Матричные игры. Основные понятия. Задачи ЛП

Матричные игры. Основные понятия Задачи ЛП – это задачи принятия решений, когда выбор решения осуществляется одним лицом. Рассмотрим задачи принятия решений с несколькими участниками. В задачах такого типа оптимальное значение целевой функции для каждого из участников зависит от решений, принимаемых всеми остальными участниками. Математическая дисциплина, исследующая ситуации, в которых принятие решений зависит от нескольких участников, называется «теория игр», потому что вполне аналогичные с математической точки зрения положения возникают в общественных «салонных» играх (например, покер, бридж, шахматы и т.д.). Область приложения теории игр выходит далеко за рамки таких игр и включает, например, математику, экономику, политику, военную стратегию. Однако в терминологии теории игр много заимствований из терминологии общественных игр. Конфликтная ситуация – ситуация, в которой две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от действий партнера. Игра – математическая модель конфликтной ситуации. Игроки – лица, принимающие решения. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Таким образом, игра представляет собой совокупность известных всем игрокам правил, которые определяют, что может делать игрок и каковы последствия, и выигрыши и результате каждого отдельного их хода. Ход – это момент игры, когда игроки должны произвести выбор одного из возможных вариантов. Стратегия игрока – совокупность правил, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Цель теории игр – определение оптимальной стратегии для каждого игрока. Классификация игр 1) В зависимости от числа игроков различают игры с двумя, тремя и более игроками. 2) По количеству стратегий различают конечные и бесконечные игры. Конечные игры – игры, в которых каждый из игроков располагает конечным числом возможных стратегий. 3) По свойствам целевой (платежной) функции различают игры с нулевой суммой и игры с постоянной разностью. Игра с нулевой суммой – парная игра, в которой выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, то есть общая сумма выигрышей игроков равна нулю. Такие игры также называются антагонистическими играми. 4) В зависимости от характера предварительной договоренности между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до начала игры игроки образуют коалиции и принимают взаимообязывающие соглашения о своих стратегиях Конечные игры Пусть игрок А имеет m, а игрок В имеет n стратегий. Игра называется игрой m  n. Обозначим стратегии игрока А – А1, А2,…, Аm, стратегии (противника) игрока В - В1, В2,…, Вn. Пусть каждая сторона выбрала определенную стратегию: Аi, Вj. Выбор этих стратегий однозначно определяет исход игры – обозначим его через aij. Пусть нам известны значения aij выигрыша при каждой паре стратегий. Их можно записать в виде прямоугольной таблицы (матрицы), строки которой соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы – стратегиям игрока В. Такая таблица называется платежной матрицей или просто матрицей игры. Платежная матрица – таблица, в которой заданы стратегии игроков и платежи. Задача 1. Два игрока А и В, не глядя друг на друга, кладут на стол по монете вверх гербом или цифрой, по своему усмотрению. Если игроки выбрали одинаковые стороны, то игрок А забирает обе монеты, иначе их забирает игрок В. Проанализировать игру и составить ее матрицу. Решение. Игра состоит из 2 ходов. Оба хода личные. Игра не принадлежит к играм с полной информацией, т.