Механические колебания и волны; молекулярная физика и термодинамика

Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации ________________________________________________ Воронежская государственная технологическая академия ______________ Кафедра физики МЕХАНИКА МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Учебное пособие Воронеж 1999 Составители: доценты Т.Н.Харьянова, Г.М.Щевелева Ю.В.Сыноров УДК 530.1 Механика. Механические колебания и волны. Молекулярная физика и термодинамика. Учеб. пособие / Т.Н.Харьянова, Г.М.Щевелева, Ю.В.Сыноров, Воронеж. гос. технол. акад. Воронеж, 1999. - 32 с. пособие предназначенное для студентов 2 курса заочной формы обучения всех специальностей ВГТА, содержит краткие ответы на контрольные вопросы для самостоятельной работы над курсом физики. Может быть рекомендовано не только студентам-заочникам, как основа подготовки к зачетам и экзаменам. Но и преподавателям для изложения установочного курса лекций по физике. Библиогр.: 4 назв. 20 илл. Рецензент 2 1. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Механика - учение о простейшей форме движения материи, которое состоит в перемещении тел или их частей друг относительно друга. Классическая механика - рассматривает движение макроскопических тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Это механика тел больших масс (по сравнению с массой атома), движущихся с малыми (по сравнению со скоростью света) скоростями. Механика Кинематика - рассматривает лишь само перемещение в зависимости от времени. Динамика - учитывает взаимодействия тел, ведущие к изменению их состояния движения. Элементы кинематики материальной точки. Скорость и ускорение точки Траектория - линия, которую описывает материальная точка при своем движении. Путь - расстояние между точками 1 и 2, отсчитанное вдоль траектории (обозначается S). Перемещение прямолинейный,  1 2 r направленный отрезок, проведенный из  точки 1 в точку 2 (обозначим r ). Равномерное движение - если за равS ные, сколь угодно малые промежутки времени точка проходит одинаковые пути. Рис. 1 В этом случае, V S , t где S - путь, пройденный точкой; V - скорость движения; t - время движения. y В общем случае,    r dr м  V  lim  , [V]  , dr dt с t 0 t  r x   r + dr где  V - скорость. Рис. 2 3    V dV d 2 r  a  lim   , t 0 t dt dt 2 [a]  м , 2 с  где a - ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение. Радиус кривизны траектории  d  a   V   , dt  где  - единичный  вектор (орт) касательной к траектории, направленный в ту же сторону, что и V .      a  V     V    a  an ,   a   V    - тангенциальное ускорение, направленное по касательной к где траектории; V2    an  V    n R нормальное ускорение, направленное к центру кривизны траектории.  где n - единичный вектор (орт) нормали к траектории, R - радиус кривизны траектории. a  a 2  a n2  V 2  2   V    R  2 полное ускорение в криволинейном движении. Кинематика вращательного движения А   v ds R d  n 4 Рис. 3. B ds - элемент длины дуги между точками А и В, которую тело проходит за малый промежуток времени dt.  ds V  - линейная скорость тела. dt d - элемент угла, на который повернулся радиус R, связанный с телом, за время dt.  d рад  [ ]   с 1 . - угловая скорость тела. dt с    V  [  r ] - связь линейной и угловой скорости тела.  d   dt - угловое ускорение тела. []  рад с 2  с2 . Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела Законы Ньютона Сформулированы в 1687 г. 1. Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изме нить этот состояние: a = 0. Инерциальные системы отсчета - те, в которых выполняется 1-й закон Ньютона. Инерция - свойство тел противиться попыткам изменить их состояние движения. Масса - количественная характеристика инертности. 2. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе:    dP dmV   F   mа. dt dt [F]  кг  м с 2  Н.   