Метод разделения переменных для неоднородного уравнения теплопроводности.

Лекция 10. Метод разделения переменных для неоднородного уравнения теплопроводности. п.1. Неоднородная задача. Рассмотрим задачу для неоднородного уравнения теплопроводности ut  a 2u xx  f ( x, t ), t  0, 0  x  l , (11) (12) u t 0  u0 ( x), u x 0  0, u x l  0. (13) Здесь функция f(x,t) характеризует интенсивность тепловых источников, помещенных внутрь стержня в точке х в момент времени t. Общее решение задачи (11)-(13) будем искать в виде суммы двух функций u  v  w, (14) где vt  a 2vxx , v t  0  u0 ( x), v x  0  0, v x l  0; (15) и, соответственно, wt  a 2 wxx  f ( x, t ), w t  0  0, w x  0  0, w x  l  0. (16) Решение задачи (15) дается формулами (9), (10). Решение задачи (16) будем искать в виде ряда по собственным функциям  w( x, t )  T (t ) sin n n 1 nx l , (17) где Tn (t ) – неизвестные функции. Представим функцию f ( x, t ) в виде ряда Фурье  f ( x, t )   f (t ) sin n n 1 nx l , где 2 f n (t )  l l  f ( , t ) sin n l d . (18) Подставляя (17), (18) в (16), получаем 2    T  (t )   na  T (t )  f (t )  sin nx  0. n n  n  l  l  n 1     Данное равенство возможно при выполнении следующего условия 2  na  Tn (t )    Tn (t )  f n (t )  0.  l  (19) Подставив функцию (17) в начальное условие задачи (16), имеем  w t 0   Tn (0) sin n 1 nx l  0, следовательно, Tn (0)  0. (20) Таким образом, получаем задачу (19), (20) для определения функций Tn (t ) . Ее решение дается формулой 2 l   na   (t  )    2  n  l   Tn (t )  sin d d .  f ( , ) e l  l  0 0   t  (21) Затем, используя формулу (14), получаем решение задачи (11)-(13), 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝜋𝑛𝑎 2 ) 𝑡 𝑙 −( ∑∞ 𝑛=1 (𝐶𝑛 𝑒 + 𝑇𝑛 (𝑡)) 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛𝑥 𝑙 , (22) где коэффициенты вычисляются по формулам (10) и (21). п.2. Задача с неоднородными граничными условиями. Теперь рассмотрим красивую задачу с неоднородными граничными условиями, ut  a 2u xx  f ( x, t ), t  0, 0  x  l , u t  0  u0 ( x), u x  0  1 (t ), u x  l   2 (t ). Физический смысл неоднородных граничных условий заключается в том, что концы стержня поддерживаются при некоторых заданных температурах 𝜇1(𝑡) и 𝜇2 (𝑡) соответственно. Данную задачу можно свести к задаче (1)-(3) при помощи замены u( x, t )  v( x, t )  w( x, t ), (23) причем функция w( x, t ) определяется формулой w( x, t )  1 (t )  x (  2 (t )  1 (t )). l (24) Учитывая (24), можно составить задачу для v( x, t ) . Следовательно, такая функция w( x, t ) удовлетворяет неоднородным граничным смешанной задаче замену условиям. Далее произведем заданным в данной 𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝜇1(𝑡) + (𝜇2 (𝑡) − 𝜇1 (𝑡)): 𝑙 𝑥 𝑣𝑡 +𝜇1 ´(𝑡) + (𝜇2 ´(𝑡) − 𝜇1´(𝑡)) = 𝑎2 𝑣𝑥𝑥 + 𝑓 (𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 𝑙 𝑥 𝑣|𝑡=0 = 𝑢0 (𝑥 ) − 𝜇1(0) − (𝜇2 (0) − 𝜇1(0)), 𝑙 𝑣|𝑥=0 + 𝜇1(𝑡) = 𝜇1(𝑡), 𝑣|𝑥=𝑙 + 𝜇2 (𝑡) = 𝜇2 (𝑡), Тогда функция v( x, t ) является решением задачи 𝑣𝑡 = 𝑎2 𝑣𝑥𝑥 + 𝐹 (𝑥, 𝑡), 0 < 𝑥 < 𝑙, 𝑡 > 0, 𝑣|𝑡=0 = 𝑈0 (𝑥 ), 𝑣|𝑥=0 = 0, 𝑣|𝑥=𝑙 = 0, где 𝑥 𝐹(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝑥, 𝑡) − 𝜇1´(𝑡) − (𝜇2 ´(𝑡) − 𝜇1´(𝑡)), 𝑙 𝑥 𝑈0 (𝑥) = 𝑢0 (𝑥 ) − 𝜇1(0) − (𝜇2(0) − 𝜇1 (0)). 𝑙 Следовательно решение смешанной задачи на определение функции v(x,t) находится по формуле (22) (см. пункт 1 данной лекции), а решение данной смешанной задачи - функция 𝑥 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝑤(𝑥, 𝑡)=𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝜇1 (𝑡) + (𝜇2 (𝑡) − 𝜇1(𝑡)) = 𝜇1(𝑡) + 𝑥 𝑙 (𝜇2(𝑡) − 𝜇1(𝑡)) + ∑∞ 𝑛=1 (𝐶𝑛 𝑒 𝜋𝑛𝑎 2 ) 𝑡 −( 𝑙 𝑙 + 𝑇𝑛 (𝑡)) 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛𝑥 𝑙 , (25) где 2 𝑙 𝜋𝑛𝜉 С𝑛 = ∫ 𝑢0 (𝜉) 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝜉 , 𝑙 0 𝑙 . 2 l   na   (t  )    2  n  l   Tn (t )  sin d d .  f ( , ) e l  l  0 0   t  Пример. Решить следующую задачу, ut  a 2u xx , 0  x  l , u t  0  0, u x  0  At , u x l  0. Решение. Используя формулу (23), будем искать решение в виде  u( x, t )  v( x, t )  At 1   x , l (26) x  поскольку w( x, t )  At 1  , в силу формулы (26) и заданных граничных  l условий. Подставим функцию (25) в исходную задачу и получим x  vt  a 2vxx  A  1, l  v t  0  0, v x  0  0, v x  l  0. Затем находим по формулам (10), (21), 𝐶𝑛 = 0, 𝑙 𝜋𝑛𝑎 2 2 𝑡 𝜉 𝜋𝑛𝜉 ) (𝑡−𝜏) −( 𝑙 𝑇𝑛 (𝑡) = ∫ (∫ 𝐴 ( − 1) 𝑒 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝜉 ) 𝑑𝜏 𝑙 0 0 𝑙 𝑙 𝑙 2𝐴 𝑡 −(𝜋𝑛𝑎)2 (𝑡−𝜏) 𝜉 𝜋𝑛𝜉 𝑙 = (∫ (𝑒 ) 𝑑𝜏) (∫ ( − 1) 𝑠𝑖𝑛 𝑑𝜉 ) 𝑙 0 𝑙 0 𝑙 𝜋𝑛𝑎 2 2𝐴𝑙2 −( 𝑙 ) 𝑡 = 2 3 3 (𝑒 − 1) , 𝑛 = 1,2,3, . . .. 𝑎 𝜋 𝑛 И, наконец, подставляя полученные величины Cn и Tn в формулу (22), имеем   na  2 t   nx 2 Al 1   l  v( x, t )  2 3 e  1 .   sin l a  n 1 n3     2   Далее, учитывая (26), получаем   na  2 t   nx 1   l   x  2 Al u ( x, t )  At 1    2 3 e  1 .   sin 3 l l   a  n 1 n     2  