Методика изучения уравнений и неравенств

Лекция 2. Методика изучения уравнений и неравенств Оглавление Методика изучения уравнений и неравенств в основной школе .................................................................1 Местo уравнений и неравенств в школьной программе ...............................................................................6 Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы ..................................................7 Методика изучения уравнений и неравенств в основной школе При изучении линии уравнений и неравенств учащимися рассматриваются следующие вопросы: формирование понятий; взаимосвязь изучаемых понятий с другими линиями курса; общие и частные методы решения уравнений. В процессе обучения раскрываются: прикладная направленность линии (при решении текстовых задач; в геометрии - при использовании метода координат; при построении моделей различных процессов и т. д.); теоретическая направленность (при изучении наиболее важных классов уравнений, изучении обобщенных понятий и методов и т. д.); направленность на установление связей с основными темами курса. Линия уравнений и неравенств тесно связана с числовой и функциональной линиями. Они дополняют и обогащают друг друга. Так, например, потребность в решении нового класса уравнений способствовала введению нового числового множества и наоборот. Различные трактовки общего понятия «уравнение». В школьных учебниках встречаются следующие определения понятия «уравнение»: 1) Уравнение - это равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.2) Равенство с переменной называется уравнением, если надо найти значения переменной, при которых оно верно.3) Равенство с переменной называется уравнением. 4) Равенство двух функций, g(x) = f(x), заданных на общей области их определения, называется уравнением. 5) Уравнение - это высказывательная форма (предикат) вида а(х) = в(х). Методические замечания. 1 Правомерно говорить не о правильности или неправильности той или иной трактовки понятия «уравнение», а о педагогической целесообразности использования в данном классе той или иной трактовки. 2. В различных определениях используется переменная или неизвестное число. Переменная величина пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них. Неизвестное число представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (поэтому удобно в текстовых задачах). 3. Родовое понятие для всех этих определений - равенство. Но известно еще одно понятие, которое определяется как особый вид равенства - это тождество, школьное определение которого – равенство, верное при всех допустимых значениях переменной. В связи 1 с этим, в методической литературе встречаются различные точки зрения на связь между двумя понятиями. 1-я точка зрения: уравнение – частный случай тождества (Тождество – это равенство, верное при всех …, а уравнение – это равенство, верное не при всех …). 2-я точка зрения: тождество - частный случай уравнения (Тождество – это уравнение, множество решений которого все допустимые значения переменной; тогда линейное уравнение ах = в при а = 0 и в = 0 становится тождеством). 3-я точка зрения: уравнение и тождество - независимые понятия. Правомерна лишь третья точка зрения, что обосновывается правильным, с позиции математической логики, пониманием знака равенства. В тождестве равенство - это синоним отношения эквивалентности со всеми его свойствами: рефлексивности, симметричностью и транзитивностью. В силу последнего свойства в тождественных преобразованиях мы пишем цепочку равенств, поэтому для обозначения тождества иногда используют специальный знак. В уравнении равенство - это синтаксическое образование, которое может быть либо истинным, либо ложным, то есть можно говорить об условном равенстве, так как уравнение - это суждение о равенстве 2-х функций, а суждение может быть либо истинным, либо ложным. Поэтому в уравнениях запрещаются преобразования цепочкой. Процесс решения уравнения чаще всего состоит в замене данного уравнения равносильным ему уравнением или равносильной ему конъюнкцией или дизъюнкцией предложений до тех пор, пока не придут к уравнению вида х = а (1) или дизъюнкции таких уравнений: х =a1v x=a2v ... vx=an (2). Тогда множеством решений уравнения будет {а1,а2, ... аn}. При этом уравнение (1) называется равносильным уравнению (2), если они заданы на общей области их определения и множества их решений совпадают. При замене уравнения равносильным ему обычно опираются на следующие основные теоремы равносильности: Теорема 1. Уравнения f(х) = Ψ(х) и f(х) + g(x) = Ψ (x) + g(x) равносильны, если они имеют одну и ту же область определения. Теорема 2. Уравнения f(x) = Ψ(х) и f(x) * g(x) = Ψ(х) * g(x) равносильны, если они имеют одну и ту же область определения