Математика

Министерство образования и науки Хабаровского края КГБ ПОУ «Комсомольский–на–Амуре авиационно-технический техникум» Курс лекций по дисциплине «Математика» учебное пособие для студентов II курса по специальности 24.02.01 «Производство летательных аппаратов» Преподаватель: Синишина Ирина Вячеславовна Комсомольск-на-Амуре, 2015 Учебно – методическое пособие для студентов второго курса по специальности 24.02.01 «Производство летательных аппаратов» средних профессиональных учебных заведений. Курс лекций по дисциплине «Математика»./Сост. Синишина И.В.-Комсомольск – на – Амуре авиационно- технический техникум, 2015- 100.с В учебно-методическом пособии представлен полный курс лекций по дисциплине «Математика», сопровождающийся практической частью по специальности 24.02.01 «Производство летательных аппаратов». Содержание материала соответствует всем программным вопросам дисциплины для средних профессиональных учебных заведений. Рассмотрено предметно-цикловой комиссией «Общеобразовательных, естественнонаучных дисциплин и ОГСЭ». Протокол №___ от___________ Председатель ПЦК __________ /Синишина И.В/ 2 Содержание Введение………………………………………………………………………………………..... Курс лекций 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме…………….…………………………………………………………… 2. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме…. 3.Матрицы, действия над матрицами…………………………………………………………... 4.Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядка……….. 5.Системы линейных уравнений. Правило Крамера… ……………………………………… 6.Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы 2 и 3-го порядка…………………….. 7.Простейшие матричные уравнения и их решения. ………………………………………… 8.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса……………………………………. 9.Предел функции в точке. Теоремы о пределах……………………………………………… 10.Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов………………………………. 11.Первый и второй замечательные пределы…………………………………………………. 12.Производная, правила дифференцирования, производная сложной функции…………... 13.Асимптоты графика функции……………………………………………………………….. 14.Исследование функции одной переменной и построение графика………………………. 15.Приложение дифференциала к приближенным вычислениям значений функций……… 16.Неопределенный интеграл. Таблица интегралов Способы нахождения неопределенного интеграла…………………………………………………………………….. 17.Определенный интеграл, метод подстановки……………………………………………… 18.Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур……….. 19.Определение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными……………………………………………………. 20.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка………………………………. 21.Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение…………………... 22.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда…... 23.Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши………….. 24.Ряды Тейлора и Маклорена…………………………………………………………………. 25.Множества и операции над ними. ………………………………………………………….. 26.Основные понятия комбинаторики…………………………………………………………. 27.Основные понятия теории вероятности…………………………………………………….. 28.Операции над событиями……………………………………………………………………. 29.Случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины…… Литература…………………………………………………………………………… 3 4 5 7 11 16 19 21 23 26 28 31 34 38 41 44 48 50 53 57 61 64 67 69 71 74 79 83 85 90 95 100 Введение Математика, как одна из базовых дисциплин, призвана обеспечить создание фундамента для дальнейшего погружения студента в сферу профессиональных задач. Данное учебно - методическое пособие включает в себя полный курс лекций для самостоятельного изучения дисциплины «Математика» студентами 2 курса по специальности 24.02.01 «Производство летательных аппаратов». Весь теоретический материал излагается ясным, доступным языком, содержит достаточное количество примеров, сопровождающихся подробными решениями. Выполнение предложенных заданий способствует развитию знаний, и умений обучающихся, формированию навыков самостоятельной и индивидуальной работы при изучении и закреплении предложенных тем, что способствует более качественному уровню освоению дисциплины. Работа выполнена с учетом календарно-тематического планирования и рабочей программы по дисциплине «Математика». 4 Курс лекций 1. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Введение комплексных чисел связано с неразрешимостью в области вещественных чисел операции извлечения корня четной степени из отрицательных чисел. 1 . Число, квадрат Рассмотрим простейший случай: х 2 1 0 или х 2 которого равен –1, называют мнимой единицей и обозначают буквой i . 1 иi 1. Тогда i 2 Определение: комплексным числом называется выражение вида: z a b i , a и b – действительные числа, i – мнимая единица. Запись комплексного числа в виде z a i b называется алгебраической формой записи комплексного числа, где a действительная часть числа z , а b – мнимая часть числа z . Любое действительное число a содержится во множестве комплексных чисел, его можно записать так: a a 0 i . Числа 0, 1, i записываются соответственно в виде 0 0 0 i , 1 1 0 i , i 0 1 i . Если a 0 , комплексное число z a b i обращается в чисто мнимое число b i . Комплексное число z a b i (отличается только знаком мнимой части) называется комплексно сопряженным с числом z a b i . Комплексные числа a b i и a b i называются противоположными. Каков геометрический образ комплексного числа z a b i ? Комплексное число z a b i изображают на координатной плоскости точкой с декартовыми координатами (a, b) . Действительные числа a изображаются точками оси абсцисс. Чисто мнимые числа i b – точками оси ординат. Каждой точке плоскости с координатами (a, b) соответствует один и только один вектор с началом в точке О(0,0) и концом в точке А (a, b) . Поэтому комплексное число z a b i можно изобразить в виде вектора ОА z с началом в точке z 0 и концом в точке (рис. 1). Рис. 1 Введение мнимой единицы позволяет нам теперь извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Пример 1. Найти корни уравнения x 2 2 x 17 0 . Решение. По известной формуле имеем 2 4 68 2 64 2 8 1 2 8i x1,2 1 4i , 2 2 2 2 x1 1 4i, x2 1 4i. Ответ: x1 1 4i, x2 1 4i. 5 Два комплексных числа z1 a1 b1 i и z2 a2 b2 i называются равными тогда и только тогда, когда в отдельности равны их действительные части и коэффициенты при мнимой единицы, т.е. a1 b1 i a2 b2 i если a1 a2 и b1 b2 . Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами. Суммой и разностью двух комплексных чисел z1 a1 b1 i и z2 a2 b2 i называется комплексное число z1 z2 (a1 a2 ) (b1 b2 )i (2) Пример 2. Найти сумму z1 z 2 , если z1 2 i и z2 3 2i 1 i. Решение. z1 z 2 = (2 i ) ( 3 2i ) Ответ: 1 i . Пример 3. Найти разность z1 z2 , если z1 5 3 i и z2 2 i . Решение. z1 z2 = ( 5 3 i ) – ( 2 i ) = 3 4i . Ответ: 3 4i . Произведением двух комплексных чисел z1 a1 b1 i и z2 a2 b2 i называется комплексное число z1 z2 (a1a2 b1b2 ) (a1b2 a2b1 )i (3) 3 2i. Пример 4. Найти z1 z2 , если z1 2 i и z2 Решение. z1 z2 =( 2 i ) ( 3 2 i )= 4 7i . Ответ: 4 7i . При делении двух комплексных чисел z1 a1 b1 i и z2 a2 b2 i необходимо произвести дополнительное действие: умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю. z Пример 5. Найти 1 , если z1 3 i и z2 2 3 i . z2 z 3 i (3 i)( 2 3i ) 3 11i Решение. 1 = . z2 2 3i (2 3i )( 2 3i ) 13 3 11i Ответ: . 13 1. 2. 3. 4.  Вопросы для конспектирования Какое число называется комплексным? Какие комплексные числа называются сопряженными? Как выполняется умножение, вычитание, деление комплексных чисел в алгебраической форме? Задача: 1) Выполнить действия: а) 2 ; б) 1 ; в) 1 i ; г) 2 3i . 3i 1 i 1 i 4 5i 2) Решить квадратное уравнение: а) ; б) 6 Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Выполните действия: 1) 2) 3) 1) 2) 3) 4) 5) 3 i 3 8i 6 2i 2 3i ; 6 2i 5 6i i 5 4i 5 ; 3 4i ; 3 4i 3 4i 2 i 1 i ; ; 7i 1 ; 3 2i 5 4i 0,2 0,3i 0,5 0,4i . ; 1) 5 4i 7 4i ; 2) 0,2 0,1i 0,8 1,1i ; 3) 1 i 7 3i 2 i Задание 2. Выполните действия: 1) 5 3i 2i ; 2) 5 3i 2 5i ; 3) 4 2i 1 6i 6 i ; 4) 2 1 i 1 4 i ; 3 5) 3 3 6 2i . 3 0,2 0,3i 0,5 0,4i . Задание 3. Выполните действия: 1) 1 ; 2) 3) 4) 5) i 1 i; 1 i 1 2i 2 i 3 2i 3 2i 2 i 2 3i 1 i 5 i 5 2i . 1) 2) ; 3) 4) 5) 1 ; 1 i 3 2i ; 1 3i 2 3i 4 i 2 2i 5 i 5 2i 1 3i i 2 ; ; 4i 1 . 3i 1 7 2.Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме. Тригонометрическая форма комплексного числа.  Пусть комплексное число z a b i изображено в виде вектора ОА r с началом в точке О(0;0) и концом в точке А(а;b). Модулем комплексного числа z a b i называется длина вектора , которую можно найти по формуле: (1) Обозначив модуль комплексного числа буквой r, получим: r= (2) Аргументом комплексного числа называется угол , который образует вектор с положительным направлением оси абсцисс (рис. 2). Величину угла можно найти с помощью формул: . Эта система имеет бесчисленное множество решений вида + 2 k, где k-любое целое число. Таким образом, любое комплексное число z имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число, кратное 2 . Если k =0, то мы получим главное значение аргумента , которое и будем называть аргументом комплексного числа. Из соотношения следует: a r cos , b r sin Рис. 2. (3) Если в запись комплексного числа z вместо а и b подставить эти r (cos i sin ) . Таким значения, то получим: z a b i = r cos r sin образом, мы получили новую форму записи комплексного числа: z a b i = r (cos i sin ) (4) - тригонометрическая форма комплексного числа. Правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической. 1) Находят модуль комплексного числа r по формуле r a 2 b2 . 2) Для нахождения сначала определяют геометрически, в какой четверти находится точка z. 3) Составляют уравнения и по решению одного из них находят угол . 4) Записывают комплексное число в тригонометрической форме. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме 8 При умножении двух или нескольких перемножаются, а аргументы складываются: r1 (cos 1 i sin 1 ) r 2 (cos 2 i sin 2 ) r1 r2 (cos( ) i sin( чисел их модули 2 )). (5) При делении двух комплексных чисел модуль числителя делится на модуль знаменателя, а аргумент знаменателя вычитается из аргумента числителя: z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) r1 (cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )) (6) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r2 При возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль его возводится в ту же степень, а аргумент умножается на показатель степени, т. е. z n (r (cos i sin )) n r n (cos n i sin n ) , где n N (7) Эта формула называется формулой Муавра. i sin ) имеет Корень n -й степени из комплексного числа z = r (cos n различных значений, которые находятся по формуле 2 k 2 k n z n r cos i sin , где k = 0, 1, 2,…, n –1 (8) n n Пример1.Записать комплексное число в z 1 i 3 тригонометрической форме. Решение. Чтобы записать комплексное число в тригонометрической форме нужно знать его модуль и аргумент, по формуле (1) находим z a 2 b2 1 1 2 3 2 4 1 2. Затем подсчитываем главное значение аргумента z 1 i 3. Вещественная и мнимая части данного комплексного числа положительны ( a 1, b 3 ). Главное значение аргумента совпадает с Тогда z 1 i 3 Ответ: z 1 i 3 2 cos 3 i sin 3 = arctg 3 1 3 . . i sin . 3 3 Пример 2. Записать в тригонометрической форме комплексное число z 5. Решение. Данное число является вещественным и отрицательным, а главное значение его аргумента равно . Подсчитаем модуль числа 5 ( 5) 2 02 2 cos 5. Модуль и аргумент числа –5 найдены, имеем z 5 5 cos i sin . Ответ: z Пример 3. Найти аргумент числа z 3 i 3. 5 5 cos i sin . 9 Решение. Вещественные и мнимые части данного числа отрицательны, следовательно, главное значение аргумента = 7 6 6 . 7 2 n. 6 Пример 4. Найти произведение чисел z1 z2 , где Следовательно, arg 3 i 3 , z2 3 cos . i sin i sin 6 6 12 12 Решение. Согласно формуле (5): z1 2 cos z1 z2 = 2 3 cos 6 cos 4 i sin 6 6 4 i sin 12 2 2 i 2 2 6 12 = 3 2 3i 2 . Ответ: z1 z 2 = 3 2 3 i 2 . Пример 5. Найти частное чисел z1 и z 2 , где 3 3 z1 10 cos i sin i sin , z1 2 cos . 4 4 4 4 10 3 Решение. Согласно формуле (6): z1 : z2 = cos 5 4 5 cos i sin 5(0 i) 2 2 Ответ: z1 : z2 = 5i . 4 i sin 3 4 4 5i . Пример 6. Найти z 6 , где z 2 cos i sin . 6 6 Решение. Возводим в шестую степень z , согласно формуле (7): 6 z 6 6 2 cos = 26 cos 6 i sin i sin 6 26 cos 6 26 ( 1 i 0) 6 i sin 6 6 26 . Ответ: z 6 = 26 . Показательная форма комплексного числа. Если комплексному числу z= (cos i sin ) , модуль которого равен 1, поставить в соответствие показательное выражение , то получим соотношение: cos i sin (1), которое называется формулой Эйлера. Любое комплексное число z можно записать в виде z = .Эта форма записи комплексного числа называется показательной формой. 10 Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производятся по правилу действий со степенями. Так для произведения и частного комплексных чисел z1= и z2 = справедливы формулы: z1 = (2) = Для n-ой степени комплексного числа z = - формула: = (4) Для вычисления корня из комплексного числа z = используется формула: (5), где k=0,1,2,…n-1. Итак, существуют три формы записи комплексного числа:  z= a b i - алгебраическая форма;  z= r (cos i sin ) - тригонометрическая форма;  z= - показательная формa. Пример 1. Записать число z 3 cos Решение. Здесь r=3, 3 2 i sin 3 2 в показательной форме. . Следовательно, показательная форма имеет вид = . Пример2.Записать число в тригонометрической и z 5i показательной форме. Решение. Чтобы представить число z в виде z= r (cos i sin ) и z = , нужно найти модуль и аргумент числа z. Здесь а=0, b= - 5; тогда r = = , так как точка z лежит на мнимой оси комплексной плоскости. Зная r и 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. , получим z=5 cos 3 2 i sin 3 иz= 2 .  Вопросы для конспектирования Что называется модулем и аргументом комплексного числа? Запишите формулы для модуля и аргумента комплексного числа. Как записывается комплексное число в тригонометрической форме? Как записывается комплексное число в показательной форме? Как умножить (разделить) комплексные числа, записанные в тригонометрической форме? показательной форме? Как найти все значения корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической и показательной форме? Задача: Перевести в тригонометрическую и показательную форму комплексное число:1)z =1-i; 2)z = +i; 3)z =5; 4)z = -4i; 5)z = -1 + i . 