Методы анализа временных рядов. Среднеквадратичное отклонение

Лекция 4 Анализ временных рядов ТЕХНОЛОГИИ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ к.т.н., доцент Буряченко Владимир Викторович Красноярск, 2019 Содержание лекции 2 1. 2. 3. 4. 5. Методы анализа временных рядов. Среднеквадратичное отклонение. Составляющие временного ряда. Автокорреляционная функция. Пример анализа временного ряда. Анализ временных рядов Анализ временных рядов 3  Временным рядом (динамическим рядом) в технике и экономике называется последовательность наблюдений некоторого признака (случайной величины) X в последовательные равноотстоящие моменты времени.  Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, которые будем обозначать 𝑥𝑡 (𝑡 = 1, 2, … , 𝑛), где n – число уровней. Анализ временных рядов Анализ временных рядов 4 Анализ временных рядов используется, в частности, для решения следующих задач:  построение математической модели процесса, представленного временным рядом;  исследование структуры временного ряда, например для выявления изменения среднего уровня значений (тренда) и обнаружения периодических колебаний;  прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом. Анализ временных рядов Методы анализа временных рядов 5 Для решения этих и других задач анализа временных рядов исследователями предложено большое количество различных методов:  методы корреляционного анализа, позволяют выбрать наиболее существенные периодические зависимости в одном процессе (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);  методы спектрального анализа позволяют находить периодические зависимости в данных;  методы сглаживания и фильтрации предназначены для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний;  методы авторегрессии и скользящего среднего оказываются особенно полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения. Анализ временных рядов Анализ временных рядов 6  Таким образом, важнейшей задачей при исследовании временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от нее. Анализ временных рядов Пример анализа временного ряда 7 Рассмотрим простейший пример временного ряда.  В таблице приведены данные, отражающие цену и спрос (усл. ед.) на некоторый товар за восьмилетний период, т.е. два временных ряда – цена товара 𝑥𝑡 и спроса 𝑦𝑡 на него.  Отметим, что при анализе временных рядов, на первом этапе исследования изучается графическое представление и описание поведения временного ряда (рис. 1). Год, t 1 2 3 4 5 6 7 8 Цена, xt 492 462 350 317 340 351 368 381 Спрос, yt 213 171 291 309 317 362 351 361 Анализ временных рядов Пример анализа временного ряда 8  Можно представить эти же данные в графическом виде: Год, t 1 2 3 4 5 6 7 8 Цена, xt 492 462 350 317 340 351 368 381 Спрос, yt 213 171 291 309 317 362 351 361 380 360 340 320 Y, усл. ед. 300 280 260 240 220 200 180 160 1 2 3 4 5 6 7 Год, t Рис. 2. Динамика спроса за 8 лет Анализ временных рядов 8 9 Факторы, влияющие на поведение экономического временного ряда 9  В общем виде при исследовании экономического временного ряда 𝑥𝑡 выделяются несколько составляющих: 𝑥𝑡 = 𝑢𝑡 + 𝜈𝑡 + 𝑐𝑡 + 𝜀𝑡 ; 𝑡 = 1, 2, … , 𝑛 , (4.1) где 𝑢𝑡 − тренд, плавно меняющаяся компонента, описывающая чистое влияние долговременных факторов, т.