Математика

Математика Курс лекций рекомендован в качестве основного учебного материала студентам, получающим высшее образование в Курском институте менеджмента, экономики и бизнеса Математика– Курск: типография МЭБИК. – 118с. Идентификатор публикации: MB-K-001-20-11 Автор-составитель – Федоров Андрей Викторович, кандидат физикоматематических наук, доцент Контактные данные – e-mail: [email protected] Уважаемые студенты! Курс «Математика» направлен на формирование у обучающихся системы теоретических знаний в области математики, формирование практических навыков использования математических методов; формирование общекультурных и профессиональных компетенций в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом. В данном пособии кратно изложены теоретические основы и практические примеры; более полное представление о дисциплине можно получить, изучив источники из списка литературы по данному курсу, который представлен отдельным файлом. Содержание 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1.1. Матрица, действия с матрицами, свойства действий. 1.2. Определитель квадратной матрицы, миноры, правило нахождения и свойства определителя, использование свойств для нахождения определителя. 1.3. Ранг матрицы, способ нахождения ранга приведением матрицы к диагональному виду, равенство ранга порядку базисного минора. 1.4. Обратная матрица, существование и вид обратной матрицы. 1.5-7. Система линейных алгебраических уравнений, постановка задачи в матричной. Теорема Кронекера-Капелли. Существование и единственность решения квадратной невырожденной системы линейных алгебраических уравнений, Формулы Крамера. Вопрос единственности решения системы линейных алгебраических уравнений общего вида. Алгоритм исследования и нахождения решения системы линейных алгебраических уравнений. 1.8. Метод Гаусса, элементарные преобразования систем, приведение системы к ступенчатому виду, исследование системы по ступенчатому виду. 1.12. Векторное пространство. Вектор на плоскости и в пространстве, его координаты, длина, направление. Разложение вектора по базису пространства. Действия с векторами в геометрической и координатной форме. 1.13. Линейная форма с двумя переменными. Уравнение прямой на плоскости, его виды, условие параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми, пересечение прямых на плоскости. 1.14. Линейная форма с тремя переменными. Уравнение плоскости в пространстве, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей, пересечение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2.1-2. Функция. Предел функции, критерий Коши существования и теорема единственности предела функции. Правила нахождения предела. Теоремы о локальном поведении функции. 2.3. Непрерывность функции, точки разрыва. Свойства непрерывных функций, теоремы Вейерштрасса. 2.5-6. Дифференцируемая функция, производная, дифференциал. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости Правила дифференцирования. Производная функции. и дифференциал высших порядков. Геометрический и физический смысл производной. 2.7-8. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях – Ферма, Коши, Ролля, формула Лагранжа; правило Лопиталя; формула Тейлора. 2.9-12. Алгоритм исследования функции. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции, условие существования точки локального экстремума. Экстремальное значение функции на отрезке. Условие направления выпуклости функции. Перегиб функции, условие существования точки перегиба. Асимптотическое поведение функции, условие существования наклонной асимптоты, вертикальная асимптота. 2.13. Функция многих переменных. Предел, непрерывность, ограниченность функции многих переменных. 2.14. Функция многих переменных. Дифференцируемость, частные производные, дифференциал функции многих переменных. 2.15-16. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие существования точки локального экстремума функции многих переменных, в том числе функции двух переменных. Алгоритм нахождения точек локального экстремума функции многих переменных. 2.17-18. Условный экстремум функции многих переменных. Алгоритм нахождения точек условного экстремума функции многих переменных. 2.22. Первообразная. Вопрос единственности первообразной. Неопределенный интеграл, его свойства, способы интегрирования. 2.23. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций. 2.24-25. Определенный Необходимое функции. и достаточное Классы интеграл, условие интегрируемых интегрируемость интегрируемости функций. функции. ограниченной Геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла, формула среднего значения. 2.26-27. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. 2.28-29. Несобственный интеграл, сходимость несобственного интеграла, абсолютная сходимость несобственного интеграла. 3. ТЕОРИЯ РЯДОВ 3.1. Числовой ряд, сходимость числового ряда. 3.2. Критерий Коши сходимости числового ряда, необходимое условие сходимости, достаточное условие расходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. 3.3-4-5. Числовой ряд с неотрицательными членами. Признаки сходимости. Сходимость обобщенного гармонического и геометрического числовых рядов. 3.6-7. Знакочередующийся числовой ряд, признак сходимости Лейбница. Абсолютная сходимость числового ряда, теорема об абсолютной сходимости. Исследование числового ряда на абсолютную и условную сходимость. 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1.1. Матрица, действия с матрицами, свойства действий. Определение. Матрицей размера называется прямоугольная таблица m×n из чисел aij , где i=1,2 ,. ., m , j=1,2,..,n , a 11 a12 A= a21 a22 . .. .. . a m 1 am 2 ( состоящая из строк и m n .. . a1n .. . a2 n .. . .. . .. . amn ) , столбцов. Если матрица А имеет одинаковое число строк и столбцов, то ее называют квадратной. Определение. Суммой А+В А=(аij ) и матриц B=( bij ) размера m×n называется матрица С=(с ij ) того же размера, каждый элемент которой равен с ij=aij +b ij , i=1,2,. . , m , сумме соответствующих элементов матриц А и В: j=1,2,..,n . А=(аij ) на число α называется Определение. Произведением αА матрицы матрица B=( bij ) , элементы которой bij =α⋅aij . Пример. Вычислить 3А+2В, если Решение. Вычислим A= 2 3 −1 2 ( ) 3 A= 6 9 −3 6 ) ( 3 A +2 B= 6 9 + 2 −4 = 6+2 9−4 = 8 5 −3 6 6 −8 −3+6 6−8 3 −2 ( )( )( )( ) B= 1 −2 3 −4 , ( , ) . 2 B= 2 −4 6 −8 ( ) . Тогда . Определение. Произведением АВ матрицы А=(аij ) размера m×n на матрицу B=( bij ) размера A C̄ называется матрица C=(c ij ) размера m×k , элемент которой c ij , стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответствующих элементов i-ой строки матрицы А и j-ого столбца матрицы В: n с ij= ∑ air brj =ai 1 b1 j + ai 2 b 2 j +.. .+ain bnj r=1 , i=1,2,...,m , j=1,2,...,k . Так как строки и столбцы матриц участвуют в произведении АВ неравноправно, то АВ≠ВА. Пример. Вычислить Решение. ( 5 6 4 Умножим 8 9 7 −4 −5 ¿¿ −3 . ) элементы первой строки первой матрицы на соответствующие элементы первого столбца второй матрицы и сложим все произведения. Полученный элемент поставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Далее вычислим остальные элементы произведения матриц. ( 5 6 4 8 9 7 −4 −5 −3 Определение. )( 3 2 4 −1 9 6 Транспонированием ) =¿ ¿ . матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования. В результате получается матрица А`, называемая транспонированной по отношению к матрице А, элементы которой связаны с элементами А соотношением a` = 0 ā и α <0 . ā найдем векторы −3 ā. a 2a α⋅ā α  3a 2 ā и −3 ā. Изобразим Определение. Разностью векторов b̄ называется вектор и ā c̄= ā−b̄ такой, что b̄+ c̄=ā (рис.2). B b a А C Рис. 2. Легко проверить, что ā−b̄=ā+ (−b̄ ) , где −b̄ – это вектор, противоположный вектору b̄, т. е. такой, что b̄+ (− b̄ )=0̄. Заметим, что для векторов и b̄ справедливы свойства: ā ā+ b̄=b̄+ ā ; ā+ ( b̄ + c̄ )=( ā+ b̄ ) + c̄= ā+ b̄+ c̄. Проиллюстрируем первое свойство, построив поочередно ā+b̄ и b̄+ ā по правилу треугольника на одном чертеже (рис.3). b a a b b a a b Рис.3 Отсюда получаем правило параллелограмма сложения векторов: если на векторах ā и b̄ построить как на сторонах параллелограмм, то сумма ā+ b̄ является диагональю параллелограмма, исходящей из общей точки приложения векторов ā и b̄. Если же построить вторую диагональ параллелограмма, то мы получим разность векторов b a b a a a b b ā и b̄ (рис.4). Рис. 4 Определение. Три вектора ā, b̄ и c̄ называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости в широком смысле (т. е. или лежат в одной плоскости, или в параллельных плоскостях). После приведения к одному началу компланарные векторы лежат в одной плоскости. Определение. Базисом в пространстве называются три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на плоскости называют два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке; базисом на прямой называют любой ненулевой вектор на этой прямой. z k M  x, y , z  z j O O y y x i x Рис. 5 Базис. Декартова прямоугольная система координат. Теорема. Каждый вектор в пространстве, плоскости или на прямой может быть разложен по базису пространства, плоскости или прямой соответственно, причем это разложение единственно. Таким образом, если ē 1 , ē 2 и ē 3 - базис пространства, ā - вектор пространства, то ā=α 1⋅ē 1 +α 2⋅ē 2 +α 3⋅ē 3 , где α 1 ,α 2 ,α 3 - координаты вектора базисе ā в ē 1 , ē 2 , ē 3 . Аналогичные разложения имееют место на плоскости и прямой. При сложении векторов складываются соответствующие координаты, при умножении вектора на число все координаты вектора умножаются на это число. Взаимно перпендикулярные и имеющие единичную длину векторы ī , j̄, k̄ образуют ортонормированный базис. Определение. Совокупность точки – начала координат и ортонормированного базиса называют декартовой прямоугольной системой координат. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называют осями координат, а плоскости, проходящие через оси координат – координатными плоскостями. Для каждой точки M пространства существует ее радиус – вектор r̄=O M̄ . Под декартовыми координатами точки понимаются координаты ее M радиус – вектора в базисе ī , j̄, k̄, т. е. O M̄ =x ī+ y j̄+z k̄ и M ( x , y, z ) . И вообще ā=x ī + y j̄+z k̄ или ā=( x, y ,z ) . Если точка A ( x1 , y 1 , z1) – начало, а точка – конец вектора A B̄, то B ( x2 , y 2 , z 2 ) AB=( x 2 −x1 )⋅ī + ( y 2− y1 )⋅ j̄+ ( z2 −z 1 ) k̄ . Пример. Найти координаты вектора A B̄, если A ( 1,2,1 ) и B ( 3,4,8 ) . Решение. A B̄=( 3−1 )⋅ī + ( 4−2 )⋅ j̄+ ( 8−1 )⋅k̄ ⇒ A B̄=( 2,2,7 ) . Коллинеарные векторы ā и b̄ отличаются длиной и направлением (сонаправлены или направлены противоположно), поэтому координаты таких векторов пропорциональны, т.е. ā=( x 1 , y 1 , z 1 ) векторы x1 x2 коллинеарны тогда и только тогда, когда = y1 y2 = z1 z2 и b̄=( x 2 , y 2 , z 2 ) . Например, векторы ā=( 2,1,−3 ) и b̄=(−4 ,−2,6 ) коллинеарны. Определение. Скалярным произведением векторов ā и b̄ называется число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними, т. е. ā⋅b̄=a⋅b⋅cosϕ, где a и b – длины векторов, а ϕ – угол между ними. b  a Рис. 7 Если ā=x1⋅ī + y 1⋅ j̄+ z1⋅k̄ , b̄=x 2⋅ī + y 2⋅ j̄+z 2⋅k̄ , то ā⋅b̄=x 1⋅x2 + y 1⋅y 2 + z1⋅z 2 . 2 2 2 2 Длина вектора ā=( x, y ,z ) вычисляется по формуле a=√ ā =√ x + y +z . Косинус угла ϕ между векторами cos ϕ= ā и b̄ находят по формуле x 1⋅x 2 + y 1⋅y 2 + z 1⋅z 2 ā⋅b̄ = 2 2 2 2 2 2. a⋅b √ x + y + z ⋅√ x + y + z 1 Если 1 1 2 векторы 2 2 b̄ взаимно и ā перпендикулярны, то ā⋅b̄=x 1⋅x2 + y 1⋅y 2 + z1⋅z 2 =0 . A ( x 1 , y 1 , z1) Если B ( x2 , y 2 , z 2 ) и , то длина отрезка AB равна AB= ( x 2−x 1 )2 + ( y 2− y 1 )2 + ( z2 −z 1 ) 2 . √ Пример. Найти величину угла при вершине A треугольника с вершинами A (−1,−2,4 ) , B (−4 ,−2,0 ) , C ( 3,−2,1 ) . Изобразим треугольник ABC (рис.8). C A B Рис. 8 cos { A^ = A B̄⋅A C̄ .