11 Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Представить в тригонометрической форме комплексные числа: 1) 3i ; 1) 1 i ; 2) 1 i 3 ; 2) 3 i ; 3) 3 2 1 3) i 2 3 4i Задание 2. Представить в алгебраической форме комплексные числа 1) 5 cos 2 2) cos 1) ; i sin 4 cos ; i sin 3 3 2 2) . i sin 2 cos . i sin 4 4 Задание 3. Найдите произведения: 1) 3 cos i sin cos 8 3) 5) 8 cos 5 i sin 5 4 cos 10 i sin 24 cos 2 i sin 2 i sin 10 5 5 1) ; i sin 3 5 cos ; i sin 3 4 4 24 2) ; 2 cos 35 2 cos i sin 35 3) . 4 cos 10 cos 5 i sin 10 i sin 2 cos 35 5 6 cos 6 i sin 35 2 ; i sin 2 3 . 3 Задание 4. Выполните деление в тригонометрической форме: 1) 3 cos 3 i sin 4 2) 3 : cos 4 cos i sin 3 2 : cos 3 ; i sin 2 . i sin 6 1) cos 210 i sin 210 : cos 150 2) cos150 i sin 150 : cos 120 i sin 150 ; i sin 120 . 6 Задание 5. Возвести в степень: 6 1) 3 2 2) cos 35 1 i 2 8 ; i sin 35 12 . 1) 2 cos 2) cos 35 8 i sin ; 8 i sin 35 12 . 12 3.Матрицы, действия над матрицами. Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используют следующее обозначение: a11 a12 ... a1n a 21 ... a 22 ... ... a 2 n ... ... a m1 am 2 ... a mn (1) Для любого элемента, первый индекс означает номер строки, а второй номер столбца. Запись « матрица B имеет размер mxn» означает, что речь идет о матрице, состоящей из m строк и n столбцов. Например, 3 1 0 матрица B имеет размер 2x3. 2 3 5 Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной. Элементы a11 , a22 ,…, ann квадратной матрицы A (размера nxn) образуют главную диагональ. Квадратная матрица, у которой отличные от нуля элементы могут стоять только на главной диагонали, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все элементы (главной диагонали!) равны 1, называется единичной. Квадратная матрица, у которой ниже (выше) главной диагонали находятся только нули, называется верхней (нижней) треугольной матрицей. Сложение матриц. Складывать можно матрицы только одинаковой размерности. Определение: Суммой двух матриц А и В называется матрица С (той же размерности, что и матрицы А и В), элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В: a11 a 21  a1n  a2n a12 a 22     a m1 a m 2  a mn   + b11 b21  b1n  b2 n b12 b22     b 1 bm 2  bmn m  A = a11 a 21 b11 b21 a12 a 22  b12 b22  a1n  a2n b1n b2 n    a m1 bm1 a m 2 bm 2  a mn bmn    (2) C B Пример 1. Сложите матрицы А и В: а) А= 1 2 4 1 5 7 , В= 3 7 1 0,5 3 0 3 ; б) А= 4 7 , В 1 5 2 3 1 5 Решение. а) Согласно определению сложения матриц имеем А+В= 1 2 4 1 5 7 + 3 7 1 0,5 3 = 1 0 2 3 4 7 1 ( 1) 5 0,5 7 3 = 1 5 11 2 5,5 10 . 13 б) Данные матрицы А и В сложить невозможно, так как их размерность различна, точнее, матрица А имеет размерность 3 х 2, а матрица В – 2 х 2. Умножение матрицы на число. Определение: Для того, чтобы умножить число k (k R) на матрицу А нужно это число k умножить на каждый элемент матрицы А, в результате мы получаем матрицу той же размерности, что и матрица А: k∙ a11 a 21  a1n  a2n a12 a 22     a m1 a m 2  a mn   = k a11 k a12  k a1n k a 21  k a 22   k a2n   k a m1 k a m 2  k a mn (3) A 1 Пример 2. Вычислить: 3∙ 3 1 3 4 1 = 3 3 3 1 Решение. 3∙ 3 4 1 3 4 3 3 12 1 = 3 9 1 3 Умножение матриц. Определение: Произведением матрицы А, имеющей размерность m х n, на матрицу В имеющей размерность n x p называется матрица С, имеющая размерность m x p, и элементы матрицы С определяются следующей формулой: n Cij аik bkj , i=1,2, … , m, j=1,2, … , p (4) k 1 a11 a21  am1 a12 a22  am 2  a1n b11 b12  a2 n b b ∙ 21 22      amn bm1 bm 2 mxn  b1n c11  b2 n c = 21     bmn cm1 nx p c12 c22  cm 2  c1n  c2 n    cmn (5) nx p Очень важное замечание: матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В. Для того чтобы можно было перемножить матрицы А и В нужно, чтобы число строк матрицы В совпадало с числом столбцов матрицы А, а в результате произведения мы получаем матрицу, которая имеет столько строк, сколько матрица А и столько столбцов сколько матрица В. Пример 3. Выполните умножение матриц: а) А 1 2 4 2 2 0 1 , В 1 2 0 1 ; б) А 1 2 4 1 3 0 2 0 1 , В 1 2 0 0 2 2 . 1 1 0 Решение. 14 а) А В б) А В 1 2 2 1 4 0 4 2 2 0 1 1 0 4 1 2 2 1 0 0 4 11 2 0 4 1 1 3 2 2 4 1 1 0 2 2 4 0 5 11 4 2 1 0 0 11 2 3 0 2 11 2 0 0 2 1 0 3 7 11 2 0 0 1 1 3 2 2 0 1 1 0 2 2 0 0 1 7 4 Транспонирование матриц. Определение: Транспортированием называют операцию, переводящую матрицу размерности m n в матрицу размерности n m, делая столбцы исходной матрицы строками, а строки — столбцами. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.  Вопросы для конспектирования Что называется матрицей? Что называется главной диагональю матрицы? Что значит «транспонировать» матрицу? Что называется суммой матриц? Что называется произведением матрицы на число? Как найти произведение двух матриц? Задача: Вычислить линейные комбинации матриц: А+В, -2,5В, АВ, АС 4 а) А= 3 7 3,5 , В= 6 3 2 3 7 6 7 4 ,С= 5 2 3 4 2 Вариант 1 2 4 . 3 Вариант 2 Задание 1.Выполнить действия над матрицами:1) 2 А+В-3С; 2)3А+С-6В А 3 7 4 1 5 2 ,В 1 0 2 6 4 3 4 2 1 ,С 7 3 5 А . 2 4 1 3 5 2 1 2 2 ,В 6 4 3 7 2 1 ,С 2 3 2 . Задание 2. Вычислить произведение матриц: 1) А 2) А 1 4 3 7 3 5 ;В 1 49 10 2 4 1) А 6 9 34 25 ; В 13 50 5 11 25 50 . 2) 5 7 1 49 10 А 6 5 ;В 4 9 34 25 ; В 13 50 5 11 25 50 Задание 3. Выполнить действия над матрицами: А 1) D 2 ; 2) А 2 4) А С 3 5 С; 3) С 2 В 2 ; 5) А С 2 1 ;В ;С 4 2 6 3 ;D 1) В 2 ; 2) А 2 В; В2 3 2 1 4 D. 4) А С 1 2 4 С; 3) С 2 В 2 ; 5) А С В; В2 D. 15 4.Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядка. Определителем (или детерминантом) матрицы A называется число, которое ставится в соответствие этой матрице и может быть вычислено по ее элементам. Обозначается определитель матрицы A символами: (1) Определитель матрицы n×n называется определителем n–го порядка. Определение: Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя. Правила вычисления определителей. Определителем матрицы первого порядка, будем считать само это число. Определители матрицы второго порядка вычисляются по формуле: = - (1) Пример 1: Вычислите определитель второго порядка. Решение. = =2 Определитель третьего порядка матрицы A вычисляется по формуле A a11 a12 a 21 a 22 a13 a 23 a 31 a 32 a 33 a11 a 22 a 33 a 21 a 32 a13 a12 a 23 a 31 (2) a 31 a 22 a13 a 32 a 23 a11 a 21 a12 a 33 . 1 Пример 2: Вычислим определитель матрицы А= 4 1 4 8 3 1 6 2 Решение. A A 1 4 1 4 8 3 1 1 8 2 4 6 1 4 3 1 1 8 1 6 3 1 4 4 2 6 2 16 24 12 8 18 32 4 6 4 6 10 0. Правило треугольника Схематически это правило можно изобразить следующим образом: 16 Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком "плюс"; аналогично, для второго определителя соответствующие произведения берутся со знаком "минус", т.е. (3) Пример3: Вычислить определитель методом треугольников. Решение. Ответ. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Основные свойства определителей. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать). При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный. Общий множитель всех элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя. Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Если к какой-либо строке (столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменит своей величины. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали: 17 1. 2. 3. 4. 5. 6.  Вопросы для конспектирования Что называется определителем матрицы? Чему равен определитель первого порядка? Как вычислить определитель второго порядка? Как вычислить определитель третьего порядка? Перечислите свойства определителей. Задача: Вычислите определитель: ; б) a) ; в) ; г) . Вариант 1 Вариант 2 Задание 1.Вычислить определитель второго порядка: А 3 7 4 1 5 2 1 0 2 ,В 6 4 3 ,С 4 2 1 7 3 5 . А 2 4 1 3 5 2 1 2 2 ,В 6 4 3 7 2 1 ,С 2 3 2 . Задание 2. Вычислить определитель третьего порядка: А 1) А 2) 1 4 3 7 1 49 10 х2 1 4 3 5 ;В А 6 9 1) 34 25 ; В 13 50 х 1 1 1 2 1 0. 5 11 25 50 . А 2 4 5 7 1 49 10 6 5 ;В 4 9 34 5 25 ; В 13 50 2) Задание 3. Решить уравнения: х 1 2 х 2 1 1 1 1 11 25 50 0. 18 5.Системы линейных уравнений. Правило Крамера. Теорема: Система n уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Оно находится следующим образом: значение каждого из неизвестных равно дроби, знаменатель которой является определитель системы, а числитель получается из определителя системы заменой столбца коэффициентов при искомом неизвестном на столбец свободных членов. Рассмотрим решение системы a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ; a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ; с помощью формул Крамера: a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 . ; ;….. Дополнительные определители n n 1, 2, 3, ... получаются из основного Δ, если в нѐм заменить соответственно первый, второй, …n-й столбец на столбец свободных членов системы. Таким образом, для решения системы с учетом уже введѐнных обозначений, дополнительные определители будут иметь вид: 1 b1 a12 a13 a11 b2 a22 a23 , b3 a32 a33 2 b1 a13 a21 b2 a23 , a31 b3 a33 a11 3 a12 b1 a21 a22 b2 a31 b3 . a32 Пример 1: Решить систему уранений по правилу Крамера: x1 4 x2 x3 4 x1 8 x2 3 x3 x1 6 x2 7; 9; 2 x3 8. 1 4 1 Решение. 4 8 3 1 7 4 1 10; 1 9 8 3 6 2 1 4 7 4 8 9 1 1 10 0; 0; x2 2 7 1 4 9 3 2 8 6 2 3 x1 1 1 8 2 3 50 10 30; 50; 6 8 30 10 3; x3 5. Ответ: x1 0; Если x2 3; x3 5. то возможны два варианта: 19 и каждый определитель , это имеет место только тогда, когда коэффициенты при неизвестных пропорциональны, т. е. каждое уравнение системы получается из первого уравнения умножением его обеих частей на k. Очевидно, что при этом система имеет бесконечное множество решений. 2. и хотя бы один из определителей следовательно, система не имеет решения. 1.  Вопросы для конспектирования 1. Сформулируйте теорему Крамера. 2. Запишите формулы Крамера. 3. Задача: Решить систему по формулам Крамера: 3x 2 y а) 2 x x z y 3z y z 3 2x y 3z 21 б) x 3 y 4 z 5 ; 3x 2 y 4x 3y 2z 11 в) 2 x 5 y 3 z z 7 3x 2 y ; Вариант 1 4z 1 16 4 Вариант 2 Задание 1.Вычислить определитель: 2 1 3 1 2 1 7 7 1. 3 1 2 2 1 3 1 2 . Задание 2. Решить систему по формулам Крамера: 2x 3 y 4z 3 2x y z 4 3x 4 y 2 z 5 x 3y z 7 2 x 7 y 5z 13 4z 12 3x y Задание 3. Выполнить действия: 3 2 1 4 1 3 2 1 1 1 4 2 5 2 2 3 1 2 3 1 1 3 2 4 5 2 3 2 1 3 1 1 3 2 2 5 6.Обратная матрица. Вычисление обратной матрицы 2 и 3-го порядка. 20 Матрицу, обратную к матрице А, обозначают А-1.Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n: a11 a21  am1 А= a12 a22  am 2  a1n  a2 n    amn Пусть DA=det A (определитель А), тогда обратная матрица к матрице А задается формулой: A 1 1 DA A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 (1) Аij=(-1)i+j∙Mij, i=1, 2 …, n; j=1, 2 …, n. Аij – алгебраическое дополнение элемента аij в матрице А, Mij – минор – определитель, полученный вычеркиванием iой строки jого столбца в матрице А. Замечание: первый индекс элемента обратной матрицы показывает на то, к какому столбцу принадлежит данный элемент, второй – к какой строке принадлежит данный элемент. Правило нахождения обратной матрицы к квадратной матрице второго порядка: Чтобы найти обратную матрицу к квадратной матрице второго порядка нужно поменять местами элементы, стоящие на главной диагонали и приписать знак минус к элементам, стоящим на побочной диагонали и полученную матрицу умножить на 1 . DA Пример 1. Найдите обратную матрицу для квадратной матрицы третьего порядка 3 4 5 А= 2 3 1 3 5 1 Решение. A DA 1 1 DA A11 A21 A31 A12 A22 A13 A23 A32 ; A33 3 4 5 2 3 3 5 1 =3∙(-3)∙1+2∙(-5)+3∙(4)∙1-(5∙(-3)∙3+1∙(-5)∙3+1∙(-4)∙2)=9-501 12+45+15+ +8=-1. 21 Далее находим элементы обратной матрицы: 3 А11=(-1)1+1∙М11= А13=(-1)1+3∙М13= А22=(-1)2+2∙М22= А31=(-1)3+1∙М31= А33=(-1)3+3∙М33= Имеем, A 5 3 3 3 5 5 3 1 4 5 3 1 3 5 2 3 1. 2. 3. 4. 5. 2х =-4+15=11, А32=(-1)3+2∙М32= 1 4 =-(-2-3)=5, 5 5 1 3 4 3 5 3 5 2 1 =-(4+25)=-29, =-(4+25)=-29, =-(3-10)=7, =-9+8=-1. 29 11 5 18 -1 7 . Проверка: А∙А =Е 1 3 3 4 5 8 2 3 1 ∙ 5 5 1 1 29 11 1 0 0 7 = 0 1 0 1 0 0 1 18 3 Вопросы для конспектирования Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Что называется минором элемента определителя? Понятие обратной матрицы. Как вычислить обратную матрицу? Задача: Найдите матрицу, обратную для матрицы- системы: у 2z 1 3x 2 y а) 3x y 2 z 1 4x 1 3 =-3-15=-18, А23=(-1)2+3∙М23= 8 1 2 =-10+9=-1, А21=(-1)2+1∙М21= 3  =3+5=8, А12=(-1)1+2∙М12=- 1 2 1 1 1 1 y 5z z 3 2x б) 2 x y 3z 21 3 x y z y 3z в) x 3 y 4 z 5 3x 2 y Вариант 1 z 11 7 Вариант 2 Задание 1. Найдите матрицу, обратную для матрицы- системы: 2x 3 y 4z 3 3 x1 x2 x3 3x 4 y 2 z 5 5 x1 x2 2 x3 2 x 7 y 5z 13 ; x1 x 2 2 x3 12 3 3 2x y z 4 2x 3y z x 3y z 7 x 2y 4z 9 3x y 4 z 12 ; y z 2 7.Простейшие матричные уравнения и их решения. Дана система трѐх линейных уравнений с тремя неизвестными. 22 a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 ; a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 ; a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 . (1) Систему уравнений (1) можно представить в матричном виде A X B , где A − основная матрица системы, состоящая из коэффициентов уравнений при неизвестных; X − матрица-столбец неизвестных x1 , x 2 , x3 ; B − матрица-столбец свободных членов системы. a11 a12 a21 a22 a31 a32 A a13 a23 , a33 X x1 x2 , x3 B b1 b2 b3 (2) Если матрица A невырожденная, т.е. определитель матрицы отличен от нуля A 0 , то исходная система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формуле: () , X A 1 B, 1 где A − обратная матрица к матрице A . Обратная матрица находится по формуле: A 1 A11 1 A12 A A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 (3) Алгебраические дополнения Aij элементов a ij матрицы A находятся по i j формуле Aij 1 M ij , где M ij – минор элемента a ij матрицы A , представляющий собой определитель, полученный из основного A вычѐркиванием i - й строки и j - го столбца. Пример 1:Решить систему уравнений матричным методом x1 4 x2 x3 4 x1 8 x2 3 x3 x1 6 x2 Решение. уравнений: A 1 4 1 4 8 3 1 6 2 1 4 1 4 8 3 ,B 1 6 2 x1 x2 x3 2 x3 7; 9; 8. 7 9 . Матричный вид данной системы 8 7 9 . 8 Вычислим определитель матрицы А. 23 A 1 4 1 4 8 3 A 1 1 8 2 4 6 1 4 31 1 8 1 6 31 4 4 2 6 2 16 24 12 8 18 32 4 6 4 6 10 0. Т.к. определитель матрицы А не равен 0, то матрица А невырожденная, для неѐ существует обратная матрица A-1. Вычислим алгебраические дополнения Aij для каждого элемента a ij основной матрицы. A11 1 1 1 M11 A12 1 1 2 M 12 A13 14 A23 15 1 4 A33 16 1 1 6 2; 1 6 4 4 8 4 2 13 6 2 15 4; A32 8 3 1 1 14 2; A22 4 1 14 A31 8 2 6 3 16 18 4 3 1 2 13 4 1 13 32; A21 8 3 6 2 12 1 4 1 4 8 3 1 6 2 11 2 4 8 1 1 4 1 4 8 3 1 6 2 1 1 1 2 1 1 4 3 2; 11; 1; 7; 24. Таким образом, имеем следующую обратную матрицу: 1 A 1 10 2 11 2 4 1 32 7 2 24 . A 1 B имеет вид: Тогда матричное решение исходной системы X x1 X x2 x3 1 10 2 11 32 1 10 2 1 2 4 7 7 9 24 8 14 18 32 77 9 56 224 18 192 1 10 1 10 2 7 2 9 4 8 11 7 1 9 32 7 30 50 7 8 2 9 24 8 10 30 10 50 10 3 . 