Если F = 0, то и a = 0, таким образом из 2-го получим 1-й закон Ньютона. 3. Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:   F12   F21,   F12  сила, с которой 2-е тело действует на 1-е; F21  сила, с которой 1-е тело действует на 2-е. 5 Закон сохранения импульса Справедлив для замкнутых систем тел - в которых для каждого тела, входящего в эту систему, все силы, действующие на него со стороны внешних по отношению к системе тел, взаимно уравновешиваются. Внутренние силы - силы взаимодействия между входящими в замкнутую систему телами.   m i v i  const , i 1  dP  или  F  0, dt   кг  м откуда P = const. [ P ] = . с Закон сохранения импульса - полный импульс замкнутой системы тел с течением времени не меняется. Работа механической силы. Работа и мощность     dA  FdS - работа, совершаемая силой F на пути dS . dA  F cosdS, где  - угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы. [A] = Hм = Дж,  < 90, cos > 0, A > 0;  > 90, cos < 0, A < 0;  = 90 cos = 0, A = 0. Работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой из сил в отдельности: n  n  n   dA    Fi  dS   Fi  dS   dA i ;  i 1  i 1 i 1   S2   t2   S1 t1 A   FdS   FVdt; 6 N dA    FV , dt [N]  Дж  Вт, с где N - мощность - это работа, совершаемая в единицу времени. Кинетическая энергия механической системы mV 2 Wk  - кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью V. 2 A 12  Wk 2  Wk1  mV22 mV12   работа результирующей всех сил, действую2 2 щих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы. [Wk] = Дж. Потенциальная энергия механической системы Wп обусловлена взаимным расположением тел, действующих друг на друга. [Wп ] = Дж.  F = - grad Wп - связь потенциальной энергии с силой, действующей на материальную точку. dA = - dWп. Wп = mgh - потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h. kx 2 Wп  2 - потенциальная энергия пружины, сжатой на величину смещения х, имеющей коэффициент упругости k. Закон сохранения и превращения энергии mV 2 W  Wk  Wп   Wп  const. 2 Полная энергия изолированной системы тел, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, неизменна. При движении тела происходит непрерывное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах. 7 Консервативные и диссипативные силы  Сила F , действующая на материальную точку или поступательно движущееся тело, называется консервативной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении из одного произвольного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло. Работа консервативных сил связана с изменениями потенциальной энергии системы dA = - dWп Работа против диссипативных сил приводит к превращению механической энергии в энергию беспорядочного теплового движения частиц тел. Динамика вращательного движения твердого тела. Момент силы относительно неподвижной точки и оси вращения   т. О - центр вращения твердого тела; ri - радиус-вектор; Fi - вращающая     сила; M i  [ ri  Fi ] - момент силы Fi относительно неподвижной точки О. Mi  Fi  ri  sin  Fi li , li  ri sin - плечо силы - расстояние до линии действия силы от центра вращения n  n    M   M i   ri  Fi i 1  i 1  векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу, называется результирующим моментом M внешних сил относительно точ  Mi Fi ки О.  i  ri li Рис. 4 8   M i ось в р.  ri  Fi  пр.ось вр.  - проекция вектора М на некоторую ось, проходящую через точку О, называется моментом силы относительно этой оси вращения. [ M]  Н  м . Момент инерции тела относительно оси вращения. Основной закон динамики вращательного движения n I   mi ri2 , i 1 где I - момент инерции тела относительно заданной оси вращения; численно равен сумме произведений масс всех его точек на квадраты их расстояний до оси вращения. [I] = кгм2. Mвнеш. = I - основной закон динамики вращательного движения или основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси вращения. Мвнеш. - полный момент внешних сил. Аналогии основного закона вращательного движения и второго закона Ньютона: Mвнеш. = I; F = ma; F - M; m - I; a - . Кинетическая энергия вращающегося тела I 2 Wk  . 