Методы и модели описания систем

Университет при МПА ЕврАзЭС Кафедра сервиса транспортных средств Лекция 4 Тема: «Методы и модели описания систем» дисциплина Системный анализ в сервисе г. Санкт-Петербург 2019 ВВЕДЕНИЕ 1. Методы моделирования систем. 2. Принципы исследования и моделирования систем. . ЗАКЛЮЧЕНИЕ Литература:     В. И. Николаев, В. М. Брук. Системотехника: методы и приложения. – Л.: Машиностроение, 1985. А. И. Уемов. Системный подход и общая теория систем. – М.: Мысль, 1978. Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. Моделирование систем. – М.: Высшая школа, 1985. Л. Берталанфи. Общая теория систем – обзор проблем и результатов. Системные исследования // Ежегодник. – М.: Наука, 1969. ВВЕДЕНИЕ Необходимо помнить, что конечной целью системного анализа является реализация оптимальной вариативности в процессе принятия управленческих решений. Для того, чтобы облегчить выбор методов в реальных условиях, необходимо разделить их на группы (классы) и разработать рекомендации по их использованию при отображении систем различных классов. Поэтому необходимо рассмотреть комплекс проблем принятия решений, роль теории систем и системного анализа в выборе методов моделирования функционирования системы, методы формализованного представления систем и т.д. 1. МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ Проблема принятия решений. Поскольку необходимость в методах моделирования возникает при решении каких-либо конкретных задач, то для выбора классификации методов вначале рассмотрим проблему принятия решения. [7] В любой сфере деятельности человек принимает решения. Однако в тех случаях, когда решение задачи базируется на законах физики, химии и других фундаментальных областей знаний, или когда задача может быть поставлена в терминах конкретного класса прикладных задач, для которого разработан соответствующий математический аппарат, применять термин "проблема принятия решения" нет необходимости. Потребность в этом термине возникает в тех случаях, когда задача настолько усложняется, что для ее постановки и решения не может быть сразу определен подходящий аппарат формализации, когда процесс постановки задачи требует участия специалистов различных областей знаний. Это приводит к тому, что постановка задачи становится проблемой, для решения которой нужно разрабатывать специальные подходы, приемы, методы. В таких случаях возникает необходимость определить область проблемы принятия решения (проблемную ситуацию); выявить факторы, влияющие на ее решение; подобрать приемы и методы, которые позволяют сформулировать или поставить задачу таким образом, чтобы решение было принято. Поясним процесс принятия решения на упрощенном примере - задаче по перемещению из одного пункта в другой. Такого рода задачи возникают при доставке грузов на предприятие, выпускаемой продукции - потребителю, и, наконец, - повседневно перед каждым человеком при поездке из дома на работу. В терминах проблемы принятия решения эту задачу можно представить следующим образом: задана цель - достичь пункта А (или переместить груз из В в А: имеются возможные средства - путь (дорога), и транспорт (различные транспортные средства передвижения или средства доставки грузов); требуется обеспечить реализацию цели. Если нет никаких других оговорок, требований, то задачи нет, поскольку безразлично, какой маршрут и какие транспортные средства выбирать. Для того, чтобы возникла необходимость принимать решение (возникла задача), нужно ввести критерий (или несколько критериев), отражающий требования к достижению цели. Аналогично нет задачи и в тех случаях, когда ЛПР не может задать требования, сформулировать критерий достижения цели, или неизвестен набор средств достижения цели, т. е. имеет место задача с неопределенностью. В качестве критерия в рассматриваемой задаче можно, например, принять требование осуществить перемещение "за время t*" или "к такому-то времени t*". Для решения задачи нужно определить взаимосвязи цели со средствами ее достяжения, что в данной задаче легко сделать путем оценки средств (дорога оценивается длиной пути L, транспорт - скоростью v транспортного средства; в простейшем случае средней скоростью) и установления связей этих оценок с критерием. В данном случае в качестве выражения, связывающего цель со средствами, можно использовать закон движения, который в случае равномерного прямолинейного движения имеет вид t = L/v, а в общем виде t = f(L, v). Таким образом, для принятия решения, нужно получить выражение, связывающее цель со средствами ее достижения с помощью вводимых критериев оценки достижимости цели и оценки средств (рис. 4). Если такое выражение получено, то - задача решена: В А варьируя либо v при L = const, либо L при v = const, либо v и L одновременно, можно получить варианты решения и Цель: Достичь п. А выбрать из них наиболее приемлемый. Критерий: «За время t*» Средства: Дорога - L При постановке рассматриваемой задачи могут быть Транспорт - v учтены не только обязательные, основные, требования, Выражение, связывающее цель отражаемые с помощью критерия, но и дополнительные со средствами: требования, которые могут выступать в качестве t = L/ v ограничений (в данной задаче -это могут быть затраты на t = f(L, v) создание или приобретение средств транспортировки грузов, наличие денежных средств у человека, выбирающего вид транспорта и т. п.). Рис. 4 Тогда для решения задачи формируется комплекс соотношений, включающий наряду с основным выражением, связывающим цель со средствами, соотношения-неравенства, отражающие ограничения. Такая постановка задачи была предложена Л.В.