5 Проверка: Подставим найденные числа вместо переменных x1 , x 2 , x3 в исходную систему уравнений 1 0 4 3 1 5 0 12 5 7; 4 0 8 3 3 5 0 24 15 9; 1 0 6 3 2 5 0 18 10 8. Получили верные числовые равенства, следовательно, решение найдено, верно. Ответ: x1 0, x2 3, x3 5 . 24  1. 2. 3. 4. Вопросы для конспектирования Как записать простейшее матричное уравнение? Каков порядок вычисления обратной матрицы? Что называется алгебраическим дополнением элемента определителя? Задача: Решить систему уравнений матричным методом 2х 3x1 у z 2; y 2z 2; 5x 3 y 4 z 4. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Решить систему уравнений матричным способом: 2x 3 y 4z 3 3 x1 x2 x3 3x 4 y 2 z 5 5 x1 x2 2 x3 2 x 7 y 5z 13 ; x1 x 2 2 x3 12 3 3 2x y z 4 2x 3y z x 3y z 7 x 2y 4z 9 3x y 4 z 12 ; y z 2 25 8.Решение систем линейных уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса- это метод последовательного исключения неизвестных. Состоит он из прямого хода и обратного хода. Прямой ход: Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе в треугольной матрице (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Для выполнения прямого хода используют следующие преобразования: 1) Умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и тоже число; 2) Сложение и вычитание уравнений; 3) Перестановку уравнений системы; 4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю. Обратный ход: Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок. Пример 1.Решить систему методом Гаусса: 3x y 2z 9 x 4y z 4 2x 3y 3z 11 . Решение: Для удобства его применения поменяем местами 1-е и 2-е уравнения, чтобы в первом уравнении коэффициент при х равнялся единице: x 4y 3x z 4 y 2z 9 2 x 3 y 3z 11 . Теперь исключим х из второго и третьего уравнений. Для этого вычтем из второго уравнения первое, умноженное на 3, а из третьего – первое, умноженное на 2: x 4y z 4 13 y z 3 11 y z 3 x 4y z 4 . Далее можно легко исключить z из третьего уравнения, если прибавить к нему второе: 13 y z 24 y 3 . Из последнего уравнения получаем, что у = 0. Подставляя это значение в первое и второе уравнения, находим остальные неизвестные: z = 3, х = 1. Итак, х = 1, у = 0, z = 3. Ответ: х=1, у=0, z=3 26  Вопросы для конспектирования 1. Как решить систему линейных уравнений? 2. Сколько решений может иметь система линейных уравнений? 3. Что такое расширенная матрица системы? 4. Задача: Решить систему линейных уравнений методом Гаусса: 1. ; 2. ; 3. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Решить систему уравнений методом Гаусса: 2x 3 y 4z 3 3 x1 x2 x3 3x 4 y 2 z 5 5 x1 x2 2 x3 2 x 7 y 5z 13 ; x1 x 2 2 x3 12 3 3 2x y z 4 2x 3y z x 3y z 7 x 2y 4z 9 3x y 4 z 12 ; y z 2 27 9.Предел функции в точке. Теоремы о пределах. Предел функции Пусть функция y f x определена в некоторой окрестности точки x 0 . Определение. Число A называется пределом функции f x в точке x 0 ), если для любого, сколь угодно малого положительного x 0 (или при x числа 0 найдѐтся такое положительное число 0 , зависящее от , что для всех x , удовлетворяющих условию x x0 , x x0 выполняется неравенство f ( x) A . Этот предел функции обозначается: lim f ( x) A или ƒ(х)→А при x x0 х→х0. Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах: если существуют lim f ( x) А и lim g ( x ) B , то x a x a 1) Предел алгебраической суммы двух функций, имеющих пределы при х , равен алгебраической сумме пределов этих функций, т.е. lim [ f ( x) x g ( x)] a lim f ( x) lim g ( x) x x a A B a 2) Предел произведения двух функций, имеющих пределы при х равен произведению пределов этих функций, т.е. lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x x a a x , A B a Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, т.е. lim [cf ( x )] x c lim f ( x) a x c A a 3) Предел частного двух функций, имеющих пределы при х частному пределов этих функций, если т.е. f ( x) lim x a g ( x) lim f ( x) x a lim g ( x) x A B (при lim g x x , равен 0 ). a a Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой величиной при х→х0, или при х→∞, если еѐ предел равен нулю lim ( x) 0 x x0 Определение. Функция ƒ(х) называется бесконечно большой в точке ; х0 (или при х→х0), если имеет место одно из равенств: lim f ( x) x lim f ( x) x x0 . x0 Теорема (о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций) : если ƒ(х) ─ бесконечно малая функция при х→х0, то 1 ─ бесконечно f ( x) большая функция при х→х0, и наоборот. Пример 1. Найти предел lim x 3 x3 2x 3 . 5x 1 28 Решение: Поскольку функция непрерывна в точке x 3 , искомый предел равен значению функции в этой точке. Используя теоремы о действиях над пределами функций, получим x3 lim x 3 33 2x 3 5x 1 2 3 3 5 3 1 27 6 3 15 1 2x 7 Пример 2. Найти предел lim 6 x2 x 24 16 3 . 2 . 5x 6 Решение: 2x 7 При x 6 числитель стремится к пяти 2 6 7 12 7 5 (т.е. является ограниченной функцией), а знаменатель x 2 5 x 6 – к нулю (т.е. является бесконечно малой величиной). Очевидно, что их отношение есть величина бесконечно большая, т. е. 2x 7 lim 6x x 2 lim 5x 6 x 2 6 7 66 2 5 6 6 12 7 36 30 6 5 . В рассмотренных примерах предел находился сразу, чаще при 0 , вычислении пределов мы сталкиваемся с неопределѐнностями: , 1 . Пример 3. Найти предел lim x 2 x 2 16 x 24 x3 8 2 . Решение: При x 2 числитель и знаменатель дроби равны нулю, . Чтобы раскрыть неопределѐнность вида имеем неопределенность вида 0 , , необходимо разложить числитель и знаменатель на множители и сократить их на общий множитель x 2 . lim x 2 x 2 16 x 24 x3 8 2 lim 2 x x 2x 2 x 6 2 x2 lim 2x 4 x 2x 6 2 x2 2x 4 2 . 3 x 2 16 . Пример 4. Найти предел lim 2x 7 x 4 5 x Решение: аргумента x Непосредственная подстановка предельного приводит к неопределѐнности вида 4 значения . Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби 2x 7 . на выражение 5 x ( x 2 16)( 5 x lim x lim x 4 x 2 16 5 x 4( 5 5 x 2 x 2x 7 ) 2 x 7 )( 5 x 2x 7 2x 7 2 2x 7 ) x 2 16 5 x 2x 7 lim 5 x 2x 7 x 4 29 lim x x 2 16 4 lim x x 4 5 x 3 4 2x 7 lim x x 4 x 4 4 1 lim x 4 3x 4 5 x 3x 4 5 x 2x 7 16 . 3 2x 7  Вопросы для конспектирования 1. Дайте определение предела функции. 2. Сформулируйте основные теоремы о пределах. 3. Используя определение предела функции, покажите, что . 4. Задача: Найти предел функции: 2) 3) 4) 5) 1) lim (9 x x 1 5 x 2x 7 3x 12 2 6 x 8) lim x 2 x2 5x 6 x 2 3 x 2 27 3 5 lim x 3x 2 1 2х 2 lim x 2х 1 3х 1 lim x 1 4 х х2 х 1 2 Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Вычислите пределы, используя различные способы разложения на множители: Задание 2. Вычислите пределы, используя правило умножения на сопряженный множитель. 30 10.Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов. Кроме рассмотренного понятия предела функции при х существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности. Определение. Число А называется пределом функции функции у = f (x) на бесконечности (или при х, стремящемся к бесконечности), если для всех достаточно больших по модулю значений аргумента х соответствующие значения функции f (x) сколь угодно мало отличаются от числа А. Обозначают: Для раскрытия неопределенности вида ( существует несколько искусственных приѐмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приѐмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжѐнное выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращѐнного умножения. Пример 1. Найти . Решение. При знаменатель также стремится к бесконечности, а обратная ему величина Следовательно, произведение стремится к нулю, если Пример 2. Найти предел lim 2x 2 x 3x 4 x 4 . Итак, . 1 Решение: Теорему о пределе частного здесь применить нельзя, так как числитель и знаменатель дроби конечного предела не имеют. В данном случае имеет место неопределѐнность вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на х в высшей степени (в данном случае на х2 ), а затем воспользуемся теоремами о пределах функций: lim x 2x 2 3x 4 x 4 1 lim 2x 2 3x 4 x2 x2 x2 x x 4 1 x 4 4 Пример 3. Найти предел lim x x 2 lim x 3x 2 4 x 3 3 x 1 4 x2 1 2 1 2. x2 5 . 4x 6 Решение: Приведѐм дроби к общему знаменателю: 31 lim x lim 3x 2 4 x 3 12 x 3 5 4x 6 18 x 2 4 4x 6 x 3 4x x 16 x 4x 2 x lim 3x 2 24 5 x 15 lim 5 x 3 6 12 x 3 4x 2 x 6 x 18 18 x 2 21x 9 ; 6 x 18 Числитель и знаменатель дроби – бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределѐнность вида неопределѐнность, разделим степень x , т. е. на x 3 : lim x 12 x 3 18 x 4x 2 2 21x 6 x 18 . Раскрывая эту числитель и знаменатель дроби на высшую 18 x 12 9 lim x 4 x 21 9 x2 x3 6 18 x2 x3 12 0 0 0 0 0 0 12 Пример 4. Решение: умножим при на , имеем сопряженный , раскроем путем деления на , т.к. : тогда: 32 .  1) 2) 3) Вопросы для конспектирования Дайте определение предела функции на бесконечности. Сформулируйте основные теоремы о пределах. Задача: Найти предел функции: Вариант 1 Задание 1. Вычислите при х Вариант 2 : 33 11.Первый и второй замечательные пределы. Замечательных пределов существует несколько, но самыми известными являются первый и второй замечательные пределы. Замечательность этих пределов состоит в том, что они имеют широкое применение и с их помощью можно найти и другие пределы, встречающиеся в многочисленных задачах. Этим мы и будем заниматься в практической части. Для решения задач путѐм приведения к первому или второму замечательному пределу не нужно раскрывать содержащиеся в них неопределѐнности, поскольку значения этих пределов уже давно вывели великие математики. Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере: sin x 0 x lim 1 (1) Приведенное выше равенство основано на эквивалентности бесконечно малых . Следовательно, верно равенство и следующего отношения: x x lim sin x 1 (2) Это разновидность первого замечательного предела. Рассмотрим решение задач на первый замечательный предел. Заметим: если под знаком предела находится тригонометрическая функция, это почти верный признак того, что это выражение можно привести к первому замечательному пределу. Пример 1.Найти предел x Решение: Чтобы получить первый замечательный предел , нужно, чтобы икс под знаком синуса в числителе и просто икс в знаменателе были с одним и тем же коэффициентом. Пусть это будет коэффициент 2. Пример 2.Найти предел Решение: В знаменателе – синус, следовательно, выражение можно привести к первому замечательному пределу. В знаменателе синус трех икс, а в числителе лишь один икс. Значит нужно получить и три икс в числителе: 34 Пример 3.Найти предел Решение: Вторым замечательным пределом называется предел (3), где е=2,718284… - иррациональное число. Обратим внимание на то, что в формуле для второго замечательного предела в показателе степени должно стоять выражение, обратное тому, которое прибавляется к единице в основании (так как в этом случае можно ввести замену переменных и свести искомый предел ко второму замечательному пределу). Непосредственная подстановка в выражение приводит к бесконечности вида . Значит, если при непосредственном вычислении предела получилась неопределенность такого вида. То решать задачу следует путем приведения ко второму замечательному пределу. Второй замечательный предел может быть и записан в другом виде, если положить: z = , тогда из условия х . Получим: (4) Пример 1. Найти предел Решение: = на n, которая так же стремится к бесконечности/= =/заменяя функцию 6х = . Пример 2.Найти предел Решение: Бесконечность в показателе степени - признак того, что выражение можно привести к отношению двух вторых замечательных пределов. В самом деле, если числитель и знаменатель почленно разделить на х, то слева и в числителе и в знаменателе будет уже по единице: 35 = = . Почти второй замечательный предел. Необходимо, чтобы во вторых слагаемых и в числителе, и в знаменателе были единицы. Для этого произведем замены функций: Подставляя, получим: Пример 3.Найти предел Решение:  1) 2) 3) Вопросы для конспектирования Запишите первый и второй замечательные пределы. Сформулируйте основные теоремы о пределах. Задача: Найти предел функции: 7. 3. 2. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Вычислить пределы, содержащие тригонометрические функции: 36 Задание 2. Вычислите пределы, путем применения второго замечательного предела. 37 12.Производная, правила дифференцирования, производная сложной функции. Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмѐм точку х Х. Дадим значению х приращение x 0 , тогда функция получит приращение y f x x f x (1) Определение. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению переменной х, при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует): y lim x y x lim x f (x x) x f ( x) Основные правила дифференцирования: Если С ─ постоянное число, U U x , V производные, тогда: 1) С 0; 2) U V U V ; 3) (CU ) CU ; 4) U V U V VU ; 5) U V U V VU V2 (2) V x ─ функции, имеющие . Если у есть функция от u : y = f(u), где u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: u = , т.е. у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции): y=f[(φ(x)]. Производная сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной, т.е. y f (u) u . Таблица производных основных функций № Формула Формула 1 1 ( xn ) n xn 1 un n un 1 u 1 1 2 2 (a x ) a x ln a ( a 0, a 1) (u x ) u u x ln u 2 2 3 3 x x u u u 3 3 1 u 4 4 loqa x (loqau ) ( a 0, a 1) x ln a u ln a 4 4 1 u 5 5 (ln x) ln u 5 5 x u (sin x) cos x 6 6 sin u u cosu 6 6 7 7 cos x sin x cosu u sin u 7 7 38 8 1 tqx 8 1 ctqx 9 1 8 2 cos x 1 8 2 9 1 arcsin x 10 1 1 1 x 1 12 1 1 x 1 x 1 2 1 u2 u 1 u2 u arctgu 12 1 arcctgx 13 1 2 u arccosu 11 1 arctgx sin 2 u arcsinu 10 2 cos2 u u ctqu 1 1 x2 1 arccosx 11 1 sin x u tqu 1 u2 u arcctgu 13 1 u2 Пример 1. Найти производные функций: a) y sin cos 5x ; 3 b) y x e 3x ; 5 c) y arctg 2x 1 x2 . Решение: а) функцию y sin cos 5x можно представить в виде y sin u , где правило дифференцирования сложной u cos5x . Поэтому, используя функции и формулы таблицы производных y (sin( u )) u cos u (cos 5 x) cos cos 5 x 5 sin 5 x cos cos 5 x ; б) функция y=ln sin x представлена произведением двух функций, поэтому на основании правила производной произведения: 1 1 e3x x3 y e 3x 5 5 9e 3 x x 3 3 x e 3x x3 e 3x 9x 1 2 3 c) функцию y arctg u 2x 1 x2 5 3 x 1 x 3 2 3 1 e 3x 3e 3 x x 3 5 e 3x 3 5 3 x 3e 3 x 3 x 2 5 2 2x 1 x2 , используя формулу можно представить в виде y arctgu, где производной арктангенса и правила дифференцирования частного получим: 2 x 1 x2 1 y 1 2x 1 x2 2 1 2 x2 2 x4 2 1 x2 1 1 2 x2 1 x2 1 x2  2 2 x 1 x2 x4 4 x2 1 x2 2 2 2 x2 4 x2 2 2 x2 2 1 x2 2 2 1 x2 2 1 x2 2 1 x2 1 x2 2x 1 x2 2x 2 . Вопросы для конспектирования 1. Определение производной функции. 