2 Если тело движется поступательно и одновременно вращается, то mV 2 I 2 Wk   . 2 2 Момент импульса тела относительно точки и относительно неподвижной оси вращения   Li m i vi   ri mi        L i  ri  Pi  ri  m i vi   момент импульса точки массой mi относительно точки 0. кг  м2 [L] = . с 9 Рис. 5 L i  ri Pi  ri mi Vi  m i ri  ri  m i  ri2    I  момент импульса точки относительно оси вращения. n   L   Li  i 1 сумма моментов импульса всех точек вращающегося твердого тела называется моментом импульса тела. Мвнеш dt = dL - импульс момента внешних сил, действующих на вращающееся тело, равен изменению его момента импульса. Закон сохранения момента импульса L  I  const  закон сохранения момента импульса: если результирующий момент всех внешних сил, приложенных к системе, относительно какой-либо неподвижной оси равен нулю, то момент импульса системы относительно той же оси не изменяется с течением времени. dL  M внеш  0; L  const. dt Элементы специальной теории относительности. Классическое преобразование координат Галилея y y' S M S'  r  r  r0 0' x' z' x z Рис. 6 10 xyz - координаты инерциальной неподвижной системы отсчета; xyz - неподвижная система, движущаяся относительно не подвижной со скоростью u = const.      r  r   ro  r  ut . Переход от одной системы к другой дается преобразованием координат Галилея:- от S к S от S к S х  х   u x t  y  y   u t   y   z  z  u z t   t  t  x   x  u x t y   y  u t  y   z  z  u z t  t   t Закон сложения скоростей в классической механике:    V  V   u,   где V - абсолютная скорость точки М в неподвижной системе отсчета; V  - от носительная скорость точки М в подвижной системе; u - переносная скорость движения системы Sотносительно системы S.   a  a ,   где a - абсолютное ускорение точки в неподвижной системе; a  - относительное ускорение точки в подвижной системе. Механический принцип относительности 1. Силы, действующие на материальную точку  со стороны других тел, одинаковы во всех инерциальных системах отсчета F  F; уравнения Ньютона одинаковы   F F во всех инерциальных системах отсчета     m. a a 2. Механические явления протекают одинаково в различных инерциальных системах отсчета. 3. Равномерное прямолинейное движение системы как целого не влияет на ход происходящих в ней механических процессах. Постулаты специальной теории относительности А.Эйнштейна 1. Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах координат. Нет ни одного физического опыта, который мог бы установить особенные свойства одной из инерциальных систем. Все инерциальные системы равноправны. 2. Скорость света в вакууме постоянна для всех инерциальных систем и является наибольшей из известных скоростей. 11 Преобразования Лоренца Это формулы, позволяющие переходить от одной системы координат к другой в теории относительности при движении тела со скоростью u < c, где с - скорость света в вакууме. От S к S от S к S   x  ut  x  ; 2  1   y   y; z   z; ux  t  c2  t   1  2     x   ut  x  ; 2  1   y  y ; z  z ; ux   t   c2 . t   1  2  u ; где с - скорость света. c Следствия из преобразований Лоренца 1. Длина тел в разных системах. l  x 2  x1 - длина тела в неподвижной системе, x 2 , x1 - координаты концов тела в ней в момент времени t, l   x   x  - длина тела в движущейся системе, 2 1 x 2  , x1 - координаты концов тела в ней в один и тот же момент времени t. l   l 1  2 ; l  l . Тело в движущейся системе короче, чем в покоящейся, l - длина покоя, максимальная длина, она имеет абсолютный смысл. 2. Длительность события а разных системах.   