¿ AB⋅AC A B̄=(−4+1;−2+2;0−4 )=(−3;0;−4 ) , ^ −3⋅4+0+ (−4 )⋅(−3 ) =0 , ¿ cos { A= √9+16⋅√ 16+9 поэтому A C̄=( 3+1;−2+2;1−4 ) =( 4;0;−3 ) . ^ π. A= 2 Замечание. При решении задач векторной алгебры, аналитической геометрии и других иногда приходится искать координаты середины отрезка A ( x 1 , y 1 , z 1) , B ( x 2 , y 2 , z 2) . x c= x1+ x 2 2 , yc= y 1+ y2 2 AB , где Координаты середины отрезка ищут по формулам: , zc = z 1 + z2 2 . Рассмотрим в заключение этого пункта вопрос определения направления вектора и нахождение орта этого вектора, т. е. единичного вектора того же направления, что и сам вектор. Пусть α , β ,γ – углы между вектором Косинусы углов ā=( x, y ,z ) . cos β= и координатными осями Ox,Oy,Oz. ā α , β ,γ называют направляющими косинусами вектора cosα= cosα ,cos β,cos γ Находят y y = 2 2 2, |ā| √ x + y + z cos γ= по формулам: z z = 2 2 2, |ā| √ x + y +z x x = 2 2 2, |ā| √ x + y + z 2 2 2 причем cos α+cos β+cos γ=1. Пример. Найти направляющие косинусы вектора ā=( 2,−1,−2 ) . cosα= 2 2 = ; 2 3 √ 2 +1+2 1 2 cos β=− ; cosγ=− . 3 3 2 Пример. Найти единичный вектор того же направления, что и вектор ā=( 2,−1,−2 ) . ā ē= . |ā| Так как длина вектора Единичный вектор находят по формуле равна 3, то единичный вектор делением координат вектора ā ē= ( 23 ,− 13 ,− 23 ) ā , т.е. его координаты получают на его длину. Замечание. Очевидно, ē=( cos α ,cos β ,cosγ ) . Определение. Векторным произведением векторов ā и b̄ называется вектор c̄ , удовлетворяющий следующим условиям: 1) вектор c̄ равна c̄ перпендикулярен и вектору a⋅b⋅sin ϕ ( ϕ – угол между кратчайший поворот от вектора ā ā и и вектору b̄ ; 2) длина вектора b̄ ); 3) с конца вектора к вектору ā b̄ кажется происходящим против часовой стрелки. Заметим, что такую тройку векторов принято называть правой (рис. 9). с b  a c̄ Рис. 9 ā×b̄ . Ясно, что Обозначим векторное произведение изменится на противоположное направление вектора ā×b̄=−b̄×ā , так как c̄ при неизменной и равной площади параллелограмма со сторонами a и b длине этого вектора. Векторное произведение векторов ā=( x 1 , y 1 , z 1 ) и b̄=( x 2 , y 2 , z 2 ) вычисляют по формуле: ī j̄ k̄ ā×b̄=|x 1 y 1 z 1 | x2 y 2 z2 . С помощью векторного произведения параллелограмма, построенного на ā можно ABC площадь S=|ā× b̄| и b̄ как на сторонах: площадь треугольника, построенного на этих векторах: Пример. Найти площадь треугольника вычислить 1 S= |ā×b̄| 2 , или . , если известны координаты его вершин: A (−2,4,−6 ) , B ( 0,2,−4 ) , C (−5,8,−6 ) . Найдём векторы 1 S= |AB× AC| 2 AB и AC : AB=2 ī−2 j̄+2 k̄ , AC=−3 ī +4 j̄+0 k̄ , тогда ī ¯j k̄ AB×AC=| 2 −2 2 |=−8 ī −6 j̄+2 k̄ −3 4 0 . Находим . Имеем 1 1 1 S= |−8 ī −6 ¯j+2 k̄|= √64 +36+4= √104= 2 2 2 1 = √ 4⋅26=√ 26. 2 Определение. Смешанным произведением векторов число ā, b̄ и ā×b̄⋅c̄ . Обозначают смешанное произведение c̄ называется ā b̄ c̄ . Численно смешанное произведение равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах ā, b̄ и c̄ как на сторонах, взятому со знаком +, если эта тройка векторов правая, и со знаком -, если эта тройка левая. Если же компланарны, то ā⋅b̄⋅c̄=0. ā, b̄ и c̄ Если ā=( x 1 , y 1 , z 1) , b̄=( x2 , y 2 , z 2 ) и С помощью c̄=( x3 , y 3 , z 3 ) , смешанного ā⋅b̄⋅c̄ =¿|x1 y1 z1 ¿| x2 y2 z2 ¿|¿ ¿¿ ¿ то произведения можно параллелепипеда, построенного на векторах ā, b̄ и вычислить c̄:V=|ā⋅b̄⋅c̄|, объем или объем 1 V = |ā⋅b̄⋅c̄|. 6 пирамиды, построенной на этих векторах: 1.13. Линейная форма с двумя переменными. Уравнение прямой на плоскости, его виды, условие параллельности и перпендикулярности прямых, угол между прямыми, пересечение прямых на плоскости. Определение. Уравнением линии на плоскости Oxy называется уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии. Теорема. Всякое уравнение первой степени Ax +By+C=0 , где A и B не обращаются в нуль одновременно, представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости Oxy. Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой называть нормалью прямой и обозначать параллельный прямой n̄. Итак, n̄⊥l l, будем . Вектор, l, будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его ā=( l, m ) . Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой: tg ϕ=k (рис.10). y L n a  O x Рис. 10 Ox Укажем теперь основные уравнения прямой на плоскости: 1) Ax +By+C=0 2) A⋅( x −x 0 ) + B⋅( y− y 0 )=0 M 0 ( x0 , y0 ) l точку = M 0 ( x0 , y0 ) y− y 0 m M 1 ( x 1 , y1 ) и – уравнение прямой, проходящей через две точки M 2 ( x2 , y2) ; x y + =1 a b 5) – каноническое уравнение прямой, проходящей через параллельно направляющему вектору ā=( l,m ) ; x−x 1 y − y 1 = x 2 −x 1 y 2− y1 4) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору n̄=( A ,B ) ; x−x 0 3) – общее уравнение прямой; – уравнение прямой в отрезках, где a и b – величины направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ox и Oy соответственно; y=k⋅x+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом, где k – 6) угловой коэффициент прямой, а b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy; y− y 0 =k⋅( x−x 0 ) 7) через точку M 0 ( x0 , y0 ) , – уравнение прямой (или пучка прямых), проходящей где k – угловой коэффициент прямой. Рассмотрим теперь взаимное расположение прямых, заданных различными уравнениями. Пусть даны прямые l 1 : y=k 1⋅x +b1 , прямыми определяют по формуле Условие перпендикулярности: l1 l1 // l 2 : y=k 2⋅x +b2 . tg α= ¿ Тогда угол между этими k 2 −k 1 . 1+k 1⋅k 2 l 2 ⇔ k 1 =− 1 ; k2 условие параллельности: l 2 ⇔ k 1 =k 2 . Пусть две прямые заданы общими уравнениями l 1 : A 1 x+B1 y +C 1 =0 , l 2 : A 2 x +B 2 y+C2 =0 . Тогда угол n1 =( A1 , B1 ) α и между этими прямыми равен углу между их нормалями n2 = ( A 2 , B 2 ) , cos α= т. е. Условие перпендикулярности: l1 A 1⋅A 2 + B1⋅B2 √ A 21+ B21⋅√ A 22+ B22 l2 ¿ Условие параллельности: l1 // l2 ⇔ n̄1 // { n̄2 ¿ n̄1 ⊥ n̄ 2 ⇔ A 1⋅A 2 + B1⋅B2 =0 . ⇔ ⇔ . A 1 B1 = . A 2 B2 Пусть прямые l1 и l2 заданы каноническими уравнениями l2 : l1 : x−x 0 y − y 0 = , l1 m1 x−x 0 y − y 0 = . l2 m2 Тогда угол α между прямыми направляющими векторами ā1 =( l 1 , m1 ) и совпадает ā2 =( l 2 ,m 2 ) : с углом cos α = между α l1⋅l 2 +m 1⋅m2 √ l12+m21⋅√l22+ m22 . Условие перпендикулярности: l1⊥ l2 ⇔ ā1 ⊥ ā2 ⇔l1⋅l2+m1⋅m2=0 . Условие параллельности: l m l1 // l2 ⇔ ā1 // { ā 2 ⇔ 1 = 1 .¿ l 2 m2 Пример. Написать уравнения прямых, проходящих через точку M 0 ( 2 ,−1 ) ∘ параллельно, перпендикулярно и под углом 45 к прямой y=x−4. Для решения задачи воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку. Имеем уравнение y +1=k⋅( x−2 ) . Определим k прямой. Если прямая параллельна данной прямой y=x−4, то k=1 и y+1=x−2 ⇒ x−2− y−1=0 ⇒ x− y −3=0 – это уравнение прямой, параллельной данной. Если искомая прямая y+1=−( x−2 ) ⇒−x+2− y−1=0 перпендикулярна ⇒ x+ y−1=0 – данной, это то k =−1 уравнение и тогда прямой, перпендикулярной данной. ∘ Определим далее угловой коэффициент прямой, проходящей под углом 45 к данной прямой y=x−4 , по формуле tg α= k 2 −k 1 1+k 1 k 2 . Подставляя в эту формулу прямой 1= ∘ α=45 , получим: k=1 1−k 1 1+k 1 (т. к. угловой коэффициент данной 1+k 1 =1−k 1 ⇒2⋅k 1=1−1⇒ k 1 =0 . ). Имеем И тогда y+1=0 – ∘ уравнение прямой, проходящей под углом 45 к данной. Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки A 2 ( 2,5 ) A 1 ( 5,−1 ) и . Воспользуемся уравнением ⇒2⋅( x−5 )=−( y+1 ) ⇒2⋅x−10+ y+1=0 x−5 y +1 x−5 y+1 = ⇒ = 2−5 5+1 −3 6 (4): ⇒2⋅x + y−9=0 . Пример. Найти угол между прямыми: а) y=3⋅x и y=−2⋅x+5 ; б) 18⋅x+6⋅y−17=0 и 5⋅x+10⋅y−9=0 . а) Для вычисления угла между прямыми с угловым коэффициентом воспользуемся tg α= 3+2 5 = 1−6 −5 tg α= формулой . Отсюда k 2 −k 1 1+k 1⋅k 2 3 α=arktg(−1)= π 4 . Но k 1 =3 , k 2 =−2 , поэтому . б) В случае задания прямых общими уравнениями угол между прямыми cos α= можно искать по формуле Имеем cosα= 18⋅5+6⋅10 √ 182+6 2⋅√ 52+10 2 И последнее. Расстояние находят по формуле d= = d A 1⋅A 2 + B1⋅B2 √ A 21+ B21 √ A 22+ B22 150 √ 360⋅√ 125 от точки = . 150 5 1 π = = α= 4 . 6⋅√ 10⋅5⋅√ 5 √ 10⋅√5 √ 2 . M ( x 1 , y 1) до прямой Ax +By+C=0 |Ax1 +By 1 +C| √ A 2+B2 . 1.14. Линейная форма с тремя переменными. Уравнение плоскости в пространстве, условие параллельности и перпендикулярности плоскостей, пересечение плоскостей в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Определение. Уравнением поверхности в пространстве такое уравнение между переменными x, y ,z , Oxyz называется которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности. Пусть точки M0 и M лежат на плоскости (рис. 11). Тогда значит, их скалярное произведение равно нулю: – это уравнение плоскости, проходящей n̄⊥ M̄ 0 M̄ и, A⋅( x −x 0 ) + B⋅( y− y 0 ) +C⋅( z−z 0 )=0 через точку M 0 ( x 0 , y 0 , z0) перпендикулярно вектору n̄=( A ,B ,C ) . Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. n  A, B, C  М M0 Рис. 11. Укажем теперь основные уравнения плоскостей: 1) A ( x−x 0 ) +B ( y− y 0 ) +C ( z−z 0 )=0 точку 2) M 0 ( x0 , y0 , z0) – уравнение плоскости, проходящей через перпендикулярно вектору n̄=( A ,B ,C ) ; Ax +By+Cz+ D=0 – общее уравнение плоскости ( A ,B ,C – координаты нормали плоскости); 3) |x−x1 y−y1 z−z1 ¿| x2−x1 y2−y1 z2−z1 ¿|¿ ¿¿ ¿ заданные точки 4) x y z + + =1 a b c – уравнение плоскости, проходящей через три M 1 ( x 1 , y1 ,z 1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) и M 3 ( x 3 , y 3 , z3 ) ; – уравнение плоскости в отрезках, где a,b,c -величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ox ,Oy и Oz соответственно. Если плоскости P1 и P2 параллельны или перпендикулярны друг к другу, то соответственно параллельны или перпендикулярны их нормальные векторы (рис. 12 и 13). n1  A, B, C  n1  A1 , B1 , C1  p1 n 2  A2 , B 2 , C 2  p1 p2 p2 Рис. 12 и 13 Ясно, что верно и обратное утверждение: если n̄1 ⊥ n̄ 2 ,то плоскости P1 и P2 взаимно перпендикулярны; если n̄1 // { n̄2 ¿ ,то P1 и P2 взаимно параллельны. Итак, пусть P1 и плоскости P2 заданы общими уравнениями: A 1 x+B 1 y+C1 z+D1=0 , A 2 x +B 2 y +C2 z+D2 =0 . Тогда имеем: 1. P1 // P2 ⇔ A 1 B 1 C1 = = A 2 B 2 C2 ; 2. P1⊥ P2 ⇔ A1 A 2+B 1 B 2+C1 C 2=0 . Из этих же соображений определяется и угол между двумя плоскостями, который равен углу между нормалями к плоскостям (или дополняет этот последний до 180 ): cos ϕ= Расстояние от точки формуле d= n̄1⋅n̄2 A 1 A2 + B 1 B2 +C1 C 2 = n1⋅n2 √ A 2 + B2 +C 2⋅√ A 2 + B2 +C 2 1 M ( x 1 , y 1 , z1) 1 1 2 до плоскости 2 2 . Ax +By+Cz+ D=0 находят по |Ax1 +By 1 +Cz 1 +D| √ A 2+B 2+C 2 . Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 2,5,−3 ) перпендикулярно вектору B C̄ , если B ( 7,8,−1 ) и C ( 9,7,4 ) . Найдем B C̄=( 9−7,7−8,4+1 ) =( 2,−1.5 ) . Воспользуемся уравнением плоскости, проходящей через заданную точку: A ( x−x 0 ) +B ( y− y 0 ) +C ( z−z 0 )=0 . Имеем через точки 2 ( x −2 )−1 ( y−5 ) +5 ( z+3 )=0 ⇒ 2 x− y +5 z−4+5+15=0 ⇒2 x− y +5 z+16=0 . Пример. Найти M 1 ( 1,5,−7 ) , M 2 (−3,6,3 ) уравнение плоскости, проходящей и M 3 (−2,7,3 ) . В уравнение плоскости, проходящей через три точки, подставим координаты данных точек: Раскладывая x−1 y−5 z+7 x−1 y−5 z+7 |−3−1 6−5 3+7 |=0⇒| −4 1 10 |=0 −2−1 7−5 3+7 −3 2 10 . определитель по элементам первой строки, имеем 2 ( x−1 )−2 ( y−5 ) + ( z+7 )=0⇒ 2 x−2 y +z+15=0 . Прямая в пространстве однозначно определяется точкой M 0 ( x 0 , y 0 , z0) и направлением, т.е. некоторым вектором, называемым направляющим. Обозначим его ā=( e,m ,n ) Основные уравнения прямых в пространстве: 1) x−x 0 y− y 0 z−z 0 = = e m n - канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку 2) x−x 1 y − y 1 z−z 1 = = x 2 −x 1 y 2− y1 z 2 −z 1 две точки M 1 ( x 1 , y1 , z 1 ) M 0 ( x0 , y 0 , z0 ) параллельно вектору ā=( e,m ,n ) ; – уравнения прямой в пространстве, проходящей через , M 2 ( x 2 , y2 , z2 ) , получают из канонических, считая направляющим вектором прямой вектор M 1 M2 , лежащий на прямой; 3) { A 1 x+B1 y +C 1 z+D 1=0 , A2 x +B2 y +C 2 z+D2 =0 – общие уравнения прямой задаются уравнениями двух плоскостей, объединенных в систему, а так как такая система имеет бесчисленное множество решений, то их совокупность геометрически и представляет собой прямую. Взаимное расположение двух прямых в пространстве определяется расположением их направляющих векторов. Пусть l1 : x−x 0 e1 = y − y0 m1 = ā1 =( e1 , m1 , n1 ) , ā 2=( e 2 , m2 ,n 2 ) z−z 0 n1 , - l2 : x−x 1 e2 = y− y 1 m2 = z −z1 n2 направляющие , где векторы прямых l1 и l2 соответственно. а) l1 // l2⇔ ā1 // { ā 2 ,¿ т.