39 1) у= 2) у= 2. Формулы дифференцирования суммы, произведения, частного двух функций. 3. Сложная функция и правило ее дифференцирования. 4. Таблица производных сложной функции. 5. Задача: Найти производную функции: 5) у=(3 -2х+1) 3) у= ; 6) у= tgx + . 4)у=2 +3х Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Найти производные функции: 1. y 5x 7 6 x 4 7 x3 2 1. y 3 2 x 8 2. y ( x3 2. f ( x) 1 (ctgx)3 tg 3x 3 3. y ex 2 4x 1 x2 5 5x 2 3. y ln cos 7 x 4. y ln cos7 x 5. y 3 3x 1) x 4. y (ctg 2 x) 5 x 4 35 x 5. y 6. y (4 x5 x 1)3 7. f ( x) (1 cos x) sin x y x2 e3 1 1 tg(3x sin x sin x cos 4 x 6. 8. y 1 cos x 1 cos x 7. y 9. S 2 x 2 3x 1 x 1 8. y (4 x 2) ( x 2 9. y ln x 2 x 3 10. y 3x x 2 x 2 4) 10. y ex ex 3 2 2x 3x 2) x2 40 13.Асимптоты графика функции. Асимптота–это прямая, к которой неограниченно близко приближается график функции при удалении его переменной точки в бесконечность. Прямая х= , параллельная оси Оу, называется вертикальной асимптотой графика функции у = f(x) , если . Прямая линия называется наклонной (горизонтальной) асимптотой графика функции у = f(x), если . Частным случаем наклонной асимптоты является горизонтальная асимптота, параллельная оси Ох. Пусть график функции у = f(x) имеет наклонную асимптоту у = kx+b. Тогда угловой коэффициент и свободный член асимптоты определяются по формулам: k= ; b= ( (1) Пример 1. Найти асимптоты графика функции у = . Решение: 1) Сначала проверяем, есть ли вертикальные асимптоты. Знаменатель обращается в ноль при х = - , в данной точке функция терпит разрыв , а прямая, заданная уравнением х= - , является вертикальной асимптотой графика функции у = . 2) Проверим наличие наклонных асимптот: Первый предел конечен, значит, необходимо найти второй предел: Второй предел тоже конечен. Таким образом, наша асимптота: Вывод: прямая, заданная уравнением у=2 является горизонтальной асимптотой графика функции. Ответ: х= - 41 Пример 2. Найти асимптоты графика функции Решение: 1) Поскольку знаменатель положителен, то функция непрерывна на всей числовой прямой, и вертикальные асимптоты отсутствуют; 2) Проверим наличие наклонных асимптот: Первый предел конечен. В ходе вычисления второго предела для устранения неопределенности «бесконечность минус бесконечность» приводим выражение к общему знаменателю: Второй предел тоже конечен, следовательно, рассматриваемой функции существует наклонная асимптота: у графика Вывод: у = 42  Контрольные вопросы: 1. Что называют асимптотой графика функции. 2. Как найти асимптоты графика? 3. Задача: Найти асимптоты графика функции: 1) 2) 3) Вариант 1 Вариант 2 1. Задание 1. Найти асимптоты графика функции y = f(x), если: а) f ( x) x2 ; 2x 3 а) f ( x) x2 1 ; 3x 5 б) f ( x) x2 1 ; x 3 б) f ( x) x2 2 ; 2x 1 43 14.Исследование функции одной переменной и построение графика. Общая схема исследования функции. Для полного исследования функции и построения еѐ графика рекомендуется использовать следующую схему: 1) найти область определения функции; 2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют); 3)исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты; 4)исследовать функцию на чѐтность (нечѐтность) и на периодичность (для тригонометрических функций); 5)найти экстремумы и интервалы монотонности функции; 6)определить интервалы выпуклости и точки перегиба; 7)найти точки пересечения с осями координат, если возможно и некоторые дополнительные точки, уточняющие график. Исследование функции проводится одновременно с построением еѐ графика. x2 1 Пример 1 . Исследовать функцию y x2 1 и построить график. Решение: 1) область определения : x ( ; 1) ( 1;1) (1; ) ; 1 , x 2 1. 2) функция терпит разрыв в точках x1 Исследуем функцию на наличие вертикальных асимптот. lim x 2 1 0x 2 lim x x2 1 x 1 0x 2 ; lim 1 ; lim 1 2 1 0x 2 x 1 x2 1 x x 1 0x 2 1 1 1 1 ─ вертикальная асимптота. , x1 1 ─ вертикальная асимптота; , x2 3) исследуем функцию на наличие наклонных и горизонтальных асимптот. Прямая y kx b ─ наклонная асимптота, если k lim f ( x) , x b x lim ( f ( x) kx) . x k lim x x2 1 ( x 2 1) x 0, b lim x x2 1 x2 1 0 x 1. Прямая y 1 ─ горизонтальная асимптота. 4) функция является чѐтной т.к. y( x) ( x) 2 1 ( x) 2 1 x2 1 x2 1 y( x) . Чѐтность функции указывает на симметричность графика относительно оси ординат; 5) найдем интервалы монотонности и экстремумы функции. 44 y ( x 2 1) ( x 2 1) ( x 2 1) ( x 2 1) ( x 2 1) 2 4x ( x 1) 2 2 . Найдѐм критические точки, т.е. точки в которых производная равна 0 или не существует: 4x 0 ; ( x 2 1) 2 0 . Имеем три точки x1 0 ; x2 1; x3 1 . Эти точки разбивают всю действительную ось на четыре промежутка. Определим знаки y на каждом из них. y + ─ + -1 ─ 1 max На интервалах (-∞; -1) и (-1; 0) функция возрастает, на интервалах (0; 1) и (1 ; +∞) ─ убывает. При переходе через точку x 0 производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, в этой точке функция имеет максимум y max f (0) 1 ; 6) найдѐм интервалы выпуклости, точки перегиба. y 4(3x 2 1) 4x ( x 2 1) 2 ( x 2 1)3 . Найдѐм точки, в которых y равна 0 или не существует. 1 , x2 1 3x 2 1 0 не имеет действительных корней. x 2 1 0 , x1 Точки x1 1 и x2 1 разбивают действительную ось на три интервала. Определим знак y на каждом промежутке. y ─ + -1 + 1 ; 1 и 1; Таким образом, кривая, на интервалах выпуклая вниз и выпуклая вверх на интервале (-1;1); точек перегиба нет, т. к. функция в точках x1 1 и x2 1 не определена; 7) найдем точки пересечения с осями. С осью Oy график функции пересекается в точке (0; -1), а с осью Ox график не пересекается, т.к. числитель данной функции не имеет действительных корней. Изобразим график данной функции. 45 y x -1 -1 1 Рисунок ─ График функции y  1. 2. 3. 4. 5. 1) у = x2 1 x2 1 Вопросы для конспектирования Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции? Как найти промежутки возрастания и убывания функции? Как найти точки экстремума? Как определяется выпуклость и вогнутость кривой? Задача: Построить график функции: 2) у= ; 3) у= ; 4) у =2 Вариант 1 Вариант 2 1. Задание 1. Исследовать функцию на экстремум, найти точки перегиба, асимптоты и построить график функции y = f(x), если: а) y x3 9 x 2 б) f ( x) 1 x2 ; x 2 24 x 12; 1 3 x 3 4 б) f ( x) x а) y 1 2 1 x 2x ; 2 3 x2 ; 1 46 15.Приложение дифференциала к приближенным вычислениям значений функций. Нахождение дифференциала функции, так же как и нахождение производной, является из основных задач дифференциального исчисления. Определение. Дифференциалом функции в некоторой точке х называется главная линейная часть приращения функции. Дифференциал функции у = f(x) равен произведению ее производной на приращение независимой переменной х (аргумента). Записывают: dy=yꞌ или df(x) = f ꞌ(x) или же df(x) = f ꞌ(x) (1) Геометрический смысл дифференциала Дифференциал функции y =f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведенной к графику этой функции в точке М(х;у), при изменении аргумента х на величину = . Пример 1.Найти дифференциал функции: у(х) = х + ln(х). Решение: согдасно определению искомый дифференциал равен: dy=y′(x)dx. Найдем производную данной функции: у′(х) = (х + ln(х))′ = 1+ .Тогда, dy= dx. Почему дифференциал можно использовать в приближенных вычислениях? Дифференциал dy=yꞌ является главной, линейной относительно частью приращения функции: чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях приращение функции можно приближенно заменить его главной частью yꞌ , т.е yꞌ . Поэтому дифференциал функции может применяться для решения тех задач, где нас интересует лишь приближенное , а не точное значение некоторой функции. Запишем приближенное равенство более подробно: f(x0+ ,а 47 dу= f′(x0) , то f(x0+ f′(x0) или f(x0+ + f′(x0) (2) Пример 2.Извлечь приближенный квадратный корень из числа 4960. Решение. Возьмем вместо 4960 приближенное число 4900, получим Определим dу при dх=4960-4900=60: dу= . Значит, 70+ dу . Пример 3.Найти приближенное значение . Решение. Рассмотрим функцию у = и найдем ее дифференциал: dy . = Вычислим приращение функции до 31, т.е. при dy = при изменении аргумента х от 32 Следовательно, у + dу= Пример 4. Вычислить приближенно Решение. Рассмотрим функцию f(x) = следовательно, f( f(3,002)= f′( Здесь 3,002, , Находим f( f(3)= =81, Итак, Пример 5. Вычислить приближенно Решение. Будем искать приближенное значение функции у = х = 31 исходя из ее точного значения при х = 30 . Имеем Найдем Далее dy= dy= при х= получим , 0,866 Таким образом,  1. 2. 3. 4. 5. dy=0,5+ Вопросы для конспектирования: Что называется дифференциалом функции? Чему равен дифференциал функции? Как обозначается дифференциал функции? Каков геометрический смысл дифференциала функции? Задача: Найти дифференциалы функций: 1) 2) 3) Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Пользуясь понятием дифференциала, вычислить приближенно: 1) 1) ; 2) ; . 1) ; ; 3) . 48 16.Неопределенный интеграл. Таблица интегралов Способы нахождения неопределенного интеграла. Непрерывная функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке Х , если для каждого х : F΄(x) = f(x). Задача нахождения первообразной имеет бесчисленное множество решений. Этот факт нашѐл отражение в определении неопределѐнного интеграла. Неопределѐнный интеграл функции f(x) на промежутке Х есть множество всех еѐ первообразных. Это записывается в виде: где С – любая постоянная, называемая постоянной интегрирования. Основные свойства неопределѐнного интеграла 1. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке Х, и k – число, то Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 2. Если функции f(x) и g(x) имеют первообразные на промежутке Х , то Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов. 3. Если функция f(x) имеет первообразную на промежутке Х , то для внутренних точек этого промежутка: f(x) . Производная от интеграла равна подынтегральной функции. Таблица основных интегралов № 1 Формула 0 dx C № 8 1 dx dx x C 9 2 ctgx C sin 2 x 9 3 n 4 x n dx xn 1 C, n 1 dx 1 10 1, n const dx ln x C x 1 11 a2 x 5 a x dx a ln a tgx C cos 2 x dx 4 5 C 8 2 2 3 Формула cos xdx sin x C, a x2 dx 0, a 1 1 a2 x2 arcsin x a 1 x arctg a a C C 12 49 6 6 dx x e dx e x 1 C 6 13 x2 1 x ln 2a x a2 dx 7 sin xdx cos x C 7 1 14 x2 ln x a a x2 C a C a Методы вычисления неопределенного интеграла Вычисление интегралов способом приведения их к табличному с помощью преобразования подынтегрального выражения и применения свойств интегралов называется методом непосредственного интегрирования. Пример 1. dx= +C= Пример 2. )dx = Пример 3. x Пример 4. Пример 5. dx= = - =-ctgx-tgx+C. = arcsinx+C. Интегрирование методом замены переменной Возникает вопрос, как правильно выбрать подстановку? Это достигается практикой в интегрировании. Все же можно установить ряд общих правил и некоторых приемов для частных случаев интегрирования. Правило интегрирования: 1) Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно). 2) Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменой, и записывают эту замену. 3) Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной( или выражение содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной. 4) Производят замену под интегралом. 5) В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверить дифференцированием. Частные приемы будут рассмотрены в ходе решения примеров. Пример 1. Если под знаком интеграла содержится показательная функция, то за новую переменную t часто удобно принимать показатель степени, если к тому же под интегралом присутствует производная этого показателя с точностью до постоянного множителя. 50 Пример 2. Если под интегралом содержится логарифмическая функция, то часто удобно принять ее за новую переменную, если под знаком интеграла присутствует к тому же и производная этой функции (с точностью до постоянного множителя). = Пример 3. Часто удобно обозначать за новую переменную знаменатель дроби подынтегральной функции. = = ln Пример 4. Часто за новую переменную удобно взять подкоренное выражение, если под интегралом присутствует также его производная с точностью до постоянного множителя. Пример 5. Новая переменная иногда выбирается из следующих соображений: в знаменателе стоит разность постоянной и квадрата некоторой функции. Эту функцию мы принимаем за новую переменную, если в числителе присутствует ее производная (с точностью до постоянного множителя). = Интегрирование по частям Интегрирование ―по частям‖ производится по формуле 51 (1) Чтобы воспользоваться этой формулой, следует один множитель в подынтегральном выражении обозначить за ―u‖, а оставшийся множитель вместе с dx принять за “dv”. Для того, чтобы интеграл в правой части был проще данного интеграла, надо правильно выбрать ―u‖ и ―dv‖. В интегралах, берущихся по частям, обычно логарифмическую и обратные тригонометрические функции принимают за “u”. Если подынтегральная функция содержит произведение степенной функции на показательную или тригонометрическую, то за “u” принимается степенная функция. Пример 1. =lnx Пример 2. = x·( Пример 3. = 5x - 25 (x-5)+C.  1. 2. 3. 4. Вопросы для конспектирования Определение неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица основных формул интегрирования. Непосредственное интегрирование. Приемы непосредственного интегрирования. 5. Метод подстановки при нахождении неопределенных интегралов. 6. Формула интегрирования по частям. 7. Задача: Найти неопределенный интеграл: 1) 7 3x2 5x4 6 x dx Вариант 1 3 3x 2) dx 5x2 x 3) 7 8x3 2 x 2 dx Вариант 2 52 Задание 1. Найти неопределенный интеграл: 1) 2 x3 6 x 8 dx 8) 4 2) x3 e x 7 dx 3xdx sin 5 2 x 2 2 3 9) x 3x 2 4 dx 1) 2 x3 6 x 8 dx 8) 4 9) x 3x 2 4 dx 2 3 x2 3) dx 7x x 10) cos2 4x dx 11) 7 x6 5x 3 dx 2 x2 12) 3 sin 2 x dx sin 2 x 10) cos 4x dx 4) sin8 x cos x dx 11) 7 x6 5x 3 dx 2 x2 4) sin8 x cos x dx 12) 3 sin 2 x dx sin 2 x 5) x 5) x 2 x 2 1dx 6) 3x 4 ln x dx 7) x 2 dx 5 2 x3 3 2) x3 e x 7 dx 2 3 x2 3) dx 7x x 2 3xdx sin 5 2 x 2 2 2 x 2 1dx 13) e x 3 x dx 6) 3x 4 ln x dx 14) cos 2x dx 7) x 2 dx 5 2 x3 13) e x 3 x dx 14) cos 2x dx 53 17.