Математика. Что такое математический анализ

НВУЗ АНО «РЕГИОНАЛЬНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ» МАТЕМАТИКА (Третья лекция) _______________________________ http://elearning.rfei.ru Содержание ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………….3 РАЗДЕЛ 1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ? ........ 4 Глава 1.1. Почему математику называют высшей? .................... 4 Глава 1.2. Предел функции............................................................ 7 Глава 1.3. Непрерывность функции............................................ 19 Глава 1.4. Производная функции................................................ 24 Глава 1.5. Приложения производной функции ......................... 31 Глава 1.6. Дифференциал функции и его геометрический смысл.............................................................................................. 41 Глава 1.7. Первообразная функция и неопределенный интеграл ......................................................................................... 44 Глава 1.8. Методы интегрирования ............................................ 47 Глава 1.9. Определенный интеграл и его свойства................... 53 Глава 1.10. Методы вычислений определенных интегралов... 58 Глава 1.11. Приложения определенных интегралов................. 65 Глава 1.12. Леонард Эйлер и развитие математики в России.. 69 Глава 1.13. Первая в мире женщина – профессор..................... 72 2 ВВЕДЕНИЕ Современная математика проникает в другие науки, во многом этот процесс происходит благодаря разделению математики на ряд самостоятельных областей. Язык математики универсален, что является объективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразного мира. В предыдущих лекциях мы рассматривали две такие глобальные части математики, как линейная алгебра и аналитическая геометрия. Сейчас мы приступаем к рассмотрению математического анализа. Математический анализ – один из разделов математики, который изучается во всех вузах экономического профиля. Экономика – наука об объективных причинах функционирования и развития общества – еще со Средних веков пользуется разнообразными количественными характеристиками, а потому вобрала в себя большое число методов математики. Так, например, современный бухгалтерский учет основан на принципах, которые были заложены в 1494 г. в труде Луки Пачоли «Сумма арифметики, геометрии, учения о пропорциях и отношениях». Современная экономика, исследуя реальные процессы, описывает их математическими соотношениями. Это описание процессов связано с понятием функции, что является одним из важных понятий математического анализа. Итак, приступим к рассмотрению математического анализа. 3 РАЗДЕЛ 1. ЧТО ТАКОЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ? Глава 1.1. Почему математику называют высшей? «Первым среди математических наук по праву считается математический анализ», – так говорил об этом разделе американский математик Аппель. Мы приступаем к рассмотрению раздела, благодаря которому курс математики, изучаемый в высших учебных заведениях, до недавнего времени назывался «Высшей математикой». В чем же дело? Почему именно раздел «Математический анализ» стал причиной такого названия? В целом, «Математический анализ» посвящен изучению функций и их поведению или точнее анализу их поведения, но важнейшую его часть составляют дифференциальное и интегральное исчисления. Значит, создание дифференциального и интегрального исчислений ознаменовало начало «высшей математики». Рисунок 1.1. Готфрид Вильгельм Лейбниц Впервые термин «дифференциальное исчисление» был введен немецким математиком Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716) гг. В переводе с латинского «differentia» означает разделение, раздробление. Процесс дифференцирования состоит в замене функции на малом участке ее дифференциалом, т.е. кусочком ее касательной. Участку, где производится замена, Лейбниц дал название «бесконечно малый». Дифференцирование, по Лейбницу, – это расчленение функции на бесконечно малые элементы. Integer по-латыни – «целый», интегрирование – процесс объединения в целое малых элементов, из которых составлены фигура, тело и т.д. 4 Выдающуюся роль в рождении этого раздела также сыграл английский физик и математик Исаак Ньютон (1643 – 1727)гг. Историки утверждают, что первым приступил к работе над началами анализа И.Ньютон, однако первая публикация, относящаяся к математическому анализу, принадлежала Лейбницу (1684 г.). Математика постоянно имеет дело с бесконечностью. Особенно это характерно для высшей математики. Например, математический анализ изучает бесконечные множества чисел, бесконечные суммы и произведения, отношения бесконечно малых и бесконечно больших величин. Но уже такое простое понятие, как натуральный ряд чисел 1, 2, 3, ,n,…, обозначает бесконечный объект. Примерами таких объектов являются числовые последовательности, известные вам из школьного курса – арифметическая и геометрическая прогрессии. Говорят, что уже известный вам по предыдущему разделу немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, еще будучи школьником, сумел за считанные секунды найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Он заметил, что суммы равноотстоящих от концов чисел равны: 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... = 50 + 51 = 101 Всего получается 50 пар чисел, и сумма каждой пары равна 101, поэтому общая сумма 50 ⋅ 101 = 5050 . Говоря о последовательностях, следует ввести ряд понятий. Последовательность {x n } называется ограниченной, если существует такое число M > 0 , что для любого n верно неравенство: x n < M , т.е. все члены последовательности принадлежат интервалу (− M; M ) . Последовательность {x n } называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что x n ≤ M . Последовательность {x n } называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что x n ≥ M Например, последовательность, представляющая собой натуральный ряд чисел {1;2;3;...; n;...} , ограничена снизу. Рассмотрим последовательность 1   . n  Ее называют гармонической, поскольку каждый ее член, начиная со второго, есть среднее гармоническое между предыдущим и последующим 5 членами. Со средними величинами Вы довольно подробно познакомитесь в курсе статистики. Сейчас мы лишь скажем, что некоторое число число c есть среднее гармоническое чисел a и b , если выполняется условие 1 1 1 1 2ab . = ⋅ ( + ) или c = c 2 a b a+b Заметим, что более подробно со средними гармоническими величинами Вы познакомитесь в курсе статистики. Обратите внимание: с ростом n все члены гармонической последовательности убывают и неуклонно приближаются к нулю. Действительно, начиная с n = 1000 , каждый очередной член отличается от нуля не более чем на миллионного члена - не более чем на 1 , а, начиная с 1000 1 . И вообще, какое 1000000 бы мы «микрочисло» не выбрали, найдется такой член последовательности, начиная с которого все члены отличаются от нуля менее, чем на это «микрочисло». В таком случае принято говорить, что при n, стремящемся к бесконечности, данная последовательность сходится, и нуль есть ее предел. Записывается это так: lim n →∞ 1 = 0. n Здесь символы lim – начальные буквы латинского слова limes – предел. Знаком ∞ (бесконечность) принято обозначать бесконечность. Читается эта запись так: «Предел единицы, деленной на n, при n, стремящемся к бесконечности, равен нулю». Понятие предела – это тот порог, за которым открывается дверь из элементарной математики в высшую. Почти каждый способен быстро воспринять и усвоить интуитивное представление о пределе, хотя строгое определение достаточно сложное. Последовательности, имеющие предел, называют сходящимися. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся. Последовательность не может иметь более одного предела. Говоря о пределах, нельзя не упомянуть об одной замечательной последовательности: 6 1 n  (1 + )  . n   Ее предел 1 lim(1 + ) n = e . n n →∞ Этот предел называют «замечательным» пределом. Рассматривая в главе 1.1 первой лекции развитие трансцендентных чисел, мы говорили, что число «е» ввел Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи. Это одна из самых замечательных математических констант, основание натурального логарифма. Его выбрал в качестве основания логарифма шотландский математик Джон Непер. Глава 1.2. Предел функции С понятием предела последовательности тесно связано понятие предела функции y = f ( x ) в бесконечности. Но прежде рассмотрим и напомним основные понятия, связанные с функциями. Пусть даны два множества X и Y и пусть каким-то способом f каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие один элемент y = f ( x ) ∈ Y . Тогда соответствие f называется функцией с областью определения D(f ) = X и областью значения E(f ) ⊆ Y . При этом x называется независимым переменным или аргументом функции, а y = f ( x ) – значением функции или зависимым переменным. Например, функция y = x − 1 задает функцию с областью определения D( y) = [1; ∞] , т.к. корень четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел, и, решая неравенство x − 1 ≥ 0 , получаем x ≥ 1 или x ∈ [1; ∞] . Область значения этой функции E( y) = [0; ∞] . Функции, которые Вы рассматривали в школе, называют элементарными. В частности, та функция, область определения и область значения которой мы только что нашли, также элементарная. Все функции, получаемые с помощью конечного числа арифметических действий, а также конечного числа операций взятия функции от функции, над основными элементарными функциями, составляют класс элементарных функций. Все остальные функции называются неэлементарными. Среди 7 неэлементарных функций есть и очень простые, например функция «знак (сигнум)»: − 1, если x p 0, x  y = sgn x = = 0, если x = 0, x  1, если x f 0. Изобразить график этой функции не составит большого труда, т. к. при отрицательных значениях x графиком будет прямая x = −1 , (не включая точку x = 0 ) а, при положительных значениях x графиком будет прямая x = 1 , (не включая точку x = 0 ), при x = 0 , y = 0 . Рисунок 1.2 Рассмотрим некоторые функциональные зависимости, используемые в экономике. На рис. 1.3 приведено примерное графическое представление функции спроса – зависимости спроса D на некоторый товар от его цены p. Рисунок 1.3 Функция предложения представлена на рис. 1.4. Это зависимость предложения S некоторого товара от его цены p. 8 Рисунок 1.4 Функция полезности – субъективная оценка данным индивидом полезности u количества x товара для него. Эта функция изображена на рис. 1.5. Рисунок 1.5 На рис. 1.6 представлена однофакторная производственная функция – зависимость объема y выпускаемой продукции от объема x перерабатываемого ресурса. Рисунок 1.6 Функция издержек – зависимость издержек I производство x единиц продукции представлена на рис. 1.7. 9 на Рисунок 1.7 Как и для последовательности вводится понятие монотонных функций. Функция f ( x ) называется возрастающей (убывающей) на множестве X , если из того, что x 1 < x 2 вытекает, что y1 < y 2 ( y1 > y 2 ). Например, функция предложения товара – возрастающая функция его цены, а функция спроса на товар – убывающая функция его цены. Функция полезности – возрастающая функция величины товара. Функция y = f (x) называется неубывающей (невозрастающей) на множестве X , если из того, что x 1 ≤ x 2 ; x 1 , x 2 ∈ X вытекает, что y1 ≤ y 2 ( y1 ≥ y 2 ) . Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие функции называются монотонными. Также как и для последовательности вводится понятие ограниченности функции (глава 1.1). Существуют понятия вогнутой и выпуклой функций. Например, производственная (однофакторная) функция является вогнутой, а функция спроса – выпуклой. Перейдем к рассмотрению предела функции. Число A называется пределом функции f ( x ) при x → ∞ , если для любого числа ε < 0 существует такое число M > 0 , что для всех x , x > M выполняется неравенство A − f (x ) < ε . При этом предполагается, что функция f ( x ) определена в окрестности бесконечности. Записывают это так: lim f (x) = A . x →∞ Графически это можно проиллюстрировать на рис. 1.8. 