Механика

Механика. Лекция 2. § 1. Система материальных точек. Теорема о движении центра масс. Закон сохранения импульса 1. Совокупность тел, которые взаимодействуют между собой и могут рассматриваться в данном движении как материальные точки, называется системой материальных точек. На каждую i-тую частицу системы из n материальных точек (СМТ) действуют силы как со стороны других частиц системы – это внутренние силы, так и со стороны тел, находящихся вне данной системы, – это внешние силы. Чтобы знать движение СМТ в целом, нужно знать движение каждой частицы в отдельности. Если – импульс i-той частицы, то движение СМТ определяется системой уравнений: 2. Теорема о движении центра масс. Математическое исследование движения СМТ можно упростить, если просуммировать уравнения движения. При этом, согласно 3-му закону Ньютона, для каждых двух частиц системы сумма сил, с которыми они взаимодействуют, равна нулю: . Но это значит, что сумма всех внутренних сил обращается в нуль. Отсюда . Преобразуем левую часть. . Сумму можно представить так: , где m= – масса всех частиц системы, а – радиус-вектор некоторой воображаемой точки С, называемой центром масс СМТ. Отсюда , где – скорость движения центра масс системы. Уравнение движения СМТ принимает вид: . Центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила равна геометрической сумме всех внешних сил, действующих на частицы системы. Это теорема о движении центра масс. Пример: центр масс осколков снаряда, разорвавшегося в воздухе, продолжает движение по той же траектории, по которой двигался бы неразорвавшийся снаряд. 3. Закон сохранения импульса. Рассмотрим движение системы материальных точек, в которой действуют только внутренние силы. Такие СМТ называются замкнутыми. Сумма внешних сил в этом случае равна нулю, а уравнение движения СМТ принимает вид: = 0,  const. Импульс замкнутой СМТ остаётся неизменным как по величине, так и по направлению. Это закон сохранения импульса замкнутых систем. Центр масс системы в этом случае движется прямолинейно и равномерно. Под действием только внутренних сил в СМТ может происходить лишь обмен импульсами между отдельными её частицами, но невозможно изменение, возникновение или уничтожение импульса СМТ в целом. § 2. Работа силы. Энергия. Закон сохранения энергии 1. Работа силы. Работой силы на перемещении называется скалярное произведение . Так как , то получаем . Это ещё одно выражение для работы через скорость и импульс. Работа на конечном отрезке прямолинейной траектории находится интегрированием по координате. , а в случае, когда сила остаётся постоянной и сонаправленной с перемещением, A=Fx Единица работы в СИ – джоуль; 1 Дж = 1 Нм. 2. Мощность. Отношение работы ко времени, в течение которого она была совершена, называется мощностью. P =. Единица мощности в СИ – ватт; 1 Вт = 1 Дж/с. Она названа так в честь Джеймса Уатта (I736 –I8I9) – шотландского изобретателя, создателя универсального парового двигателя (I784). Ввел первую единицу мощности – лошадиную силу, 1 л.с. = 735 Вт. 3. Консервативные силы. Силы, работа которых не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положением тела, называются Примером консервативной силы является сила тяжести. Вычислим работу, совершаемую силой тяжести при скатывании тела по наклонной плоскости. (AB = h, AC = L). dA==mgcosdx=mgsindx. A=sindx = mgsin,  A = mgsin (x2 – x1). Но x2 – x1 = L – длина наклонной плоскости, Lsin = h – высота начальной точки движения 1 над конечной точкой движения 2. Итак, A = mgh. В общем случае тело может двигаться по любой другой траектории, и во всех случаях работа силы тяжести A = mgh (рис.40). В этом можно убедиться, если разбить всю криволинейную траекторию на малые участки так, чтобы на каждом отрезке траектории можно было пренебречь кривизной и полагать его участком наклонной плоскости. Там, где траектория идет вниз, работа положительна, а где траектория идет вверх – отрицательна. А суммарная работа так же определится разностью высот точек 1 и 2. Итак, сила тяжести – это консервативная сила. А сила трения, например, неконсервативная. Работа силы трения зависит от формы пути движения и всегда отрицательна, так как сила трения всегда противоположна скорости. Силу трения называют ещё диссипативной силой. (От латинского dissipatio – рассеяние). Кроме силы тяжести консервативными являются все центральные силы, которые направлены вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки. Это, например, силы гравитации, кулоновские силы, силы упругости. Если тело перемещать по замкнутому пути, то работа консервативных сил равна нулю. Например, в случае движения по наклонной плоскости работа вниз A12 = mgh, а работа вверх A21 = –mgh. Суммарная работа равна нулю. Системы, в которых действуют только консервативные силы, называются консервативными. 