Математическое обеспечение финансовых решений. Модели рынка ценных бумаг. Параметрическая модель рынка

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЕШЕНИЙ проф. Золотова Татьяна Валерьяновна tzolotova@fa.ru Литература 1) Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений: учебное пособие. Ч. 1. – М.: Финансовый университет, 2012. 2) Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений: учебное пособие. Ч. 2. – М.: Финансовый университет, 2013. 3) Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений: учебное пособие. Ч. 3. – М.: Финансовый университет, 2014. 4) Аль-Натор М.С., Касимов Ю.Ф., Колесников А.Н. Основы финансовых вычислений: учебное пособие. Ч. 4. – М.: Финансовый университет, 2014. 5) Лахметкина Н.И., Петропавловский С.В., Попов В.Ю., Шаповал А.Б. Количественные методы инвестиционного анализа: учебное пособие. – М.: Финансовый университет, 2012. 168 с. Тема: Модели рынка ценных бумаг Вероятностная модель рынка Пространство состояний рынка S  {s1 , s 2 ,..., s k ,..., s m }. Каждое состояние s k , k  1,...m имеет свою вероятность p k , k  1,...m , – точные (теоретические) значения, при этом p1  p 2  ...  p k  ...  p m  1. Для периода [t0, t1] начальная цена Pi0 финансового инструмента (актива) i известна, а конечная цена Pik1 зависит от состояния рынка. Доходность для kго состояния рынка есть rik  Pik1  Pi0 Pi . Доходность финансового инструмента i является дискретной случайной величиной, принимающей значения ri1 , ri 2 ,..., rik ,..., rim соответственно состояниям рынка s1 , s 2 ,..., s k ,..., s m . Распределение доходности i-го финансового инструмента: ri p ri1 p1 ri2 p2 … … rim pm Числовые характеристики случайной величины: 1) математическое ожидание (ожидаемая доходность) m E ( ri )  ri1 p1  ri 2 p2  ...  rik pk  ...  rim p m   rik p k k 1 2) дисперсия V (ri )  E (ri  E ( ri )) 2  (ri1  E (ri )) 2 p1  (ri 2  E (ri )) 2 p2  ...  2 2 m  (rik  E (ri )) p k  ...  (rim  E (ri )) p m   (rik  E (ri )) 2 pk k 1 3) среднее квадратическое отклонение (СКО, стандартное отклонение) характеризует среднее квадратичное отклонение случайного значения доходности от ожидаемого значения – мера риска si  V (ri ) Характеристикой взаимосвязи двух случайных величин (доходностей) активов i и j служит ковариация cov(ri , r j )  (ri1  E (ri ))(r j1  E (r j )) p1  (ri 2  E (ri ))(r j 2  E (r j )) p2  ...  m  (rim  E (ri ))(r jm  E (r j )) pm   (rik  E (ri ))(r jk  E (r j )) pk . k 1 Свойства ковариации: 1) cov(ri , r j )  cov(r j , ri ) ; 2) cov( ri , ri )  V ( ri ) . Нормирование ковариации дает коэффициент корреляции cor (ri , r j )  cov(ri , r j ) si s j ,  1  cor (ri , r j )  1, cor ( ri , ri )  1. Статистическая модель рынка На практике распределение случайной величины (доходности) неизвестно. Но известны ее реализации в серии наблюдений (статистические данные), которые могут быть использованы для оценивания ее вероятностных характеристик. Статистические оценки – приближенные значения этих характеристик. Статистические данные называют выборочными значениями, набор таких значений – выборкой, статистические оценки – выборочными характеристиками: выборочное среднее (выборочное математическое ожидание), выборочная вариация (дисперсия). Пусть известны N значений доходности i-го актива ri1 , ri 2 ,..., rit ,..., riN . Выборочное математическое ожидание 1 1 N ri  (ri1  ri 2  ...  riN )   rit , N N t 1 E ( ri )  ri . Выборочная дисперсия  i2 1 1 N 2 2 2 2  ((ri1  ri )  (ri 2  ri )  ...  (riN  ri ) )  ( r  r )  it i , N 1 N  1 t 1 V (ri )   i2 Математическое ожидание величины ri равно E ( ri ) (статистическая оценка математического ожидания является несмещенной), а математическое 1 N V ( ri )( N  1) 2 ожидание оценки дисперсии  (rit  ri ) равно (такая N t 1 N статистическая оценка дисперсии является смещенной). Выборочное СКО  i   i2 , мера риска актива si   i Ковариация  ij  1 ((ri1  ri )(r j1  r j )  (ri 2  ri )(r j 2  r j )  ...  (riN  ri )( r jN  r j ))  N 1 1 N   (rit  ri )(r jt  r j ) , N  1 t 1 cov(ri , r j )   ij Выборочный коэффициент корреляции ij  ij i  j cor (ri , r j )  ij .  1  ij  1,  ii  1, Параметрическая модель рынка Px0 Портфель x из n активов имеет начальную стоимость n   zi Pi0 , i 1 где zi – объем i-го актива; 1 Pxk для k-го состояния рынка конечную стоимость n   zi Pik1 i 1 n и доходность rxk  n   zi ( Pik1 i 1 n  Pi )  zi Pi i 1 n  1 Pxk  Px0 Px0  zi Pi ( Pik1 i 1 n  i 1   zi Pi i 1 n  ( zi Pik1  zi Pi0 )  i 1 n  zi Pi0  zi Pi0 i 1 i 1  Pi ) / Pi  zi Pi n  zi Pik1 i 1 n  n  zi Pi0 rik  i 1n  zi Pi i 1 – доля (вес) актива в портфеле, x1  x 2  ...  