Канторовичем [2] и является основой теории оптимизации и нового направления в математике - математического программирования, широко используемого в экономике для задач планирования. В такой постановке выражение, связывающее цель со средствами, устремляют к максимуму или минимуму; выражения, отражающие ограничения, представляют собой, как правило, неравенства (хотя, в принципе, могут быть и равенствами). Разработан широкий спектр методов решения задач математического программирования. По этому направлению обычно читаются в вузе самостоятельные курсы лекций, но кратко его важные принципиальные особенности будут охарактеризованы ниже. Таким образом, для принятия решения необходимо получить выражение, связывающее цель со средствами ее достижения. Такие выражения получили в параллельно возникавших прикладных направлениях различные названия: критерий функционирования, критерий или показатель эффективности, целевая или критериальная функция, функция цели и т. п. Если удается получить выражение, связывающее цель со средствами, то задача практически всегда решается. Эти выражения могут представлять собой не только простые соотношения, подобные рассмотренному, но и более сложные, составные критерии (показатели), аддитивного или мультипликативного вида. Конечно, в этом случае могут возникнуть вычислительные сложности, при преодолении которых может потребоваться вновь обратиться к постановке задачи. Однако полученное формализованное представление задачи позволяет в дальнейшем применять и формализованные методы анализа проблемной ситуации. Гипотеза Получить такие выражения легко, если известен Имитационная модель закон, позволяющий связать цель со средствами (в рассмотренном примере - закон движения). Если закон неизвестен, то стараются определить Теория. Концепция закономерности на основе статистических исследований, или исходя из наиболее часто Закономерность встречающихся на практике экономических или функциональных зависимостей. Если и это не удается сделать, то выбирают или разрабатывают теорию, в Закон которой содержится ряд утверждений и правил, позволяющих сформулировать концепцию и конструировать на ее основе процесс принятия Проблемная ситуация решения. Если и теория не существует, то выдвигается гипотеза, и на ее основе создаются Рис. 5 Многоуровневое имитационные модели, с помощью которых представление исследуются возможные варианты решения. В общем виде для ситуаций различной сложности модель формирования критериальной функции для отображения проблемной ситуации можно представить, воспользовавшись многоуровневым представлением типа "слоев" М. Месаровича (рис. 5). В наиболее общем случае могут учитываться и варьироваться не только компоненты (средства достижения цели) и критерии (отражающие требования и ограничения), но и сами цели, если первоначальная их формулировка не привела к желаемому результату, т. е. цели неточно отразили потребности ЛПР. [2] В то же время, при постановке задачи в числе критериев могут быть и принципиально неформализуемые. Например, даже в рассмотренной, казалось бы, простейшей задаче наряду с критерием времени и ограничением по затратам можно учесть и такие, принципиально неформализуемые критерии, как безопасность транспортировки грузов для рабочих, удобство приведения в действие транспортнораспределительных устройств или их остановки; такие критерии, как "комфорт". Например, с учетом этого критерия можно даже при коротких расстояниях и небольшом выигрыше во времени выбрать такси вместо общественного транспорта. если конечно, позволяют денежные средства; или при передвижении между населенными пунктами иногда лучше выбрать более длинную, но асфальтированную дорогу. чем более короткую, но ухабистую. Или можно выбирать транспортное средство с учетом вида груза. Например, в случае скоропортящейся продукции, лучше выбрать более дорогостоящий рефрижератор, чем обычный грузовой автомобиль и т. д. В этих случаях полностью формализованная постановка задачи оказывается нереализуемой. Возможны и другие реальные ситуации, затрудняющие формализацию критериев или формирование выражения, связывающего цель со средствами. При решении задач организации современного производства требуется учитывать все большее число факторов различной природы, являющихся предметом исследования различных областей знаний. В этих условиях один человек не может принять решение о выборе факторов, влияющих на достижение цели, не может определить существенные взаимосвязи между целями и средствами; в формировании и анализе модели принятия решения должны участвовать коллективы разработчиков, состоящие из специалистов различных областей знаний, между которыми нужно организовать взаимодействие и взаимопонимание; а проблема принятия решений становится проблемой коллективного выбора целей, критериев, средств и вариантов достижения цели, т. е. проблемой коллективного принятия решения. Число и сложность подобных проблем, для которых невозможно сразу получить критерий эффективности в аналитической форме, по мере развития цивилизации возрастает; возрастает также и цена неверно принятого решения. Для проблем принятия решения характерно, как правило, сочетание качественных и количественных методов. Принятие решений в системах управления промышленностью часто связано с дефицитом времени: лучше принять не самое хорошее решение, но в требуемый срок, так как в противном случае лучшее решение может уже и не понадобиться. Поэтому решение часто приходится принимать в условиях неполной информации (ее неопределенности или даже дефицита), и нужно обеспечить возможность как можно в более сжатые сроки определить наиболее значимые для принятия решений сведения и наиболее объективные предпочтения, лежащие в основе принятия решения. Для того, чтобы помочь в более сжатые сроки поставить задачу, проанализировать цели, определить возможные средства, отобрать требуемую информацию (характеризующую условия принятия решения и влияющую на выбор критериев и ограничений), а в идеале , получить выражение, связывающее цель со средствами, применяют системные представления, приемы и методы системного анализа. [5] С помощью системного анализа имеется реальная возможность обеспечить взаимодействие и взаимопонимание между специалистами различных областей знаний, участвующими в постановке и решении задачи, помочь исследователям организовать процесс коллективного принятия решения. Для реализации этого процесса нужно выбрать методы системного анализа. А для обеспечения возможности сравнения методов и разработки рекомендаций по их выбору в конкретных условиях, нужно принять или сформировать классификацию методов. Классификации методов моделирования систем. Постановка любой задачи заключается в том, чтобы перевести ее словесное, вербальное описание в формальное. В случае относительно простых задач такой переход осуществляется в сознании человека, который не всегда даже может объяснить, как он это сделал. Если