Определенный интеграл, метод подстановки. Если F(x) +C – первообразная для функции f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента от х=а до х = b называется определенным интегралом и обозначается символом – (1) где a- нижний предел, а b- верхний предел определенного интеграла. Символ читается так: «определенный интеграл от а до b эф от икс дэ икс». Функция предполагается непрерывной в промежутке изменении аргумента х от а до b. Для вычисления определенного интеграла находят: 1. Неопределенный интеграл 2. Значение интеграла b, С=0, т.е.вычисляют 3. Значение интеграла а, С=0, т.е.вычисляют 4. Разность – Процесс вычисления виден из формулы – . Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница. Обратите внимание на то, что определенный интеграл – это число, в отличие от неопределенного интеграла, который является множеством функций. Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл (вернее, найти лишь одну первообразную, не прибавляя произвольной постоянной), а затем вычислить разность значений первообразной в верхнем и нижнем пределах. Простейшие свойства определенного интеграла 1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный: . 2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла: , где k- постоянная величина. 3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций, т.е. 4. Если а,b,с принадлежат интервалу, на котором функция f(x) непрерывна, то 54 Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница 3 Пример 1. x2 2 xdx 2 3 32 2 2 22 2 9 2 1 12 1 4 2 5 2 Пример2. 1 x2 2 2 2 x 1 dx 1 1 x2 x x 1 1 2 1 2 0 1 Пример3. 3. 2 5 x 4 2 x5 5 5 2 x 8 dx 1 2 x2 2 2 x5 8 x x2 8 x 2 1 1 25 2 2 8 2 15 12 8 1 32 4 16 1 1 8 20 6 26 Для вычисления определенного интеграла с помощью подстановки поступают так же, как и при вычислении неопределенного интеграла, этим способом. Однако в случае определенного интеграла имеется одна особенность, на которую следует обратить внимание: нужно помнить, что заменяя переменную под знаком интеграла, следует изменить и пределы интегрирования. Пример 1. t 2 x 1, dt 2 3 2 x 1 dx 1 2dx, 1 dx dt 2 t1 2 1 1 3 t2 1 4 5 8 t 3 3 1 dt 2 5 1 3 t dt 23 1 t4 2 4 5 3 1 4 t 8 5 3 2 2 1 5 1 625 81 8 34 5 68 Пример 2. 2 x dt 4 cos(2 x)dx 2dx, 2 1 dx dt 2 t1 2 0 0 t2 1 sin 2 2 t, sin 0 2 4 1 cost dt 2 12 costdt 20 2 1 sin t 2 2 1 1 0 2 1 2 55  Вопросы для конспектирования 1. Что такое определенный интеграл? 2. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. 3. Запишите формулу Ньютона – Лейбница. 4. Задача: Вычислить определенный интеграл: 2) 1) 3) Задание 1. Вычислить интегралы: а) б) 2 x 2 dx ; 1 2 2x в) 2 1 1 д) ; 2 б) 2 sin xdx ; x 1 2 ; 4 в) x 1 4 5 dx 1 г) 1 cos 2 x dx ; dx 2 12 а) 2 0 cos x dx ; г) 2 dx ; 2x 0 cos 2 9 1 е) 2 dx x 2 . д) 2 3 sin е) ; 3 2 x 3 dx ; 7 dx 3 x dx : 3 2 4 1 3x dx ; 56 18.Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур. Определение. Криволинейной трапецией называется фигура, y y = f(x) Sфиг О x b a ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции f (x ) , x a; b , прямыми x a , x b и отрезком оси OX . Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции. Итак, b Sфигу ры f ( x)dx (1) Рассмотрим основные типы задач на вычисление площадей плоских фигур a 1. y y = f(x) b S f ( x )dx a О 2. a b x a b x y О b S f ( x )dx a y = f(x) 3. y y = f(x) b S f ( x ) g ( x ) dx a О 4. a b y = g(x) y y = f(x) y = g(x) c S f ( x )dx a О a c b g ( x )dx c b 57 Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 y , x 1, x 2 , y 0 . x Решение. Построим данную фигуру и вычислим 2 у 2 1 dx ln x 1 ln 2 ln 1 ln 2 0 x 1 1 y ln 2 0,7 (кв.ед.) x Ответ: S 0,7 (кв.ед.) . Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y 2 x x2 и y 0 Решение. Построим данную фигуру. Найдем точки пересечения параболы с OX : у 2 x x2 0 , x 2 x 0, x 0 , x 2 2 y 2 x x О y0 1 х Найдем координаты вершины параболы x0 ; y0 : b 2 x0 1, 2 a 2 1 2 1 12 1 . Итак, 1;1 – вершина. 2 S 2 x 2 x dx 4 8 3 4 2 x2 2 2 x3 3 2 x 2 x3 3 2 2 2 23 3 2 03 3 2 1 1 (кв.ед.) 3 3 1 (кв.ед.) 3 Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у =x2-6x+5 и прямой y = x-1. Решение. Построим параболу и прямую. Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат. Вершина параболы является точкой экстремума, поэтому для ее отыскания найдем производную и приравняем ее к нулю. у΄ = ( = 2x-6; 2 2x-6=0; х=3, тогда у(3)=3 -6·3+5=9-19+5=-4. Итак, вершина параболы в точке (3;-4). Точки пересечения параболы с осью Ох: y=0, тогда , откуда х1= 1; х2 =5, то есть точки (1;0) и (5;0). Точка пересечения с осью Оу: х=0, тогда y=5; то есть точка (0;5). Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы Ответ: S 1 58 направлены вверх. Прямую y = х-1 строим по двум точкам: (0;-1) и (1;0). Полученные точки заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой. Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений: ⤇ D = 49 - 4·6=25; х1,2 = ; х1 =1; х2 = 6. Для отыскания искомой площади воспользуемся формулой S= где функции ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при x . В нашей задаче = x . Поэтому: S= + Ответ: Площадь искомой криволинейной трапеции:S= кв.ед). Задание. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) y № шаг а x, y 2, x План вычисления площади криволинейной трапеции 9; б) y а) y x 2 , y 2 x, y 0 . Применение плана б) y x 2 , y 2 x, y 0 x , y 2, x 9 59 1 Строим заданные линии и штриховкой отмечаем фигуру, площадь которой надо найти. Установим, является ли эта фигура криволинейной трапецией 2 Записываем формулу для вычисления площади искомой фигуры S S ABCDE b Находим интегрирования пределы Вычисляем искомую площадь по формуле (*) 4 a x, y S 4, b 9 2x 4 2 9 2dx 2x 2 3 3 4 2 x; x 2 0 1 9 (2 x3 3 2 ( 27 8 ) 2( 9 4 ) 3 4 S 2 2 (кв.ед.) 3 x 2;1 2 x 2 dx S 4 x )dx x2 , x2 xB 8 , 3 S (2 a y 4, x 9 x dx 4 b x 2 dx y 9 S ACB x 2; xA S OAC 2dx a y a S b x dx a 3 S ABDE x )dx 1 1 2x 4 2 x2 2 2 2 1 3 1 1 2 5 , 6 5 (кв.ед.) 6  Вопросы для конспектирования 1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла? 2. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла. 3. Назовите методы интегрирования. 4. Задача: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1) y 2x x2 , y 3 4 2) y x 3 , y 1, x 2 y 3) 5 ,y x 6 x Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными уравнениями: а) y=x²-2x+2; x=-1; x=2, а) y= x²-2x+1; 2x-y-2=0. б) y= x²-8x+16; y= 6-x. б) y= x²-6x+9; 3x-y-9=0. в) 2x-x²-y=0; в) y= x², y= -3x. y=0. y=0 . 60 19.Определение дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функции у и ее производные или дифференциалы. Символически дифференциальное уравнение записывают так: F(x,у,у′)=0, F(x,у,у′′)=0, F(x,у,у′,у′′,…..у(n))=0 (1) Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного. Например, 6у′-ху=0, у′=2х+у, xdx-ydy=0-дифференциальные уравнения. Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого дифференциального уравнения. Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество. Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции. Таким образом, при решении дифференциального уравнения сначало получается общее решение. Затем, если известны начальные данные, то можно получить частное решение. Для этого нужно: 1) подставить начальные данные в общее решение и вычислить С; 2) полученное числовое значение С подставить в общее решение. Задача отыскания конкретного частного решения данного дифференциального уравнения по начальным данным называется задачей Коши. Пример 1. Проверить подстановкой, что дифференциальное уравнение имеет общее решение в виде найти частное решение, удовлетворяющее условию при Решение. Подставим в дифференциальное уравнение: получаем Частное решение. 61 Дифференциальные уравнении первого порядка с разделенными переменными Уравнение вида: f(x)dx + , (2) где f(x) и -данные функции, называется уравнением с разделенными переменными. Решение таких уравнений выполняется непосредственным интегрированием. Пример 2. Решить уравнение xdx + . Решение. Здесь переменные разделены. Интегрируя, получим + = С; + = С; =2С.Так как С произвольно, то 2 можно обозначить 2С через С , учитывая, что левая часть последнего равенства положительна. Тогда это равенство примет вид С2. Это и есть общее решение, или как говорят, общий интеграл дифференциального уравнения. Дифференциальные уравнении первого порядка с разделяющимися переменными Уравнение вида: М1(x)N1(у)dx + М2(x)N2(у)dy=0, (3) называется уравнением с разделяющимися переменными, где М1(x), N1(у), М2(x), N2(у) – заданные функции. уравнение можно привести к уравнению (1), если разделить все его члены на произведение N1(у) М2(x). Пример 3. Решить уравнение (y +1)dx=(x-1)dy Решение. Разделим обе части уравнения на (y +1)(x-1), получим: dx x 1 dy y 1 dx dy y 1 Теперь интегрируем: x 1 ln( x 1) C ln( y 1) Так как С произвольно, можно положить С=lnC, то получим: ln(x-1)+lnC=ln(y+1) lnC(x-1)=ln(y+1) Cx-C=y+1 y=Cx-C-1 Пример 4. Найти частное решение дифференциального уравнения Решение: Раскроем скобки интегрируем: Есть правило: если в решении содержится логарифм, то константу интегрирования также записываем как Умножим на : - это общее решение дифференциального уравнения. 62 Найдем частное решение. Для этого вычислим Частное решение:  1. 2. 3. 4. 5. 6. 1) 2dy x Вопросы для конспектирования Какое уравнение называется дифференциальным? Что называется решением дифференциального уравнения? Что называют общим решением дифференциального уравнения? Что называют частным решением дифференциального уравнения? Как найти решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными? Задача: Решить уравнение: хуdx+(1+x2)dy=0. ydx 2) x 2 dy y 2 dx 3) ( x 2)dx y 4 dy Задание 1. Найти частное решение дифференциального уравнения: 1) (1+y2)dx = xy dy y=1 при x=2 2) (1+y2)dx = xy dy, y=1 при x=2; 1) (1-x2)y +xy = 0 y=4 при x=0 2) (1 + х)у3dx – (у2 – 1)х3dy = 0, y = 1 при х = 1. 63 20.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение вида у′ + р(х)у = q(x), (1) где р(х) и q(x)-непрерывные функции. Название уравнения «линейное» связано с тем, что неизвестная функция и ее производная входят в первой степени, т.е. линейно. Линейное однородное уравнение будет, если q(x)=0, т.е это уравнение вида: у′ + р(х)у = 0. (2) Это уравнение с разделяющимися переменными и его решение будет иметь вид: у=С (3) Линейное неоднородное уравнение будет, если q(x) тождественно нулю : q(x) 0: у′ + р(х)у = q(x), (4) Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом Бернулли Чтобы решить дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью (q 0), нужно свести его к уравнению с разделяющимися переменными. При решении таких уравнений применяют метод Бернулли. Для этого используют подстановку у = uv, в результате которой уравнение у′ + р(х)у = q(x), (5) сводится к двум уравнения с разделяющимися переменными: u′+pu=0; uv′=q, (6) где u и v – новые функции переменной х. Одну из этих функций подбирают так, чтобы уравнение, содержащее другую функцию, стало уравнением с разделяющимися переменными. Пример 1. Решить уравнение у′ - у = х. Решение. Это линейное уравнение , так как оно имеет вид у′ + р(х)у = q(x), где р = - , q(x)=х. Положим у = uv; тогда у′ = u′v+ uv′. Подставив выражения у и у′ в исходное уравнение, получим u′v+ uv′ - uv = х, или u(v′ - v)+ u′v = х (1) Cчитая, что неизвестная функция у является произведением двух (также неизвестных) функций u и v, мы тем самым можем одну из этих функций выбрать произвольно. Поэтому приравняем к нулю коэффициент при u в уравнении (1): v′ - v=0. Разделяя переменные в полученном уравнении, имеем =3 ; ; lnv=3lnx; v= . 64 Снова ввиду произвольности в выборе мы можем не учитывать произвольную постоянную С (точнее –можем приравнять ее к нулю). Найденное значение подставляем в уравнение (1): u′ = х ; u′ = ; du = dx; = ; u = - +с. (здесь С писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение). Тогда окончательно получим у = u v= (С . Пример 2. Решить уравнение у′ + tgx у = . Решение. Это -линейное уравнение , так как оно имеет вид у′ + р(х)у = q(x), (7) где р = tgx, q(x)= . Пусть у = uv; тогда у′ = u′v+ uv′. Подставив выражения у и у′ в исходное уравнение, получим u′v+ uv′ + tgx uv = , или u′v+ u(v′ + tgx v) = (2) Из двух функций u и v одну можно выбрать произвольно; поэтому определим функцию v так , чтобы множитель при u в уравнении (2) обратился в нуль, т.е. чтобы v′ + tgx v=0 или tgx dx=0, откуда + = 0; ln - ln =0; v= (произвольную постоянную С принимаем равной нулю). Подставляя выражение функции v в уравнение (2), для определения u получим уравнение u′ = du= , откуда = , т.е. = + C. Так как у = u v, то общее решение заданного уравнения примет вид у= + C) Алгоритм решение линейного дифференциального уравнения первого порядка 1. Приводят уравнение к виду у′ + р(х)у = q(x). 2. Используя подстановку у = u v, находят у′ = u′v+ uv′ и подставляют эти выражения в уравнение. 3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций u или v за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в скобках к нулю и решив полученное уравнение. 4. Подставляют найденную функцию в оставшееся выражение и находят вторую функцию. 5. Записывают общее решение, подставив выражения для найденных функций u и v в равенство у = u v. 6. Если требуется найти частное решение, то определяют С из начальных условий и подставляют в общее решение.  Вопросы для конспектирования 1. Какое уравнение называется дифференциальным? 2. Что называется решением дифференциального уравнения? 65 3. Что называют общим решением дифференциального уравнения? 4. Что называют частным решением дифференциального уравнения? 5. Как найти решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными? 6. Алгоритм решения дифференциального уравнения первого порядка. 7. Задача: Найдите общее решение линейного дифференциального уравнения первого порядка 1) 2) = у +1 -2у -3=0 у у Задание 1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(1;2) и имеющей: угловой коэффициент . угловой коэффициент Задание 2. Найти частные решения дифференциальных уравнений: а) а) (х+3)dy-(y+2)dx=0, если у=3 при х=2 б) б) 66 21.