к. в момент хода выполняющий его игрок не знает, что сделал другой. У игрока А 2 стратегии: А1 - выбрать герб, А2 – выбрать цифру. У игрока В те же стратегии. Таким образом, данная игра 22. Будем считать выигрыш за +1, проигрыш за -1. Матрица игры имеет вид В1 В2 А1 +1 -1 А2 -1 +1 Предположим сначала, что данная игра выполняется один раз. Тогда, очевидно, бессмысленно говорить о каких – либо стратегиях игроков. Однако при повторении игры положение меняется. Действительно, допустим, что игрок А (мы) выбрали себе какую-то стратегию и придерживаемся ее. Тогда, по результатам уже первых нескольких ходов противник догадается о нашей стратегии и будет на неё отвечать наименее выгодным для нас образом. Если мы будем чередовать гербы и цифры в определенной последовательности, то противник тоже может догадаться об этом и ответит на эту стратегию наихудшим для нас образом. Очевидно, надежным способом, гарантирующим, что противник не будет знать нашей стратегии, будет такая организация выбора при каждом ходе, когда мы его сами наперед не знаем. Таким образом, путем интуитивных рассуждений мы подошли к одному из существенных понятий теории игр – к понятию «смешанной стратегии», т.е. когда «чистые стратегии» чередуются случайно с определенными частотами. Задача 2. Игроки А и В одновременно и независимо друг от друга записывают каждый одно из трех чисел: 1,2 или 3. Если сумма написанных чисел четная, то В платит игроку А эту сумму. Если она нечетная, то А платит В эту сумму. Требуется проанализировать игру и составить ее матрицу. Решение. Игра состоит из двух ходов. Оба хода личные. У игрока А три стратегии: А1 – написать 1, А2 – написать 2, А3 – написать 3. У игрока В – те же стратегии. Данная игра – игра 33. Платежная матрица В1 В2 В3 А1 +2 -3 +4 А2 -3 +4 -5 А3 +4 -5 +6 Как и в предыдущем случае, на любую выбранную нами стратегию противник может отвечать наихудшем для нас образом. Нижняя и верхняя цена игры Рассмотрим игру m n, заданную следующей матрицей В1 В2 … Вn A1 11 12 1n A2 21 22 2n … Am m1 m2 mn Поставим задачу: определить свою оптимальную стратегию. Если игрок А выберет стратегию Аi, мы должны рассчитывать на то, что противник ответит на нее стратегией Вj, для которой наш выигрыш ij минимален. Определим это значение выигрыша – это минимальное из чисел ij в i- той строке. Обозначим его через I I = min ij . Действуя наиболее разумно и осторожно и рассчитывая на наиболее разумного противника игрок А должен остановиться на той стратегии, для которой число I является максимальным = max I или = max min ij , где ij - элементы строки. Величина  называется нижней ценой игры или максимином.. Очевидно, если мы будем придерживаться максиминной стратегии, то при любом поведении противника будем иметь гарантированный выигрыш, во всяком случае не меньше, чем . Нижняя цена игры (максимин) – гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Аналогичное рассуждение можно провести и относительно игрока В. Верхняя цена игры (минимакс) – это гарантированный проигрыш игрока В. = min max ij , где ij - элементы столбца. Принцип минимакса – основной принцип теории игр, диктующий игрокам выбор наиболее «осторожных» стратегий. Платеж, который одновременно является наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке называется седловой точкой. Пара чистых стратегий, которым соответствует седловая точка, дает оптимальное решение игры. Среди конечных игр, имеющих практическое значение, редко встречаются игры с седловой точкой. Для решения таких задач применяют такие комбинированные стратегии, которые состоят в применении нескольких чистых стратегий, чередующихся по случайному закону с определенным соотношением частот. Такие стратегии в теории игр называются смешанными стратегиями. Цена игры – средний выигрыш игрока А (проигрыш игрока В) при многократном повторении игры. Применяя не только чистые, но и смешанные стратегии, можно для каждой конечной игры получить решение, т.