10 Рисунок 1.8 Дадим понятие предела функции в точке в упрощенном виде. Пусть функция f ( x) задана в некоторой окрестности точки x0 , кроме, быть может, самой точки x0 . Тогда пределом функции в точке x0 будем называть приближенное значение функции в окрестности этой точки, причем, сама точка при этом может не рассматриваться Этот предел функции обозначается lim f ( x) = A , см. рис. 1.9. x → x0 Рисунок 1.9 На рис. 1.9 представлен случай, когда функция определена в точке x0 . На следующем рис. 1.10 функция не определена в точке x0 . Рисунок 1.10 11 Пределы A1 и A2 называются также односторонними пределами функции f ( x) в точке x0 . Причем записывают это так lim f ( x ) = A1 , т. е. мы можем x → x 0 −0 идти по кривой (графику) слева стремясь к точке x 0 , и этот предел стремится к значению A1 . Его называют левосторонним lim f ( x ) = A 2 , т. е. мы можем пределом функции. Но x →x 0 +0 приближаться по кривой к точке x0 и справа, но тогда предел стремится к значению A2 . Этот предел называют правосторонним. Рассмотрим понятия бесконечно малых и бесконечно больших функций, которые важны для вычисления пределов. Функция α( x ) называется бесконечно малой величиной при x → x 0 или при x → ∞ , если ее предел равен нулю: lim α( x ) = 0 или lim α( x ) = 0 x →∞ x→x 0 Функция f ( x ) называется бесконечно большой величиной при x → x 0 или при x → ∞ , если ее предел равен бесконечности: lim α( x ) = ∞ или lim α( x ) = ∞ x →∞ x→x 0 Если рассмотреть график функции y = ln x , x → ∞ (рис. 1.11), то xlim ln x = ∞ , т. е. функция является бесконечно большой →∞ при x → ∞ . Рисунок 1.11 Если рассмотреть график функции y = k (рис. 1.12), то при x x → ∞ предел стремится к нулю. Если же для этой функции x → +0 , то предел стремится к ∞ , а если x → −0 , то предел стремится к − ∞ . 12 Рисунок 1.12 На основе рассмотренного графика сформулируем утверждения: 1. Предел функции, обратной бесконечно большой, равен бесконечно малой. 2. Предел функции, обратной бесконечно малой, равен бесконечно большой. Рассмотрим основные теоремы о пределах. Предел постоянной равен самой постоянной, т. е. lim C = C . x→x 0 Например, lim 5 = 5 или lim (−1) = −1 . x →2 x →∞ Функция не может иметь более одного предела. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. lim (f1 ( x ) + f 2 ( x ) ) = A + B . x→x 0 ( ∞ ) Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т. е. lim (f1 ( x ) ⋅ f 2 ( x ) ) = A ⋅ B . x→x 0 (∞ ) Из этой теоремы вытекает следствие, что постоянный множитель можно выносить за знак предела, т. е. lim (c ⋅ f ( x ) ) = c ⋅ A . x→x 0 ( ∞ ) Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел знаменателя отличен от f (x) A = ;B ≠ 0 . x→x 0 (∞ ) g(x ) B нуля, т. е. lim Выясним, как эти теоремы работают на практике. Пример 1. Вычислить предел: 13 x2 + 4) . lim( x →3 2 − x Вычисление будем проводить на основе определения предела функции в точке и третьей теоремы, далее к первому слагаемому применим теорему 5 о пределе частного двух функций, а ко второму слагаемому – теорему 1 о пределе постоянной. В итоге получим: lim x 2 x2 x2 + 4) = lim + lim 4 = x →3 + lim( x →3 2 − x x →3 2 − x x →3 lim( 2 − x ) x →3 9 + lim 4 = + 4 = −5. x →3 2−3 Для вычисления следующих пределов рассмотрим свойства эквивалентных бесконечно малых Если две бесконечно малые функции эквивалентны, то предел их отношения равен единице. Свойство особенно важно на практике, т. к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов. Пример 2. Вычислить предел: tg5x . x→ 0 sin 7 x lim Вначале следует заметить, что при x → 0 функции в числителе и знаменателе являются бесконечно малыми. Далее, так как tg5x эквивалентно 5x и sin 7 x эквивалентно 7 x при x → 0 , то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: tg5x 5x 5 = lim = . x →0 sin 7 x x →0 7 x 7 lim Пример 3. Вычислить предел: x3 .. x →0 1 − cos x lim 14 Так как из тригонометрии известно, что 1 − cos x = 2 sin 2 по свойству эквивалентных x ,а 2 бесконечно малых функций 2 2 sin 2 x x ~ 2  , то получим 2 2 x3 x3 = lim 2 = lim 2 x = 0. x →0 1 − cos x x →0 x x →0 2 lim В теории пределов большую роль играют замечательные пределы, т. е. те, которые позволяют вычислять другие пределы: рассмотрим их. Первый замечательный предел: lim x →0 sin x = 1 . (1.1) x Второй замечательный предел: x  1 lim1 +  = e . (1.2) x →∞ x  Этот предел можно записать в другом виде, используя понятие бесконечно малой функции: 1 lim(1 + n) n = e . (1.2*) n →0 Второй замечательный предел был получен Леонардом Эйлером в 1736 г. Часто если непосредственное нахождение предела какойлибо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов. Пример 4. Вычислить предел: sin 2x sin 2x ⋅ 2 sin 2x = lim = lim( ⋅ 2) = x →0 x →0 x →0 2x 2x x sin 2x = lim ⋅ lim 2 = 1 ⋅ 2 = 2 x →0 2 x x →0 lim Преобразования, которые были выполнены, свелись к умножению числителя и знаменателя дроби на число 2, далее применили теорему 4 о пределе произведения, затем применили первый замечательный предел и теорему 1 о пределе постоянной. 15 Этот же предел можно было вычислить иначе, подумайте как. Следующий предел посвятим замечательного предела. Пример 5. Вычислить предел: применению второго 3x  5 lim1 +  . x →∞  x  5 lim1 +  x →∞  x 3x x   5 5    = lim 1 +   x →∞   x    x   5 5    = lim 1 +   x →∞   x    3x⋅ 5 x = 15 = e15 . Думаем, что Вы заметили, числитель слагаемого, заключенного в скобки, равен пяти, значит, таким же должен быть и знаменатель показателя степени выражения, стоящего под знаком предела. Далее рассуждаем относительно показателя степени. Мы искусственно возвели основание степени в степень x , чтобы 5 значение степени не изменилась, возведем это основание степени в степень 5 . Тогда предел в круглых скобках x даст нам число e , которое возводится в 15-ую степень. При вычислении неопределенности (0 ⋅ ∞ ) (∞ − ∞ ) , пределов различного вида, (1 ), (∞ ), (0 ) . ∞ могут например, получаться 0  , 0 ∞  , ∞ Устранить неопределенность удается с помощью алгебраических преобразований. Рассмотрим некоторые из неопределенностей. Для того чтобы раскрыть неопределенность вида   , 0 пытаются числитель и (или) знаменатель разложить на множители, а затем выполнить сокращение на общий множитель. Иногда для раскрытия этой же неопределенности числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное числителю и (или) знаменателю дроби, а затем, после определенных 16 преобразований, снова выполняют сокращение множитель Рассмотрим следующий пример. Пример 6. Вычислить предел: на общий x 2 + 6x + 8 . lim x → −2 x3 + 8 Проверим, будет ли знаменатель дроби равен нулю. Подставив в знаменатель вместо x число (-2), видим, что знаменатель обратился в нуль. Подставляя число (-2) вместо x в числитель, видим, что он также равен нулю. Получили неопределенность вида   . Чтобы ее раскрыть, разложим на 0 множители и числитель, и знаменатель дроби. Воспользовавшись формулой разложения квадратного трехчлена на множители, получим ax 2 + bx + c = a ( x − x 1 )( x − x 2 ) , где x 1 и x2 корни уравнения (при неотрицательном дискриминанте). Тогда получим, что x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2)( x + 4) . Двучлен x 3 + 8 = x 3 + 2 3 , а, значит, можно его разложить по формуле суммы кубов, тогда x 3 + 8 = ( x + 2)( x 2 − 2x + 4) , подставляя полученные разложения под знак предела, получим: x2 + 6 x + 8 ( x + 2)( x + 4) = = lim lim 3 x → −2 x → −2 ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4) x +8 x+4 = lim 2 . x → −2 ( x − 2 x + 4) Так как теперь знаменатель не равен нулю, то неопределенность вида   раскрыта. 0 Применяя теорему о пределе частного, окончательно получим, x+4 x 2 + 6x + 8 = = lim 2 lim 3 x → −2 x → −2 ( x − 2 x + 4) x +8 −2+4 2 1 = = = . 2 (−2) − 2 ⋅ ( −2) + 4 12 6 Пример 7. Вычислить предел: lim x →0 1+ x −1 . x 17 Рассуждая аналогично предыдущему, получим снова неопределенность вида   . Для ее раскрытия разложение на 0 множители выполнить в этом случае невозможно, поэтому умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное (отличающееся знаком только перед вторым слагаемым) числителю. Этим выражением будет 1 + x + 1 , тогда будем иметь lim x →0 1+ x −1 ( 1 + x − 1)( 1 + x + 1) = lim = x →0 x x ( 1 + x + 1) = lim x →0 ( 1 + x ) 2 − 12 x ( 1 + x + 1) x = lim x →0 1+ x −1 x ( 1 + x + 1) = 1 = . x →0 x ( x + 1 + 1) 2 = lim ∞ Для раскрытия неопределенности вида   числитель и ∞ знаменатель дроби делят на степень с наивысшим показателем, стоящую в знаменателе дроби. После сокращения степеней неопределенность устраняется. Рассмотрим это на следующем примере. Пример 8. Вычислить предел: 3x − 4 . x →∞ x − 2 lim Подставляя в выражение, стоящее под знаком предела ∞ вместо x , ∞ , получаем неопределенность вида   . ∞ Для раскрытия неопределенности разделим числитель и знаменатель дроби на x (это наивысшая степень знаменателя), получим: 4 4 lim 3− lim x → ∞ x → ∞ x = x = 3 − 0 = 3. lim x →∞ 2 2 1− 0 1− lim 1 − lim x x →∞ x →∞ x 3− При вычислении этого предела воспользовались теоремами о пределе частного, разности, постоянной и утверждением о пределе функции, обратной бесконечно большой (он равен бесконечно малой, т. е. нулю). 18 Вычисление следующего предела мы не будем комментировать, проследите за ходом решения и устно примените те теоремы о пределах, которые здесь необходимы. Пример 9. Вычислить предел: 7 x 4 + 2x 3 + 5 . lim 4 x → ∞ 6 x + 3x 2 − 7 x x 4 (7 + 2 x + 5 x 4 ) 7x 4 + 2x3 + 5  ∞  = = lim =   4 2 3 x→∞ 6x 4 + 3x 2 − 7x  ∞  x→∞ x (6 + 3 x − 7 x ) 7 = . 6 lim Итак, Вы убедились, что вычисление пределов – не всегда простая задача, требуются хорошие знания элементарной математики. Следующий вопрос, который мы рассмотрим, связан с понятием непрерывности функции. Глава 1.3. Непрерывность функции В реальности имеет место следующее обстоятельство: если параметры, характеризующие ситуацию, немного изменятся, то немного изменится и сама ситуация. Здесь важно не то, что ситуация изменится, а то, что она изменится немного. Среди разнообразных функций одной переменной естественно выделить те, график которых можно нарисовать одним росчерком карандаша, без отрыва от бумаги. К таким функциям можно отнести все элементарные функции на их области определения. И первоначально математиков вполне удовлетворяло такое понятие непрерывной функции, как функции, график которой можно нарисовать без отрыва карандаша от бумаги – «свободным влечением руки» (такое определение привел в одной из работ Леонард Эйлер). По мере расширения класса изучаемых функций – а среди них и функций, графики которых нельзя нарисовать, – понятие непрерывности потребовало уточнения. На прочный фундамент понятие непрерывности встало лишь тогда, когда французским математиком Огюстеном Коши было сформулировано строгое определение предела функции в точке (около 1820 г.), (глава 1.2) . 19 Функция f ( x ) , определенная в окрестности некоторой точки x 0 , называется непрерывной в точке x 0 , если предел функции и ее значение в этой точке равны, т. е. lim f ( x ) = f ( x 0 ) . x→x 0 Получается, что для выяснения вопроса о непрерывности функции в точке необходимо проверить три условия: 1. функция должна быть определена в этой точке; 2. функция должна иметь предел в этой точке; 3. значение предела функции в точке должно совпадать со значением функции в точке. Примерами непрерывных функций на своей области определения являются функции на рис. 1.2 – 1.8. На практике непрерывные функции часто называют «хорошими функциями». По своему смыслу такие функции, как спроса D(p) и предложения S = S(p) , рисунки 1.2 и 1.3 соответственно, непрерывно зависят от p . Значит, при малых колебаниях цен спрос и предложения также изменяются незначительно. При более глубоком анализе обнаруживаются, однако, чисто психологические причины, по которым спрос, например, может измениться скачкообразно. Например, так бывает при «пробитии» круглой цены. Цена растет, растет, но люди терпят, и спрос уменьшается незначительно. И вот цена замерла около круглой цифры. Когда цена наконец превысит эту круглую цифру, может произойти скачкообразное уменьшение спроса. Это хорошо знают финансисты, работающие на валютных и других финансовых рынках. Практически, если необходимо выяснить, например, непрерывность функции y = 3 в точке x 0 = 0 , то рассуждаем так: x в точке x 0 = 0 функция не определена, значит, в этой точке функция не является непрерывной, т. е. она разрывна. Дадим более строгое определение такой ситуации. Если функция f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x 0 , но не является непрерывной в самой точке x 0 , то она называется разрывной функцией, а точка x 0 – точкой разрыва. Разрывные функции описывают скачкообразные процессы в природе. Например, при ударе мгновенно изменяется скорость тела; плотность воды как функция температуры скачком возрастает в «точке замерзания» и также падает в «точке 20 кипения». Графики функций, отражающих подобные процессы, состоят из двух или нескольких непрерывных фрагментов линий и имеют один или несколько скачков. Примерами являются функции на рис. 1.9 в точке x 0 , и на рис. 1.11 в точке x 0 = 0 . Как вы успели заметить, непрерывность функции вытекает из понятия предела функции. Мы говорили о пределе функции в точке и о левостороннем и правостороннем пределе функции в точке. Аналогично будем вести речь и о непрерывности. Выяснили, какая функция называется непрерывной в точке, теперь рассмотрим вопрос о непрерывности слева и справа от заданной точки. Функция y = f ( x ) называется непрерывной слева (справа) в точке x 0 , если lim f ( x ) = f ( x 0 ) и  x →lim f ( x ) = f ( x 0 )  . x +0 x → x −0   На рис. 1.13 представлен график функции, непрерывной слева, на рис. 1.14 – график функции, непрерывной справа. Рисунок 1. 