Математическое обеспечение финансовых решений

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ) Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЕШЕНИЙ» Тексты лекций по дисциплине МОФР М.С. Аль-Натор, С.В. Александрович, А.А. Беляев, А.В. Трегуб Москва 2016 Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего образования «ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ» (Финансовый университет) Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ФИНАНСОВЫХ РЕШЕНИЙ» Тексты лекций по дисциплине МОФР (Методические материалы) М.С. Аль-Натор, С.В. Александрович, А.А. Беляев, А.В. Трегуб Утверждено на заседании Совета департамента анализа данных, принятия решений и финансовых технологий (протокол № 2 от 17.10.2016 г.) Москва 2016 УДК ББК Г 65 330.45(073) 22.18я73 520344 С.Л. Семаков, д.ф.-м.н., профессор департамента Рецензент: анализа данных, принятия решений и финансовых технологий М.С. Аль-Натор, С.В. Александрович, А.А. Беляев, А.В. Трегуб. Методические материалы по дисциплине «Математическое обеспечение финансовых решений». Тексты лекций по дисциплине МОФР. – М.: Финансовый университет, Департамент анализа данных, принятия решений и финансовых технологий, 2016. – 97 с. Издание предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 080100.68 «Экономика» (программа подготовки магистра) и содержит задания и примеры их решения по дисциплине МОФР УДК 330.45(073) ББК 22.18я73 Учебное издание М.С. Аль-Натор, С.В. Александрович, А.А. Беляев, А.В. Трегуб. Математическое обеспечение финансовых решений Методические материалы по дисциплине. Тексты лекций по дисциплине МОФР Компьютерный набор, верстка: М.С. Аль-Натор, С.В. Александрович, А.А. Беляев, А.В. Трегуб. Формат 60x90/16. Гарнитура Times New Roman Усл. п.л. 0,0. Изд. № 28.2 - 2016. Тираж - 0 экз. Заказ № ______ Отпечатано в Финансовом университете © М.С. Аль-Натор, 2016 С.В. Александрович, 2016 А.А. Беляев, 2016 А.В. Трегуб, 2016 © Финуниверситет, 2016 3 Лекция № 1. Теория процентов В финансовых вычислениях под процентом понимается величина дохода, выплачиваемая заемщиком кредитору за использование им заёмных денежных средств. Деньги могут быть помещены на банковский сберегательный счет, использованы при покупке депозитного сертификата, выдаче ссуды, продаже в кредит, покупке облигаций, акций и т.п. В операциях наращения и дисконтирования используется коэффициент, который называется процентной ставкой. Ставкой процента, или просто процентом, называют отношение, выраженное в процентах, дохода за фиксированный промежуток времени (период начисления) на денежные средства, предоставленные в долг, к размеру этих денежных средств. 1.1. Начисление простого процента При использовании простого процента, процент начисляется на первоначально вложенную сумму PV (present value). При этом сумма процента, начисленного в предыдущие периоды, не принимается в расчёт в процессе последующего наращения. Наращенная сумма FV (future value) при ежегодном начислении процентов равна FV  PV (1  in), (1.1) где i – годовая процентная ставка, п - число лет. Из формулы (1.1) легко можно найти количество лет, необходимое для увеличения начальной суммы в N раз 4 n N 1 . i (1.2) Если проценты начисляются в течение времени T (дней), то для простых процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле FV  PV (1  i T ), T0 (1.3) где T0 – число дней в финансовом году. На практике обычно используют три варианта начисления процентов: 1) точные проценты с точным числом дней вклада (ссуды) (АСТ/АСТ). В этом случае T0 = 365/366, а продолжительность месяца равна календарной; 2) обыкновенные проценты с точным числом дней вклада (ссуды) (АСТ/360). Здесь T0 = 360, а месяц равен календарному числу дней; 3) обыкновенные проценты с приближённым числом дней вклада (ссуды) (360/360). При таком варианте расчёта T0 = 360, а продолжительность месяца равна 30 дням. Если на разных промежутках начисления процентов t1 , t2 ,..., tn устанавливаются разные годовые ставки процентов i1 , i2 ,..., in , то наращенная сумма FV за время T  t1  t2  ...  tn равна FV  PV (1  1 n  tk ik ) . T0 k 1 (1.4) 1.2. Начисление сложного процента При использовании сложного процента, процент начисляется на наращенную в предыдущие моменты времени сумму. Поэтому этот процесс называют ещё и процессом капитализации. 5 Величина наращенной суммы при ежегодном начислении сложных процентов равна FV  PV (1  i )n . (1.5) где i - годовая процентная ставка, n - число лет. Если проценты начисляются в течение времени T, то для сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле T T0 FV  PV (1  i ) . (1.6) При дробном числе лет, наряду с формулой (1.6), часто используется формула смешанного процента FV  PV (1  i )n (1  if ) , (1.7) где n - целая часть числа T , а f - дробная его часть. T0 Если начисление сложных процентов происходит несколько раз в году (кратное начисление процентов), то расчёт наращенной суммы производят по формуле FV  PV (1  i mn ) , m где m – кратность начислений, п – количество лет, центная (1.8) i – годовая про- ставка. Из последней формулы видно, что наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Из формулы (1.8) можно найти количество лет, необходимое для увеличения начальной суммы в N раз. Для случая, когда проценты начисляются один раз в год, это число равно 6 n ln N . ln(1  i) (1.9) В случае, когда проценты начисляются m раз в году, искомое число лет будет равным n ln N . (1.10) i m ln(1  ) m При устремлении частоты начислений т к  получится непрерывное начисление сложных процентов. В этом случае наращенная сумма за n лет будет равна FV  PVein . (1.11) Если проценты начисляются в течение времени T, то наращенная сумма рассчитывается по формуле i T T0 FV  PVe . (1.12) По времени начисления процентов различают антисипативный (предварительный) метод – начисление процентов происходит в начале расчётного периода, и декурсивный (последующий) метод – начисление процентов происходит в конце расчётного периода. При антисипативном методе начисления сумма процентных денег определяется, исходя из наращенной суммы. При декурсивном методе – величина начисляемых процентов определяется из величины предоставляемого капитала. Если на разных промежутках начисления процентов t1 , t2 ,..., tn устанавливаются разные годовые ставки процентов i1 , i2 ,..., in , то наращенная сумма FV за время T  t1  t2  ...  tn вычисляется по формуле tk T0 n FV  PV  (1  ik ) . k 1 7 (1.13) 1.3. Эффективные и номинальные процентные ставки Эффективной процентной ставкой i'эф называется годовая ставка сложных процентов, дающая тот же финансовый результат, что и при любой другой схеме выплат: FV 1t iэф  ( ) 1. PV (1.14) Под номинальной (объявленной) процентной ставкой r понимается годовая ставка, которую назначает банк для начисления сложных процентов. Если проценты начисляются т раз в год по схеме сложных процентов, то эффективная процентная ставка в этом случае равна iэф  (1  r m )  1. m (1.15) В случае непрерывного начисления сложных процентов эффективная процентная ставка определяется следующим выражением: iэф  e r  1 (1.16) Эффективная процентная ставка позволяет сравнивать доходности при различных схемах начисления процентов. Ставки называют эквивалентными, если при одинаковой начальной сумме суммы, накопленные к любому моменту времени t, рассчитанные для эквивалентных процентных ставок, совпадают. Если j – годовая ставка при кратности начисления m, то ей эквивалентна ставка iT  j за период 1 T  . Эквивалентная эффективная ставка определяется из выраm m жения iэф  (1  j m )  1, m 8 (1.17) 1 T iэф  (1  iT )  1 . или (1.18) Ставки iT и iT с периодами начисления T1 и T2 соответственно эквивалентны, если 1 2 1 T1 (1  iT1 )  (1  iT 2 ) 1 T2 (1.19) 1.4. Дисконтирование. Банковский учёт Различают понятия математического дисконтирования, и банковского учёта. В некотором смысле они являются обратными по отношению к начислению процентов. Математическое дисконтирование решает задачу о нахождении начальной суммы PV, если известна наращенная за п лет сумма FV и ежегодная процентная ставка i. В случае начисления простых процентов из формулы (1.1) будем иметь PV  FV . 1  in (1.20) При начислении сложных процентов т раз в году начальная сумма PV равна PV  FV i (1  ) mn m (1.21) Если проценты начисляются непрерывно, то из (1.11) имеем PV  FVein При этом величина i называется ставкой дисконтирования. 9 (1.22) Банковский учёт заключается в покупке банком денежных обязательств по цене меньшей номинальной, указанной в них суммы. Примером денежных обязательств может служить вексель – долговая расписка, которая содержит обязательство выплатить определённую денежную сумму (номинал) в конкретное время. В этом случае говорят, что вексель учитывается. При этом клиенту выплачивается сумма после удержания P V = FV — D , (1.23) где FV - номинальная сумма векселя, PV - цена покупки векселя банком за п лет до погашения, D - дисконт - доход банка. Если вексель учитывается за один год до погашения, то величина дисконта равна D = FVd, (1.24) где d - учётная ставка. Сумма, которую получит векселедержатель за п лет до погашения в случае простой учётной ставки, составит PV = FV( 1 — nd). (1.25) В случае сложной учётной ставки PV = FV (1 — d)n . (1.26) Число лет п может быть любым положительным числом. Если срок учёта менее одного года, то более выгодным для банка является дисконтирование по сложной учётной ставке. Если же срок учёта превышает один год, то более выгодным является дисконтирование по простой учётной ставке. 1.5. Процентные ставки в условиях инфляции При инфляции покупательная способность денег падает, так как цены на товары растут. Процесс, противоположный инфляции, называется дефляцией. Дефляция — повышение покупательной способности денег, что проявляется в снижении индекса цен. Темпом инфляции α называется отношение приращения 10 стоимости товара за некоторый промежуток времени к стоимости товара в начале периода:  S f  S0 , S0 (1.27) где S f - стоимость товара в конце расчетного периода, S0 - стоимость товара в начале этого периода. С темпом инфляции α связан индекс инфляции (индекс цен) I, равный I = 1+ α. Если темп инфляции меняется несколько раз в году, то годовой темп инфляции вычисляется по формуле n    (1   i )  1, (1.28) i 1 где  i - темп инфляции за соответствующий период. Заметим, что темп инфляции за несколько периодов не равен алгебраической сумме темпов инфляции за соответствующие периоды. При инфляции деньги обесцениваются в 1+ α раз. Поэтому покупательная способность наращенной суммы FV=PV(1 + r), где r – номинальная процентная ставка, также уменьшится в 1+ α раз. Реальная величина индекса вклада с учётом инфляции равна 1 R  1 r . 1 (1.29) Отсюда можно получить выражение и для реальной процентной ставки R (формула Фишера) R r  . 1  (1.30) Таким образом, для того чтобы номинальная процентная ставка r обеспечивала реальную процентную ставку R при годовой инфляции α, она должна удовлетворять соотношению r    R(1   ) 11 (1.31) 1.6. Депозиты с валютой Помимо рублёвых депозитов, многие банки предлагают разместить денежные средства и в иностранной валюте, как правило, в долларах США или евро. Для резидентов, получающих доход в национальной валюте – рублях, для этого необходимо конвертировать рубли в одну или несколько из этих валют (мультивалютные депозиты). Если, например, вклад открывается в долларах, то наращенная сумма FV (в долларах) при ежегодном начислении процентов равна - в схеме простых процентов FV  PV (1  i f n), Ks (1.32) - в схеме сложных процентов FV  PV (1  i f )n , Ks (1.33) где i f – долларовая годовая процентная ставка, п - число лет, K s - курс обмена валюты. При конвертации наращенной суммы обратно в рубли нужно FV умножить на курс обмена валюты K b . Откуда можно найти и множитель наращения М рублёвых денежных средств - в схеме простых процентов M FV Kb  (1  i f n ), PV K s (1.34) - в схеме сложных процентов M FV Kb  (1  i f )n . PV K s (1.35) Этот множитель можно сравнить с соответствующим множителем наращения для рублёвых депозитов с целью проверки эффективности приобретения валюты. 12 Лекция № 2. Потоки платежей. 2.1. Потоки платежей: текущая, современная, будущая и конечная величины потока. Рассмотрим динамику некоторого дискретного потока платежей при неизменной эффективной процентной ставке i в течение рассматриваемого периода времени от t 0 до t n . Первым делом уточним используемую терминологию. Назовём (мгновенным) финансовым событием пару (t , C ), где C  величина платежа, а t  время платежа. Потоком платежей или финансовым потоком (cash flow) назовём последовательность CF  {( t1 , C1 ),..., (t n , C n )} финансовых событий (t k , C k ), k  1,...,n . Будем предполагать по умолчанию, что t 0  t1  ...  t n и C k  0, k  1,..., n . Возможно рассмотрение и бесконечных во времени потоков, но, если не оговорено противное, мы будем рассматривать конечные потоки платежей. Текущим значением (present value) потока платежей CF  {( t1 , C1 ),..., (t n , C n )} , приведённым к моменту времени t  t1 называется величина n Ck C0 Cn C1 ,    ...  t k t t1 t t 2 t (1  i) (1  i) (1  i) tn t k 1 (1  i ) PVCF (t )   (1) которая является суммой значений всех платежей потока, приведённых (дисконтированных) к моменту времени t по процентной ставке i . Текущее значение потока при t  t0 называется начальной величиной потока: n Ck Cn C1 .   ...  t k t 0 t1 t0 (1  i) (1  i) tn t0 k 1 (1  i ) PVCF (t 0 )   13 (2) При t0  0 будем PVCF (0) обозначать просто PV и называть современной (приведённой) величиной потока. n Ck Cn C1   ...  t k t 0 t1 (1  i) (1  i) tn k 1 (1  i ) PV  PVCF (0)   (3) Мы здесь для простоты опускаем в обозначениях зависимость величины PVCF (t ) от процентной ставки i . Далее мы рассмотрим эту зависимость подробнее. Будущим (накопленным, наращенным) значением (future value) финансового потока CF  {( t 0 , C 0 ), (t1 , C1 ),..., (t n , C n )} в момент времени t  t n называется величина n FVCF (t )   Ck (1  i) t tk  Ck (1  i) t t0  Ck (1  i) t t1  ...  Ck (1  i) t tn . (4) k 0 Конечная величина потока FV равна его будущему значению при t  t n : n FV  FVCF (t n )   Ck (1  i) tn tk  C1 (1  i) tn t1  C2 (1  i) tn t2  ...  