полученная формальная модель (математическая зависимость между величинами в виде формулы, уравнения, системы уравнений) опирается на фундаментальный закон или подтверждается экспериментом, то этим доказывается ее адекватность отображаемой ситуации, и модель рекомендуется для решения задач соответствующего класса. По мере усложнения задач получение модели и доказательство ее адекватности усложняется. Вначале эксперимент становится дорогим и опасным (например, при создании сложных технических комплексов, при реализации космических программ и т. д.), а применительно к экономическим объектам эксперимент становится практическим нереализуемым, задача переходит в класс проблем принятия решений, и постановка задачи, формирование модели, т. е. перевод вербального описания в формальное, становится важной составной частью процесса принятия решения. Причем эту составную часть не всегда можно выделить как отдельный этап, завершив который, можно обращаться с полученной формальной моделью так же, как с обычным математическим описанием, строгим и абсолютно справедливым. Большинство реальных ситуаций проектирования сложных технических комплексов и управления экономикой необходимо отображать классом самоорганизующихся систем, модели которых должны постоянно корректироваться и развиваться. При этом возможно изменение не только модели, но и метода моделирования, что часто является средством развития представления ЛПР о моделируемой ситуации. Иными словами, перевод вербального описания в формальное, осмысление, интерпретация модели и получаемых результатов становятся неотъемлемой частью практически каждого этапа моделирования сложной развивающейся системы. Часто для того, чтобы точнее охарактеризовать такой подход к моделированию процессов принятия решений, говорят о создании как бы "механизма" моделирования, "механизма" принятия решений (например, "хозяйственный механизм", "механизм проектирования и развития предприятия" и т.п.) Возникающие вопросы - как формировать такие развивающиеся модели или "механизмы"? как доказывать адекватность моделей? - и являются основным предметом системного анализа. [6] Для решения проблемы перевода вербального описания в формальное в различных областях деятельности стали развиваться специальные приемы и методы. Так, возникли методы типа "мозговой атаки", "сценариев", экспертных оценок, "дерева целей" и т. п. В свою очередь, развитие математики шло по пути расширения средств постановки и решения трудноформализуемых задач. Наряду с детерминированными, аналитическими методами классической математики возникла теория вероятностей и математическая статистика (как средство доказательства адекватности модели на основе представительной выборки и понятия вероятности правомерности использования модели и результатов моделирования). Для задач с большей степенью неопределенности инженеры стали привлекать теорию множеств, математическую логику, математическую лингвистику, теорию графов, что во многом стимулировало развитие этих направлений. Иными словами, математика стала постепенно накапливать средства работы с неопределенностью, со смыслом, который классическая математика исключала из объектов своего рассмотрения. Таким образом, между неформальным, образным мышлением человека и формальными моделями классической математики сложился как бы "спектр" методов, которые помогают получать и уточнять (формализовать) вербальное описание проблемной ситуации, с одной стороны, и интерпретировать формальные модели, связывать их с реальной действительностью, с другой. Этот спектр условно представлен на рис. 6-а. Развитие методов моделирования, разумеется, шло не так последовательно, как показано на рис. 6а. Методы возникали и развивались параллельно. Существуют различные модификаций сходных методов. Их по-разному объединяли в группы, т. е. исследователи предлагали разные классификации (в основном - для формальных методов, что более подробно будет рассмотрено в следующем параграфе). Постоянно возникают новые методы моделирования как бы на "пересечении" уже сложившихся групп. Однако основную идею - существование "спектра" методов между вербальным и формальным представлением проблемной ситуации - этот рисунок иллюстрирует. Вербальное описание проблемной ситуации Формальная модель а) ..... Мозговая Сценарии Эксперт- «Дерево атака ные целей» оценки Математи- Теория Стисти- Аналитическая множеств ческие ческие логика методы методы Методы моделирования сложных систем б) Методы, направленные на акти- Методы формализован- визацию использования интуи- ного представления ции и опыта специалистов (ЛПР) систем Коммплексированные Методы (методики) Методы типа «мозговой постепенной форма- атаки» или «коллективной лизации задачи методы генерации идей» Аналитические Методы типа «сценариев» Статистические Методы экспертных оценок Теоретико-мно- Методы типа «Дельфи» жественные моделирование Методы структуризации Логические Топология (типа «дерева целей», «прог- Лингвистические Графо-семиоти- нозного графа» и др.) Семиотические ческое модели- Морфологичческий подход Графические рование Метод решающих матриц Структурнолингвистическое моделирование Комбинаторика Ситуационное Имитационное динамическое моделирование Рис. 6. Методы описания проблемной ситуации Первоначально исследователи, развивающие теорию систем, предлагали классификации систем и старались поставить им в соответствие определенные методы моделирования, позволяющие наилучшим образом отразить особенности того или иного класса. Такой подход к выбору методов моделирования подобен подходу прикладной математики. Однако в отличие от последней, в основу которой положены классы прикладных задач, системный анализ может один и тот же объект или одну и туже проблемную ситуацию (в зависимости от степени неопределенности и по мере познания) отображать разными классами систем и соответственно различными моделями, организуя таким образом как бы процесс постепенной формализации задачи, т. е. "выращивание" ее формальной модели. Подход помогает понять, что неверно выбранный метод моделирования может привести к неверным результатам, к невозможности доказательства адекватности модели, к увеличению числа итераций и затягиванию решения проблемы[35]. Если последовательно менять методы приведенного на рис. 