Дифференциальное уравнение второго порядка и его общее решение. Уравнение, содержащее производные или дифференциалы второго порядка, называется дифференциальным уравнением второго порядка. Дифференциальное уравнением второго порядка, разрешенное относительно у′′, имеет вид: у′′ = f(x,у,у′). (1) Простейшим дифференциальным уравнением второго порядка является уравнение вида : у′′ = f(x) (2) Такое уравнение решается двукратным интегрированием: f(x); f(x) , откуда Проинтегрировав эту функцию, получим какую-то новую функцию от f(x), которую обозначим через F(x). Таким образом, F(x)+С1; F(x)+С1; F(x)+С1) . Интегрируем еще раз: у= + или у = Ф(х)+ + Итак, получили общее решение данного дифференциального уравнения, содержащее две произвольные постоянные и Пример 1. Найти общее решение уравнения у′′ = 4х. Решение. Имеем 4х ; у′=4 =2 ; =2 у= ; 2 ) + = + + Полученный результат проверим дифференцированием: у′= ; у′′=4х. + Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида: y′′ + рy′+qy = 0, (3) где р и q-постоянные величины. Алгоритм решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами 1. Записывают дифференциальное уравнение в виде y′′ + рy′+qy = 0. 2. Составляют его характеристическое уравнение k2 + рk + q = 0 3. Вычисляют дискриминант D = 1) Если D>0, то уравнение имеет два разных корня k1 и k2, а общее решение записывается в виде : . 2) Если D = 0, т.е. корни k1 и k2 действительные и равные, то общее решение находится по формуле: . 67 3) Если D<0, то уравнение имеет комплексные корни: k1 = a + bi, k2 = a – bi. Общее решение имеет вид: . Для практического использования указанный алгоритм удобно оформить в виде таблицы: Дифференциальное уравнение Характеристическое уравнение Дискриминант Корни характеристического уравнения y′′ + рy′+qy =0 k2 + рk + q = 0 D>0 k1 k2 D=0 k1 = k2 =k D<0 k1 = a + bi, k2 = a – bi. Множества решений или . Пример 1. Решить уравнение y′′ - y = 0. Решение: Характеристическое уравнение имеет вид k2 - 1 = 0, корни которого k1 = 1, k2 = -1 действительны и различны. Общее решение: y = c1e x + c2e -x. Пример 2. Найти общее решение уравнения y′′ - 4 y′′ + 4y = 0. Решение: Характеристическое уравнение запишется в виде: k2 -4k +4=0 или (k - 2)2 = 0, т.е. имеет равные корни k1= k2 =2, значит, общее решение данного уравнения находится по формуле: y = e2x(c1+c2x). Пример 3. Найти общее решение уравнения y′′ +9y = 0. Решение: Имеем следующее характеристическое уравнение для 2 нахождения k: k +9 = 0, откуда k = ±3i,тогда = 0, = 3, значит, общее решение имеет вид: y = c1 cos 3x + c2 sin 3x.  Вопросы для конспектирования 1) Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? Как оно решается? 2) Что такое характеристическое уравнение? 3) Какой вид имеет общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами? Задача: Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) y´´- 4y´+3y=0 2) y´´- 6y´+9y=0 3) y´´+2y´+2y=0 Задание 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: 1) y - 4y -5у=0; 2) y +6y +13y = 0; 3) у +16у=0 1) y -6y +8у=0; 2) y +2y +5y=0; 3) у +25у=0 68 22.Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Числовым рядом называется сумма вида: (1) где числа называемые членами ряда образуют бесконечную последовательность; член un –называется общим членом ряда. Суммы , , (2) , ……………………. составленные из первых членов ряда (1), называются частичными суммами этого ряда. Каждому ряду можно сопоставить последовательность частичных сумм . Если при бесконечном возрастании номера nчастичная сумма ряда стремится к пределу S, то ряд называется сходящимся, а число S - суммой сходящегося ряда, т.е. = S или =S (3) Эта запись равносильна записи S (4) Если частичная сумма ряда (1) при неограниченном возрастании n не имеет конечного предела, то такой ряд называется расходящимся. Пример 1. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Очевидно, что , n=1,2,3,… Поэтому Этот предел существует, и ряд сходится. Пример 2. Найти сумму ряда +… Решение. Члены данного ряда образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, знаменатель которой = Найдем сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле: ( = = 2. Необходимый признак сходимости Если ряд сходится, то его общий член un стремился к нулю при неограниченном возрастании n (при n =0 (5) Это условие является лишь необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. 69 Следствие: Если общий член ряда (1), при n не стремится к нулю, то такой ряд расходится. Например, так называемый гармонический ряд является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю. Пример 3. Исследовать сходимость ряда . Решение. Проверим выполнение необходимого признака сходимости. = 3 0, необходимое условие сходимости не выполняется, поэтому ряд расходится. Пример 4. Исследовать сходимость ряда +… Решение. Найдем = – необходимый = признак сходимости не выполняется. расходится. Следовательно, данный ряд  Вопросы для конспектирования 1. Определение числового ряда. 2. Понятие частичной суммы ряда. 3. Необходимый признак сходимости. 4. Найти сумму ряда: 5. Задача: Исследовать сходимость рядов: 5 52 1. 1 2! 3! 53 ... ; 4! 2. 1 3 2 32 3 33 4 34 ... Задание 1. Найти сумму ряда: 1) 1) 2) 2) 3) 3) Задание 2. Найдите формулу общего члена: 1) 1+ + +… 1) + + +… 2) + + +… 2) + + 3) + + + +… 3) + +… + + +… 70 23.Ряды с положительными членами. Признаки сходимости Даламбера и Коши. Знакопеременные числовые ряды. Положительный ряд – это ряд , (1) члены которого положительны, т.е (n=1,2,3,…) Необходимый признак сходимости числового ряда с положительными членами Если сходится, то его общий член un стремится к нулю, т.е =0 . Если 0 , то ряд расходится. Таким, если 0, то ряд расходится и дальнейшее его исследование прекращают. Если же =0, то говорят, что выполнен необходимый признак сходимости ряда и нужно продолжать его исследование дальше. Сразу говорить о том, что ряд сходится нельзя. Пример 1. +…; = = – ряд расходится. Пример 2. +…; = – выполнен необходимый признак. Только в том случае, когда выполнен необходимый сходимости , т.е =0, продолжают дальнейшее исследование числового ряда с положительными членами на сходимость с помощью достаточных признаков сходимости. Признак Даламбера Если для ряда с положительными членами ( выполняется условие = l , то ряд сходится при l и расходится при l Признак Даламбера не дает ответа, если l В этом случае для исследования применяются другие приемы. Пример 3. Исследовать ряд на сходимость ряд +… Решение. 1) Применим необходимый = = признак сходимости = Лопиталя)= = = = - необходимый признак сходимости выполнен. 2) Применим достаточный признак Даламбера: и вычислим = (по правилу = =0 71 ; .Вычислим = - ряд сходится. Замечание. Признак Даламбера хорошо применим к тем рядам в общий член которых входит либо показательная функция, либо факториал. Пример 4. Исследовать ряд на сходимость ряд +… Решение. 1) Применим необходимый признак сходимости и вычислим = = - необходимый признак сходимости выполнен. 2) Применим достаточный признак Даламбера: ; Вычислим: = 1- вопрос открыт, т.е. для данного ряда признак Даламбера ответа не дает и нужно применять какой-то другой достаточный признак сходимости. Признак Коши Ели для числового ряда с положительными членами существует предел с , то ряд сходится при с и расходится при с При с=1 ряд может, как сходится, так и расходится. Пример 1. Исследовать ряд на сходимость Решение. 1) Применим необходимый признак сходимости и вычислим = = - необходимый признак сходимости выполнен. 2) Применим достаточный признак Коши: ряд сходится. \ Признак сравнения Пусть даны два знакоположительных ряда и , для всех n выполняется неравенство . 1) Если ряд сходится, то и ряд сходится, 2) Если ряд расходится, то и ряд расходится. Для сравнения часто используются «эталонные» ряды: Геометрический ряд – сходится при , расходится при . Гармонический ряд – расходится. 72 Обобщѐнный гармонический ряд сходится при , расходится при , . Знакочередующиеся ряды Знакочередующимся рядом называется ряд вида u1 - u2 + u3 - u4 +…+(-1)n+1un + = . (1) Множитель отвечает за знак слагаемых. Так, при n=1: u1= u1 ;n=2: u2= -u2 ;n=3: u3= u3. Для исследования знакочередующихся рядов на сходимость применяется всего один признак – признак Лейбница. Признак Лейбница Знакочередующийся ряд сходится, если его член, а по абсолютному значению убывают, а модуль общего члена стремится к нулю , т.е. выполняются два условия: 1)последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ; 2) общий член ряда стремится к нулю Пример 2. Исследовать ряд на сходимость . Решение: Проверим выполнение условий признака Лейбница 1) члены ряда убывают по абсолютной величине. , 2) условия признака выполняются, данный ряд сходится. Пример 3. Исследовать сходимость ряда Решение: 1) Лейбница . члены ряда убывают по абсолютной величине; 2) не выполняется, ряд расходится. , второе условие признака Лейбница  Вопросы для конспектирования: 1. В чем состоит признак Даламбера? Коши? Лейбница? 2. Какой ряд называется знакочередующимся? 3. Задача: Исследовать ряд на сходимость: Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Исследовать ряд на сходимость: а) ; б) а) ; б) 73 24.Ряды Тейлора и Маклорена. Если функция в некотором интервале раскладывается в степенной ряд по степеням , то это разложение единственно и задается формулой: (1) Данная формула носит фамилию англичанина Тейлора (ударение на первый слог). На практике приходится иметь дело с частным случаем формулы Тейлора, когда : (2) Этот ряд получил известность благодаря шотландцу Маклорену. Разложение Маклорена также называют разложением Тейлора по степеням х .Вернемся к таблице разложений элементарных функций и выведем разложение экспоненциальной функции: (3) Как оно получилось? По формуле Маклорена: (4) Рассмотрим функцию , тогда: Очевидно, что Подставляем единицы в формулу Маклорена и получаем наше табличное разложение! Аналогично можно вывести некоторые другие табличные разложения (но далеко не все выводятся именно так). Примеры разложения функций в ряд Маклорена Пример 1.Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда. 74 Решение. В данном случае . : Раскрываем наверху скобки: Теперь умножаем обе части на «икс»: В итоге искомое разложение функции в ряд: Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении х . Домножение на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда: Пример 2. Разложить функцию в ряд по степеням сходимости ряда . Найти область В таблице находим похожее разложение: Перепишем нашу функцию немного по-другому: Таким образом, и: Окончательно: 75 Теперь нужно определить область сходимости. Согласно таблице, ряд сходится при . В данном случае : Знак «минус» испаряется, кроме того, квадрат и так неотрицателен, поэтому надобность в модуле отпадает: Примеры разложения функций в ряд Тейлора по степеням , когда По формуле Тейлора: Вместо буквы «а» на практике часто можно встретить букву Пример 1. Разложить функцию степеням . в ряд Тейлора по В данном случае , смотрим на формулу Тейлора, и становится уже всѐ понятнее. Теперь предстоит ручная работа по конструированию разложения: , все производные, начиная с четвѐртой производной, будут нулевыми. Теперь подставляем весь найденный скарб в формулу Тейлора: 76 Пример 2. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням . Найти область сходимости полученного ряда. Решение: Используем разложение функции в ряд Тейлора по степеням В данном случае: Замечаем, что с такими раскладами производные можно находить до бесконечности. Поэтому необходимо уловить некоторую закономерность. Найдем ещѐ третью производную: А теперь проанализируем найденные производные: , , . Закономерность прослеживается: Подставим в формулу Тейлора и аккуратно упростим: 77 Элементарные функции ех, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)α разлагаются в ряды Маклорена в интервалах: n ex= x , x ; ; n! n 0 sin x x 2n 1 , 2n 1 ! n 1 1 n 1 cos x 1 x 2n , 2n ! n n 0 1 x 1 ; x 1;1 при целых ; x 1 n! x n 2 x x n 1 ; xn , 0, при других ln 1 x 1 n 1 n 1 arctg x 1 n 1 n 1 xn n x 2n 1 , 2n 1 x 1;1 x 1;1  Вопросы для конспектирования 1. Какой ряд называется рядом Тейлора? 2. Задача: Напишите формулу Тейлора для функций , , . 3. Задача: Напишите разложения функций , , в ряд Тейлора в точке х0 =0.Найти интервалы сходимости этих рядов. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Найти радиус и область сходимости степенных рядов: а) n 1 2n xn ; n! б) n xn . 3 0 n а) n 1 xn ; . n 3n xn б) n 1 n 2 . Задание 2. Записать 3 первых члена разложения в ряд Маклорена функции а) а) f x sin 2 x f x cos x 2х f x е б) б) f x е 4 х Задание 3. Разложить функцию в ряд Тейлора: f x 3х 2 6х 5 в точке 1. f x х3 в точке 2. 78 25.Множества и операции над ними. Множество представляет собой соединение, совокупность, собрание некоторых предметов, объединенных по какому-либо признаку. Например, множество букв алфавита, множество натуральных чисел, множество точек прямой и т.д. Предметы, из которых состоит множество, называют элементами. Элементы множества обозначают малыми буквами латинского или греческого алфавита. Для обозначения множеств используют заглавные буквы латинского алфавита. Запись а ϵ А означает, что элемент а принадлежит множеству А (знак ϵ - знак принадлежности). Запись а ∉ А означает, что элемент а не принадлежит множеству. Например, если N-множество натуральных чисел, то 2 ϵ N, 0 ∉ N. Множество считается заданным, если перечислены все его элементы, или указано такое свойство его элементов (характеристическое), которое позволяет судить о том, принадлежит ли данный элемент множеству или нет. Примеры описаний множеств: 1) A={1,2,3} -множества А состоит из элементов 1, 2 и 3. Это прямое перечисление элементов множества. 2) А={x|x - четное число}, множество А состоит из всех четных чисел. 3) Перечислением заданы следующие множества: А={1,2,3,5,7} — множество чисел Х={x1,x2,...,xn} — множество некоторых элементов x1,x2,...,xn N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел Основные числовые множества N {1,2,3,...,n} Множество всех натуральных чисел Z {0, ±1, ±2, ±3,...} Множество целых чисел. Множество целых чисел включает в себя множество натуральных. Q Множество рациональных чисел. Кроме целых чисел имеются ещѐ и дроби. Дробь — это выражение вида , где p — целое число, q — натуральное. Десятичные дроби также можно записать в виде. Например: 0,25 = 25/100 = 1/4. Целые числа также можно записать в виде . Например, в виде дроби со знаменателем "один": 2 = . Таким образом, любое рациональное число можно записать десятичной дробью — конечно или бесконечной периодической. R Множество всех вещественных чисел. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические дроби. К ним относятся: число — отношение длины окружности к еѐ диаметру; число е— названное в честь Эйлера и др.; 79 Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. Вместе два множества (рациональных и иррациональных чисел) — образуют множество действительных (или вещественных) чисел. Если любой элемент множества В является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством (частью) множества А. В этом случае говорят, что В содержится в А или А содержит В, и пишут В А. Для удобства рассматривают и множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называют пустым и обозначают Ø. По определению, пустое множество является подмножеством любого множества. Пример 1. Дано множество А = . Найти все его подмножества. Решение. Искомыми подмножествами являются множества , , , , , , , Ø. Других подмножеств множество А не имеет. Операции над множествами Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Пример 2. Если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Пример 3. Если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А ∪ B = {1,2,3,4,5,6} 80 Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Пример 4. Если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А ∩ В = {2,4} Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Пример 5. Если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2} Пример 6. Указать стандартное обозначение изобразить его на числовой прямой: множества М и  Вопросы для конспектирования 1.Какие множества называются конечными, какие бесконечными, какие пустыми? Приведите примеры конечных, бесконечных, пустых множеств. 2.Что значит задать множество? 3.Что значит задать множество пересечением элементов? Когда это можно сделать? Приведите пример множеств, заданных пересечением элементов. 4.Что значит задать множество указанием характеристического свойства элементов? Приведите примеры множеств, заданных указанием характеристического свойства элементов. 81 5.Задача: Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств а) А = {х | x Z, | x | = 4}; б) В = {х | x N , –2 < х ≤ 5}; в) С = {х | x Q , x 2 + 3х + 4 = 0}. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Прочитайте следующие записи и перечислите элементы каждого из множеств: а) А = {x | x N , -2 ≤ x ≤ 5}; а) А = {х | x Q , 3х2 = 9}; б) В = {х | x Z , | x | < 3}; б) В = {х | x Z, x – 3 = (х + 2) ∙ в) С = {х | x N , 2х2 + 5х –3 = 0}. 4х}; в) С = {х | x N ,–3 ≤ х < 1}. Задание 2. Найти множество решений следующих уравнений и неравенств, изобразить это множество на числовой прямой: + 82 26.Основные понятия комбинаторики Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов заданного множества. Составляя комбинации, мы фактически выбираем из этого множества различные элементы и объединяем их в группы по нашим потребностям, поэтому вместо слова "комбинации", часто используют слово "выборки" элементов. Формула для числа перестановок. Перестановками называются такие комбинации элементов, которые отличаются только порядком расположения элементов. Но не самими элементами. Если перестановки производятся на множестве из n элементов, их число определяется по формуле: Рn = n(n-1)(n-2)….3 (1) -обозначение, которое используют для краткой записи произведения всех натуральных чисел от 1 до n включительно и называют «n- факториал» (в переводе с английского "factor" - "множитель"). Таким образом, общее число перестановок 5-ти книг P5 = 5! = 1∙2∙3∙4∙5 = 120. Пример1. Группа учащихся изучает 7 учебных дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока? Решение. Число способов равно числу размещений из 7 элементов по 4, т.е. равно А . Получаем А = (7 4 4 7 7 7! 4)! 7! 3! 3!*4 * 5 * 6 * 7 3! 4*5*6*7 840 . Размещения. Подсчет числа размещений. Формула для числа размещений. Комбинации из m элементов по n порядком элементов, называются размещениями. Число размещений из m по n обозначается и определяется по формуле = m·(m − 1)∙(m − 2)∙... (2) Пример 2.Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбрать их из имеющихся в наличие 30-ти книг? Решение. Определим общее число размещений из 30 элементов по 15 по формуле 83 =30 30 Сочетания Сочетаниями называются все возможные комбинации m элементов по n, которые отличаются, по крайней мере хотя бы одним элементом. Число сочетаний из m по n обозначается и определяется по формуле: (3) Пример 3. Сколькими способами можно расставить 15 томов на книжной полке, если выбирать их из имеющихся в наличие внешне неразличимых 30-ти книг? Решение. Нужно определить общее число сочетаний из 30 элементов по 15 по формуле (3): = 155117520 Пример 4. Сколько матчей будет сыграно в футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются между собой один раз? Решение. Матчей состоится столько, сколько существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов, т.е. их число равно C 2 16 16! 2!(16 2)! 14!*15 *16 2!*14! 15 *16 2 120 .  Вопросы для конспектирования 1.Что называется n -факториалом? 2.Что называется перестановками? 3.Что называется размещениями? 4.Что называется сочетаниями? 5.Задача: Из аквариума, в котором 6 сазанов и 4 карпа, сачком выловили 5 рыб. Какова вероятность того, что среди них окажется 2 сазана и 3 карпа? Ответ:0,238 Вариант 1 Задание 1. 8! – 6!; Б. 17 ! 16 ! ; 16 ! В. 15 ! 4 ! 16 ! Задание 2. Сколько всего игр должны провести 9 футбольных команд в однокруговом чемпионате? Вариант 2 Задание 1. 7! – 4!; Б. 13 ! 12 ! ; 12 ! В. 6 ! 3! 7! Задание2. Сколько существует способов рассадить 6 гостей по шести местам за праздничным столом? 84 27.Основные понятия теории вероятности Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века, когда математики заинтересовались задачами, поставленными азартными игроками и до сих пор не изучавшимися в математике. В процессе решения этих задач выкристаллизовались такие понятия, как вероятность и математическое ожидание. При этом ученые того времени – Гюйгенс (16291695), Паскаль (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернулли (1654-1705) были убеждены, что на базе массовых случайных событий могут возникать четкие закономерности. И только состояние естествознания привело к тому, что азартные игры еще долго продолжали оставаться тем почти единственным конкретным материалом, на базе которого создавались понятия и методы теории вероятностей. Основные понятия теории вероятностей Теория вероятностей объясняет и исследует различные закономерности, которым подчинены случайные события и случайные величины. Событием является любой факт, который можно констатировать в результате наблюдения или опыта. Наблюдением или опытом называют реализацию определенных условий, в которых событие может состояться. Опыт означает, что упомянутый комплекс обстоятельств создан сознательно. В ходе наблюдения сам наблюдающий комплекс этих условий не создает и не влияет на него. Его создают или силы природы или другие люди. Все события, за которыми люди наблюдают или сами создают их, делятся на:  достоверные события;  невозможные события;  случайные события. Достоверные события наступают всегда, когда создан определенный комплекс обстоятельств. Например, если работаем, то получаем за это вознаграждение, если сдали экзамены и выдержали конкурс, то достоверно можем рассчитывать на то, что включены в число студентов. Достоверные события можно наблюдать в физике и химии. В экономике достоверные события связаны с существующим общественным устройством и законодательством. Например, если мы вложили деньги в банк на депозит и выразили желание в определенный срок их получить, то деньги получим. На это можно рассчитывать как на достоверное событие. Невозможные события определенно не наступают, если создался определенный комплекс условий. Например, вода не замерзает, если температура составляет плюс 15 градусов по Цельсию, производство не ведется без электроэнергии. Случайные события при реализации определенного комплекса условий могут наступить и могут не наступить. Например, если мы один раз подбрасываем монету, герб может выпасть, а может не выпасть, по 85 1) 2) 3) 4) лотерейному билету можно выиграть, а можно не выиграть, произведенное изделие может быть годным, а может быть бракованным. Появление бракованного изделия является случайным событием, более редким, чем производство годных изделий. Знание закономерностей, которым подчинены массовые случайные события, позволяет прогнозировать, когда эти события наступят. Например, как уже ранее отмечено, заранее нельзя предусмотреть результат бросания монеты, но если монета брошена много раз, то можно предусмотреть выпадение герба. Ошибка может быть небольшой. Методы теории вероятностей широко используются в различных отраслях естествознания, теоретической физике, геодезии, астрономии, теории автоматизированного управления, теории наблюдения ошибок, и во многих других теоретических и практических науках. Теория вероятностей широко используется в планировании и организации производства, анализе качества продукции, анализе технологических процессов, страховании, статистике населения, биологии, баллистике и других отраслях. Случайные события обычно обозначают большими буквами латинского алфавита A, B, C и т.д. Случайные события могут быть: 1) несовместными; 2) совместными. События A, B, C … называют несовместными, если в результате одного испытания может наступить одно из этих событий, но невозможно наступление двух или более событий. Если наступление одного случайного события не исключает наступление другого события, то такие события называют совместными. Например, если с ленты конвейера снимают очередную деталь и событие А означает «деталь соответствует стандарту», а событие B означает «деталь не соответствует стандарту», то A и B – несовместные события. Если событие C означает «взята деталь II сорта», то это событие совместно с событием A, но несовместно с событием B. Если в каждом наблюдении (испытании) должно произойти одно и только одно из несовместных случайных событий, то эти события составляют полное множество (систему) событий. Достоверным событием является наступление хотя бы одного события из полного множества событий. Если события, образующие полное множество событий, попарно несовместны, то в результате наблюдения может наступить только одно из этих событий. Например, студент должен решить две задачи контрольной работы. Определенно произойдет одно и только одно из следующих событий: будет решена первая задача и не будет решена вторая задача; будет решена вторая задача и не будет решена первая задача; будут решены обе задачи; не будет решена ни одна из задач. 86 События называют равновозможными, если ни у одного из них нет объективных преимуществ. Такие события также составляют полное множество событий. Это значит, что в результате наблюдения или испытания определенно должно наступить по меньшей мере одно из равновозможных событий. Например, полную группу событий образуют выпадение номинала и герба при одном подбрасывании монеты, наличие на одной печатной странице текста 0, 1, 2, 3 и более 3 ошибок. Определения и свойства вероятностей Классическое определение вероятности. Возможностью или благоприятным случаем называют случай, когда при реализации определѐнного комплекса обстоятельств события А происходят. Классическое определение вероятности предполагает напрямую вычислить число благоприятных случаев или возможностей. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятных этому событию возможностей к числу всех равновозможных несовместных событий N, которые могут произойти в результате одного испытания или наблюдения: Р(А) = (1) Чтобы вычислить вероятность по классическому определению, необходимо найти число всех равновозможных несовместных событий и определить, сколько из них благоприятны определению события А. Пример 1. Найти вероятность выпадения числа 5 в результате бросания игральной кости. Решение. Известно, что у всех шести граней одинаковая возможность оказаться наверху. Число 5 отмечено только на одной грани. Число всех равновозможных несовместных событий насчитывается 6, из них только одна благоприятная возможность выпадения числа 5 (М = 1). Это означает, что искомая вероятность выпадения числа Р(5)= . Пример 2. В группе 30 студентов. Трѐм студентам следует направиться на кафедру информатики, чтобы взять и принести компьютер и проектор. Вычислить вероятность того, что это сделают три определѐнных студента. Решение. Число возможных событий рассчитываем, используя формулу (2): Вероятность того, что на кафедру отправятся три определѐнных студента: 87 Пример 3. Продаются 10 мобильных телефонов. Их них у 3 есть дефекты. Покупатель выбрал 2 телефона. Вычислить вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами. Решение. Число всех равновозможных событий находим по формуле (2): По той же формуле находим число благоприятных событию возможностей: Искомая вероятность того, что оба выбранных телефона будут с дефектами: Свойства вероятностей Свойство 1. Если можно вычислить возможности возникновения события А и их число совпадает общим числом равновозможных событий, то вероятность события А равна 1. Например, при бросании игральной кости число возможностей выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 равно 6. Насчитывается также 6 равновозможных несовместимых событий. Таким образом, M = N и Свойство 2. Вероятность невозможного события равна 0. Если число возможностей события А равна 0, то и Например, при бросании игральной кости не может выпасть число 9, потому что такого числа нет на гранях игральной кости. Свойство 3. Вероятность случайного события всегда больше 0 и меньше 1: или  Вопросы для конспектирования 1.Какие события называются достоверными? Приведите примеры. 2.Какие события называются невозможными? Приведите примеры. 88 3.Что называется вероятностью события? 1. Задача: В партии имеется 100 деталей, пять из которых бракованные. Определите вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной. 2. Какие события называются несовместными? Приведите примеры. Вариант 1 Среди 120 ламп 15 испорченных. Наугад выбирают 3 лампы. Какова вероятность того, что среди них 2 испорченные? В ящике 200 деталей: 180 стандартных и 20 нестандартных. Наудачу берут одну деталь, не возвращая еѐ в ящик. При первом испытании извлекают из ящика стандартную деталь. Какова вероятность извлечения стандартной детали при втором испытании. Вариант 2 В лотерее 60 билетов, из них 10 выигрышных. Наудачу покупают 15 билетов. Найти Р – вероятность того, что среди них 5проигрышных. Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 100. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона не содержит цифры 5. 89 28.