и предложение g истинно во всей области определения уравнения. Традиционный способ решения уравнений, опирающийся на понятие равносильных уравнений логически строен и не требует проверки решения уравнения. Однако не всегда целесообразно стремиться к получению уравнения, равносильного данному: можно идти по пути получения следствия данного уравнения f(x) = Ψ(х) (1). Уравнение f1(x) = Ψ1(х) (2) называется следствием уравнения (1), если каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2). В этом случае уравнение (2) может иметь решения, не удовлетворяющее уравнению (1), что может привести к появлению посторонних решений. Поэтому необходима проверка полученных корней. Нередко в практике работы учителей логическое следование применяется как прием, упрощающий процесс решения, если сохранение равносильности может быть достигнуто сравнительно дорогой ценой. Выделим три основных типа преобразования уравнений: 1) Преобразование одной из частей уравнения. Основой таких преобразований являются тождественные преобразования. Например, раскрытие скобок, приведение подобных членов и т. д. 2 2) Согласованные преобразования обеих частей уравнения. Это прибавление к обеим частям уравнения одного и того же выражения, умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение, переход от уравнения а=в к уравнению f(a) = f(в), где f - некоторая функция, или обратный переход. 3) Преобразование логической структуры уравнения. Если в процессе этих преобразований не следить за областями определения получаемых уравнений, то может произойти как потеря корней, так и приобретение посторонних корней. Так, к приобретению посторонних корней могут привести такие преобразования, как приведение подобных членов, освобождение уравнения от знаменателя, возведение обеих его частей в степень и др. К потере корней могут привести следующие преобразования: извлечение корня четной степени из обеих частей уравнения, логарифмирование обеих частей уравнения и др. Умножение или деление его обеих частей на функцию может привести как к потере корней, так и к приобретению посторонних корней. В школьном курсе математики учащиеся сталкиваются с понятием уравнения на протяжении всего обучения. В зависимости от класса меняется как способ решения уравнения, так и его обоснование. Впервые с уравнением учащиеся встречаются в начальной школе. Уравнения решаются подбором или с использованием правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий. С 5 класса начинается систематическое изучение уравнений. Изучение уравнений в 5-6 классах имеет ряд отличительных особенностей: с одной стороны они рассматриваются как самостоятельные понятия, с другой стороны - используются как служебные единицы для решения текстовых задач и формирования вычислительных навыков. Метод введения понятия - конкретно-индуктивный Этапы введения понятия 1.Отыскание ярких практических примеров, показывающих целесообразность данного понятия 2.Выявление существенных и несущественных признаков данного понятия, введение термина 3.Формулируется определение. Первичное (учащиеся); четкое Определение (учитель); повторение определения (учащиеся) 4. Иллюстрация понятия конкретными примерами, модели понятия 5. Другие возможные определения Реализация этапов В учебнике Н.Я. Виленкина введение понятия уравнение начинается с задачи: На одной чашке весов находится арбуз и гиря в 6кг., а на другой - гиря в 15 кг. Весы находятся в равновесии. Найти массу арбуза. Математическая модель ситуации задачи : х + 6 = 15 Существенные признаки: равенство, содержит переменную Несущественные: в какой части стоит переменная, какой буквой обозначается Уравнение - это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти. Задания типа: Какие из выражений являются уравнениями: «2 + 3 = 5; 2 + х = 8; 5>3; а+8; 5в-3=2 и т.д.?» Учащиеся могут предложить ответ: «Равенство, в котором есть неизвестное число и др.» 3 В 5-м классе уравнения решаются на множестве натуральных чисел. Как и в начальной школе - основной способ решения - на основании зависимости между результатами действий и их компонентами. Образец рассуждений при решении уравнения (7 + х) - 15 = 21 (5 кл.). 1. Неизвестная буква входит в уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое необходимо к разности прибавить вычитаемое: 7 + х = 21 + 15; 7 + х = 36. 