Математические задачи электроэнергетики

Предисловие При проектировании технических систем постоянно прихо­дится решать задачи наилучшего решения из некоторого множе­ства допустимых решений. Такое решение называют оптималь­ным, процесс поиска такого решения - оптимизацией. Для решения оптимизационных задач будущему специалисту необходимы знания основ математического моделирования, мето­дов решения оптимизационных задач, современного программного обеспечения персональных компьютеров. Формулировка любой технической задачи должна быть пере­ведена на формальный математический язык, то есть, записана с помощью определенных математических выражений. Будущий специалист должен знать основы математического моделирования и уметь составлять математическую модель задач. Для конкретной задачи не разрабатывается специальный ме­тод решения. Существуют математические методы, предназначен­ные для решения любых задач – методы математического про­граммирования. Будущий специалист должен знать методы мате­матического программирования и уметь выбрать целесообразный метод для решения конкретной технической задачи. Целью и основной задачей дисциплины «Математические за­дачи электроэнергетики» является получение будущими специа­листами основ знаний, необходимых для решения задач в области электроэнергетики. ГЛАВА 1. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ 1.1. Граф электрической цепи и некоторые его подграфы Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заме­няется отрезком линии, называют графом электрической цепи. От­резок линии, соответствующий ветви схемы, называют вет­вью графа. Граничные (концевые) точки ветви графа называют уз­лами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называют ориентированным. Рис. 1.1. Схема Рис. 1.2. Граф электрической цепи электрической цепи Подграфом графа называют часть графа. Согласно этому определению подграфом может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множе­ство ветвей и узлов, содержащееся в данном графе. В теории электрических цепей большое значение имеют такие подграфы: путь, контур, дерево, связи (дополнение дерева) и сече­ние. Все определения (пути, контура и т. д.), сформулированные для графа, применимы и к схемам электрической цепи. Путь – это упорядоченная последовательность ветвей, в кото­рой каждые две соседних ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются в этом пути только один раз. Контур – замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Деревом связного графа (схемы) называют связный подграф (подсхему), содержащий все узлы графа (схемы), но ни одного контура. Ветви графа (схемы), которые дополняют дерево до исход­ного графа, называют ветвями связи (хордами). 1.2. Законы Ома и Кирхгофа Из теоретических основ электротехники вы знаете первое и второе правила Кирхгофа, которые можно записать следующим образом: 1-ое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла – отрицательным: (1.1) 2-ое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю. При этом напряжения, падающие на элементах цепи записываются со знаком «+», если ток, протекающий через эти элементы совпадает по направлению с обходом контура, в противном случае напряжения записываются со знаком «-»: (1.2) Равенство (1.1) справедливо для любого узла, равенство (1.2) справедливо для любого контура. Суммирование выпол­няется для всех ветвей, сходящихся в узле (пересекаемых замк­нутой поверхностью) или образующих контур. Уравнения (1.1) и (1.2) не зависят от типа и свойств эле­ментов, из которых состоят ветви. Это топологические соотно­шения, которые могут быть составлены по графу цепи или по ее схеме. В дальнейшем при составлении уравнений цепи счи­тается, что направление ветви графа, указанное стрелкой, сов­падает с выбранным положительным направлением тока и на­пряжения ветви схемы (положительные направления тока и на­пряжения принимаются совпадающими). Количество уравнений записываемых по 1-ому правилу Кирхгофа можно определить так: Уз-1, где Уз – количество