13 Рисунок 1.14 Следует отметить, что непрерывность функции в точке равносильна непрерывности ее в этой точке слева и справа. 21 Необходимо отметить, что в начале XIX в. были изобретены очень странные – «чрезвычайно разрывные» – функции. Первой из них стала функция, рассмотренная немецким математиком Леженом Дирихле (1805 – 1859)г. 1, x − рациональное число f ( x) =  0, x − иррациональное число 1 3 Например, f ( ) = 1; f ( 2 ) = 0 . Функция Дирихле определена во всех точках, однако построить ее график невозможно: на любом сколь угодно малом отрезке она принимает и значение 0 , и значение 1 . Разрывы функции в точках можно классифицировать, это впервые было сделано в работах французского математика Рене Бэра в конце XIX века. Рассмотрим, как это выглядит. Если функция в точке x 0 имеет конечный предел (двусторонний предел), но этот предел отличен от значения функции в этой точке (или точка не входит в область определения функции), то точка x 0 называется устранимой точкой разрыва. Если функция в точке b имеет конечные односторонние пределы, но они не совпадают (тогда двусторонний предел не существует), то b называется точкой разрыва 1-ого рода. Если функция в точке c не имеет хотя бы одного конечного одностороннего предела, т. е. существует хотя бы один из односторонних пределов, и он равен бесконечности или не существует, то точка c называется точкой разрыва 2-ого рода. 1 x Возвращаясь, к примеру рассмотрения функции f ( x ) = , в точке x 0 = 0 она имеет точку разрыва 2-го рода, т. к. lim f ( x) = +∞; x→0+ 0 lim f ( x) = −∞ x →0 − 0 . Непрерывность функции в точке переносится и на непрерывность функции на интервале (отрезке). Функция f ( x ) называется непрерывной на интервале (отрезке), если она непрерывна в любой точке интервала (отрезка). 22 При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала. Функция, непрерывная на отрезке [a; b] , принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т. е. существуют такие значения x 1 и x 2 , что f ( x 1 ) = m , f ( x 2 ) = M , причем m ≤ f ( x ) ≤ M . Следует заметить, что эти наибольшие и наименьшие значения функция может принимать на отрезке и несколько раз (примером может служить косинусоида или синусоида). Это свойство непрерывности функции находит большое практическое применение. Разность между наибольшим и наименьшим значением функции на отрезке называется колебанием функции на отрезке. Рассмотрим пример исследования функции на непрерывность следующего вида: cos x, x ≤ 0  y( x ) = x 2 + 1, 0 < x < 1 x , x ≥ 1.  При x ≤ 0 графиком функции будет косинусоида. При 0 < x < 1 графиком функции будет парабола, симметричная оси Оу и поднятая на 1 единицу вверх от начала координат, ветви параболы обращены вверх. При x ≥ 1 графиком функции будет прямая пропорциональность y = x , для построения которой необходимы две точки, например, (1;1) и (2;2). График предлагаемой функции изображен на рис. 1.15. Рисунок 1.15 23 Для исследования на непрерывность слева и справа от f ( x ) = 1 и lim f ( x ) = 1 . Так как точки x = 0 , найдем пределы: xlim →0 − 0 x →0 + 0 значения пределов равны, то в точке x = 0 функция непрерывна. f (x ) = 2 Аналогично вычислим пределы для точки x = 1 , xlim →1− 0 и xlim f (x ) = 1. →1+ 0 Получили, что пределы различны, значит, в точке x = 1 функция разрывна и x = 1 точка разрыва 1-го рода. Глава 1.4. Производная функции Значение функции в каждой допустимой фиксированной точке есть число. Изменяя значения аргумента, получим в общем случае различные значения функции. Как сильно изменится значение функции (скорость изменения функции) при данном изменении аргумента? Поиск ответа на этот вопрос приводит к понятию производной. Эти идеи волновали и привлекали внимание почти всех математиков 17 в., включая Барроу, Ферма, Декарта и Валлиса. Предложенные ими разрозненные идеи и методы были объединены в систематический, универсально применимый формальный метод Ньютона и Г.Лейбница (1646-1716 гг.), создателей дифференциального исчисления. По вопросу о приоритете в разработке этого исчисления между ними велись горячие споры, причем Ньютон обвинял Лейбница в плагиате. Однако, как показали исследования историков науки, Лейбниц создал его независимо от Ньютона. Но школа Лейбница была гораздо более блестящей, чем школа Ньютона. Рисунок 1.16. Исаак Ньютон (1643-1727) гг. Исаак Ньютон родился в семье фермера. В 12 лет он начал учиться в Грантемской школе, в 1661г. поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета в качестве субсайзера (так назывались бедные студенты, 24 выполнявшие для заработка обязанности слуг в колледже), где его учителем был известный математик И. Барроу. Окончив университет, Ньютон в 1665 г. получил ученую степень бакалавра. В 1665 – 1667 гг., во время эпидемии чумы, находился в своей родной деревне Вулсторп; эти годы были наиболее продуктивными в научном творчестве Ньютона. Здесь у него сложились в основном те идеи, которые привели его к созданию дифференциального и интегрального исчислений, к изобретению зеркального телескопа (собственноручно изготовленного им в 1668 г), открытию закона всемирного тяготения, здесь он провел опыты над разложением света. Но мы снова возвращаемся к введению понятия производной. Пусть задана некоторая функция y = f ( x ) , определенная на некотором интервале (a; b) . Выберем на этом интервале фиксированную точку x 0 и другую близкую к ней точку x , тогда разность x − x 0 = ∆x (читается «дэльта икс») называется приращением аргумента. Как не трудно определить, тогда x = x 0 + ∆x называют наращенным значением аргумента, а x 0 – первоначальным значением аргумента. Приращение аргумента положительно, если близкая точка выбрана правее точки x 0 и отрицательна – если левее точки x 0 . Разность значений функции y = f ( x ) в точке x 0 и в точке x = x 0 + ∆x называют приращением функции и обозначают ∆y = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) , рис. 1. 17. Рисунок 1.17 Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю, то он называется производной функции. f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) . (1.3) ∆x →0 ∆x y ' ( x 0 ) = f ′( x 0 ) = lim 25 Если этот предел конечный, то функция f ( x ) называется дифференцируемой в точке x 0 , при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке. Если же рассматриваемый предел равен ∞ (или - ∞ ), то при условии, что функция в точке x 0 непрерывна, будем говорить, что функция f ( x ) имеет в точке x 0 бесконечную производную. Нахождение производной называется дифференцированием функции. Исходя из определения производной функции в точке, следует ее физический смысл: она равна мгновенной скорости в данной точке. Суть дифференцирования, по Ньютону, – нахождение скорости по пути. Вернемся к рассмотрению рис. 1.17 и к тем условиям, которые мы применяли к этой функции. Проведем через две точки x 0 и x = x 0 + ∆x прямую MP , которая будет пересекать график этой функции и назовем ее секущей. Тогда tgβ = ∆f − ∆x тангенс угла наклона секущей MP к графику функции. Приближаясь от точки x = x 0 + ∆x к точке x 0 , будем видеть, что ∆x → 0 . А значит, секущая MP принимает свое предельное положение и становится прямой, имеющей с графиком функции единственную общую точку M , т. е. становится касательной, которую мы обозначили MN . Таким образом, мы можем определить касательную как предельное положение секущей, рис. 1.18. В итоге, переходя на язык пределов, получим, что ∆f = f ′( x 0 ) = tgα или f ' ( x 0 ) = tgα , ∆x →0 ∆x lim tgβ = lim ∆x →0 (1.4) где α – угол наклона касательной к графику функции в точке ( x 0 ; f ( x 0 )). Рисунок 1.18 26 Из полученных рассуждений вытекает геометрический смысл производной. Он выражается в том, что производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой в этой точке. Рассматривая способы задания прямой в аналитической геометрии (см. главу 2.3.4 второй лекции), мы говорили о способе задания прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом, т. е. тангенсом угла наклона прямой. Напомним, что аналитическое соотношение этого способа выглядит так: y − y 0 = k ( x − x 0 ) . Так как k = tgα , то, подставив в это соотношение вместо tgα производную функции в точке в соответствии с формулой (1.4), получим уравнение касательной к кривой: y − y 0 = f ′( x 0 )( x − x 0 ) . (1.5) Следующая теорема выражает необходимое условие существования производной. Если функция f ( x ) имеет производную в точке x 0 , то она непрерывна в этой точке. Для выполнения процедуры дифференцирования функции необходимо знать правила дифференцирования. Введем обозначения: f ( x ) = u , g( x ) = v , где u; v – функции, дифференцируемые в точке x . 1. (u ± v) ′ = u′ ± v′ . Это правило читается так: производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций. 2. (u ⋅ v) ′ = u ′ v + v ' u , т. е. производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение производной второго сомножителя на первый. Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (cu ) ' = c ⋅ u ' . (такое же свойство есть и у предела) Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений 27 производной каждого из сомножителей на все остальные, т. е., например: ( y ⋅ z ⋅ v) ' = y' zv + z ' yv + v ' yz . ′ u u ′ v − v′ u , если v ≠ 0 . 3.   = v2 v Эти правила могут быть легко доказаны на основе теорем о пределах. Далее введем производные основных элементарных функций с помощью таблицы 1. Вывод производных этих функций мы не рассматриваем, хотя во всех случаях он осуществляется с помощью определения производной. Т. е. находится приращение функции, берется отношение приращения функции к приращению аргумента, затем вычисляется предел этого отношения. При этом необходимо привлекать основные теоремы о пределах, рассмотренные в главе 1.2. Таблица 1.1 № п/п Производная функции № п/п Производная функции 1 C' = 0 ; (где C- 9. константа постоянная величина (e )′ = e 2 ( x n )' = n ⋅ x n −1 (ctgx )′ = − x 10. x 1 2 sin x 3 ′ 1 1   =− 2  x x (ln x )′ = 11. 1 x 4 ( x )′ = 2 1 x 12. (loga x )′ = x ln1 a 5 (a x )′ = a x ln a 13. (arcsin x )′ = (sin x )′ = cos x 14. 6 1 1− x (arccos x )′ = − 2 1 1− x 7 8 (cos x )′ = − sin x (tgx )′ = 1 (arctgx )′ = 15. 1 1+ x (arcctgx )′ = − 16. 2 cos x 28 2 1 1+ x 2 2 Выясним, какой вид будет иметь касательная к кривой y = x − 2 в точке x 0 = 1 . Для составления уравнения касательной к кривой воспользуемся формулой (1.5), тогда нам необходимо найти производную функции и вычислить ее в точке x 0 = 1 и значение функции в точке x 0 = 1 . Производная функции будет вычисляться так: ' ' 2 2 ' (x − 2) = (x ) − (2) (здесь мы воспользовались правилом 1). Теперь по таблице производных (формулы 2 и 1) получим: (x 2 − 2)' = 2x − 0 = 2x . Подставляя в производную функции вместо x его значение 1, получим, что f ' ( x 0 ) = 2 ⋅ 1 = 2 , теперь найдем y 0 = (x 2 − 2)1 = 12 − 2 = −1 . Подставив найденные значения в формулу (1.5), получим: y − (−1) = 2( x − 1) или, после преобразований y + 1 = 2x − 2 , y = 2x − 3 . Значит, уравнение касательной, проведенной к кривой y = x 2 − 2 , в точке x 0 = 1 имеет вид y = 2x − 3 . Чаще всего в курсе математического анализа приходится иметь дело со сложными функциями, что же это такое – сложная функция? Говорят, что функция, аргумент которой сам является функцией, называется сложной. Например, y = (3x + 6)3 , это степенная функция y = v 3 , но ее аргумент v , сам является линейной функцией вида 3x + 6 . Или, y = ln(x 2 + 2) – это логарифмическая функция вида y = ln v , но аргумент v сам является квадратичной функцией вида x2 + 2 . Таким образом, обобщая, можно заключить: пусть переменная y есть функция от переменной u , т. е. y = f (u ) , а u в свою очередь есть функция от независимой переменной x , т. е. задана сложная функция y = f (ϕ( x )) . А теперь попытаемся разобраться, как же находится производная сложной функции? Ответ на вопрос дает следующая теорема. Если y = f (u ) и u = ϕ( x ) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную 2 29 самого промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е. y ' = f ' (u ) ⋅ u ' ( x ) . (1.6) Доказательство этой теоремы осуществляется по определению производной функции и с помощью теорем о пределах. Рассмотрим ряд примеров на вычисление производной сложных функций, вам предлагаем провести устные комментарии по решению. Пример 1. Вычислить производную функции (x y= ) 2 −3 . x+2 y' = ( 2 ) ' 2( x 2 − 3) x 2 − 3 ⋅ ( x + 2) − ( x + 2) ' ⋅ ( x 2 − 3) 2 = ( x + 2) 2 = 2( x 2 − 3) ⋅ 2 x ⋅ ( x + 2) − ( x 2 − 3) 2 = ( x + 2) 2 = 3x 4 + 8x 3 − 6 x 2 − 24 x − 9 . ( x + 2) 2 Пример 2. Вычислить производную функции в точке x= π . 