2. Теперь неизвестное входит в слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 36 - 7; х = 29. С введением десятичных дробей учащиеся решают задачи на новом числовом множестве. При решении уравнений отрабатываются навыки выполнения тождественных преобразований. В процессе работы над понятиями «уравнение», «корень уравнения» полезно включать задания творческого характера. Например: «составить уравнение, корнем которого было бы число 5» . В 6-м классе уравнения решаются на множествах Z и Q. Неизвестное может находиться в обеих частях уравнения. Появляются уравнения с модулем. Для обоснования возможности переноса членов уравнения из одной части в другую используются свойство противоположных чисел (а + (-а) = 0) и весы: На левой чаше весов лежат арбуз и гиря в 6 кг, а на правой - 15кг. Весы находятся в равновесии. Чему равна масса арбуза? Математическая модель ситуации: х + 6 = 15. Чтобы найти массу арбуза, снимем с левой чаши весов гирю в 6 кг, а чтобы не нарушать равновесия, необходимо снять 6 кг и с правой чашки :х + 6 – 6 = 15 - 6, то есть х = 15 - 6. Можно сказать, что мы слагаемое 6 перенесли из одной части уравнения в другую с противоположным знаком. Воспользоваться весами для решения уравнения х - 5 = 9 уже нельзя. Воспользуемся свойством противоположных чисел: х-5 +5=9 + 5... .Затем рассматриваем уравнение 5х = 2х + 6 . Решаем аналогично. После этого формулируется правило: слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом их знаки. В этом же пункте учащиеся узнают, что корни уравнения не изменяются, если обе его части умножить или разделить на одно и тоже число, не равное нулю. В 7 классе вводится понятие равносильности. При решении уравнений используются свойства равносильности (1 и 2). Основное внимание уделяется решению линейных уравнений с одной переменной. Естественно, что их учащиеся уже решали в 5 - 6 классах. Поэтому в курсе алгебры 7 класса знания обобщаются, проводится исследование линейного уравнения ах + в = 0 в зависимости от параметров а и в: ах = - в. При а отличном от нуля уравнение имеет единственное решение х = - в/а; при а = 0, в = 0 - уравнение не имеет решений; при а = 0, в = 0 уравнение примет вид 0х = 0, х - любое число. В 7-м классе рассматривается еще одно важное понятие «уравнение с двумя переменными» и вводится понятие «система линейных уравнений». В 8-м классе изучаются квадратные уравнения и уравнения, содержащие переменную в знаменателе. В учебнике определение квадратного уравнения вводится явно. Желательно к этому определению подойти через конкретные задачи. Формулы корней квадратного уравнения необходимо вывести, используя выделение полного квадрата в трехчлене, а не давать учащимся в готовом виде. При этом учащиеся должны твердо усвоить, что дискриминант («различитель») позволяет узнать: есть ли корни у уравнения, а если есть, то сколько их. Кроме того, необходимо научить учащихся использовать формулу для случая, если в - четное, а также 4 формулу корней приведенного квадратного уравнения. Учащиеся должны владеть различными способами решения полного квадратного уравнения: способ выделения полного квадрата. Через дискриминант по формуле корней. По теореме, обратной теореме Виета. Графическим способом. Кроме того, учащиеся должны уметь решать неполные квадратные уравнения. Для решения уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби, учащимся могут быть предложены два способа: 1 способ основан на использовании равенства дроби нулю. 2 способ опирается на условие равенства дробей с одинаковыми знаменателями. В 9-м классе решаются дробно-рациональные, биквадратные уравнения. Рассматриваются графические способы решения уравнений с одной переменной, как один из примеров приближенного решения уравнений. Возможность применения графического способа решения весьма ограничена, так как ограничен запас графиков функций, которые ученики могут строить, и степень точности нахождения корней. Кроме того, приходится подбирать такие графики, чтобы точки пересечения были в пределах рисунка. Однако графический способ имеет и определенные преимущества: позволяет рассматривать решения таких уравнений, которые учащиеся на данном этапе не могут решить аналитическим способом. Даже если корни являются числами большими по модулю, то с помощью схематических рисунков удается установить число корней, их знаки, вычленить те отрезки числовой оси, где эти корни могут находиться. Эти исследования полезны для подготовки к изучению функций. Использование графического способа полезно и в устной работе с учащимися. Прикладная направленность линии уравнений раскрывается главным образом при изучении алгебраического способа решения сюжетных задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, широко применяемым в приложениях математики. В настоящее время, ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование, включающее в себя: 1) построение модели, 2)исследование модели, 3)анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения. В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи: осмысление текста задачи и анализ ее содержания; осуществление поиска решения и составления плана решения; реализация плана решения; анализ найденного решения, поиск других способов решения. При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявления величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи («краткой модели») текста задачи. Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна служить математическая модель ситуации. При решении задачи алгебраическим методом - это уравнение или система уравнений. Третий этап предполагает исследование математической модели (решение уравнения или системы); перенос результатов исследования математической модели в заданную ситуацию; запись ответа. На четвертом этапе работы с сюжетной задачей можно предложить другие варианты решения (другое уравнение или систему, арифметический способ решения). 5 Мы видим, что процесс решения сюжетной задачи - это теоретической исследование, представляющее собой процесс математического моделирования. Решение сюжетных задач с помощью уравнений - один из центральных вопросов методики алгебры. Выделим некоторые его аспекты: «Как научить учащихся составлять уравнение по тексту задачи? », «Какие при этом возможны эвристические схемы рассуждения?»; «Как кратко записать задачу?»; «Как использовать графические иллюстрации?»; «Как провести подготовительную работу по решению задач методом уравнений?»; «Нужна ли проверка при решении сюжетных задач?». Эти вопросы исследовали ученые-методисты, учителя (Д. Пойа, Л.М. Фридман, В.П. Радченко и др.). Предложим некоторые эвристические «правила», помогающие составлять уравнение по тексту задачи. Правило Коши: для того, чтобы составить уравнение, надо обозначить неизвестное буквой, например х, и произвести с ним и с данными величинами все вычисления, которые выполняются при проверке правильности решения. Именно так ведется поиск решения сюжетной задачи с помощью анализа Евклида. Правило Ньютона: для составления уравнения нужно условие задачи перевести с естественного на алгебраический язык. Правило сравнения: необходимо составить два разных алгебраических выражения для одной и той же величины и поставить между ними знак равенства. Каждое из этих правил с определенной стороны характеризует процесс составления уравнения по условию задачи. Но применять их ученику, который не умеет составлять уравнения, довольно трудно. Поэтому полезно сообщить ему эти правила на более позднем этапе обучения методу составления уравнений. Местo уравнений и неравенств в школьной программе Пропедевтический этап: 1-4, 5-6 классы Обозначение неизвестных компонентов действий через переменную и отыскание их на основе свойств действий. В теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимости между компонентами действий (сложение и вычитание). В теме 2. Умножение и деление натуральных чисел. Решение линейных уравнений на основе зависимостей между компонентами (умножения и деления). В теме 6. Действия с рациональными числами. Общие приемы решения линейных уравнений с помощью простейших преобразований выражений. Составление уравнения для решения текстовых задач. Основной курс алгебры 7-9 классы: 1. Уравнения. Основные понятия, линейное уравнение с одним неизвестным. Решение задач методом уравнений. Системы линейных уравнений. Решение задач методом составления систем уравнений. Квадратные уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям. В теме 4. Неравенства. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной. В теме 1. Квадратичная функция. Решение неравенств второй степени с одной переменной. Решение рациональных неравенств методом интервалов. 2. Уравнения и системы уравнений. Целое уравнение и его корни. Решение уравнений 3-й и 4-й степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график. Решение систем уравнений 2-й степени с двумя переменными. Решение текстовых задач методом составления систем. Знания и умения учащихся по теме «Уравнения» 6 Общие категории целей Знание Запоминание и воспроизведение изученного материала I уровень Ученик знает Общие и специальные термины, обозначающие виды уравнений и неравенств и процесс их решения, формулы и алгоритмы решения простейших уравнений, неравенств и их систем и их запись, частные приемы решения текстовых задач с помощью уравнений. Понимание Ученик понимает готовность к Правильно преобразованию воспроизводит изученного из одной термины, формы в другую, к формулировки его интерпретации формул, правил, алгоритмов и частных приемов решения простейших уравнений и неравенств, формулировку задач «решить уравнение» II уровень III уровень Ученик знает Определения видов уравнений и неравенств, формулировки их общих и различных свойств, общие методы и обобщенные приемы их решения и проверки, способы записи, общий прием решения текстовых задач методом уравнений. Ученик знает Обоснование методов и приемов решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей, общие, специальные