t 2  t1 - длительность события в системе S; t2, t1 - моменты времени начала и конца события;     1   2 ;    . Длительность события, происходящего в некоторой точке А, меньше по отношению к той системе координат, относительно которой точка покоится. 3. Теорема сложения скоростей в теории относительности. Рассматриваем движение в направлении осей х и х: 12 Vx   u V  Vx  ;  V u 1 x 2 c V   Vx  Vx  u ; Vx 1 2 u c Vy  0; Vz  0. Vy  0; Vz  0. Взаимосвязь массы и энергии mo m  u 1    c 2 ,- масса движущегося тела. где mo - масса покоя; u- скорость движения тела (частицы). 2 W  mc ; W  mo c 2  u 1    c 2  полная энергия частицы, где Wo  mo c 2 - энергия покоя частицы. dm  dW c 2 ; dW  c 2 dm - закон взаимосвязи и пропорциональности массы и энергии: всякое изменение энергии тела dW сопровождается изменением массы тела dm и наоборот.    d  mo u   F dt  1   2  - основной закон релятивистской динамики материальной точки (частицы). 13 p  mo u 1  2   mu - релятивистский импульс.  Wk  mc  mo c  mo c  1  1  2    2 2  2 1 - кинетическая энергия тела в релятивистской теории. II. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Механические колебания Гармонические колебания - в них колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса: x  A sint   o , x  A cost   o , где х - смещение из положения равновесия; А - амплитуда, т. е. максимальное смещение из положения равновесия; t   o - фаза колебания; о - начальная фа2 1 за колебания при t = 0;  - циклическая или круговая частота; T   - пе  риод незатухающих колебаний - наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебание;  - частота колебаний; [] = c-1 = Гц (герц). dx  A cost   o   Vo cost   o   скорость колеблющейся системы; dt Vo  A  амплитуда скорости; V a d2x dt 2  dV  A 2 sin t   o   ao sin t   o    2 x dt - ускорение колеблющейся системы; ао = А2 - амплитуда ускорения. F  ma  m 2 A sint   o   m 2 x  возвращающая сила; F - квазиупругая сила; k = m2 - коэффициент квазиупругой силы; F = - kx. d2x m  kx  0  дифференциальное уравнение свободных гармонических коле2 dt баний. 14 x  A sint  решение этого дифференциального уравнения. Энергия гармонических колебаний mV 2 1 Wk   m 2 A 2 cos 2 t   o   кинетическая энергия. 2 2 1  kA 2 ; 2 Wk max гия. kx 2 1 Wп   kA 2 sin 2 t   o - потенциальная энер2 2 1 kA 2 ; Wполн  Wk  Wп 2 1 1  m 2 A 2  kA 2  полная энергия гармонических колебаний. 2 2 Wп max  Wполн Затухающие колебания Затухающие колебания - энергия которых постепенно расходуется на работу против сил трения, и амплитуда поэтому постепенно уменьшается. m d2x баний. dt 2 r dx  kx  0  дифференциальное уравнение затухающих колеdt r - коэффициент сопротивления;   d2x dt 2 r - коэффициент затухания. Тогда 2m  2 dx   2o x  0. dt При малых затуханиях, т.е. при  << o2, его решение: x  A oe t sin t   o   A sin t   o , A t  амплитуда где A  A o e затухающих колебаний; A0    2o   2  собственная циклическая частота затуха0 t 15 ющих колебаний;  o  Рис. 7 k m собственная циклическая частота незатухающих колебаний.   ln An  T - логарифмический декремент затухания. A n 1 1   - где  - промежуток времени, за который амплитуда убывает в е раз;   - время релаксации. Вынужденные колебания. Резонанс Вынужденные колебания - это колебания, совершающиеся под действием внешней периодической силы F. F = Focost - вынуждающая или возмущающая сила. m d2x dt 2 r dx  kx  F  дифференциальное уравнение вынужденных колебаdt ний. x  A sin(t   o )  решения дифференциального уравнения вынужденных гармонических колебаний. A A  Fo m  2o    2 2  амплитуда вынужденных колебаний.  =0 1  2  3  4 2  2 1 2 3 A0 рез  Рис. 8  рез   2o  2 2 ; 16 Ao  Fo m 2o  Fo . k Резонанс - явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к резонансной частоте (или к частоте собственных колебаний o). ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ Механизм образования механических волн в упругой среде. Продольные и поперечные волны Волна - процесс распространения колебаний в пространстве. Продольная волна - частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны. x Поперечная волна - частицы среды колеблются в направлении, перпендикулярном направлению распространения волны. Плоская волна - волновые поверхности представляют со0 бой множество параллельных t друг другу плоскостей. Сферическая волна - волновые поверхности представляют собой множество концентрических сфер. Длина волны  - расстояРис. 9 ние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, или расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2.   VT  V ,  dx  фазовая скорость - скорость распространения данной фазы колеdt 2 2     волновое число. баний. k   VT V V y v Уравнение бегущей волны y  A sin 2  x  t    A sint  kx, T  V x 2 y x 2  1 2 y V 2 t 2  дифференци- 17 альное волновое уравнение, решением которого является уравРис. 10 нение бегущей волны. III. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Физические основы молекулярно-кинетической теории Молекулярная физика - раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Уравнение состояния идеального газа Идеальный газ - газ, между молекулами которого отсутствуют силы взаимного притяжения. При соударении его молекулы ведут себя как абсолютно упругие шарики исчезающе малых размеров. pV  c  const  уравнение состояния идеального газа, называется уравT нением Клапейрона: для данной массы идеального газа отношение произведения давления р и объема V к термодинамической температуре Т есть величина постоянная. Для произвольной массы m газа и молярной массой (М) можно записать более общее уравнение состояния идеального газа - уравнение КлапейронаМенделеева: pV  m RT, M где R =8,31 Дж/(мольК) - универсальная газовая постоянная ; R  kN A , где k - 1,3810-23 Дж/К - постоянная Больцмана; NA = 6,021023 моль-1 - постоянная Авогадро. P = knoT - зависимость давления идеального газа от его температуры, где no - число молекул в единице объема (концентрация). Уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа Оно позволяет вычислить давление, возникающее в результате ударов молекул о стенки сосуда. 18 Представим сосуд в виде куба с ребром длины l, в нем беспорядочно движутся n молекул идеального газа. Движение молекул представим как движение в трех взаимно перпендикулярных направлениях. Импульс молекулы, сталкивающейся со стенкой, 2mV = ft, где f - сила, действующая на l Рис. 11 молекулу со стороны стенки; t - продолжительность удара. ft = fср t, где fср - средняя сила, действующая на стенку со стороны молекулы за время  t между двумя последовательными ударами молекулы. t  2 l , V где V - скорость молекулы. f ср  2 mV mV 2 .  t l Учтем, что разные молекулы движутся с различными скоростями V1, V 2, ..., V n, найдем суммарную силу ударов о переднюю стенку mV12 mV22 mVn2 f ср    ; l l l 1 n  n ; 3 где n - число молекул, движущихся между передней и задней стенками, тогда m f ср  n l V 2 2 2 1  V2  Vn n . 19 V12  V22  V32  Vn2  Vс2р  среднее значение квадратов скоростей. n n m 2 1 n f ср  Vс р  mVс2р . l 3l f ср   l 2  p  давление молекулы на стенку. p где n   l 3 f ср l  2  1 n 1 mVс2р  n o mVс2р , 3  l 3 3  n o  число молекул в единице объема (концентрация). Под Vср понимают среднюю квадратичную скорость поступательного движения молекул газа Vкв Vкв  1 n 2 V , n i 1 i где Vi - скорость произвольной молекулы. 