6-а "спектра" (не обязательно используя все), то можно постепенно, ограничивая полноту описания проблемной ситуации (что неизбежно при формализации), но сохраняя наиболее существенные с точки зрения цели (структуры целей) компоненты и связи между ними, перейти к формальной модели. Такая идея реализовалась, например, при создании программного обеспечения ЭВМ и автоматизированных информационных систем путем последовательного перевода описания задачи с естественного языка на язык высокого уровня (язык управления заданиями, информационно-поисковый язык, язык моделирования, автоматизации проектирования), а с него - на один из языков программирования, подходящий для данной задачи (ПЛ/1, ПАСКАЛЬ, ЛИСП, СИ, ПРОЛОГ и т. п.), который. в свою очередь, транслируется в коды машинных команд, приводящих в действие аппаратную часть ЭВМ. В то же время анализ процессов изобретательской деятельности, опыта формирования сложных моделей принятия решений показал, что практика не подчиняется такой логике, т. е. человек поступает иначе: он попеременно выбирает методы из левой и правой частей "спектра"1, приведенного на рис. 6-а. Поэтому удобно как бы "переломить" этот "спектр" методов примерно в середине, где графические методы смыкаются с методами структуризации, т. е. разделить методы моделирования систем на два больших класса: методы формализованного представления систем (МФПС) и методы, направленные на активизацию использования интуиции и опыта специалистов (МАИС). Возможные классификации этих двух групп методов приведены на рис. 6-б. Такое разделение методов находится в соответствии с основной идеей системного анализа, которая состоит в сочетании в моделях и методиках формальных и неформальных представлений, что помогает в разработке методик, выборе методов постепенной формализации отображения и анализа проблемной ситуации. Возможные варианты последовательного использования методов из групп МАИС и МФПС в примерах методик, приводимых в последующих главах учебника (соответствующие ссылки будут даны), показаны на рисунке сплошной и штриховой линиями. Отметим, что на рис.6-б в группе МАИС методы расположены сверху вниз примерно в порядке возрастания возможностей формализации, а в группе МФПС - сверху вниз возрастает внимание к содержательному анализу проблемы и появляется все больше средств для такого анализа. Такое упорядочение помогает сравнивать методы и выбирать их при формировании развивающихся моделей принятия решений, при разработке методик системного анализа. Классификации МАИС и особенно МФПС могут быть разными. Необходимо отметить, что предлагаемые названия групп методов более предпочтительны, чем используемые иногда термины - качественные и количественные методы, поскольку, с одной стороны, методы, отнесенные к группе МАИС, могут использовать и формализованные представления (при разработке сценариев могут применяться статистические данные, проводиться некоторые расчеты; с формализацией связаны получение и обработка экспертных оценок, методы морфологического моделирования); а, с другой стороны, в силу теоремы Гёделя о неполноте, в рамках любой формальной системы, сколь бы полной и непротиворечивой она не казалась, имеются положения (соотношения, высказывания), истинность или ложность которых нельзя доказать формальными средствами этой системы, а для преодоления неразрешимой проблемы нужно расширять формальную систему, опираясь на содержательный, качественный анализ. [28] Результаты Гёделя были получены для арифметики, самого формального направления математики, и позволили предположить, что процесс логического, в том числе математического доказательства, не сводится к использованию только дедуктивного метода, что в нем всегда присутствуют неформальные элементы мышления. В 1 См., напр., Ж.Адамар. Исследование психологии процесса изобретения. - М.: Сов. радио, 1977. дальнейшем исследования этой проблемы математиками и логиками показали, что "доказательства вовсе не обладают абсолютной, не зависящей от времени строгостью и являются только культурно опосредованными средствами убеждения". 2 Иными словами, строгого разделения на формальные и неформальные методы не существует. Можно говорить только о большей или меньшей степени формализованности или, напротив, большей или меньшей опоре на интуицию, "здравый смысл"3. Специалист по системному анализу должен понимать, что любая классификация условна. Она лишь средство, помогающее ориентироваться в огромном числе разнообразных методов и моделей. Поэтому разрабатывать классификацию нужно обязательно с учетом конкретных условий, особенностей моделируемых систем (процессов принятия решений) и предпочтений ЛПР, которым можно предложить выбрать классификацию. Следует также оговорить, что новые методы моделирования часто создаются на основе сочетания ранее существовавших классов методов. Так, методы, названные на рис.6 комплексированными (комбинаторика, топология) начинали развиваться параллельно в рамках линейной алгебры, теории множеств, теории графов, а затем оформились в самостоятельные направления. Существуют также новые методы, базирующиеся на сочетании средств МАИС и МФПС. Эта группа методов представлена на рис.6 в качестве самостоятельной группы методов моделирования. обобщенно названной специальными методами. Наибольшее распространение получили следующие специальные методы моделирования систем: Имитационное динамическое моделирование (System Dynamics Symulation Modeling). Предложено Дж. Форрестером (США) в 50-х гг., использует удобный для человека структурный язык, помогающий выражать реальные взаимосвязи, отображающие в системе замкнутые контуры управления, и аналитические представления (линейные конечно-разностные уравнения), позволяющие реализовать формальное исследование полученных моделей на ЭВМ с использованием специализированного языка DYNAMO. Ситуационное моделирование. Идея предложена Д.А.Поспеловым и реализована на практике Ю.И.Клыковым и Л.С.