е. l 1 // l 2 ⇔ e1 m1 n1 = = ; e2 m2 n2 б) l 1⊥ l2 ⇔ ā1 ⊥ ā2 ⇔e 1 e 2 +m1 m2 +n1 n 2=0; l1 и в) угол между прямыми cos ϕ= векторами этих прямых, т.е. l2 равен углу между направляющими ā1⋅ā2 e 1 e 2 +m1 m 2 +n1 n2 = . a1⋅a2 √ e 2 +m2 +n 2⋅√ e 2 +m 2 + n2 1 1 1 2 2 2 В заключение темы рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости x−x 0 в пространстве. Ясно, что прямая Ax +By+Cz+ D=0 e = y− y 0 m = Ae +Bm +Cn=0 n параллельна плоскости тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой ā=( e,m ,n ) перпендикулярен нормали n̄=( A ,B ,C ) или z−z 0 плоскости, т.е. если ā⋅n̄=0 . Прямая перпендикулярна плоскости при условии n̄// { ā,¿ т.е. A B C = = e m n . Угол между прямой и плоскостью находят по формуле |n̄⋅ā| |Ae+Bm+Cn| sin ϕ= = 2 2 2 2 2 2. |n̄|⋅|ā| √ A +B +C ⋅√ e +m +n Пример. Даны координаты вершин пирамиды A 1 ( 1;−1;2 ) , A 2 ( 2;1;2 ) , A3 ( 1;1;4 ) , A 4 ( 6;−3;6 ) . Найти: 1) длину ребра A 1 A3 ; 2) угол между ребрами A 1 A3 и A 1 A 4 ; 3) угол между ребром A 1 A3 и гранью A 1 A2 A 4 ; 4) площадь грани A 1 A2 A 4 ; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой A 1 A 4 ; 7) уравнение плоскости A 1 A2 A 4 ; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины A 3 на грань A 1 A2 A 4 . 1). Длина ребра находится по формуле расстояния между двумя точками: A 1 Ā3 =√(1−1)2+(1−(−1))2 +( 4−2)2 =√ 8. 2). Найдем векторы A 1 Ā3 и A 1 Ā 4 : A 1 Ā3=( (1−1);(1−(−1));( 4−2) )= ( 0;2 ;2 ) ; A 1 Ā 4=( 5;−2;4 ) . Тогда cosϕ= A1 Ā3⋅A1 Ā 4 5⋅0−2⋅2+4⋅2 4 4 2 = = = = . |A 1 A3|⋅|A 1 A 4| √8⋅√ 25+4 +16 √ 8⋅√ 45 2 √ 2⋅3 √5 3 √10 3). Угол между ребром и гранью находят по формуле угла между прямой и плоскостью, для чего следует найти направляющий вектор прямой нормаль к плоскости, проходящей через точки A 1 , A2 , A 4 . A 1 Ā3 и Направляющий вектор A 1 Ā3 уже найден в пункте 2. Это вектор A 1 Ā3 =( 0;2;2 ) . Нормаль к грани A 1 A2 A 4 можно найти двумя способами. Например, найти произведение перпендикулярно уравнение A 1 Ā2 × A1 Ā 4 =n̄ , и к A 1 A2 A 4 или плоскости так как A 1 Ā2 , найти векторное и произведение A 1 Ā 4 . к векторное Итак, i j k 2 0 1 0 1 2 n̄=|1 2 0 |=| | ī −| | j̄+| |k̄=8 ī −4 j̄−12 { k̄.¿ −2 4 5 4 5 −2 5 −2 4 Тогда n̄=( 8;−4;−12 ) , ā=( 0;2;2 ) . |n̄⋅ā| |8⋅0−4⋅2−12⋅2| sin ϕ= = = |n̄|⋅|ā| √ 82 + 4 2 +122⋅√ 0 2 +22 +2 2 32 ¿ ≈0 . 7565. √ 224⋅√ 8 4). Площадь грани 1 A 1 A2 A 4 находим по формуле S= 2 |A 1 Ā 2 ×A 1 Ā 4| . |A1 Ā 2×A 1 Ā 4|=|8 ī−4 j̄−12 { k̄¿|=√64+16+144=√ 224 . Тогда 5). Объем пирамиды находим по формуле: векторы A 1 Ā2 =( 1;2;0 ) , A1 Ā3 =( 0;2;2 ) , A 1 Ā 4 =( 5;−2;4 ) этих векторов: S= 1 √ 224 2 . 1 V = |A 1 Ā2⋅A 1 Ā3⋅A 1 Ā 4|. 6 Мы уже нашли . Найдем смешанное произведение 1 2 0 2 2 0 2 A 1 Ā2⋅A 1 Ā3⋅A1 Ā 4 =|0 2 2 |=1⋅| |−2⋅| |= −2 4 5 4 5 −2 4 ¿12−2(−10)=12+20=32. 1 16 1 V = ⋅32= =5 6 3 3 . Таким образом, A 1 ( 1;−1;2 ) 6). Уравнение прямой, проходящей через две точки и A 4 ( 6;−3;6 ) , имеет вид: x−x 1 x 2 −x 1 = y − y1 y 2− y1 = z−z 1 z 2 −z 1 или x−1 y +1 z−2 = = , 6−1 −3+1 6−2 т.е. x−1 y +1 z−2 = = 5 −2 4 . 7). Найдем уравнение плоскости, проходящей через три точки A 1 , A2 и A 4 : x−1 y+1 z−2 x−1 y+1 z−2 |2−1 1+1 2−2 |=0⇒| 1 2 0 |=0 6−1 −3+1 6−2 5 −2 4 . Раскладывая определитель 8( x−1)−4( y +1)−12(z−2)=0, по откуда элементам первой 8 x−4 y−12 z+12=0 и строки, является получим уравнением грани A 1 A2 A 4 . 8). Нормаль к грани A 1 A2 A 4 является направляющим вектором высоты пирамиды, опущенной на эту грань из вершины высоты имеет вид A 3 , поэтому уравнение x−1 y−1 z−4 = = 8 −4 −12 . 2. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2.1-2. Функция. Предел функции, критерий Коши существования и теорема единственности предела функции. Правила нахождения предела. Теоремы о локальном поведении функции. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т.е. в самой точке х = а функция может быть и не определена) Определение. Число А называется пределом функции f(x) при ха, если для любого >0 существует такое число >0, что для всех х таких, что 0 < x - a <  верно неравенство f(x) - A< . То же определение может быть записано в другом виде: Если а -  < x < a + , x  a, то верно неравенство А -  < f(x) < A + . Обозначение предела функции в точке: lim f ( x )=A x →a Определение. Если f(x)  A1 при х  а только при x < a, то lim f ( x )= A 1 x→ a−0 - называется пределом функции f(x) в точке х = а слева, а если f(x)  A2 при х  а только при x > a, то точке х = а справа. lim f ( x )=A 2 x → a+0 называется пределом функции f(x) в Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x). Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа >0 существует такое число М>0, что для всех х, х>M выполняется неравенство |A−f ( x)|<ε . При этом предполагается, что функция f(x) определена на бесконечности. Обозначают: lim f ( x )= A . x→∞ Аналогично можно определить пределы lim f ( x )= A x →−∞ lim f ( x )=A x →+∞ для любого х>M и для любого х0 вблизи точки х = а и x →a , то А>0. Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0. Теорема 6. Если g(x)  f(x)  u(x) вблизи точки х = а и то и lim = A x →a lim g ( x )=lim u( x )=A x →a x→a , . Определение. Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)0 существует такое число >0, что неравенство f(x)>M выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < x - a <  Обозначается lim f ( x )=∞ x →a . Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие lim f ( x )=+ ∞ , f(x)>M на f(x)>M, то получим: то: а если заменить на f(x)0¿¿¿¿ 5 10 Эта функция также обозначается sign(x) – знак х. В точке х = 0 функция не определена. Т.к. левый и правый пределы функции различны, то точка разрыва – 1 – го рода. Если доопределить функцию в точке х = 0, положив f(0) = 1, то функция будет непрерывна справа, если положить f(0) = -1, то функция будет непрерывной слева, если положить f(x) равное какому- либо числу, отличному от 1 или –1, то функция не будет непрерывна ни слева, ни справа, но во всех случаях тем не менее будет иметь в точке х = 0 разрыв 1 – го рода. В этом примере точка разрыва 1 – го рода не является устранимой. Таким образом, для того, чтобы точка разрыва 1 – го рода была устранимой, необходимо, чтобы односторонние пределы справа и слева были конечны и равны, а функция была бы в этой точке не определена. Определение. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Свойство 1 (Первая теорема Вейерштрасса): Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M  f(x)  M. Доказательство этого свойства основано на том, что функция, непрерывная в точке х0, ограничена в некоторой ее окрестности, а если разбивать отрезок [a, b] на бесконечное количество отрезков, которые “стягиваются” к точке х 0, то образуется некоторая окрестность точки х0. Свойство 2 (Вторая теорема Вейерштрасса): Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем m  f(x)  M. Отметим, эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз. Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Свойство 3 (Вторая теорема Больцано – Коши): Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано – Коши). Если функция f(x)непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. Т.е. если sign(f(a))  sign(f(b)), то  х0: f(x0) = 0. Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна. Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. 2 f (x)=¿{x+4, x<−1¿ {x +2,−1≤x≤1 ¿ ¿ lim f (x )=3 x →−1−0 lim f ( x )=3 x →−1+0 lim f ( x )=3 x → 1−0 lim f ( x )=2 x → 1+0 в точке х = -1 функция непрерывна; в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода. Пример. Исследовать на непрерывность функцию и определить тип точек разрыва, если они есть. 2 f (x )=¿{cosx , x≤0¿ {x +1, 00¿¿¿¿ . Рассмотрим функцию ' 1 (−x ) 1 ′ 1 ' ( ln x ) = ; (ln(−x )) = = x x x . Тогда (lnx)= х , т.к. Учитывая полученный результат, можно записать ( ln|f ( x )|)′ = ' f (x ) f ( x) . ' Отношение f (x) f (x) называется логарифмической производной функции f(x). Способ логарифмического дифференцирования состоит в том, что сначала находят логарифмическую производную функции, а затем производную ' ' самой функции по формуле f ( x)=(ln|f ( x)|)⋅f ( x) 2 x cos x Пример. Найти производную функции f (x )=( x +3 x ) . 2 По полученной выше формуле получаем: u=x +3 x ; v=x cos x ; ' ' Производные этих функций: u =2 x+3 ; v =cos x−x sin x ; Окончательно: 2 ' x cos x−1 f ( x )=x cos x⋅(x +3 x ) 2 ⋅(2 x +3 )+( x +3 x ) x cos x 2 (cos x− x sin x )ln( x +3 x ) Производная обратных функций. Пусть требуется найти производную функции у = f(x) при условии, что обратная ей функция x = g(y) имеет производную, отличную от нуля в соответствующей точке. Для решения этой задачи дифференцируем функцию x = g(y) по х: ' ' ' 1=g ( y ) y , т.к. g(y)  0, y= 1 g (y) , ' dy 1 = dx dx dy , т.е. производная обратной функции обратна по величине производной данной функции. Дифференциал функции. Δy ' =f ( x ) Пусть функция y = f(x) имеет производную в точке х: Δx→0 Δx lim Тогда можно записать: Δy ' =f ( x )+ α Δx , где 0, при х0. ' Δy =f ( x )⋅Δx +α⋅Δx . Величина x - бесконечно малая Следовательно: более высокого порядка, чем f(x)x, т.е. f(x)x- главная часть приращения у. Определение. Дифференциалом функции f(x) в точке х называется главня линейная часть приращения функции. Обозначается dy или df(x). Из определения следует, что dy = f(x)x или dy = f(x)dx. Можно также f ' ( x )= записать: dy dx 1 y=x cos x sin x + cos2 x 2 Пример. Найти производную функции . Сначала преобразуем данную функцию: 1 1 y= sin 2 x+ cos 2 x 2 2 1 1 1 1 y ' = sin 2 x + x 2 cos2 x+ 2 cos x (−sin x )= sin 2 x +x cos 2 x −sin x cos x=x cos 2 x . 2 2 2 2 2 Пример. Найти производную функции 2 2 2 x2 ex y= 2 x +1 . 2 2 2 2 2 ( 2 xe x + x 2 2 xe x )(x 2 +1)−(2 x )x 2 e x 2 x 3 e x +2 x 5 e x +2 xe x +2 x 3 e x −2 x 3 e x y= 2 = 2 = ( x +1 )2 ( x +1 )2 ' 2 2 xe x ( x 4 + 1+ x2 ) = 2 2 ( x +1) Пример. Найти производную функции x x y=lntg − 2 sin x 1 1 sin x−x cos x 1 sin x−x cos x sin x−sin x +x cos x ⋅ ⋅ − 2 = − 2 = 2 = x x x sin x 2 x 2 sin x sin x tg cos 2 sin cos 2 2 2 2 x cos x ¿ 2 sin x ' y= 1 Пример. Найти производную функции y=arctg 2x4 1−x 8 y'= 1 8 8 x 3 (1−x 8 )−(−8 x 7 )2 x 4 (1−x 8 )2 (8 x 3 −8 x 11 +16 x 11 ) 8 x3 +8 x 11 ⋅ = = = (1−x 8 )2 (1+ x 8 )2 (1−x 8 )2 ( 1+ x 8 )2 4x (1−x 8 )2 8 x3 (1+x 8 ) 8 x 3 ¿ = (1+x 8 )2 1+x 8 ( ) 1+ 2 2 x Пример. Найти производную функции y=x e ln x 2 x2 y =( x e ' )′ ln x + x 2 e x 1 =( 2 xe x 2 2 x 2 2 2 2 2 + x e 2 x ) ln x+ xe =2 xe (1+ x ) ln x + xe = 2 x x x 2 x =xe x ( 1+2 ln x+ 2 x ln x ) 2 Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциал функции y = f(x) зависит от х и является главной частью приращения х. ' Также можно воспользоваться формулой dy=f ( x )dx Тогда абсолютная погрешность Относительная погрешность | |Δy−dy| Δy−dy | dy Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную y ' =f ' ( x )= df ( x ) dx Если найти производную функции f(x), получим вторую производную функции f(x), y ' ' =f ' ' (x )= d2 f ( x ) dx 2 , т.е. y = (y) или 2 d y d dy = dx 2 dx dx ( ) . Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n. d n y d d n−1 y = dx n dx dx n−1 ( ). 2.7-8. Теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях – Ферма, Коши, Ролля, формула Лагранжа; правило Лопиталя; формула Тейлора. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка , a <  < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, f() = 0. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки. Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке функция f(x) на отрезке [a, b] принимает наибольшее и наименьшее значения. Обозначим эти значения М и m соответственно. Возможны два различных случая М = m и M  m. Пусть M = m. Тогда функция f(x) на отрезке [a, b] сохраняет постоянное значение и в любой точке интервала ее производная равна нулю. В этом случае за  можно принять любую точку интервала. Пусть М = m. Так значения на концах отрезка равны, то хотя бы одно из значений М или m функция принимает внутри отрезка [a, b]. Обозначим , a <  < b точку, в которой f() = M. Так как М- наибольшее значение функции, то для любого х ( будем считать, что точка  + х находится внутри рассматриваемого интервала) верно неравенство: f() = f( + x) – f()  0 Δf (ε ) =¿ { ¿0, если Δx>0 ¿ ¿¿¿ При этом Δx Но так как по условию производная в точке  существует, то существует и предел Δf (ε) Δx→0 Δx . lim Т.