1 2 2 Таким образом, p  n o mVкв  n o Wk  основное уравнение молекулярно3 3 кинетической теории идеальных газов для давления. Объединив уравнения p  n o kT и p  Wк 2 3 n o Wk , получим Wk  kT  3 2 средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы идеального газа. В области температур, далеких от 0 К, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа. T T Рис. 12 20 Закон распределения Максвелла молекул идеального газа по скоростям теплового движения Функция распределения молекул газа по скоростям имеет вид: dn 4 V 2  n  dn n 3 Она показывает, какая доля T1 T2 Vв 1 V Vв 2 Рис. 13 его абсолютная величина уменьшается. dn n общего числа молекул данного газа обладает скоростью в интервале от V до V + d V. Максимуму на графике соответствует Vв - наиболее веро2 kT ятная скорость; Vв  . Если m T2 > T1, то с увеличением температуры максимум кривой смещается в сторону больших скоростей, а Кроме Vв, важны еще две скоро3kT  средняя квадсти: Vкв  m 8kT  средняя ратичная; Vа р  m арифметическая. dn n 2  m  2  mV 2 kT dV .   e  2 kT  V Vв Vа Vкв Рис. 14 59 % всех молекул имеют скорость, близкую к Vв. Функцию распределения Максвелла можно представить как функцию распределения моле- mV 2 кул идеального газа по кинетическим энергиям, т. к. Wk  : 2 dn Wk n W 2  3  k kT  Wk dWk . kT 2 e  21 Барометрическая формула. Закон Больцмана для распределения частиц во внешнем потенциальном поле При рассмотрении распределения Максвелла считалось, что на молекулы идеального газа не действуют никакие внешние силы. Фактически молекулы любого газа всегда находятся в поле тяготения Земли. р - атмосферное давление на высоте h, с высотой давление падает, следовательно, при подъеме на высоту dh > 0 давление будет p + dp, где dp < 0. Выделим единичный цилиндр высотой dh (площадь основания равна единице). p - (р + dp) - вес газа, заключенного в объеме цилиндра: p   p  dp  gdh, то dp   dp  gdh; т. к.   Mpg dh, RT dp Mg  dh p RT ln p   Mg h  c1 или RT Mp , RT ln p   Mgh  ln c. RT Если h = 0, то c = po - давление на высоте h = 0. p  poe  Mgh RT  poe  mgh kT  барометрическая формула. Учитывая, что p = nkT, po = nokT, получим: n  noe  mgh kT  no W  n kT e - распределение Больцмана частиц по высотам или по потенциальным энергиям во внешнем потенциальном поле. При высоких температурах n слабо убывает с высотой, молеn кулы распределяются по высоте T1 почти равномерно. Распределение молекул по высоте устанавливается в результате действия T2  T1 двух тенденций: 1) притяжение молекул к Земле, которое характеризуется силой mg, стремится T2 h Рис. 15 расположить их на поверхности Земли; 22 h 2) тепловое движение (характеризуется величиной kT) стремится разбросать молекулы равномерно по всем высотам. Физические основы термодинамики Термодинамика - раздел физики, изучающий различные свойства тел и изменение состояния вещества с макроскопической, энергетической точки зрения. Первое начало термодинамики Q  A  dU  первое начало термодинамики: теплота Q, сообщаемая системе, расходуется на увеличение ее внутренней энергии и на совершение системой работы A против внешних сил. m i А = pdV - работа газа при изменении его объема; U   RT - внутренM2 няя энергия любой массы идеального газа, где i- число степеней свободы молекул идеального газа. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам в газах Изопроцессы - процессы в газах, при которых один из трех параметров состояния (давление p, объем V или температура Т) сохраняется постоянным. 1. Изохорный процесс. V = const. P 2 1 3 V Рис. 16 1 - 2 - изохорное нагревание; 1 - 3 - изохорное охлаждение. A  pdV; dV  0; A  0; А  0 Q  dU  первое начало термодинамики для изохорного процесса. m Q  dU  C V dT, где СV - моM лярная теплоемкость при постоянном объеме; i C V  kT 2 В общем случае 23 Q  mcdT - количество теплоты, сообщенное системе, где с - удельная теплоемкость системы (газа), т. е. количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К. С = Мс - молярная теплоемкость системы, т. е. количество теплоты, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 К.  Q - неполный дифференциал количества теплоты;  A - неполный дифференциал величины работы, совершаемой системой против внешних сил. 2. Изобарный процесс. Р = const. 