Загадской. Это направление базируется на отображении в памяти ЭВМ и анализе проблемных ситуаций с применением специализированного языка, разрабатываемого с помощью выразительных средств теории множеств, математической логики и теории языков. Структурно-лингвистическое моделирование. Подход возник в 70-е гг. в инженерной практике и основан на использовании для реализации идей комбинаторики структурных представлений разного рода, с одной стороны, и средств математической лингвистики, с другой. В расширенном понимании подхода в качестве языковых (лингвистических) средств используются и другие методы дискретной математики (языки, основанные на теоретико-множественных представлениях, на использовании средств математической логики, семиотики). Теория информационного поля и информационных цепей (информационный подход к моделированию и анализу систем). Концепция информационного поля основана на использовании дня активизации интуиции ЛПР законов диалектики, а в качестве средства формализованного отображения - аппарата математической теории поля и теории цепей. Этот подход, для краткости названный информационным, поскольку в его основе лежит отображение реальных ситуаций с помощью информационных моделей [26]. 2 Ивин А.А. Строгий мир логики. М.: Педагогика, 1988. - c. 125. Системный анализ иногда определяют как "формализованный здравый смысл" или "здравый смысл, на службу которому поставлены математические методы" . 3 Подход, базирующийся на идее постепенной формализации задач (проблемных ситуаций) с неопределенностью путем поочередного использования средств МАИС и МФПС. Этот подход к моделированию самоорганизующихся (развивающихся) систем был первоначально предложен одним из авторов учебника на базе концепции структурнолингвистического моделирования, но в последующем стал основой практически всех методик системного анализа. Классификация методов моделирования, подобная рассмотренной, помогает осознанно выбирать методы моделирования и должна входить в состав методического обеспечения работ по проектированию сложных технических комплексов, по управлению предприятиями и организациями. Она может развиваться, дополняться конкретными методами, т. е. аккумулировать опыт, накапливаемый процессе проектирования и управления. Классификации МФПС. Математика непрерывно развивается. Возникают новые области и математические теории, отмирают или вливаются в другие устаревающие разделы. Исследованием структуры (или, как принято говорить архитектуры) математик занимаются многие ученые . Несмотря на то, что в практике моделирования широко используются теория множеств, математическая логика, математическая лингвистика и другие направления современной математики до сих пор еще не все ученые-математики склонны включать в число математических некоторые из этих направлений. Благодаря работам французских ученых (публикующихся под псевдонимом Н. Бурбаки ), теорию множеств и математическую логику стали признавать разделами математики, а математическую лингвистику и семиотику часто еще не относят к математике. Поэтому, чтобы не обсуждать различные точки зрения (которые постепенно изменяются, развиваются), вместо термина "математические методы" удобно применять предложенный в термин "методы формализованного представления систем" [5]. В большинстве первоначально применявшихся при исследовании систем классификаций выделяли детерминированные и вероятностные (статистические) методы или классы моделей, которые сформировались в конце прошлого столетия. Затем появились классификации, в которых в самостоятельные классы выделились теоретико-множественные представления, графы, математическая логика и некоторые новые разделы математики. Например, в классификации современного математического аппарата инженера В.П. Сигорский выделяются: множества, матрицы, графы, логика, вероятности. В одной из первых классификаций, предложенных специально для целей системных исследований украинским академиком А.И. Кухтенко, наряду с выделением таких уровней математического абстрагирования, как общеалгебраический, теоретикомножественный, логико-лингвистический, предлагается рассматривать информационный и эвристический уровни изучения сложных систем. В данном учебном пособии принята и кратко характеризуется классификация Ф.Е. Темникова, в которой выделяют следующие обобщенные группы (классы) методов:  аналитические (методы классической математики, включая интегродифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т. п.; методы математического программирования; первые работы по теории игр и т. п.);  статистические (включающие и теоретические разделы математики - теорию вероятностей, математическую статистику, и направления прикладной математики, использующие стохастические представления - теорию массового обслуживания, методы статистических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы статистического имитационного моделирования);  теоретико-множественные, логические, лингвистические, семиотические представления (методы дискретной математики), составляющие теоретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационнопоисковых языков;  графические (включающие теорию графов и разного рода графические представления информации типа диаграмм, гистограмм и других графиков). Разумеется, выше приведены лишь укрупненные группы-направления, конкретные методы которых только в начальный период развития характеризуются рассмотренными особенностями. Эти направления непрерывно развиваются, и в их рамках появляются методы с расширенными возможностями по сравнению с исходными. Кроме того, в математике постоянно возникают новые направления как бы «на пересечении» методов, отнесенных к приведенным укрупненным группам. В частности, на пересечении аналитических и теоретико-множественных представлений возникла и развивается алгебра групп; параллельно в рамках алгебры групп и теории множеств начала развиваться комбинаторика; теоретико-множественные и графические представления стали основой возникновения топологии; статистические и теоретикомножественные методы инициировали возникновение теории "размытых" множеств Л. Заде, которая, в свою очередь, явилась началом развития нового направления - нечетких формализаций и т. д. Отметим, что понятия исходных направлений не всегда сохраняются в неизменном виде; в частности, в теории Л.Заде дается иная трактовка понятия вероятности по сравнению со статистической. Практически невозможно создать единую классификацию, которая включала бы все разделы современной математики. В то же время приведенные направления помогают понять особенности конкретных методов, использующие средства того или иного направления или их сочетания, помогают выбирать методы для конкретных приложений. 