Метод итераций для решения уравнений с одной неизвестной.

Метод итераций для решения уравнений с одной неизвестной. На практике часто используют еще один метод, позволяющие быстрее достигнуть приемлемой точности приближённых вычислений. Пусть требуется решить уравнение, представленное в виде: F(х)=0, где F(х) функция определена и непрерывна на отрезке (а;b). Заменим уравнение F(х)=0 равносильным уравнением х=f(х) Точка пересечения графиков функций у=х и у=f(х) и есть корень уравнения F(х)=0. f(х) – непрерывная на отрезке (а;b). Суть метода итераций (последовательных приближений) состоит в следующем. Начиная с произвольной точки х0, принадлежащей данному отрезку, последовательно получаем: х1=f(х0) первое приближение, х2=f(х1) второе приближение, … хк+1= f(хк) k+1-е приближение, … Последовательность х0,х1,х2,х3….. хк+1 называется итерационной последовательностью с начальной точкой х0. Если все точки этой последовательности принадлежат отрезку (а;b), и существует предел последовательности итераций, то он является корнем уравнения F(х)=0. y у=х f ′(х)<0, двусторонний сходящийся процесс х1=f(х0) х2=f(х1) у=f(х) (рис 1) а x0 x2 x1 b x хкор y у=х f ′(х)<0, двусторонний расходящийся процесс (рис 2) х1=f(х0) х2=f(х1) у=f(х) а x0 хкор x1 b x y у=х у=f(х) f ′(х)>0, односторонний сходящийся процесс х2=f(х1) (рис3) х1=f(х0) a x0 x1 xкор b x y у=f(х) у=х х2=f(х1) х1=f(х0) f ′(х)>0, односторонний расходящийся процесс (рис 4) a xкор x0 x1 b x Мы заметили, что если f ′(х)<0 на отрезке (а;b), то процесс двусторонний, т.е. последовательность колеблющаяся, х0,х1,х2,х3….. хк+1 лежат по разные стороны от искомого корня. Но процесс при этом может быть как сходящимся, так и расходящимся. Для того, чтобы процесс был сходящимся необходимо выполнение условия q=max │ f ′(х) │ где q<=1 для любого х из отрезка (а;b); Достаточные условия сходимости последовательности итераций содержатся в следующей теореме. Теорема о достаточном условии сходимости метода итерации. Пусть уравнение х=f(х) имеет единственный корень на отрезке (а;b) и выполнены условия. 1) f(х) непрерывна и дифференцируема на отрезке (а;b); 2) для всех х из отрезка (а;b), f(х)Є(а;b); 3) существует такое вещественное q=max │ f ′(х) │ где q<=1 для любого х из отрезка (а;b); Тогда при любом выборе начального приближения х0 из отрезка (а;b) процесс итераций сходится к единственному корню хкор уравнения F(х)=0 на отрезке (а;b). Оценка погрешности k+1-го приближения к корню такова: |хк+1-хк| < Е, если процесс двусторонний (рис 1), и |хк+1-хк| < Е*(1-q)/ q, если процесс односторонний (рис 3) Заметим, что чем меньше q, тем быстрее, очевидно, сходится процесс итераций. Инструкция к выполнению л.р. методом итерации. 1. Отделяем корни любым способом. 2. Заменим уравнение F(х)=0 равносильным уравнением х=f(х). 3. Находим знак производной f ′(х) на отрезке (а;b) (если f ′(х)<0, то процесс двусторонний, если f ′(х)>0, то процесс односторонний) 4. Находим q=max │ f ′(х) │ на отрезке (а;b), необходимо, чтобы q<=1 для любого х из отрезка (а;b), если это условие не выполняется, то берем другой отрезок содержащий корень и проверяем это условие на нем, либо заменяем уравнение F(х)=0 равносильным уравнением х=g(х), выбирая другой х. 5. Применяем метод итерации для х=f(х), беря х0 любое из отрезка (а;b) 6. Делаем проверку. Записываем ответ, округляя сомнительные цифры числа в широком смысле слова, относительно данной погрешности.