Cn . (5) k 1 Отметим, что фактически формулы для текущего и будущего значения потока отличаются только формой записи, поскольку Ck  Ck (1  i )t  t k . (1  i )t k  t Используя свойство показательной функции a x y  a x a y , нетрудно установить, что FVCF (t )  PVCF ( )(1  i)t  , (6) и, в частности, FV  PV (1  i ) tn . Назовём два финансовых потока CF1 и CF2 эквивалентными (относительно процентной ставки i , если в некоторый момент времени  их величины PVCF ( ) и 1 PVCF2 ( ) совпадают. Отметим, что в силу равенства (6) величины эквивалентных потоков PVCF (t ) и 1 PVCF2 (t ) совпадают в любой момент времени t . 14 2.2. Средний срок финансового потока. Средним сроком финансового потока CF  {( t 0 , C 0 ), (t1 , C1 ),..., (t n , C n )} (относительно ставки дисконтирования i ) называется значение времени t  tср , для которого текущая величина потока совпадает с суммой всех платежей (по номиналу) n PVCF (t ср )   k 1 Ck (1  i) t k t ср  C0 (1  i) t1 t ср  ...  Cn t t ср (1  i) n  C1  C 2  ...  C n . (7) Если финансовый поток CF0  {(tср , C)} состоит из единственного консолидированного платежа C  C1  C2  ...  Cn в момент времени tср , то FVCF0 (t )  C(1  i) t tср  (C1  C2  ... Cn )(1  i) t tср  PVCF (tср )(1  i) t tср  PVCF (t ) , то есть потоки CF  {( t 0 , C 0 ), (t1 , C1 ),..., (t n , C n )} и CF0  {(tср , C)} эквивалентны. Другими словами, один консолидированный платёж C , совпадающий по величине с суммой всех платежей и произведённый в момент времени tср , заменяет все платежи потока. Уравнение (7) можно записать в виде PVCF (0)  C0 C1 Cn C  C2  ... Cn C .   ...  1  tср t t0 tn t1 (1  i) (1  i) (1  i) (1  i) (1  i) ср (8) Отсюда получаем, что (1  i) ср  t C . PVCF (0) (9) Взяв от обеих сторон равенства натуральный логарифм (логарифм по основанию e ) и используя равенства ln(1  i) t  t ср ln(1  i) и ln ср C  ln C  ln PVCF (0) , получаем, PVCF (0) что tср ln(1  i)  ln C  ln PVCF (0) , Отсюда получаем формулу для среднего срока потока: t ср  где C  C1  C2  ...  Cn ln C  ln PVCF (0) , ln(1  i) и PVCF (0)  приведённая величина потока. 15 (10) C0 Cn C1   ...   t0 t1 (1  i) (1  i) (1  i) tn 2.3. Дюрация финансового потока. До сих пор мы предполагали рыночную ставку i постоянной, а теперь допустим, что в результате небольших рыночных колебаний величина i изменилась на i . Рассмотрим, как изменится при этом значение приведённой величины P(i)  PVCF (0)  Cn C1  ...   C1 (1  i) t1  ...  Cn (1  i) tn t1 tn (1  i) (1  i) (11) финансового потока CF  {( t1 , C1 ),..., (t n , C n )} . Из анализа хорошо известна приближённая формула для изменения P(i)  P(i  i)  P(i) значения функции P(i) при малых приращениях i : P(i)  P(i  i)  P(i)  P' (i)i , (12) где P' (i)  производная функции P(i) по i . Поскольку в экономике больший интерес представляет относительное изменение (в процентах или долях) величин, то формуле (12) можно придать вид: P (i ) P (i  i )  P (i ) P ' (i )   i P (i ) P (i ) P (i ) (13) Так как из формулы дифференцирования степенной функции следует, что ((1  i ) tk )'  tk (1  i ) tk 1   tk (1  i )tk 1 k  1, 2, ... , n , то из (11) получаем, что P' (i)   t C t C  t1C1 1  t1C1  ...  n ntn 1    ...  n n tn   t1 1 t1 1  i  (1  i ) (1  i ) (1  i ) (1  i)  (14) Подставляя полученное выражение в (12) находим, что P(i)   t C 1  t1C1  ...  n n tn  t1 1  i  (1  i) (1  i)   i .  (15) Ck  приведённая величина k  го платежа C k , то величины (1  i) tk P (i) Pk (i) C k (1  i) tk C k (1  i) tk (16) wk  k   P(i) P1 (i)  ...  Pn (i) P(i) C1 (1  i) t1  ...  C n (1  i) tn Поскольку Pk (i)  16 естественно называть (удельными) весами соответствующих приведённых платежей. Отметим, что w1  ...  wn  1 , (17) поскольку w0  w1  ...  wn  P (i) P (i)  ...  Pn (i) P1 (i)  ...  n  1 1. P(i) P(i) P1 (i)  ...  Pn (i) Теперь равенство (15) можно записать в следующем виде: P (i ) D (i )  i P (i ) 1 i (18) где D(i )  D(CF ; i )  t1 w1  ...  t1 wn . (19) Величина D(CF ; i) , определяемая равенствами (19) и (16), называется дюрацией Маколея потока CF  {( t1 , C1 ),..., (t n , C n )} (при фиксированной величине рыночной процентной ставки i ). Далее, если не оговорено противное, мы будем называть дюрацию Маколея просто дюрацией. Отсюда вытекает интерпретация дюрации D(i)  t1 w1  ...  t1 wn как средневзвешенного времени платежа в финансовом потоке, так как каждое время t k платежа C k учитывается в соответствии с «весом» wk соответствующего приведённого платежа Ck (1  i) t в общей сумме всех приведённых платежей. k Если ввести в рассмотрение модифицированную дюрацию Маколея, то есть величину MD(i)  D(i) , 1 i то формулу (18) можно записать в более простом виде: P(i )   MD (i )i P(i ) 17 (20) Модифицированная дюрация Маколея показывает, насколько процентов (примерно) уменьшится приведённая величина P(i )  PVCF (0; i) потока CF , если процентная ставка увеличится на 1% . Опишем некоторые свойства дюрации Маколея. В-первых, дюрация не меняется при умножении всех платежей на один и тот же множитель, поскольку при этом не изменяются веса wk  Pk (i) Pk (i) .  P(i) P1 (i)  ...  Pn (i) Обозначим kCF поток kCF  {( t1 , kC1 ),..., (t n , kCn )} . Тогда D(kCF; i)  D(CF ; i) (21) В частности, дюрация не зависит от того, в какой валюте мы измеряем платежи. Во-вторых, дюрация заключена между t1 и tn , то есть дюрация лежит между начальным и конечным моментом времени платежей t 1  D (i )  t n , (22) поскольку t1  t1 ( w1  ...  wn )  t1 w1  ...  t т wn  t1 w1  ...  t n wn  D(i ) и D(i )  t1 w1  ...  t n wn  t n w1  ...  t n wn  t n ( w1  ...  wn )  t n . Во-третьих, при сдвиге по времени (изменении начала отсчета) на величину t , то есть замене   t  t :  0  t0  t ,  1  t1  t , ... , n  tn  t дюрация также меняется на ту же величину t : Dt  t (i )  Dt (i )  t . Действительно, нетрудно видеть, что D (i )   1 w1  ...   1 wn  (t1  t ) w1  ...  (t1  t ) wn  t w  ...  t w  t (w  ...  w )  D (i)  t . 1 1 1 n 1 n t 18 (23) 2.4. Регулярные потоки платежей, ренты. 2.4.1. Основные определения. Поток платежей CF  {( t 0 , C 0 ), (t1 , C1 ),..., (t n , C n )} называется регулярным потоком или рентой, если длина промежутка времени между соседними платежами hk  t k  t k 1 постоянна. Величина h  hk называется периодом ренты. Начало t 0 первого платёжного периода называется эффективным началом, а конец t n последнего платёжного периода – эффективным концом ренты. Если реальное начало ренты и её эффективное начало совпадают, то она называется немедленной, иначе – отложенной. Различают авансированные ренты (пренумерандо) и обыкновенные или ренты постнумерандо. В первом случае каждый платёж осуществляется вначале соответствующего платёжного периода [t k 1 , t k ] и финансовый поток ренты имеет вид CF  {( t 0 , C0 ), (t1 , C1 ),..., (t n1 , C n1 )} , а во втором – в конце платёжного периода и финан- совый поток ренты имеет вид CF  {(t1 , C1 ),..., (t n1 , Cn1 ), (t n , Cn )} . Как правило, рассматриваются ренты с одинаковыми платежами, то есть такие, что C k  C . Финансовый поток ренты постнумерандо имеет в этом случае вид CF  {( t1 , C ),..., (t n1 , C ), (t n , C )} , а пренумерандо - CF  {( t 0 , С ), (t1 , C ),..., (t n1 , C )} . 2.4.2. Годовая рента. Финансовый поток обыкновенной годовой ренты, то есть ренты постнумерандо с периодом в 1 год, имеет вид CF  {(1, C ), (2, C ),...,(n, C )} . Приведённая стоимость A обыкновенной годовой ренты может быть найдена по общей формуле (3): 19 An  PVCF  PVCF (0)  C C  ...  1 (1  i) (1  i) n Используя известную формулу для суммы геометрической прогрессии S n  b1  b1q  ... b1q n1  b1 где b1  1 qn , 1 q C 1 и q  (1  i ) 1 отсюда получаем, что 1 i 1 i C C C 1  (1  i)  n 1  (1  i)  n . An   ...    C i (1  i)1 (1  i) n 1  i 1  (1  i) 1 Таким образом, 1  (1  i )  n An  C . i (24) Соответственно, коэффициент приведения an  1  (1  i )  n . i Для наращенной величины ренты в силу формулы (6) имеем: 1  (1  i)  n S n  FVCF (n)  A  (1  i )  C  (1  i ) n . i n Отсюда получаем, что Sn  C (1  i ) n  1 i (25) и коэффициент наращения 1  (1  i )  n sn  . i Для годовой ренты пренумерандо, как было указано выше, финансовый поток имеет вид CF  {(0, C ), (1, C ),...,(n  1, C )}, и, следовательно её приведённая стоимость A находится по формуле   A n  C C C C C C    ...     ...   (1  i )  A(1  i) 1 n 1 1 2 (1  i) (1  i) (1  i) (1  i) (1  i ) n   (1  i) Учитывая (24) получаем равенство   C 1  (1  i ) A i n 20  (1  i ) (26) для приведённой стоимости годовой ренты пренумерандо и a  1  (1  i )  n  (1  i ) i (27) для её коэффициента приведения. Соответственно, (1  i ) n  1 Sn  S n (1  i )  C  (1  i )  i (28) наращенная стоимость ренты пренумерандо и sn  C (1  i ) n  1  (1  i )  i (29) её коэффициент наращения. Таким образом, все величины для ренты пренумерандо получаются из соответствующих величин для ренты постнумерандо умножением на множитель (1  i) . В случае m  кратного начисления процентов во всех полученных выше формулах следует заменить номинальную процентную ставку i на эффективную процентную ставку m iэфф i    1    1 .  m (30) Например, наращенная стоимость ренты пренумерандо будет в этом случае иметь вид Sn  C (1  i эфф ) n  1 i эфф  (1  i эфф ) . (31) Аналогичным образом переписываются и все остальные формулы. 2.4.3. Ренты с произвольным периодом. Рассмотрим теперь так называемые p-срочные ренты, то есть ренты с рентным периодом h  1 , где p  некоторое натуральное число. Если выплаты осуществляp ются каждые полгода, то p  2 , если ежемесячно, то p  12 и так далее. В этом случае финансовый поток ренты постнумерандо будет иметь вид 21 CF  {(h, C p ), (2h, C p ),...,( ph, C p ), (( p  1)h, C p ),...,(2 ph, C p ),...,(Mh, C p )}, Где С p  C  величина платежа за рентный период и M  np . Приведённая стоимость p может быть подсчитана аналогично годовой ренте A p ,n  Cp (1  i p )1  ...  Cp (1  i p ) np  Cp  1  (1  i p )  n 1  i p 1  (1  i p ) 1  C 1  (1  i p ) p ip  np 1 . Нетрудно видеть, что p где i p  процентная ставка за период ренты h  i p  (1  iэфф )1 / p  1 (32) и (1  i p ) np 1     (1  i эфф ) p       np  (1  i эфф ) n . Следовательно, A p ,n  C 1  (1  i эфф ) p ip n , (33) где эффективная (годовая) процентная ставка iэфф определяется по формуле (30) и ставка i p за рентный период h  1  по формуле (32). Отсюда вытекает, равенство p a p ,n C 1  (1  i эфф )  p ip n для соответсвующего коэффициента приведения. Наращенная стоимость p-срочной ренты связана с её приведённой стомостью точно также, как и для обыкновенной годовой ренты: S p,n  Ap,n (1  iэфф ) n . (34) Отсюда и равенства (33) получаем общие соотношения для наращенной стоимости S p ,n n C (1  i эфф )  1  p ip и для коэффициента наращения 22 (35) s p ,n n C (1  i эфф )  1  . p ip (36) Для ренты пренумерандо финансовый поток имеет вид CF  {(0, C p ), (h, C p ),...,(( p  1)h, C p ), ( ph, C p ),...,((2 p  1)h, C p ),...,((np  1)h, C p )}. Приведённые платежи надо умножить на коэффициент роста за рентный период ah  1  i p  (1  iэфф )1 / p . (37) Следовательно и все величины следует умножить на тот же коэффициент ah  1  i p . В частности, 1  (1  i эфф )   A  (1  i )  C A  (1  i p ) p ,n p ,n p p ip (38) (1  i эфф ) n  1 S  S  (1  i )  C  (1  i p ) . p ,n p ,n p p ip (39) n И Аналогичным образом и коэффициенты приведения и наращения для ренты пренумерандо получаются из соответствующих величин ренты постнумерандо. 2.4.4. Непрерывные ренты и ренты с непрерывным начислением процентов. Если проценты начисляются непрерывно, то, как известно, эффективная процентная ставка находится по формуле iэфф  e i  1, (40) которая получается из обычной формулы m- кратного начисления процентов m iэфф i    1    1  m переходом к пределу по m   . Тогда Ap ,n  C 1  e  ni p ip и 23 (41) S p ,n  C e  ni  1 p ip (42) При p   мы получаем непрерывную ренту. Можно показать, что (1  i эфф )1 / p p p(1  i p )    ln(1  i эфф ) . 1 p Тогда равенство (33) примет вид A ,n  С (1  (1  iэфф )  n ) ln(1  iэфф ) . (43) Наращенная стоимость непрерывной ренты выражается через приведённую обычным образом S  ,n  A ,n (1  i эфф )  С n ((1  i эфф ) n  1) ln(1  i эфф ) . (44) Наконец, для непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов имеем A,n  С (1  e  ni ) ln(1  iэфф ) (45) S ,n  С (e ni  1) . ln(1  iэфф ) (46) и 2.4.5. Вечные ренты. Вечная рента продолжается неограниченно долго, то есть её срок n не оганичен. Поскольку 1  iэфф  1, то  (1  iэфф ) n n  0 . Тогда формулу (33) можно записать в виде: A p ,  C pi p или Cp  С  i p A p , . p Смысл последнего равенства очевиден: чтобы рента была вечной выплаты за период ренты должны равняться набежавшим за тот же период процентам с первоначального вклада (приведённой стоимости). 24 Лекция № 3. Облигации 3.1. Основные параметры облигации. Облигация – это срочная ценная долговая бумага, удостоверяющая отношение займа между ее владельцем (кредитором) и эмитентом (заемщиком). Все платежи по облигации эмитент должен осуществлять в первую очередь и в обязательном порядке. Платежи обеспечиваются имуществом эмитента. Облигации могут эмитироваться государством в лице общегосударственных органов власти, местными органами власти, акционерными обществами и частными предприятиями. Номинальная стоимость или номинал N напечатана на бланке облигации и обозначает сумму, которая берется взаймы и подлежит возврату по истечении срока, который называется временем погашения. Классическая облигация представляет собой ценную бумагу, по которой выплачивается фиксированный доход, состоящий из ежегодной выплаты купонного дохода C  cN по купонной ставке c C/ N и выплаты номинальной стоимости на дату погашения. В общем случае в год проиcходит p купонных выплат и время  1 p между соседними выплатами купонов называется купонным периодом. Если выплаты по купонам не предусмотрены, то облигация называется бескупонной. Доход по ней образуется за счет курсовой разницы стоимости облигации. 25 3.2. Текущая стоимость облигации. С каждой облигацией В с купонным периодом   1 связан поток платежей: p CFB  {( , C ), (2 , C ),..., ( M , C  N )} , где n - срок до погашения, C  c N  купонные выплаты и c  купонная ставка за купонный период   1 и M  np  общее число купонных выплат за срок до погаp шения n . Для классической облигации CFB  {(1, C ), (2, C ),..., (n, C  N )} . Приведенная к моменту времени t  0 величина этого потока называется текущей стоимостью P простой облигации (относительно годовой ставки i ): n C N .  