2. ПРИНЦИПЫ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ Ществует множество различных принципов исследования систем. Принцип обратной связи Этот принцип Н. Винер назвал «душой» кибернетики. Принцип обратной связи следует отличать от самой обратной связи. Обратная связь подразумевает наличие канала для передачи информации (воздействия) от управляемого объекта (с его выходов) к управляющему. Принцип обратной связи есть принцип коррекции входных воздействий в процессе управления на основе информации о выходе управляемой системы. Управляемая система вместе с регулятором, корректирующим входные воздействия на основе использования информации о выходах, образуют замкнутый контур, который носит название контура обратной связи (рис. 7) X Y RY S R Рис. 7. Контур обратной связи S – управляемая система X – входные воздействия R – регулятор Y – выход RY – корректирующие воздействия Принцип обратной связи – это универсальный принцип управления, позволяющий в изменяющейся среде достигать заданной цели. В зависимости от характера самой цели выделяют положительные и отрицательные обратные связи. Отрицательная обратная связь – обратная связь, предназначенная для поддержания системы в заданном состоянии (при неизменном значении описывающих ее параметров), т.е. для достижения так называемой долговечной цели. В технических устройствах люди начали использовать этот принцип задолго до возникновения кибернетики и возникновения самого понятия «отрицательная обратная связь». Примером может служить регулятор Уатта, цель которого – обеспечить постоянство скорости вращения вала двигателя внутреннего сгорания, паровой машины и т.д. В живом организме с помощью отрицательных обратных связей поддерживаются физиологические константы (температура тела, кровяное давление и т.п.). Экономика, представляющая собой сложную систему, обладает развитым механизмом обратных связей. Однако, в связи с тем, что в экономических системах практически отсутствуют «долговечные» цели, т.е. цели в виде поддержания некоторых параметров на заданном уровне, основной тип обратных связей в экономике – положительные. [15], [20] Положительная обратная связь – обратная связь, предназначенная для перевода системы в новое состояние, которое зависит от сложившейся конкретной ситуации, т.е. для достижения текущей (меняющейся, конкретизирующейся) цели. Так, голодающий волк, догоняя овцу, изменяет, корректирует маршрут своего движения на основе получаемой через органы чувств осведомительной информации. В технических устройствах положительная обратная связь используется для увеличения коэффициента их передачи. Кроме того, положительная обратная связь является причиной так называемых процессов самовозбуждения, которые могут и не служить достижению цели. Рассмотрим пример. Пусть S – на рис.7 – усилитель, на вход которого подаются сигналы от микрофона X. Y – сигналы, передаваемые на репродукторы, которые расположены в той же аудитории, где микрофон. Звуковые колебания из репродуктора частично вновь попадают в микрофон. R показывает, какая часть энергии репродукторов воздействует на микрофон. В итоге на вход усилителя действует и выходной сигнал, а за ним вновь входной и т.д. В результате даже при отсутствии речи возникает нарастающий по силе звук. Положительная обратная связь является более сложной, чем отрицательная. На основе отрицательных обратных связей управление осуществляется по достаточно жесткой (неизменной) программе, при управлении на основе положительных обратных связей программа не должна быть жесткой. Принцип необходимого разнообразия По определению У. Эшби, число различных состояний системы или логарифм этого числа по основанию 2 есть разнообразие системы. Система в своем поведении может принимать различные состояния, значения ее параметров могут меняться. Однако, вследствие каких-либо условий, ограничений, внутренних свойств систем и т.п. из всех теоретически мыслимых состояний практически реализуемыми оказываются меньшее число состояний. Такое уменьшение числа возможных состояний есть ограничение разнообразия. Всякий закон природы есть ограничение разнообразия, поскольку из всех мыслимых состояний связываемых им объектов он указывает область реально возможных их состояний, параметров, форм и т.п. Задача управления есть задача ограничения разнообразия, ибо управление осуществляется с целью приведения системы в некоторое заданное состояние и поддержание этого состояния. У.Эшби сформулировал закон необходимого разнообразия, который утверждает, что ограничение разнообразия в поведении управляемого объекта достигается только за счет увеличения разнообразия органа управления. Или более лаконично: только разнообразие может уничтожить разнообразие. Этот закон имеет фундаментальное значение, в частности, он устанавливает, что эффективное управление в сложных системах не осуществимо с помощью «простых» средств. Принцип «черного ящика» «Черный ящик» - система, о внутренней организации поведения которой сведений нет, но существует возможность воздействия на ее входы и воспринимать воздействия ее выходов. Метод «черного ящика» заключается в том, что система изучается не как совокупность взаимодействующих элементов, а как нечто целое (неделимое), взаимодействующее со средой на своих входах и выходах. Метод «черного ящика» применим в различных ситуациях. Во-первых, конструкция системы может не интересовать наблюдателя, которому важно знать только поведение системы. Так, при пользовании телевизором новой марки, при отсутствии конструкции, наблюдатель назначение того или иного регулятора по тому воздействию, которое он оказывает на функционирование телевизора. В этом случае телевизор – «черный ящик»; изменение положения регулятора – входные воздействия; звук, изображение – выходы. Во-вторых, этот метод используется при недоступности внутренних процессов системы для исследования. Например, изучение деятельности мозга, изучение новых лекарственных средств. В-третьих, метод «черного ящика» используется при исследовании систем, все элементы и связи которых в принципе доступны, но либо многочисленны и сложны, что приводит к огромным затратам, либо изучение недопустимо по каким-либо соображениям. Примерами могут служить проверка на готовность к эксплуатации АТС, которая проводится путем «прозванивания», а не непосредственной проверкой всех блоков, схем и т.