Методика обучения понятию «линейная функция».

Методика обучения понятию «линейная функция». Изучение линейной функции начинается с рассмотрения ситуаций, похожих на те, которые привели к понятию «прямая пропорциональность». Пример 1. Дорога, которая ведёт из пункта A в пункт B, проходит через пункт C, расположенный на расстоянии 3 км от пункта A (рис.). Из пункта C в направлении пункта B вышел пешеход. Он идёт с постоянной скоростью 4 км/ч. Как меняется со временем расстояние от пункта A до пешехода? Чтобы найти расстояние от пункта A до пешехода, нужно к расстоянию 3 км между пунктами A и C прибавить путь, пройденный пешеходом. Пройденный пешеходом путь прямо пропорционален затраченному времени. Обозначим искомое расстояние через s, а время через t. Тогда s = 3+4t. Формула задаёт некоторую функцию s(t). Пример 2. Одна минута разговора по сотовому телефону стоит 1,2 рубля. Оплата разговора производится посекундно. Вы положили на счёт 50 рублей, ваш договор с оператором связи допускает отрицательный баланс на счёте не более 10 рублей. Как будет меняться со временем сумма, оставшаяся на счёте? Сколько времени вы можете говорить по телефону без доплаты? Обозначим через C сумму на счёте, а через t - время разговора в минутах. Тогда сумму на счёте можно найти по формуле C=50−1,2t. Она задаёт некоторую функцию C(t). Найдём, сколько времени можно говорить по телефону без доплаты. Продолжительность разговора ограничена начальной суммой на счёте (50 рублей) и допустимым отрицательным балансом счёта (−10 рублей). Иными словами, в вашем распоряжении имеется 60 рублей. Нетрудно найти, что этого достаточно для разговора продолжительностью 50 минут. Функции, к которым мы пришли в последних двух примерах, можно записать одной общей формулой y = kx+b. В первом примере k = 4, b = 3, а во втором примере k = −1,2, b = 50. Учащиеся должны обнаружить отличия в поставленных задачах. Полезно задать вопросы аналогичные тем, что предлагались при изучении прямой пропорциональности. Далее вводится определение линейной функции. Определение. Функция, задаваемая формулой y=kx+b, называется линейной функцией. Из определения следует, что прямая пропорциональность является частным случаем линейной функции. Возможна следующая схема изучения данной функции. Исследуется функция y 4 3x по схеме исследования функции. 1. Область определения. 2. Чётность или нечётность. 3. Нули. 4. Промежутки знакопостоянства. 5. Промежутки монотонности. 6. Наибольшее и наименьшее значения. Ее свойства сравниваются со свойствами функции y4x. Как показывает практика, удобно записывать результаты этой работы в две колонки, выделяя общие и отличительные свойства. Заметим еще раз, что можно после изучения свойств рассмотреть график линейной функции, а затем продолжить изучение других свойств с использованием их графической иллюстрации. Свойства функции y4x y 4 3x 1. Область определения y4x, х ∈ℝ y 4 3x , выражение 4х + 3 имеет смысл при любом значении х из ℝ, т. к. 4х + 3 - многочлен. 2. Четность или нечетность нечетная Ни четная, ни нечетная f(x) = 4x+3; f(-x) = 4(-x)+3 = -4x+3. Возьмём, например, x = 1 и вычислим f(1) = 4∙1+3 = 7; f(−1) = 4(−1)+3 = −1. Но тогда равенства f(−x) = f(x) и f(−x) = −f(x) не выполняются при x = 1. Поэтому функция f(x) = 4x+3 не является чётной и не является нечётной. 3. Нули х = 0, у = 0 Решим уравнение 4х + 3 = 0; х = - 0,75. Функция имеет единственный нуль х = - 0,75, график пересекает ось абсцисс в точке М(-0,75;0) Рассмотрим график функции y 4 3x . Для построения графика отметим на координатной плоскости несколько точек, принадлежащих графику функции. Построим таблицу значений функции, выбрав значения аргумента от −2 до 2 с шагом 1. Изобразим полученные точки на координатной плоскости. Как видим, все точки расположились на одной прямой (рис.1). Можно доказать, что графиком функции y = 4x+3 является прямая, параллельная прямой, которая является графиком функции y = 4x. Для построения графика функции y = 4x+3 достаточно построить любые две точки, принадлежащие графику этой функции, а затем провести через них прямую. Например, построим точки A(0;3) и B(−1;−1), принадлежащие графику функции. Проведём прямую AB - это и есть график функции (рис.1). Чтобы в дальнейшем можно было избегать громоздких фраз, договоримся вместо выражений вида «прямая, которая является графиком функции y = 4x+3» использовать выражения вида «прямая y = 4x+3». Перейдём к сравнению свойств функций y = 4x+3 и y = 4x. Заметим, что при одном и том же x значение функции y = 4x+3 больше значения функции y = 4x на 3. Таким образом, любая точка прямой y = 4x+3 лежит выше точки прямой y = 4x с той же абсциссой на 3 единицы. Построим дополнительно на координатной плоскости прямую y = 4x (рис. 2). Прямая y = 4x+3 получается сдвигом (параллельным переносом) прямой y = 4x на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Прямая y = 4x пересекает ось Oy в точке O(0;0). Соответственно, прямая y = 4x+3 пересекает ось Oy в точке A(0;3). Прямая y = 4x+3 параллельна прямой y = 4x. Поэтому у обеих прямых угол наклона к оси абсцисс один и тот же. Он определяется одним и тем же угловым коэффициентом k = 4. Функция y = 4x+3 имеет такую же скорость возрастания, как и функция y = 4x. Эта скорость равна коэффициенту k = 4. Продолжим изучение свойств функции y = 4x+3 с опорой на ее график. y4x y 4 3x 4. Промежутки знакопостоянства. y < 0 на интервале (∞;0); у > 0 на интервале (0; +∞). y < 0 на интервале (-∞; -0,75); у > 0 на интервале (-0,75; +∞;). 5. Функция является возрастающей на всей области определения. Функция является возрастающей на всей области определения. Возьмём произвольные числа x1 и x2 из области определения функции y=4x+3, удовлетворяющие неравенству x1