Математическое моделирование как метод познания

Лекция 1. Математическое моделирование как метод познания Рассмотрим конденсацию пара в теплообменнике. Как по длине трубы изменяется температура холодного потока? Необходимо определить вид функции t X  f x  . Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать, как жидкость течет по трубе. В действительности характер течения очень сложный: при турбулентном потоке возникают беспорядочные вихри, у стенок скорость меньше, чем в центре потока, часто возникают обратные потоки жидкости, направленные противоположно основному потоку. Математически описать реальный поток очень сложно. Поэтому исследователи реальную картину процесса часто заменяют упрощенной картиной, в которой пренебрегают эффектами, усложняющими описание процесса. Такие теоретические картины называются моделями. Они лишь приближенно описывают реальные процессы, но во многих простых случаях оказываются продуктивными. 1. Модель идеального вытеснения. В основе модели лежат следующие допущения: постоянство температуры в поперечном сечении, отсутствие перемешивания вдоль трубы. Называют также поршневая модель. Задача: определить, как изменяется температура холодного теплоносителя по длине трубы в конденсаторе, если принять, что режим движения поршневой (идеального вытеснения). Основой для расчета являются два уравнения: Уравнение теплопередачи и уравнение баланса теплоты. Исходные данные: Выделим мысленно в трубе малый участок длиной dх. Площадь поперечного сечения трубы S  r 2 . Периметр поперечного сечения трубы равен длине окружности: П  2r . Поверхность теплопередачи участка равна произведению длины окружности на длину участка: dF  2r  dx  Пdx . Количество теплоты, переданное от пара к холодному потоку на малом участке в соответствии с основным уравнением теплопередачи: dQ  KdF t Г  t Х d  KППt Г  t X  dx Х . Это же количество теплоты можно определить по уравнению: dQ  dVc pX dt х  Sdxc PX dt X . Приравняв правые части этих уравнений, получим: KППdt Г  t X  dx Х  Sdxc PX dt X . После простых преобразований дифференциальное уравнение принимает вид: dt X KП t Г  t X   . dx  X Sc PX Решим это уравнение. Перевернем правую и левую части уравнения: 1  X Sc PX dx  dt X KП t Г  t X   X Sc PX dx  dt X . KП t Г  t X  Интегрируем:  X Sc PX x KП tX 2  t tX1 dt X . Г  tX  Все величины, вынесенные за знак интеграла, постоянны (не зависят от длины трубы).  X Sc PX x KП tX 2  t tX1 dt X .   t Г X Интеграл в правой части уравнения имеет решение в виде натурального логарифма: x  X Sc PX KП tX 2  t tX1 dt X Г  tX   X Sc PX ln t Г  t X 2   ln t Г  t X 1  . KП КПх   ln t Г  t X 1   ln t Г  t X 2  .  Х Sc PX x Отсюда: tГ  tХ 2  е  КПх  Х ScPX  ln t Г t X 1   t Г  t X 1 е  КПх  Х ScPX . Тогда: t Х 2  t Г  t Г  t X 1 е  КПх  Х ScPX Уравнение () позволяет определить температуру холодного теплоносителя в любой точке трубы. График изменения температуры подлине трубы. Модель идеального вытеснения можно применять при описании процессов в трубе с отношением длины к диаметру свыше 20. 2. Модель идеального смешения. Модель идеального перемешивания предполагает, что в трубе настолько эффективное перемешивание жидкости, что температура жидкости во всей трубе постоянна, равна конечной температуре. То есть при попадании жидкости в трубу ее температура сразу возрастает до конечной температуры. Это возможно, если частицы вещества, поступающие в трубу, мгновенно распределяются равномерно по всему объему трубы. Распределение температуры по длине трубы имеет вид. При составлении математического описания модели учитываются уравнения теплового баланса и теплопередачи: Q  KF t Г  t Х 2  . Q  V X c pX t X 2  t X 1  2 В этом случае конечная температура холодного теплоносителя в трубе определится по уравнению: KF t Г  t X 2   VX cPX t X 2  t X 1  . tX2  KFt Г  V X c PX t X 1 . V X c  KF Модель идеального перемешивания применима, когда труба короткая и толстая. 3. Модель ячеечная. Вся труба разбивается на некоторое число ячеек, считается, что в каждой ячейке идеальное перемешивание. Вдоль ячейки температура постоянная, а между ячейками температура изменяется скачкообразно. Распределение температуры по длине трубы имеет вид. Температура в каждой из ячеек может быть определена по уравнению, аналогичному уравнению идеального перемешивания. Оно составляется для каждой ячейки:         KF t Г  t X(1)  V X c PX t X(1)  t XН . n KF t Г  t X( 2)  V X c PX t X( 2)  t X(1) . n ………………………………..     KF t Г  t X( n1)  V X c PX t XK  t X( n1) . n Из каждого уравнения данной системы можно определить температуру в данной ячейке. Кривая имеет вид. Когда n стремится к бесконечности, имеет место модель идеального вытеснения, когда n=1 – модель идеального перемешивания. Модель с обратным перемешиванием (диффузионная модель). Принимается, что поток движется по режиму идеального вытеснения, при этом имеется продольное перемешивание как в направлении потока, так и противоположно ему. Принимается, что продольное перемешивание может быть описано уравнениями, аналогичным уравнениям молекулярной диффузии. Интенсивность переноса теплоты в продольном направлении характеризуется коэффициентом продольного перемешивания D, который по физическому смыслу и размерности аналогичен коэффициенту молекулярной диффузии. Если D стремится к бесконечности, то поток приближается к потоку идеального перемешивания, если D стремится к нулю, то к потоку идеального вытеснения. Дифференциальное уравнение модели имеет вид: D d 2t dt KП t Г  t    . 2 dx Sc PX dx Зависимость температуры от длины трубы имеет вид: t  t Г  C1e S x  С2 e S x , где 1 2 3 D  D 2  4D S1  KП Sc PX  2D D  D 2  4D S2  KП Sc PX  2D . Константы С1 и С2 оцениваются из граничных условий: Если х=0, то t=tx1 и при х=l Тогда: dt  0. dx S1e S1l t Г  t X 1  . C1  t X 1  t Г  S 2 e S2l  S1e S1l S1e S1l t Г  t X 1  C1  . S 2 e S2l  S1e S1l Если D стремится к нулю, то – режим идеального вытеснения, если к бесконечности, то режим идеального перемешивания. Литература 1. Сквайрс Дж. Практическая физика. Мир, 2015, 247 с. 2. Сидняев Н.И. Теория планирования эксперимента и анализ статистических данных: учебное пособие для магистров. М, Издательство Юрайт, 2014. 4