x n  1. n   xi rik , где xi  i 1 zi Pi0 n  zi Pi0 i 1 Рассмотрим вероятностную модель рынка. Если возможные состояния рынка s1 , s 2 ,..., s k ,..., s m , то ожидаемая доходность портфеля есть m m n n m n E (rx )   rxk p k   (  xi rik ) pk   xi  rik p k   xi E (ri )  x , k 1 k 1 i 1 i 1 k 1 i 1 где x  ( x1 ,..., x n ) - вектор весов (портфель),   ( E ( r1 ),..., E ( rn )) - вектор ожидаемых доходностей; m 2 m n n дисперсия V (rx )   (rxk  E (rx )) p k   (  xi rik   xi E (ri )) 2 p k  k 1 m n 2 k 1 i 1 i 1 n n   (  xi (rik  E (ri ))) p k    xi cov(ri , r j ) x j  xCx , k 1 i 1  с11 с12   с21 с22 где С       сn1 сn1 i 1 j 1  с1n    с2n  , cij  cov(ri , r j ) .      сnn  Множество активов {1,2,…,n}, обращающихся на рынке, вектор ожидаемых доходностей   ( E ( r1 ),..., E ( rn )) и ковариационная матрица C составляют параметрическую модель рынка. Эти понятия играют ключевую роль в финансовой теории, но на практике эти параметры рынка получаются на основе их статистической оценки: n n 1 N 1 N n 1 N rx   rxt   (  xi rit )   xi  rit   xi ri  r x , где r  ( r1 ,..., rn ) ; N t 1 N t 1 i 1 i 1 N t 1 i 1 дисперсия  2x n 1 N 1 N n 2   (rxt  rx )   (  xi rit   xi ri ) 2  N  1 t 1 N  1 t 1 i 1 i 1 n n 1 N n 2   (  xi (rit  ri ))    xi  ij x j  xKx , N  1 t 1 i 1 i 1 j 1 K  ( ij ) nn  11 12    21  22       n1  n1  1n     2n  – ковариационная матрица.       nn  Тема: Портфельный анализ. Достижимое (критериальное) множество. Эффективное множество Два критерия оценки инвестиционных портфелей: эффективность (доходность) и риск. Каждому портфелю x  ( x1 ,..., x n ) можно поставить в соответствии пару чисел ( rx ,  2x ). Множество таких пар критериев образует множество достижимости (критериальное множество). Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть подмножество всевозможных портфелей, содержится в следующей теореме: Теорема об эффективном множестве. Инвестор выбирает свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых: 1) обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска; 2) обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности. Набор портфелей, удовлетворяющий этим двум условиям, называется эффективным множеством (кривая Парето). Случай n=2. Допустимое множество: x  ( x1 , x 2 ) , x1  x 2  1 (модель Блека).  11 12  Характеристики активов r  ( r1 , r2 ) , K   .   21  22  Ожидаемая доходность портфеля rx  r1x1  r2 x2 Квадрат риска (дисперсия) портфеля  2x  xKx  11 x12   22 x22  212 x1 x2 Найдем зависимость  2x от rx . rx  r1 x1  r2 (1  x1 )  x1  r2  rx , r2  r1  2x  11 x12   22 (1  x1 ) 2  212 x1 (1  x1 )   2x (rx )   2 rx2  1rx   0 , где  2  0  11   22  212 (r2  r1 ) 2 , 1  11r22   22 r12  212 r1r2 (r2  r1 ) 2  211r2  2 22 r1  212 (r1  r2 ) (r2  r1 ) 2 , Таким образом, критериальное множество – парабола, уравнение которой  2x (rx )   2 rx2  1rx   0 . Вершина – в точке rx min  1  . 2 2  2x 0  2x min rx min rx Эффективное множество – правая ветвь параболы. Допустимое множество: x  ( x1 , x 2 ) , x1  x 2  1, x1 , x 2  0 (модель Марковица), короткие продажи отсутствуют Критериальное множество в модели Марковица – часть критериального множества модели Блека: дуга параболы между точками ( r1 , 11 ) и ( r2 ,  22 ) (x1=(1, 0) и x2=(0, 1)).  2x ( r2 ,  22 ) ( r1, 11 )  2x min rx min rx Эффективное множество – правая ветвь параболы. Случай n>2. модель Блека, x  ( x1 ,..., x n ) , x1  x 2  ...  x n  1 n При фиксированной доходности rx   ri xi =const дисперсия  2x  xKx i 1 зависит теперь не только от rx , но и от n-2 свободных переменных xi, т.е. получаем бесконечное множество 2 x значений квадрата риска; нижняя граница соответствует минимальным значениям риска. Эффективное множество – правая ветвь параболы rx модель Марковица, x  ( x1 ,..., x n ) , x1  x 2  ...  x n  1, xi  0, i  1,..., n , короткие продажи отсутствуют  2x D C A B rx Эффективное множество – отрезок BC Тема: Проблема выбора оптимального портфеля Выбор оптимального портфеля основан на решении двухкритериальной задачи. Сначала найдем портфель минимального риска (модель Блека): min xKx, xe  1, x где e = (1,…, 1). Здесь и далее обозначение вектора-строки и векторастолбца не будут различаться. При этом они считаются соответствующими требованиям операций умножения матриц и векторов. В модели Марковица добавляется условие x  0 . Можно решать без условия x  0 (модель Блека) и если оно не выполняется, то нужно искать решение на границе области xe  1, x  0 . Функция Лагранжа имеет вид L( x, λ)  xKx  λ(1  xe) . Условия оптимальности портфеля приводят к системе линейных 2 Kx 0  λ 0 e, алгебраических уравнений: уравнений выразим x0: x 0 e  1. Из первой группы K 1 0 x  λ e. 2 Подставив его в уравнение x e  1, найдем λ  2 1 . Тогда eK e xmin K 1e  1 . eK e Случай n=2. Запоминать формулу не нужно!  