е. пару таких стратегий, что при применении их обоими игроками выигрыш будет равен цене игры. Высказанное утверждение составляет содержание так называемой основной теоремы теории игр. Эта теорема была впервые доказана фон Нейманом в 1928 году. Теорема. Каждая конечная игра имеет, по крайней мере, одно решение. Цена игры всегда лежит между нижней и верхней ценой игры. Методы решения простейших игровых задач Если игра mn не имеет Седловой точки, то нахождение решения довольно трудная задача. Иногда эту задачу удается упростить, если предварительно уменьшить число стратегий путем вычеркивания: а) дублирующих стратегий; б) заведомо невыгодных стратегий. Процедура упрощения должна всегда предшествовать решению задачи. При решении любой задачи могут встретиться 2 случая: 1) игра имеет седловую точку. В этом случае решение очевидно: это пара стратегий, пересекающихся в седловой точке; 2) игра не имеет Седловой точки. Тогда решение задачи может быть найдено с помощью методов ЛП, а в случае игры 22 цена игры вычисляется по формуле: = а11р1+а21р2; р1= ; р2=1 – р1 , где р1 и р2 – частоты применения стратегий А1 и А2. Задача 3. Игра состоит в следующем. Имеется 2 карты: туз и двойка. Игрок А наугад вынимает одну из них, игрок В не видит, какую карту он вынул. Если А вынул туза, он заявляет: «у меня туз» и требует у игрока В 1 рубль. Если игрок А вынул двойку, он может либо (А1) сказать «у меня туз» и потребовать у противника 1 руб., либо (А2) признать, что у него двойка и уплатить 1 руб. Противник, если ему добровольно платят 1руб., может только принять его. Если же у него требуют 1 руб., то он может либо (В1) поверить игроку А и отдать 1руб., либо (В2) потребовать проверки. Если в результате проверки окажется, что у А – туз, игрок В должен уплатить 2руб., если А обманывает, игрок А уплачивает игроку В 2 руб. Проанализируйте игру и найдите оптимальную стратегию. Решение. Игра имеет сложную структуру: она состоит из 1 обязательного случайного хода – выбора игроком А одной из карт и 2 личных ходов. У игрока А только 2 стратегии: А1 – обманывать, А2 – не обманывать. У игрока В тоже 2 стратегии: В1 – верить, В2 – не верить. Построим матрицу игры. Для этого вычислим средний выигрыш при каждой комбинации стратегий. 1) А1В1: если игрок А получил туза (вероятность ½), то ему не предоставляется личного хода, он требует 1 р. и игрок В ему платит. Выигрыш игрока А – 1 р.; если игрок А получил «2» (вероятность ½), то игрок ему верит и платит 1 р. Средний выигрыш (математическое ожидание) – 11/2 + 1 1/2 = 1. 2) А!В2: если игрок А получил туза, он требует 1р., игрок В не верит, проверяет и платит 2 р.; если игрок А получил «2», игрок В не верит, проверяет и игрок А отдает 2р. Средний выигрыш равен 21/2 + (-2) 1/2 = 0. 3) А2В1: если игрок А вынул туза и требует 1р., то игрок В верит и отдает 1р.; если игрок А вынул «2», он не обманывает и отдает 1р. игроку В. Средний выигрыш равен 11/2 + (-1) 1/2 = 0. 4) А2В2: если игрок А вынул туза, он требует 1р., игрок В ему не верит, проверяет и платит 2р.; если игрок А вынул «2», то он не обманывает и выплачивает игроку В 1р. Средний выигрыш 21/2 + (-1) 1/2 = 1/2. Матрица игры (платежная матрица) имеет вид: В1 В2 А1 1 А2 1/2 Нижняя цена игры = mах (0, 0) = 0; верхняя цена игры  = min (1, ½ ) = ½. Частоты применения стратегий р1= р2 = 1- 1/3 = 2/3. Цена игры  = 1 1/3 + 0  2/3 = 1/3. То есть игрок А должен в 1/3 всех случаях пользоваться своей первой стратегией (обманывать), в 2/3 случаев – второй стратегией (не обманывать). Задача 4. Задача Мора. Игроки одновременно показывают 1 или 2 пальца, и в тот же момент каждый из них называет число. Если число, названное одни из игроков, совпадает с общим числом пальцев, то игрок получает от своего противника выигрыш, равный этому числу. Если оба игрока угадывают