4. Потенциальная энергия. Понятие потенциальной энергии для консервативной системы вводится так. Какое-либо произвольное состояние системы с известными координатами материальных точек принимается за нулевое. Работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из любого положения в нулевое, называется потенциальной энергией системы в данном положении. Например, полагаем состояние системы Земля – карандаш нулевым, когда карандаш лежит на полу комнаты. Если карандаш поднять на высоту h над полом, то потенциальная энергия системы Земля – карандаш составляет mgh, поскольку именно такую работу совершает сила тяжести независимо от формы траектории, перемещая карандаш с высоты h на пол комнаты. Здесь m – масса карандаша. Потенциальная энергия системы – будем обозначать её символами Eп или U – является функцией только координат её материальных точек. Иначе, потенциальная энергия – функция состояния системы. Работа, которую совершает система, переходя из одного состояния в другое, равна убыли её потенциальной энергии, dA = –dEп . Потенциальную энергию в этом случае можно рассматривать как запас несовершённой работы. 5. Кинетическая энергия. Когда тело движется по наклонной плоскости (без трения) или карандаш свободно падает, их скорости непрерывно увеличиваются, это происходит благодаря работе силы тяжести. Вычислим работу консервативной силы, изменяющей скорость движения тела от v1 до v2. По формуле где . Если скорость изменяется только по величине, то векторы v и dv сонаправлены, и . Отсюда A =. Величину = Eк называют кинетической энергией материальной точки. Итак, работа силы, изменяющей величину скорости движения материальной точки от v1 до v2, равна приращению кинетической энергии точки: A = EК2 – EК1. Кинетическая энергия СМТ равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, из которых эта система состоит. Как и масса, кинетическая энергия – всегда положительное число. 6. Сохранение энергии в консервативных системах. Если работа в системе совершается за счет потенциальной энергии системы, а в системе действуют только консервативные силы (нет сил трения), то результат работы – изменение кинетической энергии системы. A12 = EП1 – EП2 = EК2 – EК1, или EП1 + EК1 = EП2 + EК2 = const. Следовательно, в консервативной системе полная механическая энергия системы EП + EК = const остаётся постоянной. В системе могут происходить лишь превращения потенциальной энергии в кинетическую или обратно, но полный запас механической энергии системы измениться не может. В этом суть закона сохранения энергии в консервативных системах. 7. Сохранение энергии в неконсервативных системах. Если в системе действуют силы трения, то кинетическая энергия такой системы постоянно уменьшается по сравнению с консервативной, а вместе с ней уменьшается и полная механическая энергия системы. С точки зрения формальной макроскопической механики энергия системы бесследно исчезает. Закон сохранения механической энергии не выполняется. Но если рассматривать систему на общефизическом уровне с учётом её микроскопической структуры, то выясняется, что при ударе и трении кинетическая энергия видимого движения не пропадает; она лишь переходит в кинетическую энергию невидимого беспорядочного движения атомов и молекул вещества. Эта форма энергии тела называется внутренней энергией, её увеличение макроскопически проявляется в повышении температуры тела. Таким образом, с учетом немеханических форм энергии общефизический закон сохранения энергии формулируется так: Энергия не создаётся и не уничтожается, она может лишь переходить из одной формы в другую. Общефизический закон сохранения и превращения энергии охватывает все физические явления, в том числе и те, к которым модели механики не применимы. Следовательно, этот закон не может быть выведен из уравнений макроскопической механики, а должен рассматриваться как самостоятельный опытный закон природы, основывающийся на громадном количестве фактов. Примеры действия законов сохранения. Удар шаров (рассмотрим на практическом занятии). 