4 5 Пример. r  (1, 2) , K   в  . Найти портфель минимального риска xmin  5 9 моделях Блека и Марковица. Найти уравнение критериального множества и эффективную границу в этих моделях, изобразить графически. Решение. Решаем задачу нахождения портфеля минимального риска:  2x  xKx  11 x12   22 x22  212 x1 x2  min , при условии x1  x 2  1. В функции цели  2x  xKx  11 x12   22 x22  212 x1 x2 сделаем замену x2  1  x1:  2x  11 x12   22 (1  x1 ) 2  212 x1 (1  x1 )   4 x12  9(1  x1 ) 2  10 x1 (1  x1 )  3x12  8 x1  9 . Получили задачу 3 x12  8 x1  9  min . Условия экстремума приводят к уравнению 6 x1  8  0 . Откуда имеем 4 4 1 x1  , а x2  1    . 3 3 3 В модели Блека rx min xmin 4 1  ( ,  ), 3 3 4 1 2  1   2  ( )  , 3 3 3  2x min 2 4 2 4  3   8  9  3 3 3 3 Нахождение критериального множества в модели Блека: rx  r1 x1  r2 (1  x1 )  r2  rx 2  rx x1    2  rx r2  r1 2 1   2x  3x12  8 x1  9  3(2  rx ) 2  8(2  rx )  9  3rx 2  4rx  5 ,  2x (rx )  3rx 2  4rx  5 – критериальное множество, rx min  (4) 2   , 23 3  2x min 2 3 . 3  2x 5 3 23 2 3 4 3 Эффективное множество – правая ветвь параболы rx 4 1  ( ,  ) не является портфелем Марковица, т.к. Найденный портфель xmin 3 3 x2<0. Значит, ищем решение на границе области x1  x2  1, x1, 2  0 , т.е. среди точек (1, 0) и (0, 1) . При x1=1 функция  2x  3 x12  8 x1  9 принимает значение 4, а при x1=0 функция 3 x12  8 x1  9 равна 9. Тогда в модели Маркавица xmin  (1, 0) . Критериальное множество – дуга параболы  2x (rx )  3rx 2  4rx  5 , заключенная между точками ( r1 , 11 )  (1, 4) и ( r2 ,  22 )  ( 2, 9) . Эффективное множество совпадает с критериальным множеством.  2x 9 ( r2 ,  22 ) 5 4 3 23 ( r1, 11 ) 2 3 1 2 rx Модель выбора портфеля с линейной сверткой «математическое ожиданиедисперсия» Определим оптимальный портфель из решения задачи (модель Блека) max[r x  α( xKx)], xe  1, (1) x где α > 0 –коэффициент риска. Решим задачу (1). Функция Лагранжа для задачи (1) имеет вид L ( x , λ )  r x  α( xKx )  λ (1  xe ) , (2) условия оптимальности дают систему линейных алгебраических уравнений: r  2 α Kx 0  λ 0 e, x 0 e  1 . (3) Из (3) состав оптимального портфеля имеет вид K 1e eK 1r 1 , (4) 1 1 2α eK e eK e В модели Марковица добавляется условие x  0 . Если для задачи (1) оно не выполняется, то нужно искать решение на границе области xe  1, x  0 . x 0 (α )   ( K 1r  K 1e) Случай n=2.  4 5 Пример. r  (1, 2) , K    . Найти оптимальный портфель с  5 9 коэффициентом риска α = 1/6 в моделях Блека и Марковица. Решение. Постановка задачи в модели Блека: x1  2 x2  16 (4 x12  9 x22  10 x1 x2 )  max , x1  x2  1. Замена x2  1  x1 приводит к задаче без ограничений: 2  x1  16 (3 x12  8 x1  9)  max . Дифференцируя по x1, и приравнивая производную к нулю, получаем уравнение  1  16 (6 x1  8)   x1  13  0 . Откуда получаем оптимальный портфель в модели Блека x 0  ( 13 , 23 ) . Так как выполняется условие x  0 , то x 0  ( 13 , 23 ) – оптимальный портфель в модели Марковица. Модель выбора портфеля с ограничением по доходности Определим оптимальный портфель как решение задачи на минимум дисперсии при ограничении по математическому ожиданию доходности портфеля (модель Блека): min xKx, r x  r p , xe  1, (5) x где rp  требуемое значение математического ожидания доходности портфеля. Предполагается, что r p  rx min . Если это не так, то портфель, полученный из решения (5), не принадлежит эффективному множеству, т.е. существует портфель с тем же риском, но с доходностью выше. Тогда нужно решать задачу с ограничением r x  r p , и решением является портфель минимального риска xmin . В модели Марковица добавляется ограничение x  0 . Для того, чтобы оно выполнялось должны иметь место условия (необходимые и достаточные) r p  rx min , min ri  r p  max ri . i 1,...,n i 1,...,n Функция Лагранжа для задачи (5) имеет вид L1 ( x, λ1 , λ 2 )  xKx  λ1 (r p  r x)  λ 2 (1  xe) . (6) Условия оптимальности портфеля приводят к системе линейных алгебраических уравнений: 2 Kx 0  λ10 r  λ 02 e, r x 0  rp , x 0 e  1. (7) Из первой группы уравнений (7) выразим x0: K 1 x  ( λ 1 r  λ 2 e) . 2 Подставив его в остальные уравнения (7), получаем систему для нахождения множителей Лагранжа λ1 , λ 2 : (8) r K 1 0 (λ1 r  λ 02 e)  r p , 2 eK 1 0 (λ1 r  λ 02 e)  1, 2 которая эквивалентна системе 1 1 r K r r K e λ10  λ 02  rp , 2 2 1 (9) 1 eK r eK e  λ 02  1. 2 2 Выражая λ10 и λ02 из (9) по формулам Крамера при условии, что λ10 1 1 1 2 определитель системы 14 (r K r )(eK e)  (eK r ) отличен от нуля, получаем: λ10  2(r p (eK 1e)  r K 1e) 1 1 1 (r K r )(eK e)  (eK r ) λ , 2  2 2(r K 1r  r p (r K 1e)) 1 1 1 (r K r )(eK e)  (eK r ) 2 . (10) Случай n=2.  4 5 Пример. r  (1, 2) , K    . Найти оптимальный портфель с заданной  5 9 доходностью а) r p  34 ; б) r p  12 ; в) r p  32 в моделях Блека и Марковица. Решение. а) Так как r p  34  rx min  23 , то оптимальный портфель будет принадлежать эффективному множеству. Постановка задачи в модели Блека:  2x  xKx  4 x12  9 x22  10 x1x2  min , x1  2 x2  34 , x1  x2  1. Замена x2  1  x1 приводит к задаче 3 x12  8 x1  9  min , при условии 3 4  1  x1  2  (1  x1 ) или x1  54 ; откуда оптимальный портфель в модели Блека x 0  ( 54 ,  14 ) . Портфель x 0  ( 54 ,  14 ) не является оптимальным в модели Марковица, т.