k (1  i)n k 1 (1  i ) P (1) Отметим, что купонные платежи образуют годовую ренту, и, следовательно, в соответствии с формулой для приведённой стоимости ренты (лекция № 2) 1  (1  i)  n N 1  (1  i)  n PC   cN  N (1  i) n n i (1  i) i (2) Приводя к общему знаменателю слагаемые, получим, что PN c  (i  c)(1  i )  n i . В общем случае облигации с купонным периодом   (3) 1 p текущая стоимость вместо формулы (1) определяется формулой M C N ,  k (1  i ) M k 1 (1  i ) P где M  np  общее число купонных выплат за срок до погашения n и i  (1  i)1/ p  1  рыночная ставка за купонный период. Учитывая, что (1  i )  (1  i) M 26 1 np p  (1  i) n (4) и формулу для приведённой стоимости p  срочной ренты (лекция № 2), отсюда получаем, что P  C 1  (1  i )  M N  i (1  i ) M или P  c N 1  (1  i)  n  N (1  i) n i (5) 1 где C  c N  купонные выплаты и c  купонная ставка за период   . p Также, как и в случае простой облигации отсюда получаем, что PN с  (i  с )(1  i )  M с  (i  с )(1  i)  n . N  i i (6) Отметим, что годовые купонные выплаты C и купонные выплаты C  c N за купонный период связаны естественным соотношением С  pC  pc N или C  C   C   c N, p где с  pc  купонная ставка за год: C  cN . Очевидно, что c  c . p Подставляя это выражение и формулу i  (1  i)1/ p  1 в формулы (4) и (6) приходим к равенствам np C N  k/ p (1  i) n k 1 (1  i ) P (7) и с  ( p((1  i)1/ p  1)  с)(1  i)  n . PN p((1  i)1/ p  1) 27 (8) 3.3. Курс и текущая доходность облигации После выпуска облигации она поступает на рынок , где свободно продается и покупается по рыночной цене V , которая не обязательно совпадает с текущей стоимостью P . Отношение рыночной цены облигации V к номиналу N называется курсом K облигации: K V . N Отсюда легко видеть, что V  KN Если облигация продается по номиналу, то V  N и K  1. Если V  N , то K  1 и облигация продается с дисконтом I  N V Если V  N , то K  1 и облигация продается с премией J  V  N . Текущая доходность ic облигации равна отношению годовых купонных выплат C  cN к рыночной цене облигации V : ic  C cN N c  c  . V V V K 3.4. Доходность облигации к погашению Доходность к погашению  служит заменой годовой процентной ставки i в ситуации, когда текущая стоимость P облигации не совпадает с ее рыночной ценой V . Если известны рыночная цена V , номинальная стоимость N , срок погашения n и купонная ставка c , то доходность к погашению  для классической облигации определяется как решение уравнения: n cN N .  k (1   )n k 1 (1   ) V  28 или в силу формулы (6) V N c  (   c)(1   ) n  . Так как курс облигации K  V / N , то справедлива формула: K c 1  (1   ) n   (1   ) n  c  (   c)(1   ) n  В общем случае облигации с купонным периодом   1 p . соответствующие формулы получаются подстановкой  вместо i в формулы (7) и (8) : np C N  k/ p (1   ) n k 1 (1   ) V  и V N с  ( p((1   )1 / p  1)  с)(1   )  n . p((1   )1 / p  1) 3.5. Свойства рыночной цены и доходности к погашению Для простоты в ограничимся здесь рассмотрением классических облигаций, заметив, что в общем случае облигации обладают теми же свойствами. Свойство 1. Рыночная цена облигации V как функция доходности к погашению  является непрерывной, монотонно убывающей, выпуклой вниз (вогнутой) функцией, принимающей любые положительные значения. Свойство 2. а) Облигация продается по номиналу тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению равна купонной ставки, то есть: V  N   c; б) Облигация продается с дисконтом I  N  V тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению больше купонной ставки, то есть: V  N   c; в) Облигация продается с премией J  V  N тогда и только тогда, когда ее доходность к погашению меньше купонной ставки, то есть: 29 V  N   c. Свойство 3. Если рыночная цена облигации V растет, то ее доходность к погашению  уменьшается. Если рыночная цена облигации V падает, то ее доходность к погашению  увеличивается. Свойство 4. При постоянной доходности к погашению  величина дисконта I  N  V или премии J  V  N уменьшается при уменьшении времени до погаше- ния n . Свойство 5. При постоянной доходности к погашению  : limV (n)  N ; n 0 lim I (n)  0 ; n 0 lim J (n)  0 . n 0 Свойство 6. Если две облигации имеют одинаковые значения годовой купонной ставки c , номинала N и доходности к погашению  , то облигация с меньшим сроком обращения n будет продаваться с меньшим дисконтом или премией. Свойство 7. Уменьшение доходности к погашению  0 на величину  приведет к увеличению ее рыночной стоимости на величину V большую, чем уменьшение ее рыночной стоимости на величину V при увеличении доходности к погашению  0 на такую же величину  . То есть если обозначить: V  V ( 0 )  V ( 0   )  0 И V  V ( 0   )  V (  0 )  0 , тогда справедливо неравенство: V  V для всех 0  1 . Свойство 8. При любой положительной рыночной цене облигации V  0 существует единственное значение величины доходности к погашению  которая является решением уравнения: 1  (1   ) n c  (   c)(1   ) n cN N n . V  cN  N (1   ) V  N    k   (1   )n k 1 (1   ) n V  30 Формула для приближенного вычисления значения  при больших n (n  10) имеет вид:  При небольших n (n  10) c n2  K 2  K n2  K . используется другая приближенная формула, которая имеет вид:  2(cn  1  K ) . K  1  n( K  1) 3.6. Дюрация облигации Дюрацией облигации B называется дюрация финансового потока облигации: CFB  {( t1 , C1 ),..., (t n1 , Cn1 ), (t n , Cn )} , где t k  k  . В соответствии с общим определением дюрацией Маколея или просто дюрацией облигации называется величина: D(i )  D(CF ; i )  t1w1  ...  tn wn  (1  w1  2  w2  ...  n  wn )   , где wk - весовые коэффициенты, определяющие вес каждого приведённого платежа Pk (i)  Ck (1  i)tk в текущей стоимости потока, значения которых равны: wk  Pk (i) Ck (1  i) tk Ck (1  i) tk   P(i) P(i) С0 (1  i) t0  C1 (1  i) t1  ...  Cn (1  i) tn Нетрудно видеть, что сумма всех весовых коэффициентов рана 1: n w k k 1 1. Таким образом, дюрация есть средний срок поступления дохода от облигации с учетом дисконтирования платежей. Как известно, текущая стоимость P потока платежей относительно годовой процентной ставки i равна: n P(i)   Pk (1  i)tk . k 1 31 Оценим чувствительность текущей цены облигации P к изменениям годовой проn центной ставки i с помощью производной функции P(i)   Pk (1  i)t по i . Как k k 1 было показано в лекции № 2, справедливо равенство P (i ) D (i ) ,  P (i ) 1 i из которого следует, что D  (1  i ) P(i ) . P (i ) Для модифицированной дюрации облигации MD  D 1 i отсюда вытекает равенство: P(i )   MD . P (i ) Применяя хорошо известную из математического анализа приближённую формулу для приращения функции P(i)  P(i  i)  P(i)  P(i)i , получаем, что P(i )   MD (i )i . P(i ) Из этого выражения видно, что модифицированная дюрация определяет чувствительность текущей стоимости облигации к небольшим колебаниям уровня годовой процентной ставки i на рынке: если i увеличится на 1 процентный пункт, то P / P уменьшится примерно на MD процентов. Перечислим основные свойства дюрации. Свойство 1. Дюрация бескупонной облигации равна времени ее погашения. Свойство 2. Дюрация купонной облигации меньше времени ее погашения. Свойство 3. Если сумма денег предоставляется в заем на один год при однократном начислении процента, то дюрация равна единице. Свойство 4. Дюрация D  D(i ) является невозрастающей функцией процентной ставки i . 32 Свойство 5. Дюрация облигации не зависит от номинальной стоимости и определяется по формуле: D 1 i n(c  i )  1  i ,  i c((1  i ) n  1)  i где i - годовая процентная ставка, c - годовая купонная ставка, n - количество лет до погашения облигации. В частности, при i  c дюрация равна: D 1 i 1  (1  i )  n  .  i Свойство 6. Для бессрочных облигаций ( n  ) D  Свойство 7. Дюрация D  D(c) дюрация равна: 1 i . i является убывающей функцией процентной ставки c. Свойство 8. Если облигация продается с премией (c  i) , то дюрация D ( n) является возрастающей функцией от срока до погашения n . Если же облигация продается с дисконтом (c  i) , то функция D ( n) имеет максимум при n  nmax , где nmax  В этом случае D ( n) 1 1 i .  ln(1  i ) i  c возрастает при n  nmax и убывает при n  nmax . 3.7. Дюрация портфеля облигаций Рассмотрим портфель облигаций, состоящий из облигаций 1; 2;...; n с долями w1 ; w2 ;...; wn . Дюрация портфеля облигаций D определяется как средневзвешенная сумма дюраций D1; D2 ;...; Dn отдельных облигаций, входящих в портфель, то есть: D  w1 D1  w2 D2  ...  wn Dn . 33 3.8. Выпуклость облигации Для уточнения формулы: P D  i P 1 i воспользуемся разложением Тейлора функции P(i ) , оставляя в нем первые 3 слага- емых: 1 P(i  i)  P(i)  P(i )i  P(i )(i ) 2 . 2 В этом случае приращение P функции P(i ) равно: 1 P(i)  P(i  i)  P(i)  P(i)i  P(i )(i ) 2 , 2 а относительное приращение P / P функции P(i ) равно: P P(i) 1 P(i)  i  (i) 2 . P P 2 P Выпуклостью W (i) облигации называется величина: W (i )  P(i ) . P(i ) Таким образом: P(i ) D   MD P 1 i и P(i)  W (i) . P Следовательно: P D 1  i  W (i )(i )2 . P 1 i 2 Так как n n k 1 k 1 P(i)   Pk (1  i)tk и P(i)   tk Pk (1  i)tk 1 , то 34 n P(i)   tk (tk  1) Pk (1  i)tk 2 k 1 или P(i)  1 (1  i)2 n  t (t k 1 k k  1) Pk (1  i)tk . Тогда: n P(i) 1 W (i)   P(i) (1  i) 2  t (t k 1 k k  1) Pk (1  i)tk P(i) . Применяя wk - весовые коэффициенты, определяющие вес каждого платежа Pk в текущей стоимости потока, можно формулу для выпуклости облигации записать в виде: W 1 (1  i)2 n  t (t k 1 k k  1)wk . 3.9. Взаимосвязь дюрации, модифицированной дюрации, выпуклости, доходности к погашению и рыночной цены облигации Так как зависимости текущей стоимости P облигации от годовой процентной ставки i и рыночной цены облигации V от доходности к погашению  являются идентичными: C N 1  (1  i) n c  (i  c)(1  i)  n n ,   cN  N (1  i )  N k (1  i)n i i k 1 (1  i ) n P(i)   cN N 1  (1   ) n c  (   c)(1   ) n n , V ( )     cN  N (1   )  N k (1   )n   k 1 (1   ) n то все формулы для дюрации, модифицированной дюрации и выпуклости, выведенные исходя из зависимости P(i ) остаются справедливыми при замене текущей стоимости P на рыночную цену V и годовой процентной ставки i на доходность к погашению  . Например, выражения для дюрации имеют вид: 35 D  (1   ) D 1    V (  ) , V ( ) n(c   )  1   c((1   ) n  1)   . В частности, если облигация продается по номиналу, то есть при   c дюрация равна: D 1   1  (1   )  . n Выпуклость облигации равна: W ( )  V (  ) . V ( ) В линейном приближении: V   MD ; V MD  D 1  . В квадратичном приближении: V 1   MD  W ( )2 . V 2 3.10. Защита портфеля облигаций от изменения процентной ставки (иммунизация портфеля облигаций) Предположим, что необходимо выплатить долг N через 2 года. Для оплаты долга можно купить бескупонную двухгодичную облигацию номинальной стоимостью N . Текущая стоимость такой облигации при годовой процентной ставке i равна: P  N / (1  i ) 2 . Можно заменить одну облигацию двумя так, что при данной процентной ставке текущая стоимость портфеля из двух облигаций останется такой же как и исходной облигации, а при изменении процентной ставки текущая стоимость портфеля из двух облигаций будет больше текущей стоимости исходной облигации. 36 Это связано с тем, что текущая стоимость облигации является убывающей функцией процентной ставки, а облигации с разными сроками погашения по разному реагируют на изменение процентной ставки. Итак, пусть требуется выплатить долг N через t лет. Покупка бескупонной облигации номинальной стоимостью N со сроком погашения t лет обеспечит выплату долга. Назовем эту облигацию облигацией 1. Текущая стоимость облигации 1 равна: P1  N (1  i )t , а ее дюрация D1  t . Рассмотрим две бескупонные облигации A и B с номинальными стоимостями N A и N B , и сроками погашения соответственно t A и t B такими, что: t A  t  tB . Портфель, состоящий из этих двух облигаций, назовем облигацией 2. Текущая стоимость облигации 2 равна: P2  NA NB  tA (1  i ) (1  i )tB , а ее дюрация D2  t A wA  t B wB , где wA  NA ; P2 (1  i)t A wB  NB , причем wA  wB  1. P2 (1  i)tB Пусть текущая процентная ставка равна i0 и при i  i0 выполняются условия:  P1 (i0 )  P2 (i0 )  P .   D1 (i0 )  D2 (i0 )  D Данная система условий обеспечивает эквивалентность денежных потоков, связанных с облигациями 1 и 2 и равенство дюраций облигаций 1 и 2. Из данной системы условий следует, что: P1(i0 )  P2(i0 ) . Следовательно, графики функций P1 (i) и P2 (i) касаются в точке (i0 ; P) . 37 Покажем, что для значений i  i0 выполняется неравенство: P1 (i )  P2 (i ) . Для этого убедимся, что для вторых производных справедливо неравенство: P1 (i0 )  P2(i0 ) , то есть график функции P2 (i) является «более выпуклым», чем график функции P1 (i) при i  i0 . Найдем первые и вторые производные функций P1 (i) и P2 (i) в точке i  i0 . P1 i0    Nt (1  i0 )t 1 , N  t2 t     (1  i0 ) 2  (1  i0 )t (1  i0 )t    P  t2N tN P  t2N P     D  (t 2  D). 2  t t  2  t 2 (1  i0 )  P(1  i0 ) P(1  i0 )  (1  i0 )  P (1  i0 )  (1  i0 ) P1(i0 )  Nt (t  1)(1  i0 ) t  2  P2  i0    N1t1 (1  i0 )t1 1  N2t2 (1  i0 )t2 1 , P2(i0 )  N At A (t A  1)(1  i0 )  t A  2  N B t B (t B  1)(1  i0 )  tB  2   N B  tB 2 tB      tB 2  (1  i0 )tB   (1  i0 )  (1  i0 ) tA N A tB 2 N B tB N B  P  t A2 N A       (1  i0 ) 2  P (1  i0 )t A P (1  i0 )t A P (1  i0 )tB P (1  i0 )tB  Сравним t2  N1  t A 2 tA  tA 2  (1  i0 )  (1  i0 ) (1  i0 )t A   tB 2 N B P  t A2 N A P   D  (t A2 wA  t B2 wB  D). t1 t2 2  2 (1  i0 )  P (1  i0 ) P (1  i0 )  (1  i0 ) и t A2 wA  tB2 wB с учетом того, что t  t1w1  t2 w2 и w1  w2  1 : t 2  (t A wA  tB wB ) 2  t A2 wA2  tB2 wB2  2t AtB wA wB  t A2 wA (1  wB )  tB2 wB (1  wA )  2t AtB wA wB   t A2 wA  tB2 wB  wA wB (t A  t B )2  t A2 wA  tB2 wB . 38 Следовательно, справедливо неравенство: P2 (i0 )  P1(i0 ) . Это означает, что кривая P2 (i ) является «более выпуклой», чем кривая P1 (i ) (рис. 1). P P 2 P 1 P 2 P 1 i i Рис.1. Зависимости текущих стоимостей от процентной ставки P1 (i) и P2 (i) облигаций 1 и 2. Видно, что при изменении процентной ставки, то есть при i  i0 , текущая стоимость портфеля из двух облигаций (облигация 2) больше текущей стоимости исходной облигации (облигация 1). В этом случае говорят, что облигация 2 иммунизирует облигацию 1. Из приведенных рассуждений следует, что для иммунизирующего портфеля, состоящего из двух облигаций A и B , доли облигаций wA и wB должны удовлетворять системе уравнений:  wA  wB  1 .   