 2 6 10 15 21 28 36 45 55 3 10 20 35 56 84 120 165 220 4 15 35 70 126 210 330 495 715 Геометрическими образами планов ШЕФФЕ являются (k -1) – мерные правильные симплексы, вершины которых соответствуют чистым компонентам, а остальные экспериментальные точки равномерно распределены внутри симплекса и на его ребрах. Все планы Шеффе являются насыщенными: число экспериментальных точек в них равно числу оцениваемых параметров в уравнении регрессии. Библиографический список Основная литература 1. Пижурин, А. А.Основы научных исследований в деревообработке [Текст]: учеб. для вузов / А. А. Пижурин, А. А. Пижурин ; УМО. - М.: Издво МГУЛ, 2005. - 304 с. 2. Основы научных исследований. Статистическая обработка результатов экспериментов [Текст]: учеб. пособие для студ. спец. 260200 всех форм обучения / Л. Л. Кротова [и др.]. - 2-е изд., перераб. и доп. Красноярск: СибГТУ, 2006. - 55 с. Дополнительная литература 1. Основы научных исследований [Текст]: метод. указания к выполнению контрольных работ для студ. спец. 250401.65 заочной формы обучения / [сост. А. В. Рубинская]. - Красноярск: СибГТУ, 2008. - 16 с. 2. Михайленко, А. В. Основы научных исследований. Ч. 2 [Текст]: учеб. справочник по дипломному и курсовому проектированию для студ. спец. 170400, 170400С всех форм обучения / А. В. Михайленко, Б. А. Ерыгин, Е. Н. Мосеев. - Красноярск: СибГТУ, 2004. - 264 с. 3. Основы научных исследований [Текст]: метод. указания к выполнению контрольных работ студ. спец. 250403.65 заочной формы обучения / [сост. Н. А. Петрушева]. - Красноярск: СибГТУ, 2007. - 23 с. 4. Кротова, Л.Л. Научные исследования в деревообработке. Плана второго порядка. Реализация В3-плана. Учебное пособие. [Текст]/Л.Л. - 62 Кротова, А.А. Филиппович, В.Ю. Буданов.-Красноярск: СибГТУ, 2003.-36 с. 5. Пижурин, А.А., Розенблит, М.С. Исследование процессов деревообработки [Текст]/ А.А. Пижурин, М.С. Розенблит.–М.: Лесная промышленность, 1984.- 232с.