к. условия x1  54 , 0  x1  1 несовместны. При этом не выполняется условие 1  rp  2 . Рассмотрим в качестве примера другую задачу (для обоснования использования вместо x1  2 x2  34 ограничения x1  2 x2  34 ):  2x  xKx  4 x12  9 x22  10 x1 x2  min , В этом случае ограничение x1  2 x2  3 4 x1  2 x2  34 , x1  x2  1, x1,2  0 . не существенно. Действительно, замена x2  1  x1 приводит к задаче 3 x12  8 x1  9  min , при условиях 0  x1  1. 3 4  1  x1  2  (1  x1 ) и 0  x1  1 или x1  54 , 0  x1  1  4 1 x  ( ,  ) имеем x1  43 , тогда x1  1 – В портфеле минимального риска min 3 3 точка, ближайшая к x1  43 (функция 3 x12  8 x1  9 убывает при x1  43 ). Значит, оптимальный портфель в модели Марковица x 0  (1, 0) . Рассмотрим задачу, в которой r p  3 , т.е. 1  r p и 2  r p :  2x  xKx  4 x12  9 x22  10 x1 x2  min , x1  2 x2  3 , x1  x2  1, x1,2  0 . После замены x2  1  x1 условия примут вид: 3  1  x1  2  (1  x1 ) и 0  x1  1 или x1  1, 0  x1  1  ограничения противоречивы. ВЫВОД: Для модели Марковица доходность, не удовлетворяющую ограничению min ri  r p  max ri , не имеет смысл задавать, т.к. при i 1,...,n i 1,...,n ограничении типа равенства r x  r p решения нет, а при ограничении типа неравенства r x  r p оно становится либо несущественным, либо приводит к противоречию. б) Так как r p  12  rx min  23 , то оптимальный портфель не будет принадлежать эффективному множеству. Значит, оптимального портфеля с заданным уровнем доходности r p  12 не существует. Будем решать задачу с ограничением rx  r p  12 , которое становится несущественным. Но тогда получаем портфель минимального риска. Постановка задачи в модели Блека:  2x  xKx  4 x12  9 x22  10 x1 x2  min , После замены x2  1  x1 условия примут вид: x1  2 x2  12 , x1  x2  1. 1 2  1  x1  2  (1  x1 ) или x1  32 . 4 1 Но в модели Блека портфель минимального риска x 0  xmin  ( ,  ) , для 3 3 которого условие x1  32 выполнено. Портфель x 0  ( 43 ,  13) не является оптимальным в модели Марковица, т.к. не выполняются условия x1  x2  1, x1, 2  0 . в) Так как r p  32  rx min  23 , то оптимальный портфель будет принадлежать эффективному множеству. Постановка задачи в модели Блека:  2x  xKx  4 x12  9 x22  10 x1x2  min , x1  2 x2  32 , x1  x2  1. Замена x2  1  x1 приводит к задаче 3 x12  8 x1  9  min , при условии 3 2  1  x1  2  (1  x1 ) или x1  12 ; Откуда оптимальный портфель в модели Блека x 0  ( 12 , 12 ) . Так как для данного портфеля выполняются условия x1  x2  1, x1, 2  0 , то имеем оптимальный портфель в модели Марковица. Модель выбора портфеля с ограничением по дисперсии Определим оптимальный портфель как решение задачи на экстремум математического ожидания доходности при ограничении по дисперсии портфеля: max r x, xKx  σ 2p , xe  1, (11) x где σ 2p  требуемое значение дисперсии портфеля. Предполагается, что σ 2p  σ 2p min , в противном случае задача (11) не имеет решений. В модели Марковица добавляется ограничение x  0 . Для того, чтобы оно выполнялось достаточно выполнения условия min σ i2  σ 2p  max σ i2 . i 1,...,n i 1,...,n Функция Лагранжа для задачи (11) имеет вид L 2 ( x , λ 3 , λ 4 )  r x  λ 3 ( σ 2p  xKx )  λ 4 (1  xe ) . (12) Условия оптимальности портфеля приводят к системе алгебраических уравнений: 2λ30 Kx0  r  λ 04e, x 0 Kx0  σ 2p , x 0e  1. (13) Из первой группы уравнений (13) выразим x0: x0  K 1 2λ 30 (r  λ 04 e) . (14) Подставив его в остальные уравнения (13), получаем систему для нахождения множителей Лагранжа λ 30 , λ 04 : r K 1r  (λ 04 ) 2 eK 1e  2λ 04 r K 1e  4(λ 30 ) 2 σ 2p , eK 1r  λ 04 eK 1e  2λ 30 . (15) Выразив λ 30 из второго уравнения системы (15) и подставив его в первое уравнение, имеем квадратное уравнение относительно λ 04 : [ eK 1e  σ 2p ( eK 1e ) 2 ]( λ 04 ) 2  2[ σ 2p ( eK 1e )( r K 1e )  r K 1e ]λ 04   [ r K 1 r  σ 2p ( eK 1 r ) 2 ]  0 . (16) Если дискриминант уравнения (16) неотрицателен, т. е. ( r K 1e ) 2 ( σ 2p ( eK 1e )  1) 2  ( eK 1e )(1  σ 2p ( eK 1e ))( r K 1 r  σ 2p ( eK 1 r ) 2 ) , (17) 02 0* 0* то λ 01 , λ  решение уравнения (16). Обозначим λ 4 4 3 , λ 4 то решение системы (15), для которого соответствующий x0, определяемый из (14) доставляет наибольшее значение целевой функции задачи (11). Случай n=2.  