DA wA  DB wB  D 39 Лекция № 4. Портфельный анализ 4.1. Основные понятия портфельного анализа. При инвестировании возникает основной вопрос: в какие активы и в каких пропорциях вкладывать средства, учитывая, что более высокий уровень доходности связан с более высоким риском. Ответ на этот вопрос дает портфельный анализ или теория портфеля. Предположим, что на рынке ценных бумаг в обращении находятся финансовые активы: A1 ; A2 ;...; An , рынок находится в равновесии и операционные издержки при покупке и продаже активов отсутствуют. Предположим также, что все инвесторы принимают решения, основываясь на доходности и риске активов. Влияние других величин, от которых зависит доходность, таких как выплата дивидендов, инфляция и т. п. не учитывается. Доходностью ценной бумаги вида i за промежуток времени [t0 ; t1 ] называется случайная величина: Ri  P1i  P0i , P0i где P0i и P1i - ее стоимости в моменты времени t0 и t1 . Портфелем, состоящим из n видов ценных бумаг A1 ; A2 ;...; An называется вектор : X  ( x1; x2 ;...; xn )T , где xi - ценовая доля (весовой коэффициент) инвестиций в цен- ные бумаги вида i , i  1; 2;...; n . Сумма весовых коэффициентов (ценовых долей) для любого портфеля должна быть равна единице: x1  x2  ...  xn  1 или n x i 1 Это условие называется условием нормировки. 40 i  1. Если значения xi , i  1; 2;...; n могут быть любого знака, то такая модель называ- ется моделью Блэка. Если же xi , i  1; 2;...; n принимают только неотрицательные значения, то такая модель называется моделью Марковица. Ситуация, соответствующая модели Марковица может возникнуть на фондовом рынке в случае запрета на короткие позиции. Доходностью портфеля X за промежуток времени [t0 ; t1 ] называется случайная величина: RX  P1X  P0 X , P0 X где P0 X и P1X - стоимости портфеля в моменты времени t0 и t1 . Доходность портфеля X равна: RX  x1 R1  x2 R2  ...  xn Rn , где R1 ; R2 ;...; Rn - доходности ценных бумаг, входящих в портфель X . Математическое ожидание доходности бумаги вида i : M ( Ri )  i называется ее ожидаемой доходностью, а математическое ожидание доходности портфеля X : M ( RX )   называется ожидаемой доходностью портфеля X . Ожидаемая доходность портфеля X равна:   x11  x2 2  ...  xn  n , где  i , i  1; 2;...; n , - ожидаемые доходности бумаг вида i . Обозначим через   (1; 2 ;...; n )T вектор ожидаемых доходностей бумаг портфеля X , тогда ожидаемая доходность портфеля X будет равна:   T X . Дисперсия (квадратичный риск) доходности бумаги вида i равна: D(Ri )   i2  M (Ri  i )2 Риск бумаги вида i определяется как среднеквадратическое отклонение (СКО) ее доходности:  i   i2 . Ковариация Cov(Ri ; Rj ) доходностей Ri и R j бумаг вида i и j равна: 41 Vij  Cov(Ri ; Rj )  M ((Ri  i )(Rj   j )) . При i  j : Vii  Cov(Ri ; Ri )  M (Ri  i )2   i2 . Матрица V  (Vij )  (Cov(Ri ; R j )) называется ковариационной матрицей. Коэффициент корреляции ij доходностей бумаг вида i и j равен: ij  Cov( Ri ; R j )  i j  Vij  i j . Матрица C  ( ij ) называется корреляционной матрицей. Исходя из определений этих величин, видно, что Vij  Vji и ij   ji . Поэтому, ковариационная матрица V и корреляционная матрица C являются симметричными. Так как ii  Cov( Ri ; Ri )  i i   i2  1,  i2 то на главной диагонали матрицы C расположены единицы. Дисперсия доходности (квадрат риска) портфеля ценных бумаг равна: D(RX )   2  M (RX  )2 . Можно показать, что дисперсия доходности (квадрат риска) портфеля ценных бумаг X  ( x1; x2 ;...; xn )T можно вычислить по формуле: n n D( RX )   2  M ( RX   )2   xi x jVij . i 1 j 1 В матричном виде это выражение имеет вид:  2  X TVX . Таким образом, риск портфеля равен:    2  X TVX . 42 Каждому портфелю X  ( x1; x2 ;...; xn )T можно поставить в соответствие его оценку - пару чисел (; ) , где  - ожидаемая доходность портфеля,  - риск портфеля. Множество { A1; A2 ;...; An } активов, обращающихся на рынке, вектор ожидаемых доходностей активов  и ковариационная матрица V составляют параметрическую модель рынка. Для решения большинства инвестиционных проблем инвестору достаточно знания указанных параметров. Основными задачами портфельного анализа являются: - найти портфель минимального риска при заданной его доходности, или при доходности не меньшей заданной, или при произвольной доходности; - найти портфель максимальной доходности при минимальном риске или при риске, не превышающем заданный уровень. Ковариационная и корреляционная матрицы для портфеля из двух бумаг имеют вид:   12 V   12 1 2 12 1 2  ;  22   1 C   12 12  . 1  Ковариационная и корреляционная матрицы для портфеля из трех бумаг имеют вид:   12  V   12 1 2  13 1 3  12 1 2 13 1 3    22  23 2 3  ;  23 2 3  32   1  C   12   13 12 1  23 13   23  . 1  Пример. Дана ковариационная матрица:  9 8 3    V   8 16 6  .  3 6 4    Найти корреляционную матрицу. Решение. Риски бумаг равны: 1  9  3 ;  2  16  4 ;  3  4  2 . Коэффициенты корреляции равны: 43 12  V12 1 2  8 2  ; 3 4 3 13  V13 1 3  3 1  ; 3 2 2 23  V23  2 3  6 3  . 42 4 Корреляционная матрица имеет вид: 2 / 3 1/ 2   1   C   2 / 3 1 3 / 4  .  1/ 2 3 / 4 1   4.2. Эффективные и наилучшие портфели Портфель, для которого в заданном множестве портфелей не найдется портфеля, имеющего оценку с большей доходностью при равном или меньшем риске, или оценку с меньшим риском при равной или большей доходности, называется эффективным портфелем относительно этого множества. Пример. Пусть Q  (; ) - оценка портфеля. Рассмотрим 4 портфеля с оцен- ками: Q1  (0, 4;0,1) , Q2  (0,5; 0,3) , Q3  (0, 6;0, 2) , Q4  (0,3; 0, 4) . Третий портфель имеет наибольшую доходность, А первый портфель имеет наименьший риск. Эффективными относительно заданного множества из четырех портфелей являются только первый и третий портфели. Наилучшим портфелем из заданного множества портфелей называется портфель, имеющий наибольшую доходность и наименьший риск среди всех заданных (допустимых) портфелей. Пример. Рассмотрим 4 портфеля с оценками: Q1  (0,3;0, 4) , Q2  (0, 6;0,1) , Q3  (0, 4;0, 2) , Q4  (0,5; 0,3) . Из заданного множества портфелей наилучшим является второй, так как он имеет наибольшую доходность и наименьший риск. 44 4.3 Критериальное множество и его эффективная граница Введя координатную плоскость (; ) и вычисляя для каждого портфеля из допустимого множества портфелей его оценку (; ) , можно отобразить точками на этой плоскости оценки всех допустимых портфелей. Плоскость, на которой отображаются оценки портфелей, называется плоскостью оценок. Образом допустимого множества портфелей при таком отображении будет некоторое множество в плоскости оценок, которое называется критериальным множеством. Можно показать, что оценки эффективных портфелей лежат на границе критериального множества. Множество оценок всех эффективных портфелей называется эффективной границей критериального множества или кривой Парето или Парето-эффективной границей. 4.4. Портфели из n рисковых бумаг (портфели Марковица) Портфели ценных бумаг, состоящие из n рисковых бумаг, называются портфелями Марковица. 4.4.1. Портфель Марковица минимального риска Постановка задачи имеет вид: найти портфель X  ( x1; x2 ;...; xn )T , такой что: 1 2 1 2 F=  2  X TVX  min при условии IT X 1, где I  (1;1;...;1)T - вектор-столбец, состоящий из единиц. 45 Данная задача является задачей условной оптимизации. Как известно из математического анализа для её решения можно применить метод множителей Лагранжа, который сводит задачу условной оптимизации к нахождению безусловного экстремума функции Лагранжа. В нашем случае функция Лагранжа имеет вид: L( X ;  )  1 T X VX   (1  I T X ) , 2 где  - множитель Лагранжа. Составим для нее необходимые условия экстремума:  L   VX   I  0 ,   I T X  1  VX   I .  T I X  1 или же Выразив X из первого уравнения системы X  V 1I и подставив во второе уравне- ние, получаем, что:  I TV 1 I  1 . Обозначая число I TV 1I через  , получаем уравнение:   1, из которого находим  :  1 1  . 1 I V I  T Зная  , находим портфель минимального риска: X  V 1I  1  V 1I . Квадрат риска портфеля минимального риска равен: 2  min  I T V 1  V V 1 I   I TV 1 I  2 Таким образом 2  min  1  , а риск портфеля минимального риска равен:  min  46 1  .   1  . 2   Пусть вектор ожидаемых доходностей бумаг портфеля известен и равен:   (1; 2 ;...; n )T , тогда ожидаемая доходность портфеля минимального риска равна:   T X  1   TV 1 I . Обозначая через  число    TV 1 I  I TV 1 , получаем значение ожидаемой доходности портфеля минимального риска:   T X  1   TV 1I  1  I TV 1   .  4.4.2. Портфель Марковица минимального риска при заданной его ожидаемой доходности Требуется найти портфель X  ( x1; x2 ;...; xn )T , который минимизировал бы риск  и обеспечивал заданную величину  ожидаемой доходности. Следовательно, постановка задачи такова: найти минимум целевой функции 1 2 1 T   X VX  min 2 2 при условиях: IT X 1, T X   . Предполагается, что ковариационная матрица V является положительно определенной, то есть для любого ненулевого вектора X  ( x1 ,...,xn )T справедливо неравенство n n X T VX   vij xi x j  0 . i 1 j 1 Как известно из линейной алгебры, в этом случае матрица V является невырожденной ( поскольку согласно критерию Сильвестра её определитель Det (V )  0 ) и обратная к ней матрица V 1 также является положительно определенной. 47 Предполагается также, что вектор ожидаемых доходностей активов, обращающихся на рынке   (1; 2 ;...; n )T не коллинеарен вектору I , то есть доходности не всех активов одинаковы. Введем следующие обозначения для констант:    TV 1 I  I TV 1 ;   I TV 1I ;    T V 1  ; В силу положительной определенности матрицы  0;   0; V 1      2 .\ справедливы соотношения:  0. Для решения поставленной задачи составим функцию Лагранжа и найдем ее экстремум: L( X ;  ; )  1 T X VX   (1  I T X )  (    T X ) , 2 где  ; - множители Лагранжа. Приравнивая к нулю производную по X и учитывая условия, наложенные на X , получим систему уравнений: VX   I   T . I X  1  T X    Выразим X из первого уравнения: X  V 1 ( I   ) и подставим во второе и третье уравнения: T 1   I V ( I  )  1 .  T 1  V (  I   )     Раскрывая скобки с учетом введенных выше обозначений, получим систему:     1 .        Определитель данной системы равен:       2    0 .   Следовательно, она имеет единственное решение:       ;     1 1  48 1 1        .  Таким образом, портфель минимального риска при заданной его ожидаемой доходности  равен: X  V 1 (       I ) .   Минимальное значение квадрата риска равно:  2  X TVX  (V 1 ( I  ))T VV 1 ( I  )  ( I T  T )V 1 ( I  )    2  2  2   (   )  (   ). Так как     1 и      , то:        2  2    .            2 Для каждого значения ожидаемой доходности  имеется единственный портфель X  , обеспечивающий минимальное значение риска:  ( )   2  2   .  Полученная зависимость  (  ) называется уравнением минимальной границы, а график функции  (  ) называется минимальной границей и представляет собой верхнюю ветвь гиперболы с асимптотами:       и минимумом в точке   M (  ;  )  M ( ; 49 1  ).  B A   1  M      Рис. 1. Минимальная граница Минимальной границей является кривая AMB. Асимптоты изображены штриховыми линиями (крупная штриховка). Точки на более доходной части минимальной границы, то есть на кривой МВ, являются эффективной границей. 4.4.3. Портфель Марковица минимального риска с ожидаемой доходностью не меньшей заданного значения Требуется найти портфель X  ( x1; x2 ;...; xn )T , который минимизировал бы риск  и обеспечивал ожидаемую доходность не меньше заданной величины  . Следовательно, постановка задачи такова: найти минимум целевой функции  2  X TVX  min при условиях: T X   , IT X 1. Решим эту задачу, используя график минимальной границы (рис. 1). При этом возможны два случая. 50 Случай 1. Заданное значение       .  В этом случае портфель минимального риска равен: X  V 1 (       I ) ,   а его риск равен:  2  2    ( )  .  Случай 2. Заданное значение       .  В этом случае портфель минимального риска равен: X  1  V 1I , а его риск равен:   1  . Минимальное значение риска    1 /  достигается при       /  . 4.4.4. Портфель Марковица максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения  0 Требуется найти портфель X  ( x1; x2 ;...; xn )T , который максимизировал бы ожидаемую доходность  и обеспечивал риск  не больше заданной величины  0 . Следовательно, постановка задачи такова: найти максимум целевой функции:    T X  max при условиях:  2  X TVX   02 , IT X 1. Решим эту задачу, используя график минимальной границы в виде : 51  2 ( )   2  2   .  2  02 1     0 Рис. 2. График минимальной границы  2 (  ) . Из рис. 2 видно, что если рассматривать портфели, для которых 1    2   02 , то точка, лежащая справа на пересечении кривой  2 (  ) и прямой  2   02 даст решение задачи. Таким образом, искомое значение  0 максимальной ожидаемой доходности является наибольшим корнем уравнения:  2  2     02  или  2  2     02  0 . Наибольший корень этого уравнения равен: 0   1      02   .     Искомый портфель максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения  0 , равен: 52 X  V 1 (   0    I 0 ) .   4.5. Портфель Тобина Предположим, что вместе с n рисковыми активами портфель инвестора включает одну безрисковую бумагу с доходностью  f и долей в портфеле x f . Такой портфель называется портфелем Тобина. 4.5.1. Портфель Тобина минимального риска из всех портфелей с заданной ожидаемой доходностью Требуется найти портфель X1  ( x f ; x1; x2 ;...; xn )T , который минимизировал бы риск  и обеспечивал заданную величину  ожидаемой доходности. Следовательно, постановка задачи такова: найти минимум целевой функции  2  X TVX  min при условиях:  f x f  T X   , xf  I T X 1 , где X  ( x1; x2 ;...; xn )T . Умножим нижнее уравнение на  f :  f x f  T X    f xf   f T X   f и исключим переменную x f из уравнений, вычитая из верхнего уравнения нижнее. Получим уравнение: (   f I )T X     f . Задача оптимизации примет следующий вид: 53 найти минимум целевой функции  2  X TVX  min при условии: (   f I )T X     f . Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа и запишем для нее необходимые условия экстремума: L 1 T X VX   ((    f I )T X     f ) . 