2 y′ = y = ln tg x x − 2 sin x 1 sin x − x cos x 1 1 ⋅ ⋅ − = x x 2 sin 2 x tg cos 2 2 2 sin x − x cos x 1 − = x x sin 2 x 2 sin cos 2 2 sin x − sin x + x cos x x cos x = = . sin 2 x sin 2 x = Подставив значение получим π y' ( ) = 0 . 2 x= π 2 в получившуюся производную, В математическом анализе рассматриваются производные высших порядков. Что это такое? Если функция y ' в некоторой точке x сама имеет производную, то эту производную называют второй производной функции y ' в точке x и обозначают y '' ( x ) = ( y ' ( x )) ' . 30 Понятно, что этот процесс можно продолжить и определить третью, четвертую и т. д. производную. Обозначения производных второго и третьего порядка такое как, например, y '' ( x ); y ''' ( x ) . Для обозначения производных порядка более чем четвертый используют арабские цифры в скобках или римские цифры, т. е. y ( 4) ( x );...; y ( n ) ( x ) или y IV ( x );...; y N ( x ) и т. д. Ранее мы говорили о физическом (механическом) смысле первой производной – что она есть скорость изменения функции в точке, т. е. мгновенная скорость. Тогда, по определению производной, вторая производная есть скорость изменения скорости, т. е. ускорение. S '' ( t ) = (V( t )) ' = a ( t ) (1.7) Рассмотрим задачу. Тело движется по закону 2 3 S( t ) = 2 − 5t + 3t . (Путь измеряется в метрах, время в секундах). Определить ускорение тела в момент времени 3 с. Согласно физическому смыслу второй производной, ускорение есть вторая производная пути по времени, т. е. a ( t ) = (2 − 5t 2 + 3t 3 ) '' = (−10t + 9t 2 ) ' = −10 + 18t Чтобы вычислить ускорение в момент времени t = 3 , подставим в t = 3, тогда выражение для ускорения значение a (3) = −10 + 54 = 44 м . с Производная имеет мощный прикладной характер, т. е. позволяет определять интервалы монотонности функции, ее экстремумы, наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, выяснять многие экономические характеристики. Глава 1.5. Приложения производной функции В экономике производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора. В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f ( x ) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x , то f ' ( x ) называют предельным продуктом; если g( x ) есть функция издержек, т. е. функция g( x ) выражает 31 зависимость общих затрат от объема продукции x , то g ' ( x ) называют предельными издержками и характеризуют приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Если обозначить через u ( x ) выручку от продажи x единиц товара, то u ' ( x ) и называется предельной выручкой. В экономической литературе предельные величины также называют маржинальными. При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква M , а при записи средних величин добавляется буква A (от англ. Average – средняя). Например, MR – предельный доход, AR – средний доход. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) x и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (сырье, топливо и т. д.). Предельный анализ в экономике – совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин, что вы узнаете в курсе статистики. Однако, в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс изменения экономического объекта. Мы уже говорили, что с помощью производной можно вычислить приращение функции соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. 32 Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Введем определение эластичной функции. Эластичностью функции E x ( y) называют предел отношения относительного приращения функции y к относительному приращению переменной x при ∆x → 0 , т. е. E x ( y) = lim ( ∆x → 0 x ∆y ∆x ∆y x ' = ⋅ y .(1.8) ) = lim ÷ x ∆ → ∆x y y x y Проще говоря, эластичность – это мера реагирования одной переменной величины на изменение другой. Эластичность функции приближенно показывает, на сколько процентов изменится одна переменная в результате изменения другой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Ценовая эластичность показывает реакцию спроса или предложения на изменение цены и определяет, на сколько процентов приближенно изменится спрос или предложение при изменении цены на 1%. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным, в этом случае эластичность спроса по модулю больше единицы, т. е. E x ( y) f 1 . Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен, тогда модуль эластичности меньше единицы, т. е. E x ( y) p 1 . Термин «совершенно неэластичный спрос» означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И, наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, тогда мы говорим, что спрос 33 является совершенно эластичным. Если E x ( y) = 1 , то говорят о спросе с единичной эластичностью или нейтральном спросе. Например, зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб.) и выпуском продукции x (млрд. руб.) выражается функцией y = −0,5x + 80 . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб. По формуле (1.8) E x ( y) = = x ⋅ (−0,5) x ' x ⋅ (−0,5x + 80) ' = = ⋅y = y − 0,5x + 80 − 0,5x + 80 x . x − 160 Найдем эластичность при x = 60 . E x =60 ( y) = 60 = −0,6 . 60 − 160 Полученное значение эластичности говорит о том, что при выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение его на 1% приведет к снижению (так как эластичность отрицательна) себестоимости на 0,6%. Говоря о приложениях производной к исследованию функции на монотонность, следует отметить, что функция возрастает на тех интервалах своей области определения, где ее производная положительна. И убывает там, где ее производная отрицательна. Существует правило исследования функции на монотонность. 1. Найти первую производную функции и точки, в которых она равна нулю или не существует (такие точки называют критическими). 2. Нанести критические точки на числовую ось с учетом области определения функции и выяснить знак производной в окрестностях этих точек. 3. Интервалы, где производная неотрицательна будут интервалами возрастания функции, а где неположительная – интервалами убывания. Например, для исследования функции y = 7 x 2 + 14x + 1 на монотонность действуем по приведенному правилу. 1. y ' ( x ) = (7 x 2 + 14x + 1) ' = 14x + 14 , 14 x + 14 = 0 , x = −1 . 34 2. Нанесем точку x = −1 на числовую прямую и выясним знак производной в окрестности этой точки, рис. 1.19. Рисунок 1.19 y ' (−2) = 14 ⋅ (−2) + 14 = −14 , y ' (0) = 14 ⋅ 0 + 14 = 14 . 3. Получили, что левее точки х = -1 производная отрицательна, значит, на этом интервале функция убывает. Правее точки х = -1 производная положительна, значит, функция на этом интервале будет возрастать. А если рассмотреть функцию y = 5x − 11 и выяснить вопрос о ее монотонности с помощью производной, то взяв от функции производную, y ' = (5x − 11) ' = 5 видим, что производная есть положительное число, значит, функция будет возрастающей на всей своей области определения (в этом случае нам не понадобилось правило исследования на монотонность в полном объеме). Хотя ответ на вопрос о монотонности для данной функции можно было дать исходя из знаний элементарной математики: т. к. в этом случае угловой коэффициент k = 5 > 0 , то функция возрастает. Большую роль в экономике играют задачи на оптимизацию и задачи на отыскание максимума и минимума. Ведь, как выяснилось, многие законы природы основаны на экстремальных принципах. Например, луч света распространяется по самому быстрому пути. Пифагору принадлежит высказывание: «Прекраснейшим телом является шар, а прекраснейшей плоской фигурой – круг». Почему круг и шар «прекраснейшие»? Ответ на эти вопросы дал Николай Коперник: «Мир является шарообразным, потому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью». Но прежде введем понятия экстремумов. Функция f ( x ) имеет в точке x 0 максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 0 , т. е. f ( x ) < f ( x 0 ) . 35 Функция f ( x ) имеет в точке x 1 минимум, если ее значение в этой точке меньше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x 1 , т. е. f ( x ) > f ( x 1 ) . Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума. Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные. Рассмотрим схему исследования функции на экстремум. 1. Найти первую производную функции .y ' = f ' ( x) 2. Найти критические точки по первой производной, т. е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. 3. Исследовать знак первой производной в окрестностях критических точек (если при переходе через критическую точку x 0 слева направо производная функции f ' ( x ) меняет знак с «+» на «-», то в точке x 0 функция f ( x ) имеет максимум, а если производная меняет знак с «-» на «+»- то функция имеет в точке x 0 минимум) и сделать вывод о наличии экстремумов функции. 4. Найти экстремальные значения (значения функции в точках экстремума). Например, для исследования на экстремум функции y = 1 + 4x − x 2 находим производную y ' ( x ) = (1 + 4x − x 2 ) ' = 4 − 2 x . Приравняв ее к нулю, получим 4 − 2x = 0 , x = 2 . . Найдем значения производной левее и правее точки ' ' Получаем, например, y (0) = 4 − 2 ⋅ 0 = 4 и y (3) = 4 − 2 ⋅ 3 = −2 . Выяснили, что при переходе через точку x = 2 производная меняет свой знак с «+» на«-», значит x = 2 – max. Найдем экстремальное значение функции, т. е. x = 2 y(2) = 1 + 4 ⋅ 2 − 2 2 = 5. В середине ХХ века появилось новое направление в теории экстремума, названное оптимальным управлением. Одним из его создателей был российский математик Лев Семенович Понтрягин. Следует заметить, что точки экстремума, о которых мы говорили ранее, называют локальными экстремумами. 36 А как находить глобальный минимум или максимум функции, заданной, например, на отрезке? Ответ заключен в следующем правиле исследования функции на наибольшее и наименьшее значения на отрезке. 1. Найти первую производную. 2. Найти критические точки функции. 3. Найти значения функции в критических точках. 4. Найти значения функции на концах отрезка. 5. Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее. Рассмотрим на примере следующей задачи, как математический анализ позволяет реализации экономической проблемы. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала. Рисунок 1.20 Так как бассейн – это параллелепипед без крыши – верхнего основания, причем основанием является квадрат, то полная поверхность бассейна в нашем случае есть сумма площади основания и боковой поверхности. Введем обозначения: a; b; c – измерения бассейна, причем бассейн имеет основанием квадрат, т.е. b = a , тогда S осн. = a ⋅ b = a 2 . Боковая поверхность бассейна – это четыре прямоугольника с измерениями a; и c , тогда S бок. = 4ac . Полная поверхность бассейна без крыши равна сумме площади основания и боковой, т. е. S полн. = a 2 + 4ac . Известно, что объем параллелепипеда равен произведению трех его измерений V = abc , в нашем случае V = a 2 c , тогда c = V . a2 Подставим выраженное через объем значение третьего измерения 37 в формулу S полн. = a 2 + 4a ⋅ для полной поверхности бассейна, т. е. V 4V = a2 + . 2 a a Исследуем полученную функцию полной поверхности на наименьшее значение на множестве a > 0 . Для этого находим первую производную от полной поверхности по переменной a : S ' = (a 2 + Приравниваем 2a − 4V ' 4V ) = 2a − 2 . a a полученную производную к нулю: 4V 3 4V = 0 и находим значение a = 3 = 2V . 2 2 a Полученная точка будет единственной точкой экстремума – минимума функции. Найдем значение c = V = a2 V 3 4V 2 =3 V . 4 Таким образом, найдены размеры открытого бассейна с квадратным дном, при которых на его облицовку пойдет наименьшее количество материала, а именно: a = 3 2V и c = 3 V . 4 Итак, рассмотрена конкретная задача на приложения производной, а сейчас мы хотели бы связать некоторые теоретические факты математики с экономической теорией. Рассмотрим теорему Ферма (мы говорили о Пьере Ферма в главе 1.2 первой лекции). Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке X функция y = f ( x ) достигает наибольшего или наименьшего значения в некоторой точке x 0 ∈ X , то производная функции в этой точке равна нулю, т. е. f ' ( x 0 ) = 0 . Не рассматривая доказательства этой теоремы, выясним ее геометрический смысл. Ранее нами было показано, что производная с геометрической точки зрения есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой в точке касания. Получаем, что tgα = 0 , а значит, в точке наибольшего или наименьшего значения функции касательная параллельна оси абсцисс, (см. рис. 1.21). Хотим подчеркнуть, что метод нахождения максимумов и минимумов был открыт в 1638 г. Пьером Ферма. 38 А теперь рассмотрим один из базовых законов теории производства, который звучит так: оптимальный для производства уровень выпуска товаров определяется равенством предельных издержек и предельного дохода. Рисунок 1.21 Следствием теоремы Ферма является следующий экономический закон: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Производная позволяет определять направление выпуклости кривой. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (a; b ) , если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале (ее производная убывает на этом интервале). Кривая обращена выпуклостью вниз на интервале (a; b ) , если все ее точки лежат выше любой ее касательной на этом интервале (ее производная возрастает на этом интервале). Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой, а кривая, обращенная выпуклостью вниз, называется вогнутой. На рис. 1.22 изображена функция, имеющая интервалы выпуклости и вогнутости. Рисунок 1.22 Существует теорема, утверждающая, что если во всех точках интервала (a; b ) вторая производная функции f ( x ) 39 отрицательна (положительна), то кривая y = f ( x ) обращена выпуклостью вверх (вниз). Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую. Правило исследования функции на выпуклость и точки перегиба заключается в следующем: 1. Найти вторую производную функции f '' ( x ) . 2. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. 3. Исследовать знак второй производной в окрестностях этих точек и сделать вывод о направлениях выпуклости и наличии точек перегиба (точек, в окрестностях которых вторая производная меняет знак). 4. Найти значения функции в точках перегиба. Определим интервалы выпуклости функции y = x 3 . Для этого находим вторую производную, т. е. y '' = (( x 3 ) ' ) ' = (3x 2 ) ' = 6x . Находим критическую точку (точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует) по второй производной: 6x = 0 , x = 0 . В нашем случае речь идет только о равенстве нулю второй производной (такие точки называют стационарными), так как зависимость вида 6x существует при любых значениях x . Полученная точка x = 0 разбивает всю числовую ось на два интервала (− ∞;0) и (0; ∞ ) . Выясним знак второй производной в каждом из полученных интервалов. Например y '' (−1) = 6 ⋅ (−1) = −6 , т. к. вторая производная на интервале (− ∞;0) отрицательна, то функция на этом интервале выпукла вверх. Найдем y '' (1) = 6 ⋅ 1 = 6 , т. к. вторая производная на интервале (0; ∞ ) положительна, то функция на этом интервале выпукла вниз (вогнута). График кубической параболы представлен на рис. 1.23. 40 Рисунок 1.23 Понятие выпуклости функции также находит свою интерпретацию в экономической теории. Один из наиболее знаменитых законов экономической теории – закон убывающей доходности – звучит так: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и др.), с некоторого времени убывает. Или говоря иначе, функция, выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой верх, как показано на рис. 1. 19. С производной связано еще одно важное понятие – дифференциал функции. Глава 1.6. Дифференциал функции и его геометрический смысл Пусть функция y = f ( x ) имеет производную в точке x , тогда по определению производной и формуле (1.3) можно записать ∆y = f ′( x ) . ∆x → 0 ∆x lim Пользуясь понятием предела функции в точке как приближенного значения функции в окрестности этой точки, ∆y = f ′( x ) + α , где α → 0 при ∆x → 0 . ∆x Следовательно: ∆y = f ′( x ) ⋅ ∆x + α ⋅ ∆x . можно записать: В правой части последнего равенства слагаемое α ⋅ ∆x – бесконечно малая более высокого порядка, чем f ' ( x ) ⋅ ∆x , поэтому для приращения функции она более значима и ее называют главной частью приращения функции или ее дифференциалом. 41 Дифференциалом функции y = f ( x ) в точке x называется главная линейная часть приращения функции. Дифференциал обозначается dy или df ( x ) . Из определения следует, что dy = f ' ( x )∆x или dy = f ' ( x )dx . (1.9) Из равенства (1.14) можно вывести производную: f ′( x ) = dy . dx Такое представление производной, восходящее к Лейбницу, часто оказывается удобным для записи дифференциала сложной функции. Для выяснения геометрического смысла дифференциала рассмотрим некоторую функцию y = f ( x ) , определенную на некотором множестве X , и выберем на нем некоторую точку x 0 , придав ей некоторое приращение ∆x → 0 , получим, что и функция получит приращение ∆y = ∆f ( x ) = f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) , рисунок 1.24. Рисунок 1.24 Значение функции в точке x 0 будет равно y 0 , значение функции в точке x 0 + ∆x будет равно y( x 0 + ∆x ) . Приращение функции на рисунке задано отрезком LN = ∆y . Проведем к кривой касательную в точке M , абсцисса которой равна x 0 . Касательная образует с положительным направлением оси Ox угол α . Тогда MLK получим, что из прямоугольного треугольника KL = tgα ⋅ ∆x = dy . Таким образом, дифференциал функции f ( x ) в точке x 0 равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в рассматриваемой точке. Дифференциал находит применение в приближенных вычислениях и позволяет ускорять расчеты. Рассмотрим это. 42 Из рассмотренного выше следует, что ∆y = dy + α(∆x ) ⋅ ∆x , т. е. приращение функции ∆y отличается от ее дифференциала dy на бесконечно малую величину более высокого порядка, чем dy = f ' ( x )∆x . Поэтому при достаточно малых значениях ∆x значение ∆y ≈ dy . Получили формулу, позволяющую находить приближенное значение приращения функции, т. е. ∆y ≈ dy , (1.10) или f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ f ' ( x )∆x , откуда f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x . (1.11) Таким образом, формула (1.10) позволяет приближенно находить приращение функции, а формула (1.11) приближенное значение функции в точке. Например, металлический сосуд, имеющий форму шара, подвергли нагреванию. В результате первоначальный радиус r = 30 см. увеличился на 0,2 см. Найти изменение объема шара ∆V . Рассуждаем в соответствии с формулой (1.10), т. е. ∆V ≈ dV . 4 3 Из школьного курса известна формула объема шара V = πr 3 , 4 3 тогда dV = π(r 3 ) ' dr , dV = 4πr 2 dr и ∆V ≈ 4 ⋅ π ⋅ 900 ⋅ 0,2 . Взяв значение и округлив получившееся произведение до десятых, получим ∆V ≈ 2260,8 см 3 . Или другой пример, найти значение функции 3 2 y = 2x − 4x + 7 x + 3 в точке x = 2,01 . Конечно, можно вычислить значение функции, подставив в нее вместо x число 2,01 . Задача несложная, но достаточно трудоемкая, даже если ее реализовать в пакете MS Excel. Поэтому воспользуемся формулой (1.11). Но так как в нашем случае x = 2,01 – наращенное значение аргумента, то представим его в виде суммы некоторого первоначального значения аргумента x 0 и приращения аргумента ∆x . В нашем случае удобно принять за x 0 = 2 , и за ∆x = 0,01 . Тогда по формуле (1.11) f (2,01) ≈ f (2) + f ' (2) ⋅ 0,01 . Найдем f (2) = 2 ⋅ 2 3 − 4 ⋅ 2 2 + 7 ⋅ 2 + 3 = 17 и тогда π ≈ 3,14 f ' (2) ⋅ 0,01 = (2x 3 − 4x 2 + 7 x + 3) '2 ⋅ 0,01 = = (6x 2 − 8x + 7) 2 ⋅ 0,01 = 0,15. 43 Складывая найденные значения, получаем, что значение функции в точке x = 2,01 приблизительно равно 17,15 . Говоря о дифференциалах, необходимо отметить понятие дифференциалов высших порядков. Ранее мы вводили понятие производной высших порядков, аналогично вводится дифференциал второго, третьего и т.д. порядка. Дифференциалом второго порядка (или вторым 2 дифференциалом) d y (читается: «дэ два игрек») функции y = f ( x ) называют дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, т. е. d 2 y = d(dy) . (1.12) Аналогично вводится понятие дифференциала n-ого порядка: d n y = f ( n ) ( x )dx n . Итак, подводя небольшой итог дифференциального исчисления, необходимо отметить, что его основной задачей является нахождение производной или дифференциала данной функции. В следующей главе мы переходим к рассмотрению обратной задачи – нахождению функции по ее производной или дифференциалу. Этим занимается интегральное исчисление. Глава 1.7. Первообразная функция и неопределенный интеграл Как мы уже сказали, в математике и в ее приложениях часто возникает задача, обратная к той, которая решалась в дифференциальном исчислении, а именно дана функция y = f ( x ) , найти функцию y = F( x ) , такую, что F ' ( x ) = f ( x ) . Например, динамика формирования оборотных средств – это процесс изменения во времени, который можно рассматривать как непрерывный. Пусть K ( t ) – это зависимость объема оборотных средств от времени, тогда производная по времени K ' ( t ) = dK dt – это скорость формирования оборотных средств, которую можно рассматривать так же, как скорость потока денежных средств I( t ). Если нам дана функция скорости потока, то возникает задача нахождения функции оборотных средств, которая сводится к операции нахождения функции по ее производной. 44 Такая операция называется интегрированием, а раздел математики, изучающий методы нахождения функции по ее производной, – интегральным исчислением. Одним из главных понятий интегрального исчисления является понятие первообразной. Функция y = F( x ) называется первообразной функцией для функции y = f ( x ) на промежутке X , если в любой точке этого промежутка выполняется равенство: F ' ( x ) = f ( x ) . Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число C , так как (F( x ) + C) ' = F' ( x ) + C ' = f ( x ) . Следовательно, для отыскания всех первообразных функций для функции f ( x ) достаточно найти какую-либо одну, все остальные получаются добавлением всевозможных констант. В силу этого выражение (F( x ) + C) , где C – произвольная константа, а F( x ) – какая-то первообразная для функции f ( x ) , представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f ( x ) . Это выражение называется неопределенным интегралом от функции f ( x ) и обозначается ∫ f ( x )dx . (Читается: «неопределенный интеграл от эф от икс по дэ икс»). Неопределенным интегралом функции f ( x ) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: ∫ f ( x)dx = F(x ) + C . (1.13) В этом случае f ( x ) – подынтегральная функция, f ( x )dx – подынтегральное выражение. Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Рассмотрим свойства неопределенного интеграла 1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т. е. (∫ f (x)dx )′ = (F(x) + C)′ = f (x). 2. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т. е. 45 ∫ kf (x )dx = k ∫ f (x )dx. 3. Неопределенный интеграл суммы (разности) нескольких функций, равен сумме (разности) интегралов слагаемых функций, т. е. ∫ (u ± v ± w )dx = ∫ udx ± ∫ vdx ± ∫ wdx; где u, v, w – некоторые функции от x . 4. Неопределенный интеграл от производной функции равен совокупности таких функций, т. е. ∫ f ' ( x )dx = f ( x ) + C . Нахождение значения неопределенного интеграла связано, главным образом, с нахождением первообразной функции. Для некоторых функций это достаточно сложная задача. Ниже будут рассмотрены способы нахождения неопределенных интегралов. Для удобства значения неопределенных интегралов большинство элементарных функций собраны в специальные таблицы интегралов, которые бывают иногда весьма объемными. В них включены различные наиболее часто встречающиеся комбинации функций. Но большинство представленных в этих таблицах формул являются следствиями друг друга, поэтому приведем таблицу основных интегралов, с помощью которой можно получить значения неопределенных интегралов различных функций. Эта таблица поможет вам в нахождении неопределенных и затем и определенных интегралов. Таблица 1.2 № Значение интеграла № Значение интеграла 1. ∫ 0dx = C 8. ∫ cos xdx = sin + C 2. ∫ dx = x + C 9. ∫ cos 3. 4. 5. n ∫ x dx = x n +1 + C; n ≠ −1 n +1 dx ∫ x = ln x + C ; x ≠ 0 x ∫ a dx = dx 10. 11. 12. ax + C; a > 0, a ≠ 1 ln a 2 x dx ∫ sin ∫a ∫ 2 2 x = tgx + C = −ctgx + C dx 1 x = arctg + C 2 a a +x dx a2 − x2 = arcsin −a < x < a. 46 x +C, a > 0, a № 6. 7. Значение интеграла ∫e x dx = e x + C № 13. ∫ sin xdx = − cos x + C 14 Значение интеграла ∫x 2 ∫ x −a dx 1 + C, a ≠ 0 = ln 2 2a x + a −a dx x +a a≠0 2 = ln x + x 2 + a + C , Рассмотрим пример вычисления интеграла вида ∫ (x 2 − 2 sin x + 1)dx = ∫ x 2 dx − ∫ 2 sin xdx + + ∫ dx = x3 + 2 cos x + x + C. 3 При его вычислении мы воспользовались свойствами 3 и 2 и табличными интегралами 3, 7, 2 из таблицы 1.2. Необходимо четко усвоить, что интегрирование – это действие обратное дифференцированию. А потому, если Вы знаете таблицу производных, т. е. таблицу 1.1, то всегда сможете проверить правильность своего решения. Взяв производную от результата интегрирования предыдущего примера, (т. е. от правой части), Вы получите подинтегральную функцию. ' Получаем   x3  + 2 cos x + x + C  = x 2 − 2 sin x + 1 ,   3 значит, интегрирование выполнено, верно. Глава 1.8. Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования: метод непосредственного интегрирования, интегрирование методом замены переменной (подстановки) и интегрирование по частям. А теперь более подробно остановимся на каждом из названных методов интегрирования. 1. Непосредственное интегрирование Интегрирование, основанное на применении свойств интеграла, называют непосредственным или интегрированием методом разложения. Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. 