4 5 Пример. r  (1, 2) , K    . Найти оптимальный портфель с заданным  5 9 риском  2p  5 в моделях Блека и Марковица. Решение. Так как σ 2p  5  σ 2p min  3 23 , то задача имеет решение. Постановка задачи в модели Блека: x1  2 x 2  max , xKx  4 x12  9 x22  10 x1 x2  5, x1  x2  1. Замена x2  1  x1 приводит к задаче 1  x1  2  (1  x1 )  2  x1  max , при условии 3 x12  8 x1  9  5 или 3 x12  8 x1  4  0 . Решая квадратное уравнение, получаем два корня 2/3≈0,667 и 2. Доходность 2  x1 принимает большее значение в точке x1  23 . Оптимальный портфель в модели Блека x 0  ( 23 , 13) . Так как для данного портфеля выполняются условия x1  x2  1, x1, 2  0 , то x 0  ( 23 , 13) - оптимальный портфель в модели Марковица. При этом 4   2p  5  9 Модель управления риском со сверткой типа отношения Определим оптимальный портфель как решение задачи на экстремум свертки типа отношения критериев математического ожидания доходности портфеля и среднеквадратического отклонения доходности портфеля: ( xKx) min x rx 1 2 , xe  1. (22) 1 и приняв y  zx , задача (22) сводится к задаче rx квадратичного программирования: Вводя обозначение z  min yKy, r y  1, (23) y а, в конечном счете, к системе линейных алгебраических уравнений: 2 Ky 0  λ 50 r  0, r y 0  1. (24) y0 При этом решения задач (22) и (23) связаны соотношением x  . y e Найдем решение системы (24). Для этого из первой группы уравнений (24) выразим y0: y 0  12 λ 50 K 1r . Подставим его в последнее уравнение системы (24): 0 1 1 r λ K r 5 2  1, получаем λ 50 2  1 . Доказано, что rK r ξ ξK 1ξ  0 , поэтому r K 1r  0 . Следовательно, y 0  K 1 r 1 . Тогда rK r решение задачи (22) имеет вид x  K 1r 1 eK r . (25) Модели с безрисковым активом (модель Тобина) Инвестор, желая еще больше избегать риска, может вкладывать часть средств в безрисковый актив. Обозначим доходность по безрисковому активу r0 , а долю средств, инвестируемых в безрисковый актив через x0 . Если инвестору необходимо достигнуть требуемого значения доходности портфеля r p , то можно рассмотреть задачу (возможны короткие продажи) min xKx , x0 , x r0 x0  r x  r p , x0  xe  1. Вводя функцию Лагранжа и применяя условия оптимальности, получаем решение: x  rp  r0 d2 где d  (r  r0 e) K 1 (r  r0 e) . K 1 (r  r0 e) , x00  1 x 0 e , После подстановки x0 в выражение для дисперсии  2p  xKx уравнение минимальной (эффективной) границы приобретает вид (при условии r r  x ( rx )  x 0 r0  rx min ) d Эта прямая является касательной к графику эффективной границы в координатах ( rx ,  x ) . Условие x0  0 будет выполняться для оптимального портфеля, если r0  r p  rT . x 3 2.5 T 2 1.5 1 0.5 F 8 10 12 14 16 rx Случай n=2 (один безрисковый актив и один рисковый актив) Рисковый актив характеризуется ожидаемой доходностью r1 и дисперсией 11  12 , безрисковый – доходностью r0 . d  (r  r0 e) K x1  rp  r0 d2 1 r1  r0 (r  r0 e)  (r1  r0 )(11 ) (r1  r0 )  1 1 (11 ) (r1  r0 )  1 r p  r0 r1  r0 , x00  1  x10 Запоминать формулы не нужно, можно решать непосредственно задачу. При этом целевая функция (дисперсия) имеет вид xKx  12 x12  (1 x1 ) 2 Уравнение минимальной границы (n=2)  x (rx )  rx  r0 r 1  rx  0 1 . d r1  r0 r1  r0 x x 1 1 r0 r1 Эффективная граница для n=2 rx r r1 rx Эффективная граница для n=2, x0 Условие x  0 будет выполняться для оптимального портфеля, если r0  rp  r1. Пример. r0  3 , r1  9 , 1  10 . Найти уравнение эффективной границы и оптимальный портфель с заданной доходностью а) rp  7 ; б) rp  10 в моделях с возможными короткими продажами и при отсутствии коротких продаж (x0). Решение. Уравнение минимальной границы: r0 1 1 10 3 10 10 30  x (rx )  rx   rx   rx   1,43rx  4,29 . r1  r0 r1  r0 9  3 93 7 7 а) Для rp  7 решаем задачу (1 x1 ) 2  (10 x1 ) 2  min , при условиях x 0 , x1 3 x0  9 x1  7 , x0  x1  1  3 x0  9(1  x0 )  7  x00  13 , x10  оптимальный портфель. По формуле имеем rp  r0 7 3 2 x1    . r1  r0 9  3 3 2 3 - б) Для rp  10 имеем 3 x0  9 x1  10 , x0  x1  1  3 x0  9(1  x0 )  10  x00   16 , x10  76 - оптимальный портфель с короткой продажей. Найденный портфель не является оптимальным при x0 (не выполнилось условие r0  rp  r1, т.е. 3  10  9 ). Возьмем линейную свертку критериев с коэффициентом риска   0 : max[ r x  r0 x0  α( xKx )], x0 , x x0  xe  1. Вводя функцию Лагранжа и применяя условия оптимальности, получаем решение: 1 eK r x00  1  , 2 1 K r x0  , 2 где r  (r1  r0 ,..., rn  r0 ) . В модели добавляется условие x0 , x  0 , если короткие продажи не предполагаются. Случай n=2 (один безрисковый актив и один рисковый актив) Рисковый актив характеризуется ожидаемой доходностью r1 и дисперсией 11  12 , безрисковый – доходностью r0 . Тогда задача примет вид max[r1x1  r0 x0  α(1x1 ) 2 ], x0 , x1 Решение x00 r r eK 1r  1  1  1 20 , 2 21 x10 x0  x1  1. K 1r r1  r0 .   2 2 21 Запоминать формулы не нужно, можно решать непосредственно задачу. Пример. r0  3 , r1  9 , 1  10 . Найти оптимальный портфель с коэффициентом риска α=0,1 в моделях с возможными короткими продажами и при отсутствии коротких продаж (x0). Решение. 1 (10 x ) 2 ], max[9 x1  3 x0  10 1 x0 , x1 x0  x1  1. После подстановки x0  1  x1 получаем функцию цели 1 (10 x ) 2  10 x 2  6 x  3 . 9 x1  3(1  x1 )  10 1 1 1 Дифференцируя и приравнивая производную к нулю, имеем 3  0,3 , x 0  0,7 - оптимальный состав портфеля.  