1. Абсолютно неупругое соударение. В качестве иллюстрации использования законов сохранения импульса и энергии для решения задач рассмотрим соударение двух шаров. При абсолютно неупругом соударении тела после соударения остаются в деформированном состоянии и слипаются. (Например, два пластилиновых куска). Ограничимся случаем центрального удара шаров, когда их центры масс движутся вдоль одной прямой (рис.41). При неупругой деформации тел часть их механической энергии превращается во внутреннюю энергию, в результате закон сохранения механической энергии не выполняется. Выполняется только закон сохранения импульса. Сумма импульсов до удара равна сумме импульсов после удара. . Из уравнения сохранения импульса можно найти любую из неизвестных величин. Например, скорость соединившихся после удара шаров: . Если шары двигаются в разные стороны или друг за другом так, что соударения не происходит, то и в этом случае формула определяет скорость v движения центра масс системы из двух шаров. Если импульсы сближающихся шаров одинаковы, то их скорость после удара обращается в нуль (проекции импульсов шаров до удара одинаковы по величине, но противоположны по знаку). В этом случае вся кинетическая энергия шаров расходуется на их деформацию и превращается в тепло. Если импульсы сближающихся шаров неодинаковы, то после удара соединившиеся шары будут двигаться в ту или иную сторону со скоростью v. В этом случае не вся кинетическая энергия шаров будет "исчезать", а только часть её. Чтобы определить количество кинетической энергии, превратившейся в результате абсолютно неупругого удара в другие формы немеханической энергии (например, в тепло – при соударении макротел, в энергию излучения – при соударении элементарных частиц, и т.д.), удобно использовать систему отсчета, связанную с центром масс соударяющихся тел. В такой системе отсчета тела после соударения покоятся. Значит, вся кинетическая энергия, которой обладали в этой системе тела до соударения, превращается в немеханические формы. Поэтому задача сводится к тому, чтобы определить скорость тел до соударения в системе центра масс. Для этого достаточно из скоростей v01 и v02 вычесть скорость движения центра масс v. Обозначим скорости шаров в системе центра масс vC1 и vC2. . . Подставив эти скорости в формулу кинетической энергии, получаем: EК1 =; EК2 =. EК2 + EК1 =; . 2. Абсолютно упругое соударение. Это другой предельный случай, когда механическая энергия системы тел полностью сохраняется. После удара тела расходятся, поэтому задача усложняется тем, что определять нужно скорость движения не одного, а двух тел. Поэтому приходится использовать оба закона сохранения. Сохранение импульса: . Сохранение механической энергии: . Сгруппируем члены обоих уравнений по массам шаров m1 и m2. Второе уравнение можно развернуть по формуле разности квадратов ещё так: . Разделив это уравнение на 1-е, получаем вспомогательное выражение, с помощью которого найдем скорости v1  и v2: . Умножим уравнение на m2 и вычтем результат почленно из 1-го уравнения системы : . Умножим уравнение на m1  и сложим с 1-м уравнением системы . . Рассмотрим частные случаи. а. Сталкиваются шары равных масс, m1 = m2 = m. В этом случае v1 = v02 , v2 = v01 , шары обмениваются скоростями. б. Соударение шара со стенкой. Пусть m2  – масса стенки, полагаем m2 >> m1 . В этом случае v2 = v02  – скорость движения стенки, практически не изменяющаяся при ударе. . Итак, скорость упруго ударившегося о стенку шара изменяется по величине на удвоенную скорость стенки. Этот вывод позволяет объяснить изменение температуры газа при его сжатии или расширении. Если газ расширяется, например, поршень выходит из цилиндра, в котором находится газ, то молекулы ударяются с "убегающим" поршнем. Скорости молекул уменьшаются по величине на удвоенную скорость поршня. Средняя кинетическая энергии молекул газа падает, его температура снижается. При сжатии все происходит наоборот. Скорость молекул, сталкивающихся с приближающимся поршнем, увеличивается, температура газа растет. § 3. Момент импульса и момент силы. Законы сохранения 1. Момент импульса. Воспользуемся векторным способом описания движения материальной точки. Моментом импульса L материальной точки относительно полюса O (рис.42) называется векторное произведение радиуса-вектора r на импульс точки p: . Напомним, векторное произведение векторов a и b есть вектор , который направлен в сторону поступательного движения правого винта, если вращать его по кратчайшему пути от первого сомножителя (вектора a) ко второму (вектору b). Длина вектора c равна произведению длин перемножаемых векторов на синус угла между ними, c = absin(a^b). Очевидно, вектор момента импульса L перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы r и p (рис.43). Длина вектора L равна L = rpsin(r^p). 2.Уравнение моментов. Продифференцируем вектор момента импульса L по времени t: . По 2-му закону динамики – скорость движения материальной точки. Векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю (синус угла между ними равен нулю). Отсюда . Векторное произведение называют моментом силы F относительно полюса 0. Получаем: . Уравнение моментов Скорость изменения момента импульса материальной точки относительно некоторого центра O равна моменту действующей силы относительно того же центра. 