Математическое моделирование тепловых процессов

Лекция № 5. Математическое моделирование тепловых процессов. Теплообменом называется любой процесс переноса теплоты, в котором она в соответствии со вторым началом термодинамики самопроизвольно переходит от более нагретой среды к менее нагретой. В химической промышленности для реализации процессов теплообмена между различными средами используют разные типы теплообменных аппаратов, среди которых наиболее распространенными являются кожухотрубчатые и теплообменники типа «труба в трубе». Теплообменные аппараты являются наиболее распространенными и необходимыми элементами различных технологических и энергетических установок. На теплообменники приходится значительная часть капитальных вложений и эксплуатационных расходов. Поэтому вопросы оптимального проектирования и оптимального управления теплообменом имеют большое значение, так как всё это дает значительный экономический эффект. Основные закономерности теплообмена Тепловые процессы в химической технологии имеют как самостоятельное значение при сушке, выпаривании, нагревании, охлаждении и т. д., так и сопровождают химические и массообменные процессы. На рисунке 5.1 приведены примеры теплообменных аппаратов. Теплообмен обусловлен стремлением системы к тепловому равновесию. Связь между градиентом температуры и молекулярным потоком теплоты (qT, Вт/м2) определена законом теплопроводности Фурье: где λ – коэффициент теплопроводности среды, Вт/(м∙К). При движении в жидкостях и газах происходит конвективный перенос энергии веществом: Где u-скорость движения среды, м/с; ρ- плотность вещества, кг/м3; I- энтальпия, Дж/кг. Рисунок 5.1 -Теплообменные аппараты: а - пластинчатый; б - кожухотрубный При конвективном теплообмене плотность теплового потока q определяется суммой молекулярной и конвективной составляющих: Для упрощения расчета переноса теплоты между поверхностью твердого тела и движущейся сплошной средой используют закон теплоотдачи Ньютона-Рихмана: где -коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2∙К); F- поверхность теплообмена, м2; Тс - температура стенки, К; Тср – температура среды, К Коэффициент теплоотдачи зависит от скорости движения жидкости, ее плотности и вязкости, от тепловых свойств жидкости (удельной теплоемкости, теплопроводности), от формы и определяющих размеров стенки и других факторов. Теплоотдача определяется не только тепловыми, но и гидродинамическими условиями. Поэтому конвективный теплообмен описывается дифференциальным уравнением Фурье-Кирхгофа: где а=λ/Ср∙ρ – коэффициент температуропроводности, м2/с; t – время, с; Cp – теплоемкость, Дж/кг К. Количество тепла, передаваемое от нагретого теплоносителя к холодному, определяется основным уравнением теплопередачи: где КТ – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2∙°С); ∆Т– средняя разность температур между теплоносителями. При теплопередаче через стенку толщиной δс с коэффициент теплопередачи можно рассчитать с помощью уравнения аддитивности термических сопротивлений на пути теплового потока Где α1 и α2 – коэффициенты теплоотдачи от жидкости к стенке и от стенки к другой жидкости соответственно, Вт/(м2∙К); λс – теплопроводность материала стенки, Вт/(м∙К); r31 и r32 – термические сопротивления слоев загрязнений с обеих сторон стенки, м2∙К/Вт. Это уравнение справедливо для передачи тепла через плоскую или цилиндрическую стенку при условии, что RH/RB<2 (RH и RВ – наружный и внутренний радиусы цилиндра соответственно). Математические модели теплообменных аппаратов При построении математических моделей теплообменных аппаратов предварительно проводится анализ структуры движения потоков в аппарате. Для каждого потока записывается математическое описание в виде выражения, характеризующего изменения температуры в потоке теплоносителя во времени, обусловленное движением потока и теплопередачей. Предварительно формулируются допущения. Если структура потока теплоносителя соответствует модели идеального смешения, то математическое описание этого потока, с учетом теплопередачи, будет иметь вид где V – объем потока идеального смешения, м3; ρ – плотность теплоносителя, кг/м3; Ср – удельная теплоемкость теплоносителя, Дж/(кг∙К); v – объемная скорость потока, м3/с; F – поверхность теплообмена, м2; КТ – коэффициент теплопередачи, Вт/(м2∙К); ∆Т– средняя разность температур между теплоносителями; Твх – температура потока на входе, К; t – время, с. Если структура потока соответствует модели идеального вытеснения, то с учетом теплопередачи можно записать: где S – площадь поперечного сечения потока, м2; L – длина зоны идеального вытеснения, м; l – пространственная координата, изменяющаяся от 0 до L; Т = Т (l, t) – функция распределения