1 - 2 - изобарное расширение газа; 1 - 3 - изобарное сжатие. P 3 1 m C p dT; M A  pdV; Q  2 V Рис. 17 m C p  C v dT  pdV; M   dU  m C V dT; M m m C p dT  C V dT  pdV  перM M вое начало термодинамики для изобарного процесса. pdV  m RdT. M C p  C V  R  уравнение Майера, где Ср - молярная теплоемкость при постоянном давлении. 3. Изотермический процесс. T = const. P 3 1 2 V Рис. 18 24 1 - 2 - изотермическое расширение газа; 1 - 3 - изотермическое сжатие газа. Кривая на графике называется изотермой. m dU  C V dT  0; dT  0; M  Q   A  первое начало термодинамики для изотермического процесса. V2 V2 V p m dV m m RT  RT ln 2  RT ln 1 . V M V1 M p2 V1 M Q  A   pdV   V1 Адиабатный процесс Адиабатным изменением состояния системы называется такое изменение, которое протекает без обмена теплом между системой и окружающими телами. Q  0, dU  A  0  первое начало термодинамики для адиабатного процесса. Из уравнения первого начала термодинамики для адиабатного процесса, Клапейрона-Менделеева, Майера путем ряда математических преобразований можно получить: Cp pV CV  const. Обозначим Cp CV   - показатель адиабаты или коэффици- ент Пуассона. pV   const  уравнение Пуассона или уравнение адиабаты. Из этой формулы с помощью уравнения Клапейрона-Менделеева можно получить другие формы уравнения Пуассона:  TV  1  const. pT  1  const; ___ адиабата ----- изотерма 1 - 2 - адиабатическое расширение газа; 1 - 3 - адиабатическое сжатие газа. P 3 1 2 V Рис. 19 Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы Числом степеней свободы i тела называется наименьшее число независимых координат, которые необходимо задать для того, чтобы полностью определить положение тела в пространстве. 25 Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится одинаковая кинетическая 1 энергия, равная kT. 2 i Wk ср  kT. 2 Внутренняя энергия идеального газа представляет собой кинетическую энергию его молекул, поэтому для одного моля можно представить: U m  Wk с р N A  1 i kTN A  RT. 2 2 Второе начало термодинамики Круговым процессом или циклом называется такая совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние. Тело, совершающее круговой процесс и обменивающееся энергией с другими телами, называется рабочим телом. Цикл Карно Цикл Карно состоит из четырех обратимых процессов: двух изотермических (1 - 1, 2 - 2,) и двух адиабатных (1 - 2, 2 - 1). Газ в процессе 1 - 1 находится в тепловом контакте и равновесии с телом, имеющим температуру Т1. P Это тело называется нагрева1 телем. Он передает газу теплоту Q1 > 0. Q1  0 1' На участке 2 - 2 газ приводится в тепловой контакт с другим телом, имею2' щим температуру Т2 (Т2 < 2 T1). Это тело называется хоQ2  0 лодильником. Q2 < 0 - теплота, отдаваемая газом холо0 V дильнику. Рис. 20 В прямом цикле Карно совершается работа А: A = Q = Q1 - Q2, 26 A < Q1. Коэффициент полезного действия цикла  равен отношению работы А, совершенной рабочим телом в прямом обратимом цикле, к количеству теплоты Q1 = = Qподводимое , сообщенному в этом процессе рабочему телу нагревателем;  T  T2  1 . Q подвод T1 A Энтропия Энтропия - это функция состояния системы. Q - элементарное количество теплоты, сообщаемое нагревателем системе при малом изменении ее состояния, а Т - температура нагревателя. Если процесс обратимый, то температура системы тоже Т. Q Отношение называется элементарным приведенным количеством тепT Q лоты.   приведенное количество теплоты по всему циклу: T Q 2 Q  1( b)  сумма привеT T денных количеств теплоты при об1 a ратимом переходе системы из одного состояния в другое не зависит от процесса, а для данной массы в 2 газа определяется только начальным и конечным состоянием системы. V Физическую характеристику, Рис. 21 не зависящую от процесса или перемещения, выражают как разность двух значений некоторой функции, соответствующих конечному и начальному состояниям процесса и называют функцией состояния. P 2 1(a ) dS  2 T 2 Q обр  dS  S 2  S1   1 Q об р 1 Т ; S - энтропия. 