2 Необходимые условия экстремума имеют вид: VX   (    f I ) .  T (    f I ) X     f Выразим X из первого уравнения и подставим во второе: X  V 1 (   f I ) ;  (T   f I T )V 1 (   f I )     f или  ( 2f  2 f   )     f . Множитель Лагранжа равен:    f   f  ,   2 f   d2 2 f где d 2  (   f I )T V 1 (   f I )   2f  2 f   и d   2f  2 f   . Вектор рисковых долей равен: X   f d2 V 1 (    f I ) . Безрисковая доля равна: xf  1 I T X  1   f d 54 2 I TV 1 (    f I ) . Квадрат минимального риска равен:  2  X T VX   2 (  T   f I T )V 1VV 1 (    f I )   2 ( 2f  2 f   )     f  2    f    d   2  d   d  2 2 Так как    f , то уравнение минимальной границы портфеля Тобина имеет вид:    f d . Можно показать, что эта прямая является касательной к графику минимальной границы портфеля Марковица:   2  2   .  Координаты точки касания равны: T     f ;    f T  d .    f При этом сам касательный портфель равен: XT  T   f d2 V 1 (    f I ) . Включение безрискового актива в портфель на практике отвечает возможности занимать или давать в долг финансовые ресурсы по безрисковой ставке. Безрисковый актив, входящий в портфель с положительной долей означает, например, покупку государственных облигаций. Безрисковый актив, входящий в портфель с отрицательной долей, может означать заем по безрисковой ставке. Включение в портфель безрискового актива существенно упрощает множество эффективных портфелей (рис. 3). 55  M 1 T M F   f Рис. 3. Множество эффективных портфелей Тобина. Множеством эффективных портфелей является полупрямая FM 1 . Эффективные портфели составляются из безрискового актива F ( f ;0) и касательного портфеля T ( T ;  T ) . Полупрямая FM 1 состоит из точек: M  tF  (1  t )T . Если t  [0;1] t  [0;1] , то эффективным множеством портфелей является отрезок FT . соответствует наличию в портфеле безрисковой бумаги. Если t  (;0) , то эффективным множеством портфелей является полупрямая TM 1 . t  (;0) соответствует заимствованию финансовых ресурсов в долг по без- рисковой ставке. 4.5.2. Портфель Тобина максимальной доходности из всех портфелей риска не более заданного значения  0 Требуется найти максимальное значение целевой функции:  f x f  T X  max при условиях:  2  X TVX   02 , xf  I T X 1 . 56 Решим данную задачу графически. На рис.4 изобразим эффективную границу портфеля Тобина:    f ;   f d и граничную прямую    0 . Так как по условию:    0 , то портфель максимальной доходности, удовлетворяющий этому условию, будет в точке пересечения луча    f ;   f d и прямой    0 .     f  Рис. 4. Определение максимальной доходности портфеля  0 . Таким образом,  0 находится из уравнения: 0  0   0d   f Откуда: 0   f d и ; 0   f   0d . Зная  0 можно найти соответствующий рисковый портфель X0  0   f d 2 V 1 (    f I ) или и долю безрискового актива в портфеле Тобина: x f  1 I T X 0 . 57 X0  0 d V 1 (    f I ) Лекция 5. Модели ценообразования ценных бумаг 5.1. Модель Тобина (портфели с одним безрисковым активом) Введем сначала обозначения, которые используются в этой лекции. Векторы ниже обозначаются полужирными латинскими или греческими строчными буквами: 𝒙, 𝒖 , 𝝉 и т.д. и понимаются как вектор-столбцы. По типографским соображениям вектор-столбцы в тексте часто изображаются в виде строк. Пусть рынок состоит из безрискового актива 𝐴0 и 𝑛 рисковых активов 𝐴1 , 𝐴2 , ..., 𝐴𝑛 . Доходность актива 𝐴𝑖 обозначим через 𝑅𝑖 . 𝑅𝑖 является случайной величиной для всех рисковых активов, 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Для безрискового актива 𝐴0 , 𝑅0 – детерминированная величина. Ожидаемая доходность актива 𝐴𝑖 обозначается символом 𝑟𝑖 = 𝐸(𝑅𝑖 ). Заметим, что для безрискового актива 𝐴0 𝑟0 = 𝐸(𝑅0 ). Вариация или дисперсия (стандартное отклонение соотв.) актива 𝐴𝑖 обозначается символом 𝑉(𝑅𝑖 ) или 𝜎𝑖2 (𝜎𝑖 соотв.). Ковариация доходностей активов 𝐴𝑖 , 𝐴𝑗 обозначается символом 𝑐𝑖𝑗 : 𝑐𝑖𝑗 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑗 ) Для безрискового актива имеем 𝜎0 = 0. Отсюда 𝑐00 = 𝑉(𝑅0 ) = 0 и 𝑐0𝑖 = 𝑐𝑖0 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅0 , 𝑅𝑖 ) = 0 для всех 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Пусть 𝒓 = (𝑟0 , 𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑛 ) - вектор ожидаемых доходностей всех активов 𝒓 = (𝑟1 , 𝑟2 , … , 𝑟𝑛 ) - вектор ожидаемых доходностей рисковых активов 58 0 0 0 𝑐11 𝐶=( ⋮ ⋮ 0 𝑐𝑛1 ⋯ 𝑐1𝑛 0 0 )=( ) - матрица ковариаций доходностей всех акти⋱ ⋮ 0 𝐶 ⋯ 𝑐𝑛𝑛 вов (номера строк и столбцов матрицы начинается с нуля), где 𝑐11 𝐶=( ⋮ 𝑐𝑛1 ⋯ 𝑐1𝑛 ⋱ ⋮ ) ⋯ 𝑐𝑛𝑛 - матрица ковариаций доходностей рисковых активов. Портфель в модели Тобина будем обозначать 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝑥0 , 𝒙), где 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). В этих обозначениях, векторы 𝒓, 𝒙, матрица 𝐶 относятся только к рисковым активам, а подчеркнутые векторы 𝒓, 𝒙 и матрица 𝐶 включают также безрисковый актив 𝐴0 . Вектор-столбец 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝑥0 , 𝒙) есть портфель, т.е. для него выполняется основное портфельное ограничение 𝑥0 + 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 1. Вектор 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) в общем случае портфелем не является. Он будет портфелем, только если 𝑥0 = 0. В общем случае 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 = 1 − 𝑥0 . Разложим вектор 𝒙 на рисковую и безрисковую части: 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = (𝑥0 , 0,0, … ,0) + (0, 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) = = 𝑥0 (1,0,0, … ,0) + (1 − 𝑥0 ) (0, 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 , ,…, )= 1 − 𝑥0 1 − 𝑥0 1 − 𝑥0 = 𝑥0 𝒆0 + (1 − 𝑥0 )𝝉, где 𝒆0 = (1,0,0, … ,0); 𝝉 = (0, 𝜏1 , 𝜏2 , … , 𝜏𝑛 ); 𝜏1 = 59 𝑥1 𝑥𝑛 , … , 𝜏𝑛 = . 1 − 𝑥0 1 − 𝑥0 (5.1) Вектор 𝒆0 , очевидно, представляет собой портфель, состоящий только из безрискового актива. Вектор 𝝉 также представляет собой портфель размерности 𝑛 + 1, так как 0 + 𝜏1 + 𝜏2 + ⋯ + 𝜏𝑛 = 𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑛 1 − 𝑥0 = = 1. 1 − 𝑥0 1 − 𝑥0 Портфель 𝝉 называется касательным, и мы в дальнейшем увидим, какую важную роль он играет в модели Тобина. В общем случае произвольный портфель 𝒙 можно представить в виде 𝒙 = 𝛼𝒆0 + 𝛽𝝉, где 𝛼 + 𝛽 = 1, (5.2) т.е. разложить на безрисковую и чисто рисковую части 𝒆0 и 𝝉, которые сами являются портфелями. Ожидаемая доходность портфеля в модели Тобина может быть представлена в обычном виде 𝑟(𝒙) = 𝑟0 𝑥0 + 𝑟1 𝑥1 + 𝑟2 𝑥2 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑥𝑛 = (𝒙 , 𝒓) = 𝒙𝑇 𝒓. (5.3) Здесь (𝒙 , 𝒓) – скалярное произведение векторов 𝒙 и 𝒓. Так как 𝑥0 = 1 − 𝑥1 − 𝑥2 − ⋯ − 𝑥𝑛 , то последнее равенство можно переписать в виде 𝑟(𝒙) = 𝑟(𝒙) = 𝑟0 + (𝑟1 − 𝑟0 )𝑥1 + (𝑟2 − 𝑟0 )𝑥2 + ⋯ + (𝑟𝑛 − 𝑟0 )𝑥𝑛 . (5.4) Введем вектор 𝒓0 = (𝑟1 − 𝑟0 ; 𝑟2 − 𝑟0 ; … ; 𝑟𝑛 − 𝑟0 ) (5.5) (не путать вектор 𝒓0 со скалярной величиной 𝑟0 ). Тогда выражение для доходности можно представить в векторном виде 𝑟(𝒙) = 𝑟(𝒙) = 𝑟0 + (𝒓0 , 𝒙) = 𝑟0 + 𝒙𝑇 𝒓0 . (5.6) Риск (вариация) портфеля в модели Тобина 𝑉(𝒙) = 𝑉(𝒙) = (𝐶𝒙, 𝒙) = 𝒙𝑇 𝐶𝒙, 60 (5.7) т.е. зависит только от рисковых активов и соответственно от матрицы ковариаций 𝐶 рисковых активов. Функция полезности имеет вид 𝜃 𝜃 𝑈(𝒙) = 𝑈(𝒙) = 𝑟(𝒙) − 𝑉(𝒙) = 𝑟0 + (𝒓0 , 𝒙) − (𝐶𝒙, 𝒙) = 2 2 = 𝑟0 + 𝒙𝑇 𝒓0 − 𝜃 𝑇 𝒙 𝐶𝒙 , 2 (5.8) где  − коэффициент неприятия риска. 5.2. Основные предположения модели CAPM Ниже мы рассмотрим одну из самых известных теорий рынка капитала – модель оценивания финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, или сокращенно, CAPM). Модель CAPM относится к равновесным моделям. Иначе говоря, при заданных предположениях о рынке и поведении инвесторов она определяет теоретическую или равновесную стоимость актива. Математически CAPM описывается двумя основными уравнениями: эффективной и характеристической линиями рынка. Основная модель оценивания финансовых активов базируется на теории портфеля, рассмотренной в предыдущих лекциях. Она предполагает выполненными ряд условий. 1) Все инвесторы имеют дело с одним и тем же совершенным рынком. 2) Все инвесторы имеют один и тот же инвестиционный горизонт, т.е. они планируют инвестиции на один и тот же период времени. 3) Все инвесторы ведут себя рационально, т.е. все они выбирают оптимальные (в смысле портфельной теории Марковица) портфели, исходя из индивиду- 61 альных предпочтений, которые описываются функцией полезности. Функция полезности в свою очередь определяется индивидуальным коэффициентом неприятия риска. 4) Все инвесторы одинаково оценивают рынок. Формально это означает, что все инвесторы исходят из одних и тех же значений параметров рынка: вектора ожидаемых доходностей и матрицы ковариаций. 5) На рынке имеется (абсолютно) безрисковый портфель с фиксированной доходностью. 6) Позиции инвесторов на рынке никак не ограничиваются. Они могут занимать длинные и короткие позиции любой величины по любым активам. Наконец, активы безгранично делимы, так что веса портфелей могут принимать любые вещественные значения. Ниже будут рассмотрены следствия перечисленных выше предположений, составляющих содержание основной модели оценивания (CAPM). Согласно перечисленным выше предположениям, основной моделью рынка является модель Тобина с безрисковым активом, которую мы будем для краткости называть стандартной моделью. В дальнейшем мы будем работать в рамках этой модели. В стандартной модели предполагается существование безрискового актива 𝐴0 , доходность 𝑟0 которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Остальные активы 𝐴1 , 𝐴2 , ..., 𝐴𝑛 – рисковые, т.е. имеют ненулевую вариацию (дисперсию). 5.3. Уравнение эффективной линии рынка Напомним, что, критериальное множество (в координатах риск 𝜎, доходность 𝑟) стандартной модели является частью плоскости, ограниченной парой лучей с вершиной соответствующей оценке безрискового актива. Внутри этого множества 62 находится критериальное множество модели Блека, соответствующей рисковой части стандартной модели (т.е. образованной ее рисковыми активами), которая представляет собой часть критериальной плоскости, ограниченную ветвями гиперболы. На рис. 5.1 изображено критериальное множество рисковой части модели и минимальная граница модели Тобина, образованная парой лучей, выходящих из точки соответствующей безрисковому активу. При этом верхний луч 𝑄0 𝑄𝜏 , представляющий собой эффективное множество стандартной модели, касается верхней ветви гиперболы – эффективной границы рисковых активов в точке, соответствующей оценке 𝑄𝜏 касательного портфеля 𝝉 (рис.5.2). r σ Рис. 5.1. r Qτ r* r0 Q* Qu Q0 σ Рис. 5.2. 63 Условие 4 основных предположений модели CAPM подразумевает, что все инвесторы одинаково оценивают рынок. Поэтому из совпадения оценок параметров рынка всеми инвесторами следует, что критериальные множества, их границы (как минимальная, так и эффективная) и касательные портфели так же будут совпадать для всех инвесторов. Поскольку в силу условия рациональности (условие 3), каждый инвестор выбирает оптимальные по Марковицу портфели, то эти портфели будут эффективными. Оценки этих портфелей для всех инвесторов будут лежать на одной и той же эффективной границе – верхнем луче 𝑄0 𝑄𝜏 . На этом же луче лежат оценки двух фиксированных портфелей: безрискового 𝒆0 = (1,0,0, … ,0) и касательного 𝝉 = (0, 𝝉), 𝝉 = (𝜏1 , 𝜏2 , … , 𝜏𝑛 ). При этом 𝝉 = (1⁄𝛾)𝒈, где 𝒈 = 𝐶 −1 𝒓0 , 𝛾 = (𝒆, 𝒈) = 𝒆𝑇 𝒈, 𝒓0 = (𝑟1 − 𝑟0 ; 𝑟2 − 𝑟0 ; … ; 𝑟𝑛 − 𝑟0 ). Здесь 𝐶 −1 – матрица, обратная матрице ковариаций 𝐶 рисковых активов, 𝒆 = (1; 1; … ; 1). Заметим, что коэффициент 𝛾 – есть просто сумма компонент вектора 𝒈 и деление 𝒈 на 𝛾 означает нормировку с целью превратить вектор 𝒈 в портфель. Из этих фактов следует основной вывод CAPM, что оптимальный портфель любого инвестора является линейной комбинацией всего двух фиксированных портфелей – безрискового и касательного (рискового) портфелей. Эффективная граница модели Тобина, как уже упоминалось, в англоязычной литературе называется capital market line (CML) – линией рынка капитала. Поскольку это прямая линия, проходящая через оценки безрискового и касательного портфеля, то ее уравнение можно записать в виде 𝑟 = 𝑟0 + 𝑟𝜏 − 𝑟0 𝜎, 𝜎𝜏 где 𝑟𝜏 – ожидаемая доходность, а 𝜎𝜏 – риск касательного портфеля. 64 (5.9) Рыночный портфель. Рассмотрим теперь подробнее структуру касательного портфеля. Пусть на рынке обращается 𝑛 активов 𝐴1 , 𝐴2 , ..., 𝐴𝑛 и, кроме того, на рынке имеется 𝑞 участников 𝐵1 , 𝐵2 ,…, 𝐵𝑞 – инвесторов, покупающих и продающих эти активы. Пусть каждый участник-инвестор 𝐵𝑘 обладает начальным капиталом 𝑉 𝑘 , где 𝑘 = 1, … , 𝑞. Каждый из этих участников сформирует оптимальный, с учетом своего отношения к риску, портфель 𝒙𝑘 = (𝑥0𝑘 , 𝒙𝑘 ) , 𝑘 = 1, … , 𝑞, (5.10) где 𝑥0𝑘 – доля начального капитала, инвестируемая в безрисковый актив: а 𝒙𝑘 – рисковая часть портфеля инвестора 𝐵𝑘 . Начальный инвестируемый капитал 𝑉 𝑘 инвестора 𝐵𝑘 разобьется на две части: безрисковую 𝑉0𝑘 = 𝑥0𝑘 ∙ 𝑉 𝑘 и рисковую 𝑊 𝑘 = (1 − 𝑥0𝑘 )𝑉 𝑘 , так что 𝑉 𝑘 = 𝑉0𝑘 + 𝑊 𝑘 . Таким образом, общий рисковый капитал, вложенный во все рисковые активы, будет равен 𝑊 = 𝑊1 + 𝑊 2 + ⋯ + 𝑊 𝑞 . (5.11) Поскольку все инвесторы вкладывают рисковую часть в один и тот же касательный портфель 𝝉 = (𝜏1 , 𝜏2 , … , 𝜏𝑛 ), то портфель, соответствующий рисковой части 𝒙𝑘 𝒙𝑘 𝒖 = 1 − 𝑥0𝑘 𝑘 будет совпадать с касательным портфелем, т.е. 𝒖𝑘 = 𝝉 для всех 𝑘 = 1, … , 𝑞. Отсюда немедленно следует, что k-й инвестор вложит в j-й рисковый актив 𝜏𝑗 -ю долю своего рискового капитала 𝑊 𝑘 , т.е. 𝑊𝑗𝑘 = 𝜏𝑗 𝑊 𝑘 . Общая сумма средств, инвестированная в j-й рисковый актив, равна, очевидно, 65 𝑊𝑗 = 𝜏𝑗 𝑊 1 + 𝜏𝑗 𝑊 2 + ⋯ + 𝜏𝑗 𝑊 𝑞 = 𝜏𝑗 (𝑊 1 + 𝑊 2 + ⋯ + 𝑊 𝑞 ) = 𝜏𝑗 𝑊, откуда следует, что 𝜏𝑗 = 𝑊𝑗 . 𝑊 (5.12) Мы получили простое и чрезвычайно важное описание касательного портфеля. Вес j-го актива данного портфеля равен рыночной доли этого актива, т.е. отношению суммы средств, вложенных в этот актив, к общей сумме средств, вложенных во все рисковые активы. Это приводит нас к следующему важнейшему выводу: в условиях рыночного равновесия цены на рисковые активы установятся таким образом, что будет выполняться соотношение (5.12). В силу указанного обстоятельства касательный портфель называют также рыночным портфелем. В дальнейшем мы будем обозначать этот портфель символом 𝜋𝑀 , представляющий его вектор весов 𝒙𝑀 , доходность 𝑟𝑀 , вариацию 𝑉𝑀 или 𝜎𝑀2 , а стандартное отклонение – 𝜎𝑀 . Используя эти обозначения уравнение, (5.9) эффективной линии рынка можно переписать в виде 𝑟 = 𝑟0 + 𝑟𝑀 − 𝑟0 𝜎. 