2. Момент импульса точки в поле центральных сил. Если на материальную точку m действует центральная сила, направленная вдоль paдиуса-вектора r (рис.44), то векторы r и F направлены вдоль одной прямой, а их векторное произведение равно нулю, . Следовательно, момент центральной силы равен нулю. Если точка m движется только под действием центральных сил, то уравнение моментов принимает вид:     = const. Момент импульса материальной точки в поле центральных сил есть величина постоянная. Это значит, что вектор L имеет постоянные длину и направление, а траектория движения точки есть кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной вектору L. 3. Момент импульса СМТ. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторого центра O называется векторная сумма моментов импульсов всех точек системы относительно того же центра O. Аналогично, момент всех сил, действующих на СМТ, определяется как векторная сумма моментов отдельных сил, . Отсюда, уравнение моментов для СМТ запишется так: . Скорость изменения момента импульса СМТ равна сумме моментов внешних сил. (Сумма моментов внутренних сил СМТ всегда равна 0). 4. Сохранение момента импульса СМТ. Если на систему материальных точек не действуют внешние силы, или действуют так, что сумма их моментов равняется нулю, то уравнение моментов принимает вид: = 0. Отсюда = const. Момент импульса замкнутой (относительно моментов сил) СМТ есть величина постоянная. Это закон сохранения момента импульса. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 1. Абсолютно твердое тело. Движение твердого тела 1. Твердое тело. Понятием "твердое тело" (ТТ) в физике обозначается одно из 4-х агрегатных состояний вещества, отличающееся от других агрегатных состояний – жидкости, газов и плазмы –стабильностью формы и характером теплового движения атомов. Для механики, рассматривающей движение ТТ в пространстве, наиболее существенным свойством ТТ является стабильность его формы. Однако, у реальных твердых тел объём и форма могут изменяться в зависимости от физических воздействий. Поэтому уравнения движения твердого тела в механике получены применительно к идеализированной модели, называемой абсолютно твердым телом. Абсолютно твердое тело – это такое тело, у которого объём, форма и распределение плотностей остаются неизменными во времени независимо от действия внешних сил и скорости движения тела. 2. Поступательное движение ТТ. Любое сложное движение ТТ можно представить как сумму двух простых движений – поступательного и вращательного. Поступательным движением ТТ называют такое его движение, при котором все точки тела описывают одинаковые траектории (рис.47). При поступательном движении ТТ его ориентация в пространстве остаётся неизменной, а все точки ТТ в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Число степеней свободы поступательного движения равно 3. 3. Вращательное движение ТТ. Вращением ТТ вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором траектории всех точек тела образуют множество окружностей с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может лежать вне тела или проходить сквозь тело (рис.48). Скорость движения точек тела при вращении его вокруг неподвижной оси есть , где  – угловая скорость вращения, а r – радиус-вектор, проведенный от оси вращения к точке. 4. Мгновенная ось вращения. При любом движении тела в каждое мгновение существует единственная неподвижная точка, которая может быть как внутри тела, так и вне его. Скорости движения всех точек ТТ в это мгновение распределены так, как они распределяются при вращении тела вокруг неподвижной оси. Такая неподвижная точка называется мгновенным центром вращения. В случае плоского движения множество мгновенных центров вращения образуют мгновенную ось вращения, перпендикулярную плоскости движения. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение как в теле, так и в пространстве, мгновенная ось вращения в общем случае перемещается как в теле, так и в пространстве (рис.50). Мгновенная ось вращения при плоском движении находится как точка пересечения перпендикуляров к векторам скоростей (рис.51). Если известны векторы скоростей двух точек ТТ v1 и v2, то можно найти не только мгновенную ось вращения ТТ, но и его угловую скорость вращения. . 