верно, то чистый платеж каждого равен 0. Решение. Каждый игрок имеет 4 стратегии: 1. Показать 1 палец и сказать, что в сумме их будет 2; 2. Показать 1 палец и сказать, что в сумме будет 3; 3. Показать 2 пальца и сказать, что в сумме будет 3; 4. Показать 2 пальца и сказать, что в сумме будет 4. Обозначим через sij и tij – стратегии «показать i пальцев и назвать число j» соответственно для первого и второго игроков. Получим следующую матрицу: t12 t13 t23 t24 s12 +2 -3 s13 -2 +3 s23 +3 -4 s24 -3 +4 Приведение матричной игры к задаче линейного программирования Игра mn в общем случае не имеет наглядной геометрической интерпретации. Ее решение достаточно трудоемко при больших m и n, однако принципиальных трудностей не имеет, поскольку может быть сведено к решению задачи ЛП. Пусть игра mn задана платежной матрицей {aij}. Игрок А обладает стратегиями А1, А2, …, Аm ; игрок В обладает стратегиями В1, В2, …, Вn. Необходимо определить оптимальные стратегии =( и , где и . Оптимальная стратегия удовлетворяет следующему требованию: она обеспечивает игроку А средний выигрыш, не меньший, чем цена игры при любой стратегии игрока В, и выигрыш, равный цене игры при оптимальной стратегии игрока В. Если игрок А принимает смешанную стратегию против любой чистой стратегии Вj, то он получает средний выигрыш, равный математическому ожиданию: aj= a1jp1 + a2jp2 + … + amjpm. Получаем систему неравенств: a11p1 + a21p2 + … + am1pm   a12p1 + a22p2 + … + am2pm   …………………………….. a1np1 + a2np2 + … + amnpm   Каждое неравенство разделим на  и введем новые переменные х1= р1/, х2= р2/, …, хm= рm/. Система примет вид: a11х1 + a21х2 + … + am1хm  1 a12х1 + a22х2 + … + am2хm  1 …………………………….. a1nх1 + a2nх2 + … + amnхm  1 Цель игрока А – максимизировать свой выигрыш, т.е. цену игры . Разделим равенство p1 + p2 + … + pm =1 на , получим х1 + х2 + … + хm =р / . Следовательно, максимизация цены игры  эквивалентна минимизации величины 1/. Это задача ЛП, решив которую получим оптимальное решение и оптимальную стратегию . Можно провести аналогичные рассуждения для определения оптимальной стратегии . Игрок В стремится минимизировать гарантированный выигрыш (max 1/ ), при условиях a11у1 + a12у2 + … + a1nyn  1 a21y1 + a22y2 + … + a2nyn  1 …………………………….. am1y1 + am2y2 + … + amnyn  1 где yj = qj /. Составив расширенные матрицы для систем убеждаемся, что одна матрица получилась из другого транспонирования. Приведем примеры экономической задачи, которая описывается игровой моделью и может быть решена методами линейного программирования. Задача 5. Предприятие может выпускать 3 вида продукции (А1, А2, А3), получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из 4 состояний (В1, В2, В3, В4). Дана матрица, все элементы aij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-ой продукции с j-ым состоянием спроса. Определить оптимальные пропорции в выпускаемой продукции, гарантирующие величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным. В1 В2 В3 В4 А1 3 3 6 8 А2 9 10 4 2 А3 7 7 5 4 Решение. Упростим игру, отбросив заведомо невыгодные или дублирующие стратегии (это стратегия В2 , т.к. элементы второго столбца не меньше элементов первого столбца). Получим матрицу Р= Определим нижнюю и верхнюю цены игры: = max (3; 2; 4) = 4 и = min (9; 6; 8) = 6. Так как   , седловая точка отсутствует, оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков. Составим две взаимно-двойственные задачи ЛП. Задача 1 Задача 2 3х1 + 9х2 + 7х3  1 3y1 + 6y2 + 8y3 ≤ 1 6х1 + 4х2 + 5х3  1 9y1 + 4y2 + 2y3 ≤ 1 8х1 + 2х2 + 4х3  1 7y1 + 5y2 + 4y3 ≤ 1 х1,2.3  0 y1,2,3  0 Z= х1 + х2 + х3  min Z’= y1 + y2 + y3  max Решим симплексным методом задачу 2. Введем добавочные переменные и перейдем к системе уравнений: 3y1 + 6y2 + 8y3 + у4 = 1 9y1 + 4y2 + 2y3 + у5 = 1 7y1 + 5y2 + 4y3 + у6 = 1 y1,2,3,4  0 Перейдем к симплексным таблицам: базис Св. чл. y1 y2 y3 y4 y5 y6 Оц. от. y4 1 3 6 8 1 1/6 y5 1 9 4 2 1 1/4 y6 1 7 5 4 1 1/5 Z’ -1 -1 -1 базис Св. чл. y1 y2 y3 y4 y5 y6 Оц. от. y2 1/6 1/2 1 4/3 1/6 1/3 y5 1/3 7 -10/3 -2/3 1 1/21 y6 1/6 9/2 -8/3 -5/6 1 1/27 Z’ 1/6 -1/2 1/3 1/6 базис Св. чл. y1 y2 y3 y4 y5 y6 Оц. от. у2 4/27 1 44/27 7/27 -1/9 у5 2/27 22/27 17/27 1 -14/9 у1 1/27 1 -16/27 2/9 Z’ 5/27 1/27 2/27 1/9 Критерий оптимальности достигнут, следовательно, Z’= 5/27 при у1=1/27, у2= 4/27, у3= 0. Подставим полученные решения в систему ограничений задачи 2: 3  1/27 + 6  4/27 = 1 9  1/27 + 4  4/27 = 25/27  1 7  1/27 + 5  4/27 = 1 Поскольку, второе ограничение выполняется как строгое неравенство, значит вторая переменная задачи 1 равна нулю: х2 = 0. Так как у1  0, у2  0, следовательно 1 и 2 ограничения прямой задачи выполняются как строгие равенства, т.е 3х1 + 9х2 + 7х3 = 1 6х1 + 4х2 + 5х3 = 1 Таким образом, получаем систему: Зх1 + 7х3 = 1 6х1 + 5х3 = 1, решая которую получаем х1 = 2/27, х3 = 1/9, х2 = 0. Найдем цену игры из соотношения  = ,  = 27/5 = 5,4. Оптимальную стратегию находим, используя соотношение = хi  = 5,4  2/27= 0,4; = 0; = 5,4  1/9= 0,6. Итак, = (0,4; 0; 0,6). Следовательно, предприятие должно выпускать 40% продукции А1, 60% продукции А3, продукцию А2 не будет выпускать. Оптимальная стратегия спроса определяется аналогично: , т.е. = (0,2; 0; 0,8; 0) (здесь учтено то, что второй столбец исходной матрицы был удален, как заведомо невыгодный). Задача 6. Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А1), отправить на склад для хранения (стратегия А2) или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения (стратегия А3). Потребитель может приобрести продукцию немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3). Определить оптимальные пропорции продукции для применения стратегий А1 , А2 Аз при заданной матрице затрат. В1 В2 В3 А1 2 5 8 А2 7 6 10 А3 12 10 8 Решение. Составим платежную матрицу Р = Первую строку можно отбросить, как невыгодную, тогда матрица примет вид Р = , а так как элементы 1-го столбца больше элементов 2-го, первую строку можно отбросить. Получим матрицу Р = . Для такой матрицы = а11р1+а21р2; р1= ; р2=1 – р1 . Получаем р2 = ; р3 = ;  = 6  1/3 + 10  2/3 = 26/3. Итак, оптимальная стратегия производителя продукции = (0, 1/3, 2/3), т.е. стратегия А1 не применяется, 1/3 всей продукции отправляется на склад, 2/3 продукции дополнительно обрабатывается. 2.3 Игры с природой Мы рассматривали игровые модели, в которых в качестве оппонента выступал противник, принимающий решения и выбирающий стратегии по определенным правилам. В экономической практике нередко приходится принимать решения, не имея информации о возможном противнике в условиях неопределенности и риска. Для описания таких ситуаций разработан математический аппарат, и игры называются играми с природой. «Природа» в теории игр – это объективная действительность, незаинтересованная сторона, «поведение» которой неизвестно. Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные ходы партнер по игре. На примере игры с природой рассмотрим проблему заготовки угля на зиму: Необходимо закупить уголь для обогрева дома. Количество хранимого угля ограниченно и в течение холодного периода должно быть полностью израсходовано. Предполагается, что неизрасходованный зимой уголь в летнее время «пропадет». Покупать уголь можно в любое время, однако летом он дешевле, чем зимой. Неопределенность состоит в том, что неизвестно, какой будет зима: суровой, тогда придется докупать уголь, или мягкой, тогда часть угля может остаться неиспользованной. Очевидно, что у природы нет злого умысла и она ничего против человека «не имеет». С другой