20 x1  6  0  x10  10 По формулам r r 93 x00  1  1 20  1   0,7, 2 1 21 2  10 10 x10  r1  r0 212  93 1  10 2 2  10  0,3 . Тема: Теория арбитражного ценообразования (АРТ) В АРТ предполагается, что доходности активов связаны с некоторым количеством факторов. Однофакторные модели Рассмотрим простейший случай, когда имеется один фактор, например, темп роста промышленного производства, прирост ВВП, доходности фондовых индексов. Тогда доходность актива есть ri  ai  bi F1   i , где ri – ставка доходности актива i, F1 – значение фактора, bi – чувствительность актива i к фактору (коэффициент наклона), εi – случайная ошибка с нулевым математическим ожиданием, средним квадратическим отклонением  i и нулевой ковариацией с фактором cov( F1 ,  i ) =0, ai – нулевой фактор (коэффициент смещения). Ожидаемая доходность актива i может быть записана ri  ai  bi F1, где F1 – ожидаемое значение фактора. Найдем дисперсию актива i. По определению имеем  i2  E (ri  ri ) 2  E (ai  bi F1   i  (ai  bi F1 )) 2  E (bi ( F1  F1 )   i ) 2   bi2 E ( F1  F1 ) 2  E ( i ) 2  2bi E (( F1  F1 ) i )   bi2  2F   2  2bi cov( F1 ,  i )  bi2  2F   2 . 1 i bi2 2F1 - факторный риск; 1 i  2i - нефакторный риск. Доходность портфеля x  ( x1 ,..., x n ) имеет вид n n n n n rx   ri xi   (ai  bi F1   i ) xi   ai xi  F1  bi xi    i xi , i 1 i 1 i 1 n ожидаемая доходность Дисперсия портфеля i 1 n n n rx   ri xi   (ai  bi F1 ) xi   ai xi  F1  bi xi . i 1  2x i 1  bx2  2F 1 i 1   2 , x i 1 n где bx   bi xi ,  2 x i 1 i 1 n    2 xi2 . i i 1 Диверсификация приводит к усреднению факторного риска, т.к. доли xi , i  1,..., n становятся меньше. Диверсификация существенно уменьшает нефакторный риск, т.к. ( xi  1 / n ) 2 2   ...       2 2 1 2 1 n 1  , где выражение в скобках – средний     n  n  n x i   i 1   нефакторный риск; при увеличении n уменьшается нефакторный риск. n  Арбитраж – это получение безрисковой прибыли путем использования разных цен на одинаковую продукцию или активы. Арбитраж, являющийся широко распространенной инвестиционной практикой, состоит из продажи ценной бумаги по относительно высокой цене и одновременно покупкой такой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно путем анализа общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг. Факторная модель подразумевает, что активы или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением нефакторного риска; поэтому эти активы или портфели должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае появляются арбитражные возможности. Исчерпание арбитражных возможностей (вследствие покупок и продаж активов) приведет к равновесию на рынке. Формирование арбитражного портфеля В соответствии с АРТ инвестор может сформировать арбитражный портфель x a  ( x a1 , x a 2 ,..., x an ) для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска. Требования к арбитражному портфелю: 1) арбитражный портфель не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора; это требование имеет вид x a1  x a 2  ...  x an  0 , где x ai - доля актива i в арбитражном портфеле, i=1,2,…,n. 2) арбитражный портфель (доходность) не чувствителен ни к какому фактору; это следует из того, что в текущем портфеле риск не добавляется, т.е. в  2x  bx2  2F 1   2 , x n bx   bi xi не должно измениться, а 2x остается i 1 примерно тем же, т.к. по предположению АРТ нефакторный риск арбитражного портфеля достаточно мал и им можно пренебречь. Доходность арбитражного портфеля: rax  r1 xa1  r2 xa 2  ...  rn xan   (ai  bi F1 ) xai   ai xai  (  bi xai ) F1. i 1,...,n i 1,...,n i 1,..., n Чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей активов портфеля, следовательно, это требование записывается так b1 x a1  b2 x a 2  ...  bn xan  0 . 3) доходность арбитражного портфеля положительна: rax  r1 x a1  r2 x a 2  ...  rn x an  0 . Пример. Исходные данные: r  (15, 21, 12) (в %), b  (0,9 , 3, 1,8) , текущая стоимость портфеля W0  120 ден.ед . Построить арбитражный портфель. Решение. Согласно требованию 1) и 2), имеем систему двух уравнений с тремя неизвестными (бесконечное число решений): x a1  x a 2  x a 3  0 , 0,9 x a1  3 x a 2  1,8 x a 3  0 . Предположим, что xa1  0,1 , тогда x a 2  0,075 и x a 3  0,175 . Проверяем требование 3): 15 x a1  21x a 2  12 x a 3  15  0,1  21  0,075  12  ( 0,175)  0,975  0 , т.е. доходность текущего портфеля увеличилась на 0,975%. Значит, портфель x a  (0,1 , 0,075 ,  0,175) является арбитражным. Продажа акций 3-го вида на сумму x a 3W0  0,175  120  21 ден.ед. и покупка акций 1-го и 2-го вида на сумму x a1W0  0,1 120  12 ден.ед. и x a 2W0  0,075 120  9 ден.ед. соответственно. Если задана доходность арбитражного портфеля, например, rax  1%, то получаем систему трех уравнение с тремя неизвестными: x a1  x a 2  x a 3  0 , 0,9 x a1  3 x a 2  1,8 x a 3  0 , 15 x a1  21x a 2  12 x a 3  1. Откуда получаем единственное решение x a  (0,103 , 0,077 ,  0,18) . Многофакторные модели В случае k факторов, актив i обладает чувствительностями bi1 ,..., bik . Доходность в k-факторной модели определяется по формуле ri  ai  bi1 F1  ...  