5. Пара сил. Две силы, равные по величине, но противоположные по направлению, приложенные к двум разным точкам твердого тела, образуют пару сил. Вычислим её вращающий момент (рис.52). Выберем на прямой, соединяющей точки 1 и 2, произвольный центр 0, от которого будем отсчитывать расстояния до точек приложения сил F1 и F2. Моменты сил относительно точки 0 есть . Результирующий момент равен их сумме, . Представим расстояние между точками 1 и 2 как вектор l, направленный из точки 2 в точку 1. Так как l = r1  r2, а , то . Вектор l называется плечом пары. Координаты точки O выпали из выражения момента пары. Следовательно, действие пары сил на ТТ не меняется, если пару сил переносить куда угодно в плоскости пары или в плоскости, ей параллельной. Момент пары сил можно считать приложенным к любой точке тела. Пара сил не имеет равнодействующей, поэтому пару сил нельзя уравновесить одной силой. Моменты пар сил суммируются как векторы. 6. Динамика поступательного движения ТТ. Любое твердое тело можно интерпретировать как систему материальных точек. Поэтому движение ТТ может быть определено системой уравнений движения этих материальных точек. . При поступательном движении скорости и ускорения всех точек одинаковы, а внешние силы суммируются в равнодействующую. Чтобы тело двигалось без поворотов, нужно, чтобы равнодействующая сил была приложена к точке центра масс тела. Таким образом, уравнение поступательного движения твердого тела сводится к уравнению движения его центра масс. . Здесь с – центр масс ТТ, RC – радиус-вектор, проведенный из начала системы координат в точку центра масс (рис.53). Итак, при поступательном движении твердое тело может моделироваться материальной точкой, расположенной в центре масс ТТ и имеющей массу, равную массе тела. § 2. Вращение ТТ вокруг неподвижной оси 1. Уравнение вращательного движения ТТ вокруг неподвижной оси. Будем рассматривать ТТ как систему материальных точек. В этом случае движение СМТ определится суммой уравнений движения всех точек тела (рис.54). . (22.1) Здесь ai – ускорение, которое испытывает каждая материальная точка тела. Все точки двигаются по окружностям, поэтому ускорение складывается из центростремительного ai и касательного , где  – угловое ускорение тела. Отсюда . (22.2) Умножим обе части равенства под знаком суммы векторно на радиус-вектор ri слева. . (22.3) Но векторы ri и ai противоположны, следовательно, Раскроем двойное векторное произведение: . Но , кроме того, – сумма моментов внешних сил. Итак, . Назовём моментом инерции твердого тела (или системы материальных точек) относительно оси вращения величину =I . Тогда 2-й закон динамики для вращательного движения ТТ вокруг неподвижной оси будет иметь вид: . Угловое ускорение, испытываемое твердым телом при вращении его вокруг оси, пропорционально моменту внешних сил относительно этой оси и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси. 2. Осевой момент инерции ТТ зависит от распределения масс в теле и является мерой инертности тела при вращательном движении. Если при решении задач динамики поступательного движения достаточно знать массу тела и действующие на него силы, то при вращательном движении вокруг фиксированной оси нужно знать ещё и геометрию масс (распределение массы в пространстве), необходимую для вычисления момента инерции, и точки приложения внешних сил, чтобы найти их моменты относительно оси вращения. Момент инерции сплошного твердого тела может быть вычислен суммированием моментов инерции его частей по формуле (22.5) или интегрированием: I =. Так как dm =(r)dV, где  – плотность, dV – элемент объема, то I =. Здесь r – расстояние до оси вращения. Пример 1. Момент инерции точки относительно оси I = m. (22 Пример 2. Момент инерции однородного стержня постоянного сечения относительно конца (т.е. относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец). Длина стержня L, линейная плотность его (т.е. масса, приходящаяся на единицу его длины,) –  = m/L = const (рис.55). Так как dm = dr есть масса элемента стержня, длиной dr, то формула принимает вид: . Пример 3. Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину (рис.56), можно найти с помощью предыдущей формулы путем несложных рассуждений: . Пример 4. Момент инерции сплошного цилиндрического диска относительно геометрической оси (рис.57). В полярных координатах dV=2rbdr. Отсюда или . Но – масса диска. Тогда . Пример 5. Момент инерции толстого кольца относительно геометрической оси (т.е. диска радиуса , из которого вынут коаксиальный диск радиуса ) (рис.58). Очевидно, из момента инерции сплошного диска нужно вычесть момент инерции отсутствующей части диска. Тогда . Запишем еще несколько формул без вывода. Пример 6. Момент инерции бесконечно тонкого диска относительно диаметра (рис.59). / Пример 7. Момент инерции сплошного однородного шара относительно диаметра (рис.60). / 3. Задача. Определить ускорение движения грузов m1 и m2, подвешенных на невесомой нити, перекинутой через цилиндрический блок массой m3 (рис.61). Система состоит из трех тел – двух грузов и массивного блока. Грузы m1 и m2 двигаются поступательно, поэтому могут моделироваться материальными точками. Блок вращается