стороны, долгосрочные прогнозы, составляемые метеорологическими службами, неточны и поэтому могут использоваться в практической деятельности только как ориентировочные при принятии решений. Матрица игры с природой аналогична матрице стратегической игры, но имеет специфическую особенность: исключать из рассмотрения можно лишь доминирующие стратегии игрока 1. Игра с природой может быть задана с помощью матрицы выигрышей игрока 1, или матрицы рисков (размер платы за отсутствие информации о состоянии среды). Рассмотрим игровую задачу с экономическим содержанием, которая относится к играм с природой. Задача 7. Предположим, что на оптовой базе имеется n видов товаров определенной товарной группы. Исходя из наличия средств и ассортиментного минимума, принято решение закупить на базе для магазина Q единиц товара из всего ассортиментного набора данной товарной группы. При неизвестном спросе на товары требуется определить количество товаров каждого наименования, которые целесообразно завести в магазин. При этом известно, что если товар j будет пользоваться спросом, то от реализации единицы товара магазин получит доход в размере cj, в противном случае издержки, связанные с его хранением, порчей составят убыток dj. Решение. Моделью такого экономического столкновения является игра, в которой с одной стороны выступает магазин (игрок А), с другой стороны – спрос населения – «природа» (игрок В). Каждая из сторон имеет n стратегий: Ai - стратегия по завозу i-го наименования товара; Bj – спрос на j-й товар. Цель магазина – максимум дохода при любом поведении покупателя. Для конкретности рассмотрим решение числового примера размерностью n=5, Q=1000. Исходные данные по доходам и убыткам содержатся в таблице: Показатели Тов.1 Тов.2 Тов.3 Тов.4 Тов.5 Доход от реализации 62 42 45 54 71 издержки 16 8 4 10 23 Построим платежную матрицу: В1 В2 В3 В4 В5 А1 62 -16 -16 -16 -16 А2 -8 42 -8 -8 -8 А3 -4 -4 45 -4 -4 А4 -10 -10 -10 54 -10 А5 -23 -23 -23 -23 71 Исходная платежная матрица содержит отрицательные элементы. Для решения задач методами ЛП необходимо, чтобы матрица состояла из положительных элементов. Этого можно добиться прибавлением к каждому элементу платежной матрицы положительного числа М (после решения задачи необходимо будет из полученной цены игры вычесть это число М). В нашей задаче удобнее взять М=25. Получим матрицу: В1 В2 В3 В4 В5 А1 87 9 9 9 9 А2 17 67 17 17 17 А3 21 21 70 21 21 А4 15 15 15 79 15 А5 2 2 2 2 96 Введем переменные xi=pi / , получим модель Z= x1 + x2 + x3 + x4 + x5  min 87x1 + 17x2 + 21x3 + 15x4 + 2x5  1 9x1 + 67x2 + 21x3 + 15x4 + 2x5  1 9x1 + 17x2 + 70x3 + 15x4 + 2x5  1 9x1 + 17x2 + 21x3 + 79x4 + 2x5  1 9x1 + 17x2 + 21x3 + 15x4 + 96x5  1 Решив данную задачу ЛП, получим следующие оптимальные значения неизвестных: = 0,006; = 0,009; = 0,01; = 0,007; = 0,005. Оптимальное значение целевой функции F*= 0,037; оптимальная цена игры *= 1/ F*=26, 9. Найдем оптимальные вероятности использования чистых стратегий игрока А, т.е. смешанную стратегию магазина S*=(0,161; 0,252; 0,257; 0,197; 0,134), где вероятности показывают доли от всего объема товаров, которые следует завести в магазин. Так как задан общий объем ассортиментного набора Q=1000 усл.ед., то по формуле можно определить оптимальное количество товаров каждого наименования. Получим Q1=160, Q2=252, Q3=257, Q4=197, Q5=134. Так как предварительно мы увеличивали все элементы на величину М=25, то для вычисления истинной величины цены игры необходимо из оптимальной цены вычесть 25. Таким образом, истинная цена игры равна =26,9 – 25=1,9 (усл.ед.). Это означает, что при оптимальном варианте снабжения товарами доход магазина будет не ниже гарантированного дохода, который равен 1,9 усл.ед. независимо от колебания спроса покупателей.