27 Для необратимого процесса dS  Q необ р Т . Q , то есть в термодинамически изолированной сиT стеме не могут протекать такие процессы, которые приводят к уменьшению энтропии системы. Это соотношение выражает 2-е начало термодинамики. T V m m S 2  S1  S  C V ln 2  R ln 2  энтропия идеального газа при M T1 M V1 переходе из состояния 1 (V1; T1) в состояние 2 (V2 ;Т2). В общем случае dS  Второе начало термодинамики Существует несколько эквивалентных друг другу формулировок 2-го начала термодинамики, например: 1. Клаузиус (1850). Невозможен процесс, единственным результатом которого является передача теплоты от холодного тела к горячему. 2. Томсон (1851). Невозможен процесс, единственным результатом которого является получение работы за счет охлаждения одного источника тепла. 3. С молекулярно-кинетической точки зрения энтропию можно охарактеризовать как меру неупорядоченности частиц системы. Неупорядоченность количественно равна термодинамической вероятности W. S  k ln W  статистическое истолкование 2-го начала термодинамики БольцДж мана; [S]= . K Cреднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул Совершая беспорядочное движение, молекулы газа сталкиваются друг с другом. Расстояния, проходимые ими от одного столкновения до другого, различны. Из-за большого числа этих столкновений в течение 1 с и хаотичности самого движения можно пользоваться средними значениями: z - среднее число столкновений и  - средняя длина свободного пробега (путь, проходимый молекулой от одного соударения до другого). z  4 2r 2 n o Va , где r - радиус молекулы, no - концентрация, Va - средняя арифметическая скорость движения молекул. 28  Va z  1 4 2r 2 n o [ z]  c 1 ,    м Явления переноса Явления переноса возникают в газах в результате нарушения полной хаотичности движения молекул. Эти нарушения могут быть вызваны пространственной неоднородностью плотности, температуры или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа. Движение молекул выравнивает эти неоднородности, и в газе возникают особые процессы, называемые явлениями переноса: d 1 d dm   Va dSdt  уравнение диффузии, где  градиент плотности dx 3 dx вещества вдоль оси х, dS - элементарная площадка, через которую за время dt переносится масса вещества, dm; 1 dU F   Va dS  уравнение для силы внутреннего трения (вязкости), 3 dz dU где F - сила внутреннего трения,  градиент скорости движения слоев вещеdz 1 dT dS  dt  уравнение теплопроводности, где ства вдоль оси Z; Q  C V  Va 3 dx dT Q - количество теплоты, переносимое через площадку dS за время dt,  граdx диент температуры в направлении оси x,  - плотность вещества, СV - удельная теплоемкость вещества при постоянном объеме. Реальные газы 2  m a  m  m P  V  b   RT  уравнение состояния реального газа  2 2  M  M M V   (уравнение Ван-дер-Ваальса), где а - поправка, связанная со взаимодействием молекул реального газа, b - поправка, связанная с размерами молекул реального газа. U  CVT  a  внутренняя энергия реального газа. V 29 Библиографический список Физика: Методические указания и контрольные задания: Для студентов заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений. М.: Высш. шк., 1987. - 209 с. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, 1987. - Т. 1. Механика. Молекулярная физика. - 293 с. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш. шк., 1989. - 608 с. Харьянова Т.Н. и др. Контрольные вопросы для самостоятельной работы над курсом физики. Для студентов заочной формы обучения всех специальностей / Харьянова Т.Н., Щевелева Г.М., Буданов А.В., Линник В.Д.; Воронеж. Гос. технол. акад. - Воронеж, 1997. - 19 с. 30