𝜎𝑀 (5.13) Поскольку оценки всех эффективных портфелей лежат на эффективной линии рынка, то для любого такого портфеля 𝜋𝑒 будет выполняться соотношение 𝑟𝜋 = 𝑟(𝜋𝑒 ) = 𝑟0 + 𝑟𝑀 − 𝑟0 𝜎(𝜋𝑒 ). 𝜎𝑀 (5.14) Замечание . Во многих учебниках по финансам вместо 𝑟0 , 𝑅0 пишут 𝑟𝑓 , 𝑅𝑓 (risk-free). В этих обозначениях уравнение эффективной линии рынка запишется в виде 𝑟𝜋 = 𝑟𝑓 + Коэффициент 𝑟𝑀 − 𝑟0 𝜎𝑀 66 𝑟𝑀 − 𝑟𝑓 𝜎𝜋 . 𝜎𝑀 (5.15) часто называют рыночной ценой риска (при измерении риска в единицах стандартного отклонения), а произведение этого коэффициента на величину риска (т.е. второе слагаемое в формулах (5.14), (5.15)) – премией за риск, которую требует инвестор при вложении капитала в рисковые активы. Из (5.14) очевидно, что премия за риск для портфеля в равновесии равна превышению его доходности над безрисковой доходностью, т.е. разности 𝑟𝜋 − 𝑟0 . При этом превышение рыночной доходности над безрисковой, т.е. разность 𝑟𝑀 − 𝑟0 , называют рыночной премией. В терминах премий уравнение эффективной линии рынка утверждает, что премия эффективного портфеля всегда пропорциональна рыночной премии. 5.4. Формирование оптимальных портфелей с использованием CAPM Пусть рыночный портфель 𝜋𝑀 (с вектором весов 𝒙𝑀 ) задан и известны его ожидаемая доходность 𝑟𝑀 = 𝑟(𝒙𝑀 ) (рыночная доходность) и риск 𝜎𝑀 (рыночный риск), то проблема выбора оптимального портфеля становится практически тривиальной. Для формирования оптимального портфеля инвестор должен задать всего один параметр. Это может быть либо 1) требуемая доходность портфеля, либо 2) допустимый риск, либо 3) коэффициент неприятия риска. Во всех случаях оптимальный портфель ищется как линейная комбинация 𝒙 = 𝑥0 𝒆0 + 𝑥𝑀 𝒙𝑀 безрискового 𝒆0 и рыночного портфеля 𝒙𝑀 . Таким образом, по существу, ищется двумерный портфель 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥𝑀 ) в модели Тобина с параметрами 𝒓 = (𝑟0 , 𝑟𝑀 ); 𝑐00 = 0; 𝑐01 = 𝑐10 = 0; 𝑐11 = 𝜎𝑀2 . Рассмотрим подробнее все три случая. Оптимальный портфель с заданной доходностью. Допустим, что инвестор желает сформировать оптимальный портфель 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥𝑀 ) с требуемой доходностью 𝐸0 . Но тогда доходность портфеля 𝒙 должна быть равна требуемой доходности 𝑟(𝒙) = 𝑥0 𝑟0 + 𝑥𝑀 𝑟𝑀 = 𝐸0 . 67 Поскольку 𝑥0 + 𝑥𝑀 = 1 или 𝑥𝑀 = 1 − 𝑥0 , то 𝑥0 𝑟0 + (1 − 𝑥0 )𝑟𝑀 = 𝐸0 . Откуда окончательно получаем 𝑥0 = 𝑟𝑀 − 𝐸0 𝑟0 − 𝑟0 и 𝑥𝑀 = . 𝑟𝑀 − 𝑟0 𝑟𝑀 − 𝑟0 (5.16) Замечание. Эти формулы можно не запоминать! Проще производить замену 𝑥𝑀 = 1 − 𝑥0 и решать задачу в каждом конкретном случае. Оптимальный портфель с заданным риском. Пусть теперь инвестор ищет оптимальный портфель с риском, не превышающим заданное значение 0 . Тогда из разложения 𝒙 = 𝑥0 𝒆0 + 𝑥𝑀 𝒙𝑀 следует 2 𝑉(𝒙) = 𝑥𝑀 𝑉(𝒙𝑀 ) или 𝜎(𝒙) = |𝑥𝑀 |𝜎𝑀 = 0 , Из последнего равенства находим |𝑥𝑀 | = 0 𝜎𝑀 или 𝑥𝑀 = 0 при 𝑥𝑀 ≥ 0; 𝑥𝑀 = − 𝜎𝑀 0 при 𝑥𝑀 ≤ 0. 𝜎𝑀 Учитывая, что 𝑥𝑀 = 1 − 𝑥0 (основное портфельное ограничение), имеем 𝑥0 = 1 − 0 𝜎𝑀 или 𝑥0 = 1 + 0 𝜎𝑀 . Поскольку 𝑟(𝒙) = 𝑥0 𝑟0 + 𝑟𝑀 𝑟𝑀 , то 𝑟(𝒙) = (1 − 0 𝜎𝑀 ) 𝑟0 + ( 0 𝜎𝑀 ) 𝑟𝑀 = 𝑟0 + ( 0 𝜎𝑀 ) (𝑟𝑀 − 𝑟0 ) (5.17) или 𝑟(𝒙) = (1 + 0 𝜎𝑀 ) 𝑟0 − ( 68 0 𝜎𝑀 ) 𝑟𝑀 = 𝑟0 + ( 0 𝜎𝑀 ) (𝑟0 − 𝑟𝑀 ). (5.18) Так как инвестор при заданном риске выберет портфель с наибольшей доходностью, то 𝑥0 = 1 − 0 𝜎𝑀 , если 𝑟𝑀 ≥ 𝑟0 , (5.19) т.е. если ожидаемая рыночная доходность не ниже доходности безрискового актива (типичный случай). С другой стороны, имеем 𝑥0 = 1 + 0 𝜎𝑀 , если 𝑟𝑀 < 𝑟0 . (5.20) Последний случай реализуется на падающем («медвежьем») рынке, когда ожидается снижение цен большинства обращающихся на рынке активов. Оптимальный портфель с наибольшей полезностью. В этом случае инвестор задает коэффициент неприятия риска . Тогда функция полезности инвестора имеет вид 𝑈(𝒙) = 𝑟(𝒙) − 𝜃 𝑉(𝒙). 2 Обозначим оптимальный портфель через 𝒙 = (𝑥0 , 𝑥𝑀 ). Поскольку 𝑟(𝒙) = 𝑟0 (1 − 𝑥𝑀 ) + 𝑥𝑀 𝑟𝑀 = 𝑟0 + (𝑟𝑀 − 𝑟0 )𝑥𝑀 и 𝑉(𝒙) = (𝑥𝑀 )2 𝑉𝑀 , то 𝜃 2 𝑈(𝒙) = 𝑈(𝑥𝑀 ) = 𝑟0 + (𝑟𝑀 − 𝑟0 )𝑥𝑀 − 𝑥𝑀 𝑉𝑀 . 2 Мы получили функцию одной переменной 𝑥𝑀 . Найти точку максимума этой функции можно, приравняв к нулю ее производную: 𝑈 ′ (𝑥𝑀 ) = 𝑟𝑀 − 𝑚0 − 𝜃𝑥𝑀 𝑉𝑀 = 0. Отсюда 𝑥𝑀 = 𝑟𝑀 − 𝑟0 и 𝑥0 = 1 − 𝑥𝑀 . 𝜃 ∙ 𝑉𝑀 (5.21) Замечание. Нет необходимости запоминать формулу (5.21)! Иногда проще производить замену 𝑥0 = 1 − 𝑥𝑀 и решать задачу в каждом конкретном случае. 69 5.5. Бета и характеристическая линия рынка Уравнение эффективной линии рынка связывает линейным образом доходность и риск эффективных портфелей. Основателями САРМ была обнаружена более глубокая связь между доходностью и риском любых портфелей и, в частности, любых активов. Эта связь также линейная. Однако мерой риска в этой связи является не традиционно понимаемая характеристика – стандартное отклонение доходности, а величина, называемая бетой портфеля (актива). Назовем по определению, бетой, случайной величины 𝑅 относительно случайной величины 𝑆 число 𝛽= 𝑐𝑜𝑣(𝑅, 𝑆) . 𝜎𝑆2 (6.22) Бета доходности 𝑅𝜋 портфеля 𝜋 или доходности 𝑅𝐴 актива 𝐴 относительно доходности 𝑅𝑀 рыночного портфеля 𝜋𝑀 называется бетой портфеля (актива) и обозначается 𝜋 (соответственно 𝐴 ): 𝜋 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝜋 , 𝑅𝑀 ) 𝜎𝑀2 и 𝐴 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝐴 , 𝑅𝑀 ) . 𝜎𝑀2 (5.23) Учитывая, что 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝜋 , 𝑅𝑀 ) = 𝑐𝑜𝑟(𝑅𝜋 , 𝑅𝑀 )𝜎𝜋 𝜎𝑀 формулу (5.23) можно переписать в виде 𝜋 = 𝑐𝑜𝑟(𝑅𝜋 , 𝑅𝑀 )𝜎𝜋 𝜎𝑀 𝜎𝜋 = 𝜌𝜋𝑀 . 2 𝜎𝑀 𝜎𝑀 (5.24) Здесь 𝜌𝜋𝑀 – коэффициент корреляции портфеля с рынком. Отметим, что в этом определении речь идет о доходностях – случайных величинах. Определенную выше бету часто называют теоретической бетой в отличие от эмпирической, или статистической, беты, о которой будет сказано ниже. 70 Поскольку ковариация является симметрической билинейной функцией своих аргументов, то, как легко показать, бета портфеля 𝜋 с вектором весов 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … . , 𝑥𝑛 ) является линейной комбинацией бет, составляющих портфель активов: 𝜋 = 1 𝑥1 + 2 𝑥2 + ⋯ + 𝑛 𝑥𝑛 . (5.25) Напомним, что для рынка, заданного своими параметрами 𝒓 и 𝐶, ковариация доходностей 𝑅1 , 𝑅2 портфелей 𝜋1 и 𝜋2 вычисляется по формуле 𝑐𝑜𝑣(𝑅1 , 𝑅2 ) = (𝐶𝒙, 𝒚) = 𝒙𝑇 𝐶𝒚, (5.26) где 𝒙 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 )𝑇 , 𝒚 = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 )𝑇 векторы весов портфелей 𝜋1 и 𝜋2 . Поэтому в модели Тобина бету любого портфеля с вектором весов 𝒙 можно найти по формуле 𝒙 = (𝐶 𝒙, 𝒙𝑀 ) (𝐶𝒙, 𝒙𝑀 ) = . 𝜎𝑀2 𝜎𝑀2 (5.27) Здесь, как всегда, матрица ковариаций 𝐶 и веса портфеля 𝒙, 𝒚 относятся только к рисковым активам, а подчеркнутые величины включают также безрисковый актив. В частности, для эффективного портфеля 𝜋 с вектором весов 𝒙 = 𝑥0 𝑟0 + 𝑥𝑀 𝒙𝑀 , где 𝒙𝑀 = 𝝉 (касательный портфель) получаем (𝐶 𝒙, 𝒙𝑀 ) = 𝑥𝑀 ∙ 𝜎𝑀2 . Из этого следует, что (𝐶 𝒙, 𝒙𝑀 ) 𝑥𝑀 ∙ 𝜎𝑀2 𝜋 = = = 𝑥𝑀 , 𝜎𝑀2 𝜎𝑀2 (5.28) т.е. бета эффективного портфеля равна весу рискового портфеля. Используя бету и формулу (5.14) уравнение эффективной линии рынка можно переписать в виде 𝑟(𝜋𝑒 ) = 𝑟0 + 𝛽𝜋 ∙ (𝑟𝑀 − 𝑟0 ), 71 (5.29) где 𝛽𝜋 – бета эффективного портфеля 𝜋𝑒 . Оказывается, что это соотношение выполняется не только для эффективных, но вообще для всех портфелей и, в частности, для всех активов. Это утверждение составляет содержание второго важнейшего результата САРМ. Уравнение характеристической линии рынка. Для любого портфеля или актива справедливо соотношение 𝑟𝜋 = 𝑟0 + 𝛽𝜋 ∙ (𝑟𝑀 − 𝑟0 ). (5.30) Уравнение (5.30) называется характеристическим уравнением рынка, или основным уравнением САРМ. Оно описывает линейную связь между ожидаемой доходностью портфеля (или актива) и его бетой, представляющей еще одну характеристику риска. На плоскости (𝛽, 𝑟) этому уравнению соответствует прямая линия, называемая характеристической линией рынка (рис. 5.3). r rM М r0 1  Рис. 5.3 .3 В более традиционных обозначениях основное уравнение САРМ запишется в виде 𝑟𝜋 = 𝑟𝑓 + 𝛽𝜋 ∙ (𝑟𝑀 − 𝑟𝑓 ). (5.31) Из (5.30) следует, что коэффициент бета портфеля или актива играет роль «коэффициента усиления», преобразующего рыночную премию 𝑟𝑀 − 𝑟0 в премию по портфелю 𝑟𝜋 − 𝑟0 . Другими словами, бета является мерой чувствительности доходности портфеля или актива к изменениям рыночной доходности. В самом деле, из этого уравнения следует равенство 72 ∆𝑟𝜋 = 𝛽𝜋 ∙ ∆𝑟𝑀 , (5.32) где ∆𝑟𝜋 , ∆𝑟𝑀 – изменения рыночной и портфельной доходностей. Таким образом, прирост ожидаемой доходности (или премии) активов, у которых бета больше единицы, будет больше, чем прирост рыночной премии, а тех, у кого бета меньше единицы – соответственно меньше. Уравнение (6.30) указывает на то, что на равновесном совершенном рынке инвестору компенсируется не полный риск портфеля (или актива), характеризуемый стандартным отклонением 𝜎 (или вариацией 𝑉), а только та его часть, которая представляет рыночный (систематический, не диверсифицируемый) риск, характеризуемый параметром 𝛽. На практике беты активов находят, используя в качестве представителя рыночного портфеля некоторый индекс. В этом случае бета актива определяется по формуле (5.23), где в качестве 𝑀 и 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝐴 , 𝑅𝑀 ) используются полученные по выборке статистические оценки этих величин. 5.6. Однофакторная модель рынка Рассмотрим процедуру так называемой наивной диверсификации. Под этим подразумевается формирование портфеля с одинаковыми весами всех активов. Такой портфель называют также равновзвешенным. Формально для рынка из n активов вектор весов такого портфеля имеет вид 1 1 1 𝒙𝑛 = ( , , … , ). 𝑛 𝑛 𝑛 Его риск (вариация) будет равна 𝑛 𝑛 𝑖,𝑗=1 𝑖,𝑗=1 1 1 𝑉(𝒙𝑛 ) = (𝐶𝒙𝑛 , 𝒙𝑛 ) = ∑ 2 𝑐𝑖𝑗 = 2 ∑ 𝑐𝑖𝑗 . 𝑛 𝑛 Сумму всех элементов ковариационной матрицы можно разложить на две части: сумму диагональных (вариаций) и недиагональных (ковариаций) элементов: 73 𝑛 𝑛 𝑛 ∑ 𝑐𝑖𝑗 = ∑ 𝜎𝑖2 + ∑ 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 . 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 𝑖≠𝑗=1 Очевидно также, что 𝑛 𝑛 𝑛 | ∑ 𝑐𝑖𝑗 | ≤ ∑ 𝜎𝑖2 + | ∑ 𝜌𝑖𝑗 𝜎𝑖 𝜎𝑗 |. 𝑖,𝑗=1 𝑖=1 𝑖≠𝑗=1 Будем считать, что риски всех активов ограничены одним и тем же числом max{𝜎1 , 𝜎2 , … , 𝜎𝑛 } ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑥 . Тогда, применяя неравенство Коши–Буняковского, можно получить оценку сверху для риска равновзвешенного портфеля 𝑛 𝑛 𝑖,𝑗=1 𝑖≠𝑗=1 √𝑛(𝑛 − 1) 1 1 2 2 2 𝑉(𝒙𝑛 ) = 2 ∑ 𝑐𝑖𝑗 ≤ 𝜎𝑚𝑎𝑥 + . (√ ∑ 𝜌𝑖𝑗 ) 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝑛 𝑛 𝑛2 При этом очевидно что первое слагаемое стремится к нулю с ростом n, а второе можно записать в виде 𝑛 √𝑛(𝑛 − 1) 2 2 2 = 𝛼𝑛 ⋅ 𝜎𝑚𝑎𝑥 ⋅ 𝜌̅𝑛 , (√ ∑ 𝜌𝑖𝑗 ) 𝜎𝑚𝑎𝑥 2 𝑛 𝑖≠𝑗=1 где 𝑛 1 2 𝜌̅𝑛 = √ ∑ 𝜌𝑖𝑗 𝑛(𝑛 − 1) 𝑖≠𝑗=1 – среднее квадратичное коэффициентов корреляции активов и 𝛼𝑛 = 1 − 1 → 1 при 𝑛 → ∞. 𝑛 В частности, если активы попарно некоррелированы, т.е. 𝜌𝑖𝑗 = 0 для всех 𝑖, 𝑗 = 1, … , 𝑛, то риск равновзвешенного портфеля стремится к нулю ростом n. В об- 74 щем случае средний коэффициент корреляции отличен от нуля и поэтому риск портфеля, хотя и уменьшается с ростом n, но не может быть сделан сколь угодно малым. Эти теоретические рассуждения легко демонстрируются эмпирическими наблюдениями. На рисунке 5.4 изображен типичный график зависимости риска равновзвешенного портфеля в зависимости от числа случайным образом выбранных акций, включенных в портфель. V n 10 20 30 40 50 Рис. 5.4 Сказанное приводит к утверждению, что полный риск любого портфеля можно разложить на две части. Одна часть риска представляет собой диверсифицируемый (устранимый) риск, другая часть – неустранимый, или рыночный, риск. Уильям Шарп предложил модель для такого разложения в общем случае. Речь идет о так называемой однофакторной модели. Однофакторная (single index) модель Шарпа описывает влияние на доходность акций важнейшего фактора – поведения рынка в целом. Основное уравнение этой модели дает разложение доходности (случайной величины!) актива на компоненты: 𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 ⋅ 𝑅𝑀 + 𝜀𝑖 , (5.33) где 𝑅𝑖 – доходность актива 𝐴𝑖 ; 𝑅𝑀 – доходность рыночного портфеля; 𝛼𝑖 – фиксированный параметр, представляющий нерыночную составляющую доходности актива 𝑖; 𝛽𝑖 – параметр, отражающий влияние изменения рыночной доходности на доход 75 ность i-го актива при изменениях доходности рыночного портфеля; 𝜀𝑖 – случайная ошибка, с 𝐸(𝜀𝑖 ) = 0 и 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖 ) = 𝛿𝑖2 . При этом предполагается выполненными условия некоррелированности: 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖 , 𝜀𝑗 ) = 0 для всех 𝑖 ≠ 𝑗; 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖 , 𝑅𝑀 ) = 0 для всех 𝑖. Уравнение (6.33) называется характеристическим уравнением актива. Часть 𝛼𝑖 + 𝜀𝑖 доходности называется специфической, а 𝛽𝑖 ⋅ 𝑅𝑀 – неспецифической частью доходности актива 𝐴𝑖 . Аналогичным образом на две части разлагается и риск актива. Недиверсифицируемый, систематический, или рыночный, риск связан с общим состоянием рынка, с общезначимыми для всех активов событиями. Его нельзя исключить полностью, поэтому его называют также неустранимым риском. Нерыночный, специфический, диверсифицируемый, или устранимый, риск связан с индивидуальными особенностями конкретного актива и его эмитента. Данный риск является диверсифицируемым, поскольку его можно свести практически к нулю с помощью эффективной диверсификации портфеля. Из уравнения (6.33) и условий некоррелированности следует 𝜎𝑖2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑖 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 ⋅ 𝑅𝑀 + 𝜀𝑖 ) = 𝑉𝑎𝑟(𝛽𝑖 ⋅ 𝑅𝑀 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖 ) = = 𝛽𝑖2 𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑀 ) + 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖 ) или 𝜎𝑖2 = 𝛽𝑖2 ⋅ 𝜎𝑀2 + 𝛿𝑖2 , 𝛿𝑖2 = 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝑖 ). (5.34) Коэффициент бета 𝛽𝑖 : 𝛽𝑖 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑀 ) 𝜎𝑖 = 𝜌 𝜎𝑀 𝑖𝑀 𝜎𝑀2 (5.35) служит мерой систематического, рыночного, риска, где 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖 , 𝑅𝑀 ) – ковариация доходности 𝑅𝑖 актива 𝐴𝑖 с доходностью рыночного портфеля. Разложения (5.33)-(5.34) справедливы не только для отдельных активов, но и для любых портфелей. В частности, справедливо разложение 𝜎𝜋2 = 𝛽𝜋2 ⋅ 𝜎𝑀2 + 𝛿𝜋2 , 𝛿𝜋2 = 𝑉𝑎𝑟(𝜀𝜋 ). 