Математические модели

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет Системы технологического управления Лекция №7 Доц., к.ф.-м.н. Ефремов А. А. Санкт-Петербург Математические модели Частный случай канонической системы – система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной всех искомых функций, т. е. система вида:  dy1  dt = f1 ( t , y1 , y2 , , yn )   dy2 = f ( t , y , y , , y )  2 1 2 n  dt    dyn = f t , y , y , , y n( 1 2 n)  dt Задача Коши для системы дифференциальных уравнений ставится также, как для одного уравнения: найти решение системы, удовлетворяющее начальным условиям x1 ( 0 ) = x10 x2 ( 0 ) = x20 ... xn ( 0 ) = xn 0 2 ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения задачи Коши). Пусть в системе  dy1  dt = f1 ( t , y1 , y2 , , yn )   dy2 = f ( t , y , y , , y )  2 1 2 n  dt    dyn = f t , y , y , , y n( 1 2 n)  dt функции fi ( t , y1 , y2 , , yn ) удовлетворяют двум условиям: 1) функции fi ( t , y1 , y2 ,, yn ) непрерывны как функции (n +1) -ой переменной t , y, y, y,..., y ( n −1) в некоторой области D (n +1) - мерного пространства; 2) их частные производные по переменным y, y, y,..., y f ограничены (т. е. ∃ М > 0 такое, что  y  M , i, j = 1, n ( n −1) в области D ____ i j t0 3 ТЕОРЕМА (о существовании и единственности решения задачи Коши). Тогда для любой фиксированной точки притом единственное, решение M 0 ( x0 , y10 , y20 , , yn 0 ) области D существует, и y1 ( t ) = 1 ( t ) , y2 ( t ) =  2 ( t ) ,..., yn ( t ) =  n ( t ) исходной системы уравнений, определенное в некоторой окрестности точки t0 , и удовлетворяющее начальным условиям x1 ( 0 ) = x10 x2 ( 0 ) = x20 ... xn ( 0 ) = xn 0 4 Системы линейных дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений называется линейной, если функции f1, f2 ,..., fn линейны относительно неизвестных функций, т. е. если она имеет вид  dy1  dt = a11 (t ) y1 + a12 (t ) y2 ++ a1n (t ) yn + b1 (t )   dy2 = a (t ) y + a (t ) y ++ a (t ) y + b (t )  21 1 22 2 2n n 2  dt     dyn = a (t ) y + a (t ) y ++ a (t ) y + b (t ) n1 1 n2 2 nn n n  dt или, более кратко, ____ dyi j =1 =  aij (t ) y j + bi (t ), (i = 1, n ) n dt где коэффициенты a (t ) и y ( t ) – искомые функции. ij bi (t ) – известные функции от t , i Если все ____ bi (t )  0, (i = 1, n ) , то система называется однородной. 5 Системы линейных дифференциальных уравнений Систему линейных дифференциальных уравнений (СЛДУ) можно записать в более компактной матричной (векторно-матричной) форме. Обозначим матрицы  a1n (t )   b1 (t )      a2 n (t )  b2 (t )   , B= ,    ... ...      ann (t )   bn (t )   y1 (t )   y1 (t )       y ( t ) 2  , Y =  y2 (t )  . Y=             yn (t )   yn (t )   a11 (t ) a12 (t )  a (t ) a22 (t ) A =  21  ... ...   an1 (t ) an 2 (t ) Тогда систему (20.1) можно записать в виде матричного уравнения Y = A  Y + B или Y − AY = B 6