Операции над событиями. Сложение вероятностей несовместных событий Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями. Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий. Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Сумму событий A и B обозначают A + B или А Таким образом, A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B, или одновременно A и B. Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдѐт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей. Вероятность того, что произойдѐт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий: Р(А (1) Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий. Можно рассчитать как классические, так и статистические вероятности. Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик. Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие - «взят цветной (не белый) мячик». Найдѐм вероятность события А: и события В: События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей: Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1: 90 Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1: Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1. Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q. В частности, из чего следует, что и . Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадѐт мимо цели. Решение: Найдѐм вероятность того, что стрелок попадѐт в цель: Найдѐм вероятность того, что стрелок попадѐт мимо цели: Умножение вероятностей Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий. При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события. Логическим произведением двух событий А и В или называют событие, которое понимают как одновременное наступление событий А и В. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий: Р(А (2) Пример 3. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб. Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдѐм вероятность того, что все три раза выпадет герб: Вероятность того, что произойдѐт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путѐм вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий : Пример 4. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет 91 доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трѐх видов транспорта. Решение. Найдѐм вероятности противоположных событий – того, что груз не будет доставлен одним из видов транспорта: Найдѐм теперь искомую вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трѐх видов транспорта: Умножение вероятностей взаимно зависимых случайных событий Если наступление одного события влияет на вероятность наступления второго события, то события называют взаимно зависимыми. Если события А и В взаимно зависимы, то условной вероятностью называют вероятность события В, принимая, что событие А уже наступило. Пример 6. В ящике 26 лотерейных билетов, из которых 3 с выигрышем. Найти вероятности того, что первый билет будет с выигрышем, вероятность того, что второй билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике и вероятность того, что два взятые подряд билета будут с выигрышем. Решение. Найдѐм вероятность того, что первый взятый билет будет с выигрышем: Найдѐм вероятность того, что второй взятый билет будет с выигрышем при условии, что первого билета уже нет в ящике: Найдѐм теперь вероятность того, что оба взятые подряд билеты будут с выигрышем, т.е. вероятность общего наступления двух зависимых событий, которая является произведением вероятности первого события и условной вероятности второго события: Сложение вероятностей взаимно совместных событий Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чѐтного числа. Поскольку число 4 является чѐтным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчѐту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий. 92 Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей: Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трѐх возможных событий: теореме сложения несовместных событий имеем: или АВ. Согласно (3) Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ. Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий: Поэтому (4) Аналогично: Поэтому (5) Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем: При использовании события А и В могут быть: 1) взаимно независимыми; 2) взаимно зависимыми. формулы (8) следует (6) учитывать, что Для взаимно независимых событий: Для взаимно зависимых событий: Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P(AB) = 0. Четвѐртая формула для несовместных событий такова: Пример 7. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:  вероятность того, что победят обе автомашины;  вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина; Решение. 1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая 93 автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдѐм вероятность того, что победят обе машины: 2) Найдѐм вероятность того, что победит одна из двух автомашин:  Вопросы для конспектирования 1. Какие события называются несовместными? Приведите примеры. 2. Чему равна сумма несовместных событий? 3. Какие события называются противоположными? 4. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий? 5.Задача: В корзине 5 черных, 3белых и 7 полосатых шаров. Чему равна вероятность достать наугад одноцветный шар? Вариант 1 В группе 25 студентов, из них отлично учится 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6, слабо -2. Вызывается один по списку. Найдите вероятность того, что он – отличник или хорошист. Прибор состоит из 2-х элементов q1=0.05, q2=0.08. Найти вероятность того, что: 1) выйдет из строя только первый элемент 2) оба выйдут из строя 3) откажет только второй 4) оба работают Вариант 2 Из чисел 1,2…20 наудачу выбирается число. Найти вероятность того, что это число делится на 2 или 3. Стрелок стреляет в мишень, разделенную на три непересекающиеся части. Вероятность попадания в первую часть – 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что: 1) Попал в первую или во вторую части 2) Попал в третью часть 94 29.Случайные величины. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Одним из важнейших основных понятий теории вероятностей является понятие о случайной величине. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. В самом общем смысле случайная величина - это некоторая переменная, принимающая, те пли иные значения с определенными вероятностями. Так, например, число очков, выпадающее на верхней грани игральной кости, может оказаться равным 1, 2, 3, 4, 5, 6 с вероятностями для каждого значения. Примеры случайных величин: 1) число попаданий при трех выстрелах; 2) число вызовов, поступавших на телефонную станцию за сутки; 3) частота попадания при 10 выстрелах. Во всех трех приведенных примерах случайные величины могут принимать отдельные, изолированные значения, которые можно заранее перечислить. Так, в примере 1) эти значения: 0, 1, 2, 3; в примере 2): 1,2, 3, 4, …; в примере 3) 0; 0,1; 0,2; …; 1,0. Понятие дискретной и непрерывной случайных величин Представим, что производится испытание, в результате которого происходит одно из несовместных случайных событий Аi. Пусть каждому исходу Аi испытания поставлено в соответствие некоторое действительное число хi. В этом случае говорят, что задана случайная величина Х (Х= хi). Примеры: 1. Бросается игральная кость. Случайная величина Х- выпавшее число очков, Х: 1,2,3,4,5,6. 2. Покупается n лотерейных билетов. Случайная величина- число выигрышей, Х: 0,1,2,3…,n. 3. Патроны выдаются стрелку до тех пор, пока он не промахнется. Случайная величина Х-число выданных стрелку патронов, Х:1,2,3…,n,… 4. Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. Случайная величина Х –полное время горения электрической лампочки. Х- может принимать любое действительное неотрицательное число. Случайная величина является своего рода абстрактным выражением случайного события. С каждым событием А можно связать некоторое значение случайной величины. Оперирование с понятием случайной 95 величины в ряде случаев бывает удобным, чем оперирование со случайными событиями. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные величины. Определение. Дискретной случайной величиной называется такая величина, число возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное счетное множество, т.е. множество, элементы которого могут быть пронумерованы. Такие случайные величины приведены в примерах 1,2,3. Закон распределения дискретной случайной величины Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими ими вероятностями. Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности: Значения хi Вероятности рi х1 р1 х2 р2 х3 р3 … … хn рn События Х= хi (i=1, 2, 3, …, n) являются несовместными и единственно возможными, т. е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р1 + р2 + р3 + … + рn = n pi 1. (1) i 1 Пример 1. Монету бросают пять раз . Случайная величина Х-число выпадения герба. Составить закон ее распределения. Решение: Возможны следующие значения случайной величины Х: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Зная, что вероятность выпадения герба в одном испытании равна 1 , 2 найдем вероятности значений случайной величины Х по формуле Бернулли: Р(А5,0)= С50 р 0 g 5 1* Р(А5,1)= С р g 1 5 1 4 Р(А5,2)= С р g 3 Р(А5,3)= С р g 2 2 5 3 5 2 3 1 2 1 5* 2 1 3 1 10 * 2 Р(А5,4)= С54 р 4 g 1 5 * 1 2 1 * 2 2 1 10 * 2 5 1 * 2 4 2 1 * 2 * 1 2 5 ; 32 3 1 * 2 4 1 ; 32 1 10 ; 32 10 ; 32 5 ; 32 96 Р(А5,5)= С55 р 5 g 0 1* Значения хi Вероятности рi 1 2 5 * 1 2 1 ; 32 Закон распределения имеет вид: 1 2 3 1 32 Произведем проверку: 5 32 1 32 10 32 5 10 10 32 32 32 10 32 1 1. 32 5 32 4 5 5 32 1 32 Числовые характеристики дискретной случайной величины В теории вероятностей для общей характеристики случайной величины используют показатели, которые носят название числовых характеристик случайной величины. О каждой случайной величине необходимо прежде всего знать ее среднее значение М(х), около которого группируются возможные значения случайной величины, а также число D(x), характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего. Математическое ожидание дискретной случайной величины Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х с законом распределения: Значения хi х1 х2 х3 … хn Вероятности рi р1 р2 р3 … рn называется число М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnpn. Математическое ожидание М(Х) называют также средним значением величины Х . Таким образом, математическое ожидание дискретной случайной величины Х равно сумме произведений возможных значений этой величины на их вероятности. Пример 1. Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости. Решение: Случайная величина Х числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Составим закон ее распределения: Значения хi Вероятности рi 1 2 3 4 5 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 Тогда математическое ожидание есть 97 М(Х)=1 1 1 1 1 1 1 +2 +3 +4 +5 +6 =3,5. 6 6 6 6 6 6 Свойства математического ожидания Свойство 1.Математическое ожидание постоянной случайной величины равно самой постоянной, т.е. М(С)=С. Следствие. М(Х С)=М(Х) С. Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е М( Х)= М(Х). Следствие. М( Х С)= М(Х) С. Свойство 3.Математическое ожидание алгебраической суммы двух (или нескольких) случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий, т.е М( Х )= М(Х) М(У). Свойство 4. Для независимых случайных величин Х и У: М(Х )=М(Х)М(У). Пример 1. Пусть Х и У –две независимые случайные величины, причем М(Х)=2, М(У)=3.Найти математическое ожидание случайной величины Z=3Х-2У. Решение: М(Z)=М(3Х-2У)= М(3Х)-M(2У)= 3М(Х)-2M(У)=3 2-2 =0. Дисперсия дискретной случайной величины Определение. Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Дисперсией случайной величины Х называется число D(Х)=М((Х-М(Х))2). Пример 1. Пусть Х число очков, выпадающих при одном бросании игральной кости. Найти дисперсию случайной величины Х. Решение: Закон распределения случайной величины Х и ее математическое ожидание М(Х)=3,5 были найдены в предыдущем примере. Найдем отклонения для х1, х2, …, х6: х10 1 3,5; х 20 2 3,5; х30 3 3,5; х 40 4 3,5; х50 5 3,5; х 60 6 3,5; Вычислим дисперсию: 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 D(Х)= * (1-3,5)2+ * (2-3,5)2+ * (3-3,5)2+ * (4-3,5)2+ * (5-3,5)2+ * (6-3,5)2= 35 1 *((1-3,5)2+(2-3,5)2+(3-3,5)2+(4-3,5)2+(5-3,5)2+(6-3,5)2)= . 12 6 98 Свойства дисперсии Свойство 1.Дисперсия постоянной случайной величины равно нулю , т.е. D(С)=0. Следствие. D(Х С)=D(Х). Свойство 2.Постоянный множитель можно выносить за знака дисперсии в квадрате, т.е D( Х)= D(Х). Следствие. D( Х С)= D(Х). Свойство 3. Для независимых случайных величин Х и У дисперсия их алгебраической суммы равна сумме дисперсий , т.е D( Х )= D(Х) D(У). Свойство 4. Из определения дисперсии можно получить «рабочую» более удобную форму для вычисления дисперсии: D(Х)= М(Х)2-( М(Х))2, где М(Х)2=р1х12+ р2х22 +…рnхn2 .  Вопросы для конспектирования 1.Какая величина называется случайной? 2.Что называется законом распределения случайной величины? 3.Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины? 3. Что называется дисперсией случайной величины? 4. Задача: По многим статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины Х-числа мальчиков в семье, имеющих четверых детей. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Вариант 1 Вариант 2 Задание 1. Сравните дисперсии случайных величин X и Y, заданных законами распределения. x -1 1 2 3 x -1 1 2 3 p 0,32 0,02 0,16 0,5 p 0,19 0,51 0,25 0,05 y p -1 0,48 0,01 1 0,09 2 0,42 y p -1 0,15 0,25 1 0,20 2 0,40 Задание 2. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, если закон ее распределения задан таблицей: x 1 2 3 4 x 1 2 3 p 0,3 0,1 0,2 0,4 p 0,2 0,4 0,3 0,08 99 Литература 1. Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко «Математика» Дрофа Москва 2002400стр 2. Н.В. Богомолов «Сборник задач по математике» Дрофа Москва 2003204стр 3. Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике» Москва «Высшая школа» 2003-495стр 4. С.Г.Григорьев, С.В. Задулина «Математика» Москва ACADEMA 2005384стр. 5. В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик «Математика» Москва «Высшая школа» 1991.-480стр. 6. http://diskmat.ucoz.ru/index/teorija_mnozhestva/0-15 7. http://www.yandex.ru/clck/ 8. http://function-x.ru/vtoroi_zamechatelnyi_predel.html 9. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/mnozhestvo.html 10.http://sernam.ru/book_tp.php?id=20 11.http://bib.nnkinfo.ru/ 100