76 (5.36) 5.7. Методы измерения эффективности инвестиций с учетом риска С момента появления портфельной теории и современных моделей рынка, таких как САРМ, были предложены различные показатели эффективности инвестиций. Большинство из них основано непосредственно на использовании САРМ. В этом пункте мы рассмотрим лишь некоторые наиболее известные подходы к определению эффективности инвестиций позволяющих, в частности, характеризовать качество работы различных взаимных фондов. Все эти характеристики основаны на сравнении сформированного инвестором (или управляющим) портфеля с эталоном, в качестве которого рассматривается рыночный портфель. Коэффициент Шарпа (Sharpe measure) представляет собой частное от деления средней избыточной (дополнительной) доходности портфеля за определенный период на стандартное отклонение доходности портфеля  за этот период. Здесь под избыточной доходностью понимается превышение (реализованной) доходности над безрисковой. Статистический коэффициент Шарпа аналитически записывается в виде 𝑆𝜋 = 𝑟𝜋 − 𝑟0 . 𝜎𝜋 (5.37) Таким образом, коэффициент Шарпа выражает соотношение между реализованной премией за риск и полным риском портфеля. В соответствии с портфельной теорией все эффективные (оптимальные) портфели лежат на эффективной линии рынка, так что теоретический коэффициент Шарпа 𝑆𝜋 = 𝐸(𝑅𝜋 ) − 𝑟0 𝜎𝜋 (5.38) для всех эффективных портфелей постоянен. В частности, он равен коэффициенту Шарпа рыночного портфеля 𝑆𝜋 = 𝐸(𝑅𝜋 ) − 𝑟0 𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑟0 = 𝑆𝑀 = . 𝜎𝜋 𝜎𝑀 77 (5.39) Последнее равенство имеет место в условиях равновесия. Согласно САРМ теоретический коэффициент Шарпа любого портфеля не может быть выше рыночного коэффициента Шарпа, представляющего наклон эффективной линии рынка: 𝑆𝜋 ≤ 𝑆𝑀 . (5.40) Таким образом, коэффициент Шарпа – это своего рода мера эффективности портфеля. Заметим, что хотя для теоретических коэффициентов выполняется неравенство (18.29), их выборочные (статистические) значения 𝑆𝜋 и 𝑆𝑀 не обязательно удовлетворяют этому неравенству. В этом случае сопоставление значений 𝑆𝜋 и 𝑆𝑀 позволяет судить о качестве управления инвестициями. Так, если 𝑆𝜋 > 𝑆𝑀 , то говорят, что управляющий победил рынок (beat the market). В противном случае говорят о проигрыше (по сравнению с рынком). Коэффициент Трейнора (Treynor measure). В отличие от коэффициента Шарпа, в статистическом коэффициенте Трейнора рисковая премия соотносится не с полным, а с систематическим риском портфеля: 𝑇𝜋 = 𝑟𝜋 − 𝑟0 𝛽𝜋 . (5.41) Теоретический аналог коэффициента Трейнора записывается в виде 𝑇𝜋 = 𝐸(𝑅𝜋 ) − 𝑟0 . 𝛽𝜋 (5.42) Легко видеть, что согласно САРМ коэффициент Трейнора является константой для всех портфелей и равен рыночному коэффициенту Трейнора. Или учитывая, что бета рынка равна единице, коэффициент Трейнора совпадает с рыночной премией 𝑇𝜋 = 𝐸(𝑅𝜋 ) − 𝑟0 𝐸(𝑅𝑀 ) − 𝑟0 = 𝑇𝑀 = = 𝑟𝑀 − 𝑟0 . 𝛽𝜋 𝛽𝑀 78 (5.43) Это равенство выполняется лишь при условии равновесия рынка. На практике для статистических (выборочных) значений эти коэффициенты обычно не совпадают. Превышение значения 𝑇𝜋 над рыночным значением 𝑇𝑀 считается индикатором превосходства портфеля 𝜋 над рынком. Коэффициент Йенсена (Jensen measure). Статистический коэффициент Йенсена или альфа коэффициент, вычисляется по формуле 𝛼𝜋 = 𝑟𝜋 − (𝑟0 + 𝛽𝜋 (𝑟𝑀 − 𝑟0 )) = (𝑟𝜋 − 𝑟0 ) − 𝛽𝜋 (𝑟𝑀 − 𝑟0 ). (5.44) Коэффициент Йенсена показывает превышение реализованной (средней) доходности над «ожидаемой в соответствии с САРМ» доходностью портфеля. Теоретический коэффициент Йенсена равен 𝛼𝜋 = 𝐸(𝑅𝜋 ) − (𝑟0 + 𝛽𝜋 (𝑟𝑀 − 𝑟0 )) = (𝐸(𝑅𝜋 ) − 𝑟0 ) − 𝛽𝜋 (𝑟𝑀 − 𝑟0 ). (5.45) В соответствии с положениями САРМ теоретический коэффициент альфа на равновесном рынке должен быть равным нулю. Однако на практике он обычно отличен от нуля. Его положительное значение обычно трактуется как превосходство портфеля над рынком. В общем случае эти меры необязательно дают согласованные результаты. Иными словами, портфель, превосходящий некоторый другой портфель (например, рыночный) по одному показателю, необязательно будет превосходить этот же портфель и по другим показателям. Приведенные меры риска можно использовать не только для сравнения с эталоном (рынком), но и для сравнения между собой различных портфелей. Так для любых двух портфелей лучшим относительно выбранной меры (Шарпа, Трейнора или Йенсена) будет считаться тот, для которого соответствующий показатель имеет большее значение. 79 Лекция 6. Производные финансовые инструменты 6.1 Основные понятия На рынке финансовых инструментов принято различать основные и производные финансовые инструменты. К числу основных инструментов относятся, например, банковские счета, акции, облигации. Производные инструменты (деривативы) – это ценные бумаги, стоимость которых базируется на стоимости лежащих в их основе основных инструментов. К настоящему времени широкое распространение получили четыре основных вида производных финансовых инструмента – это опционные контракты (опционы), форвардные контракты, фьючерсные контракты (фьючерсы) и свопы. Опционный контракт – дает право, но не обязывает купить (продать) какой– либо актив по определенной цене, в определенную дату или до её наступления. За получение такого права покупатель уплачивает продавцу некоторую премию. Например, для покупки автомобиля стоимостью 500000 рублей покупателю не хватает денежных средств. Допустим, дилер предлагает за небольшую сумму в 15000 рублей придержать этот автомобиль для покупателя в течение недели и продать автомобиль покупателю по старой цене, пока тот оформляет на недостающую для покупки сумму кредит. При этом сумма в 15000 рублей перейдет к дилеру не зависимо от того купит ли эту машину покупатель или нет. Таким образом, между дилером и покупателем может быть заключен опционный контракт. Покупатель получает право купить авто через неделю по фиксированной цене, без обязательства сделать это. Возможно, за неделю автомобиль подешевеет, тогда покупатель просто не станет исполнять свой опцион. Если контракт будет исполнен, то стоимость авто составит 500000 + 15000 = 515000 рублей даже в том случае, если цена автомобиля в автосалоне вырастет. Таким образом, покупатель может защитить себя от нежелательного изменения цены или другими словами захеджировать риск. 80 Форвардный контракт – это сделка, в которой продавец и покупатель договариваются о поставке актива (какого-нибудь товара) определенного качества и в определенном количестве в указанную в договоре дату, при этом цена оговаривается либо заранее, либо в момент поставки актива. Примером форвардного контракта может служить покупка иностранного автомобиля у дилера с отсроченной поставкой по оговоренной цене. Покупатель вносит аванс за автомобиль, который дилер поставит покупателю лишь через несколько месяцев. За время доставки цены на автомобили на рынке могут измениться. Однако для покупателя цена автомобиля, зафиксированная в контракте, не изменится. Таким образом, покупатель приобрел право купить автомобиль с отсрочкой поставки и обязался совершить эту сделку. Фьючерсный контракт (фьючерс) — это соглашение между продавцом и покупателем о купле-продаже определенного актива на фиксированную будущую дату. Цена контракта, меняющаяся в зависимости от внешних факторов, фиксируется в момент совершения сделки. После заключения фьючерсного контракта между покупателем и продавцом информация о заключённой сделке становится общедоступной (известной), что является основным отличием фьючерсных контрактов от форвардных, где цены носят конфиденциальный характер. Назначением фьючерсных контрактов может быть получение спекулятивной прибыли и/или защита от нежелательных колебаний цен на базовый актив. Своп – торгово-финансовая операция, заключающаяся в обмене разнообразными активами, при котором покупка (продажа) актива сопровождается заключением контрсделки по продаже (покупке) того же товара через определенный срок на тех же или иных условиях. Своп используется, например, для финансирования под залог ценных бумаг или, наоборот, для займа бумаг для выполнения обязательств по их поставке, снижения рисков, хеджирования. 81 6.2. Опционы колл и пут Важнейшим видом производных финансовых инструментов являются опционы. Колл–опцион (call option), или опцион покупателя, дает его владельцу право (но, в отличие от контракта, не обязанность) купить определенный актив по фиксированной цене, называемой ценой исполнения, в установленное время в будущем или до его наступления. В роли актива могут выступать товар, ценная бумага, валюта и т. п. Пут–опцион (put option), или опцион продавца, дает его владельцу аналогичное право продать актив. Реализация права на покупку (в случае колл–опциона) или продажу (в случае пут–опциона) называется исполнением опциона. Таким образом, опцион (как финансовый инструмент) характеризуется следующими числовыми параметрами:  ценой исполнения K;  датой истечения срока действия опциона T;  Pr - премией или стоимостью опциона. Дату, когда происходит фактическая купля или продажа актива в соответствии с условиями опциона, называют датой исполнения опциона. Различают американские и европейские опционы. Если опцион может быть исполнен в любой момент до даты истечения срока действия, его называют американским. Европейский опцион может быть исполнен только в установленный срок. Выигрыш владельца европейского колл–опциона на момент его исполнения T составляет величину CT = max {0, S – K}, (4.1) где S – цена актива в момент исполнения опциона, а K – цена исполнения опциона. Если в момент исполнения опциона T цена актива S превышает цену исполнения K, владелец опциона использует свое право купить актив по цене ниже рыночной. При этом на разнице цен он получает выигрыш, равный S – K. В случае, когда на 82 момент исполнения цена актива оказывается ниже цены исполнения, владелец опциона отказывается от покупки. Аналогично, выигрыш по европейскому пут–опциону на момент его исполнения T составляет величину PT = max {0, K – S}. (4.2) Пример 1. Инвестор приобретает некоторый рисковый актив за 100 д.е. с тем, чтобы продать его через два месяца. Одновременно за 2 д.е. инвестор приобретает европейский опцион пут на этот актив со сроком исполнения через два месяца и ценой исполнения 103 д.е. Для этих целей инвестор занимает 102 д.е. под 9% годовых при непрерывном начислении процентов. Определить (в зависимости от цены базового актива на момент продажи) прибыль, которую принесет планируемая операция. Р е ш е н и е . Через два месяца инвестор должен вернуть сумму 102e0,092/12 = 103,54 д.е. Пусть S – цена базового актива на момент его продажи. Тогда прибыль составит S – 103,54, если S > 1 0 3 , и –0,54, если S  1 0 3 . В настоящее время существуют опционы на широкий спектр товарно-сырьевых продуктов и финансовых инструментов, из которых можно выделить четыре основных вида:  Процентные (опционы на процентные фьючерсы; опционы на соглашения о будущей процентной ставке – гарантии процентной ставки; опционы на процентные свопы);  Валютные (опционы на наличную валюту; опционы на валютные фьючерсы);  Фондовые (опционы на акции; опционы на индексные фьючерсы);  Товарные (опционы на физические товары и на товарные фьючерсы). Покупатель опциона может купить или продать некоторый актив в соответствии со своим правом (исполнить опцион), а продавец в этом случае должен произвести поставку, т.е. продать или купить его в соответствии с контрактом. Чтобы получить право купить или продать базовый инструмент в день истечения опциона 83 (день экспирации) или ранее – покупатель опциона должен заплатить продавцу определенную плату – премию, которая тем больше, чем больше срок действия опционного контракта. Если держатель не исполняет опцион, то он просто "выходит" из сделки с продавцом, теряя уплаченную премию. Продавцами опционов обычно выступают брокеры, дилеры и т.п., которые рассчитывают на свое знание рынка деривативов, что позволяет им свести к минимуму опционные риски. При неблагоприятной же ситуации эти риски, как видно из рисунков ниже, могут быть неограниченными. а б Рисунок 4.1 Доход покупателей а) пут–опциона и б) колл–опциона при их реализации на дату исполнения в зависимости от стоимости актива. Из рисунка 4.1 видно, что убыток покупателя этих опционов в случае развития неблагоприятной ситуации на рынке может составить не более 5 усл. единиц, а прибыль почти ничем не ограничена. Очевидно, что убыток продавца, равный прибыли покупателя, может быть достаточно большим, а максимальное вознаграждение составит всего лишь 5 усл. единиц, что соответствует размеру премии. 84 а б Рисунок 4.2. Доход продавцов а) пут–опциона и б) колл–опциона при их реализации на дату исполнения в зависимости от стоимости актива. 6.3. Опционные стратегии Сделки с опционами в сочетании с самими акциями позволяют создавать разнообразные стратегии, при которых одинаковым доходам могут соответствовать различные степени риска и наоборот. При одном и том же риске расходы могут существенно различаться. В условиях меняющейся рыночной ситуации всегда возникает задача минимизации ошибок, которые могут привести к снижению доходности инвестиций, а порой и полной потере вложенного капитала. Опционные стратегии, как правило, выполняют хеджирующие функции, а также позволяют инвестору при благоприятном для него поведении цены базисного актива получить прибыль. При формировании опционных стратегий большое значение придается расчету максимальных возможных расходов и потенциальной прибыли инвестора. Опционные стратегии можно разделить на следующие основные группы: - простые; - спрэд; - комбинированные; - синтетические. 85 Простые опционные стратегии – это открытие одной позиции, т.