узлов в исследуемой схеме (цепи). Количество уравнений записываемых по 2-ому правилу Кирхгофа: В-(Уз-1), где В – количество ветвей в исследуемой схеме (цепи). Правила Кирхгофа, записанные для Уз-1 узлов и В-(Уз-1) контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения. В качестве примера можно составить уравнения по правилам Кирхгофа для схемы на рис. 1.1, граф которой с указанием вы­бранных положительных направлений токов и напряжений, а так­же направлений обхода контуров представлен на рис. 1.3. На основании 1-ого правила Кирхгофа справедливы уравнения: i2 - i4 - i6 = 0 (узел 1); i1 - i2 - i3 = 0 (узел 2); i3 - i5 + i6 = 0 (узел 3). На основании 2-го правила Кирхгофа получаются следую­щие уравнения: u1 + u2 + u4 = 0 (контур I); - u2 +u3 - u6 = 0 (контур II); - u4 + u5 + u6 = 0 (контур III). В записанных уравнениях ток ik и напряжение uk обозначают ток и напряжение k-й ветви. рис. 1.3. Направленный граф электрической схемы 1.3. Топологические матрицы графа и их свойства Уравнения по законам Кирхгофа для токов и напряжений мо­гут быть записаны в матричной форме. Например, независимые уравнения для трех узлов графа на рис. 1.3 эквивалентны матричному уравнению Аналогично в матричной форме можно записать уравнения для контуров. Левая часть таких уравнений представляет собой произведение матрицы коэффициентов системы уравнений при неизвестных на столбцовую матрицу переменных (вектор-столбец неизвестных). В правой части уравнения записана столбцовая мат­рица (вектор-столбец) свободных членов системы уравнений, все элементы которой, в данном случае, равны нулю. Матрицы коэффициентов уравнений Кирхгофа состоят из элементов +1, -1 и 0. Значения этих элементов определяются толь­ко структурой графа (схемы) и могут быть найдены при рассмот­рении графа (схемы). (см. главу 1.2) В соответствии с видом уравнений Кирхгофа различают две топологические матрицы: матрицу соединений (узловую) А и мат­рицу контуров В. Матрица соединений (узловая матрица) А – это таблица коэф­фициентов уравнений, составленных по 1-му правилу Кирхгофа для узлов. Строки этой матрицы соответствуют узлам, столбцы – ветвям. Если элемент матрицы А обозначить через aij, т. е. A = [aij], где i – номер строки, j – номер столбца. Исходя из этого можно сформулиро­вать следующее правило составления матрицы: aij = 1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена к узлу; aij = -1, если ветвь j соединена с узлом i и направлена от узла; aij = 0, если ветвь j не соединена с узлом i. Обычно число строк матрицы А равно числу независимых уз­лов, т. е. д = Уз - 1. Матрица контуров (контурная матрица соединения ветвей) В – это таблица коэффициентов уравнений, составленных по 2-му правилу Кирхгофа. Строки матрицы В соответствуют кон­турам, столбцы – ветвям. Элемент bij матрицы В = [bij] определяется следующим образом: bij = 1, если ветвь j содержится в контуре i и направление вет­ви совпадает с направлением обхода контура; bij = -1, если ветвь j содержится в контуре i и направление ветви противоположно направлению обхода контура; bij = 0, если ветвь j не содержится в контуре i. Для графа на рис. 1.3 матрица контуров В имеет вид: 1.4. Применение узловых уравнений Число совместно решаемых уравнений можно уменьшить, ес­ли в качестве независимых переменных принять потенциалы уз­лов. Знание потенциалов позволяет найти все токи в схеме. Узловые уравнения вытекают из 1-го правила Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для уз­лов, т. е. Уз - 1. (1.3) Принимая потенциал одного из узлов равным нулю, а именно потенциал того узла, для которого отсутствует строка в матрице А, напряжения на ветвях определяем через узловые потенциалы: (1.4) Таким образом, получаются уравнения вида (1.5) которые называют узловыми уравнениями в матричной форме. Если обозначить (1.6) (1.7) то узловые уравнения запишутся более кратко: (1.8) Матрицу Yу называют матрицей узловых проводимостей, мат­рицу Iу – матрицей узловых токов. В развернутой форме уравне­ние (1.8) имеет вид: (1.9) 1.5. Решение задачи методом узловых уравнений Для заданной электрической схемы (рис 1.4) построить мате­матическую модель электрической цепи методом узловых потен­циалов и табличным методом. Исходные данные: R1 = 10 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 5 Ом; R4 = 8 Ом; R5 = 1 Ом; R6 = 2 Ом; Е3 = 40 В; Е5 = 125 В. Решение 1. Составляем граф схемы (рис 1.5). Дерево графа на рис. 1.5 направлено. 