bik Fk   i . Требования к арбитражному портфелю в k-факторной модели: x a1  x a 2  ...  x an  0 , b11 x a1  b21 x a 2  ...  bn1 x an  0 , b12 x a1  b22 x a 2  ...  bn 2 x an  0 , … … … … … … … … b1k x a1  b2 k x a 2  ...  bnk x an  0 , rax  r1 x a1  r2 x a 2  ...  rn x an  0 . Тема: Оценка обыкновенных акций В основе принятия решений о покупке или продажи обыкновенных акций лежит выявление неверно оцененных акций. Средством оценки неверно оцененных акций является метод капитализации доходов, который в случае акций часто называют моделью дисконтирования дивидендов (DDM). Метод капитализации дохода Истинная стоимость капитала равна сумме приведенных стоимостей ожидаемых поступлений и выплат:  V  Ct t 1 (1  k ) t , где Ct – ожидаемое поступление (или выплата), связанное с данным капталом в момент t; k – ставка дисконтирования для учета не только изменения стоимости денег, но и фактор риска. Пусть затраты на приобретение финансового актива (например, акций или нового оборудования) в момент t=0 составляют P. Тогда актив рассматривается позитивно, как кандидат на покупку, и называется недооцененным, если V > P; актив рассматривается негативно, как кандидат на продажу, и называется переоцененным, если V < P. Другой способ принятия решений о бюджетном финансировании, связан с вычислением внутренней ставки доходности инвестиционного проекта. Внутренняя ставка доходности проекта – это коэффициент дисконтирования, при котором V = P. Алгебраически это сводится к  Ct решению уравнения   P. * t t 1 (1  k ) Правило принятия решения состоит в сравнении k* данного проекта с требуемой ставкой доходности для инвестиций такого же уровня риска k. Проект рассматривается позитивно, если k* > k, и негативно, если k* < k. Случай обыкновенных акций Истинная стоимость акций:  V  Dt t 1 (1  k ) t , где Dt – дивиденды в момент t. Для того, чтобы воспользоваться равенством, инвестор должен предсказать все последующие дивиденды; предположения связаны с темпом роста дивидендов gt: Dt  Dt 1 (1  g t ) . Модель нулевого роста Темп роста дивидендов равен нулю gt=0; размер дивидендов остается неизменным: D0 = D1 = D2 = … = D .  Истинная стоимость акций: V   D0 t 1 (1  k ) t  D0  1 t 1 (1  k ) t .  Найдем сумму ряда  1 t 1 (1  k ) t . Сумма ряда, составленного из членов геометрической прогрессии, при q<1: a  aq  aq 2  ...  a a . 1 q 1 1 иq 1  1 k 1 k Тогда 1 1 1 k   1 t 1 t 1 (1  k ) 1 k  1  . k D0 V . k Внутренняя ставка доходности определяется из равенства P  D0 k D0 k  . P * * и равна Модель постоянного роста Темп роста дивидендов остается неизменным от периода к периоду gt=g; размер дивидендов Dt  Dt 1 (1  g ) , Dt  Dt  2 (1  g )(1  g )  Dt  2 (1  g ) 2 , и т.д., Dt  D0 (1  g ) t .  Истинная стоимость акций: V  t 1 D0 (1  g ) t (1  k ) t   D0  t 1 (1  k ) t  1  g  Найдем сумму ряда    при условии g < k. t 1 1  k   a 1 g 1 g 1 g  иq  1    1 k 1 k 1  k  t 1 Тогда  1 g  V  D0  . k  g t 1 g  11kg 1 1 k  (1  g ) t 1 g . kg t .  1 g  и Внутренняя ставка доходности определяется из равенства P  D0  *  k  g D0 (1  g ) D1 * равна k  g  g. P P Модель переменного роста Главная особенность данной модели – это момент времени T, после которого ожидается, что дивиденды будут расти с постоянным темпом g. Предполагается, что до момента T, дивиденды не будут изменяться по какому-то определенному закону и инвестор должен делать прогноз наступления момента времени T и дивидендов D1 , D2 , … , DT . После момента времени T темп роста дивидендов остается неизменным g от периода к периоду, что означает DT 1  DT (1  g ) , DT  2  DT (1  g )(1  g )  DT (1  g ) 2 , DT t  DT (1  g ) t , t  1,2,... DT 3  DT (1  g ) 3 , и т.д., Истинная стоимость акций равна сумме приведенных стоимостей дивидендов, выплачиваемых до момента T и после T: V  V   V T T V T  Dt t 1 (1  k ) t T . ; приведенная стоимость дивидендов, выплачиваемых после момента T  1 g  (начало отсчета перенесено на момент T) равна VT  DT  , k  g с учетом приведения к нулевому моменту имеем, дисконтируя по ставке k, VT DT (1  g ) имеем V    . T T T (1  k ) (k  g )(1  k ) T Тогда V V T V T  Dt t 1(1  k ) t  DT (1  g ) T (k  g )(1  k ) . Внутренняя ставка доходности определяется из равенства T P Dt t 1 (1  k * t )  DT (1  g ) * * T (k  g )(1  k ) . Пример. Компания выплачивала дивиденды в размере $0,75 на акцию. В следующем году ожидается, что компания будет выплачивать дивиденд в размере $2 на акцию; тогда g1  D1  D0 D0 , 75  20,075  1,67 (167%) . Еще через год дивиденд ожидается в размере $3 на акцию, следовательно, D2  D1 D1 g2   32 2  0,5 (50%) . Начиная с этого момента времени, имеется прогноз, что в будущем величина дивидендов будет расти с постоянным темпом g=10% в год, т.