Методика изучения функции «прямая пропорциональность»

Методика изучения функции «прямая пропорциональность». Общие подходы к изучению функций в основной школе. Изучение функций (прямая пропорциональность, линейная функция, обратная пропорциональность, квадратичная функция) строится по плану, который полезно разработать совместно с учащимися. Такой подход позволяет хранить в памяти свойства каждой из функций, ее график, строить планы изучения новых функций. Владение способом изучения функций поможет учащимся быть самостоятельными в учебном процессе. Приведем план изучения функции конкретного вида. 1. Рассматриваются ситуации, в которых имеет место определенная связь между величинами. Она исследуется с точки зрения понятия «функция». Функция задается с помощью формулы. 2. Дается определение функции данного вида. 3. Исследуются свойства функции с опорой на общую схему исследования: 1) находят область определения функции; 2) выясняют, является функция чётной или нечётной; 3) находят нули функции; 4) находят промежутки знакопостоянства функции; 5) находят промежутки возрастания и промежутки убывания функции; 6) находят наибольшее и наименьшее значения функции. Свойства конкретной функции могут быть получены учащимися на основе анализа аналитического задания функции (с опорой на схему исследования), а затем переведены на язык ее графика. Возможен другой сценарий изучения свойств функции. Часть свойств (область определения; четность или нечетность; нули функции) изучаются на основе анализа аналитического задания функции. Затем рассматривается график функции. С него «считываются» такие свойства функции, как промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания. Далее эти свойства доказываются. При изучении функции большое внимание уделяется алгоритму построения графика функции. Проводится исследование графика функции, выделяются новые свойства функции. 4. Рассматривается применение функции для решения различных задач. Содержание учебного материала представлено таким образом, чтобы предоставить возможность учащимся рассуждать о свойствах функции на различных языках представления информации; обосновывать эти свойства, осознавать влияние коэффициентов в аналитическом задании функции на ее свойства. Рассмотрим особенности изучения каждой из функций. Прямая пропорциональность Изучение данной функции начинается с рассмотрения двух ситуаций, в которых величины связаны прямой пропорциональностью. При рассмотрении соответствующих задач важно ответить на вопросы: - между какими величинами установлено соответствие? - является ли это соответствие функций? - как можно охарактеризовать функцию? - что общего между данными ситуациями и чем они различаются? - с помощью какой формулы можно задать эти функции? и т. д. Учащиеся убеждаются, что для этих функций отношение y  k при всех x  0 . x Следовательно, величины x и y прямо пропорциональны, а число k является коэффициентом прямой пропорциональности. Дается определение функции, ставится задача исследовать её свойства. Возможна следующая схема исследования свойств функции: 1. В качестве фокус-примера изучаются свойства функции y  4 x на основе схемы исследования. Свойства функции рассматриваются на двух языках: аналитическом и графическом. Например: 1. Область определения. Правая часть равенства y=4x является одночленом первой степени относительно x и, следовательно, имеет смысл при любом значении x из ℝ. Область определения функции всё множество действительных чисел ℝ. Область определения функции симметрична относительно 0. 2. Чётность или нечётность. Для всякого x из ℝ выполняется равенство f(−x) = 4(−x) = −(4x) = −f(x). Функция y = 4x - нечётная. 3. Нули. Решим уравнение f(x) = 0: 4x = 0; х = 0. Функция имеет единственный нуль x = 0. Рассмотрим график функции y  4 x . Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции. Для этого построим таблицу значений функции, взяв значения аргумента x от −3 до 3с шагом 1: Построим полученные точки на координатной плоскости xOy. Все точки расположились на одной прямой (рис.). Случайно ли это? Можно доказать, что графиком любой прямой пропорциональности y=kx является прямая, проходящая через начало координат O(0; 0) и точку A(1; k). Для построения графика функции y=kx достаточно построить на координатной плоскости точку A(1; k) (или любую другую точку, принадлежащую графику и отличную от начала координат) и провести прямую OA. В частности, графиком функции y=4x является прямая, проходящая через точки O(0; 0) и A(1; 4) (рис.). 4. Промежутки знакопостоянства. Анализ графика функции позволяет сделать вывод, что функция принимает положительные значения только на интервале (0; +∞). Обращается в 0 только при x=0. На оставшемся интервале области определения, а именно на интервале (−∞; 0), функция принимает отрицательные значения. 5. Промежутки монотонности. Функция является возрастающей на всей области определения ℝ, то есть на интервале (−∞; +∞). 6. Наибольшее и наименьшее значение. Аргументу x функции можно придавать как угодно большие по модулю значения. Поэтому и значения 4x функции могут быть как угодно большими по модулю. Значит, функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Специальное внимание уделяется исследованию роли коэффициента k для определения особенностей графика функции y=kx и изучения ее свойств. С этой целью учащимся предлагается задание, которое поможет сравнить свойства прямой пропорциональности при различных значениях коэффициента k со свойствами функции y  4 x . Решение. Таким образом, выявляются свойства функции y  kx (k > 0), которые сравниваются со свойствами функции y  4 x и свойства функции y  kx (k < 0) , которые сравниваются со свойствами функции у = - 4х. Выявляются отличительные свойства функций при различных k. После этой работы доказываются свойства, связанные с исследованием промежутков возрастания (убывания) функции y  kx , промежутков знакопостоянства. Теорема. Если k > 0, то функция y  kx принимает отрицательные значения на интервале (−∞; 0) и положительные значения – на интервале (0; ∞). Теорема. Функция y  kx является возрастающей, если k > 0; является убывающей, если k < 0. В итоге систематизируются свойства прямой пропорциональности в виде таблицы, которая показывает пример рассуждений о свойствах функций. Приведем примеры заданий, которые помогают учащимся научиться устанавливать связи между аналитическим заданием функции и ее графиком. Еще одной характеристикой графика функции является «угловой коэффициент» (см. Приложение 1). Важнейшее свойство прямой пропорциональности – средняя скорость изменения функции y  kx равна k. Рассмотрим функцию y=kx. Функции y=0,5x и y=4x возрастают на области определения, но возрастают с разной скоростью. Остановимся на этом понятии подробнее. Данное свойство помогает устанавливать межпредметные связи, моделировать различные ситуации. Данный учебный материал готовит учащихся к изучению понятия «производная функции». В итоге изучения темы учащиеся могут сформулировать свойства коэффициента k: коэффициент k – это коэффициент прямой пропорциональности; он определяет угол наклона к оси Ox; от знака k зависят промежутки возрастания (убывания) функции и промежутки знакопостоянства. Коэффициент k характеризует скорость изменения функции. Итак, можно выделить следующие методические этапы изучения функции «прямая пропорциональность»: мотивация; исследование свойств (на основе общей схемы) на примере функции у = 4х; рассмотрение функции y  kx при различных k; сравнение их со свойствами функции у = 4х. Выделение функции у = kx (k > 0) и функции у = kx (k < 0). Специальное внимание уделяется переводу свойств с одного языка представления информации на другой. Следует обратить внимание на задания практикума, посвященные применению линейной функции.