п., и проверка действия секретного прибора, разбирать который в полевых условиях запрещено. Метод «черного ящика» заключается в следующем: 1. Предварительное наблюдение взаимодействий системы со средой, установление списка входных и выходных воздействий. Выявление существенных воздействий. Окончательный выбор входов и выходов для исследования с учетом имеющихся средств воздействия на систему и средств наблюдения за ее поведением. 2. Воздействие на входы системы и регистрация ее выходов. В процессе изучения наблюдатель и «черный ящик» образуют систему с обратной связью. Первичные результаты исследования представляют собой множество пар: «состояние входа; состояние выхода». 3. Установление зависимости между входом и выходом системы. Установление такой зависимости – однозначной или вероятностной – возможно только в том случае, если система в своем поведении обнаруживает ограничение разнообразия. По мере исследования системы и все более глубокого проникновения в суть происходящих в ней процессов необходимость в использовании «черного ящика» отпадает. [5, 6, 34] Принцип моделирования В основе моделирования лежит метод аналогий. Аналогия – подобие, сходство предметов в каких-либо признаках, отношениях. Убедившись в аналогичности двух объектов, предполагают, что функции, свойства одного объекта присущи и другому объекту, для которых они установлены. Метод аналогий состоит в том, что изучается один объект – модель, а выводы переносятся на другой – оригинал. Иначе говоря, аналогия – вывод от модели к оригиналу. Модели создаются самые разные. Графическая модель – объект, геометрически подобный оригиналу (графическая карта). Функциональная – объект, отображающий поведение оригинала (любая действующая модель). Символическая – выражается с помощью абстрактных символов (программа для ЭВМ). Статистическая – описывает взаимодействие между элементами, имеющее случайный характер (схема Бернулли). Описательная (дескриптивная) – словесное описание, сравнительные характеристики (различные определения). Математическая – совокупность уравнений или неравенств, таблицы, матрицы и другие способы математического описания оригинала. Строятся смешанные модели. Модель как инструмент исследования, позволяет на основе регулирования исходными параметрами, предположениями прогнозировать поведение системы. Модель может быть использована в качестве инструмента для контроля за деятельностью системы, в качестве средства обучения. Кроме того, модель является средством «упрощения» объекта и его изучения, поскольку позволяет исследовать систему с точки зрения ее существенных характеристик, абстрагируясь от побочных влияний среды. Среди методов упрощения можно назвать:  Исключение из рассмотрения ряда переменных: а) исключение несущественных; б) агрегирование;  Изменение природы переменных: а) рассмотрение переменных как констант (например, путем замены случайной величины ее математическим ожиданием); б) рассмотрение дискретных величин как непрерывных, и наоборот;  Изменение характера связи между элементами (например, замена нелинейных зависимостей на линейные);  Изменение ограничений – снятие или введение новых. Каждая система взаимодействует с системами более высокого уровня, с системами одного уровня с данной (параллельными или горизонтальными) и с системами более низкого уровня. Такое взаимодействие осуществляется посредством внешних связей системы, которые подразделяются на входные и выходные параметры (вход и выход). Таким образом, любая система имеет вход – материальные компоненты, информация, энергия и т.д., которые, подвергаясь определенным воздействиям в системе, преобразуются в выход, как результат обработки элементов входа. Вход характеризуется воздействием внешней среды на систему, выход – системы на внешнюю среду. [26] Под процессором понимается в общем виде все то, что преобразует вход в выход, он представляет собой единство всех параметров: последовательности, оснащения, катализатора и субъекта труда. Последовательность представляет собой порядок, правила преобразования элементов входа в элементы выхода системы. Катализатор – множество компонент любой природы, стимулирующих процесс реализации функции системы. Это могут быть материальные, информационные, социологические, юридические факторы, а также факторы, связанные с методами и направлениями процесса принятия решений (формы и методы стимулирования, научная организация труда и т.д.) поскольку катализатор связан прежде всего с субъективным или человеческим фактором системы. Субъект труда – люди, участвующие в процессе преобразования элементов входа в элементы выхода. Для каждой из четырех системных характеристик выделяют 4 параметра измерения: физическое, динамическое, контрольное, прогнозируемое. Физическое измерение – описание физических свойств и экономического назначения элементов. Отражает размер, состав, форму, внешний вид и т.п.; характеризует физическую сторону функционирования (тонны, сутки, рубли). Динамическое измерение – мера физического измерения по каждой системной характеристике. Обычно динамическое измерение связывается с измерением соответствующих характеристик во времени (интенсивность, удельный вес, темпы и т.