температуры потока теплоносителя по пространственной координате во времени. Обычно в уравнениях (2.9) и (2.10) принимают коэффициент теплоотдачи, плотность и теплоемкость теплоносителя постоянными в исследуемом интервале изменения температуры. Предполагается, что объемные скорости потоков остаются постоянными. Рассмотрим математические модели некоторых типов теплообменных аппаратов. Теплообменник типа «смешение-смешение». Примем, что тепло передается от первого потока теплоносителя ко второму. Режим движения потоков – идеальное смешение (рис. 5.1,а). Рис. 5.1, а -Схематическое изображение теплообменника типа «смешение-смешение» Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителей, можно пренебречь, то математическая модель аппарата будет состоять из двух уравнений теплового баланса: Если тепловой емкостью стенки, разделяющей потоки теплоносителя, пренебречь нельзя, то необходимо к уравнениям (2.11) добавить уравнение изменения температуры стенки: где G3 – масса материала стенки, кг; C3 – удельная теплоемкость материала стенки, Дж/кг·К; Т3 – температура стенки, К; α1, α2 – коэффициенты теплоотдачи, Вт/м2·К. Теплообменник типа «смешение – вытеснение» (рис. 2.2) Рисунок 5.2 - Схематическое изображение теплообменника типа «смешение-вытеснение» Тепловой баланс без учета теплоемкости стенки: С учетом теплоемкости стенки Теплообменник типа «вытеснение - вытеснение» (рис. 5.3) Рисунок 5.3- Схематическое изображение теплообменника типа «вытеснение-вытеснение» Уравнения теплового баланса без учета тепловой емкости стенки: С учетом теплоемкости стенки Пример моделирования теплообменных процессов В теплообменнике типа «труба в трубе» охлаждается жидкость. Хладоагент и охлаждающаяся жидкость движутся прямотоком. Необходимо рассчитать температуру теплоносителей на выходе из аппарата и получить температурные профили по длине аппарата. В табл. 5.1 приведены исходные данные для расчета. Таблица 5.1 - Исходные данные для расчета Параметры Теплоноситель горячий холодный Температура, оС 200 35 Объемная скорость, м3/с 2,3·10-4 5,1·10-4 Плотность, кг/м3 900 1000 Теплоемкость, Дж/кг·оС 3,35·103 4,19·103 Диаметр трубы, м 0,01 0,03 В теплообменнике реализуется режим «вытеснение-вытеснение», поэтому математическое описание будет иметь вид В стационарном режиме работы теплообменника, когда , уравнения теплового баланса примут следующий вид: где d – диаметр трубы теплообменника, м. Для удобства вычисления введем обозначения: Систему полученных дифференциальных уравнений (2.17) решаем с помощью численного метода Эйлера [12]: где i – номер шага по длине теплообменника; h – шаг интегрирования по длине теплообменного аппарата. На рис. 2.4 приведены результаты расчета процесса теплообмена. С применением данной математической модели можно выполнить исследования влияния температуры, расхода теплоносителя и хладоагента, размеров аппарата на процесс теплообмена. Рисунок 5.4 - Изменение температуры по длине теплообменного аппарата Проектный расчет теплообменного аппарата Задачей проектного расчета является определение геометрических размеров и режима работы теплообменника, необходимого для отвода или подвода заданного количества теплоты к теплоносителю. При проектном расчете задают: 1. Тип аппарата и общие геометрические характеристики поверхности теплообмена (размеры труб, оребрения, толщина стенок и др.). 2. Параметры теплоносителей на входе и выходе из аппарата (температура, давление и т.д.) 3. Тепловую мощность аппарата Q или расход сред. Взаимность изменений температур теплоносителей определяется условием теплового баланса, которое для бесконечно малого элемента теплообменника имеет вид где G1, G2, Cp1, CP2 – расходы и теплоемкости теплоносителей 1 и 2, T1 и Т2 – их температуры в произвольном сечении аппарата. Уравнение теплового баланса для всего аппарата получается путем интегрирования уравнения (4.4) при определенных начальных условиях и имеет вид где Тh1 и Th2, Tk1 и Tk2 – начальные и конечные температуры теплоносителей. Уравнение (4.5) содержит две неизвестные: G1 или G2 и Tk1 или Tk2. Следовательно, это уравнение является неопределенным. Общий прием решения этих задач заключается в использовании метода последовательных приближений, состоящего в том, что вначале принимаются определенные решения относительно неизвестных технологических параметров, затем путем пересчета проверяется до получения результатов с желаемой степенью точности. Проверочный расчет теплообменного аппарата Целью проверочного расчета теплообменного аппарата заданной конструкции является определение температур потоков на выходе Тk1, Tk2 при заданных площадях поверхности теплообмена F, расхода сред G1, G2 и значений температуры на входе Тh1 и Тh2.