и искусственные приемы их решения и решения задач методом уравнений и неравенств, приемы их переноса. Ученик понимает Интерпретирует методы и приемы решения уравнений, неравенств и систем, используя блоксхемы, графики, числовую ось, приводит контрпримеры, подводит уравнение к тексту задачи. Ученик понимает Имеет представление об уравнениях и неравенствах как моделях разнообразных задач, выделяет идеи обобщенных методов и приемов их решения и связи между ними. Методика изучения линии неравенств в курсе алгебры основной школы Основная учебная цель изучения материала линии неравенств - овладение учащимися на том или ином уровне приемами решения (алгебраического и графического) неравенств как математического аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний и практики. Содержание этого материала позволяет продолжить развитие различных познавательных процессов, речи, умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элементов творческой деятельности при решении всех основных типов задач алгебраическим методом, развитие пространственного воображения при решении графическим методом. Гуманитарный потенциал этой линии, как числовой, связан с историей развития алгебры и содержанием текстовых задач: исторических, занимательных, краеведческих и так далее, что дает возможность ставить перед учащимися цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарной, экологической), культуры общения, чувства прекрасного. 7 Решение задач практического, жизненного содержания является одним из средств связи математики с жизнью и подготовки учащихся к выбору профессии. Изучение неравенств в школе можно разделить на следующие этапы: пропедевтический (1-6 класс); основной (курс алгебры 7-9 классы основной школы); завершающий (10-11 классы старшей школы). 1. Пропедевтический этап (1 – 6 кл.). С 1-го класса детей знакомят с понятиями «больше» и «меньше» (6 больше 5; 7 меньше 8), «увеличить» и «уменьшить», формируют навыки сравнения на основе счета, учат сравнивать выражения. В основном дети проводят сравнение на дидактическом (раздаточном) материале и примерах из жизни. Во 2 классе детей обучают сравнению величин (длина является критерием сравнения), чисел, сравнению выражения с числом, знакомят с символами «=»; «<»; «>». Появляются числовые неравенства(5<6; 8>7). В 3 классе дети обучаются навыкам проведения сравнения «выражения с выражением после операции в каждом из них», сравнению выражений(13 -9 * 13 – 8, 16 + 7 * 16 + 8) без выполнения вычислений (то есть идет пропедевтика свойств числовых неравенств и доказательства этих свойств). Много внимания уделяется усвоению учащимися смысла терминов «меньше «на», больше «в»». Учащиеся приобретают навыки «поразрядного» сравнения, навыки «прикидки». Учащиеся решают задачи типа: «Какой знак нужно поставить вместо * чтобы получить верное неравенство (5*7; 1+9*9)»; «Длина одного отрезка 8 см, второго в 2 раза меньше, чем первого, а третьего на 16 см больше, чем второго. Узнай длину третьего отрезка и вырази ее в дм.» Математика 5 - 6 класс. В начале курса рассматривается тема: «Меньше или больше», при изучении которой у учащихся закрепляются навыки, приобретенные в начальной школе, и формируются новые навыки. При счете натуральные числа называют по порядку. Из двух натуральных чисел меньшего, которое при счете называют раньше и больше, то которое называют позже. Точка с меньшей координатой лежит на координатном луче левее точки с большей координатой. Результат сравнения двух чисел записывают в виде неравенства, применяя знаки < и > (Например, 4<7)… Число 3 меньше, чем 6, и больше, чем 2. Это факт записывается в виде двойного неравенства2<3<6…Знаками < и > обозначают также результат сравнения. Если отрезок AB короче CD пишут AB -23. Сравним обыкновенные дроби 5/8 и 4/7.Для этого приведём их к общему знаменателю: 5/8=35/56; 4/7=32/56. Так как 35>32, то 5/8>4/7. 4.Сравнить углы треугольника. 8 Учащиеся должны усвоить основные критерии и процедуры сравнения, осмыслить первое обобщение «неравенства являющееся важным средством для проведения операции сравнения». При изучении темы «Среднее арифметическое» учащиеся используют теорию неравенств для проведения округления с наименьшей погрешностью, нахождения средней скорости движения. При изучении темы «Построение треугольников», усваивая возможность существования треугольника с заданными сторонами, учащиеся приобретают первичные знания «существования неравенств ограничения». (Треугольник со сторонами 3см, 5см, 8 см – не существует; необходимо, чтобы а + в >с.) Именно в этих классах идет формирование геометрического определения неравенства. (Тема «Сравнение чисел с помощью координатной прямой»). Огромную роль в формировании теории неравенств играет усвоение учащимися понятия «Модуль числа». С помощью этого понятия учащиеся будут сравнивать числа, вычислять оценку погрешности, описывать ограничения и существование математических объектов…В теме "Деление" в упражнении № 609 (С.