е. длительную тенденцию изменения признака;  𝜈𝑡 − сезонная компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение не очень длительного периода;  𝑐𝑡 − циклическая компонента, отражающая повторяемость экономических процессов в течение длительных периодов;  𝜀𝑡 − случайная компонента, отражающая влияние не поддающихся учету и регистрации случайных факторов. Анализ временных рядов Факторы, влияющие на поведение экономического временного ряда 10  Следует обратить внимание на то, что в отличие от 𝜀𝑡 первые три составляющие (компоненты) 𝑢𝑡 , 𝜈𝑡 , 𝑐𝑡 являются закономерными, неслучайными. Несмотря на кажущуюся схожесть последовательности наблюдений (вариационного ряда) 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , … 𝑥𝑛 и временного ряда 𝑥𝑡 𝑡 = 1, 2, … , 𝑛 , они имеют принципиальные отличия:  во-первых, в отличие от элементов выборки члены временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми;  во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными. Анализ временных рядов Стационарные временные ряды 11  Вероятностные свойства стационарных временных рядов не изменяются во времени. ряд 𝑥𝑡 𝑡 = 1, 2, … , 𝑛 называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей 𝑛 наблюдений 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑖 , … 𝑥𝑛 такое же, как и 𝑛 наблюдений 𝑥1+𝜏 , 𝑥2+𝜏 , … , 𝑥𝑖+𝜏 , … 𝑥𝑛+𝜏 при любых 𝑛, 𝑡 и 𝜏.  Временной Анализ временных рядов Стационарные временные ряды 12  Свойства строго стационарных рядов 𝑥𝑡 не зависит от момента 𝑡, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от 𝑡.  Следовательно, математическое ожидание 𝑎𝑥 𝑡 = 𝑎, среднее квадратическое отклонение 𝜎𝑥 𝑡 = 𝜎 или (𝑆) могут быть оценены по наблюдениям 𝑥𝑡 𝑡 = 1, 2, … , 𝑛 : 𝑛 1 𝑥𝑡 = 𝑥𝑡 , (4.2) 𝑛 𝑆𝑡2 Анализ временных рядов 1 = 𝑛 𝑡=1 𝑛 𝑥𝑡 − 𝑥𝑡 𝑡=1 2. (4.3) Степень тесноты 13  Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда 𝑥1 , 𝑥2 , … 𝑥𝑛 и 𝑥1+𝜏 , 𝑥2+𝜏 , … , 𝑥𝑛+𝜏 (сдвинутых относительно друг друга на 𝜏 единиц, или, как говорят, с лагом 𝜏) может быть определена с помощью коэффициента корреляции 𝑀[(𝑥𝑡 − 𝑀[𝑥𝑡 ])(𝑥𝑡+𝜏 − 𝑀[𝑥𝑡+𝜏 ])] 𝜌 𝜏 = = 𝜎𝑥 𝑡 𝜎𝑥 (𝑡 + 𝜏) 𝑀[ 𝑥𝑡 − 𝑎 𝑥𝑡+𝜏 − 𝑎 ] = . (4.4) 2 𝜎 Анализ временных рядов Коэффициент автокорреляции 14  Так как коэффициент 𝜌 𝜏 измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции, а зависимость 𝜌 𝜏 − автокорреляционной функцией.  Статистической оценкой 𝜌 𝜏 является выборочный коэффициент автокорреляции 𝑟𝜏 , определяемый по формуле коэффициента корреляции, в которой 𝑥𝑖 = 𝑥𝑡 , 𝑦𝑖 = 𝑥𝑡+𝜏 , а n заменяется на n – τ: 𝑟𝜏 = 𝑛−𝜏 𝑛 (𝑛−𝜏) 𝑛−𝜏 𝑡=1 𝑥𝑡 𝑥𝑡+𝜏 − 𝑡=1 𝑥𝑡 𝑡=1+𝜏 𝑥𝑡+𝜏 𝑛−𝜏 𝑛−𝜏 𝑥 2 − 𝑡=1 𝑡 𝑛−𝜏 𝑥 𝑡=1 𝑡 2 ∙ 𝑛−𝜏 𝑛 2 𝑡=1+𝜏 𝑥𝑡 − 𝑟𝜏 называют выборочной функцией, а ее график – коррелограммой.  Функцию Анализ временных рядов 𝑛 𝑡=1+𝜏 𝑥𝑡+𝜏 2 . (4.5) автокорреляционной Пример анализа временного ряда 15  По данным примера 2 для временного ряда 𝑦𝑖 вычислим среднее значение, среднее квадратическое отклонение и коэффициент автокорреляции (для лага 𝜏 = 1, 2, 3). Год, t 1 2 3 4 5 6 7 8 Цена, xt 492 462 350 317 340 351 368 381 Спрос, yt 213 171 291 309 317 362 351 361 РЕШЕНИЕ.  𝑦𝑡 = По формуле (4.2) вычислим: 213+171+⋯+361 8 Анализ временных рядов = 296.88 (усл. ед.). Пример анализа временного ряда 16  Для вычисления дисперсии (среднего квадратического отклонения, S или ) воспользуемся свойством дисперсии: 𝑆𝑡 = 1 𝑛 𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦𝑡 2 𝑖=1  Квадраты отклонений спроса за каждый год вычисляются по формуле:  𝑦1 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑡 = 213 − 296.88 2 = 7035.016  𝑦2 = 171 − 296.88 2 = 15844.52  𝑆𝑡2 = 𝑦𝑡2 − 𝑦𝑡2 = 4343.61, 𝑆𝑡 = 65.31 (усл. ед.). Анализ временных рядов Среднеквадратичное отклонение Автокорреляционная функция 17  Коэффициент автокорреляции для 𝜏 = 1 , равен коэффициенту корреляции между последовательностями семи пар наблюдений 𝑦𝑡 и 𝑦𝑡+1 (𝑡 = 1, 2, … , 7): 𝑦𝑡 213 171 291 309 317 362 351 𝑦𝑡+1 171 291 309 317 362 351 361  Теперь по формуле (24.5) получим: 𝑟1 = 0.725. Аналогично вычислим 𝑟2 = 0.84, 𝑟3 = 0.91. автокорреляционной функции 𝑟𝜏 может оказать существенную помощь при подборе модели анализируемого временного ряда и статистической оценке ее параметров.  Знание Анализ временных рядов