к. lim¿ Δx→0 ¿ ¿ Δx>0 ¿ Δf (ε) ≤0¿ Δx и lim¿ Δx→0 ¿ ¿ Δx<0 ¿ Δf (ε) ≥0¿ Δx , то можно сделать вывод: Δf (ε ) =0 , т .е . f ' (ε )=0 . Δx→0 Δx lim Теорема доказана. Теорема Ролля имеет несколько следствий: 1) Если функция f(x) на отрезке [a, b] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = = 0, то существует по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что f() = 0. Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. 2) Если на рассматриваемом интервале (а, b) функция f(x) имеет производную (n-1)- го порядка и n раз обращается в нуль, то существует по крайней мере одна точка интервала, в котором производная (n – 1) – го порядка равна нулю. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка  a <  < b, такая, что f (b )−f (a ) ' =f (ε ) b−a . Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке. Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа. f (b )−f (a ) b−a Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ. Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка  такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно. Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию F(x) = f(x) – yсек АВ Уравнение секущей АВ можно записать в виде: f (b )−f (a) (x −a ) b−a f (b )−f (a ) F( x )=f ( x )−f (a)− ( x−a) b−a y−f (a )= Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка , a <  < b, такая что F() = 0. F' ( x )=f ' ( x )− Т.к. следовательно f ' ( ε)= f ( b)−f ( a) b−a , F' (ε )=f ' (ε )− то f (b )−f (a ) =0 b−a , f (b)−f (a) b−a Теорема доказана. ' Определение. Выражение f (a)−f (b )=f (ε )(b−a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде: Δy =f ' ( x +θΔx ) Δx , где 0 <  < 1, x = b – a, y = f(b) – f(a). Теорема Коши. Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b) и g(x)  0 на интервале (a, b), то существует по крайней мере одна точка , a <  < b, такая, что ' f ( b)−f ( a) f ( ε ) = g ( b)−g ( a ) g' ( ε ) . т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке . Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию F( x )=f ( x )−f (a)− f ( b)−f (a ) ( g( x )−g (a)) g( b)−g (a ) , которая на интервале [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Легко видеть, что при х = а и х = b F(a) = F(b) = 0. Тогда по теореме Ролля существует такая точка , F' ( x )=f ' ( x )− a <  < b, такая, что F() = 0. Т.к. F' (ε )=0=f ' ( ε )− f (b )−f (a ) ' g ( ε) g(b )−g (a) . А т.к. ' g (ε )≠0 , то f (b )−f (a ) ' g ( x) g(b )−g(a ) , то f ( b)−f ( a) f ' ( x ) = g ( b)−g ( a ) g' ( x ) Теорема доказана. Следует отметить, что рассмотренная выше теорема Лагранжа является частным случаем (при g(x) = x) теоремы Коши. Доказанная нами теорема Коши очень широко неопределенностей. используется Применение для раскрытия полученных так результатов называемых позволяет существенно упростить процесс вычисления пределов функций, что будет подробно рассмотрено ниже. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя. К разряду неопределенностей принято относить следующие соотношения: 0 ∞ ; ∞ ; ∞⋅0 ; ∞0 ; 1∞ ; ∞−∞ Теорема (правило Лопиталя). Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в вблизи точки а, непрерывны в точке а, g(x) отлична от нуля вблизи а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при ха равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует. ' f (x) f (x) lim =lim ' x →a g( x ) x→ a g ( x ) Доказательство. Применив формулу Коши, получим: f ( x )−f ( a) f ' ( ε ) = g ( x )−g( a ) g ' ( ε ) , где  - точка, находящаяся между а и х. Учитывая, что f(a) = g(a) = 0: f ( x ) f '( ε ) = g ( x ) g' ( ε ) f '( x ) ' g ( x) Пусть при ха отношение стремится к некоторому пределу. Т.к. точка  лежит между точками а и х, то f '( ε ) ' g ( ε) следовательно и отношение стремится к тому же пределу. Таким f (x) f '(x) =lim ' x →a g( x ) x→ a g ( x ) lim образом, можно записать: при ха получим а, а . Теорема доказана. 2 x −1+ln x x →1 e x−e . lim Пример. Найти предел Как видно, при попытке непосредственного вычисления предела получается 0 . Функции, входящие в числитель и знаменатель неопределенность вида дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. f(x) = 2x + 1 х ; g(x) = ex; 2x+ ' lim x →1 lim x→ ∞ Пример. Найти предел f (x) ' g ( x) = e 1 x x 3 e x −1 . 2 f ( x )=− 1+ x 2 ; x→∞ [ 2+ 1 3 = e e ; π−2 arctgx 2x 2 2 3 x (1+x )e (−3 ) 3 x −3 g ( x )=e ⋅ 2 x ; ' lim − = ' ] = −2 2 = (0+1 )⋅1⋅(−3 ) 3 . Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя. Пример. Найти предел x 2 xe x x → ∞ x+ e . lim x 2 1 f ( x )=e (1+ x ) 2 ; ' x x x ' g (x )=1+e x ; x 1 1 x 1 f ( x )= e 2 + e 2 + e 2 = e 2 ( 4+ x ) 2 2 4 4 ; '' '' g ( x )=e x ; x 1 2 1 e ( 4+ x ) ( 4+ x ) 4 4 lim = = lim x x→∞ ex x →∞ e2 x 1 f ( x )= 4 ; 1 g ( x )= e 2 2 ; ''' ' '' lim x→∞ 1 2e x 2 =0; Следует отметить, что правило Лопиталя – всего лишь один из способов вычисления пределов. Часто в конкретном примере наряду с правилом Лопиталя может быть использован и какой–либо другой метод (замена переменных, домножение и др.). Неопределенности ∞ 0; 1 ; ∞ вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида y=[ f ( x ) ] g( x ) , f(x)>0 вблизи точки а при ха. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции lny = g(x)lnf(x). x Пример. Найти предел Здесь y = xx, lny = xlnx. lim ¿ x→0 ¿ ¿x ¿ x>0 ¿ . lim ¿ x→0 ¿ ¿ ln y=lim¿ x→0 ¿ ¿ x lnx=lim¿ x→0 ¿ ¿ x>0 ¿ x>0 ¿ x>0 ¿ Тогда Следовательно ln x 1/x =¿ { правило ¿ } ¿{}=lim¿ x→0 ¿ ¿ 2 =−lim¿ x→0 ¿ ¿ x=0; ¿ 1 x>0 ¿ −1/x x>0 ¿ x . lim¿ x→0 ¿ ¿ln y=lnlim¿ x→0 ¿ ¿ y=0; ⇒ lim¿ x→0 ¿ ¿ y=lim¿ x→0 ¿ ¿x x=1¿ x>0 ¿ x>0 ¿ x>0 ¿ x>0 ¿ Формула Тейлора. Теорема Тейлора. 1) Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}. 2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х  а. Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула: f (x )=f ( a)+ f '( a ) f ' ' (a ) f ( n)( a ) f ( n+1 )( ε ) ( x−a )+ ( x−a)2 +.. .+ ( x −a )n + ( x−a)n+1 1! 2! n! ( n+1) ! – это выражение называется формулой Тейлора, а выражение: f (n+1) (ε ) ( x−a )n+1 =R n+1 ( x ) (n+ 1)! называется остаточным членом в форме Лагранжа. Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена Pn(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а. Pn ( a)=f (a ); P 'n ( a )=f ' (a ); P'n' (a )=f ' ' ( a) ; .. . P(nn) (a)=f ( n)( a) (1) Многочлен Pn(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию. Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами: Pn ( x )=C 0 +C 1 ( x−a )+C2 ( x−a )2 +. ..+C n ( x−a)n (2) Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений: { ' 2 n−1 ' n−2 Pn(x)=C1+2C2(x−a)+3C3(x−a)+. +nCn(x−a) ¿ Pn(x)=2C2+3⋅2C3(x−a)+. +n( −1)Cn(x−a) ¿. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ¿ ¿ { { (3) Решение этой системы при х=а не вызывает затруднений, получаем: f (a)=C0 f ' (a )=C 1 f ' ' (a )=2⋅1 C2 f ' ' ' ( a)=3⋅2⋅1 C3 ……………………. f ( n) (a)=n(n−1)(n−2).. . 2⋅1C n Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем: f ' (a ) f '' (a ) f (n )(a ) 2 Pn ( x )=f (a)+ (x −a )+ ( x−a) + .. .+ ( x−a)n 1 2 n! Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину Rn+1(x). Тогда: f(x) = Pn(x) + Rn+1(x) Теорема доказана. Замечание. Если принять n =0, получим: f(x0 + x) – f(x0) = f(x0 + x)x – это выражение называется формулой Лагранжа. Формулой Маклорена называется формула Тейлора при а = 0: f '(0 ) f ' '( 0 ) 2 f ( n) ( 0) n f ( x )=f ( 0)+ x+ x +. ..+ x + Rn ( x ) 1! 2! n! f ( n+1 )( θx ) n+1 Rn (x )= x ; 0<θ<1 ( n+1) ! 2.9-12. Алгоритм исследования функции. Условие возрастания и убывания функции. Экстремум функции, условие существования точки локального экстремума. Экстремальное значение функции на отрезке. Условие направления выпуклости функции. Перегиб функции, условие существования точки перегиба. Асимптотическое поведение функции, условие существования наклонной асимптоты, вертикальная асимптота. Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x)  0. 2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b]. Доказательство. Если функция f(x) возрастает, то f(x + x) > f(x) при x>0 и f(x + x) < f(x) при х<0, тогда: f ( x + Δx )−f ( x ) >0 , Δx f ( x+ Δx )−f ( x ) ≥0 . Δx Δx→ 0 lim Пусть f(x)>0 для любых точек х1 и х2, принадлежащих отрезку [a, b], причем x10, следовательно, f(x2) – f(x1) >0, т.е. функция f(x) возрастает. Теорема доказана. Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f(x) убывает на отрезке [a, b], то f(x)0 на этом отрезке. Если f(x)<0 в промежутке (a, b), то f(x) убывает на отрезке [a, b]. Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b). Точки экстремума. Определение. Функция f(x) имеет в точке х1 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х1. Функция f(x) имеет в точке х2 минимум, если f(x2 +x) > f(x2) при любом х (х может быть и отрицательным). Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные. Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Теорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х1 и точка х1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке. Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х1 максимум. Тогда при достаточно малых положительных х>0 верно неравенство: f (x 1 + Δx)< f ( x 1 ) , т.е. f ( x 1 + Δx)−f ( x 1 )<0 Тогда f ( x 1 + Δx )−f ( x 1 ) >0 Δx при Δх < 0 f ( x 1 + Δx )−f ( x 1 ) <0 Δx при Δх > 0 По определению: f ( x 1 + Δx )−f ( x 1 ) ' =f ( x 1 ) Δx Δx →0 lim Т.е. если х0, но х<0, то f(x1)  0, а если х0, но х>0, то f(x1)  0. А возможно это только в том случае, если при х0 f(x1) = 0. Для случая, если функция f(x) имеет в точке х2 минимум теорема доказывается аналогично. Теорема доказана. Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум. Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю. Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно. Теорема. (Достаточные условия существования экстремума) Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х1, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х1). Если при переходе через точку х1 слева направо производная функции f(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум. Доказательство. Пусть По теореме Лагранжа: {f ' (x)>0 при x0; где x <  < x1. f()(x – x1)<0, следовательно f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1). 2) Если х > x1, то  > x1 f()<0; f()(x – x1)<0, следовательно f(x) – f(x1)<0 или f(x) < f(x1). Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x1) в любых точках вблизи х1, т.е. х1 – точка максимума. Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично. Теорема доказана. На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: 1) Найти критические точки функции. 2) Найти значения функции в критических точках. 3) Найти значения функции на концах отрезка. 4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков. Пусть в точке х = х1 f(x1) = 0 и f(x1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х1. Теорема. Если f(x1) = 0, то функция f(x) в точке х = х1 имеет максимум, если f(x1)<0 и минимум, если f(x1)>0. Доказательство. Пусть f(x1) = 0 и f(x1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f(x1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х1. Т.к. f(x) = (f(x)) < 0, то f(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1, но f(x1)=0, т.е. f(x) > 0 при хx1. Это и означает, что при переходе через точку х = х1 производная f(x) меняет знак с “+” на “-“, т.е. в этой точке функция f(x) имеет максимум. Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично. Если f(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование. Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой. Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла). Доказательство. Пусть х0  (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке. Уравнение кривой: y = f(x); ' Уравнение касательной: ȳ−f ( x 0 )=f ( x 0 )( x−x 0 ). ' Следует доказать, что y− ȳ =f ( x )−f ( x 0 )−f ( x 0 )( x−x 0 ) . y− ȳ =f ' ( c )( x−x 0 )−f ' ( x 0 )(x− x0 ) , x < По теореме Лагранжа для f(x) – f(x0): c < x. ' ' y− ȳ =( x−x 0 )[ f (c )−f ( x 0 )] По теореме '' y− ȳ =f ( c 1 )( c −x 0 )( x−x 0 ) , Лагранжа для f ' (c )−f ' ( x 0 ): x 0 x0 тогда x0 < c1 < c < x. Т.