п.). Контрольное измерение – описание точно установленных значений (нормативных, эталонных), с помощью которых можно определить, как система функционирует. Прогнозируемое измерение описывает состояние каждой системной характеристики в будущем. При этом могут быть использованы различные методы прогнозирования:  метод экспертных оценок;  корреляционный и регрессионный анализ (выявление скрытых факторов);  морфологический анализ (расчленение на части с последующим синтезом);  сетевые методы;  теория принятия решений и др. Таким образом, любая система может быть описана четырьмя системными характеристиками, каждая из которых имеет четыре измерения. Матрица системных характеристик может рассматриваться в качестве информационной модели системы, которая позволяет определить уровень и достаточность знаний об объекте исследования. Заполнение столбца, связанного с прогнозом, характеризует тенденции в функционировании системы, а контрольные измерения – уровни эффективности по различным параметрам. Конструктивное определение характеризует объективно сложившуюся ситуацию в системе и ее потенциальную динамику. Реализация стратегии системного проектирования позволит выбрать оптимальное направление развития системы, наиболее близкое к эталонному. Важнейшим, основополагающим этапом при этом является определение функции системы, которая является системообразующей характеристикой. Это означает, что от выбора будут зависеть все характеристики и параметры системы: ее структура, система связей, информация, управление и, наконец, эффективность ее функционирования. [23] Матрица системных характеристик Динамическое Контрольное Прогнозное Процессор Измерение Физическое Характеристика Функция Вход Выход Последовательность Оснащение Катализатор Субъект труда Моделирование функции системы Как уже отмечалось выше, функция является основной системообразующей характеристикой, что определяет важность ее правильной и точной формулировки. Нельзя полагать, что функция определена, даже если система существует и хорошо известна. При более глубоком анализе может оказаться, что система в результате определенных взаимодействий выполняет какую-то не свойственную ей функцию, а не ту, ради которой система создавалась. Так, в условиях дефицита искажается функция торговли, связанная с удовлетворением потребительского спроса. В таких условиях торговля начинает работать против покупателя – сокрытие товара, спекуляция, усугубление дефицита, а иногда и прямой саботаж. Выявление функции системы – сложный творческий процесс, который может осуществляться различными способами: методом экспертных оценок, с помощью методики построения так называемого «дерева целей», на основе метода неформальных дискуссий или игровых процедур. Задача усложняется тем, что объектами исследования в экономике являются, в основном, большие и сложные системы, функции которых не поддаются однозначному определению. Такие системы полифункциональны, т.е. им присущи несколько функций. Остановимся на некоторых методах выявления функций. Игровая процедура выявления функций осуществляется с помощью деловой игры САФО – Системный Анализ Функции Объекта.4 Вкратце ее суть и основная идея сводятся к следующему. Большие сложные системы не только полифункциональны, но и полиструктурны, что означает возможность реализации одной и той же функции различными структурами, хотя и с разной степенью эффективности. Так, измерять время можно электронными, механическими, песочными, водяными, солнечными и другими часами. Одна из команд выбирает некоторый объект и предлагает формулировку его функций. Их задача – сформулировать функцию так, чтобы формулировка как можно более точно отражала необходимость именно этого объекта. Затем выбранная функция передается во вторую команду, задачей которой является назвать как можно больше объектов, систем, которые подходят под данную формулировку. Для усиления игрового момента за каждый объект могут начисляться баллы, в спорных случаях происходит обсуждение. Далее список объектов передается в первую команду, которая корректирует формулировку функции с учетом полученного списка. Скорректированная формулировка снова передается во вторую команду, где к ней подбираются системы. И так далее до тех пор, пока формулировка функции не будет соответствовать именно выбранному объекту. Например, первая группа предлагает функцию: «разогревать пищу». Вторая группа формирует следующий список объектов: печка, примус, газовая плита, электроплита, костер, скороварка, электропечь, гриль, керосинка (9 объектов). Первая группа: «подогревать пищу в походных условиях». Вторая группа: примус, керосинка, костер (3 объекта). Первая группа: «подогревать пищу в походных условиях при отсутствии технических средств». Вторая группа: костер (1 объект). Результаты удобно записывать в специальную форму. Непосредственно перед игрой полезно провести специальное подготовительное занятие, ориентированное на два задания: формулирование функций для конкретных объектов (из Приложения 2) и определение списка объектов для конкретных функций (из Приложения 3). Такие предварительные тренировки расширяют технические возможности участников и оживляют игру. Полезно также выявить возможные связи между функциями, анализ которых будет способствовать выявлению новых дополнительных «желательных» функций и устранению лишних. Зависимость функций может быть выявлена и представлена на основе использования метода «дерева целей». Если функция определяет назначение системы, ее необходимость, то целью системы называют определенное «желательное» состояние ее выходов, т.е. некоторое 4 См. Экономическая кибернетика. Часть IV. Основы системного анализа. – Л., 1976, гл. IV. значение или подмножество значений функций системы. Важно отметить, что не всякая система имеет цели, поскольку не всегда состояние выходов задано извне или установлено внутри системы. «Дерево целей» представляет собой упорядоченную иерархию целей, выражающую их соподчиненность и внутренние взаимосвязи. Дерево целей систематизированная запись всех необходимых составляющих для реализации функции. Основным содержанием построения дерева целей является переход от глобальной цели к совокупности более мелких подцелей. Его построение основано на следующих положениях:  формирование функции любой хозяйственной системы определяется целями системы более высокого уровня;  цели высших уровней достигаются не непосредственно, а на основе достижения подцелей;  цель системы нижних уровней иерархии является одновременно средством, ресурсом системы высшего уровня;  средства достижения цели являются ее подцелями и становятся целями для нижестоящих уровней;  при переходе на любой последующий нижний уровень иерархии имеет место детализация и разукрупнение целей; Построение дерева целей требует соблюдения следующих требований:  любая цель верхнего уровня должна быть представлена в виде подцелей следующего уровня таким образом, чтобы объединение понятия подцелей полностью определяло понятие исходной цели;  в дерево целей не должны включаться альтернативные способы достижения целей;  цели одного уровня должны быть сопоставимы по масштабу и значимости.