А. Теляковский) вводятся новые символы «≤ и ≥».Кроме неравенств со знаками > и <, которые называют строгими, используют нестрогие неравенства, для которых введены знаки ≤ и ≥. Основной этап. 7 класс. Теория неравенств находит применение при проведении исследования функций: определения области определения и области значений функций; построения графиков не на естественных, а на ограниченных областях; влияния знаков параметра на расположение графиков в координатной плоскости (у = кх…), выяснения свойств функций… Учащиеся должны усвоить, что неравенства являются средством перебора логических возможностей решения задач и построения функций. Изучение неравенств является подготовительным этапом к решению систем неравенств и задач линейного программирования. 8 класс Главный упор делается на тему «Числовые неравенства и их свойства», которые являются базой для: решения неравенств с одной переменной; обоснования двух методов приближенных вычислений: метода границ и практических методов; выявления видов функционирования неравенств… В учебнике С.А. Теляковского данная тема изложена в трех пунктах (П.27. Числовые неравенства. П.28. Свойства числовых неравенств. П.29. Сложение и умножение числовых неравенств), а операция сравнения введена следующим образом: Мы будем считать, что положительное направление задано слева направо. Перемещению по координатной прямой вправо от точки b соответствует прибавление к числу b положительного числа. Для любых двух действительных чисел а и в определена операция сравнения, результатом которой является одно из трех утверждений: число а больше числа в; число а равно числу в; число а меньше числа в. Мы можем сравнить любые числа а и b и результат сравнения записать в виде равенства или неравенства, используя знаки =, <, >. Для произвольных чисел а и b выполняется одно и только одно из соотношений: а = в ,аb. Определение. Из двух чисел а и в меньшим является то, которому соответствует на координатной прямой точка, лежащая левее. Число а равно числу в, если им соответствует одна точка. На координатной прямой большее число изображается точкой, лежащей правее, а меньшее – точкой, лежащей левее. В зависимости от конкретного вида чисел мы использовали тот или иной способ сравнения. Однако удобно иметь такой способ сравнения чисел, который охватывает все случаи. Он заключается в том, что составляют разность чисел и выясняют, является ли она 9 положительным числом, отрицательным числом или нулем. Этот способ сравнения чисел основан на следующем определении. Определение Число а больше числа b, если разность а – bположительное число; число а меньше числа b, если разность а – b- отрицательное число. Заметим, что если разность а – b равна нулю, то числа а и b равны. Во всех школьных учебниках алгебры рассматриваются свойства числовых неравенств. На уроке обязательно следует их доказать. Важно выработать у учащихся прочный навык почленного вычитания, деления и умножения числовых неравенств. У учащихся следует выработать навыки решения следующих видов задач: Сравнить два числа Задачи на оценку (оценить произведение двух чисел, сумму двух чисел, их разность, возведение в степень числа, оценить обратное ему число). Задачи на доказательство. В 8 классе изучаются темы «Линейные неравенства с одной переменной», «Системы неравенств с одним неизвестным». При решении линейных неравенств с одной переменной полезно ознакомить учащихся с алгоритмом его решения. Все приобретенные учащимися навыки находят применение при изучении тем «Решение квадратных неравенств» и «Действительные числа». (Замечание: в некоторых учебника этот материал изучается в 9 классе). Учащиеся, по крайней мере, должны знать 3 способа решения квадратных неравенств: Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, построить эскиз графика квадратного трехчлена и записать ответ. Опираясь на разложение квадратного трехчлена на множители, использовать метод интервалов. Графический метод решения неравенств. 9 класс: Формируется навык проведения равносильных преобразований неравенств. В учебнике А.Г. Мордковича в теме «Рациональные неравенства» вводится определение рационального неравенства. Определение. Рациональным неравенством с одной переменной x называется неравенство вида h(x)>q(x), где h(x) и q(x) рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной x с помощью операции сложение, вычитание, умножение, деление. В главе «Рациональные неравенства и их системы, линейные и квадратные неравенства» предполагается знакомство учащихся с методом интервалов. 10