к. x – x0 > 0 и c – x0 > 0, и кроме того по '' условию f ( c 1 )< 0 , следовательно, y− ȳ <0 . Пусть x < x0 тогда x < c < c1 < x0 и x – x0 < 0, f ' ' (c 1 )<0 , c – x0 < 0, т.к. по условию то y− ȳ<0 . Аналогично доказывается, что если f(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b). Теорема доказана. Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f(a) = 0 или f(a) не существует и при переходе через точку х = а f(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба. Доказательство. 1) Пусть f(x) < 0 при х < a и f(x) > 0 при x > a. Тогда при x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба. Пусть f(x) > 0 при x < b и f(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба. Теорема доказана. При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой. Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю. Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой. Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке. Из определения lim f ( x )=∞ x → a−0 или асимптоты lim f ( x )=∞ x →a следует, что если lim f ( x )=∞ x → a+0 или , то прямая х = а – вертикальная асимптота кривой y = f(x). Теорема (необходимое и достаточное условие наклонной асимпоты). Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b, тогда вательно, f (x) x →∞ x . и k =lim b=lim [ f ( x )−kx ] x →∞ . Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0. Схема исследования функций Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать: 1) Область существования функции. Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции. 2) Точки разрыва. (Если они имеются). 3) Интервалы возрастания и убывания. 4) Точки максимума и минимума. 5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения. 6) Области выпуклости и вогнутости. 7) Точки перегиба. (Если они имеются). 8) Асимптоты. (Если они имеются). 9) Построение графика. Применение этой схемы рассмотрим на примере. 3 Пример. Исследовать функцию y= x 2 x −1 и построить ее график. Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-; -1)  (-1; 1)  (1; ). В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой. Областью значений данной функции является интервал (-; ). Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1. Находим критические точки. Найдем производную функции 3 x 2 (x 2 −1)−2 x⋅x 3 3 x 4 −3 x 2−2 x 4 x 4 −3 x 2 y= = = 2 (x 2 −1)2 (x 2 −1)2 ( x −1 )2 ' Критические точки: x = 0; x = - √3 ;x= √3 ; x = -1; x = 1. Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках. - < x < - √3 √3 , y > 0, функция возрастает < x < -1, y < 0, функция убывает -1 < x < 0, y < 0, функция убывает 0 < x < 1, y < 0, функция убывает 1 0, функция возрастает Видно, что точка х = - √3 является точкой максимума, а точка х = √3 является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны √3 соответственно 3 /2 и -3 √3 /2. Найдем вторую производную функции y' '= = 7 (4 x 3 −6 x )( x 2−1 )2−( x 4 −3 x 2 )4 x ( x 2 −1) = ( x 2 −1)4 ( 4 x 3−6 x )(x 4 −2 x 2 +1 )−( x 4 −3 x 2 )(4 x 3 −4 x ) = ( x2 −1 )4 5 3 5 3 7 5 5 3 4 x −8 x + 4 x −6 x +12 x −6 x−4 x +4 x +12 x −12 x = = ( x2 −1 )4 4 2 2 2 2 2 x 5 + 4 x 3 −6 x 2 x ( x +2 x −3) 2 x ( x +3 )( x −1 ) 2 x( x +3 ) = = = = 2 ( x 2−1)4 (x 2 −1) 4 ( x 2−1 )4 (x −1)3 . Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках. - < x < - √3 √3 < x < -1, , y < 0, кривая выпуклая y < 0, кривая выпуклая -1 < x < 0, y > 0, кривая вогнутая 0 < x < 1, y < 0, кривая выпуклая 1 0, кривая вогнутая < x < , y > 0, кривая вогнутая Найдем наклонные асимптоты. x2 1 =lim =1 ; 2 1 x →∞ x −1 x →∞ 1− 2 x k =lim b=lim x →∞ ( 3 3 3 1 x x x −x + x x −x =lim = lim 2 =lim =0 2 1 x →∞ x →∞ x −1 x →∞ x −1 x −1 1− 2 x ) ( 2 ) Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x. Построим график функции: 4 3 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 -3 -4 3 Пример. Исследовать функцию y=√ 1−x 3 и построить ее график. 1. Областью определения данной функции являются все действительные числа (-; ). 2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности. 3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Оу: x = 0; y = 1; с осью Ох: y = 0; x = 1; 4. Точки разрыва и асимптоты: Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: общее уравнение y = kx + b; 3 f (x) √1−x3 =lim 3 1−x 3 =lim 3 1 −1=−1; k =lim = lim 3 x x →∞ x x →∞ x→ ∞ x →∞ x x3 √ √ 3 3 b=lim (f ( x)−kx )= lim ( √ 1−x + x )=lim x →∞ x →∞ x ←∞ 3 (1−x + x ) 3 2 [ (√ 1−x ) −x⋅√1−x +x ] 3 3 3 3 =0 ; 2 Итого: у = -х – наклонная асимптота. 5. Возрастание и убывание функции, точки экстремума. 1 ' y = (1−x3 )2/3⋅(−3 x 2 ) 3 . Видно, что у 0 при любом х  0, следовательно, функция убывает на всей области определения и не имеет экстремумов. В точке х = 0 первая производная функции равна нулю, однако в этой точке убывание не сменяется на возрастание, следовательно, в точке х = 0 функция скорее всего имеет перегиб. Для нахождения точек перегиба, находим вторую производную функции. '' y =3 −2 x √(1− x3 )5 y = 0 при х =0 и y =  при х = 1. Точки (0,1) и (1,0) являются точками перегиба, т.к. y(1-h) < 0; y(1+h) >0; y(-h) > 0; y(h) < 0 для любого h > 0. 6. Построим график функции. 2 1 -2 -1 1 2 -1 -2 Пример. Исследовать функцию x3+ 4 y= 2 x и построить ее график. 1. Областью определения функции являются все значения х, кроме х = 0. 2. Функция является функцией общего вида в смысле четности и нечетности. 3 3. Точки пересечения с координатными осями: c осью Ох: y = 0; x = −√ 4 с осью Оу: x = 0; y – не существует. 4. Точка х = 0 является точкой разрыва lim y=∞ x →0 , следовательно, прямая х = 0 является вертикальной асимптотой. Наклонные асимптоты ищем в виде: y = kx + b. 3 f (x) x +4 4 = lim 3 =lim 1+ 3 =1 x x →∞ x →∞ x x →∞ x ( ) k =lim b=lim (f ( x )−kx )= lim x →∞ x →∞ ( x3+ 4 4 −x =lim 3 =0. 2 x x →∞ x ) Наклонная асимптота у = х. 5. Находим точки экстремума функции. y ' =1− 8 x 3 ; y = 0 при х = 2, у =  при х = 0. y > 0 при х  (-, 0) – функция возрастает, y < 0 при х  (0, 2) – функция убывает, у > 0 при х  (2, ) – функция возрастает. Таким образом, точка (2, 3) является точкой минимума. Для определения характера выпуклости/вогнутости функции находим вторую производную. y''= 24 x4 > 0 при любом х  0, следовательно, функция вогнутая на всей области определения. 6. Построим график функции. 8 6 4 2 -4 -2 2 4 -2 -4 2.13. Функция многих переменных. Предел, непрерывность, ограниченность функции многих переменных. При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных. Определение. Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому-либо правилу ставится в соответствие одно значение переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных, z = f(x, y). Определение. Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует. Определение. Окрестностью точки М0(х0, у0) радиуса r называется совокупность всех точек 2 2 √ ( x−x ) +( y − y ) 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие MM 0 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем , выполнено неравенство |f ( x1 , y 1 )−f ( x 2 , y 2 )|<ε Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. 2.14. Функция многих переменных. Дифференцируемость, частные производные, дифференциал функции многих переменных. Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение х к переменной х. Тогда величина xz = f( x + x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х. Рассмотрим lim Δx→0 Δ x z f ( x+ Δx , y )−f ( x , y ) = Δx Δx . Тогда Δx z Δx называется частной производной функции z = f(x, y) по х. Обозначение: ∂ z ' ∂f (x , y ) ' ; z ; ; f x ( x , y ). ∂x x ∂x Аналогично определяется частная производная функции по у. f (x , y +Δy )−f ( x , y ) ∂z = lim ∂ y Δy→0 Δy Геометрическим смыслом частной производной (допустим ∂z ∂ x ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0. Полное приращение и полный дифференциал. Определение. Для функции f(x, y) выражение z = f(x + x, y + y) – f(x, y) называется полным приращением. Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то Δz=f (x + Δx , y + Δy )−f ( x , y )+ f ( x , y+ Δy)−f ( x , y+ Δy )=[ f (x + Δx , y + Δy )−f ( x , y + Δy) ] + + [ f (x , y + Δy )−f ( x , y ) ] Применим теорему Лагранжа к выражениям, стоящим в квадратных скобках: f (x , y+ Δy )−f ( x , y )=Δy f (x +Δx , y +Δy )−f ( x , y + Δy )=Δx ∂ f ( x , ȳ ) ∂y , ∂ f ( x̄ , y+ Δy ) ∂x , где ȳ ∈( y , y+ Δy ); x̄ ∈(x , x+ Δx) Тогда получаем Δz=Δx ∂ f ( x̄ , y+ Δy ) ∂ f ( x , ȳ ) +Δy ∂x ∂y Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства: lim ¿ Δx →0 ¿ ¿ Δy→0 ¿ ∂f ( x̄, y+Δy) ∂f (x, y ) = ¿ ∂x ∂x lim¿ Δx→0 ¿ ¿ Δy→0 ¿ Определение. Выражение Δz= ∂f (x, ȳ) ∂f (x, y) = ¿ ∂y ∂y ∂f ( x , y) ∂f (x,y) Δx+ Δy+α 1 Δx+α 2 Δy ∂x ∂y называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где 1 и 2 – бесконечно малые функции при х  0 и у  0 соответственно. Определение. Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно х и у приращения функции z в точке (х, ' ' у): dz=f x ( x , y )dx +f y ( x , y )dy Для функции df ( x , y , z, ... ,t )= произвольного числа переменных: ∂f ∂f ∂f dx+ dy+. . .+ dt ∂x ∂y ∂t y Пример. Найти полный дифференциал функции u=x du= 2 z . ∂u ∂u ∂u dx+ dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂u 2 y 2 z−1 ∂u y 2 z ∂u y 2 z 2 = y zx ; =x ln x⋅2 yz; =x ln x⋅y ; ∂x ∂y ∂z du= y 2 zx y 2 z−1 2 2 dx+2 x y z yz ln xdy+ y 2 x y z ln xdz Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала. Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции: Δz=f ( x +Δx , y +Δy )−f ( x , y ) f (x +Δx , y +Δy )=f ( x , y )+ Δz Если подставить в эту формулу выражение Δz≈dz= ∂f ∂f Δx+ Δy ∂x ∂y , то получим приближенную формулу: f (x +Δx , y +Δy )≈f ( x , y )+ ∂ f (x , y ) ∂f ( x , y) Δx+ Δy ∂x ∂y Пример. Вычислить приближенно значение √ 1,041,99 +ln 1,02 , исходя из y значения функции u= √ x +ln z при x = 1, y = 2, z = 1. Из заданного выражения определим x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02. Найдем значение функции u(x, y, z) = √ 12+ln 1=1 Находим частные производные: y −1 ∂u y⋅x 2⋅1 = = =1 y ∂ x 2 √ x +ln z 2 √ 1 ∂u x y ln x = =0 ∂ y 2 √ x y + ln z 1 ∂u z 1 = = ∂ z 2 √ x y + ln z 2 Полный дифференциал функции u равен: ∂u ∂u ∂u 1 du=0 , 04⋅ −0 , 01⋅ +0 , 02⋅ =1⋅0 ,04−0⋅0 , 01+ ⋅0 , 02=0 , 04+0 , 01=0 ,05 ∂x ∂y ∂z 2 √ 1,04 1,99 +ln 1,02 ¿ u(1,2,1)+du=1+0 , 05=1 , 05 Частные производные высших порядков. Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные ' ' производные f x ( x , y ) и f y ( x , y ) тоже будут определены в той же области или ее части. Будем называть эти производные частными производными первого порядка. Производные этих функций будут частными производными второго порядка. ∂2 z '' ∂2 z '' =f ( x , y ); =f ( x , y ); ∂ x 2 xx ∂ y 2 yy ∂2 z ∂2 z '' '' =f xy ( x , y ); =f yx ( x , y); ∂ x∂ y ∂ y∂ x Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков. 2 Определение. Частные производные вида 2 3 3 ∂z ∂z ∂z ∂z ; ; ; ∂ x∂ y ∂ y ∂ x ∂ x∂ y∂ x ∂ x∂ y∂ y и т.д. называются смешанными производными. Теорема. Если функция f(x, y) и ее частные производные ' ' '' '' f x , f y , f xy , f yx определены и непрерывны в точке М(х, у) и ее окрестности, то верно соотношение: ∂2 f ∂2 f = ∂ x∂ y ∂ y∂ x ; т.е. частные производные высших порядков не зависят от порядка дифференцирования. Аналогично определяются дифференциалы высших порядков. ' ' dz=f x ( x , y )dx +f y ( x , y ) d 2 z=d [ f x ( x , y )dx +f y ( x , y )dy ]=f x2 ( x , y )( dx ) +2 f xy ( x , y )dxdy+f y 2 ( x , y )(dy ) 3 ' ' '' ' 3 '' '' ' 2 2 '' ' '' '' 2 ' '' 2 3 d z=f x3 ( x, y)( dx ) +3 f x 2 y ( x , y )(dx ) dy+3 f xy2 ( x , y )dx(dy ) +f y 3 ( x , y )(dy) ………………… n ∂ ∂ d z= dx+ dy f ( x , y ) ∂x ∂y , n ( ) здесь n – символическая степень производной, на которую заменяется реальная степень после возведения в нее стоящего с скобках выражения. Производная по направлению. Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z). Проведем через точки М и М1 вектор S⃗ . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно , , . Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора ⃗S . Расстояние между точками М и М1 на векторе ⃗S обозначим S , ΔS= √ Δx 2 +Δy 2 +Δz 2 Далее предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным х, у и z. Тогда правомерно записать следующее выражение: Δu= ∂u ∂u ∂u Δx+ Δy+ Δz+ε 1 Δx+ε 2 Δy+ε 3 Δz ∂x ∂y ∂z , где величины 1, 2, 3 – бесконечно малые при ΔS →0 . Из геометрических соображений очевидно: Δx =cos α ; ΔS Δy =cos β ; ΔS Δz =cos γ ; ΔS Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом: Δu ∂u ∂u ∂u = cos α+ cos β + cos γ+ε 1 cos α+ε 2 cos β+ε 2 cos γ ΔS ∂ x ∂y ∂z ; ∂u Δu ∂u ∂u ∂u = lim = cosα+ cos β + cosγ ∂ s ΔS →0 ΔS ∂ x ∂y ∂z Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора S⃗ . Из этого уравнения следует следующее определение. Определение: Предел Δu ΔS→ 0 ΔS lim называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора ⃗S в точке с координатами ( x, y, z). Пример. Вычислить производную функции z = x2 + y2x в точке А(1, 2) по АВ . В (3, 0). направлению вектора ⃗ АВ . Прежде всего необходимо определить координаты вектора ⃗ ⃗ АВ =(3-1; 0-2) = (2; -2) = 2 ⃗i −2 ⃗j . Далее определяем модуль этого вектора: |⃗ AB| = √ 8=2 √ 2 Находим частные производные функции z в общем виде: ∂z ∂z =2 x + y 2 ; =2 yx ; ∂x ∂y ∂z ∂z =6; =4; ∂y Значения этих величин в точке А : ∂ x Для нахождения направляющих косинусов вектора производим ⃗ AB ⃗ 2 2 =i cos α+⃗j cos β= ⃗i − ⃗j |⃗ AB| 2 √2 2 √ 2 следующие преобразования: ⃗S = За величину ⃗ АВ ⃗S принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования. АВ : Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора ⃗ √2 cos = Окончательно получаем: √2 2 cos = - 2 ; ∂z 2 2 =6⋅√ −4⋅√ =√ 2 ∂s 2 2 – значение производной АВ . заданной функции по направлению вектора ⃗ Градиент. Определение. Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке называется градиентом функции u, gradu= ∂u ∂ u ∂u ; ; ∂ x ∂ y ∂ z , то этот вектор ∂ u ⃗ ∂u ⃗ ∂u ⃗ i+ j+ k ∂ x dy ∂ z При этом говорят, что в области D задано поле градиентов. Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов gradu= Тогда производная ∂u ∂s ∂ u ⃗ ∂u ⃗ ∂u ⃗ i+ j+ k ∂ x dy ∂ z . по направлению некоторого вектора ⃗S равняется проекции вектора gradu на вектор ⃗S . Доказательство: Рассмотрим единичный вектор ⃗S =⃗i cosα + ⃗j cos β+ ⃗k cosγ и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов ⃗S и gradu. ∂u ∂u ∂u gradu⋅⃗S = cosα+ cos β + cos γ ∂x ∂y ∂z Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s. Т.е. ∂u gradu⋅⃗S = ∂s . Если угол между векторами gradu и ⃗S обозначить через , то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор ⃗S единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать: |gradu|⋅cosϕ= ∂u ∂s Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора gradu на вектор ⃗S . Теорема доказана. Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент изменения – вектор, показывающий направление наискорейшего некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции. С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции. 2.15-16. Экстремум функции многих переменных. Необходимое и достаточное условие существования точки локального экстремума функции многих переменных, в том числе функции двух переменных. Алгоритм нахождения точек локального экстремума функции многих переменных. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f (x 0 , y 0 )>f ( x , y ) то точка М0 называется точкой максимума. Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М0(х0, у0) верно неравенство f (x 0 , y 0 ) 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если f 'x'2 ( x 0 , y 0 )<0 '' - максимум, если f x2 ( x 0 , y 0 )>0 - минимум. Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя. 2.17-18. Условный экстремум функции многих переменных. Алгоритм нахождения точек условного экстремума функции многих переменных. Условный экстремум находится, когда переменные х и у, входящие в функцию u = f( x, y), не являются независимыми, т.е. существует некоторое соотношение (х, у) = 0, которое называется уравнением связи. Тогда из переменных х и у только одна будет независимой, т.к. другая может быть выражена через нее из уравнения связи. Тогда u = f(x, y(x)). du ∂ f ∂ f dy = + dx ∂ x ∂ y dx В точках экстремума: du ∂ f ∂ f dy = + dx ∂ x ∂ y dx =0 (1) ∂ϕ ∂ϕ dy + =0 ∂ x ∂ y dx Кроме того: (2) Умножим равенство (2) на число  и сложим с равенством (1). ( ∂∂ fx + ∂∂ fy dydx )+ λ( ∂∂ ϕx + ∂∂ ϕy dydx )=0 ∂f ∂ϕ ∂f ∂ ϕ dy +λ + + λ ( ∂ x ∂ x ) ( ∂ y ∂ y ) dx =0 Для выполнения этого условия во всех точках найдем неопределенный коэффициент  так, чтобы выполнялась система трех уравнений: ∂f ∂ ϕ ∂ f ∂ ϕ +λ =0¿ +λ =0 ¿ ¿ ∂x ∂x ∂ y ∂y {{ Полученная система уравнений является необходимыми условиями условного экстремума. Однако это условие не является достаточным. Поэтому при нахождении критических точек требуется их дополнительное исследование на экстремум. Выражение u = f(x, y) + (x, y) называется функцией Лагранжа. Пример. Найти экстремум функции f(x, y) = xy, если уравнение связи: 2x + 3y – 5 = 0 u=xy + λ(2 x +3 y−5 ) ∂u = y+2 λ ; ∂x ∂u =x+3 λ ; ∂y {y+2λ=0¿{x+3λ=0¿¿ ¿ λ=− 5 ; 12 5 x= ; 4 5 y= ; 6 Таким образом, функция имеет экстремум в точке ( 54 ; 56 ) . Использование функции Лагранжа для нахождения точек экстремума функции называется также методом множителей Лагранжа. Выше мы рассмотрели функцию двух переменных, однако, все рассуждения относительно условного экстремума могут быть распространены на функции большего числа переменных. 2.22. Первообразная. Вопрос единственности первообразной. Неопределенный интеграл, его свойства, способы интегрирования. Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство: F(x) = f(x). Отметим, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число, F1(x) = F2(x) + C. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Обозначают: ∫ f ( x)dx=F( x )+C ; Свойства неопределенного интеграла: ′ ' f ( x)dx ) =( F (x )+C ) =f ( x); 1. (∫ 2. d (∫ f ( x )dx )=f ( x )dx; 3. ∫ dF ( x)=F ( x)+C ; 4. ∫ (u+v−w )dx=∫ udx+∫ vdx−∫ wdx ; 5. ∫ C⋅f (x )dx=C⋅∫ f ( x)dx; где u, v, w – некоторые функции от х. Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены методы интегрирования и способы нахождения неопределенных интегралов для основных классов функций. Непосредственное интегрирование. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Рассмотрим применение этого метода на примере. dx ∫x Требуется найти значение интеграла ( ln x )′ = дифференцирования равен 1 x . На основе известной формулы можно сделать вывод, что искомый интеграл ln x+C , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны 1 1 ( ln(−x ))′ =− ⋅(−1)= x x . Таким образом, окончательно можно сделать вывод: dx ∫ x =ln|x|+C Для удобства значения неопределенных интегралов большинства элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Ниже приведем таблицу основных интегралов Интеграл 1 2 3 4 ∫ tgxdx ∫ ctgxdx ∫ ax dx dx ∫ a2+ x2 Значение -lncosx+C Интеграл 9 lnsinx+ C 10 x 11 a +C ln a 1 x arctg +C a a 12 x ∫ e dx ∫ cos xdx ∫ sin xdx 1 ∫ cos2 x dx Значение ex + C sinx + C -cosx + C tgx + C 5 6 7 1 x+a ln| |+C 2 a x−a ln dx ∫ x 2−a2 ∫ dx √ x 2 ±a 2 |x+ √ x 2±a 2|+C α +1 ∫ xα dx x + C , α ≠−1 α+1 ln|x|+C 13 14 15 1 -ctgx + C ∫ sin 2 x dx ∫ dx √ a2 −x 2 x arcsin a + C 1 ∫ cos x dx ln|tg ( 2x + π4 )|+C x ln|tg |+C 2 Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения 8 dx ∫x 16 1 ∫ sin x dx производной использовались четкие приемы и методы, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Способ замены переменных. Теорема: Для нахождения интеграла ∫ f ( x)dx , при помощьи замены x = (t) ∫ f ( x)dx=∫ f (ϕ(t ))ϕ' (t )dt и dx = (t)dt справедливо: Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: d ∫ f ( x)dx=d (∫ f [ ϕ(t )]ϕ' (t )dt ) По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: f(x)dx = f[(t)](t)dt что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана. Пример. Найти неопределенный интеграл Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt. 2 2 ∫ √ t dt=∫ t 1/2 dt= 3 t 3/2+C= 3 sin 3/2 x+C . ∫ √ sin xcos xdx . Пример. Замена ∫t 3/2 ∫ x( x2+1)3/2 dx. t=x 2 +1 ; dt=2 xdx ; dx= dt ; 2x Получаем: 2 5/ 2 (x + 1) dt 1 3/ 2 1 2 t 5/2 = ∫ t dt = ⋅ t 5/ 2 +C= + C= 2 2 2 5 5 5 +C ; Интегрирование по частям. Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) = uv + vu где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем: ∫ d(uv)=∫ udv+∫ vdu , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла: uv=∫ udv+∫ vdu или ∫ udv=uv−∫ vdu ; Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. ∫ x2 sinxdx=¿ {u=x2 ; dv=sinxdx; ¿ }¿ {}=−x2 cosx+∫ cosx⋅2xdx= 2 2 =¿ {u =x; dv=cosxdx;¿ } ¿{}=−x cos x+2 [ xsinx−∫ sin xdx ]=−x cosx+2xsin x+2cosx+C. Пример. Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному. Пример. ∫ e2x cosxdx=¿ {u=e2x ; du=2e2x dx; ¿} ¿{}=e2x sinx−∫sin x⋅2e2x dx= =¿ {u =e 2 x ; du=2e2 x dx ; ¿ } ¿{}=e 2 x sin x−2 [−e 2x cos x−∫−cos x⋅2e 2 x dx ] =e 2x sinx+ +2e 2x cos x−4 ∫ cos xe 2x dx Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства. 5∫ e2 x cos xdx=e 2 x (sin x+2cos x ) ∫ e 2 x cos xdx= 2x e (sin x+2 cos x )+C . 5 Приведем еще несколько примеров нахождения неопределенных интегралов приведением их к табличным. 1 ∫ (x 2−2 sin x+1 )dx =∫ x2 dx−2∫ sin xdx +∫ dx= 3 x 3+2cos x+x +C ; Пример. Пример. 2−x 2 + √ 2+ x 2 2−x 2 + √ 2+ x2 dx dx √ √ 2 dx =∫ dx=∫ + =ln|x + √ x +2|+ ∫ 4 2 2 2 ∫ 2 √ 4−x √2−x √2+x √ 2+ x √ 2−x +arcsin x √2 +C . ∫ Пример. dx dx 1 dx 1 x−3 =∫ = ∫ = arctg +C . 2 2 16 4 x −6 x +25 ( x−3 ) +16 16 x−3 +1 4 2 ( ) ( ) 2.23. Интегрирование рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных функций Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов: I. IV. 1 ; ax+b II. Mx+N (ax 2 +bx +c )n 1 ; (ax +b )m III. Mx + N ; ax 2 + bx+ c , где m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b2 – 4ac <0. Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b. dx I. 1 dt 1 1 ∫ ax +b = a ∫ t = a ln|t|+C= a ln|ax +b|+C . dx II. 1 dt 1 1 ∫ (ax +b )m = a ∫ t m =− a (m−1)t m−1 +C=− a(m−1)(ax +b )m−1 +C ; Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III в общем виде приведением интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам. ∫ Ax+B 2 A Ap (2 x+ p )+ B− 2 2 ( ) dx= A ∫ 2 x+ p Ap dx = ∫ 2 2 x + px +q 2 x + px +q x + px +q x + px +q A Ap dx A 2 B− Ap 2 ¿ ln|x 2 + px +q|+ B− = ln|x + px +q|+ ⋅ ∫ 2 2 2 2 2 4 q− p2 p p √ x+ + q− 2 4 2 x+p ¿ arctg +C √ 4 q− p2 dx =∫ 2 ( 2 ) ( )( ( dx+ B− ) ) Пример. 7 x−2 84 x−24 84 x−24 ∫ 3 x2−5 x+4 dx=∫ 36 x2−60 x+48 dx=∫ (6x−5)2+23 dx=¿ {u=6 x−5; du=6 dx; ¿} ¿{}= 1 14u+70−24 7 udu 23 du 7 23 u 2 du= + = ln (u +23)+ arctg +C= ∫ ∫ ∫ 6 u 2 +23 3 u 2 +23 3 u 2+23 6 3 √23 23 √ 7 √23 6 x−5 +C . ¿ ln|36x 2−60 x+48|+ arctg 6 3 √23 ¿ Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c дискриминант b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом. Пример. 5 x−3 5 x−3 5 u−15−3 udu du=5∫ 2 − 2 u −49 u −49 du 5 18 u−7 5 9 x−4 −18 ∫ 2 = ln|u 2−49|− ln| |+C= ln|x 2 +6 x−40|− ln| |+C . 14 u+7 2 7 x+10 u −49 2 ∫ x 2+6 x−40 dx=∫ (x+3 )2−49 dx=¿ {u=x+3 ; du=dx; ¿ } ¿{}=∫ Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа. Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1. dx Тогда интеграл вида ∫ (ax 2+bx +c )n можно путем выделения в знаменателе du ∫ (u2+s)n полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование: 2 2 2 1 s+u −u 1 du 1 u du = ∫ 2 n du= ∫ 2 n−1 − ∫ 2 n ∫ (u2du n s (u + s ) s (u +s ) . +s ) s (u + s ) Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям. Обозначим: udu dv1= 2 n ; u1=u; du 1=du; ¿ ¿{} (u +s) { } 2 du u 1 du =− + ; ∫ (uu2+s n 2 n−1 2n−2 ∫ 2 ) (2 n−2 )(u +s ) (u +s )n−1 Для исходного интеграла получаем: du 1 du u u 2 n−3 1 du ∫ (u2+s )n = s ∫ (u 2+s)n−1 + s(2 n−2)(u2+s)n−1 − s (2n−2) ∫ (u 2+s )n−1 du du ∫ (u2+s )n = s(2 n−2)(u2+s)n−1 + s(2 n−2) ∫ (u2+s)n−1 . Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, du то получится табличный интеграл ∫ u2+s . Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае. Mx+N ∫ (ax 2+bx+c)n dx=(4 a)n∫ Mx+ N 2 2 n [(2ax+b) +( 4ac−b )] dx=¿ {u=2ax+b; du=2adx ; ¿ } ¿{}= M (u−b) +N ( 4 a) 2a (4 a)n M udu 2aN−Mb du ¿ du= + ∫ ∫ ∫ (u2+s)n 2 n 2 n 2a 2 a 2a (u +s) 2a (u +s) n [ ] В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s dt приводится к табличному ∫ tn , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула. Пример. 3 x+5 3 x +5 3 u+6+5 du= (u2 +3 )2 udu du 3 dt u 1 du ¿ 3 ∫ 2 2 +11∫ 2 2 =¿ {t=u 2 +3 ; ¿ } ¿ {}= ∫ 2 +11 + ∫ 2 = 2 2 t (u +3) (u +3) 3⋅2(u +3 ) 3⋅2 u +3 11( x−2 ) 3 11u 11 u 3 11 x−2 ¿− + 2 + arctg +C=− 2 + 2 + arctg +C . 2 t 6 (u +3 ) 6 √ 3 √3 2( x −4 x +7 ) 6( x −4 x+7 ) 6 √ 3 √3 ∫ (x 2−4 x+7 )2 dx=∫ (( x−2 )2+3 )2 dx=¿ {u=x−2 ; du=dx ; ¿ } ¿ {}=∫ [ ] Интегрирование рациональных дробей. R( x )= Теорема. Если Q( x ) P( x ) - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме: A Aα B1 B2 Bβ M 1 x+ N 1 Q( x ) A 1 = + 2 +. ..+ +. ..+ + +.. .+ + + P( x ) x−a ( x−a )2 ( x−b ) ( x−b)2 ( x−a )α ( x−b) β x 2 + px+ q M x+ N 2 M λ x+ N λ R 1 x+ S 1 R2 x + S2 Rμ x+ S μ + 22 +. . .+ +. . .+ + + .. .+ ( x + px +q )2 ( x 2 + px+ q )λ x2 +rx +s ( x 2 + rx+ s )2 ( x 2 +rx+ s )μ где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. 3 Пример. 2 x +28 x−88 dx ∫ 9( xx 2−30 −6 x+8)( x 2 +4 ) 2 2 2 Т.к. ( x −6 x+8 )( x +4 )=( x−2 )(x −4 )( x +4 ) , то 3 2 9 x −30 x +28 x−88 A B Cx+D = + + 2 ( x−2)( x−4 )( x +4 ) x−2 x−4 x 2 +4 Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем: 2 2 2 3 2 A ( x−4 )(x +4 )+B( x−2)( x +4 )+(Cx+D )( x −6 x +8 )=9 x −30 x +28 x−88 ( A +B+C )x 3 +(−4 A−2 B−6 C+D )x 2 +(4 A +4 B+8 C−6 D )x+(−16 A−8 B+8 D )= ¿ 9 x 3 −30 x 2 +28 x−88 . {A+B+C=9¿{−4A−2B−6C+D=−30¿{4A+4B+8C−6D=28¿ ¿ {C=9−A−B¿{D=−30+4A+2B+54−6A−6B¿{2A+2B+4C−3D=14¿ ¿ {C=9−A−B¿{D=24−2A−4B¿{2A+2B+36−4A−4B−72+6A+12B=14¿ ¿ {C=9−A−B¿{D=24−2A−4B¿{4A+10B=50¿ ¿ { C = 9 − A − B ¿ { D = 2 4 − 2 A − 4 B ¿ { 4 A + 10 B = 5 0 ¿ ¿ { C =9 − A − B ¿ { D =24 −2 A − 4 B ¿ { 4 A + 10 B =50 ¿ ¿ { A = 5 ¿ { B = 3 ¿ { C = 1 ¿ Итого: 5 3 x +2 x 2 ∫ x−2 dx +∫ x−4 dx +∫ x 2+4 dx=5 ln|x −2|+3 ln|x−4|+∫ x 2+4 dx+∫ x 2+4 dx = 1 x ¿ 5 ln|x−2|+3 ln|x−4|+ ln( x 2 +4 )+arctg +C . 2 2 Интегрирование некоторых тригонометрических функций. 1. Интеграл вида ∫ R(sin x ,cos x)dx от переменных sinx и cosx. , где R – некоторая рациональная функция Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки t=tg x 2 . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную. 2 tg sin x= x 2 1+tg 2 Тогда x=2 arctgt ; Таким образом: Описанное dx= x 2 = x 2 1−t 2 cos x= = ; x 1+t 2 1+tg 2 2 1−tg 2 2t 1+t 2 , 2 dt ; 1+t 2 ∫ R(sin x ,cos x )dx=∫ R выше тригонометрической ( 2 t 1−t 2 2 , dt =∫ r(t )dt . 1+t 2 1+t2 1+t 2 ) преобразование подстановкой. называется Несомненным универсальной достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. Пример. 2 dt 1+t 2 dt dt =∫ =2∫ =2∫ 2 = ∫ dx 2 2 2 4 sin x+3 cos x+5 2t 1−t 8 t+3−3 t + 5+5 t 2t + 8t +8 4 +3 +5 1+ t 2 1+ t2 dt dt 1 1 ¿∫ 2 =∫ =− +C=− +C . 2 t +2 x t + 4 t+ 4 (t +2) tg + 2 2 2. Интеграл вида ∫ R(sin x ,cos x)dx , где функция R является нечетной относительно cosx. Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx. R (sin x ,cos x ) ∫ R(sin x ,cos x )dx=∫ cos x cos xdx Функция R (sin x ,cos x) cos x может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx. ∫ R(sin x ,cos x)dx=∫ r(sin x)cos xdx=∫ r(t )dt . Пример. (1−t 2)3 cos 7 xdx 1−3t 2+3t 4−t 6 dt dt dt=∫ 4 −3∫ 2 + ∫ sin 4 x =¿ {sin x=t ¿}{dt=cos xdx ¿ }¿{}=∫ t 4 dt=∫ t 4 t t 3 1 3 1 1 3 sin x +3 ∫ dt−∫ t 2 dt=− 3 + +3t− t3=− 3 + +3sin x− +C . 3 3 3t t 3sin x sinx 3. Интеграл вида ∫ R(sin x ,cos x)dx , где функция R является нечетной относительно sinx. По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx. Тогда ∫ R(sin x ,cos x)dx=∫ r(cos x)sin xdx=−∫ r(t )dt . Пример. 3 2 2 2 sin x 1−t t +4t+4−4t−5 (t+2) −4t−5 ∫2+cosx dx=¿{cosx=t¿}¿{}=−∫2+t dt=∫t+2 dt=∫ t+2 dt= 2 2 2 2 t A t d t t t c o s x 2 4t 5 tdt dt t t = +B¿ {A+Bt+2=t ¿}{B=1, A=−2¿}¿{}= +2t−5ln|t+2|+8∫ −4∫dt= +2t−5ln|t+2|+8ln|t+2|−4t= ¿= −2t+3ln|t+2|+C= −2cosx+3ln(cosx+2)+C. ¿ ¿∫ t+2− − dt=∫tdt+∫2dt−4∫ −5∫ = +2t−5ln|t+2|−4∫ dt= t+2 t+2 2 t+2 2 2 2 t +2 t +2 t + 2 t + 2 2 t +2 ¿ ¿ [] [] {} 4. Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций. dx 4 dx ∫ sin 2 x cos 2 x =∫ sin2 2 x = Пример. { dctg2 x −2 = 2 =−2 ctg2 x+C dx sin x } Пример. 2 1 1 1 1 4 sin xdx= − cos 2 x dx= ∫ (1−cos2 x )2 dx= ∫ (1−2 cos2 x+cos2 2 x )dx= ∫ ∫2 2 4 4 1 1 1 x 1 1 1 x sin 2 x ¿ ∫ dx− ∫ cos2 xdx + ∫ cos2 2 xdx= − sin2 x + ∫ (1+cos4 x )dx= − + 4 2 4 4 4 4 2 4 4 1 x sin 2 x x sin 4 x 1 3 x sin 4 x + [∫ dx+∫ cos4 xdx ] = − + + = −sin 2 x+ +C . 8 4 4 8 32 4 2 8 ( ) [ ] Интегрирование некоторых иррациональных функций. Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден всегда. Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций. 1. Интеграл вида ∫ R x , n ax+b cx+d ( √ ) dx где n- натуральное число. √ n С помощью подстановки ax+ b n =t ; cx+ d ax +b =t cx+d функция рационализируется. t n −b x= ; a−ct n ′ t n −b dx= dt ; a−ct n ( ) ′ ax +b t n −b t n−b ∫ R x , cx+d dx=∫ R a−ct n ,t a−ct n dt=∫ r(t )dt . Тогда (√ ) ( n )( ) Пример. 3 2 dx 4 −2 dx −dx −2 t dt t dt = 1−2 x =t ; dt= = ; = =−2 = √ ∫ ∫ ∫ 4 3 3 2 4 t−1 2 t t −t 1−2 x − 1−2 x √ √ 4 ( √1−2 x ) { ( =−2 ∫ t+ } t t 1 dt=−2∫ tdt−2∫ dt=−t2 −2∫ 1+ dt=−t 2 −2t−2 ln|t−1|+C= t−1 t−1 t−1 ) 4 ( ) 4 ¿− √1−2 x−2 √ 1−2 x−2 ln|√ 1−2 x−1|+C . 2. Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение. Пример. √3 x−1+ 4√ x−1 dx=¿ {12√ x−1=t ; x−1=t12 ; ¿ } ¿ {}= (t 4 +t 3 )12 t11 dt =12 t 3 +t 2 dt= ∫ ∫ t 12(1+t 2 ) ∫ t 2+1 6 (x −1)( 1+ √ x −1 ) ¿ 12 3 2 ∫ tt 2+1 dt +∫ tt2 +1 dt =12 ∫ t−tt 2+1 ( ) (( ) ( dt+∫ 1− 1 tdt dt =12 ∫ tdt−12 ∫ 2 +12∫ dt− 2 t +1 t +1 )) dt =6 t 2 +12 t−6 ln(t 2 +1 )−12 arctgt+C=6 6√ x−1+12 12√ x−1−6 ln( √6 x−1+1)− 2 1+t 12 −12 arctg √ x−1+C . −12∫ 2.24-25. Определенный интеграл, интегрируемость функции. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции. Классы интегрируемых функций. Свойства определенного интеграла, формула среднего значения. Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция f(x). Обозначим m и M наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [a, b] Разобьем отрезок [a, b] на части (не обязательно одинаковые) n точками. x0 < x1 < x2 < … < xn Тогда x1 – x0 = x1, x2 – x1 = x2, … ,xn – xn-1 = xn; На каждом из полученных отрезков найдем наименьшее и наибольшее значение функции: [x0, x1]  m1, M1; [x1, x2]  m2, M2; … [xn-1, xn]  mn, Mn. Составим суммы: n S n = m1x1 + m2x2 + … +mnxn = ∑ mi Δxi i=1 n S Сумма S n = M1x1 + M2x2 + … + Mnxn = ∑ M i Δxi i=1 называется нижней интегральной суммой, а сумма S – верхней интегральной суммой. Т.к. mi  Mi, то S n  S n, а m(b – a)  S n  S n  M(b – a) Внутри каждого отрезка выберем некоторую точку . x0 < 1 < x1, x1 <  < x2, … , xn-1 <  < xn. Найдем значения функции в этих точках и составим выражение, которое называется интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b]. n Sn = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn = ∑ f (εi ) Δxi i=1 Тогда можно записать: mixi  f(i)xi  Mixi n Следовательно, n n ∑ mi Δxi ≤∑ f (εi ) Δxi≤∑ M i Δx i i =1 i =1 i=1 S n≤Sn ≤Sn Геометрически это представляется следующим образом: график функции f(x) ограничен сверху описанной ломаной линией, а снизу – вписанной ломаной. Обозначим maxxi – наибольший отрезок разбиения, а minxi – наименьший. Если maxxi 0, то число отрезков разбиения отрезка [a, b] стремится к бесконечности. n Если S n =∑ f ( ε i ) Δx i i=1 n , то lim ∑ f ( ε i ) Δxi =S . max Δxi → 0 i=1 Определение: Если при любых разбиениях отрезка [a, b] таких, что maxxi n 0 и произвольном выборе точек i интегральная сумма S n =∑ f ( ε i ) Δx i i=1 стремится к пределу S, который называется определенным интегралом от f(x) на отрезке [a, b]. b Обозначение : ∫ f ( x)dx. a , где а – нижний предел, b – верхний предел, х – переменная интегрирования, [a, b] – отрезок интегрирования. n Определение: Если для функции f(x) существует предел lim ∑ f ( ε i ) Δxi = max Δx → 0 i i=1 b ∫ f ( x)dx, a то функция называется интегрируемой на отрезке [a, b]. n Также верны утверждения: lim ∑ mi Δx i =∫ f ( x)dx max Δxi → 0 i=1 n lim b a b ∑ M i Δx i =∫ f ( x )dx max Δxi → 0 i=1 a Теорема: Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке. Свойства определенного интеграла. b 1) ∫ Af (x )dx=A ∫ f ( x )dx ; a b 2) b a b b ∫ (f 1( x )±f 2( x ))dx=∫ f 1( x )dx±∫ f 2( x )dx a a a a 3) ∫ f ( x )dx=0 a b 4) Если f(x)  (x) на отрезке [a, b] a < b, то b ∫ f ( x )dx≤∫ ϕ( x )dx a a 5) Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a, b], то: b m(b−a)≤∫ f ( x )dx≤M (b−a ) a 6) Теорема о среднем. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке существует точка  такая, что b ∫ f ( x )dx=(b−a )f ( ε) a Доказательство: В соответствии со свойством 5: b m≤ 1 ∫ f ( x )dx≤M b−a a т.к. функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, существует такое число  [a, b], что если b b 1 ∫ f (x )dx =μ b−a a и  = f(), а a    b, тогда ∫ f ( x )dx=(b−a )f ( ε) a . Теорема доказана. 7) Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: b c b ∫ f ( x )dx=∫ f (x )dx +∫ f ( x )dx a a c Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. b 8) a ∫ f ( x )dx=−∫ f ( x )dx a b 2.26-27. Интеграл с переменным верхним пределом. Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определенного интеграла. b Пусть в интеграле ∫ f ( x)dx a нижний предел а = const, а верхний предел b изменяется. Очевидно, что если изменяется верхний предел, то изменяется и значение интеграла. x Обозначим ∫ f (t )dt a = Ф(х). Найдем производную функции Ф(х) по переменному верхнему пределу х. x d ∫ f (t )dt=f ( x ) dx a Аналогичную теорему можно доказать для случая переменного нижнего предела. Теорема. Для всякой функции f(x), непрерывной на отрезке [a, b], существует на этом отрезке первообразная, а значит, существует неопределенный интеграл. Теорема. (Теорема Ньютона – Лейбница) Если функция F(x) – какая- либо первообразная от непрерывной функции f(x), то b ∫ f ( x )dx=F(b )−F (a ) a это выражение известно под названием формулы Ньютона – Лейбница. Доказательство: Пусть F(x) – первообразная функции f(x). Тогда в x соответствии с приведенной выше теоремой, функция ∫ f (t )dt a - первообразная функция от f(x). Но т.к. функция может иметь бесконечно много первообразных, которые будут отличаться друг от друга только на какое – то постоянное число С, то x ∫ f (t )dt=F ( x )+C a при соответствующем выборе С это равенство справедливо для любого х, т.е. при х = а: a ∫ f (t )dt=F (a )+C a 0=F (a )+C C=−F( a) x Тогда ∫ f (t )dt=F ( x )−F (a ) a b . А при х = b: ∫ f (t )dt=F (b )−F (a ) a . Заменив переменную t на переменную х, получаем формулу Ньютона – b Лейбница: ∫ f ( x )dx=F(b )−F (a ) a . Теорема доказана. b Иногда применяют обозначение F(b) – F(a) = F(x) | a . Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов. Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования. Замена переменных (в определенном интеграле). b Пусть задан интеграл ∫ f ( x)dx a , где f(x) – непрерывная функция на отрезке [a, b]. Введем новую переменную в соответствии с формулой x = (t). Тогда если 1) () = а, () = b 2) (t) и (t) непрерывны на отрезке [, ] 3) f((t)) определена на отрезке [, ], то b β ∫ f ( x)dx=∫ f [ϕ (t )]ϕ ' (t )dt a β Тогда α β ∫ f [ ϕ(t )]ϕ' (t )dt =F [ ϕ(t )]|=F [ ϕ( β )]−F [ ϕ(α )]=F (b )−F (a ) α α . Пример. 1 π /2 ∫ √ 1−x 2 ¿ dx=¿ { x=sint ; ¿ } ¿ {}= ∫ π /2 √1−sin t cos tdt= ∫ cos tdt=12 2 2 π /2 ∫ (1+cos2 t )dt= π /2 1 1 π 1 π t+ sin 2 t | = + sin π= . 2 2 4 4 4 ( ) При замене переменной в определенном интеграле следует помнить о том, что вводимая функция (в рассмотренном примере это функция sin) должна быть непрерывна на отрезке интегрирования. Интегрирование по частям. Если функции u = (x) и v = (x) непрерывны на отрезке [a, b], а также непрерывны на этом отрезке их производные, то справедлива формула интегрирования по частям: b b b a a ∫ udv=uv |−∫ vdu . a Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площадей плоских фигур. Известно, что определенный интеграл на отрезке представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x). Если график расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+”. b Для нахождения суммарной площади используется формула S=|∫ f ( x)dx| a . Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий. Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x2, x = 2. 6 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 -1 Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по 2 2 [ 2 формуле: S=∫ x dx−∫ xdx = 1 1 x3 x2 2 8 4 1 1 5 − |= − − + = 3 2 1 3 2 3 2 6 (ед2) ] 2.28-29. Несобственный интеграл, сходимость несобственного интеграла, абсолютная сходимость несобственного интеграла. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале [a, ). Тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b]. b Определение: Если существует конечный предел lim ∫ f ( x)dx b→∞ a , то этот предел называется несобственным интегралом от функции f(x) на интервале [a, ). b Обозначение: ∞ lim ∫ f ( x )dx=∫ f ( x )dx b→∞ a a Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится. Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида: b b lim ∫ f ( x )dx ∫ f (x )dx= a→−∞ −∞ a c ∞ ∞ ∫ f (x )dx=−∞ ∫ f ( x )dx+∫ f ( x )dx −∞ c Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют. b ∞ b sin x |=lim (sin b−sin 0 )= lim sin b ∫ cos xdx =lim ∫ cos xdx=lim b→∞ b →∞ b→ ∞ b→∞ Пример. - не существует. Несобственный интеграл расходится. Пример. −1 ∫ −∞ −1 dx dx 1 −1 1 = lim = lim − | = lim 1+ =1 ∫ 2 2 b x b→−∞ b x b→−∞ x b b→−∞ [ ] ( ) - интеграл сходится 0≤f ( x )≤ϕ( x ) Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие интеграл ∞ ∞ ∞ ∫ ϕ(x )dx ∫ f ( x)dx ∫ ϕ(x )dx a сходится, то a тоже сходится и a и  ∞ ∫ f ( x)dx a . 0≤ϕ( x )≤f ( x ) Теорема: Если для всех х (x  a) выполняется условие интеграл ∞ ∞ ∫ ϕ(x )dx ∫ f ( x)dx расходится, то a Теорема: Если a тоже расходится. ∞ ∞ ∫|f ( x)|dx ∫ f ( x)dx a сходится, то сходится и интеграл a . и ∞ В этом случае интеграл ∫ f ( x)dx a называется абсолютно сходящимся. Интеграл от разрывной функции. Если в точке х = с функция либо неопределена, либо разрывна, то c b ∫ f ( x)dx=b→limc−0∫ f (x )dx a a b Если интеграл интеграл c ∫ f ( x)dx a существует, то интеграл b c ∫ f ( x)dx ∫ f ( x)dx a не существует, то ∫ f ( x)dx - сходится, если a - расходится. a c c ∫ f ( x )dx=b→lima+0∫ f ( x )dx Если в точке х = а функция терпит разрыв, то a b . Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то с b c ∫ f ( x )dx=∫ f (x )dx +∫ f ( x )dx a a b Таких точек внутри отрезка может быть несколько. Если сходятся все интегралы, входящие в сумму, то сходится и суммарный интеграл. 3. ТЕОРИЯ РЯДОВ 3.1. Числовой ряд, сходимость числового ряда. Определение. Сумма членов бесконечной числовой последовательности u1 ,u2 ,...,un ,... называется числовым рядом. ∞ u1 +u 2 +. ..+un +.. .= ∑ u n n=1 При этом числа u1 ,u2 ,... будем называть членами ряда, а un – общим членом ряда. n Определение. Суммы S n =u1 +u 2 +. ..+u n= ∑ u k частными (частичными) суммами ряда. k=1 , n = 1, 2, … называются Таким образом, возможно рассматривать последовательности частичных сумм ряда S1, S2, …,Sn, … ∞ Определение. Ряд u1 +u 2 +. ..+un +.. .= ∑ u n называется сходящимся, если n=1 сходится последовательность его частных сумм. Сумма сходящегося ряда – предел последовательности его частных сумм. ∞ lim S n =S , S= ∑ u n . n=1 Определение. Если последовательность частных сумм ряда расходится, т.е. не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся и ему не ставят в соответствие никакой суммы. 3.2. Критерий Коши сходимости числового ряда, необходимое условие сходимости, достаточное условие расходимости. Свойства сходящихся числовых рядов. 1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если изменить, отбросить или добавить конечное число членов ряда. ∑ un 2) Рассмотрим два ряда Теорема. Если ряд ∑ un ∑ Cun и , где С – постоянное число. сходится и его сумма равна S, то ряд ∑ Cun тоже сходится, и его сумма равна СS. (C  0) 3) Рассмотрим два ряда ∑ un ∑ vn будет называться ряд ∑ (u n±v n ) и . Суммой или разностью этих рядов , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами. Теорема. Если ряды ∑ un соответственно S и , то ряд и ∑ vn ∑ (u n±v n ) сходятся и их суммы равны тоже сходится и его сумма равна S + . ∑ (u n+ v n )=∑ u n+ ∑ v n=S+σ Разность двух сходящихся рядов также будет сходящимся рядом. Сумма сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя. При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Критерий Коши (необходимые и достаточные условия сходимости ряда) ∞ Для того, чтобы ряд u1 +u 2 +. ..+un +.. .= ∑ u n n=1 достаточно, чтобы для любого ε>0 был сходящимся необходимо и существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 выполнялось бы неравенство |un+1 +u n+2 +...+un+ p|<ε . Однако, на практике использовать непосредственно критерий Коши не очень удобно. Поэтому как правило используются более простые признаки сходимости: 1) Если ряд ∑ un сходится, то необходимо, чтобы общий член un стремился к нулю. Однако, это условие не является достаточным. Можно говорить только о том, что если общий член не стремится к нулю, то ряд точно ∞ расходится. Например, так называемый гармонический ряд 1 ∑n n=1 является расходящимся, хотя его общий член и стремится к нулю. 1 2 3 n + + +.. .+ +.. . 3 n−1 Пример. Исследовать сходимость ряда 2 5 8 n 1 1 =lim = ≠0 1 3 n→∞ 3 n−1 n→ ∞ 3− n lim Найдем - необходимый признак сходимости не выполняется, значит ряд расходится. 2) Если ряд сходится, то последовательность его частных сумм ограничена. Однако, этот признак также не является достаточным. Например, ряд 1-1+11+1-1+ … +(-1)n+1+… расходится, т.к. расходится последовательность его частных сумм в силу того, что Sn=¿ {0 , при четных n¿¿¿¿ Однако, при этом последовательность частных сумм ограничена, т.к. |Sn|<2 при любом n. 3.3-4-5. Числовой сходимости. ряд с неотрицательными Сходимость обобщенного членами. Признаки гармонического и геометрического числовых рядов. При изучении знакопостоянных рядов ограничимся рассмотрением рядов с неотрицательными членами, т.к. при простом умножении на –1 из этих рядов можно получить ряды с отрицательными членами. Теорема. Для сходимости ряда ∑ un с неотрицательными членами необходимо и достаточно, чтобы частные суммы ряда были ограничены. Пусть даны два ряда ∑ un и ∑ vn при un, vn  0. Теорема (признак сравнения) Если un  vn при любом n, то из сходимости ∑ vn ряда следует сходимость ряда следует расходимость ряда ∑ vn ∑ un , а из расходимости ряда . Доказательство. Обозначим через Sn и n частные суммы рядов ∑ vn ∑ un . Т.к. по условию теоремы ряд ∑ vn ∑ un и сходится, то его частные суммы ограничены, т.е. при всех n n  M, где М – некоторое число. Но т.к. un  vn, ∑ un то Sn  n то частные суммы ряда тоже ограничены, а этого достаточно для сходимости. 1 1 1 + +.. .+ +. .. ln n Пример. Исследовать на сходимость ряд ln 2 ln3 1 1 > ln n n , а гармонический ряд Т.к. 1 ∑ lnn 1 ∑n расходится, то расходится и ряд ∞ Пример. Исследовать на сходимость ряд 1 1 < n n n2 2 , а ряд Т.к. ∞ прогрессия), то ряд n→∞ un vn =h n=1 1 ∑ 2n сходится (как убывающая геометрическая 1 ∑ n2 n n=1 тоже сходится. Теорема (признак сравнения) Если lim 1 ∑ n2 n . un > 0 , v n > 0 , где h – число, отличное от нуля, то ряды и существует предел ∑ un и ∑ vn ведут одинаково в смысле сходимости. Следствие. Если для ряда ∑ un с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство u n+1 un ∑ un то ряд ≤q , сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие u n+1 un то ряд ∑ un ≥1 , расходится. Теорема (предельный признак Даламбера). Если существует предел lim n→∞ un+1 un =ρ , то при  < 1 ряд сходится, а при  > 1 – расходится. Если  = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя. ∞ Пример. Определить сходимость ряда n ∑ 2n n=1 . un = n n+1 ; u = ; n+1 2n 2n+1 1+ n 1 n u n+1 ( n+1 )2 n+ 1 1 =lim n+1 = = = <1 2n 2 2 n→∞ un n→∞ 2 n . Вывод: ряд lim сходится. 1+ Пример. Определить сходимость ряда un = 1 1 1 + +. ..+ +.. . 1 ! 2! n! u n+1 1 1 n! 1 ; un+1 = ; lim =lim =lim =0<1 n! (n+1 )! n→∞ un n→∞ (n+1 )! n→∞ n+1 . Вывод: ряд сходится. Теорема (радикальный признак Коши). Если для ряда ∑ un с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство √n un ≤q то ряд ∑ un , сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство √n un≥1 , то ряд ∑ un расходится. n lim √ un =ρ Следствие. Если существует предел , то при <1 ряд сходится, а n→∞ при >1 ряд расходится. ∞ Пример. Определить сходимость ряда ∑ n=1 ( 2 n2 +1 3 n2 +5 n ) . 1 2 n +1 n2 2 n lim √ un =lim = lim = <1 2 5 3 n→∞ n→∞ 3 n +5 n→∞ 3+ 2 n . Вывод: ряд сходится. 2 2+ ∞ Пример. Определить сходимость ряда ∑( n=1 n→∞ n ) ( 1n )=1 . lim √n un =lim 1+ n→∞ 1 1+ n . Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю. n 1 lim un =lim 1+ =e≠0 n n→∞ n→ ∞ , ( ) таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится. Теорема (интегральный признак Коши). Если (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;), то ряд (1) + (2) ∞ ∞ ∑ ϕ(n) + …+ (n) + … = и несобственный интеграл n=1 ∫ ϕ(x )dx 1 одинаковы в смысле сходимости. Пример. Ряд 1+ 1 1 1 + α +. . .+ α + .. . α 2 3 n сходится при >1 и расходится 1 т.к. ∞ соответствующий несобственный интеграл ∞ расходится 1. Ряд 1 сходится при >1 и 1 ∑ nα n=1 dx ∫ xα называется общегармоническим рядом. Следствие. Если f(x) и (х) – непрерывные функции на интервале (a, b] и f (x) lim =h , h≠0 , x → a+0 ϕ( x ) то интегралы b b ∫ f ( x)dx ∫ ϕ(x )dx a и a ведут себя одинаково в смысле сходимости. 3.6-7. Знакочередующийся числовой ряд, признак сходимости Лейбница. Абсолютная сходимость числового ряда, теорема об абсолютной сходимости. Исследование числового ряда на абсолютную и условную сходимость. Знакочередующийся ряд можно записать в виде: u1 −u2 +u 3−u 4 +.. .+(−1)n+1 un +.. . Теорема (признак Лейбница). u1 −u2 +u 3−u 4 + .. .+(−1)n+1 un +.. . Если , где un >0 , n=1,2,3 ,.. . у знакочередующегося абсолютные величины ui ряда убывают u1 >u 2 >u3 >.. . и общий член стремится к нулю un →0 , то ряд сходится. Абсолютная и условная сходимость рядов. Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков): ∞ u1 +u 2 +. ..+un +.. .= ∑ u n (1) n=1 и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1): ∞ |u1|+|u2|+.. .+|un|+. ..=∑ |un| (2) n=1 Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого >0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство: |un+1|+|un+2|+...+|un+ p|<ε По свойству абсолютных величин: |un+1 +u n+2 +...+un+ p|≤|un+1|+|un+2|+...+|un+ p|<ε |un+1 +u n+2 +...+un+ p|<ε Т. е. по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1). Определение. Ряд ряд ∑|u n| ∑ un называется абсолютно сходящимся, если сходится . Очевидно, что для знакопостоянных рядов понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают. Определение. Ряд а ряд ∑|un| ∑ un расходится. называется условно сходящимся, если он сходится, Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов. Пусть ∑ un - знакопеременный ряд. Признак Даламбера. Если существует предел ∑ un lim | un+1 n→∞ un |= ρ , то при <1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда. n Признак Коши. Если существует предел ∑ un lim √|un|= ρ n→∞ , то при <1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при >1 ряд будет расходящимся. При =1 признак не дает ответа о сходимости ряда. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда ∑ un необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами. Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами. 2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда. 3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму. Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд. 4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда. ∞ 5) Если ряды ∑ un n=1 ∞ и ∑ vn n=1 сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и , то ряд, составленный из всех произведений вида ui v k , i , k=1,2 , .. . взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S - произведению сумм перемножаемых рядов. Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.