47 Таким образом, еще раз заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования. Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец, определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных. Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную, очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже. В качестве примера рассмотрим интеграл вида ∫ (23 x + 1) 2 3 x4 dx . Что сразу видим? Да, конечно же, то, что интеграл в таком виде не является табличным и его пока нельзя взять с помощью рассмотренных свойств. А как же быть? Да, видимо вы уже заметили, что в числителе дроби записана формула квадрата суммы двучлена, которую мы и 2 3 1 3 раскроем. Тогда получим, что (2 x + 1) = 4x + 4x + 1 . По отношению к знаменателю следует заметить, что его лучше представить в виде степени с дробным показателем, т. е в виде 3 2 4 3 x . Если подставим все преобразованные функции под знак интеграла, ∫ 2 3 то в результате получим интеграл в виде 1 3 4x + 4x + 1 dx . 4 x3 Проанализировав все, что мы уже знаем о неопределенном интеграле, мы увидим, что там ничего не говорится об интеграле частного. И, кроме того, этот интеграл не является табличным. Итак, мы не можем брать интеграл частного, произведения, а можем брать интеграл алгебраической суммы в соответствии со свойством 3. Значит, напрашивается вывод – от частного перейти к алгебраической сумме. В нашем случае этого можно достичь, 48 выполнив почленное деление, (каждое слагаемое числителя делится на знаменатель) и произведя действия с показателями степеней (при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются). В итоге получаем 2 1 1 2 dx 4x 3 4x 3 4 x 3 + 4x 3 + 1 dx = ∫ 4 dx + ∫ 4 dx + ∫ 4 = ∫ 4 x3 x3 x3 −2 3 −4 3 x3 1 3 = 4 ∫ x dx + 4 ∫ x −1dx + ∫ x dx = 12x + 4 ln x − 1 − 3x 3 + C. Для окончательного интегрирования мы воспользовались формулами 3 и 4 таблицы 1.2. Что еще следует заметить по поводу непосредственного интегрирования? Да, в этом примере метод интегрирования называют непосредственным, хотя пришли мы к нему через применение свойств и правил элементарной математики. На следующем примере снова покажем работу этого метода. Найти интеграл x 2 dx ∫ x2 + 3 . Интеграл не является табличным и пока невозможно выполнить почленное деление, нет алгебраической суммы в числителе. Но по свойствам дробей мы можем к числителю дроби прибавить и вычесть из числителя число три, а потом выполнить почленное деление. Получим: x 2 dx ( x 2 + 3 − 3)dx ( x 2 + 3)dx 3dx = = ∫ x2 + 3 ∫ x2 + 3 ∫ x2 + 3 − ∫ x2 + 3 = dx = ∫ dx − 3∫ 2 . x +3 В результате свели вычисление к определению двух интегралов. Первый является табличным по формуле 2 из таблицы 1.2, а второй интеграл может быть сведен к табличному интегралу 11, если представить 3 = ( 3 ) 2 . В результате получаем 49 x 2 dx ( x 2 + 3 − 3)dx ( x 2 + 3)dx = = ∫ x2 + 3 ∫ x2 + 3 ∫ x2 + 3 − 3 x dx 3dx −∫ 2 = ∫ dx − 3∫ 2 =x− arctg + x +3 x +3 3 3 x + C = x − 3arctg + C. 3 Рассмотрим следующий метод интегрирования. 2. Способ подстановки (замены переменных) В основе метода подстановки (или метода замены переменной) нахождения неопределенных интегралов лежит следующая формула, являющаяся простым следствием правила дифференцирования сложной функции ∫ f (g(x ))g (x )dx = F(g( x )) + C , ' Найдем неопределенный интеграл вида ∫ sin x cos xdx . И снова подынтегральная функция представляет собой произведение, а, значит, непосредственно брать интеграл нельзя. Сделаем замену, обозначив sin x = t , затем, продифференцировав обе части этого равенства, получим cos xdx = dt . Возвратившись к исходному интегралу, записали его в новых переменных, полученный интеграл оказался табличным, и взяли его с помощью формулы (8) таблицы 1.2. Но затем в ответе снова перешли к прежней переменной, возвратившись к подстановке. Все наши рассуждения мы оформили в решении с использованием вертикальных скобок, кстати, можно брать фигурные скобки, т. е., это право автора. ∫ sin x cos xdx = sin x = t; cos xdx = dt = = ∫ t 1 / 2 dt = 2 2 3/ 2 t + C = sin 3 / 2 x + C. 3 3 Или следующий пример: Найти интеграл Сделаем замену t = x 2 + 1; dt = 2xdx; dx = Получаем: 50 dt . 2x ∫ ( x 2 + 1) 3 xdx . 1 2 dt 1 3 / 2 = ∫ t dt = ⋅ t 5 / 2 + C = 2 5 2 2 5/ 2 2 5/ 2 ( x + 1) t = +C= + C; 5 5 ∫t 3/ 2 Следует обратить внимание, что мы выражаем из результата дифференцирования подстановки имеющееся в условии интеграла выражение dx , а в других случаях это будет некоторое другое выражение. Сформулируем общее правило метода подстановки, которое вытекает из практического опыта. 1. Вводят подходящую подстановку (это означает, что нужно устно «прикинуть», что даст результат ее дифференцирования). 2. Дифференцируют обе части подстановки. 3. Выражают из результата дифференцирования имеющееся подынтегральное выражение в условии интеграла. 4. Получив интеграл в новых переменных, находят его с помощью формул таблицы 1.2. 5. Затем, возвратившись к подстановке, записывают ответ в исходных переменных. Кроме рассмотренных двух методов, широко используется в интегральных исчислениях и метод интегрирования по частям, о котором мы будем сейчас вести речь. 3. Интегрирование по частям Этот способ основан на известной формуле производной произведения: (uv) ' = u ' v + uv ' , где u, v – некоторые функции от x . В дифференциальной форме это правило выглядит так d(uv) = vdu + udv . Поэтому udv = d(uv) − vdu . Интегрируя обе части этого равенства, получим ∫ udv = ∫ d(uv) − ∫ vdu. Используя свойство неопределенных интегралов ∫ d(uv) = uv + C , получим формулу ∫ udv = uv − ∫ vdu . (1.14) Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. 51 Рассмотрим метод интегрирования по частям на примере: u = x 2 ; dv = sin xdx;  2 = x sin xdx  = ∫ du = 2xdx; v = − cos x  = − x 2 cos x + ∫ cos x ⋅ 2xdx = u = x; dv = cos xdx; 2 =  = − x cos x + du = dx; v = sin x  [ ] + 2 x sin x − ∫ sin xdx = − x 2 cos x + 2x sin x + + 2 cos x + C. Как видно, мы дважды применили интегрирование по частям. В начале для условия, а затем для получившегося после первого интегрирования интеграла вида ∫ cos x ⋅ 2xdx . Он представляет собой произведение функций, и найти его другими методами невозможно. После применения интегрирования по частям пришли к табличному интегралу (7) из таблицы 1.2. Естественно, возникает вопрос: «Что обозначать за u , что за dv ?» Ответ на который такой: – «То, что позволит вам найти производную, т. е. du и интеграл от dv , т. е. значение v ». Важно, чтобы этот метод не привел к еще большему усложнению интеграла. Рассмотрим следующий интеграл, в котором необходимо применить интегрирование по частям: ∫ e 2 x cos xdx . u = e 2 x ; du = 2e 2 x dx;  2x = e cos xdx  = ∫ dv = cos xdx; v = sin x  = e 2 x sin x − ∫ sin x ⋅ 2e 2 x dx = u = e 2 x ; du = 2e 2 x dx;  2x =  = e sin x − dv = sin xdx; v = − cos x; − 2 ⋅ (−e 2 x cos x − ∫ − cos⋅ 2e 2 x dx ) = = e 2 x sin x + 2e 2 x cos x − 4∫ cos xe 2 x dx. Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства и получим: 5∫ e 2 x cos xdx = e 2 x (sin x + 2 cos x ) , тогда 52 e 2x ∫ e cos xdx = 5 (sin x + 2 cos x ) + C. 2x Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов, т. е. применение интегрирования по частям позволило интеграл выразить через себя. Из рассмотренных примеров очевидно ясно, что интегрирование – задача более сложная по сравнению с дифференцированием. Ее решение можно облегчить, применяя различные математические справочники и компьютерные программы, например, MATHCAD. В эту программу встроен символьный процессор, который позволяет находить производные и первообразные функций. Задача нахождения первообразной функции – это вторая знаменитая математическая проблема, которая оказалась неразрешимой принципиально (первой была задача решения алгебраических уравнений в радикалах). Оказалось, что очень многие элементарные функции не интегрируемы, т. е. первообразные таких функций не являются элементарными функциями. Это касается функций e − x , 2 1 sin x . , 1+ x3 , ln x x Про интегралы, составленные из этих функций, говорят, что они являются не берущимися. Хотя первообразные этих функций существуют на любом промежутке, где функция непрерывна. Итак, небольшой итог этой главы. Вы узнали о трех методах интегрирования – непосредственном, подстановкой и по частям. Каким методом необходимо пользоваться в каждой конкретной ситуации, подсказывает в первую очередь знание свойств неопределенного интеграла, затем таблица интегрирования и, конечно же, знание правил дифференцирования, т. к. они позволяют проверить верность выполнения интегрирования. В следующей главе рассмотрим определенный интеграл. Глава 1.9. Определенный интеграл и его свойства Рассмотрим ситуацию. По дороге движется автомобиль. Стрелка спидометра замерла на отметке 100 км/ч, а счетчик пройденного расстояния заклеен непрозрачной бумагой. Можно ли сказать хоть что-нибудь о показаниях счетчика? Конечно. 53 Ясно, например, что в любой момент он показывает ровно на 100 км большее расстояние, чем час назад. Построим график зависимости скорости от времени V( t ) = V( t 0 ) = const , рис. 1.25. Рисунок 1.25 Если S( t ) – путь, пройденный автомобилем, начиная с какого–то момента времени t 0 , то расстояние, которое он пройдет за промежуток времени от t н до t к , равно S(t к ) − S( t н ) = V0 ( t к - t н ) . Если снова вернуться к рисунку 1.23, то эта величина окажется равной площади прямоугольника, ограниченного снизу осью абсцисс, сверху – графиком функции V( t ) = V( t 0 ) , а слева и справа – вертикальными прямыми t = t н и t = t к , рис. 1.26. Рисунок 1.26 А как быть, если скорость непостоянна? Выделим в интервале времени от t н до t к какой-нибудь промежуток ∆t , настолько малый, что скорость автомобиля не успеет скольнибудь измениться в течение этого ∆t . Средняя скорость на промежутке ∆t незначительно отличается от мгновенной скорости в любой момент времени t из данного промежутка. А потому расстояние, пройденное автомобилем за время ∆t , примерно равно v( t ) ⋅ ∆t . Теперь, если разбить отрезок времени от t н до t к на много маленьких промежутков продолжительностью ∆t , а затем сложить найденные для них расстояния ∆S = V( t ) ⋅ ∆t , то можно с хорошей точностью вычислить S( t к ) - S(t н ) . При этом, чем уже промежуток ∆t (т. е. чем на большее число промежутков разбит отрезок [t н , t к ] ), тем ближе к 54 действительному значению S( t к ) - S(t н ) будет найдена сумма. На рис. 1.27 ей соответствует площадь ступенчатой фигуры. При стремлении ∆t к нулю фигура стремится к криволинейной трапеции под графиком функции, а ее площадь – к площади трапеции. Эта величина называется определенным интегралом функции V( t ) на отрезке [t н , t к ] и обозначается tк ∫ V(t)dt . Запись tн читается: «Интеграл от t н до t к от V от t по dt »). Рисунок 1.27 Итак, в рассуждениях мы встретились с понятием криволинейной трапеции. Что это за фигура? Пусть на отрезке [a; b] задана непрерывная функция y = f ( x ) , ограниченная параллельными прямыми x = a и x = b и отрезком оси абсцисс. Тогда фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f ( x ) , отрезком оси абсцисс, параллельными прямыми x=a и x=b называется криволинейной трапецией. Криволинейной, т. к. ее ограничивает кривая y = f ( x ) . Если представить наши рассуждения на координатной плоскости, то это будет выглядеть так, как на рис. 1.28. Рисунок 1.28 Если перенести рассуждения, связанные с движением автомобиля на другую функцию, например, y = f ( x ) , заданную на отрезке [a; b] , то получим, что площадь криволинейной трапеции равна сумме площадей элементарных криволинейных трапеций, 55 на которые разбивается вся область интегрирования, т.е. отрезок [a; b] . b n ∫ f (x )dx = lim∑ Si , (1.15) λ →0 a i =1 где λ - длина отрезка разбиения по оси абсцисс, числа a и b - соответственно нижний и верхний пределы интегрирования, x - переменная интегрирования, Si - площадь элементарной трапеции. Значит, можно сказать, что определенный интеграл – это конечный предел интегральных сумм, т. е. тех элементарных криволинейных трапеций, на которые разбивается вся область интегрирования. Рассмотрим свойства определенного интеграла 1. Постоянный множитель можно выносить за знак b b a a определенного интеграла, т. е. ∫ cf ( x )dx = c∫ f (x )dx . 2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов слагаемых функций, т. е. b ∫ (f ( x ) ± f 1 2 b b a a ( x ))dx = ∫ f 1 ( x )dx ± ∫ f 2 ( x )dx . a 3. Определенный интеграл от функции, заданной в точке, равен a нулю, т. е. ∫ f ( x )dx = 0. a b b a a 4. Если f ( x ) p ϕ( x ) на отрезке [a; b] и a p b , то ∫ f ( x )dx ≤ ∫ ϕ( x )dx. 5. Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f ( x ) на отрезке [a; b] ,то: b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M(b − a ). a 6. Для произвольных чисел a, b, c справедливо равенство: b c b a a c ∫ f (x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx. 56 7. Разумеется, это равенство выполняется, если существует каждый из входящих в него интегралов. Если поменять местами пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный, т. е. b a a b ∫ f (x )dx = −∫ f ( x)dx. Теорема о среднем. Если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a; b] , то на этом отрезке существует точка c такая, что b ∫ f ( x )dx = (b − a )f (c) a Существует теорема, которая утверждает, что если функция f ( x ) непрерывна на отрезке [a; b] , а функция F( x ) является первообразной для функции f ( x ) на этом отрезке, то справедлива формула b ∫ f ( x)dx = ∆F( x) b a = F(b) − F(a ) . (1.16) a Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница. Необходимо подчеркнуть, что в формуле (1.16) в качестве F( x ) может быть любая первообразная функции f ( x ) из семейства F( x ) + C . Общий метод дифференцирования и интегрирования, построенный с полным пониманием того, что один процесс является обратным по отношению к другому, мог быть открыт только такими людьми, которые овладели как геометрическим методом греков, так и алгебраическим методом Декарта. Такие люди могли появиться лишь после 1660 г., и они действительно появились в лице Ньютона и Лейбница. Итак, формула (1.16), с одной стороны, устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами, с другой стороны, дает простой метод вычисления определенного интеграла: определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования. 57 Эта формула открывает широкие возможности для вычисления определенных интегралов, так как задача вычисления определенного интеграла сводится к задаче вычисления неопределенного интеграла, которая достаточно полно рассмотрена в предыдущей главе. Глава 1.10. Методы вычислений определенных интегралов Что касается методов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов, которые были рассмотрены выше при нахождении неопределенных интегралов. Точно так же применяются методы непосредственного интегрирования, метод подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подынтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования. Пусть необходимо вычислить интеграл 8 ∫ 3 x dx . 4 3 3 x . Так как речь идет об определенном интеграле, то 4 найдем приращение первообразной функции на промежутке [0;8]. В результате получим 8 ∫ 8 3 1 3 4 3 x dx = ∫ x dx = x 3 4 3 3 3 3 ⋅ 16 = (8 3 − 0) = (2 3 ) 3 = ⋅ 2 4 = = 12. 4 4 4 4 4 8 4 При вычислении, например, интеграла вида: 3 dx ∫ 1+ x 2 мы снова должны найти первообразную для функции 1 . 1+ x2 Обращаясь к таблице 1.2, находим, что это будет arctgx . Далее находим приращение первообразной функции по формуле Ньютона - Лейбница. Для нахождения арктангенса числа необходимо вспомнить его определение, т. е. арктангенс числа равен такому углу, 58 тангенс которого, равен этому числу, причем угол должен находиться в интервале ( −π π ; ). 2 2 Оформив наши рассуждения математически, получаем 3 dx ∫1+ x 2 = arctgx 3 = arctg 3 − arctg0 = = π π −0 = 3 3 На этих примерах мы рассмотрели, как реализуется непосредственное интегрирование для определенных интегралов. Метод подстановки рассмотрим на примере вычисления интеграла вида π 2 ∫e cos x sin xdx . В нашем случае интеграл не является табличным, значит нельзя взять непосредственным методом. Кроме того, функция представляет собой произведение двух множителей, поэтому пытаемся взять его подстановкой. В главе 1.8 мы говорили об этом методе применительно к неопределенному интегралу. В нашем случае до определенного момента мы будем рассуждать, как и для неопределенного интеграла. Введем подстановку cos x = t , продифференцировав которую, получим (− sin x )dx = dt или sin xdx = −dt . Далее подставим в подстановку значения нижнего и верхнего пределов интегрирования, чтобы определить новые пределы интегрирования в новой переменной t. В результате получим, что t н = cos 0 = 1 и аналогично для верхнего π 2 предела интегрирования t в = cos = 0 t Получили ∫ e ⋅ (−dt ) = −e 10 = e − 1 . t 1 Обращаем ваше внимание на тот факт, что результатом нахождения неопределенных интегралов является совокупность первообразных функций, а результатом нахождения определенных интегралов является число. Интегрирование по частям мы выполняли в главе 1.8 для неопределенного интеграла. Рассмотрим, в чем особенности этого метода для определенных интегралов. 59 Рассмотрим интеграл π 2 вида ∫x 2 Пусть ⋅ cos xdx . u = x 2 ; dv = cos xdx; du = ( x 2 ) ' dx = 2xdx; тогда v = ∫ cos xdx = sin x . Применяя формулу (1.14), получим π 2 ∫x 2 ⋅ cos xdx = x 2 sin x π 2 π 2 − ∫ 2x sin xdx = π 2 π 2   π 2 π2 π − 2∫ x sin xdx. =    ⋅ sin − 0  − 2∫ x sin xdx =   2  2 4   π 2 Для вычисления последнего интеграла ∫ x sin xdx снова применяем формулу (1.14) интегрирования по частям. Тогда u = x; dv = sin xdx; du = dx; v = ∫ sin xdx = − cos x и получим, применив формулу (1.14), следующее выражение π 2 ∫ x sin xdx = x(− cos x ) π 2 π 2 − ∫ (− cos x )dx = 0 + sin x π 2 = 1. Подставим найденное значение интеграла в выражение π 2 2 ∫ x ⋅ cos xdx = π 2 π π2 π2 − 2∫ x sin xdx = − 2 ⋅1 = − 2. 4 4 4 2 1 −x Вычислим ∫ xe dx . Для вычисления снова воспользуемся методом −x интегрирования по частям. Положим u = x, dv = e dx , откуда −x v = ∫ e dx = −e − x ; du = dx . Тогда 1 ∫ xe −x dx = − xe −x 1 1 + ∫ e − x dx = −e −1 − e − x 60 1 = −2e −1 + 1 = e−2 . e Приближенное вычисление интегралов Как было сказано выше, существует огромное количество функций, интеграл от которых не может быть выражен через элементарные функции. Для нахождения интегралов от подобных функций применяются разнообразные приближенные методы, суть которых заключается в том, что подынтегральная функция заменяется «близкой» к ней функцией, интеграл от которой выражается через элементарные функции. Пусть функция f ( x ) задана на некотором отрезке [a;b] (возможно и такое, что интеграл от этой функции никаким аналитическим методом взять не удается). Область интегрирования разбивают на некоторое число шагов n , с длиной каждого шага, определяемого формулой ∆x = b−a . n Через получившиеся точки деления проводят прямые, параллельные оси Ох. В результате в криволинейную трапецию будет вписана последовательность прямоугольников, рис. 1.29. Рисунок 1.29 При этом высота каждого получающегося прямоугольника – это значение функции в соответствующей точке, т. е.: y 0 = f ( x 0 ); y1 = f ( x 1 ),...y n = f ( x n ) . А площадь каждого прямоугольника будет определяться произведением основания на высоту, но все основания прямоугольников одинаковы и равны шагу разбиения ∆x . Просуммировав площади получившихся прямоугольников, получим, что площадь криволинейной трапеции приблизительно будет равна сумме площадей прямоугольников. b ∫ f (x )dx ≈ a b−a ( y 0 + y1 + ... + y n −1 ) (1.17) n 61 Эту формулу называют формулой левых (вписанных) прямоугольников. Если же начинать проводить прямые, параллельные оси Ох, начиная с крайней правой точки, и вести рассуждения аналогично предыдущему, то получим формулу правых (описанных прямоугольников). b ∫ f ( x )dx ≈ a b−a ( y1 + y 2 + ... + y n ) . (1.18) n Более точный результат при приближенном вычислении интеграла можно получить, если в предыдущих рассуждениях прямоугольника заменить трапециями. Посмотрите внимательно на рис. 1.29 и замените каждый из прямоугольников трапецией, с основаниями – отрезками прямых, параллельных оси Оу, а высотой, равной шагу разбиения. Очевидно, что чем больше взять n – число точек разбиения интервала, тем с большей точностью будет вычислен интеграл. После несложных преобразований формула трапеций будет иметь вид: b ∫ f ( x)dx ≈ a b − a  y0 + yn  + y1 + y 2 + ... + y n −1  .(1.19)  n  2  Кроме рассмотренных формул приближенного вычисления определенных интегралов, используют также и формулу парабол, которая дает еще более точный результат, чем формулы прямоугольников и трапеций. Если в первых двух случаях мы элементарную криволинейную трапецию заменяли прямоугольником или прямоугольной трапецией, то в этом случае площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f ( x ) , заменяется на площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой. Парабола имеет ось симметрии, параллельную оси Оу, и проходит через точки кривой, со значениями, например, f ( x 0 ); f ( x 1 ); f ( x 2 ) . При этом следует отметить, что область интегрирования отрезок [a; b] делится на четное число отрезков, равное 2m , см. рис. 1.30. 62 Рисунок 1.30 Так как площадь всей фигуры равна сумме площадей элементарных криволинейных трапеций, ограниченных параболами, то, не выполняя подробных выкладок, запишем формулу парабол b ∫ f ( x )dx ≈ a b−a [y 0 + y 2 m + 2( y 2 + y 4 + ... + y 2 m − 2 ) + 4( y 1 + y 3 + ... + y 2 m −1 )] 6m (1.20) Эта формула получена английским математиком Томасом Симпсоном (1710-1761) гг., потому ее еще называют формулой Симпсона. В качестве примера вычислим с помощью формулы 8 Симпсона интеграл ∫ x 3 + 16dx пользуясь возможностями −2 электронных таблиц Excel. Разобьем отрезок интегрирования на 10 частей, т.е. 2m = 10 , Введем в ячейки А3 и А4 символы x i и y i . В ячейки В3 и С3 введем значения (-2) и (-1) соответственно. Далее протаскиванием заполним значения по этой строке до 8. В ячейке В4 пропишем формулу, вычисляющую подитегральную функцию в точке x = −2 , см. рис. 1.31. Рисунок 1.31 Вычислив это значение, выполним копирование формулы для всех оставшихся значений x i . Далее выполним округление получившихся значений функции до разряда тысячных, рис. 1.32. Это можно сделать вначале для одной ячейки В4 с помощью - уменьшения разрядности на панели инструментов, а кнопки 63 затем протаскиванием скопировать эту процедуру на все оставшиеся значения функции, рис. 1.33. Можно добавить в эту таблицу еще одну строку, в которую внести округленные значения функции, выполнив процедуру округления с помощью Мастера функций ОКРУГЛ категории Математические, рис. 1.33. Рисунок 1.32 Рисунок 1.33 Теперь в ячейке В5 пропишем формулу Симпсона, которая вставлена для удобства на лист Excel. Будьте внимательны со скобками, мы ранее уже говорили, что количество открывающихся и закрывающихся скобок должно совпадать. Подтвердив ввод формулы нажатием клавиши Return, получаем в ячейке В5 результат 91,152 , рис. 1.34. 64 Рисунок 1.34 Проделайте вычисления этого же интеграла, но с помощью формулы трапеций, (1.19). Число разбиений также равно 10. Округлите результат до разряда тысячных. Если ваш результат равен 91,353 , то Вы с задачей успешно справились. Точное значение этого интеграла по методу подстановки будет равно 91,173 . Таким образом, вы имели возможность убедиться в преимуществе формулы Симпсона по сравнению с другими приближенными методами вычисления определенных интегралов. Глава 1.11. Приложения определенных интегралов В главе 1.9 мы вывели геометрический смысл определенного интеграла, который заключается в том, что определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена графиком неотрицательной и непрерывной функции y = f ( x ) , определенной на отрезке [a; b] отрезком оси абсцисс и двумя параллельными прямыми x = a; x = b . Если же график функции расположен ниже оси абсцисс, т. е. функция неположительна (рис. 1.35), то площадь фигуры над кривой y = f ( x ) будет равна определенному интегралу на этом отрезке, но взятому со знаком минус, т. е. b S = − ∫ f ( x )dx . (1.21) a 65 Рисунок 1.35 Если фигура ограничена двумя кривыми, одна из которых лежит выше другой и отрезками параллельных прямых x = a; x = b , то ее площадь будет равна определенному интегралу на области [a; b] , подынтегральная функция которого есть разность функций выше и ниже лежащих, т. е. b S = ∫ (f 2 ( x ) − f1 ( x ) ) dx . (1.22) a С помощью определенного интеграла можно вычислять длину дуги L плоской кривой y = f ( x ) , заключенной между точками с абсциссами x = a; x = b , т. е. ( b ) 2 L = ∫ 1 + f ' ( x ) dx . (1.23) a Определенный интеграл позволяет вычислять площадь поверхности вращения , т. е. площадь той поверхности, которая образована вращением вокруг оси Ох кривой y = f ( x ) , заключенной между точками с абсциссами x = a; x = b . ( b ) 2 S x = 2π∫ f ( x ) ⋅ 1 + f ' ( x ) dx . (1.24) a Если функция знакопостоянна (рис. 1.36) на отрезке [a; b] , то объем тела вращения вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями y = y( x ); x = a; x = b; y = 0 вычисляется по формуле 1.25. b Vx = π∫ y 2 ( x )dx . (1.25) a 66 Рисунок 1.36 Вычислим длину дуги полукубической параболы y 2 = x 3 от 4 8 3 . начала координат до точки с координатами  ;  3 9  Для этого воспользуемся формулой (1.23). Но прежде найдем функцию (извлечем квадратный корень из функции, заданной в условии) производную полученной функции: 3 2 y= x =x . 3 Найдем '  32  3 12 f ( x ) =  x  = x .   