вокруг неподвижной оси. Составляем систему 3-х уравнений: Здесь I – момент инерции блока (сплошного диска) по формуле . Для решения системы уравнения нужно спроектировать на оси. Движение грузов m1 и m2 в данной задаче проектируем на вертикальную ось ОХ. Третье уравнение проектируем на ось вращения блока, на ось OZ. Поскольку движения всех трех тел согласованы между собой, то и направление оси вращения должно быть согласовано с направлением траектории движения грузов m1 и m2 по правилу правого винта. Записываем уравнения в проекции. (22.17) Доопределим систему c семью неизвестными недостающими четырьмя уравнениями – «уравнениями связи». Нить нерастяжимая, значит a1x = −a2x . Нить невесомая, значит . Кроме того, R1 = R2 = R, а произведение Iz преобразуем, подставив и . Итак: . Если обобщить понятие момента инерции, то можно сказать что это ни что иное, как мера инертности тела при вращательном способе движения, то есть аналог массы при движении поступательном. С учётом этого законы движения поступательного могут быть преобразованы в законы движения вращательного. Путь заменяется на угол поворота, линейная скорость на угловую, ускорение на угловое ускорение, и, соответственно, масса заменяется моментом инерции, импульс- моментом импульса, а сила –моментом сил. § 3. Теорема Гюйгенса-Штейнера. 1. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух параллельных осей (рис.62). Пусть O и А – оси, перпендикулярные плоскости рисунка и параллельные между собой, причем точка O – центр масс тела. Найдем момент инерции тела относительно оси А, параллельной оси, проходящей через центр масс O, и находящейся от нее на расстоянии a. В общем случае . Но . Отсюда . Последнее слагаемое равно нулю. Действительно, вынеся из-под знака постоянный вектор a, получаем: . Но , где m – масса тела, RC – радиус-вектор центра масс. Поскольку точка отсчета помещена в центр масс тела, то RC = 0, поэтому все слагаемое обращается в нуль. Итак, . Теорема Гюйгенса-Штейнера Момент инерции тела относительно произвольной оси A равен моменту инерции I0 относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс, сложенному с величиной ma2, где m – масса тела, a – расстояние между осями. Пример 1. Момент инерции сплошного цилиндра относительно образующей (рис.63). =. Пример 2. Момент инерции шара относительно касательной (рис.64). =. § 4. Момент импульса и кинетическая энергия твердого тела 1. Момент импульса ТТ можно связать с его моментом инерции I и угловой скоростью вращения тела . Сравним формулы второго закона динамики вращательного движения ТТ: При малых скоростях вращения, когда линейная скорость любой точки тела меньше скорости света, v << c, момент инерции тела не зависит от времени. Поэтому величину I можно ввести под знак производной: . Итак: . Если момент внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса и угловая скорость вращения тела не меняются, = 0, или  = const. Это закон сохранения момента импульса ТТ. Если вращается не одно тело, а система тел, момент инерции которой под действием внутренних сил может изменяться, то при изменении момента инерции системы I одновременно будет изменяться угловая скорость  так, чтобы сохранялась величина момента импульса: == const. Это закон сохранения момента импульса изолированной системы тел. 2. Кинетическая энергия ТТ может быть представлена как сумма кинетических энергий всех точек тела. . (24.6) Здесь представляет собой скалярное произведение вектора скорости vi самого на себя, то есть  = vi2. Т.к. скорость любой точки тела слагается из скорости движения полюса v0 (т.е. скорости поступательного движения центра СК, связанной с какой-либо точкой тела) и скорости вращательного движения относительно полюса: , то . (24.7) Но (рис.67). Следовательно, . Итак: . (24.8) Если полюс точку О выбрать в центре масс, то средний член обратится в нуль. (Действительно, если постоянные векторы v0 и  вынести из-под знака суммы, то сумма будет представлять собой статический момент который в этом случае обращается в нуль. Подобная ситуация была в теореме Гюйгенса-Штейнера). Выражение для кинетической энергии ТТ в этом случае упрощается. . Кинетическая энергия ТТ равна сумме кинетической энергии поступательного движения массы тела, мысленно сосредоточенного в его центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии тела, обусловленной его вращательным движением относительно центра масс. Если тело движется в поле консервативных сил, то его полная механическая энергия остается постоянной, EП + ЕК = const. Например, при движении ТТ в поле силы тяжести закон сохранения механической энергии принимает вид: mgh+= const. Здесь h – высота относительно нулевого уровня, vС − скорость движения центра масс.