2. Составим матрицу соединений А (по 1-му правилу Кирхгофа): 3. Составим матрицу проводимостей и матрицу ЭДС: 4. Найдём матрицу узловых проводимостей по формуле (1.6): 5. Определим матрицу узловых токов по (1.7): Для избежание ошибки можно воспользоваться следующим правилом: Вектор - матрица узловых токов определяется суммой произведений всех ЭДС, примыкающих к данному узлу, на проводимость соответствующего звена. Если источник направлен в сторону рассматриваемого узла, то он записывается со знаком «+», в противном случае – со знаком «−». 6. Запишем по (1.8) узловые уравнения: Решив полученную систему уравнений, получим потенциалы узлов: φ1 = 63,918 В, φ2 = -38,783 В, φ3 = -23,505 В, а φ4 = 0, т.к. узел, который не входит в систему уравнений по 1-му закону Кирхгофа в методе узловых потенциалов соединяется с «землёй» и принимает значение 0. 7. Определим токи в ветвях схемы: 8. Получив искомые токи, необходимо произвести их проверку, по 1-му правилу Кирхгофа и по балансу мощностей. Проверка по балансу мощностей: Так как баланс мощностей сошелся, ошибок в расчёте нет. 1.6. Применение контурных уравнений В качестве независимых переменных примем токи ветвей свя­зи, или так называемые контурные токи. Знание контурных токов позволяет найти все токи в схеме. Уравнения с контурными токами (контурные уравнения) полу­чают на основании 2-го правила Кирхгофа; их число равно числу независимых уравнений, составляемых для контуров, т.е. В - Уз +1. Зададим направление контурных токов: (1.9) Токи в ветвях определим через контурные токи по формуле (1.10) Таким образом, получаются уравнения вида (1.11) которые называют контурными уравнениями в матричной форме. Если обозначить (1.12) (1.13) то контурные уравнения примут вид: (1.14) Матрицу Rk называют матрицей контурных сопротивлений, матрицу Ek – матрицей контурных ЭДС. В развернутой форме уравнение (1.14) имеет вид: (1.15) 1.7. Решение задач методом контурных уравнений Используем схему рис. 1.4 и данные этой схемы. Граф схемы изображен на рис. 1.5. 1. Составим матрицу вторых инциденций (матрицу контуров В): 2. Составим матрицу сопротивлений: Матрицу ЭДС 3. Определим матрицу контурных ЭДС: 4. Определим матрицу контурных сопротивлений: 5. Запишем контурные уравнения по (1.14-1.15): Решив полученную систему уравнений, определим контурные токи: IK1 = 10,93 А, IK2 = 17,32 А, IK3 = 7,63 А. 6. Вычислим токи в ветвях: I1 = IK2 – IK1 =17,32 – 10,93 = 6,39 А I2 = IK2 – IK3 =17,32 – 7,63 = 9,69 А I3 = IK1 – IK3 =10,93 – 7,63 = 3,3 А I4 = IK1 = 10,93 А I5 = IK2 =17,32 А I3 = IK3 = 7,63 А ГЛАВА 2. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 2.1. Алгебраические критерии устойчивости На любую систему всегда действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушить ее нормальную работу. Пра­вильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях. В простейшем случае понятие устойчивости системы связано со способностью ее возвращаться (с определенной точностью) в состояние равновесия после исчезновения внешних сил, которые вывели ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в состояние равновесия, из которого ее вывели, а ли­бо удаляется от него, либо совершает вокруг него недопустимо большие колебания. Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения: Из алгебраических критериев устойчивости наиболее широкое распространение получили критерии устойчивости Рауса и Гурви-ца (рассмотрим критерий устойчивости Гурвица). Необходимым условием устойчивости системы любого порядка является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения (2.1). Из коэффициентов характеристического уравнения (2.1) стро­ят сначала главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали определителя сле­ва направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до ап в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими ин­дексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n (n - порядок характеристического уравнения) и меньше нуля проставляют нули. Отчеркивая в главном определителе Гурвица, как показано пунктиром, диагональные миноры, получаем определители Гурви­ца низшего порядка: Номер определителя Гурвица определяется номером коэффи­циента по диагонали, для которого составляют данный определи­тель. Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: для того чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все опреде­лители Гурвица имели положительные знаки. 2.2. Частотные критерии устойчивости Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устой­чивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии являются графоаналитическими, они получили широкое распространение, так как позволяют сравнительно легко исследовать устойчивость систем высокого порядка, а также имеют простую геометрическую интерпретацию и наглядность. Критерий устойчивости Михайлова И связи с указанным следствием можно привести другую фор­мулировку критерия устойчивости Михайлова: система будет ус­тойчива тогда и только тогда, когда вещественная Х(ю) и мни­мая Y(w) функции Михайлова, приравненные к нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем общее числа этих корней равно порядку характеристического уравнения п. Критерий устойчивости Найквиста Формулировка критерия устойчивости Найквиста: если разомк­нутая система неустойчива, то для того чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы W(jw) при измене­нии частоты ю от 0 до да охватывала точку (-1, j0) в положи­тельном направлении 1/2 раз, где 1 - число правых корней характе­ристического уравнения разомкнутой системы. Пример расчета По заданному характеристическому многочлену D(p) = аор5 + аф4 + а2р3 + азр2 + а4р + аз исследовать устойчивость электрической системы с помощью следующих методов: 1) метод Гурвица; 2) критерий Михайлова; 3) критерий Найквиста. Построить годограф разомкнутой сис­темы W(jco). Характеристическое уравнение имеет вид: D^) = 4р5 + р4 +7р3 + р2 + 4р + 5. Критерий Гурвица Составляем определители Гурвица. Так как не все определители положительны, то система неус­тойчива. Определим количество корней в правой полуплоскости: а0 = 4; А1 = 1; А2/ А1 = 3/1 = 3; А3/А2 = 19/3 = 6,3; ДУ А3 = -349/19 = -18,4; А5/ А4 = -1745/-349 = 5. Так как в данной последовательности две смены знака, то в правой полуплоскости находятся два корня. Критерий Михайлова Выделим действительную и мнимую часть характеристиче­ского уравнения. Для этого заменим р на j©: D(p) = 4p5 + p4 + 7p3 + p2 + 4p + 5. D(jco) = 4(j©)5 + (j©)4 + 7(j©)3 + (j©)2 + 4j© + 5 = = j4©5 + ©4 - j7©3 - ©2 + j4© + 5. U(©) = ©4 - ©2 + 5. V(j©) = 4©5 - 7©3 + 4©. Определим корни уравнения: ©4 - ©2 + 5 = 0; ©2 = х; х2 - х + 5 = 0. Корни данного уравнения комплексные, значит система неус­тойчива. Критерий Найквиста Для того чтобы система автоматического управления была ус­тойчива, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая ха­рактеристика разомкнутой системы W(j©) при изменении частоты © от 0 до да охватывала точку (-1; j0) в положительном направлении. Принимаем W(jcq) = D(jcq). Построим годограф разомкнутой системы W(jco) (табл. 2.1). Используем результаты предыдущих расчетов: и(ю) = ю4 - ю2 + 5, V(jco) = 4ю5 - 7ю3 + 4ю. По данным таблицы строим годограф разомкнутой системы в координатах U(ou); V(jw). По годографу делаем вывод: система неустойчива (устойчива). Таблица 2.1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 им 5 4,99 4,96 4,92 4,87 4,81 4,77 V(jw) 0,39 0,75 1,02 1,19 1,25 1,2 ш 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,5 U(w) 4,77 4,85 5 5,25 5,63 6,17 7,81 V(ju) 0,93 0,86 1 1,53 2,66 4,67 12,8 ГЛАВА 4. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА Транспортная задача - это задача отыскания таких путей пе­ревозки продукта от пунктов производства к пунктам потребления, при которых общая стоимость перевозок оказывается минимальной. Математический аппарат транспортной задачи применим и к задачам электроэнергетики. Здесь под продуктом подразумевается электрическая мощность, передаваемая от источников питания к потребителям по линиям электропередачи. Источниками питания являются электрические станции или подстанции, потребителями - промышленные, городские, сельскохозяйственные потребители электроэнергии. Оптимизации подлежат затраты на схему элек­трической сети, состоящей из линий электропередачи, связываю­щих узлы источников питания с узлами потребителей. Пусть в проектируемой системе электроснабжения имеется i = 1, 2, ... n узлов источников питания и j = 1, 2, ... m узлов потреби­телей. Мощность каждого из источников составляет Ai, а мощ­ность каждого из потребителей - Bj единиц мощности (е. м.). Из­вестно взаимное расположение узлов источников и потребителей. Стоимость передачи единицы мощности от источника i к потреби­телю j (удельная стоимость) составляет zij у. е. /е. м. Общее количество возможных к строительству линий элек­тропередачи, связывающих источники с потребителями, составля­ет nm. Мощности, передаваемые по этим линиям, являются иско­мыми переменными Xj, следовательно, количество искомых пере­менных составляет nm. Затраты на электрическую сеть равны сумме произведений удельных стоимостей на величины передаваемых мощностей от источников i к потребителям j. Поэтому подлежащая минимизации целевая функция имеет следующий вид: Z = Yzirx„=>mm. (4.1) i=l С позиций теоретической электротехники электрическая сеть является электрической цепью и для этой сети применимы все за­коны, известные из курса электротехники, в частности 1-й закон Кирхгофа. Для каждого i-го источника питания сумма мощностей, оттекающих по линиям ко всем j = 1, 2, ... m узлам потребителей, равна мощности Аi этого источника: 5Х=А;. Для каждого j-го потребителя сумма мощностей, притекаю­щих по линиям от всех i = 1, 2, ... n источников, равна мощности Bj этого потребителя £хц=В. (4.3) i=i Соотношения (4.2) и (4.3), представляющие собой балансы мощности в каждом из узлов, являются ограничениями при реше­нии транспортной задачи. Общее количество ограничений равно количеству узлов источников и потребителей n + m. В рассматриваемой постановке транспортной задачи все ис­комые мощности xij, передаваемые от источников к потребителям, являются неотрицательными. Следовательно, граничные условия имеют вид: xij > 0, I = 1, 2 , ... n; j = l, 2, ... m. (4.4) Выражения (4.1), (4.2), (4.3) и (4.4) представляют собой мате­матическую модель транспортной задачи. Видно, что выражения целевой функции (4.1) и ограничений (4.2) и (4.3) являются линей­ными. Особенности транспортной задачи следующие: 1) все ограничения имеют форму равенств; 2) все коэффициенты при переменных в системе ограничений равны плюс единице; 3) каждая переменная дважды входит в систему ограничений: один раз в балансы узлов источников (4.2), второй раз в балансы узлов потребителей (4.3). С учетом этих особенностей для решения транспортных задач разработаны специальные методы решения, более простые, чем другие методы решения оптимизационных задач. Рассмотрим решение транспортной задачи методом потенциа­лов на конкретном примере. Пример 4.1. В проектируемой системе электроснабжения име­ется два узла с источниками питания и три узла потребителей. Мощности источников составляют А1 и А2, а мощности потреби­телей - В1, В2 и В3, е. м. Взаимное расположение узлов и возмож­ные к сооружению линии электрической сети показаны на рис. 4.1. Удельные затраты на передачу мощностей по линиям между узла­ми источников и потребителей составляют z11, z12, z13, z21, z22, z23 http://www.sxemotehnika.ru/zhurnal/zakony-kirkhgofa.html https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_(математика)