2 ' Далее в соответствии с формулой (1.23) получим 4 3 ( L = ∫ 1 + (x 2 ) = 4 3 ) dx = ∫ ' 2 9 4 1 + x = t; dx = dt 3 4 9 4 4 2 4 9 1 + x dx = t dt = ⋅ t 2 =∫ 9 4 9 9 3 dx = dt; t н = 1; t в = 4 1 4 4 1 = 3 3  8 8  2 2  4 1 = (8 − 1) = 56 (ед.). −   27  27  27 Если Вы внимательно следили за нашими рассуждениями, то заметили, что для вычисления этого определенного интеграла мы применили метод подстановки, рассмотренный нами в главе 1.10. Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиками 1 x функций y = x 2 ; y = ; x = 3; y = 0 . Представив схематично графики этих функций на координатной плоскости (рис. 1.37), видим, что искомая площадь – это площадь под кривой OAB на отрезке [0;3]. Линия OAB состоит из части OA параболы y = x 2 и части AB гиперболы y= 1 . x 67 Значит, площадь всей фигуры будет равна сумме этих площадей, каждую из которых найдем, пользуясь геометрическим смыслом определенного интеграла. Но в нашем случае неизвестна абсцисса точки A . y = x 2 , Ее можно определить, решив систему уравнений  1 y = x.  1 Решая эту систему, получаем, что x 2 = ; x 3 = 1; x ≠ 0 , тогда x y = 1. Рисунок 1.37 Значит, искомая площадь будет равна: 1 3 1 x3 S = ∫ x 2 dx + ∫ dx = x 3 1 1 + ln x 3 1 1 1 = + ln 3 − ln1 = + ln 3. 3 3 Для численного определения площади воспользуемся программным продуктом MS Excel. Для этого введем в ячейку В3, формулу, как показано на рис. 1.38. Рисунок 1.38 Завершая ввод формулы нажатием клавиши Enter (Return), получаем результат. Округлив его до разряда сотых, получим S ≈ 1,43 . Завершим рассмотрение этого раздела небольшим историческим материалом, связанным с величайшим 68 математиком XVIII в. Леонардом Эйлером. Мы уже упоминали о нем в главах 1.1 первой лекции и 1.2 этой лекции. Поговорим о нем не только потому, что вклад его в развитие математического анализа огромен, а в большей степени потому, что с его именем связано развитие математики в России. Глава 1.12. Леонард Эйлер и развитие математики в России Леонард Эйлер родился в 1707 г. в швейцарском городке Базеле в семье пастора, имеющего некоторые познания в математике, приобретенные под руководством Якоба Бернулли. Отец планировал сыну духовную карьеру, но сам, интересуясь математикой, преподавал ее и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения молодой Эйлер был отправлен отцом в Базель для изучения философии. Обладая отличной памятью, Эйлер скоро и легко усвоил этот предмет и нашел время поближе ознакомиться с тем, к чему его влекло призвание, то есть с геометрией и математическими предметами. Профессор Иоанн Бернулли очень скоро обратил внимание на талантливого Эйлера. Он предложил молодому человеку заниматься с ним дополнительно. Успехи в обучении позволили Эйлеру уже в 1723 г. получить степень магистра (Эйлеру исполнилось только 16 лет, а в наше время степень магистра получают, как правило, в возрасте 23 лет). По желанию своего отца Эйлер приступил к изучению восточных языков и богословия. Способности его преодолели и эти предметы, но математические науки все более его увлекали. Частые беседы с Иоанном Бернулли о математических вопросах в кругу семейства профессора дали Эйлеру случай познакомиться с двумя сыновьями Иоанна – Николаем и Даниилом. Общее влечение к математике соединило их с Эйлером дружбой, и дружба эта повела Эйлера по новому пути. В 1725 г. Николай и Даниил Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I (таково было желание Петра Великого). Уезжая, молодые Бернулли обещали Эйлеру сообщить ему, если найдется и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера 69 найдется место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Эйлер немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Он совмещает изучение медицины с математикой и вскоре написал напечатанную потом в 1727 г. в Базеле диссертацию о распространении звука и исследование по вопросу о размещении мачт на корабле. Ту же работу он защищал для получения профессуры по кафедре физики в Базельском университете. Вскоре Эйлер отправился в Петербург, где, по рекомендации братьев Бернулли, был назначен адъюнктом академии по математике. Он много и прилежно стал работать, представляя академии исследования по разным вопросам прикладной математики. Почти в день приезда Эйлера скончалась покровительница академии императрица Екатерина I, и событие это печально отозвалось на судьбе академии. Новые порядки и новое управление привело к тому, что многие иностранные профессора и академики покинули академию и Эйлер получил оставшееся вакантным место профессора физики. Позднее он занял место академика. Обладая громадным талантом, Эйлер вместе с тем обладал необыкновенным трудолюбием. Так, в 1735 г. потребовалось в академии выполнить одну весьма сложную работу. По мнению академиков, для ее выполнения потребуется несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервной горячкой с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Именно в период его деятельности в России им написано много работ по механике, о приливах и отливах морей. В 1740 г. Эйлер получил приглашение от Фридриха Великого переехать в Берлин, где он организовал ученое общество. В этот период он пишет работы о способах интегрирования, вводит способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами. Решает задачи об определении замкнутой кривой, которая при данном периметре ограничивает наименьшую площадь. Т. е. то, что мы рассматривали в предыдущих главах – это заслуга его научного поиска. Кроме того, Эйлер получает формулы баллистики шарового снаряда, пишет полное и систематическое сочинение по навигации, заключающее в себе теорию равновесия и устойчивости судов, 70 рассмотрение вопросов о качке на зыби, о форме судов и кораблестроении, о движении судов силой ветра и управлении судном. Биографы Эйлера утверждают, что он очень желал вернуться в Россию. В 1766 г. он получил через посла в Берлине, князя Долгорукова, приглашение императрицы Екатерины II вернуться в Академию наук на всяких условиях, каких бы Эйлер ни пожелал. Несмотря на уговоры остаться, делавшиеся со стороны особ королевского дома, он принял приглашение и в июне месяце прибыл в Петербург. Только что он поселился в доме, купленном для него на счет императрицы, как подвергся тяжкой болезни, после которой потерял зрение левого глаза вследствие образования катаракты. Но именно в эти годы по иронии судьбы издает он три тома «Оптики»: слепой проводит блестящий математический анализ световых явлений. Он исследует движения Венеры и Луны, пишет трактат по теории музыки, разбирает вопросы колебаний струн и движения жидкостей, – как и прежде, его интересует все на свете, поскольку все на свете нуждается в математическом отражении. Он побеждал окружающий его мрак своей феноменальной памятью и воображением, диктовал письма, спорил с учениками, балагурил с внучатами, принимал гостей и сановных визитеров. Благодаря услугам окружающих его лиц и сыновей, Эйлер, несмотря на потерю зрения, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, диктовал свои дальнейшие мемуары и издавал отдельные свои книги. С 1769 по 1783 гг. Эйлер написал около 380 статей и сочинений. Неутомимость и настойчивость в научных исследованиях Эйлера были столь сильны, что в 1773 году, когда сгорел его дом, и погибло почти все имущество его семейства, он и после этого несчастья продолжал диктовать свои исследования. Вскоре после пожара искусный окулист, барон Вентцель, произвел операцию снятия катаракты, но не соблюдение режима чтения привело Эйлера к окончательной слепоте. Когда он диктовал свою последнюю работу, он не знал, что она относится к области аэродинамики – тогда еще не существовало такого слова. Просто уж слишком много говорили 71 вокруг об этих аэростатах. Слепой из XVIII века заглядывал в век XX. 7 сентября 1783 года пил чай, играл с внуком, но вдруг выронил трубку и только успел крикнуть: «Умираю!» Кондорсэ, историк науки, сказал потом крылатую фразу: «Эйлер перестал жить и вычислять». Если вам удастся побывать на Смоленском кладбище в Петербурге, посетите могилу Эйлера. Три сына его и их дети остались в России. За свою жизнь (более 30 лет прожил в Петербурге) Эйлер написал 756 научных статей и сочинений, к сожалению, не все из них и до настоящего времени изданы. России он подарил самые значительные свои труды. Лагранжем по этому поводу было написано: «Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера». Леонард Эйлер – швейцарец, но мы считаем его русским ученым, как Росси для нас истинно русский зодчий, а Петипа – великий русский балетмейстер. Благодаря Эйлеру в России так успешно стала развиваться математика в конце XVIII века. Глава 1.13. Первая в мире женщина – профессор Продолжая разговор о математиках, внесших большой вклад в развитие математического анализа, нельзя не сказать о русском математике, первой в мире женщине – профессоре и член-корреспонденте Петербургской академии наук Софье Васильевне Ковалевской (1850–1891 гг.). Отец Софьи Ковалевской – Василий Васильевич КорвинКруковский был генерал-лейтенантом артиллерии; мать – Елизавета Федоровна – внучка известного астронома академика Ф.Ф.Шуберта. Детство свое Софья Ковалевская провела в селе Палибино Витебской губернии, в имении своего отца. Первым ее учителем по высшей математике была самая обыкновенная стена детской комнаты, оклеенная пожелтевшими листами курса высшей математики М.В.Остроградского, по которому когда-то учился сам отец. Софья подолгу стояла у этой загадочной стены, стараясь разобрать символы высшей математики, неведомый ей язык дифференциального и интегрального исчисления. Она посвоему раскрывала их содержание и запоминала на долгие годы. Для понимания некоторых формул понадобилась тригонометрия, 72 которую она самостоятельно изучала по учебнику физики Н.П. Тыртова, подаренному отцу самим автором. Отец заметил тягу дочери к математике, и вскоре Софья стала брать уроки у известного педагога А.Н. Страннолюбского, где она очень успешно занималась. В дореволюционной России доступ женщинам в высшие учебные заведения был запрещен, и Софья Ковалевская не могла поступить в университет. Поэтому она вынуждена была уехать за границу, но женщин в университеты не принимали и там. Сколько пришлось пережить и выстрадать, чтобы достигнуть цели! Чтобы получить паспорт замужней женщины, который нужен был для выезда за границу, она вступила в фиктивный брак с В.О. Ковалевским. Приехав в Берлин, Софья Ковалевская спешит послушать лекции всемирно известного математика, профессора Берлинского университета Карла Вейерштрасса, который внес большой вклад в развитие математического анализа. Но Ученый совет Берлинского университета не допускал женщин в свои стены, он не сделал исключения и для Ковалевской. Тогда Софья решилась обратиться лично к Вейерштрассу. Вейерштрасс принял Софью Ковалевскую весьма холодно и, чтобы скорей отвязаться от назойливой посетительницы, дал ей несколько трудных задач, надеясь, что она не справится с заданием. Однако Софья справилась с задачами, и после этого Вейерштрасс согласился заниматься с ней частным образом. Вскоре Софья стала его любимой ученицей. Годы упорного труда закончились для Ковалевской тремя самостоятельными научными исследованиями, за которые ей была присуждена степень доктора. За границей она прославила себя рядом выдающихся открытий и в области математики стала знаменитостью. Страстное ее желание вернуться на родину и работать на пользу русской науки не было поддержано царским правительством. Ей дали понять, что в женщинах-профессорах царская Россия не нуждается. Потеряв всякую надежду получить кафедру на родине, Ковалевская в 1883 году по предложению видного шведского 73 ученого-математика профессора Миттаг-Леффлера заняла должность приват-доцента в Стокгольмском университете. В Швеции Софья Ковалевская не только читает лекции, но и ведет научную работу. С. Ковалевская завершает научную работу «Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки», решая тем самым проблему, над которой ученые бились безуспешно в течение многих лет. По результатам этой работы ей присуждается премия Шведской академии наук. Но заслуги Ковалевской в математике не интересовали царское правительство и только в 1889 году П.Л. Чебышев совместно с другими российскими академиками добился избрания Ковалевской членом-корреспондентом Российской академии наук. В 1891 году на 42-м году жизни в расцвете своих творческих сил Софья Ковалевская скончалась от воспаления легких. Работы Ковалевской внесли огромный вклад не только в математический анализ, но и в теорию дифференциальных уравнений, теорию алгебраических функций, теоретическую и небесную механику. Завершением рассмотрения этого важного раздела курса математики будет выполнение вами самостоятельной работы №3 и заданий 16 – 32 домашней контрольной работы. Конец третьей лекции Все замечания и предложения отсылайте по адресу: [email protected]. 74