е. покупка или продажа колл– опционов или пут–опционов (рис.4.1, рис.4.2). Спрэд – это портфель опционов, состоящий из опционов одного вида, на одни и те же активы, но с разными ценами исполнения и (или) датами истечения. Причем одни из них являются длинными, а другие – короткими. В свою очередь спрэд подразделяется на вертикальный (цилиндрический или денежный), горизонтальный и диагональный. Вертикальный спрэд может объединять опционы с одной и той же датой истечения контрактов, но с различными ценами исполнения и наоборот. Например, продажа опциона «колл» («пут») и покупка опциона «колл» («пут») с одинаковой датой исполнения, но цена исполнения продаваемого опциона больше, чем цена исполнения покупаемого опциона. Горизонтальный (календарный) спрэд состоит из опционов с одинаковыми ценами исполнения, но с различными датами истечения контрактов, к примеру: – продажа краткосрочного опциона «колл» («пут») и покупка долгосрочного опциона «колл» («пут») с одинаковой ценой исполнения. В этом случае дата исполнения продаваемого опциона ближе, чем дата исполнения покупаемого опциона; – продажа долгосрочного опциона «колл» («пут») и покупка краткосрочного опциона «колл» («пут») с одинаковой ценой исполнения. При этом дата исполнения продаваемого опциона дальше, чем дата исполнения покупаемого опциона. Диагональный спрэд строится на основе опционов с различными ценами исполнения и сроками истечения контрактов. Приведём несколько примеров: – цена исполнения продаваемого опциона выше, чем цена исполнения покупаемого опциона, а дата исполнения продаваемого опциона раньше даты исполнения покупаемого опциона; – цена исполнения продаваемого опциона выше цены исполнения покупаемого опциона, а дата исполнения продаваемого опциона дальше даты исполнения покупаемого опциона; 86 – цена исполнения продаваемого опциона ниже цены исполнения покупаемого опциона, а дата исполнения наступает раньше даты исполнения покупаемого опциона; – цена исполнения продаваемого опциона ниже цены исполнения покупаемого опциона, а дата исполнения продаваемого опциона находится дальше даты исполнения покупаемого опциона. Каждый из указанных видов спрэда имеет две разновидности: повышающуюся и понижающуюся. При создании, к примеру, повышающегося вертикального спрэда тот опцион, который приобретается, имеет более низкую цену исполнения по сравнению с тем опционом, который продается. А у повышающегося диагонального спрэда приобретаемый опцион имеет более низкую цену исполнения и более отдаленную дату истечения контракта по сравнению с тем опционом, который выписывается. Комбинированные опционные стратегии (комбинации) – опционные стратегии, состоящие из опционов различного типа (колл–опциона и пут–опциона) на одни и те же базисные активы с одной и той же датой истечения контрактов, цена исполнения может быть как одинаковой, так и разной. Синтетические опционные стратегии – это одновременное открытие противоположных позиций на разные виды опционов с одним и тем же активом. Рассмотрим основные варианты различных стратегий, позволяющих отразить выигрыши и потери покупателя и продавца опционов. 87 Рис.4.3. Примеры опционных стратегий: а) покупка одной акции и продажа одного колл–опциона ; б) продажа одной акции и покупка одного колл–опциона; в) покупка одной акции и одного пут–опциона; г) продажа одной акции и одного пут– опциона ; д) покупка пут– и колл–опционов (стеллаж);е) продажа пут– и колл–опционов (стеллаж). Наиболее простыми стратегиями являются покупка колл– или пут–опционов (рис.4.1). При покупке колл–опциона (рис. 4.1 б) выигрыш (потери) R составит S  (K + Pr) при S  K , R=   Pr при S  K . (4.3) где S – цена актива в момент исполнения опциона; K – цена исполнения опциона, Pr – премия; R– результат (выигрыш или потери). 88 Данная стратегия используется при росте цен на рынке. При этом доход неограничен, в то время как минимальный риск – это величина уплаченной премии. При продаже колл–опциона (рис.4.2 б) выигрыш (потери) равен с обратным знаком выигрышу покупки колл–опциона: (K + Pr)  S при S  K , R=   Pr при S  K . (4.4) Данная стратегия чаще всего используется тогда, когда на рынке цены имеют тенденцию к снижению. Максимальный доход – это величина полученной премии, где максимальный риск неограничен. При покупке пут–опциона (рис. 4.1 а) выигрыш (потери) составит:  Pr при S  K , R=  (K  S)  Pr при S  K. (4.5) Данная стратегия используется при снижении цен на рынке. При этом максимальный доход неограничен, а максимальные потери равны премии. При продаже пут–опциона (рис.4.2 а) выигрыш (потери) равен с обратным знаком выигрышу покупки пут–опциона:  Pr при S  K , R=   Pr  (K  S) при S  K. (4.6) В основе стратегии продажи пут–опционов лежит предположение о том, что курс ценной бумаги не упадет и, следовательно, опцион останется относительно стабильным. Заметим, что если известен выигрыш по колл–опциону, то выигрыш по пут– опциону с той же ценой исполнения K и датой исполнения отличается от первого, лишь на величину разности между ценой исполнения опциона K и рыночной ценой акции ST . В целях страхования своей позиции по акциям применяют одновременную покупку (продажу) актива с продажей (покупкой) колл–опциона или покупкой (продажей) пут–опциона (рис.4.3 а–г). 89 Наиболее интересные стратегии формируются за счет различных комбинаций и спрэдов. Рассмотрим некоторые из них. Стеллажная сделка стрэдл(straddle) представляет собой комбинацию колл– и пут–опционов на одни и те же акции с одинаковой ценой исполнения и сроком истечения контрактов (рис.4.3 д, е). Покупатель платит по данной сделке две премии. Если премия по опционам различается существенным образом, то такая ситуация называется искусственным стеллажом. При покупке стрэдла инвестор ставит целью извлечь выгоду из предполагаемых значительных колебаний цены базисного актива, не отслеживая время и направление этих колебаний. Прибыли/убытки инвестора при исполнении стрэдла рассчитываются по формуле S  K  ( Pr1 + Pr2 ) при S  K , R=  ,  K  S  ( Pr1 + Pr2 ) при S  K . (4.7) где Pr1 – премия опциона «колл»; Pr2 – премия опциона «пут. Максимальный риск – сумма уплаченных премий. При этом доход в данной стратегии – неограничен. Комбинацию, подобную стеллажной сделке, можно получить с помощью приобретения (продажи) одной акции и покупки (продажи) двух колл– или пут– опционов (рис. 4.4, а– г):  инвестор покупает одну акцию и продает два колл–опциона (рис. 4.4 а) или продает одну акцию и два пут–опциона (рис. 4.4 г). Эти две комбинации аналогичны короткому стеллажу;  инвестор покупает одну акцию и два пут– опциона (рис. 4.4 б) или продает одну акцию и покупает два колл–опциона (рис. 4.4 в). Эти две стратегии аналогичны длинному стеллажу; 90 Рис. 4.4. Покупка и продажа одной акции и двух колл– и пут–опционов а ) покупка одной акции и продажа двух колл–опционов ; б)покупка одной акции и двух пут –опционов ; в)продажа одной акции и покупка двух колл–опционов ; г ) продажа одной акции и двух пут–опционов . Стратегия стрэнгл (strangle) представляет собой сочетание колл– и пут–опционов на одни и те же бумаги, с одинаковым сроком истечения контрактов, но с разными ценами исполнения. По технике исполнения данная комбинация подобна стеллажу (рис. 4.5). 91 Рис. 4.5. Покупка и продажа «стрэнгла»: а) выигрыш (потери) от покупки «стрэнгла»; б) выигрыш (потери) от продажи «стрэнгла». При этом если цена исполнения колл–опциона выше цены исполнения пут–опциона , то максимальный риск – сумма уплаченных премий, доход не ограничен. Если же цена исполнения колл–опциона ниже цены исполнения пут–опциона, то максимальный риск – сумма уплаченных премий минус разница между исполнением пут–опциона и ценой исполнения колл–опциона. Доход не ограничен. Стратегия стрэнгл используется при больших колебаниях цен на рынке. Комбинация строится на том предположении, что цены исполнения опциона «колл» будут выше цен исполнения опциона «пут». Возможные выигрыши (потери) покупателя «стрэнгла» можно найти из выражения  K1  S  Pr при S  K1 ,  R =  Pr при K1  S  K 2 , S  K  Pr при S  K .  2 2 (4.8) Здесь К1 – цена исполнения пут–опциона ; К2 – цена исполнения колл–опциона ; Pr – сумма уплаченных премий. Стратегия стрэп – это комбинация из одного пут–опциона и двух колл –опционов. Даты истечения контрактов одинаковые, а цены исполнения могут быть любыми. При этом инвестор может занимать как короткую, так и длинную позицию. 92 Возможный выигрыш (потери) покупателя от стратегии стрэп можно найти по формуле  K  S  Pr при S  K,  R =  Pr при S  K, 2(S  K)  Pr при S  K.  (4.9) Стратегия стрип состоит из одного колл–опциона и двух пут–опционов. Они имеют одинаковые даты истечения контрактов, цены исполнения могут любыми. Инвестор занимает одну и ту же позицию по всем опционам. Стрип приобретается в том случае, когда есть основания полагать, что наиболее вероятно понижение курса акций. Возможный выигрыш (потери) покупателя от стратегии стрип можно найти по формуле 2(K1  S)  Pr при S  K1,  R =  Pr при 1  S  K 2 , S  K  Pr при S  K .  2 2 (4.10) Здесь К 1– цена исполнения пут–опциона; К2 – цена исполнения колл–опциона. Страте- гия «бычий спрэд» заключается в приобретении колл–опциона с более низкой ценой исполнения и продаже колл–опциона с более высокой ценой исполнения. Контракты имеют одинаковый срок истечения. Такая стратегия требует от инвестора первоначальных вложений, поскольку премия колл–опциона с более низкой ценой исполнения всегда больше, чем опциона с более высокой ценой исполнения. Поэтому когда вкладчик формирует данную стратегию, говорят, что он покупает спрэд. «Бычий спрэд» можно построить, купив пут–опцион с более низкой ценой исполнения и продав пут–опцион с более высокой ценой исполнения. В этом случае инвестор имеет положительный приток средств в момент создания спрэда. Когда вкладчик формирует таким способом данную стратегию, говорят, что он продает спрэд. 93 Формируя «бычий спрэд», инвестор рассчитывает на повышение курса акций. С целью уменьшения возможных потерь, он ограничивает их определенной суммой денег, что в свою очередь уменьшает и вероятный выигрыш. «Бычий спрэд» имеет конфигурацию, изображенную на рис. 4.6 а. Рис. 4.6. Стратегии а) «бычий спрэд», б) обратный «бычий спрэд». Возможный выигрыш (потери) покупателя при выборе стратегии «бычий спрэд» можно найти по формуле  Pr при ST  K1 ,  R = S  K1  Pr при 1  S  K 2 ,  K  K  Pr при S  K .  2 1 2 (4.11) Здесь К 1 – цена исполнения длинного колл–опциона; К 2 – цена исполнения короткого колл–опциона , Pr – сумма уплаченных премий. Обратный «бычий спрэд» строится на основе короткого пут–опциона с более низкой ценой исполнения и длинного колл–опциона с более высокой ценой исполнения. При таком сочетании премия пут–опциона должна быть больше премии колл–опциона. В результате инвестор имеет положительный приток финансовых ресурсов. Конфигурация данного спрэда изображена на рис. 4.6 б. Выигрыш (потери) можно рассчитать по следующей формуле: S  K1  Pr при S  K1 ,  R =  Pr при 1  S  K 2 ,  S  K  Pr при S  K .  2 2 94 (4.12) Стратегия «медвежий спрэд» – сочетание длинного колл–опциона с более высокой ценой исполнения и короткого колл–опциона с более низкой ценой исполнения. К данной стратегии прибегают при ожидаемом понижении курса акций и одновременном стремлении ограничить свои потери в случае его повышения. Так как цена длинного колл–опциона ниже цены короткого колл–опциона, то при заключении подобных сделок инвестор получает первоначальную прибыль. «Медвежий спрэд» можно сформировать на основе короткого пут–опциона с более низкой ценой исполнения и длинного пут–опциона с более высокой ценой исполнения. В этом случае инвестор несет первоначальные затраты. Поэтому говорят, что он покупает спрэд. График «медвежьего спрэда» изображён на рис. 4.7 а. Рис.4.7. Стратегии а) «медвежий спрэд», б) обратный «медвежий спрэд». Возможный выигрыш (потери) покупателя при выборе стратегии «медвежий спрэд» можно найти по формуле при S  K1 ,  Pr  R = (S  K1 )+Pr при 1  S  K 2 , (K  K )  Pr при S  K .  2 1 2 (4.13) Обратный «медвежий спрэд» – сочетание длинного пут–опциона с более низкой ценой исполнения и короткого колл–опциона с более высокой ценой испол- 95 нения. Главная цель инвестора получить прибыль на отрезке К1К2 (рис. 4.7 б). Выплаты по спрэду можно рассчитать по формуле  K1  S+Pr при S  K1 ,  R =  Pr при 1  S  K 2 , (S  K )  Pr при S  K .  2 2 (4.14) Здесь К1– цена исполнения длинного пут–опциона; К2 – цена исполнения короткого колл–опциона; Pr – сумма уплаченных премий. Спрэд «бабочка» (сэндвич) состоит из опционов с тремя различными ценами исполнения, но с одинаковым сроком истечения контрактов. Он строится путем приобретения колл– опциона с более низкой ценой исполнения К1, колл–опциона с относительно высокой ценой исполнения К3, и продажей двух колл–опционов с ценой исполнения К2 =(К1+ К3)/2. Обычно цена К2 лежит близко к текущему курсу акций в момент заключения сделок. Такой спрэд требует небольших первоначальных инвестиций. Данная стратегия используется вкладчиком, когда не ожидается сильных колебаний курса акций. Если цена акций не намного отклонится от К2, то инвестор может получить небольшую прибыль или понести небольшие потери, если произойдет существенный рост или падение курса бумаг. Максимальный доход, равный (К3– К1)/2 минус разность уплаченных премий, реализуется при цене актива на момент исполнения, равной К2. Существует также спрэд «короткая бабочка». Его создают в обратном порядке, т.е. продают опционы с ценами исполнения К1 и К3 и покупают два опциона с ценой исполнения К2. Данная стратегия позволяет получить небольшой доход при значительных колебаниях курсов акций и одновременно она ограничивает потери при незначительном отклонении цены бумаг от первоначального курса. Конфигурация спрэда «бабочка» представлена на рис.4.8. 96 Рис. 4.8. Спрэд а) «длинная бабочка», б) «короткая бабочка». Как видно из рис.4.3 е и рис.4.8 а график спрэда «длинная бабочка» похож на короткий стеллаж. Однако данный спрэд имеет то преимущество, что ограничивает риск, связанный с существенным повышением или понижением курс акций. Спрэд «бабочка» можно также построить за счет одновременного создания спрэдов «быка» и «медведя», у которых один из опционов имеет одинаковую цену исполнения (рис.4.9). Рис. 4.9. Вариант построения спрэда «бабочка» Таким образом, при условии доступности опционов с произвольной ценой исполнения можно создавать разнообразные стратегии инвестирования, позволяющие достигать заданного уровня доходности или ограничивать возможные риски. Вместе с тем, как показывает зарубежный опыт, накопленная статистика далеко не всегда позволяет использовать предыдущий опыт для принятия правильных решений. 97