Метод потенциалов

Лекция 18. Метод потенциалов 18.1. Уравнения Лапласа и Пуассона в пространстве. Рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве u( x, y, z)  0, и уравнение Пуассона в пространстве u( x, y, z)   f ( x, y, z), где       2  2 – это оператор Лапласа. Всякая функция, имеющая 2 x y z непрерывные вторые частные производные и удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа, называется гармонической функцией. Возьмем две точки в трехмерном пространстве, M 0  ( x0 , y0 , z0 ) M  ( x, y, z ) , тогда непосредственными вычислениями можно показать, что функция f ( x, y, z )  1 ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2 удовлетворяет уравнению Лапласа f ( x, y, z )  0, везде, кроме точки M 0 , где функция f обращается в бесконечность. Такая функция представляет собой потенциал поля единичной массы (заряда), помещенной в точке M 0 . Условимся в дальнейшем для краткости вместо f  f ( x, y, z ) писать f  f (M ) . 18.2. Потенциал объема. 3 Пусть G – конечная область в R ,    (M ) – ограниченная и интегрируемая в G функция, тогда интеграл вида v( M 0 )   (M )  | M  M G 0 | dV (1) называется ньютоновым потенциалом или потенциалом объема, с плотностью  (M ) , где | M  M 0 | – это расстояние между точками M 0 и M , | M  M 0 |  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( z  z0 ) 2 . Если точка M 0  G , то функция v(M 0 ) является гармонической, v( M 0 )  0, (2) непрерывной, и имеет частные производные всех порядков. Эти производные могут быть получены дифференцированием под знаком интеграла. При M 0  G , дифференцированием получаем, что v( M 0 ) удовлетворяет уравнению Пуассона, v(M 0 )  4(M 0 ). (3) Далее, при стремлении | M 0 |   по любому направлению потенциал v(M 0 )  0 , так, что | v( M 0 ) |  A , R0 A  const , R  | M 0 |  x0 2  y0 2  z0 2 . (4) 18.3. Потенциалы простого и двойного слоя. 3 Пусть S – двусторонняя, гладкая поверхность в R ,    (M ) ,     (M ) – ограниченные, интегрируемые функции на S , n – внешняя нормаль к поверхности S , тогда функция  (M 0 )   (M )  | M  M S | dS , (5) называется потенциалом простого слоя с плотностью w( M 0 )   S   1  (M ) ; функция  dS ,  ( M )   n  | M  M 0 |  называется потенциалом двойного слоя с плотностью  (M ) . Эти потенциалы удовлетворяют уравнению Пуассона, которое, используя  -функцию Дирака, можно записать в следующем виде   ( M 0 )  4( M 0 ) S , w(M 0 )  4  ( ( M 0 ) S ), n при этом во всех точках M 0 пространства R 3 , не принадлежащих поверхности S , потенциалы простого и двойного слоя имеют производные любого порядка и удовлетворяют уравнению Лапласа. Потенциал простого 1 слоя  ( M 0 ) стремится к нулю при | M 0 |   , как R , а потенциал двойного слоя w( M 0 ) стремится к нулю, как 1 . R02