е. T=2. При ставке дисконтирования k=15% получаем истинную стоимость акций T V V T V T  Dt t 1 (1  k ) t  DT (1  g ) (k  g )(1  k ) 3(1  0,1) T  2 3     $53,92. 2 2 1  0,15 (1  0,15) (0,15  0,1)(1  0,15) При текущем курсе P=$60, можно говорить, что акции переоценены (V < P) и являются кандидатом на продажу. Тема: Модель согласования потоков активов и пассивов Рассмотрим модели, позволяющие согласовать потоки активов и пассивов так, чтобы портфель активов обеспечивал обязательные платежи в любой заданный момент времени. Пусть  обозначает моменты обязательных платежей по пассивам и изменяется от 0 до K. На произвольном отрезке времени [k-1,k] сумма поступлений по i-й ценной бумаге с учетом реинвестирования по ставке  k есть Dik   Ait (1  ) k t , где Ait - поступление в момент t. Если t   k 1 денежные остатки в момент k равны Sk, а обязательный платеж  Lk (например, аренда), то выражение для денежного баланса n  Dik X i  S k 1 (1  ) i 1 где Xi количество активов вида i.  k   k 1  Lk  S k . (26) Равенство (26) выполняется для всех моментов времени k, т.е. для k от 1 до K, причем условия платежеспособности: Sk0 k. В качестве критерия можно взять чистый доход за весь промежуток времени, но так как в обязательные платежи можно включить возврат заемного капитала, то имеет смысл минимизировать сумму вложенных в начальный момент средств, т.е. величину n (27)  Pi X i  S0 . i 1 Получили задачу ЛП на минимум (27) по переменным Xi0, Sk0 при n ограничениях-равенствах (26):  Dik X i  S k 1 (1  )  k   k 1  Lk  S k , i 1 k=1,…,K. В данной модели подразумевается, что моменты и величины платежей известны точно. В реальности это не всегда так, поэтому модель может быть модифицирована: на сравнительно короткий период для этих величин могут быть получены достаточно точные оценки, а для хеджирования риска в более длительной перспективе производится иммунизация по дюрации. Тема: Многосценарный анализ В задаче принятии решений по формированию портфеля ценных бумаг зачастую не только отсутствуют точные данные относительно будущих значений параметров, но и надежные статистические данные, по которым можно оценить вероятности, математические ожидания и дисперсии. Тогда приходится рассматривать различные варианты развития событий (или сценарии), а решения принимать в расчете на тот или иной сценарий (абсолютно надежным является ориентир на наихудшее развитие событий, что соответствует принципу гарантированного результата, однако это не всегда удовлетворяет инвестора). Рассмотрим один из наиболее распространенных подходов к задачам инвестирования в условиях неопределенности, который состоит в рассмотрении всех возможных сценариев и установлении для каждого из них желательных результатов. Пусть априори возможны K экономических сценариев, причем вероятности их возникновения неизвестны, т.е. рассчитать средние значения невозможно. Каждый сценарий характеризуется набором значений некоторых факторов (например, темп инфляции, процентные ставки, валютные курсы и т.д.). Пусть для k-го сценария значения этих факторов есть Fjk, k=1,2,...,K, j=1,2,...,m, а изменения цен бумаг и рыночного индекса описываются линейными факторными моделями m m Pi   pij F j , I   I j F j , j 1 j 1 где pij  чувствительность i-й бумаги к j-му фактору, Ij  чувствительность индекса к j-му фактору. Доходность i-й бумаги при k-м сценарии m d ik  Pik  Pi  pij F jk j 1 Pi , (28) а доходность портфеля, содержащего Xi бумаг i-го вида, равна n n n m  X i  pij F jk  X i Pik D pk  i 1n m  i 1 j 1 n  Pi X i  Pi X i i 1 i 1   pij X i F jk  i 1 j 1 Px (29) (если доходность выражать в процентах, то правые части (28) и (29) надо умножить на 100). Если инвестор хочет достичь при k-м сценарии уровня доходности Dk, то получается K ограничений Dpk  Dk, k=1,2,...,K. (30) Если дополнительно для уменьшения риска инвестор стремится к тому, чтобы при любом сценарии его портфель следовал индексу рынка, то ему надо иммунизировать влияние всех факторов, т.е. выполнить условия n m m   pij X i F jk  I j F jk i 1 j 1 j 1 Px  I n  pij X i F jk или i 1 Px  I j F jk I , j  1,2,..., m , или n  pij I X i i 1 Px I j  1, j  1,2,..., m . (31) Так как совместное выполнение ограничений (целей) (30) и (31), как правило, невозможно, то инвестор может поставить задачу приближения к этим желательным показателям. Для этого в ограничения вводятся положительные и отрицательные невязки αj, βj, γk, k, а общий критерий состоит в минимизации суммы невязок с заданными весовыми коэффициентами 1 и 2. Получим задачу целевого программирования m K min [1  ( j   j )  2   k ],  ,,  , X j 1 k 1 при ограничениях (здесь все параметры  положительные величины) n  pij I X i i 1 Px I j   j   j  1, j  1,2,..., m, n m   pij X i F jk i 1 j 1 Px   k   k  Dk , k=1,2,...,K, ∑ = .